三角形、梯形中位线定理教师版
三角形、梯形中位线定理应用练习课、复习题组
1知识要点
(1)如图1，三角形中位线性质定理的条件是
结论是三角形中位线判定定理的条件是结论是
(2)如图2，梯形中位线性质定理的条件是_
结论是_ 梯形中位线判定定理的条件是_
结论是_
2.基本方法
三角形、梯形中位线定理不仅反映了线段的相等关系，也反映了线段间的倍半关系。此外，证明线段相等或倍半关系还有其他方法，你能指出一些其他的常用方法吗？
(1)全等三角形对应边相等；
(2)等角对等边，等腰三角形“三线合一”性质；
(3)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
⑷ 角平分线上的点到角的两边距离相等；
(5)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
(6)直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半;
(7)平行四边形(包括矩形、菱形、正方形)的性质；
(8)等腰梯形的两腰相等，两条对角线相等。
二、基本题组
1.__________________________________________________ 顺次连结四边形各边中点所得的四边形是_________________________________________ ；
2.顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是 _____________________
3._________________________________________________ 顺次连结矩形各边中点所得的四边形是___________________________________________ ；
4._________________________________________________ 顺次连结菱形各边中点所得的四边形是___________________________________________ ；
5.__________________________________________________ 顺次连结正方形各边中点所得的四边形是_________________________________________ ；
6._________________________________________________ 顺次连结梯形各边中点所得的四边形是___________________________________________ 。（图1
7.____________________________________________________ 顺次连结直角梯形各边中点所得的四边形是_______________________________________ 。
&顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是_______________________ 。
14.如图4,在厶ABC 中，D 、E 是AB 边的三等分点， D'、E'是AC 边的三等分点,
则 DD'= ___ , EE'=
17?以等腰梯形两底中点和两条对角线中点为顶点的四边形是（
A .平行四边形
B .矩形
C .菱形
D .正方形
10.顺次连结对角线 的四边形各边中点所得的四边形是矩形; 则 DD'= ___ , EE'=
,FF'=
若 BC=18,
15.如图5,在梯形 ABCD 中，AD//BC , E 、F 是AB 的三等分点,
EE' // FF' // BC , 分别交CD 于
16?直角三角形斜边上的中线与连结两直角边中点的线段的关系是（
A .相等且平分
B .相等且垂直
C .垂直平分
D ?垂直平分且相等 的四边形各边中点所得的四边形是正方
11.顺次连结对角线
12 .已知D 、E 、F 是厶ABC 各边的中点，则厶DEF 与厶ABC 的周长比为
,面积比为
O
13.如图3,在厶ABC 中，D 、E 、F 是AB 的四等分点，D'、E'、F'是AC 的四等分点，BC=28 ,
系统小结，深刻理解
则 EE'=
,FF'=
O
)
过点 E 作 EG 丄AB ，分别交 DF 、AB 于G 、H （如图10）; 过点
EG//CD
，
交AD 的延长线于
G （如图
11）；
构造梯形中位线
过点 F 作
FG//AD ，
交AB 于G （如图 12）
； 过点 F 作
FG//AC ，
交AB 于G （如图 13）； 构造全等三角形
EG （如图14）。 --
构造平行四边形 过点 （8） D
B B 作 BG//AD , E C
G A
交CF 的延长线于，连结 E F
A
B
（图9） F
D
B
11
）
A G （图7） G ------ E （图 8
）
E
A G
B
（图 12） C
E
A
G B
（图 13）
（图 G
重点研究图 7、8、9、11的证法，其他图形的证法仅提一提，以培养学生的发散思维能力。
已知：如图 15,在厶ABC 中，AB=AC ，E 是AB 的中点, 求证：CD=2CE 。
证法一：取 AC 的中点F ,连结BF （如图16）。
证法二：过点 B 作BF//CE ，交AC 的延长线于 F （如图17）。 证法三：延长 CE 到F ,使EF=CE ，连结FA 、FB （如图18）。
延长 AB 至U D ，使BD=AB 。
（图 15）
A E
B D
例3.已知：如图 19,在厶ABC 中，/ B=2 / C , AD 丄BC 于D , E 是BC 的中点。
求证：AB=2DE
分析：⑴要证AB=2DE ，只需证等于 AB 一半的线段等于 DE
或等于DE 的2倍的线段等于 AB 。
（2）找等于AB 一半的线段有三种方法: 是只取AB 的中
点，但这不利于问题的证明;
二是构造以AB 为斜边的直角三角形中线（因为条件中有垂直） 三是构造以AB 为第三边某三角形的中位线，再证此中位线等于
DE 。
证法一：取AB 的中点F ,
（如图20）。 （以下证明略）
证法二：取AC 的中点F ，
（如图21）。 （以下证明略）
例4.（选讲）已知：如图
AE 丄BM 于E , AF 丄CN 于F 。
求证：EF // BC 。
分析：由“角相等”证“平行”很难实现。考虑条件中有“角平分线”
和“垂直”，因而可采用“补形”的办法试证。
证明：延长 AF 交BC 于G ,延长AE 交BC 于H 。（以下略） 思考：若将两条“内角平分线”改成“外角平分线” 结论是否还成立？如何证明？ （如图23）,亠
P
四、巩固题组 1.已知: 如图 24, AD 是厶ABC 的中线，E 是AD
AE 的延长线交AC 于F 。
求证: BE =
3EF 。
2.已知: 如图25, 在菱形 ABCD 中，E 是AD 的中点,
求证: 3.（选做） 交AB 于 GE=GF 。已知：如图26, G ,交CB 延长线于F 。 （图 23）
在四边形 ABCD 中，AB=CD , E 、F 分别是 AD 、BC 的中点，延长 BA 、CD ，分别交FE 的延长线于 M 、N 。 （图
