正整数n次幂的个位数.
有理数的乘方(11)-完整版课件
3．负数也可以用科学记数法表示，只需在 a×10n(1≤a<10) 前面加上“－”号即可．
解题指导
【例 1】 据报道，某市截至去年 4 月末累计发放社会保
障卡 12630000 张.12630000 用科学记数法表示为( )
学习指要
知识要点
1．科学记数法： 把一个数表示成 a(1≤|a|<10)与 10 的幂相乘的形式，叫 做科学记数法，记做 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 是正整数．
2．一般地，10 的 n 次幂，在 1 的后面有 n 个 0.
重要提示
1．一个数用科学记数法表示成 a×10n 时，确定 n 的值有 两种方法：第一种方法是将这个数的整数部分的位数 减去 1 就是 n；第二种方法是小数点向左移动的位数就 是 n.
【解析】 (1)(1.5×107)÷(5×102)＝30000＝3×104(名)． (2)(1.5×107)÷10＝1.5×106(人)． (3)每个人都应伸出援助之手，为失学少年献上自己的一点 爱心，作为学生，应尽可能节约零花钱，为帮助贫困学生 尽自己的一份力量(答案不唯一，合理即可)．
A. 0.1263×108
B. 1.263×107
C. 12.63×106
D. 126.3×105
【解析】 12630000＝1.263×107.
【答案】 B
反思
科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜1ห้องสมุดไป่ตู้， n 为整数，n 的值为这个数的整数位数减 1.
【例 2】 下列用科学记数法表示的数，原数各是什么数？
初中数学竞赛讲座——数论部分1(进位制)
第一讲正整数的表示及进位制一、基础知识：1．我们通常接触的整数都是“十进制”整数，十进制计数法就是用0，1，2…9十个数码，采用“逢十进一”的法则进行计数的方法。
例如1999就是一个一千，9个一百，9个十，9个1组成的，故1999这个数也可以表示为：1999=1×1000+9×100+9×10+9底数为10的各整数次幂，恰好是十进制数的各个位数：100=1(个位上的数—第1位)， 101=10(十位上的数---第2位)，102=100(百位上的数---第3位)，…10n(第n+1位上的数)故1999=1×103+9×102+9×101+9×1003na记作：3na=10n-1+…+102a n-2+10其中最高位a1≠0，即，其它则是0≤a1，a．各位上的数字相同的正整数记法：999=1000－1104－1，∴999n个＝10n-1111n个＝1019n-，333n个＝103n555n个＝5(101)9n-解答有关十进制数的问题，常遇到所列方程，少于未知数的个数，这时需要根据示0到9的整数这一性质进行讨论。
．二进制及其它进制二进制即计数法就是用0，1两个数码，采用“逢二进一”的法则进行计数的方法。
例如二进制中的111记为(111)2111=1×22+1×2+1=73na )2记作：3na=2n-1××a3+…+22×a其中最高位a1≠0，，其它则是0≤a1，a2，位数(n为正整数3na )b记作：3na=b n-1××a3+…+b2×a其中最高位a1≠0，，其它则是0≤a1，（一）十进制转二进制（整数部分）辗转相除直到结果为，将余数和最后的60/2 = 30 余 0 30/2 = 15 余 0 15/2 = 7 余 1 7/2 = 3 余 1 3/2 = 1 余 1所以十进制数60转为二进制数即为 (11100)2 （二）十进制小数转换为二进制小数 方法：乘2取整，顺次排列。
完全平方数教案
课题：完全平方数授课时间：10月29日一、本课知识点和能力目标1．知识点：个位数的计算或判断，需要掌握由一般到特殊的归纳思想、方法，通过知识的传授培养学生的数学能力。
完全平方数是一种特殊的整数，有其独特的性质，通过学习，学生要学会判断一个数是否完全平方数，并能利用完全平方数的性质解决一些数学问题。
2．能力目标：本讲采用举例的办法，介绍以帮助同学们轻松地进行计算，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。
二、数学思想：一般到特殊，分类讨论思想。
三、本次授课节次及内容安排第1课时：个位数的判定。
第2课时：完全平方数第3课时：典型例题剖析第4课时：课堂反馈.四．课外延伸、思维拓展第一课时[知识要点]个位数知识：1.整数之和（差）的个位数等于其个位数之和（差）。
2.整数之积的个位数等于其各个因数的各位数之积。
3.正整数的幂的个位数有一定的规律。
(a)n次幂后，0，1，5，6的个位数保持不变。
(b)个位数为4，9的数，n次幂后的个位数以2为周期变化。
(c) 个位数为2，3，7，8的数，n次幂后的个位数以4为周期变化。
【经典例题】19991.1997例求的个位数。
答案：3。
533319981998例试证：（）是的倍数；（）是的倍数。
-+2.153********答案：（1）0；（2）3。
100011000210003例数的个位数字是什么？3.3713答案：919991996=例求的个位数字。
a a4.1997,答案：1尝试练习：338778199819992000200120022003321381.3.(2000~2001)2.7887_______?()3..237_______?(1999)4.200120022003_______?(2001)5.6(7317)+⨯⨯++⨯-求的個位數字香港青少年數學精英選拔賽的個位數字是第一屆華羅庚杯香港小學精英賽的個位數字是年香港數學奧林匹克的個位數字是年香港數學奧林匹克的個2111_______?6.310?÷位數字是的餘數是多少 答案：（1）3； （2）1； （3）8； （4）2； （5）2；（6）7第二课时[知识要点]如果n 是一个整数，则n 2就叫完全平方数。
初中数学竞赛：十进制的记数法
初中数学竞赛：十进制的记数法【内容提要】1. 十进制的记数法就是用0，1，2…9十个数码记数的方法，位率是逢十进一。
底数为10的各整数次幂，恰好是十进制数的各个位数：100=1(个位数—第1位)， 101=10(十位上的数---第2位)，102=100(百位上的数---第3位)，…10n (第n+1位上的数)例如54307记作5×104+4×103+3×102+0×101+7×102、十进制的n 位数(n 为正整数)，n n a a a a 321 记作：10n-1a 1+10n-2a 2+10n-3+…+102a n-2+10a n-1+a n其中最高位a 1≠0，即0<a 1≤9，其它是0≤a 1,a 2,a 3…a n ≤93、各位上的数字相同的正整数记法：例如∵999=1000－1＝103－1，9999＝104－1，∴99999个n ＝10n -1 11111个n ＝9110-n ， 33333个n ＝3110-n ， 55555个n ＝()91105-n4、 解答有关十进制数的问题，常遇到所列方程，少于未知数的个数，这时需要根据各位上的数字都是表示0到9的整数，这一性质进行讨论。
