应用概率方法计算室内给水管道设计秒流量

45. 98 28. 32 19. 37 10. 23 6. 45 5. 47 4. 65 2. 98
20
30
25
1. 76
1. 68
1. 46
1. 43
10
15
12
1. 10
1. 01
0. 86
0. 83
5
7
6
0. 70
0. 62
0. 52
0. 50
2
2
2
0. 40
0. 33
0. 30
0. 26
1
qi, 正在放水使用的器具数目为服从二项分布的随机数 x i , 这里 i = 1, 2, …, k。根据概率论的中
心极限定理[ 6] , 可用正态分布近似替代原二项分布。正态分布的密度函数为:
p xi =
1
e-
y2i 2
(
i
=
Ri 2P
1, 2, …, k )
( 1)
式中, Ri =
nip i ( 1-
1
1
0. 30
0. 22
0. 20
0. 16
3
3
0. 26
0. 18
0. 16
0. 14
1
1
0. 16
0. 10
0. 10
0. 07
10
数理统计与管理
16 卷 3 期 1997 年 5 月
3. 2 本方法同文[ 5] 计算方法的对比 设旅馆给水系统的卫生器具构成如表 3 的( 1) —( 3) 列, qi 和 p i 同表 1。现用( 5) 式、( 6) 式
47. 80 29. 74 20. 56 11. 10 7. 14 6. 10 5. 24 3. 46
47. 73 29. 67 20. 47 11. 01
7. 05 6. 02 5. 17 3. 37
46. 02 28. 36 19. 38 10. 26 6. 48 5. 50 4. 68 3. 02
( 4)
p s= 0. 95 近似解 ( L / s)
( 5)
精确解 ( L / s) ( 6)
近似解 ( L / s)
( 7)
1000
150 0
600
90 0
400
60 0
200
30 0
105
20 0
100
15 0
100
15 0
50
70
125 0 75 0 50 0 25 0 20 0 12 0
60
应用概率方法计算室内给水管道设计秒流量
9
表 1 用水系统的组成
编 号 1 2 3
器 具 名 称 浴 盆 盥 洗 盆
低水箱大便器
放水使用概率 p i 0. 133 0. 031 0. 062
给水流率 qi ( L / s) 0. 20 0. 16 0. 10
3. 1 近似解与精确解对比
设 p i 和 qi 取用表 1 数据, ni 见表 2( 1) —( 3) 列, p s 分别取 0. 99 和 0. 95。计算结果见表 2。 其中近似解用( 5) 式直接解出, 精确解是在计算机上进行的, 其设计秒流量 qs 须满足下式:
7. 31 0. 99985 4. 08 0. 99941
3. 3 本方法同平方根法的对比 我国目前使用的平方根法是根据我国具体情况, 对前苏联、西德等欧洲国家流行的平方根
法作了修改, 并确定了公式中的系数得出的, 它反映了建筑物类型和卫生器具给水当量 N 对 设计秒流量 qs 的影响, 但未考虑卫生器具放水使用概率对 qs 的影响, 表 4 说明了这点。表 4 的
( 1- p i ) ) 分布。
k
k
∑ ∑ 再设给水系统总流量为 z = z i = qix i 。由于 z i 为相互独立的 k 个随机变数, 根据随机
i= 1
i= 1
变数和的分布, 有:
k
k
∑ ∑ E ( z ) = E( z i ) = qi nip i
( 2)
i= 1
i= 1
k
k
∑ ∑ D( z ) =
i= 1
i= 1
式中, 5 ( L) 是 p s 的函数, 可查标准正态分布表。如 p s= 0. 99, 5 ( L) = 2. 33; p s= 0. 95, 5 ( L) = 1.