25）
，再证此中线长等于 DF ；
（图
19
22，BM 、CN 是厶ABC 的角平分线,
、复习题组
1.如图1,三角形中位线性质定理的条件是_________________________________ ,
结论是 __________________________
三角形中位线判定定理的条件是____________________________
结论是 __________________________
2?如图2，梯形中位线性质定理的条件是__________________________________ ，
结论是______________________________
梯形中位线判定定理的条件是 _______________________________
结论是______________________________
3?三角形、梯形中位线定理不仅反映了线段的相等关系，也反映了线段间的倍半关系。此外，证明线
段相等或倍半关系还有其他方法，你能指出一些其他的常用方法吗？
二、基础题组
1?顺次连结四边形各边中点所得的四边形是_________________________ ;
2?顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是___________________________ ;
3?顺次连结矩形各边中点所得的四边形是__________________________ ;
4?顺次连结菱形各边中点所得的四边形是__________________________ ;
5?顺次连结正方形各边中点所得的四边形是__________________________ 。
6?顺次连结梯形各边中点所得的四边形是__________________________ ;
7?顺次连结直角梯形各边中点所得的四边形是___________________________ ;
&顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是____________________________ 。
9?顺次连结对角线 _____________________ 的四边形各边中点所得的四边形是菱形；
10?顺次连结对角线______________________ 的四边形各边中点所得的四边形是矩形；
11?顺次连结对角线______________________ 的四边形各边中点所得的四边形是正方形。
12.已知D、E、F是厶ABC各边的中点，则△ DEF与厶ABC的周长比为 ______________ ，面积比为_______
13.如图3，在△ ABC中，D、E、F是AB的四等分点，D'、E'、F'是AC的四等分点，BC=28 ,
贝U DD'= __ , EE' = _____ , FF' = _____ ;
14.如图4，在△ ABC中，D、E是AB边的三等分点，D'、E'是AC边的三等分点，若BC=18 ,
贝U DD'= __ , EE' = _____ ;
15.如图5，在梯形ABCD中，AD//BC , E、F是AB的三等分点，EE' // FF' // BC，分别交CD于
三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方
三角形中位线定理的证明及其教学说明 以下内容作者为：青岛第四中学杨瀚书老师 一、 三角形中位线定理的几种证明方法 法1： 如图所示，延长中位线DE 至F ，使 ，连结CF ，则 ，有AD FC ，所以FC BD ，则四边形BCFD 是平行四边 形，DF BC 。因为 ，所以DE BC 2 1． 法2： 如图所示，过C 作 交DE 的延长线于F ，则 ， 有FC AD ，那么FC BD ，则四边形BCFD 为平行四边形，DF BC 。 因为 ，所以DE BC 2 1． 法3：如图所示，延长DE 至F ，使 ，连接CF 、DC 、AF ，则四边形 ADCF 为平行四边形，有AD CF ，所以FC BD ，那么四边形BCFD 为平 行四边形，DF BC 。因为 ，所以DE BC 2 1．
法4：如图所示，过点E 作MN ∥AB ，过点A 作AM ∥BC ，则四边形ABNM 为平行四边形，易证CEN AEM ???，从而点E 是MN 的中点，易证四边形ADEM 和BDEN 都为平行四边形，所以DE=AM=NC=BN ，DE ∥BC ，即DE BC 21。 法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线． 二、教学说明 1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维” 在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。
⑴如图，A为线段BC(或线段BC的延长线)上的任意一点，D、E分别是AB、AC 的中点，线段DE与BC有什么关系？ A C 图⑴： ⑵如果点A不在直线BC上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗? C 图⑵： 说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当△ABC的顶点A运动到直线B C上时,中位线DE也运动到BC上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.如果教师直接叫学生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜. 2、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。
梯形、中位线
梯形、中位线 【知识概要】 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形，等腰梯形判定和性质定理与等腰三角形的判定和性质类似． 通过作辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，这是解梯形问题的基本思路，常用的辅助线的作法是： 1．平移腰：过一顶点作一腰的平行线； 2．平移对角线：过一顶点作一条对角线的平行线； 3．过底的顶点作另一底的垂线． 熟悉以下基本图形、基本结论