【例题】例1. 一个六位数的最高位是1，若把1移作个位数，其余各数的大小和顺序都不变，则所得的新六位数恰好是原数的3倍，求原六位数。
解：设原六位数1右边的五位数为x,那么原六位数可记作1×105＋x ，新六位数为10x ＋1，根据题意，得 10x ＋1＝3（1×105＋x ） 7x=299999 x=42857∴原六位数是142857例2. 设n 为正整数，计算 99999个n × 99999个n ＋199999个n 解：原数＝（10n –1）×（10 n –1）+1×10n +10n －1 ＝102n －2×10n +1+10n +10n －1＝102n例3.试证明12，1122，111222，……， 1111个n 2222个n 这些数都是两个相邻的正整数的积 证明：12＝3×4， 1122＝33×34，111222＝333×334注意到333×334＝333×（333＋1）＝31-103×（31-103＋1） 由经验归纳法，得1111个n 2222个n ＝9110-n ×10n +()91102-n ＝3110-n （310n ＋32） ＝3110-n （)13110+-n 上述结论证明了各数都是两个相邻的正整数的积例4. 试证明：任何一个四位正整数，如果四个数字和是9的倍数，那么这个四位数必能被9整除。
幂次叠加运算公式
幂次叠加运算公式先简单介绍一下幂次叠加运算的基本公式：幂次，也叫偶数。
由于幂数本身是一个实数，所以只要注意以下两点就能很好地使用幂次叠加运算公式：其中 i代表的是“i”中某个数位（一元）上的个数（即 n个位数）。
该数位数有 n种: N种不同的位数（如：等比数位数); n个等比数位数（位数);数位数和位数等等而 n次幂（k次幂）是一种非常大数位数（n个）的运算法则。
这就是所谓“幂”它的本意！其具体含义是：当 n个数位小数由幂级数的个数位开始递增的(n)次之和叫做幂次运算。
由于是线性的平方（等位函数）所以：那么如果每一位数 a是10+1= b?在实际应用中用到比较少了（例如:1=(x+2) y+1)这就是幂次叠加运算公式。
其基本公式如下：例如: A有两个分数组成一个2×2=3的复数组(n)(等比数位数）。
其中 n指的是总数位数最大的那一个数值: a=3+ b (x)* c=2 x x+3 x x+2+3 x x=10......0* x+1/3平方^ n这个数位数是一个函数（用多项式表示).它还有几个其他形式: a= X/B等等其他形式！所以幂次就是我们日常生活中所说的“十数位”运算方法了！我们就可以利用这一公式计算出某一个问题中求解所需要的单位数位号: A x* Y=(a i+ b)(2- n)+2 y+ c}并且最后得到结果: c=3 k元。
如果不考虑 n 次幂指数就是一大堆数字之和除以 n再除以 c。
在数学领域中这又是一个非常重要的法则！一、幂的基本运算过程根据幂系数的不同可以将运算过程分为两部分：第一部分是幂级数的运算，即当 n个数位上的小数在其(n+1)-2-1-2-1、2-2-1后就开始递减到0了。
这就意味着我们要用到“幂”这个算式将这个过程简化为两部分：除法。
首先对于一个整数来说除以2会得到3以内（即两个半和几个数字相加得总和为1)等于4再减去1等于4这个算式叫幂级除法！由于是一个幂级数所以对分乘法就用到(2-1+2-1+2-1-2…+2)这种乘法叫做幂次叠加（除法）是它的核心！所以当要除以 N时我们要先用幂级幂减去次序把除法变为次幂运算！最后得到结果：如图所示：将其(2-4+2-2)×2-2+3-1=8 (也可称为幂数乘法）这样我们就得到了这个等式！也称幂级法！即用加法法则或乘法法则所得出的结果减去它所对应得到的结果，与乘法相对应！将乘法和除法相结合可得出一些有意义的结果！我们一起来看一下这个简单过程吧！首先把第一部分所列的乘法运算去掉然后剩下两种运算过程：减除（也叫减除）和除法运算结果!#程序#2#<计算机#(1+2+3)在计算结果时因为所减除的都是整数都等于3所以称为幂次叠加运算。
菲翔学校七年级数学有理数的乘方及混合运算浙江知识精讲 试题
墨达哥州易旺市菲翔学校七年级数学有理数的乘方及混合运算【本讲教育信息】 一.教学内容： 有理数的乘方及混合运算 二.重点、难点：1、理解乘方、底数、指数、幂等概念，会利用乘方的意义进展计算。
2、会用科学记数法表示绝对值较大的数。
3、理解有理数混合运算的运算顺序，能进展混合运算。
4、利用有理数混合运算解决简单的实际问题。
【教学过程】 〔一〕知识要点1、求n 个一样因数a 的积的运算叫做乘方，记作“a n〞，读作a 的n 次幂〔或者a 的n 次方〕，其中a 叫做底数，n 叫做指数，乘方的结果a n叫做幂。
2、乘方运算的符号法那么：正数的任何次幂是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
3、零的任何正整数次幂都是零，00没有意义；1的任何次幂都是1，－1的奇次幂都是－1，－1的偶次幂都是1。
4、科学记数法106。
5、一般地，10的n 次幂，在1的后面有n 个0。
重要提示1、一个数可以看成这个数的本身的一次方，例如6就是61，a 就是a 1，指数1通常略不写。
2、要分清〔－a 〕n与－a n和〔ba〕n与b a n 的区别。
〔－a 〕n 表示n 个－a 相乘，而－a n表示n 个a 相乘的积的相反数；〔b a 〕n表示n 个ba相乘，而b a n 表示a 的n 次幂与b 的商。
3、当底数是负数或者分数时，乘方的表示要先用括号将底数括上，再在括号的右上角写明指数，例如〔－6〕4不能写成－64，〔31〕3不能写成313。
4、由乘方运算符号法那么得知：互为相反数的两个数，它们的偶次幂相等，奇次幂仍旧互为相反数。
5、用科学记数法可以简洁地表示一些绝对值较大的数，将大于10的数记作a ⨯10n的形式，其中1≤a <10，n 是正整数。
6、一个数的科学记数法中，10的指数比原数的整数局部的位数少1，如1234567＝ 3456789⨯107，其中原数的整数局部的位数是8位，用科学记数法表示后，10的指数就是7。
2024年秋北师大七年级数学上册2.4.1 有理数的乘方(第1课时)(课件)
探究新知
计算下列各数
2 3
2，22 它们一样吗？说说它们的意义. 3
2 3
2
=
23×23=49
，表示
2 3
的平方．
-
2 3
2
呢？
−
4 9
22 3
=
2×2 3
=43 ，表示2的平方再除以3．
-232 呢？
−
4 3
思考:它们的底数分别是什么?
乘方的计算
这种求n个相同因数的积的运算 叫做乘方，乘方的结果叫做幂.
1.负数的奇次幂是负数，负数的 偶次幂是正数.
2.正数的任何正整数次幂都是正 数，0的任何正整数次幂都是0.