64 5。
三、算例分析
某旅馆给水系统有三种卫生器具。各卫生器具放水使用概率和给水流率见表 1[ 5] 。现以表 1 为基本资料, 用本文所述方法计算设计秒流量, 并与平方根法和文[ 5] 所述方法的计算结果 进行对比分析, 说明使用保证率和卫生器具放水使用概率的取值对设计秒流量的影响。
D( zi) =
q
2 i
nip
i(
1
-
p i)
( 3)
i= 1
i= 1
k
k
∑ ∑ 即 z 服从 N ( qi nip i , q2i ni p i( 1- p i) ) 分布。
i= 1
i= 1
记系统的使用保证率为 p s, 相应的设计秒流量为 qs , 则有:
p ( z ≤ qs) = p s
( 4)
应用概率方法计算室内给水管道设计秒流量
7
应用概率方法计算室内给水管道设计秒流量X
徐 得 潜
( 合肥工业大学土木系, 合肥, 230009)
提 要
徐得潜. 应用概率方法计算室内给水管道设计秒流量. 数理统计与管理, 1997, 16( 3) , 7～12
本文在深入研究现有室内给水管道设计秒流量计算方法的基础上, 应用概率论, 以满足使 用保证率的室内给水管道设计秒流量为出发点, 提出了一种新的计算方法。通过实例计算, 分 析了使用保证率和卫生器具放水使用概率对设计秒流量的影响, 与平方根法和已有概率法作 了比较, 说明了该方法的合理性和通用性。
X 收稿日期: 96 年 7 月 26 日
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数理统计与管理
16 卷 3 期 1997 年 5 月
据最大流量组合计算设计秒流量, 也值得商榷。 本文针对上述问题, 应用概率论, 以满足使用保证率的设计秒流量为基本出发点, 提出了
一种新的室内给水管道设计秒流量计算方法。
二、计算方法
设室内给水系统中共有 k 种用水器具, 其数量、放水使用概率和给水流率分别为 ni、p i 和
第( 8) 列是平方根法计算结果, 计算公式 qs= 0. 5 N 。由表 4 可见, 给水当量保持不变时, 由 于卫生器具的构成和放水使用概率的改变, 用本方法求出的 qs 随之变化, 而平方根法的计算 结果却保持不变。同时还可看到: ( 1) 卫生器具构成一定时, 放水使用概率的提高使本方法计算 的 qs 由小于平方根法的计算结果转变成大于平方根法的计算结果, 如表 4 中的第一、二行; ( 2) 卫生器具数较少时, 平方根法的计算结果常大于本方法的结果; 卫生器具数较多时, 却是本 方法的计算结果大于平方根法的结果, 其差值随卫生器具数量增多而加大, ( 3) 用本方法计算 qs 不会出现 qs > 0. 2N 的不合理现象。
令 L=
z-
E( R
z
)
=
z - E( z ) , 利用标准正态分布 N ( 0, 1) , D(z)
就可求出满足一定使用保证率 p s
的
设计秒流量:
qs = E ( z ) + 5 ( L) D ( z )
k
k
( 5)
∑ ∑ = qini p i + 5 ( L) qi nip i( 1 - p i )
关键词: 给水管道、设计秒流量、概率计算方法。
一、引言
室内给水管道设计秒流量计算方法有经验法、平方根法和概率法。 经验法简捷但不精确。如日本用的是根据管段负担的当量值查管径, 没有考虑各种卫生器 具不同的使用概率对设计秒流量的影响。 我国现使用的是经调整修改后的平方根法[ 1] [ 2] 。该方法有下列问题: ( 1) 当给水管段负担 的当量值较小时, 用平方根法计算的设计秒流量常大于按卫生器具额定流量累加值; ( 2) 当计 算管路起始管段负担的卫生器具的给水额定流量较大时, 又会出现计算值小于该管段上最大 一个卫生器具的给水额定流量。如自闭式冲洗阀的给水额定流量为 1. 2L / s, 给水当量 N = 6, 当系数 A< 2. 45 时, 有 qs= 0. 2A N < 1. 2L / s。所以设计规范[ 2] 第 2. 6. 4 条对设计秒流量有上 下限约束, 即计算管段的设计秒流量应大于等于该管段负担的最大一个卫生器具给水额定流 量、同时又要小于等于该管段负担的卫生器具额定流量累加值。( 3) 当给水管段的当量值较大 时, 计算结果小于实际值[ 3] ; ( 4) 没有考虑不同的卫生器具所具有的不同的使用概率对设计秒 流量的影响。 