【课堂练习】 1.( “希望杯”邀请赛试题) 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=2∠B，若AD=a ，AB=b，则CD的长是． 思路点拨平移腰，构造等腰三角形、平行四边形． 注平移腰、平移对角线的作用在于，能得到长度为梯形上下底之差或之和的线段，能把题 设条件集中到同一三角形中来． 2.(全国初中数学联赛试题)已知一个梯形的4条边的长分别为1、2、3、4，则此梯形的面积等于（） 10 A．4 B．6 C．82 D．2 3 思路点拨给出4条线段，要构成梯形需满足一定条件，解题的关键是确定可能的上、下底．注给出4条线段不一定能构成梯形，需满足一定的条件，讨论的方法是通过平移腰，把问题转化为三角形的问题讨论，请读者思考，设为梯形的上、下底，c、为腰，那么a、b、c、d满足怎样的条件? 3.(1)如图，已知等腰梯形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，E是梯形外一点，且EA=ED，求证：EB=EC (2)请你将(1)中的“等腰梯形”改为另一种四边形，其余条件不变，使结论“EB=EC”仍 然成立，再根据改编后的问题画图形，并说明理由．
4. 如图，已知梯形ABCD 中，BC ∥AD ，AD=3，BC=6，高h =2，P 是BC 边上的一个动点，直线m 过P 点，且m ∥DC 交梯形另外一边于E ，若BP=x ，梯形位于直线m 左侧的图形面积为y (1)当3 三角形的中位线定理 1．三角形中位线的定义： 2．三角形中位线定理的证明： 如图，在△ABC 中，D 、E 是AB 和AC 的中点，求证：DE ∥BC ，DE=2 1 BC ． 方法一： 方法二： 3．归纳：（1）几何语言： （2） 条中位线， 对全等， 个平行四边形 （3）面积 4．拓展：如图，在△ABC 中，D 是AB 的中点，DE ∥BC ，求证： DE= 2 1 BC ． 【巩固练习】 1．如图所示，□ ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE=EB ，求证：OE ∥BC ． 2．如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ，CF 平分∠ACB ，AE=EB ，求证：EF= 1 2 BD ． 3．已知：如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形． 4．如图所示，已知在□ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，求证：MN ∥BC ． 5．已知：△ABC 的中线BD 、CE 交于点O ，F 、G 分别是OB 、OC 的中点． 求证：四边形DEFG 是平行四边形． 6．已知：如图，E 为□ABCD 中DC 边的延长线上的一点，且CE ＝DC ，连结AE 分别交BC 、BD 于点F 、G ，连结AC 交BD 于O ，连结OF ．求证：AB ＝2OF ． 7．如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，点E ，F ，G 分别是AB ，CD ，AC 的中点． 求证：△EFG 是等腰三角形。 8．如图，在四边形ABCD 中，点E 是线段AD 上的任意一点（E 与A D ，不重合），G F H ，，分别是BE BC CE ，，的中点．求证：四边形EGFH 是平行四边形； 9．如图，点E ，F ，G ，H 分别是CD ，BC ，AB ，DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形． 10．已知：如图，DE 是△ABC 的中位线，AF 是BC 边上的中线， 求证：DE 与AF 互相平分 11．如图所示，在四边形ABCD 中，DC∥AB，以AD ，AC 为边作□ACED ，延长DC?交EB 于． 求证：EF=FB ．(多种方法) 第3章《中心对称图形（一）》易错题集（08）：3.6 三角形、梯 形的中位线 选择题 1．（2010?威海）如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD．若BD 平分∠ABC，则下列结论错误的是（） A．BC=2BE B．∠A=∠EDA C．BC=2AD D．BD⊥AC 2．（2009?锦州）如图所示，在△ABC中，AB=AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E 为BC上的点，连接DN、EM，若AB=5cm，BC=8cm，DE=4cm，则图中阴影部分的面积为（） A．1cm2 B．1.5cm2C．2cm2 D．3cm2 3．（2009?绍兴）如图，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若∠CDE=48°，则∠APD等于（） A．42°B．48°C．52°D．58° 4．（2009?衢州）在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高．将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为（） A．9.5 B．10.5 C．11 D．15.5 5．（2009?赤峰）将一张三角形纸片沿中位线剪开，拼成一个新的图形，这个新的图形可能是（） A．三角形B．平行四边形C．矩形 D．正方形 6．（2008?铜仁地区）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB=6，BC=10，MN=1.5，则△ABC的周长是（） A．28 B．32 C．18 D．25 7．（2008?随州）如图，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，则下列判断错误的是（） A．四边形AEDF一定是平行四边形 B．若∠A=90°，则四边形AEDF是矩形 C．若AD平分∠A，则四边形AEDF是正方形 D．若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形 8．（2008?嘉兴）如图，△ABC中，已知AB=8，BC=6，CA=4，DE是中位线，则DE=（） A．4 B．3 C．2 D．1 9．（2008?大庆）如图，将非等腰△ABC的纸片沿DE折叠后，使点A落在BC边上的点F 处．若点D为AB边的中点，则下列结论：①△BDF是等腰三角形；②∠DFE=∠CFE； ③DE是△ABC的中位线，成立的有（） A．①②B．①③C．②③D．①②③ 10．（2007?随州）如图，沿Rt△ABC的中位线DE剪切一刀后，用得到的△ADE和四边形DBCE拼图，下列图形中不一定能拼出的是（） 备课偶得—— 三角形中位线定理的再证明 王贵林 皖南陵县烟墩镇烟墩中心初级中学 241313 三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边且等于第三边长的半。 关于它的证明方法，课本上给出了一种证法。笔者在备课中发现它的证法有8种之多，而且非常有趣，这里写出来与同仁共享，企斧正。 