课后作业
作业 内容
教材作业 从课后习题中选取
自主安排 配套练习册练习
−
1 4
=116
连接中考
1. （-1）2等于（ B ）
A．-1
B．1
C．-2
D．2
2. 32可表示为（ C ）
A．3×2
B．2×2×2
C．3×3 D．3+3
课堂检测
基础巩固题
1.关于-74的说法正确的是( C )
A.底数是-7
B.表示4个-7相
乘
C.表示4个7相乘的相反数
D.表示7个-4相乘
2.计算（-3）2的结果等于（ C ）
2 3
的2 底数是2，22 的底数是2．它们的底数是不相同的． 33
探究新知 练一练 （1）（-2）10的底数是-_2__，指数是 1_0___，读作-_2_的__十__次__方____. （2）x m 表示_m___个__x___相乘,指数是_m_____,底数是_x______,
初中数学竞赛辅导资料(5)n次方的个位数
初中数学竞赛辅导资料（5）a n 的个位数甲内容提要.1. 整数a 的正整数次幂a n ,它的个位数字与a 的末位数的n 次幂的个位数字相同。
例如20023与23的个位数字都是8。
2. 0，1，5，6，的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身。
例如57的个位数是5，620的个位数是6。
即24k+1与21，24K ＋2与22，24K ＋3与23，24K ＋4与24的个位数是相同的（K 是正整数）。
3和7也有类似的性质。
4. 4，8，9的正整数次幂的个位数，可仿照上述方法，也可以用4＝22，8＝23，9＝32转化为以2、3为底的幂。
5. 综上所述，整数a 的正整数次幂的个位数有如下的一般规律：a 4K ＋m 与a m 的个位数相同(k,m 都是正整数。
乙例题例1 20032003的个位数是多少？解：20032003与32003的个位数是相同的，∵2003＝4×500＋3，∴32003与33的个位数是相同的，都是7，∴2003的个位数是7。
例2 试说明632000＋1472002的和能被10整除的理由解：∵2000＝4×500，2002＝4×500＋2∴632000与34的个位数相同都是1，1472002与72的个位数相同都是9， ∴632000＋1472002的和个位数是0，∴632000＋1472002的和能被10整除。
例3 K 取什么正整数值时，3k ＋2k 是5的倍数？5，∵a m与a4n+m的个位数相同（m,n都是正整数，a是整数）;∴当K为任何奇数时，3k＋2k是5的倍数。
丙练习51，在括号里填写各幂的个位数（K是正整数）220的个位数是（）45的个位数是（）330的个位数是（）87的个位数是（）74K+1的个位数是（）311＋79的个位数是（）216×314的个位数是（）32k-1＋72k-1的个位数是（）72k－32k的个位数是（）74k-1－64k-3的个位数是（）7710×3315×2220×5525的个位数是（）2，目前知道的最大素数是2216091－1，它的个位数是＿＿＿。
科学计数法
科学记数法一、知识要点1．科学记数法：把一个数表示成a(1≤|a|<10)与10的幂相乘的形式，叫做科学记数法，记做a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n是正整数．2．一般地，10的n次幂，在1的后面有n个0.二、重要提示1．一个数用科学记数法表示成a×10n时，确定n的值有两种方法：第一种方法是将这个数的整数部分的位数减去1就是n；第二种方法是小数点向左移动的位数就是n．2．把用科学记数法a×10n表示的数化成原数时，10的指数是几，就将a的小数点向右移几位，不足的位数用0补充．3．负数也可以用科学记数法表示，只需在a×10n(1≤a<10)前面加上“－”号即可．4．科学记数法a×10n中n的值为整数．【例1】用科学记数法表示下列各数：(1)2014年“原创新春祝福微博大赛”作品充满了对马年的浓浓祝福，主办方共收到原创祝福短信作品62800条，62800＝________．(2)－21400.8＝________．【例2】下列用科学记数法表示的数，原数各是什么数？(1)3.14×106．(2)－5.03×104．【变式】1．下列用科学记数法表示的数，原数各是什么数？(1)3.2×104＝．(2)－5.21×105＝．(3)2.015×103＝．2．节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人．3亿5千万人用科学记数法表示为()A．3.5×107人B．3.5×108人C．3.5×109人D．3.5×1010人3．我国某年的石油用量为3.1×108 t，则它的原数为()A．310000000 kg B．3100000000 kg C．31000000000 kg D．310000000000 kg 4．计算(结果仍用科学记数法表示)：(1)3.8×103－2.6×102. (2)(－8×104)×(1.3×103)．(3)(9.6×105)÷(3×103)．5．计算(－2)2014＋(－2)2015的结果是()A．－1 B．－2 C．－2201D．22014近似数一、知识要点1．准确数与近似数：与实际完全符合的数称为准确数．与实际接近的数称为近似数．2．一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．3．电子计算器的种类：按功能分为简单计算器、科学计算器和图形计算器．二、重要提示1．注意：近似数中后面的0不能省略不写，如3．78与3．780是不同的，因为它们的精确度不同．对同一个数取不同的近似数，精确度不同．2．对较大的数取近似值时，结果一般要用科学记数法来表示．3．对于用科学记数法表示的数a×10n，要说明它精确到哪一位时，需把a×10n写回原数才能指出它精确到哪一位，即a中最后一个数字在写回原数后，位于哪一位，我们就说a×10n 精确到哪一位，例如，3．1×104精确到千位，而不是精确到十分位．4．对于以百、千、万、十万、百万、千万、亿为单位的近似数的精确位数，需写回原数才能指出它精确到哪一位，如8．5亿，不是精确到0.1(或十分位)，而是精确到千万位．5．各种类型的计算器在使用时，按键的方法不尽相同，可参照说明书进行操作．但在进行加、减、乘、除四种运算时按键方法通常是一样的．计算器能够先算乘方，再算乘除，最后算加减，所以做混合运算时，按键顺序与书写顺序完全一样，含有括号的应使用括号键改变运算顺序．【例1】按括号内的要求，求下列各数的近似数：(1)86.418(精确到十分位)．(2)3.1875(精确到千分位)．(3)0.5649(精确到0.01)．【例2】用四舍五入法，按要求对下列各数取近似值，并用科学记数法表示：(1)295347(精确到百位)．(2)4037.56(精确到十位)．【变式】1．下列说法正确的是()A．近似数0.010只有一个有效数字B．近似数4.3万精确到千位C．近似数2.8与2.80表示的意义相同D．近似数43.0精确到个位2．我们知道地球的半径大约为6.4×103 km，下列对近似数6.4×103描述正确的是() A．精确到十分位B．精确到个位C．精确到百位D．精确到千位3．近似数3.50所表示的精确度的取值范围是()A. 3.495≤x＜3.505B. 3.40≤x＜3.60C. 3.495≤x≤3.605D. 3.500≤x＜3.60。
自幂数判定c语言
自幂数判定c语言一、什么是自幂数自幂数，也被称为阿姆斯特朗数，是指一个 n 位数的各个数字的 n 次幂之和等于该数本身的数。
例如，153 是一个自幂数，因为1³ + 5³ + 3³ = 153。
二、自幂数判定算法判定一个数是否为自幂数，需要进行以下步骤：1.将给定数按位拆解为个位、十位、百位…的数字。
2.计算每个数字的 n 次幂。
3.将计算结果相加。
4.判断相加结果是否等于原始数。
三、C语言实现自幂数判定算法以下是使用 C 语言编写的自幂数判定算法的示例代码：#include <stdio.h>#include <math.h>int isArmstrongNumber(int number) {int originalNumber, remainder, n = 0, result = 0;originalNumber = number;// 计算数字的位数while (originalNumber != 0) {originalNumber /= 10;++n;}originalNumber = number;// 计算每个数字的 n 次幂并求和while (originalNumber != 0) {remainder = originalNumber % 10;result += pow(remainder, n);originalNumber /= 10;}// 判断结果与原始数是否相等if (result == number) {return 1;} else {return 0;}}int main() {int number;printf("请输入一个数字：");scanf("%d", &number);if (isArmstrongNumber(number)) {printf("%d 是自幂数。
(七年级)初一平方差公式专项练习试题第1卷_附答案_北师大,人教版等通用版本
35．设a1=32﹣12，a2=52﹣32，……，an=（2n+1）2﹣（2n﹣1）2，（n为正整数）
（1）试说明an是8的倍数；
（2）若△ABC的三条边长分别为ak、ak+1、ak+2（k为正整数）
①求k的取值范围．
②是否存在这样的k，使得△ABC的周长为一个完全平方数，若存在，试举出一例，若不存在，说明理由．
40．计算： … 的值．
41．化简．
(1)( x- y)( x+ y) ( x2+ y2) ( x4+ y4)·…·(x16+ y16)；
(2)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)．
42．计算．
(1)(0.25 x - )(0.25 x +0.25)；
(2)(x-2 y)(-2y- x)-(3x+4 y)(-3 x +4 y)；
17．(m+n+p+q) (m-n-p-q)＝（__________）2-（__________）2．
18．计算： _______________.
19．计算： _____________.
20．若 ，则 的值为__________.
