三角函数的值域与最值

高考调研 · 新课标高考总复习
第四章 · 专题研究
考 题 讲 解 考 题 训 练
专题研究
三角函数的值域与最值
高三数学（人教版）
高考调研 · 新课标高考总复习
第四章 · 专题研究
考 题 讲 解 考 题 训 练
专题要点
高三数学（人教版）
高考调研 · 新课标高考总复习
第四章 · 专题研究
考 题 讲 解 考 题 训 练
高三数学（人教版）
高考调研 · 新课标高考总复习
第四章 · 专题研究
考 题 讲 解 考 题 训 练
π π (2)g(x)＝6m· f(x)＋1＝2msin(2x＋ )－m＋1(0<x< )． 6 3 π 假设存在正实数 m 符合题意，∵x∈(0， )， 3 π π 5π π 1 ∴ <2x＋ < ，则 sin(2x＋ )∈( ，1]． 6 6 6 6 2 ∵m>0， π ∴函数 g(x)＝2msin(2x＋ )－m＋1 的值域为(1， m＋1]． 6 5 5 1 又函数 g(x)的值域为(1， ]，∴m＋1＝ ，解得 m＝ ， 4 4 4 ∴存在．
→ → ∠BAC＝x，记 f(x)＝AB·BC. (1)求函数 f(x)的解析式及定义域； π (2)设 g(x)＝6m·f(x)＋1，x∈(0， )，是否存在正实 3 5 数 m，使函数 g(x)的值域为(1， ]？若存在，请求出 m 4 的值；若不存在，请说明理由．
高三数学（人教版）
高考调研 · 新课标高考总复习
高考调研 · 新课标高考总复习
第四章 · 专题研究
考 题 讲 解 考 题 训 练
于是当且仅当 cosx＝1 时，ymax＝4， 但 cosx≠1，∴y<4. 1 1 且 ymin＝－ ，当且仅当 cosx＝－ 时取得． 2 2 1 故函数值域为[－ ，4)． 2 (2)令 t＝sinx＋cosx，则有 t －1 t ＝1＋2sinxcosx，即 sinxcosx＝ . 2
高三数学（人教版）
高考调研 · 新课标高考总复习
第四章 · 专题研究
考 题 讲 解 考 题 训 练
探究 1
化为 Asin(ωx＋φ)＋B 的形式求最值时，特别
注意自变量的取值范围对最大值、最小值的影响，可通 过比较闭区间端点的取值与最高点、最低点的取值来确 定函数的最值． 思考题 1 2π (1)已知△ABC 中，AC＝1，∠ABC＝ ， 3
高三数学（人教版）
高考调研 · 新课标高考总复习
第四章 · 专题研究
考 题 讲 解 考 题 训 练
(3)求 f(x)＝3sinx＋4cosx，x∈[0，π]的值域． 【解析】 f(x)＝3sinx＋4cosx
3 4 ＝5( sinx＋ cosx) 5 5 ＝5sin(x＋φ) 3 4 π 其中 cos＝ ，sinφ＝ ，0<φ< 5 5 2 ∵0≤x≤π π ∴φ≤x＋φ≤π＋φ
高三数学（人教版）
2 2 Leabharlann Baidu 2
高考调研 · 新课标高考总复习
第四章 · 专题研究
考 题 讲 解 考 题 训 练
专题讲解

题型一
y=Asin(ωx＋φ) +型的最值问题
2
例 1 设函数 f(x)＝2cos x＋2 3sinxcosx＋m(x∈R)． (1)化简函数 f(x)的表达式，并求函数 f(x)的最小正周期； π 1 7 (2)若 x∈[0， ]，是否存在实数 m，使函数 f(x)的值域恰为[ ， ]？若存 2 2 2 在，请求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解析】 (1)∵f(x)＝2cos x＋2 3sinxcosx＋m π ＝1＋cos2x＋ 3sin2x＋m＝2sin(2x＋ )＋m＋1， 6 ∴函数 f(x)的最小正周期 T＝π.
2
高三数学（人教版）
高考调研 · 新课标高考总复习
第四章 · 专题研究
考 题 讲 解 考 题 训 练
π (2)假设存在实数 m 符合题意．∵x∈[0， ]， 2 π π 7π π 1 ∴ ≤2x＋ ≤ ，则 sin(2x＋ )∈[－ ，1]， 6 6 6 6 2 π ∴f(x)＝2sin(2x＋ )＋m＋1∈[m,3＋m]． 6 1 7 1 又∵f(x)∈[ ， ]，解得 m＝ ， 2 2 2 1 1 7 ∴存在实数 m＝ ，使函数 f(x)的值域恰为[ ， ]． 2 2 2
（sinx≤cosx） （sinx>cosx）
2 2
高三数学（人教版）
高考调研 · 新课标高考总复习
第四章 · 专题研究
考 题 讲 解 考 题 训 练