已知：如图1，△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，求证：D E ∥BC 且 证法一、（构造法）如图2，延长DE 到F ，使EF=DE ，连结AF 、CF 、 DC ∵E 为AC 中点 ∴AE=CE ∵EF=DE ∴四边形ADCF 为平行四边形 ∴CF AD ∵D 为AB 中点 ∴AD=BD ∴BD CF ∴四边形DBCF 为平行四边形 ∴DF BC ∴DE=EF ∴DE ∥BC 且 证法二、（构造法）如图3，过CF 作CF ∥AB 交DE 的延长线于F ，则 ∠A=∠ACF ∵E 为AC 中点 ∴AE=CF ∴△AD E ≌△CFE （ASA ） ∴CF=AD ∵D 为AB 中点 ∴AD=BD ∴CF=BD ∵CF ∥BD ∴CF BD ∴四边形DBCF 为平行四边形 ∴DF BC ∴△ADE ≌△CFE ∴DE=EF ∴D E ∥BC 且 证法三、（同一法）如图4，过D 作D E ′∥BC ，交AC 于E ′，过E ′作E ′F ∥AB ，交BC 于F ，则 ∠B=∠ADE ′=∠E ′FC ，∠AE ′D=∠C 四边形DBFE ′是平行四边形 ∴E ′F=BD ∵D 为AB 中点 ∴AD=BD ∴E ′F=AD ∴△ADE ′≌△E ′FC （AAS ） ∴AE ′=CE ′即E ′为AC 中点 ∵E 为AC 中点 ∴E 与E ′重合即DE ∥BC ，△ADE ≌△EFC ，四边形DBFE 为平行四边形 ∴DE=CF DE=BF 即 ∴DE ∥BC 且 图1 B C A D E 图2 B C A D E F 图3 B C A D E F C 图4 B A D E F E ′ 图5 B C A D E 1 2 DE BC =1 2 DE BC =1 2DE BC =12 DE BC =1 2DE BC = 梯形中位线定理教学设计 一、教材分析： 本节课要研究的是梯形的中位线，它是在学生已经学过三角形中位线基础上进行的，是本章的重点内容之一。学习并掌握梯形的中位线的概念和性质，将有利于提高学生解决四边形中的一些计算问题、证明问题和实践性问题的能力。另外，通过本节课的教学，可向学生渗透类比和转化的数学思想，提高学生分析问题和解决问题的能力。因此，本节课无论是在知识的学习，还是对学生能力的培养上都起着十分重要的作用。 二、教学目标： 1、知识目标：使学生初步掌握梯形中位线的概念及其定理。掌握梯形面积的第二个计算公式。 2、能力目标：使学生会运用梯形中位线定理来解决相关问题；通过直观演示、猜想实践、归纳论证等教学环节，培养学生类比和转化的思想方法，锻炼学生独立的思考能力、缜密的逻辑思维能力和观察归纳的能力。 3、情感目标：培养学生理论联系实际的科学态度。通过创设愉悦的学习情境，使学生自始至终处于积极思考、大胆置疑、勇于创新、合作学习的氛围中，从而提高学习兴趣和教学效益。 三、教学的重、难点： （1）重点：梯形中位线定理及其应用； （2）难点：梯形中位线定理的发现和论证的思想方法。 本节课设计的探究活动和分组讨论的教学环节，就是为了使学生能在教师引导下，发现梯形中位线的性质，并合理地添加辅助线证明定理。 四、教学方法和手段： 结合本节课内容和学生的实际情况，采用引导发现和设疑诱导的教学方法。在教学过程中，通过创设富有启发性和研究性的问题情景，激发学生对问题的猜想和思考，激发学生探求知识的欲望，自觉地经历从发现问题到解决问题的知识发生的全过程。为了增强教学的直观性，有利于教学难点的突破，增大课堂容量，提高教学效率，采用了多媒体计算机辅助教学手段。 五、教具、学具 计算机，刻度尺，量角器 六、教学程序： 三角形、梯形的中位线 知识精要 一、三角形的中位线 1）、三角形的中位线定义： 在△ABC 中①、BC AB F E 、为、 的中点 ②、∵M 、N 分别是BC 、AC 的中点 ∴线段EF 是 △ABC 的 ∴ 线段MN 是△ABC 的 2）、三角形有 条中位线，它们构成的三角形叫 。 3）、三角形的中位线定理： 4）、在△ABC 中，AB =3，BC =5，CA =7，顺次连结三边中点得△DEF 的周长为___ ______. 5）、在△ABC 中，D 、E 、F 分别 为AB 、BC 、CA 的中点，△DEF 的周长为10，则△ABC 的周长是 6）、三角形的三条中位线的长分别是3，4，5，则这个三角形的周长是_ 结论：中点三角形的周长等于原三角形的 . 7）、一个三角形的面积是40，则它的中点三角形的面积是__ 结论：中点三角形的面积是原三角形面积的_ 二、中点四边形 1、定义：顺次连接四边形各边中点的四边形叫 2、中点四边形的形状与原四边形的对角线数量和位置有关 1）、原四边形的对角线相等时，中点四边形是 ； 2）、原四边形的对角线垂直时，中点四边形是 ； 3）、原四边形的对角线既相等又垂直时，中点四边形是 ； 4）、原四边形的对角线既不相等又不垂直时，中点四边形是 。 5）、任意四边形的中点四边形是 ；菱形的中点四边形是 ； 矩形、等腰梯形的中点四边形是 ；正方形的中点四边形是 。 三、梯形中位线 1、定义：联结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。 2、梯形中位线定理： 热身练习 1．若三角形三条中位线长分别是3cm 、4cm 、5cm ，则这个三角形的面积是 cm 2。 2．梯形的上底长为6，下底长为10，则由中位线所分得的两个梯形的面积之比为 ． 3. 梯形的两条对角线的中点的连线长为7，上底长为8，则下底长为 ． 4. 若等腰梯形的腰长是5cm ，中位线是6cm ，则它的周长是 cm ． 5. 已知等腰梯形的上、下底长分别为 2cm 和6cm ，且它的两条对角线互相垂直，则这个梯形的面积为 cm 2． 6. 已知三角形三边长分别为a 、b 、c ，它的三条中位线组成一个新的三角形，这个新三角形的三条中位线又组成一个小三角形，这个小三角形的三条中位线又组成一个新小三角形，则最小的三角形的周长是( ) A. (a+b+c) B. (a+b+c) C. (a+b+c) D. (a+b+c) 7．若等腰梯形较长的底等于对角线，较短的底等于高，则较短的底和较长的底的长的长度之比是 （ ） A.1:2 B. 2:3 C.4:1 D. 3:5 8．直角梯形中，上底和斜腰长均为a ，且斜腰和下底的夹角是60°，则梯形中位线长为（ ） A. B. a C. D. 都不对 9．在梯形ABCD 中，AB//CD ，DC ：AB=1：2，E 、F 分别是两腰BC 、AD 的中点，则 （ ） A. 1：4 B. 1：3 C. 1：2 D. 3：4 10. 如图，在直角梯形ABCD 中，点O 为CD 的中点，AD ∥BC,试判断OA 与OB 的关系？ （10题图） （11题图） 11. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是AB 中点，连结EC 、ED 、CE ⊥DE ，CD 、AD 与BC 三条线段之间有什么样的数量关系？请说明理由． 精解名题 例1．已知：如图所示，Rt △ABC 中，∠=ACB D E 90°，、分别为AB 、BC 的中点，点F 在AC 的延长线上，∠=∠FEC B 。 三角形中位线定理证明 性质1中位线平行于第三边 性质2等于第三边的一半 1定理 2证明 3逆定理 1定理三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半。[1] 三角形的中位线 2证明 如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。 