21．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是__________（用a、b的代数式表示）．
A．（x+1）（x-1）B．（a+b）（-a-b）C．（-x-2）（x-2）D．（b+a）（a-b）
9．已知 ，则a2－b2－2b的值为
A．4B．3C．1D．0
2019年秋浙教版初中数学七年级上册《有理数的运算》单元测试(含答案) (191)
浙教版初中数学试卷2019-2020年浙教版七年级数学上册《有理数的运算》精选试题学校：__________一、选择题1．(2分)现规定一种新的运算“※”：a ※b ＝a b ，如3※2＝32＝8，则3※12等于（ ） A ．18 B ．8 C ．16 D ．322．(2分)形如d cb a 的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为d c b a ＝ad －bc ，依此法则计算4132−的结果为（ ） A ．11 B ．－11 C ．5 D ．－23．(2分)设a 是大于 1 的有理数，若a 、23a +、213a +在数轴上的对应点分别记作 A ．B 、C ，则A 、B 、C 三点在数轴上自左至右的顺序是（ ）A ．C 、B 、A B ．B 、C 、A C ．A 、B 、CD ．C ．A 、B4．(2分)近似数5．60所表示的准确数的范围是（ ）A ．5．595至5．605之间B ．5．50至5．70之间C ．5．55至5．64之间D ．5．600至5．605之间5．(2分)用四舍五入法对60340取近似数，保留两个有效数字，结果为（ ）A ．6．03×104B ．6．0×104C ．6×104D ．6．0×1036．(2分)某校有在校师生共2000人，如果每人借阅10册书，那么中国国家图书馆共2亿册书，可以供多少所这样的学校借阅? （ ）A ．100000所B ．10000所C ．1000所D ．2000所7．(2分)10 个不全相等的有理数之和为0，这 10 个有理数之中（ ）A ．至少有一个为0B ．至少有5个正数C ．至少有一个负数D ．至少有6个负数二、填空题8．(2分)28++ =2x xx+．(___)9．(2分)找出满足下列条件的数(每空各填一个即可)：(1)加上-8，和为正数： .；(2)乘以-8，积为正数： .10．(2分)根据“二十四点”游戏规则，3，4，—6，10每个数用且只能用一次，用有理数的混合运算方法（加、减、乖、除、乘方）写出一个算式：_______ ______________，使其结果等于24．11．(2分)（-2）3的底数是，指数是，幂是．12．(2分)○中填入最小的正整数，△中填入最小的非负数，□中填人大于-5，而小于 4 的整数的个数，并将计算结果填在下边的横线上.( ○+△)×□= ．13．(2分)0．0036×108整数部分有位，-87．971整数部分有位，光的传播速度300000000 m／s是位整数．14．(2分)105在1后面有 0，10n在1后边有个0．15．(2分)12 的相反数与- 5 的绝对值的和是．16．(2分)-(-2)-(-8)+（-3)-（+7)写成省略加号的和式是．17．(2分)两个有理数相乘，若把一个因数换成它的相反数，所得的积是原来积的．18．(2分) 在存折中有 3000 元，取出 2600 元，又存入500 元后，如果不考虑利息，存折中还有元.三、解答题19．(8分)已知111111b=，试试看，你能比较a、b的大小吗？a=，22299920．(8分)一支考古队在某地挖掘出一枚正方体古代金属印章，其棱长为 4.5厘米，质量为1069克，则这枚印章每立方厘米约重多少克(结果精确到0.01克)？21．(8分) 将下列表格补充完整：21 22 23 24 25 26 27 28 29 …2 4 8 16… 从表中你能发现 2的n 次幂的个位数有什么规律？20052的个位数是什么数字？22．(8分)计算下列各题：（1）()2523−⨯− （2） 4211(10.5)[2(3)]3−−−⨯⨯−− （3）—4÷0.52＋(—1.5)3×(32)223．(8分)用计算器求值：(1)0．84÷4+(-0．79)×2；(2)49．75-0．252；(3)2．7×(0．5+6．3)-25÷4 5(4)12×(5．63-3．31)×112-25．24．(8分)有一种“24 点”的扑克牌游戏规则是：任抽4张牌，用各张牌上的数和加、减、乘、除四则运算(可用括号)列一个算式，先得计算结果为“24”者获胜(J 、Q 、K 分别表示11、12、13，A 表示 1). 小明、小聪两人抽到的 4 张牌如图所示，这两组牌都能算出“24 点”吗？为什么？如果算式中允许包含乘方运算，你能列出符合要求的不同的算式吗？25．(8分)滴水成河，若20滴水流在一起为1cm 3，现有一条河流总体积为l 万m 3．试求该河流相当于多少滴具有相同体积的水滴?26．(8分)据测算，我国每天因土地沙漠化造成的经济损失为 1.5亿元，若一年按365天计算，用科学记数法表示我国一年土地沙漠化造成的经济损失为多少元.27．(8分)计算下列各题：(1） 12-(-16 )+(-4)-5；(2）211[2(3)]25−⨯−−； (3）213()48348−−⨯； (4）21545(2)1()2−−−⨯−−÷−.28．(8分)用简便方法计算： (1)12114()()(1)(1)(1)23435−⨯−⨯−⨯−⨯− (2 ) (-5.25 )×(-4.73 )-4.73 ×(-19.75)-25×(-5.27).29．(8分)计算： (1)24(2)(3)79−+− (2)5(51)(27)7++− (3) (-13)+(+5)+(-2) (4)7| 3.125|(5)8−−+−30．(8分)计算：(1) (1)2(3)4(99)100−++−+++−+；(2)2(4)6(8)18(20)+−++−+++−【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A2．A3．B4．A5．B6．B7．C二、填空题8．16，49．答案不唯一，如：(1)10；(2)-110．3×（4-6+10）（答案不惟一）11．12．813．6,2,914．5,n15．-716．2+8-3-717．相反数18．900三、解答题19．∵1111111119999111a ==⨯，2111111111(111)111111b ==⨯，且1111119111<，从而知a b < 20．正方体的棱长为 4.5 厘米，所以其体积为34.5立方厘米.因印章的重量为1069克，因此这枚印章每立方厘米的重量约为31069 4.511.73÷≈（克)21．表中依次填32、64、128、256、512.当n= 1，2，3，4，5，6，7，…时，2的n 次幂的个位数依次为 2，4，8，6，2，4，8，…，按此规律循环.2 005除以4余数为 1，因此20052的个位数与12的个位数相同，是2. 22．（1）-47；（2）16；（3）-17.5 23．(1)-1.37 (2)796 (3)12. 11 (4)108.3624．(1)小明抽到的牌可以这样算：①(3-2+5)×4=24，②(3+4+5)×2 = 24 ,③ 52 - 4 + 3 = 24 , ④5+3+42 =24 ,允许包含乘方运算时可列式为 5+3+24 =24 (2)小聪抽到的牌可以这样算：①(11 + 10)+(5-2) =24 ,②11×10÷5+2 = 24 ,③11×2+10÷5=24，④lO ÷5×11+2=24，允许包含乘方运算时可列式为 52-11+10 =2425．2×1O 11滴26．8101.510365 5.47510⨯⨯=⨯（元)答：我同一年土地沙漠化造成的经济损失为105.47510⨯元27．(1)19； (2) 0；(3) 2；(4)-928．(1)35(2)250 29．(1)46563− (2)2237(3)-10 (4)-9 30．(1)50 (2)-10。
初中数学培优辅导资料(1-10)讲
初中数学竟赛辅导资料(1)数的整除（一）内容提要：如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.能被7整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100－2＝98（能被7整除） 又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除如 1001 100－1＝99（能11整除） 又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。
求x,y解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=3例2己知五位数x 1234能被12整除， 求X 解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当1＋2＋3＋4＋X 能被3整除时，x=2，5，8 当末两位X 4能被4整除时，X ＝0，4，8 ∴X ＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可， ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