概率法从理论上说比前两种方法合理。美国亨脱( H unter ) 提出的室内给水管道设计秒流 量概率计算方法[ 4] 假设卫生器具放水使用数为一服从二项分布的随机数。对单一器具系统可 直接计算对应于某一使用保证率的卫生器具同时使用数, 再乘以给水流率求出设计秒流量。对 混合器具系统, 则用“器具负荷单位法”求设计秒流量。文[ 5] 指出了该方法的局限性, 根据概率 论中心极限定理和随机变数和的分布导出了近似公式, 以解出满足某一使用保证率的卫生器 具同时使用数 m , 再按器具放水使用总数为 m 时的最大流量组合计算设计秒流量。亨脱概率 法和文[ 5] 所提方法的不足之处是用对应于某一使用保证率的卫生器具同时使用数确定设计 秒流量, 会造成计算出来的设计秒流量的实际使用保证率偏高的不合理现象。文[ 5] 提出的根
qs
∑p q = p s
q= 0
q = 0. 2m1 + 0. 16m2 + 0. 1m3
( 6)
3
∏ p q = i= 1 Cmnii p mi i ( 1 - p )i ni- mi
式中, m1、m2 和 m3 分别是浴盆、盥洗盆和低水箱大便器的正在放水使用数; q 是给水系统流量
( L / s) ; p q 是 q 出现的概率; p i 含义同前。 由表 2 可见, 用( 5) 式求出的 qs 近似解与用( 6) 式算出的精确解相比, 要略小一点, 但非常
表 3 同文[ 5] 方法计算结果的对比
卫 生 器 具 数 量
浴 盆 盥洗盆 低水箱大便器
n1 ( 1) 600 200 100 50
n2 ( 2) 900 300 150 70
n3 ( 3) 750 250 120 60
本方法
精确解 近似解
和文[ 5] 所述方法分别计算 p s= 0. 99 时的设计秒流量, 结果见表 3。表 3 的第( 7) 列是将第( 6) 列的设计秒流量 qs 代入( 6) 式上机计算的实际使用保证率。可见用文[ 5] 方法求出的 qs 所对应 的使用保证率实际上均大于 99% , 说明了文[ 5] 从满足一定使用保证率的正在放水使用的卫 生器具总数入手, 按最大流量组合计算的 qs 偏大, 值得商榷。
p i) , y i=
x
i- nip Ri
i
。即
x
i
近似服从正态分布 N ( nip i, ni p i( 1-
p i) ) 。
记第 i 种卫生器具的出流量为 z i , 显然 z i= qi x i, 亦为一随机数。由均值和方差公式[ 6] , z i 的
均值 E ( z i ) = qiE ( x i ) = qi nip i, 方差 D ( z i) = q2i D ( x i) = q2i nip i ( 1- p i ) , 即 z i 服从 N ( qini p i, qi2nip i
( L / s) ( 4)
29. 74 11. 10 6. 10 3. 46
( L / s) ( 5) 29. 67 11. 01 6. 02 3. 37
文[ 5] 方法
设计秒流 使用保
量( L / s) 证率
( 6)
( 7)
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ. 35 0. 99999
13. 46 0. 99998
接近。p s= 0. 99 时, 最大绝对误差为 0. 09L / s; p s= 0. 95 时, 为 0. 04L / s。说明了( 5) 式有很高的
精度。
表 2 设计秒流量近似解与精确解对比
卫 生 器 具 数 量 浴 盆 盥洗盆 低水箱大便器
n1
n2
n3
( 1)
( 2)
( 3)
p s = 0. 99 精确解 ( L / s)
表 4 同平方根法计算结果的对比
浴 盆
盥洗盆 低水箱大便器
平方 根 法
本方法( p s= 0. 99)
n1
p1
n2
p2
n3
( 1) ( 2) ( 3) ( 4) ( 5) 105 0. 133 200 0. 031 200 105 0. 14 200 0. 08 200
300 0. 031 250 200 0. 14 300 0. 08 250 400 0. 133 600 0. 031 500 2 0. 133 2 0. 031 2 2 0. 14 2 0. 08 2