求证DE平行于BC且等于BC/2 方法一：过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。 ∵CG∥AD ∴∠A=∠ACG ∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG（用大括号） ∴△ADE≌△CGE （A.S.A) ∴AD=CG(全等三角形对应边相等) ∵D为AB中点 ∴AD=BD ∴BD=CG 又∵BD∥CG ∴BCGD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ∴DG∥BC且DG=BC ∴DE=DG/2=BC/2 ∴三角形的中位线定理成立. 方法二：相似法： ∵D是AB中点 ∴AD：AB=1：2 ∵E是AC中点 ∴AE：AC=1:2 又∵∠A=∠A ∴△ADE∽△ABC ∴AD：AB=AE：AC=DE：BC=1：2 ∠ADE=∠B，∠AED=∠C ∴BC=2DE,BC∥DE 方法三：坐标法： 设三角形三点分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3） 则一条边长为：根号（x2-x1）^2+(y2-y1）^2 另两边中点为（（x1+x3）/2，（y1+y3）/2），和（(x2+x3）/2，（y2+y3）/2） 这两中点距离为：根号（（x2+x3）/2-(x1+x3）/2）^2+((y2+y3）/2-(y1+y3）/2）^2 最后化简时将x3，y3消掉正好中位线长为其对应边长的一半 方法4： 延长DE到点G，使EG=DE，连接CG ∵点E是AC中点 ∴AE=CE ∵AE=CE、∠AED=∠CEG、DE=GE ∴△ADE≌△CGE (S.A.S) ∴AD=CG、∠G=∠ADE ∵D为AB中点 ∴AD=BD ∴BD=CG ∵点D在边AB上 ∴DB∥CG ∴BCGD是平行四边形 ∴DE=DG/2=BC/2 ∴三角形的中位线定理成立[2] 方法五：向量DE=DA+AE=(BA+AC)/2=BC/2[3] ∴DE//BC且DE=BC/2 3逆定理 逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。 如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。 证明：∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2 ∴AD=AB/2，AE=AC/2，即D是AB中点，E是AC中点。 逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。 如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2 三角形的中位线 证明：取AC中点E'，连接DE'，则有 AD=BD，AE'=CE' ∴DE'是三角形ABC的中位线 ∴DE'∥BC 又∵DE∥BC 三角形梯形的中位线精典例题 10.三角形、梯形的中位线 知识考点： 掌握三角形、梯形的中位线定理，并会用它们进行有关的论证和计算。 精典例题： 【例1】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，M是腰AB的中点，且AD＋BC＝DC。求证：MD⊥MC。 分析：遇到腰上中点的问题构造梯形中位线可证明，也可以因为腰上有中点，延长DM与CB的延长线交于E点进行证明。 ADACDMNQPEGFBCBDMC例1图 AB 例2图问题图 【例2】如图，△ABC的三边长分别为AB＝14，BC＝16，AC＝26，P为∠A的平分线AD上一点，且BP⊥AD，M为BC 的中点，求PM的长。 分析：∠A的平分线与BP边上的垂线互相重合，通过作辅助线延长BP交AC于点Q，△ABP≌△AQP知AB＝AQ＝14，又知M是BC的中点，所以PM是△BQC的中位线，于是本题得以解决。 答案：PM＝6 探索与创新： 【问题一】 E、F为凸四边形ABCD的一组对边AD、BC 的中点，若EF＝ 1(AB?CD)，2问：ABCD为什么四边形？请说明理。 分析与结论：如图，利用三角形和梯形的中位线定理，连结AC，取AC的中点G，连EG、FG，则EG∥ 111CD，FG∥AB，∴EG＋FG＝(AB?CD)，即EG＋FG＝EF，则222G点在EF上，EF∥CD，EF∥AB，故AB∥CD。 若AD∥BC，则凸四边形ABCD为平行四边形；若AD不平行于BC，则凸四边形ABCD为梯形。 评注：利用中位线构造出 11CD、AB，其关键是连AC，并取其中点G。 22跟踪训练： 一、填空题： 1、三角形各边长为5、9、12，则连结各边中点所构成的三角形的周长是。 2、一个等腰梯形的周长为100cm，如果它的中位线与腰长相等，它的高为20cm，那么这个 梯形的面积是。 3、若梯形中位线被它的两条对角线分成三等分，则梯形的两底之比为。 课题：三角形中位线定理 科目：数学教学对象：八年级课时：§18.1平行四边形第4课时提供者：大城县第四中学毕宝清 一、教学目标 1.知识与技能： 理解三角形中位线的概念；探索并掌握三角形中位线定理；能正确应用三角形中位线定理解决问题。 2.过程与方法： 经历探索三角形中位线定理的过程，感受数学转化思想。 3.情感态度与价值观： 培养学生大胆猜想、合理论证、归纳结论的科学精神。 二、教学重点、难点 1．重点：探究三角形中位线定理并应用，应用三角形中位线定理解决有关问题。2．难点：三角形中位线定理的证明。 三、教具准备 多媒体、三角形纸片 四、教学过程 教 学 环 节 教学内容师生活动设计意图 一、情境设置 导入新课蚕丝吐尽春未老，烛泪成灰秋更稠。 春播桃李三千圃，秋来硕果满神州。 为感恩教师，七年级六班召开主题 班会，班长要求每个同学把手中的 三角形原料裁成四面完全相同的彩 旗装扮教室，应该怎么裁剪呢？ 教师引 导学生观察 图片，思考问 题后出示课 题. 教育学生懂得感 恩，从学生的生活实际 出发，创设情境，提出 问题，激发学生强烈的 好奇心和求知欲． 环 节 教学内容师生活动设计意图 二、 动手操作 观察发现探究一：三角形中位线的概念 活动一：请同学们按要求画图： （1）画一个任意的△ABC； （2）取AB、AC的中点D、E； （3）连接DE 三角形中位线定义： 连接三角形两边中点的线段叫做三 角形的中位线。 问题1：一个三角形有几条中位线？ 请学生画出三角形中所有中位线。 问题2：三角形的中位线和三角形 的中线有何异同？ 教师引 导学生在练 习本上作图， 实践操作后 分析线段DE 的特征，独立 思考并总结 归纳出三角 形中位线的 定义. 教师 用红笔标出 定义的关键 词：“线段中 点”、“线段” 让学生在作图过 程中充分感知三角形 中位线并加深印象。 通过学生实践操 作把握概念的本质，有 利于学生今后更加准 确运用。 三、 探究性质定理 深化认知探究二：三角形的中位线定理 问题3：如图，DE是△ABC的中位 线，DE与BC有什么 关系？ 通过拼图活动 寻求辅助线做法。 （1）把三角形 纸片沿中位线DE裁开。 （2）变换△ADE的位置，想办 法去构造一条线段等于2DE， （3）画出变换后的图形，并把 △ADE移动后的对应的位置用虚线 画出来。 （4）请仔细观察哪条线段是 DE的2倍。 （5）我们只要证明哪两条线 段相等就可以。 （6）辅助线做法该怎么写？ （7）请构思并书写证明过程。 教师引导 学生从2个 方面探究两 条线段之间 的关系。 学生独立 思考寻求方 法探究结论， 小组讨论交 流并根据探 究结果猜想 三角形的中 位线定理。 教师板书证 明过程，并用 展台展示其 他证明方法。 调动已有知识经 验，结合学生实践操作 感知思考、交流合作探 究三角形中位线的定 理。 通过学生亲自拼 图操作，进一步探究辅 助线做法，并为定理的 证明作好准备工作 经历这个探究的 过程让学生意识到讨 论、合作是学生完成学 习任务的一种手段，而 交流则促进学生智慧 成果共享。 中位线定理证明题 1、 如图，若CD AB //，E 、F 分别是BC 、AD 的中点， 且a AB =，b CD =，求EF 的长 2、已知矩形ABCD 中，cm AB 15=，cm BC 8=，E 、 F 、 G 、 H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求 四边形EFGH 的周长和面积 3、 如图，已知四边形ABCD 中，BC AD //， 若DAB ∠的角平分线AE 交CD 于E ，连结BE ， 且BE 平分ABC ∠，求证：BC AD AB += 4、如图，在ABC ?中，C B ∠=∠2，BC AD ⊥，垂足为D ，M 是BC 的中点，cm AB 10=，求MD 的长 5、 如图，D 、E 、F 分别是ABC ?三边的中点，G 是AE 的中点， BE 与DF 、DG 分别交于P 、Q 两点，求BE PQ :的值 6、 如图，在ABC ?中，AD 平分BAC ∠，AD BD ⊥， AC DE //，交AB 于E ，若5=AB ，求DE 的长 7、连接凸四边形一组对边中点的线段等于另一组对边和的一半，问这个凸四边形是什么四边形试证明你的结论 8、分别以ABC ?的边AC 和BC 为一边，在ABC ?外作正方形ACDE 和 CBFG ，点P 是EF 的中点，如图，求证：点P 到边AB 的距离是AB 的一半 9、如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，?=∠30B ， ?=∠60C ，E 、M 、F 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点， 已知7=BC ，3=MN ，求EF 的值 10、如图，已知梯形ABCD 中，BC AD //，?=∠=∠90ADC DCB ，E 为AB 中点，求证：DE CE = 11、如图，已知梯形ABCD 中，CD AB //，?=∠=∠90D DAB ，ACB ?是等边三角形，梯形中位线m EF 4 3 = ，求梯形的下底AB 的长 12、如图，梯形ABCD 的面积是12，求此梯形四边的中点组成的四边形EFGH 的面积 13、如图，已知A 为DE 的中点，设DBC ?、ABC ?、EBC ?的面积分别为1S 、 2S 、3S ，求1S 、2S 、3S 之间的关系 14、如图，在ABC ?中，?=∠120BAC ，以AB 、AC 为向形外作等边三角形ABD 和ACE ，M 为AD 中点，N 为AE 中点，P 为BC 中点，试求MPN ∠的度数 梯形的中位线 课题梯形的中位线 日期 教学目标1．掌握梯形中位线的概念和梯形中位线定理 2．掌握定理“过梯形一腰中点且平行底的直线平分另一腰” 3．能够应用梯形中位线概念及定理进行有关的论证和计算，进一步提高学生的计算能力和分析能力 4．通过定理证明及一题多解，逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力 5. 通过一题多解，培养学生对数学的兴趣 重难点教学重点：梯形中位线性质及不规则的多边形面积的计算．教学难点：梯形中位线定理的证明． 教 法 引导分析、类比探索，讨论式 角色教师活动学生活动 备 注 教 学过程一、情景创设 上一节课我们通过对三角形的中位线定理的再认识，知道 顺次连接四边形各边的中点会得到一个平行四边形，那么如果 我顺次连接的是矩形，菱形或正方形，又会得到什么样的图形 呢？ 二、引入新课 1.梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. 2.现在我们来研究梯形中位线有什么性质. 如图所示：EF是 的中位线，引 导学生回答下列问题：（1）EF与BC有什么关系？ （）（2） 与同学共同讨 论解决。 教学过程. 求证： . 分析：把EF转化为三角形中位线，然后利用三角形中位线 定理即可证得. 说明：延长BC到E，使，或连结AN并延长AN到E，使， 这两种方法都需证三点共线（A、N、E或B、C、E）较麻烦，所 以可连结AN并延长，交BC线于点E，这样只需证即可得，从 而证出定理结论. 3.复习小学学过的梯形面积公式. （其中a、b表示两底，h表示高） 因为梯形中位线所以有下面公式： 例题：如图所示，有一块四边形的地ABC D，测得，顶点B、C到AD的距离分别为10m、4m，求这块地的 面积. 三、【小结】（以回答问题的方式让学生总结） （1）什么叫梯形中位线？梯形有几条中位线？ （2）梯形中位线有什么性质？ （3）梯形中位线定理的特点是什么？ （4）怎样计算梯形面积？怎样计算任意多边形面积？（用 投影仪） （结合上面提 出的问题，让学 生计论证明方 法，教师总结）. 这是一个不规 则的多边形面 积计算问题，我 们可以采取作 适当的辅助线 把它分割成三 角形、平行四边 形或梯形，然后 利用这些较熟 悉的面积公式 来计算任意多 边形的面积. 学过 梯 形、 三角 形中 位线 概念 后， 可以 把平 行线 等分 线段 定理 的两 个推 论， 分别 看成 是梯 形、 三角 形中 位线 的判 定定 理． 课题：22.6（2）梯形的中位线 教学目标 1、理解梯形的中位线概念； 2、经历探索梯形中位线性质的过程，体会转化的思想方法； 3、掌握梯形的中位线的性质定理，能运用梯形中位线定理进行计算和论证．教学重点及难点 重点：掌握梯形中位线定理，并能应用定理进行计算和证明； 难点：识图，认识梯形中位线的性质． 教学过程设计 一、情景引入 1、温故知新 （1）结合图形，讲出三角形中位线定义及其性质； 几何语言：因为……，所以……． （2）习题评析 ①联结三角形各边中点得到的三角形，它的周长为原三角形周长的， 面积为原三角形面积的； ②三角形的一条中位线分原三角形所成的一个小三角形与一个梯形的面积 比是； ③以等腰梯形两底的中点及两对角线的中点为顶点的四边形是； ④顺次联结对角线互相垂直的四边形各边中点所成的四边形是． 2、思考：什么是梯形的中位线？梯形中位线有什么性质？ 二、学习新课 1、概念辨析 （1）梯形中位线定义：联结梯形两腰的中点的线段叫做梯形的中位线． 如图，已知点E、F分别是梯形的腰AB、CD中点，则EF为梯形ABCD的 中位线． 探讨1：如何添加辅助线 探讨2：如何利用中点条件添加辅助线？ 