练习１．分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296987能被3整除，那么a=_______________2．若四位数a12X能被11整除，那么X＝__________-3．若五位数3435m能被25整除4．当m=_________时，59610能被7整除5．当n=__________时，n6．能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7．能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________ 8．8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________9．从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个。
初中数学竞赛辅导资料(70)
初中数学竞赛辅导资料(70)正整数简单性质的复习甲. 连续正整数一. n 位数的个数：一位正整数从1到9，共9个，两位数从10到99，共90个，三位数从100到999共9×102个，那么 n 位数的个数共__________.(n 是正整数)练习：1. 一本书共1989页，用0到9的数码，给每一页编号，总共要用数码＿＿＿个.2. 由连续正整数写成的数1234……9991000是一个_______位数；100110021003……19881989是_______位数.3. 除以3余1的两位数有____个，三位数有____个，n 位数有_______个.4. 从1到100的正整数中，共有偶数____个，含 3的倍数____个；从50到1000的正整数中，共有偶数____个，含3的倍数____个.二. 连续正整数的和：1+2+3+……+n=(1+n)×2n . 把它推广到连续偶数，连续奇数以及以模m 有同余数的连续数的和.练习：5.计算2+4+6+……+100=__________.6. 1+3+5+……+99=____________.7. 5+10+15+……+100=_________.8. 1+4+7+……+100=____________.9. 1+2+3+……+1989其和是偶数或奇数？答______10. 和等于100的连续正整数共有______组，它们是______________________.11. 和等于100的连续整数共有_____组，它们是__________________________.三. 由连续正整数连写的整数，各位上的数字和整数 123456789各位上的数字和是：(0+9)+(1+8)+…+(4+5)=9×5=45；1234…99100各位数字和是(0+99)+(1+98)+…+(49+50)+1=18×50+1=901.练习：12. 整数 1234……9991000各位上的数字和是_____________.13. 把由1开始的正整数依次写下去，直到第198位为止：44443444421ΛΛ位198011121234567891这个数用9除的余数是__________. (1987年全国初中数学联赛题)14. 由1到100这100个正整数顺次写成的数1234……99100中：① 它是一个________位数；② 它的各位上的数字和等于________；③ 从这一数中划去100个数字，使剩下的数尽可能大，那么 剩下的数的前十位是___________________________.四.连续正整数的积：① 1×2×3×…×n 记作n ! 读作n 的阶乘.② n 个连续正整数的积能被n !整除.如：2!|a(a+1), 3!|a (a+1)(a+2), n !|a(a+1)(a+2)…(a+n －1). a 为整数.③ n ! 中含有质因数m 的个数是⎥⎦⎤⎢⎣⎡m n +⎥⎦⎤⎢⎣⎡2m n +…+⎥⎦⎤⎢⎣⎡i m n . [x]表示不大于x 的最大正整数，i=1,2,3… m i ≤n如：1×2×3×…×10的积中，含质因数3的个数是：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡2310310=3+1=4 练习：15. 在100!的积中，含质因数5的个数是：____16.一串数1，4，7，10，……，697，700相乘的积中，末尾共有零_______个(1988年全国初中数学联赛题)17. 求证：10494 | 1989!18. 求证：4! | a(a 2－1)(a+2) a 为整数五. 两个连续正整数必互质练习：19. 如果n+1个正整数都小于2n, 那么必有两个是互质数，试证之.乙. 正整数十进制的表示法一. n+1位的正整数记作：a n ×10n +a n －1×10n －1+……+a 1×10+a 0其中n 是正整数，且0≤a i ≤9 (i=1,2,3,…n)的整数, 最高位a n ≠0.例如：54321=5×104+4×103+3×102+2×10+1.例题：从12到33共22个正整数连写成A=121314…3233. 试证：A 能被99整除.证明：A=12×1042+13×1040+14×1038+……+31×104+32×102+33=12×10021+13×10020+14×1019+……+31×1002+32×100+33.∵ 100的任何次幂除以9的余数都是1，即100 n =(99+1) n ≡1 (mod 9)∴ A=99k+12+13+14+……+31+32+33 (k 为正整数 )=99 k+(12+33)+(13+32)+…+(22+23)=99k+45×11=99k+99×5.∴A 能被99整除.练习：20. 把从19到80的连结两位数连写成19202122…7980.试证明这个数能被1980整除二. 常见的一些特例 43421Λ99999个n =10 n －1, 321Λ33333个n =31(10 n －1), 9111111=321Λ个n (10 n －1). 例题：试证明12，1122，111222，11112222，……这些数中的任何一个，都是两个相邻的正整数的积.证明：第n 个数是43421Λ321Λ2122221111个个n n =)110(91 -n ×10 n +)110(92-n =)110(91 -n (10 n +2) =331103110+-⨯-n n=)13110(3110+-⨯-n n =321Λ33333个n ×433333)1(321Λ个-n . 证毕. 练习：21. 化简 43421Λ99999个n ×43421Λ99999个n +143421Λ99999个n =_______________________________.22. 化简 43421Λ321Λ2122222-1111个个n n =____________________________________________.23. 求证 321Λ119901111个是合数.24. 已知：存在正整数 n,能使数321Λ11111个n 被1987整除.求证：数p=321Λ11111个n 43421Λ99999个n 321Λ88888个n 43421Λ77777个n 和数q=321Λ111111个+n 43421Λ919999个+n 321Λ818888个+n 43421Λ717777个+n 都能被1987整除.(1987年全国初中数学联赛题)25. 证明： 把一个大于1000的正整数分为末三位一组，其余部分一组，若这两组数的差，能被7(或13)整除，则这个正整数就能被7(或13)整除.26. 求证：321Λ11111个n ×143421Λ010000个-n 5+1是完全平方数.丙. 末位数的性质.一.用N (a)表示自然数的个位数. 例如a=124时，N (a)=4； a=－3时，N (a)=3.1. N (a 4k+r )=N (a r ) a 和k 都是整数，r=1,2,3,4.特别的： 个位数为0，1，5，6的整数，它们的正整数次幂的个位数是它本身.个位数是4，9 的正偶数次幂的个位数也是它本身.2. N (a)=N (b)⇔N (a －b)=0⇔10 |(a －b).3. 若N (a)=a 0, N (b)=b 0. 则N (a n )=N (a 0n )； N (ab)=N (a 0b 0).例题1：求①53100 ； 和 ②777的个位数. 解：①N (53100)=N (34×24+4)=N (34)=1②先把幂的指数77化为4k+r 形式，设法出现4的因数.77=77－7+7=7(76－1)+4+3=7(72－1)(74+72+1)+4+3=7×4×12× (74+72+1)+4+3=4k+3∴N(777)=N(74k+3)=N(73)=3.练习：27. 19891989的个位数是______，999的个位数是_______.28. 求证：10 | (19871989－19931991).29. 2210×3315×7720×5525的个位数是______.二. 自然数平方的末位数只有0，1，4，5，6，9；连续整数平方的个位数的和，有如下规律：12，22，32，……，102的个位数的和等于1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.1. 用这一性质计算连续整数平方的个位数的和例题1. 填空：12，22，32，……，1234567892的和的个位数的数字是_______.(1991年全国初中数学联赛题) 解：∵12，22，32，……，102的个位数的和等于1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.11到20；21到30；31到40；………123456781到123456789，的平方的个位数的和也都是45. 