探究3
借助一些代数式的几何意义或三角函数的图象可直观地求出函数
的值域，从而减少运算量．

高三数学（人教版）
2 2
t －1 1 2 ∴y＝f(t)＝t＋ ＝ (t＋1) －1. 2 2 π 又 t＝sinx＋cosx＝ 2sin(x＋ )， 4 ∴－ 2≤t≤ 2.
高三数学（人教版）
2
高考调研 · 新课标高考总复习
第四章 · 专题研究
考 题 讲 解 考 题 训 练
1 2 故 y＝f(t)＝ (t＋1) －1(－ 2≤t≤ 2)， 2 从而知：f(－1)≤y≤f( 2)， 1 即－1≤y≤ 2＋ . 2 1 则函数的值域为[－1， 2＋ ]． 2 探究 2 可化为 y＝f(sinx)型三角函数的值域可通过换
第四章 · 专题研究
考 题 讲 解 考 题 训 练
∴∴切线方程为y－2＝k(x－2)即kx－y－2k＋2＝0 |2－2k| ∴满足 ＝1 2 1＋k 4± 7 解之得k＝ 3 4－ 7 4＋ 7 ∴函数f(x)的值域为[ ， ] 3 3
sinx (2)f(x)＝ cosx
作出图象 由图象知，－1≤y≤
元法转为其他函数的值域． 思考题 2 6cos x＋5sin x－4 (1)求函数 y＝ 的值域． cos2x
高三数学（人教版）
4 2
高考调研 · 新课标高考总复习
第四章 · 专题研究
考 题 讲 解 考 题 训 练
【解析】
4
原函数可化为：
2 2 2
6cos x－5cos x＋1 (2cos x－1)(3cos x－1) y＝ ＝ cos2x cos2x 1 2 2 y＝3cos x－1，(cos x≠ ) 2 1 ∴－1≤y≤2，且y≠ . 2 (2)求f(x)＝cos x＋asinx的最小值． 【解析】 f(x)＝1－sin x＋asinx
2.求三角函数的值域或最值一般情况下先化简整理，其整 理目标为 ①y＝Asin(ωx＋φ)＋B 型；②y＝f(sinx)型 3.－ a ＋b ≤asinx＋bcosx≤ a ＋b . 4.求三角函数的值域或最值应结合函数的图像、周期、单 调性． 5.利用导数求三角函数的值域和最值． asinx＋b 6.y＝ 型. ccosx＋d (1)转化为 Asinx＋Bcosx＝C 型． (2)利用直线的斜率求解． 7.求三角函数值域或最值时应注意运用换元法，将复杂函 数转化为简单函数.
2 2
令t＝sinx，t∈[－1,1] a 2 a ∴y＝－t ＋at＋1＝－(t－ ) ＋1＋ 2 4
2 2
当a>0时，t＝－1时，y取最小值，ymin＝－a. 当a≤0时，t＝1时，y取最小值，ymin＝a.
高三数学（人教版）
高考调研 · 新课标高考总复习
第四章 · 专题研究
考 题 讲 解 考 题 训 练
sin2xsinx (1)y＝ ； 1－cosx (2)y＝sinx＋cosx＋sinxcosx； 【解析】 2sinxcosxsinx 2cosx 1－cos x (1)∵y＝ ＝ 1－cosx 1－cosx
2
1 2 1 2 ＝2cos x＋2cosx＝2(cosx＋ ) － . 2 2
高三数学（人教版）
题型三
例3
数形结合求三角函数的值域
2－sinx (1)求函数f(x)＝ 的值域． 2＋cosx
1 1 (2)已知f(x)＝ (sinx＋cosx)－ |sinx－cosx|，求f(x)的值域． 2 2 【解析】 2－sinx (1)函数f(x)＝ ，可看作点(2,2)(－cosx，sinx)两点 2＋cosx
连线的斜率． 点(－cosx，sinx)的轨迹为x ＋y ＝1.
2 2
函数值域即为(2,2)与单位圆 x2 ＋ y2 ＝1上点连线
斜率的范围，由图可知，过(2,2)且与单位圆相切
的斜率存在，不妨设为k. ∴切线方程为y－2＝k(x－2)即kx－y－2k＋2＝0
高三数学（人教版）
高考调研 · 新课标高考总复习
第四章 · 专题研究
考 题 讲 解 考 题 训 练
【解】
BC 1 (1)由正弦定理得： ＝ ＝ sinx 2π sin sin 3
AB π －x 3
，
π sin －x 1 3 ∴BC＝ sinx，AB＝ 2π 2π sin sin 3 3
，
π 4 π 1 2 3 → → ∴f(x)＝AB· ＝AB· BC BC· cos ＝ sinx· sin( －x)· ＝ ( 3 3 3 2 3 2 π π 1 1 1 cosx－ sinx)·sinx＝ sin(2x＋ )－ (0<x< )． 2 3 6 6 3
φ≤
高三数学（人教版）
高考调研 · 新课标高考总复习
第四章 · 专题研究
考 题 讲 解 考 题 训 练
π ∴当 x＋φ＝ 时，f(x)max＝5 2 当 x＋φ＝π＋φ 时，f(x)min＝5sin(π＋φ)＝－5sinφ＝－4. ∴f(x)的值域为[－4,5]
题型二
可化为y=f(sinx)型的值域问题