探讨3：能否运用三角形的中位线定理得出梯形的中位线定理？ （3）结论1 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． （4）结论2 梯形面积公式：梯形面积＝中位线×高． 2、例题分析 例 1 如图，一把梯子每一横档都互相平行，高度相等，已知最上面两条横档的长度分别为6、7，那么下面几根横档的长度分别为多少？ 【分析】利用梯形中位线定理可以先得出第三条边，其余的就 迎刃而解了． 例2 如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，E 为AB 的中点，AD+BC=DC ． 求证：DE ⊥EC ． 【分析】利用梯形中位线定理解题，即可考虑添加中位线． 由已知条件，联想到利用梯形ABCD 的中位线，并且可知中位线的长是DC 的一半；又梯形中位线与上、下底平行，于是可以从几对等角中获得结论． B B 另外，也有一种常用的添加辅助线方法，可以探讨是否可行． 3、问题拓展 当梯形的上底收缩为一点时，梯形成为三角形．因此可以说，三角形中位线定理是梯形中位线定理的特殊情况． 三、巩固练习 1、联结三角形各边中点得到的三角形，它的周长为原三角形周长的 ；面积为原三角形面积的 ． 2、三角形的一条中位线分原三角形所成的一个小三角形与一个梯形的面积比 ． 知识点回顾（笔记） 证一证 如图，在△ABC 中，点D,E 分别是AB,AC 边的中点. 1 .2 DE BC DE BC =求证：∥， 证法1：证明：延长DE 到F ，使EF=DE ．连接AF 、CF 、DC ． ∵AE=EC ，DE=EF ， ∴四边形ADCF 是_______________． ∴CF ∥AD ,CF=AD ， ∴CF_____BD ,CF_____BD ， ∴四边形BCFD 是____________ ∴DF_____BC ,DF_______BC ， 12 DE DF =又∵， ∴DE_____BC ,DE=______BC. 证法2：证明：延长DE 到F ，使EF=DE ．连接FC ． ∵∠AED=∠CEF ，AE=CE ， ∴△ADE_____△CFE ．（全等） ∴∠ADE=∠_____,AD=_______, ∴CF______AD,∴BD______CF. ∴四边形BCFD 是___________________. ∴DF_______BC. 12DE DF =又∵， ∴DE_____BC ,DE=______BC. 类型1 三角形中位线的定理及运用 例1如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，求AC的长. 例2 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数． 类型2中位线辅助线的构造 例3如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE. 例4. 如图，在△ABC中，AB=AC，CD是AB边上的中线，延长AB到点E，使BE=AB，连接CE．求 证：CD= CE。 《三角形、梯形中位线定理应用练习课》教学设计 一、复习题组 1．知识要点 (1) 如图1，三角形中位线性质定理的条件是， 结论是； 三角形中位线判定定理的条件是， 结论是。 （图1） (2) 如图2，梯形中位线性质定理的条件是， 结论是； 梯形中位线判定定理的条件是， 结论是。 （图2） 2．基本方法 三角形、梯形中位线定理不仅反映了线段的相等关系，也反映了线段间的倍半关系。此外，证明线段相等或倍半关系还有其他方法，你能指出一些其他的常用方法吗？ (1) 全等三角形对应边相等； (2) 等角对等边，等腰三角形“三线合一”性质； (3) 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； (4) 角平分线上的点到角的两边距离相等； (5) 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； (6) 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半； (7) 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的性质； (8) 等腰梯形的两腰相等，两条对角线相等。 系统小结，深刻理解 二、基本题组 1．顺次连结四边形各边中点所得的四边形是； 2．顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是； 3．顺次连结矩形各边中点所得的四边形是； 4．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是； 5．顺次连结正方形各边中点所得的四边形是； 6．顺次连结梯形各边中点所得的四边形是。 7．顺次连结直角梯形各边中点所得的四边形是。 8．顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是。 9．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是菱形； 10．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是矩形； 11．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是正方形 12．已知D 、E 、F 是△ABC 各边的中点，则△DEF 与△ABC 的周长比为，面积比为。 13．如图3，在△ABC 中， D 、E 、F 是AB 的四等分点，D'、E'、F' 是AC 的四等分点，BC=28， 则DD'=，EE' =，FF' = 。 14．如图4，在△ABC 中，D 、E 是AB 边的三等分点，D'、E' 是AC 边的三等分点，若BC=18， 则DD'=，EE' =。 15．如图5，在梯形ABCD 中，AD//BC ，E 、F 是AB 的三等分点，EE' // FF' // BC ，分别交CD 于 E'、F'。若BC=28，AD=10，则EE' =，FF' = 。 （图3） （图4） （图5） 16．直角三角形斜边上的中线与连结两直角边中点的线段的关系是（ ） A ．相等且平分 B ．相等且垂直 C ．垂直平分 D ．垂直平分且相等 17．以等腰梯形两底中点和两条对角线中点为顶点的四边形是（ ） A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形 三、教练题组 例1．已知：如图6，在梯形ABCD 中，AB//CD ，以AD 、AC 为边作□ DC 的延长线交EB 于F 。 求证：EF = FB 。 〖注1〗本题先由学生讨论，拓宽证题思路，再补充、归纳； 〖注2〗本题证法较多，关键是如何添加辅助线，主要方法如下。 （图6） (1)延长EC ，交AB 于点G （如图7）； 三角形、梯形中位线定理应用练习课 一、复习题组 1．