所以所求的个位数字是：(1+4+9+6+5+5+9+4+0)×(12345678+1)的个位数5.2. 为判断不是完全平方数提供了一种方法例题2. 求证：任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数.证明：(用反证法)设五个连续整数的平方和是完全平方数，那么可记作：(n－2)2+(n－1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2=k2(n, k都是整数)5(n2+2)=k2 .∵k2是5的倍数，k也是5的倍数.设k=5m, 则5(n2+2)=25m2.n2+2=5m2.n2+2是5的倍数，其个位数只能是0或5，那么n2的倍数是8或3.但任何自然数平方的末位数，都不可能是8或3.∴假设不能成立∴任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数.3.判断不是完全平方数的其他方法例题3. 已知：a是正整数.求证：a(a+1)+1不是完全平方数证明：∵a(a+1)+1=a2+a+1，且a是正整数∴a2< a(a+1)+1=a2+a+1<(a+1)2，∵a 和a+1是相邻的两个正整数，a(a+1)+1介于它们的平方之间∴a(a+1)+1不是完全平方数例题4. 求证：321Λ11111个n(n>1的正整数) 不是完全平方数证明：根据奇数的平方数除以4必余1，即(2k+1)2=4(k+1)+1.但321Λ11111个n =1100111112-+321Λ个n=4k+11=4k+4×2+3=4(k+2)+3即32 1Λ11111个n除以4余数为3，而不是1，∴它不是完全平方数.例题5. 求证：任意两个奇数的平方和，都不是完全平方数.证明：设2a+1,2b+1(a,b是整数)是任意的两个奇数.∵(2a+1)2+(2b+1)2=4a2+4a+1+4b2+4b+1=4(a2+b2+a+b)+2.这表明其和是偶数，但不是4的倍数，故任意两个奇数的平方和，都不可能是完全平方数.三. 魔术数：将自然数N 接写在每一个自然数的右面，如果所得到的新数，都能被N整除，那么N 称为魔术数.常见的魔术数有：a) 能被末位数整除的自然数，其末位数是1，2，5 (即10的一位正约数是魔术数) b) 能被末两位数整除的自然数，其末两位数是10，20，25，50(即100的两位正约数也是魔术数))c) 能被末三位数整除的自然数，其三末位数是100，125，200，250，500(即1000的三位正约数也是魔术数)练习：30. 在小于130的自然数中魔术数的个数为_________.(1986年全国初中数学联赛题)四. 两个连续自然数，积的个位数只有0，2，6；和的个位数只有1，3，5，7，9. 练习：31. 已知：n 是自然数，且9n 2+5n+26的值是两个相邻自然数的积，那么n 的值是：___________________. (1985年上海初中数学竞赛题)丁. 质数、合数1. 正整数的一种分类：⎪⎩⎪⎨⎧).1(.)1( 1然数整除和本身外还能被其他自除合数；然数整除和本身外不能被其他自除质数； 2. 质数中，偶数只有一个是2，它也是最小的质数.3. 互质数：是指公约数只有1的两个正整数. 相邻的两个正整数都是互质数.例题：试写出10个连续自然数，个个都是合数.解：答案不是唯一的，其中的一种解法是：令A=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11那么A+2，A+3，A+4，A+5，A+6，A+7，A+8，A+9，A+10，A+11就是10个连续数，且个个都是合数.一般地，要写出n 个连续自然数，个个是合数，可用令m=n+1, 那么m !+2, m !+3, m !+4, +……+ m !+n+1 就是所求的合数.∵m !+i (2≤i ≤n+1) 有公约数i.练习：32. 已知质数a ， 与奇数b 的和等于11，那么a=___,b=___.33. 两个互质数的最小公倍数是72，若这两个数都是合数，那么它们分别等于____，____.34. 写出10个连续正奇数，个个都是合数，可设m=(10+1)×2， m !=22!那么所求的合数是22!+3，_____,____,____,……35. 写出10个连续自然数，个个都是合数，还可令 N=2×3×5×7×11.(这里11=10+1，即N 是不大于11的质数的积).那么 N+2，N+3，N+4，……N+11就是所求的合数.这是为什么？如果 要写15个呢？36. 已知：x, m, n 都是正整数 . 求证：24m+2+x 4n 是合数.戊.奇数和偶数1.整数的一种分类：⎩⎨⎧)12(.2)02(2，余数为即除以整除的整数奇数：不能被，余数为即除以整除的整数；偶数：能被2. 运算性质：奇数+奇数=偶数， 偶数+偶数=偶数， 奇数+偶数=奇数.奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数.(奇数)正整数=奇数，(偶数)正整数=偶数.4. 其他性质：① 两个连续整数必一奇一偶，其和是奇数，其积是偶数.② 奇数的平方被4除余1；偶数的平方能被4整除；除以4余2或3的整数不是平方数.a) 2n (n 为正整数)不含大 于1的奇因数.b) 若两个整数的和(差)是奇数，则它们必一奇一偶.c) 若n 个整数的积是奇数，则它们都是奇数.例1. 设m 与n 都是正整数，试证明m 3－n 3为偶数的充分必要条件是m －n 为偶数.证明：∵m 3－n 3＝（m －n ）(m 2+mn+n 2).当m －n 为偶数时，不论m 2+mn+n 2是奇数或偶数，m 3－n 3都是偶数；∴m －n 为偶数是m 3－n 3为偶数的充分条件.当m －n 为奇数时，m, n 必一奇一偶，m 2，mn ，n 2三个数中只有一个奇数，∴m 2+mn+n 2是奇数，从而m 3－n 3也是奇数.∴m －n 为偶数，是m 3－n 3为偶数的必要条件.综上所述m 3－n 3为偶数的充分必要条件是m －n 为偶数.例2. 求方程x 2－y 2=1990的整数解.解：(x+y)(x －y)=2×5×199.若x, y 同是奇数或同是偶数，则 x+y ，x －y 都是偶数，其积是4的倍数，但1990不含4的因数，∴方程左、右两边不能相等.若x, y 为一奇一偶，则x －y ，x+y 都是奇数，其积是奇数，但1990不是奇数，∴方程两边也不能相等.综上所述，不论x, y 取什么整数值，方程两边都不能相等.所以 原方程没有整数解本题是根据整数的一种分类：奇数和偶数，详尽地讨论了方程的解的可能性.练习：37. 设n 为整数，试判定n 2－n+1是奇数或偶数.38. 1001+1002+1003+……+1989其和是偶数或奇数，为什么？39. 有四个正整数的和是奇数，那么它们的立方和，不可能是偶数，试说明理由.40. 求证：方程x 2+1989x+9891=0没有整数根.41. 已知： ⎩⎨⎧=⨯⨯⨯⨯=++++.0321321n x x x x x x x x n n ΛΛ； 求证：n 是4的倍数. 42. 若n 是大于1的整数，p=n+(n 2－1)2)1(1n --试判定p 是奇数或偶数，或奇偶数都有可能. (1985年全国初中数学联赛题)已. 按余数分类1. 整数被正整数 m 除，按它的余数可分为m 类，称按模m 分类.如：模m=2，可把整数分为2类:{2k}, {2k+1} k 为整数，下同模m=3，可把整数分为3类:{3k}, {3k+1}，{3k+2}.……模m=9，可把整数分为9类:{9k},{9k+1},{9k+2}.…{9k+8}.2. 整数除以9的余数，与这个整数各位上的数字和除以9的余数相同.如：6372，5273，4785各位数字和除以9的余数分别是0，8，6. 那么这三个数除以9的余数也分别是0，8，6.3. 按模m 分类时，它们的余数有可加，可乘，可乘方的性质.如：若a=5k 1+1, b=5k 2+2.则a+b 除以5 余数 是3 (1+2)；ab 除以5余2 (1×2)；b 2 除以5余4 (22).例1. 求19891989除以7的余数.解：∵19891989=(7×284+1)1989，∴19891989≡11989 ≡1 (mod 7).即19891989除以7的余数是1.练习：43. 今天是星期一，99天之后是星期________.44. n 个整数都除以 n －1, 至少有两个是同余数，这是为什么？45. a 是整数，最简分数7a 化为小数时，若为循环小数，那么一个循环节最多有几位？4. 运用余数性质和整数除以9的余数特征，可对四则运算进行检验例2. 下列演算是否正确？① 12625+9568=21193 ； ② 2473×429=1060927.解：①用各位数字和除以9，得到余数：12625，9568，21193除以9的余数分别是7，1，7.∵ 7+1≠7， ∴演算必有错.② 2473，429，1060927除以9的余数分别是7，6，7.而7×6=42，它除以9余数为6，不是7，故演算也有错.注意：发现差错是准确的，但这种检验并不能肯定演算是绝对正确.练习：46. 检验下列计算有无差错：①372854－83275=289679 ； ②23366292÷6236=3748.5. 整数按模分类，在证明题中的应用例3. 求证：任意两个整数a 和b ，它们的和、差、积中，至少有一个是3的倍数.