高考数学经典常考题型第15专题 求函数的单调区间

第15专题训练 函数的单调区间

单调性是函数的一个重要性质,对函数作图起到决定性的作用,而导数是分析函数单调区间的一个便利工具。求一个已知函数的单调区间是每一个学生的必备本领,在求解的过程中也要学会一些方法和技巧。 一、基础知识:

1、函数的单调性:设()f x 的定义域为D ,区间I D ⊆,若对于1212,,x x I x x ∀∈<,有

()()12f x f x <,则称()f x 在I 上单调递增,I 称为单调递增区间。若对于

1212,,x x I x x ∀∈<,有()()12f x f x >,则称()f x 在I 上单调递减,I 称为单调递减区间。

2、导数与单调区间的联系

(1)函数()f x 在(),a b 可导,那么()f x 在(),a b 上单调递增()'

,()0x a b f x ⇒∀∈≥，

此结论可以这样理解:对于递增的函数,其图像有三种类型: ,无论是哪种图形,其上面任意一点的切线斜率均大于零。

等号成立的情况:一是单调区间分界点导数有可能为零,例如:()2

f x x =的单调递增区间为

[)0+∞，

,而()'00f =,另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点,典型的一个例子为()3f x x =在0x =处的导数为0,但是()0,0位于单调区间内。

(2)函数()f x 在(),a b 可导,则()f x 在(),a b 上单调递减()'

,()0x a b f x ⇒∀∈≤，

(3)前面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号,那么由()'

,()x a b f x ∀∈，的符号

能否推出()f x 在(),a b 的单调性呢？如果()f x 不是常值函数,那么便可由导数的符号对应推出函数的单调性。(这也是求函数单调区间的理论基础) 3、利用导数求函数单调区间的步骤 (1)确定函数的定义域 (2)求出()f x 的导函数'

()f x

(3)令'

()0f x >(或0<),求出x 的解集,即为()f x 的单调增(或减)区间

(4)列出表格

4、求单调区间的一些技巧

(1)强调先求定义域,一方面定义域对单调区间有限制作用(单调区间为定义域的子集)。另一方面通过定义域对x 取值的限制,对解不等式有时会起到简化的作用,方便单调区间的求解 (2)在求单调区间时优先处理恒正恒负的因式,以简化不等式

(3)一般可令'

()0f x >,这样解出的解集就是单调增区间(方便记忆),若()f x 不存在常值函

数部分,那么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即可(简化求解的步骤)

(4)若'

()0f x >的解集为定义域,那么说明()f x 是定义域上的增函数,若'

()0f x >的解集为

∅,那么说明没有一个点切线斜率大于零,那么()f x 是定义域上的减函数

(5)导数只是求单调区间的一个有力工具,并不是唯一方法,以前学过的一些单调性判断方法也依然好用,例如:增+增→增,减+减→减,()1-⨯增→减,复合函数单调性同增异减等。如果能够通过结论直接判断,那么就无需用导数来判定。 5、求单调区间的一些注意事项

(1)单调区间可以用开区间来进行表示,如果用闭区间那么必须保证边界值在定义域内。例如函数1

y x

=

的单调减区间为()()0,,,0+∞-∞,若写成[)0,+∞就出错了(0不在定义域内) (2)如果增(或减)区间有多个,那么在书写时用逗号隔开,一定不要用并集的符号。有些同学

觉得不等式的解集是多个部分时用“

”连接,那么区间也一样,这个观点是错误的。并集是

指将两个集合的元素合并到一起成为一个集合,用在单调区间上会出现问题。依然以1y x

=为例,如果写成()()0,,0+∞-∞,那么就意味着从合并在一起的集合中任取两个变量,满足单

调减的条件。由1

y x

=性质可知,如果在()()0,,,0+∞-∞两个区间里各取一个,是不满足单调减的性质的。 6、二阶导函数的作用:

①几何意义:导数的符号决定原函数的单调性,对于()"

f

x 而言,决定的是()'f x 的单调性。当

()''0f x >时,()'f x 单调递增,意味着()'f x 随x 的增大而增大,由于导数的几何意义为切线

斜率,故切线斜率k 随x 的增大而增大；同理,当()''

0f

x <时,()'f x 单调递减,则切线斜率k

随x 的增大而减少。那么在图像上起到什么作用呢？

单调增有三种: 其不同之处在于切线斜率随自变量变大的变化不同,所以如果说()'

f

x 是决定函数单调性的,那么()''f x 在已知单调性的前提下,能够告诉我

们是怎样增,怎样减的,进而对作图的精细化提供帮助。

(1)当()"0f x >,其图像特点为: 我们称这样的函数为下凸函数 (2)当()"0f x <,其图像特点为: 我们称这样的函数为上凸函数

②代数意义:当通过()'f x 无法直接判断符号时,可通过二阶导函数先确定一阶导函数的单调性,再看能否利用条件判断符号。 二、典型例题:

例1:下列函数中,在()0,+∞上为增函数的是( )

A. ()sin2f x x =

B. ()x

f x xe = C. ()3

f x x x =- D. ()ln f x x x =-+

思路:本题只需分析各个函数在()0,+∞上的单调性即可。A 选项()sin2f x x =通过其图像可知显然在()0,+∞不单调；B 选项()()'

1x x x f

x e xe x e =+=+,当()0,x ∈+∞时,()'0f x >,

所以()f x 在()0,+∞单调递增；C 选项()2

31=333f x x x x ⎛=--+ ⎝⎭⎝⎭‘

可得()f x 在

3⎛ ⎝⎭单调递减,在3⎛⎫+∞ ⎪

⎝⎭

单调递增；D 选项()'

111x f x x x -=-+=,可得()f x 在()0,1单调递增,在()1,+∞单调递减。综上,B 符合条件

答案:B

例2:函数()()

212

log 4f x x =-的单调递增区间是( )

A. ()0,+∞

B. (),0-∞

C. ()2,+∞

D. (),2-∞- 思路:先分析()f x 的定义域:()

()2

40,22,x x ->⇒∈-∞-+∞,再观察解析式可得

()f x 可视为函数212

log ,4y t t x ==-的复合函数,根据复合函数单调性同增异减的特点,可

分别分析两个函数的单调性,对于12

log y t =而言,y 对t 是减函数。所以如要求得增区间,则

24t x =-中t 对x 也应为减函数。结合定义域可得()f x 的单调增区间为(),2-∞-

答案:D

例3:求函数()()

3

2

333x

f x x x x e

-=+--的单调区间(2009宁夏,21题(1))