知识要点 A 1，三角形中位线性质定理的条件是，(1) 如图结论是； DE三角形中位线判定定理的条件是，CB结 论是。1）（图AD如图2，梯形中位线性质定理的条件是，(2) 结论是；EF梯形中位线判定定理的条件是， CB 2 结论是。（图）2．基本方法三角形、梯形中位线定理不仅反映了线段的相等关系，也反映了线段间的倍半关系。此外，证明线 段相等或倍半关系还有其他方法，你能指出一些其他的常用方法吗？全等三角形对应边相等； (1) (2) 等角对等边，等腰三角形“三线合一”性质；线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；(3) 角平分线上的点到角的两边距离相等；(4) (5) 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；30°角所对的直角边等于斜边的一半；(6) 直角三角形中，(7) 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的性质；(8) 等腰梯形的两腰相等，两条对角线相等。 二、基本题组 1．顺次连结四边形各边中点所得的四边形是；．顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是；2 ．顺次连结矩形各边中点所得的四边形是；3 4．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是；5．顺次连结正方形各边中点所得的四边形是；．顺次连结梯形各边中点所得的四边形是。6 7．顺次连结直角梯形各边中点所得的四边形是。8．顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是。1 / 8 ．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是菱形；9 ．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是矩形；10 11．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是正方形。 系统小结，深刻理解 的周长比为，面积比为。各边的中点，则△DEF与△ABCD、E、F是△ABC 12．已知，AC的四等分点，BC=28的四等分点，D'、E'、F' 是13．如图3，在△ABC中，D、E、F是AB FF' = EE' =，。则DD'=，边的三等分点，若BC=18，边的三等分点，D'、E' 是AC 14．如图4，在△ABC中，D、E是AB ，EE' =。则DD'= CD于是AB的三等分点，EE' // FF' // BC，分别交．如图155，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F FF' = 。AD=10，则EE' =， E'、F'。若BC=28，A AADDD' EDED'E'E'FEFF'E'F'CCCBBB（图5）） （图4） 3 （图．直角三角形斜边上的中线与连结两直角边中点的线段的关系是（）16 D．垂直平分且相等．相等且平分B．相等且垂直C．垂直平分 A ）17．以等腰梯形两底中点和两条对角线中点为顶点的四边形是（．正方形．矩形C．菱形 D B A．平行四边形、教练题组三 □E为边作AD、AC，ACED，以，在梯形例1．已知：如图6ABCD中，AB//CD EB的延长线交于F。DC FCD求证：EF = FB。1 〖注〗本题先由学生讨论，拓宽证题思路，再补充、归纳；BA）6 2 〖注〗本题证法较多，关键是如何添加辅助线，主要方法如下。（图 2 / 8 梯形的中位线教案 重难点分析 本节的重点是中位线定理.三角形中位线定理和梯形中位线定理不但给出了三角形或 梯形中线段的位置关系，而且给出了线段的数量关系，为平面几何中证明线段平行和线段 相等提供了新的思路. 本节的难点是中位线定理的证明.中位线定理的证明教材中采用了同一法，同一法学 生初次接触，思维上不容易理解，而其他证明方法都需要添加2条或2条以上的辅助线， 添加的目的性和必要性，同以前遇到的情况对比有一定的难度. 教法建议 1.对于中位线定理的引入和证明可采用发现法，由学生自己观察、猜想、测量、论证，实际掌握效果比应用讲授法应好些，教师可根据学生情况参考采用 2.对于定理的证明，有条件的教师可考虑利用多媒体课件来进行演示知识的形成及证 明过程，效果可能会更直接更易于理解 教学设计示例 一、教学目标 1.掌握梯形中位线的概念和梯形中位线定理 2.掌握定理“过梯形一腰中点且平行底的直线平分另一腰” 3.能够应用梯形中位线概念及定理进行有关的论证和计算，进一步提高学生的计算能 力和分析能力 4.通过定理证明及一题多解，逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力 5.通过一题多解，培养学生对数学的兴趣 二、教学设计 引导分析、类比探索，讨论式 三、重点和难点 1.教学重点：梯形中位线性质及不规则的多边形面积的计算. 2.教学难点：梯形中位线定理的证明. 四、课时安排 1课时 五、教具学具准备 投影仪、胶片，常用画图工具 六、教学步骤 复习提问 1.什么叫三角形的中位线?它与三角形中线有什么区别?三角形中位线又有什么性质 (叙述定理). 2.叙述平行线等分线段定理及推论1、推论2(学生叙述，教师画草图，如图所示，结 合图形复习). (由线段EF引入梯形中位线定义) 引入新课 梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. 现在我们来研究梯形中位线有什么性质. 如图所示：EF是的中位线，引导学生回答下列问题：(1)EF与BC有什么关系?()(2) 如果，那么DF与FC，AD与GC是否相等?为什么?(3)EF与AD、BG有何关系? ，教师用彩色粉笔描出梯形ABGD，则EF为梯形ABGD的中位线. 由此得出梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 现在我们来证明这个定理(结合上面提出的问题，让学生计论证明方法，教师总结). 已知：如图所示，在梯形ABCD中，. 求证：. 分析：把EF转化为三角形中位线，然后利用三角形中位线定理即可证得. 说明：延长BC到E，使，或连结AN并延长AN到E，使，这两种方法都需证三点共线(A、N、E或B、C、E)较麻烦，所以可连结AN并延长，交BC线于点E，这样只需证即可得，从而证出定理结论. 证明：连结AN并交BC延长线于点E. 又，三角形中位线定理_练习题
三角形、梯形的中位线
三角形中位线定理的证明
梯形中位线教案
沪教版八年级数学-三角形梯形的中位线-学生版讲义
三角形中位线定理证明
三角形 梯形的中位线精典例题
《三角形中位线定理》
中位线定理证明题
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22.6 三角形梯形的中位线(2)
(完整版)人教版八年级下三角形中位线定理
三角形梯形中位线定理练习题
三角形梯形中位线定理教师版
梯形的中位线教案