证明：把整数a 和b 按模3分类，再详尽地讨论.如果a, b 除以3，有同余数 (包括同余0、1、2)，那么a, b 的差是3的倍数；如果a, b 除以3，余数不同，但有一个余数是0，那么a, b 的积是3的倍数；如果a, b 除以3，余数分别是1和2，那么a, b 的和是3的倍数.综上所述任意两个整数a ，b ，它们的和、差、积中，至少有一个是3的倍数.(分类讨论时，要求做到既不重复又不违漏)例4. 已知： p ≥5，且 p 和2p+1都是质数.求证：4p+1是合数.证明：把整数按模3分类. 即把整数分为3k,3k+1,3k+2 (k 为整数)三类讨论∵p 是质数，∴不能是3的倍数，即p ≠3k ；当p=3k+1时, 2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1). ∴ 2p+1不是质数，即p ≠3k+1； 只有当质数p=3k+2时， 2p+1=2(3k+2)+1=6k+5.∴2 p+1也是质数， 符合题设.这时，4p+1=4(3k+2)+1=3(4k+3)是合数. 证毕练习：47. 已知：整数a 不能被2和3整除 . 求证：a 2+23能被24整除.48. 求证：任何两个整数的平方和除以8，余数不可能为6.49. 若正整数a 不是5的倍数. 则a 8+3a 4－4能被100整除.50. 已知：自然数n>2求证：2n －1和2n +1中，如果 有一个是质数，则另一个必是合数.51.设a,b,c 是三个互不相等的正整数，求证 a 3b －ab 3,b 3c －bc 3,c 3a －ca 3三个数中，至少有一个能被10整除. (1986年全国初中数学联赛题)庚. 整数解1. 二元一次方程 ax+by=c 的整数解：当a,b 互质时，若有一个整数的特解⎩⎨⎧==00y y x x 那么可写出它的通解)(00为整数k ak y y bk x x ⎩⎨⎧-=+= 2. 运用整数的和、差、积、商、幂的运算性质整数±整数=整数， 整数×整数=整数，整数÷(这整数的约数)=整数， (整数)自然数=整数3. 一元二次方程，用求根公式，根的判别式，韦达定理讨论整数解.4. 根据已知条件讨论整数解.例1. 小军和小红的生日.都在10月份，且星期几也相同，他们生日的日期的和等于34，小军比小红早出生，求小军的生日.解：设小军和小红的生日分别为x, y ，根据题意，得⎩⎨⎧=+=-347x y k x y (k=1,2,3,4) 2x=34－7k x=17－k 27 k=1, 3时， x 没有整数解；当k=2时， ⎩⎨⎧==.2410y x ， 当k=4时，⎩⎨⎧==.313y y x ， (10月份没有31日，舍去) ∴小军的生日在10月10日例2. 如果一个三位数除以11所得的商，是这个三位数的各位上的数的平方和，试求符合条件的所有三位数. (1988年泉州市初二数学双基赛题)解：设三位数为100a+10b+c, a, b, c 都是整数，0<a ≤9，0≤b, c ≤9.那么 1191110100c b a b a c b a +-++=++ ， 且－8<a －b+c<18. 要使a －b+c 被11整除，其值只能是0和11.( 1)当a －b+c=0时， 得9a+b=a 2+b 2+c 2.以b=a+c 代入，并整理为关于a 的二次方程，得2a 2+2(c －5)a+2c 2－c=0根据韦达定理⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+.2522121c c a a c a a ， 这是必要而非充分条件. ∵5－c>0, 以c=0, 1, 2, 3, 4 逐一讨论a 的解.当 c=2, 4时，无实数根； 当c=1, 3时，无整数解；只有当c=0时，a=5；或 a=0. (a=0不合题意，舍去)∴只有c=0, a=5, b=5适合∴所求的三位数是550；(2)当a －b+c=11时， 得9a+b+1=a 2+b 2+c 2.以b=a+c 代入，并整理为关于a 的二次方程，得2a 2+2(c －16)a+2c 2－23c+131=0.仿(1)通过韦达定理，由c 的值逐一以讨论a 的解.只有当c=3时, a=8, b=0适合所有条件.即所求三位数为803.综上所述，符合条件的三位数有550和803.练习：52. 正整数x 1, x 2, x 3,……x n 满足等式x 1＋x 2＋x 3＋x 4+x 5=x 1x 2x 3x 4x 4x 5 那么 x 5的最大值是________. （1988年全国初中数学联赛题）53. 如果p, q, pq q p 12,12-- 都是整数，.且p>1, q>1, 试求p+q 的值. （1988年全国初中数学联赛题） 54.能否找到这样的两个正整数m 和n ，使得等式m 2+1986=n 2成立. 试说出你的猜想，并加以证明. （1986年泉州市初二数学双基赛题） 55.当m 取何整数时，关于x 的二次方程m 2x 2－18mx+72=x 2－6x 的根是正整数，并求出它的根. （1988年泉州市初二数学双基赛题） 56.若关于x 的二次方程（1+a ）x 2+2x+1－a=0的两个实数根都是整数，那么a 的取值是________________. （1989年泉州市初二数学双基赛题） 57.不等边三角形的三条边都是整数，周长的值是28，最大边与次大边的差比次大边与最小边的差大1，适合条件的三角形共有____个，它们的边长分别是：______________________________________________________________. 58.直角三角形三边长都是整数，且周长的数值恰好等于面积的数值，求各边长. 59.鸡翁一，值钱；，鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？ 60. 甲买铅笔4支，笔记本10本，文具盒1个共付1.69元，乙买铅笔3支，笔记本7本，文具盒1个共付1.26元，丙买铅笔、笔记本、文具盒各1，应付几元？ 若1×2×3×4×……×99×100=12 n ×M ，其中M 为自然数，n 为使得等式成立的最大自然数，则M 是( )(A).能被2整除，不能被3整除 . (B).能被3整除，但不能被2整除.(C).被4整除，不能被3整除. (D).不能被3整除，也不能被2整除.(1991年全国初中数学联赛题)。
幂的运算复习讲义
课 题（课型） 幂的运算 学生目前情况（知识遗漏点）：复习巩固教 学 目 标或考 点 分 析：1. 学会应用同底数幂的乘法和除法。
2. 掌握幂的乘方和积的乘方。
3. 幂的混合运算和科学计数法 教学重难点： 同底数幂的乘法和除法、幂的乘方和积的乘方 教学方法：知识梳理，例题讲解，知识巩固，巩固训练，拓展延伸幂的运算知识点一、同底数幂的乘法 1、同底数幂的乘法 同底数幂的乘法法则：文字叙述：同底数幂相乘,底数不变，指数相加。
字母表示：________________________2、同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即m n p m n pa a a a ++⋅⋅= 注意点：（1）同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数.（2）在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算.3、逆用同底数幂的乘法法则： =m n a a例1、计算列下列各题（1） x 3·x 5+(x 4)2； （2） 23b b b ⋅⋅ ； （3） ()()()24c c c -⋅-⋅-例2、若15(3)59n n x x x -⋅+=-，求x 的值.()2 (3)例11、（1）已知5544222,36a b c ---===，比较a,b,c 的大小。
（2）当a,b 满足什么条件时，等式1)1(=+b a 成立？4、绝对值小于1的数的科学计数法把一个正数写成10n a ⨯的形式（其中110a ≤<，n 为整数），这种计数法称为科学计数法，其方法如下：（1）确定a ，a 是只有个位整数的数；（2）确定n ，当原数的绝对值10≥时，n 为正整数，n 等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值<1时，n 为负整数，n 的绝对值等于原数中做起第一个非0数前0的个数（包括整数位上的0）。
. 例12、（1）用科学计数法表示：0.000096=________________________. （2） 用小数表示4102-⨯-=______________________________.（3）为减少全球金融危机对我国经济产生的影响，国务院决定拿出40000亿元以扩大内需，保持经济平稳较大增长.这个数用科学记数法表示为 亿元． （4）2015nm =_______________________m. （5）最薄的金箔的厚度为m 000000091.0，用科学记数法表示为 m ．例13、（1）计算并用科学计数法表示：78106.41067.3⨯-⨯（2）有一句谚语：“捡了芝麻，丢了西瓜，”意思是说有些人办事只抓一些无关紧要的小 事，却忽略了具有重大意义的大事.据测算，5万粒芝麻才200g,请你计算1粒芝麻有多少千克？练习：1．下列计算正确的是（ ）A ．1)1(0-=-B ．1)1(1=--C ．33212a a =- D ．4731)()(aa a =-÷- 2．下列各式：①5151=-,②0)00001.0(0=,③001.0102=-,④ 313310=÷-正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ． 2 个D ．3个3．下列计算错误的是 （ ）A ．1)0001.0(0=B ．01.0)1.0(2=-C ．1)5210(0=⨯-D ．0001.0104=-4．若,)31(,3,3.0022-=-=-=-c b a 则 （ ）A ．d c b a ＜＜＜B ．c d a b ＜＜＜C ．b c d a ＜＜＜D ．b d a c ＜＜＜5．通过世界各国卫生组织的努力，甲型Ｈ1N1流感疫情得到了有效地控制，到目前为止，全球感染人数为20000人左右，占全球人口的百分比约为0.0000031,将数字0.0000031用科学计数法表示为（ ）A ．5101.3-⨯B ．6101.3-⨯C ．7101.3-⨯D ．8101.3-⨯6．=÷6622_____________.=-2)21(______________.7．肥皂泡表面厚度大约是0.0007mm,用科学记数法表为____________________mm8． 当___________时, .1)12(0=-a9． 已知==-=x x x 则且,1)3(,30_____________. 10．已知==-x x 则,1312___________________.11．计算：（1）031452222)21(2+⨯⨯++---- （2）02213)2()21(])1(8)2[(-⨯-⨯-⨯------π。
完全平方数的性质
完全平方数的性质完全平方数及其性质能表示为某个整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。
例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289, 324,361,400,441,484,…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
一、平方数有以下性质：【性质1】完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
【性质2】奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
【性质3】如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
【性质4】（1）凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；（2）末尾只有奇数个“0”的自然数（不包括0本身）不是完全平方数；100，10000，1000000是完全平方数，10，1000，100000等则不是完全平方数。
（3）个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
需要说明的是：个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数一定不是完全平方数，如：11，31，51，74，99，211，454，879等一定不是完全平方数一定不是完全平方数。
但个位数字为1，4，9而十位数字为偶数的自然数不都是完全平方数。
如：21，44，89不是完全平方数，但49，64，81是完全平方数。
【性质5】偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
这是因为 (2k+1)^2=4k(k+1)+1 (2k)^2=4k^2【性质6】奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
【性质7】平方数的形式一定是下列两种之一：3k,3k+1。
【注意：具备以上条件的不一定是完全平方数（如13，21，24，28等）】【性质8】不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。
全国通用初中数学竞赛培优辅导讲义1-10)讲
2．根椐质数定义可知
1)质数只有1和本身两个正约数，
2)质数中只有一个偶数2
如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2，
如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2，3任何合数都可以分解为几个质数的积。
能写成几个质数的积的正整数就是合数。
8．8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________
9．从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，
解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，
但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行
调整末两位数为30，41，52，63，均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
练习
１．分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）
①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296
那么N＋2，N＋3，N＋4，N＋5就是适合条件的四个合数． 即32，33，34，35就是所求的一组数。
本题可推广到n个。
令N等于不大于n+1的所有质数的积，那么N＋2，N＋3，N＋4，……N＋(n+1)就是所求的合数。
练习3
1．小于100的质数共___个，它们是__________________________________
三在近似数中，当0作为有效数字时，它表示不同的精确度。
例如 近似数1.6米与1.60米不同，前者表示精确到0.1米（即1分米）,误差不超过5厘米；
初一上学期数学第一章-有理数的乘方
有理数的乘方2009-10-6一、 乘方1. 定义 na a a a =⋅⋅⋅(n 个a 相乘)，n 为正整数。
○1n a 读作a 的n 次方，也可读作a 的n 次幂。
○2a 叫做底数，n 叫做指数 ○3当a 为负数或分数时，要加上小括号。
如：()64233⎛⎫- ⎪⎝⎭，.注意区分：i. 233339322222823⎧=⨯=⎨=⨯⨯=⎩，其中底数为，指数为，其中底数为，指数为；ii. 33222282333322228233333273⎧⨯⨯==⎪⎪⎨⎛⎫⎪=⨯⨯= ⎪⎪⎝⎭⎩，其中底数为，指数为，其中底数为，指数为； iii.4411111114333338131111111 4 33333813⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=----=-⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎪-=-⨯⨯⨯=- ⎪⎪⎝⎭⎩，其中底数为，指数为，其中底数为，指数为.2. 乘方的运算法则○1正数的任何次幂都是正数； ○2负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； ○30的任何正整数次幂都是0. 3. 乘方的性质4. 性质一：○1当0a >时，0n a > ○2当0a <时，2210,0nn a a +><.性质二：○1任何非0的偶次幂为正； ○2任何数的奇次幂符号不变（正数的奇次幂为正，负数的奇次幂为负）； ○3互为相反数的两个数的奇次幂仍互为相反数； ○4互为相反数的两个数的偶次幂相等。
性质三：○11的任何次幂都是1，-1的偶次幂是1，-1的奇次幂是-1. ○2平方和立方都是它本身的数是0,1. ○320a ≥。
若20a b +=，则a=b=0. ○4()nn na b ab = 5. 有理数的乘法运算（重点）步骤：先确定幂的符号，再计算幂的绝对值。
运算法则：○1先乘方，再乘除，最后加减。
○2同级运算，从左到右进行。
○3如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
正整数n次幂的个位数
正整数的正整数次幂的个位数字是有规律的．列表如下．
由表中可看出：正整数的个位数为0，1，5，6时，A n的个数仍为0，1，5，6；A的个应数是4，9时，A的指数每增加2，幂的个位数字就重复出现；A的个位数为2，3，7，8时，指数每增加4，幂的个位数字就重复出现，一般来说：
若：A k的个位数是a，则A4m+k的末位数也是a(k为正整数，m为非负整数)．
例1 求19921991的个位数字．
解：19921991＝19924×497+3．
因为19923的个位数与23的个位数字相同．而23的个位数字为8，所以19921991的个位数字是8．
例2 求适应于x5＝656，356，768的整数x．
解：∵105是6位数．1005＝1010是11位数．
因为x5是9位数．所以10＜x＜100．可见x为两位数：
注意到x5的个位数字同于x的个位数．因此x的个位数字是8．
因为55＝3125．65＝7776．
∴312500000＝505＜656，356，768＜605＝777600000．
由此可知：x的十位数字只能是5、进而知x＝58．
江苏省响水县正茂中学李德渠。