《函数的基本性质──单调性与最值》教学设计
函数的单调性与最大最小值的教案
函数的单调性与最大最小值的教案一、教学目标1. 让学生理解函数的单调性的概念，掌握判断函数单调性的方法。
2. 让学生了解函数的最大值和最小值的概念，掌握求函数最大值和最小值的方法。
3. 培养学生运用函数的单调性和最值解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 函数的单调性1.1 单调增函数和单调减函数的定义1.2 判断函数单调性的方法1.3 单调性在实际问题中的应用2. 函数的最大值和最小值2.1 最大值和最小值的定义2.2 求函数最大值和最小值的方法2.3 最大值和最小值在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的单调性的概念及判断方法，函数最大值和最小值的求法及应用。
2. 教学难点：函数单调性的判断方法，求函数最大值和最小值的方法。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解函数的单调性和最值的概念。
2. 采用案例分析法，让学生通过实际问题体验函数单调性和最值的应用。
3. 采用小组讨论法，培养学生合作解决问题的能力。
五、教学准备1. 教学课件：函数单调性和最值的定义、判断方法和求法。
2. 教学案例：实际问题涉及函数单调性和最值的解答。
3. 练习题：针对本节课内容的练习题，巩固所学知识。
六、教学过程1. 导入：通过复习上一节课的内容，引导学生回顾函数的概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
2. 讲解：讲解函数的单调性，通过示例让学生理解单调增函数和单调减函数的定义，介绍判断函数单调性的方法。
3. 案例分析：分析实际问题，让学生运用函数的单调性解决实际问题，体会函数单调性的重要性。
4. 讲解：讲解函数的最大值和最小值的概念，介绍求函数最大值和最小值的方法。
5. 案例分析：分析实际问题，让学生运用函数的最值解决实际问题，体会函数最值的重要性。
6. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数的单调性和最值在实际问题中的应用。
七、课堂练习1. 判断下列函数的单调性：1. y = x^22. y = -x^23. y = 2x + 32. 求下列函数的最大值和最小值：1. y = x^2 4x + 52. y = -x^2 + 4x 53. 运用函数的单调性和最值解决实际问题。
高中数学《函数的基本性质-单调性和最值》教案2 新人教A版必修1
讲义九： 函数的基本性质----单调性和最值(2)（一）、基本概念及知识体系：教学要求：更进一步理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法，理解函数的最大（小）值及其几何意义.教学重点：熟练求函数的最大（小）值。
教学难点：理解函数的最大（小）值，能利用单调性求函数的最大（小）值。
教学过程：一、复习准备：1.指出函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a>0)的单调区间及单调性，并进行证明。
2. f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的最小值的情况是怎样的？3.知识回顾：增函数、减函数的定义。
二、讲授新课：1.教学函数最大（小）值的概念：① 指出下列函数图象的最高点或最低点，→ 能体现函数值有什么特征？()23f x x =-+，()23f x x =-+ [1,2]x ∈-；2()21f x x x =++，2()21f x x x =++ [2,2]x ∈- ② 定义最大值：设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M . 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value ） ③ 探讨：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value ）的定义．→ 一些什么方法可以求最大（小）值？（配方法、图象法、单调法） → 试举例说明方法.2.教学例题：① 出示★例题1：一枚炮弹发射，炮弹距地面高度h （米）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-，那么什么时刻距离达到最高？射高是多少？（学生讨论方法 → 师生共练：配方、分析结果 → 探究：经过多少秒落地？）② 练习：一段竹篱笆长20米，围成一面靠墙的矩形菜地，如何设计使菜地面积最大？ （引导：审题→设变量→建立函数模型→研究函数最大值； →小结：数学建模） ③ 出示 ★例2：求函数32y x =-在区间[3，6]上的最大值和最小值． 分析：函数3,[3,6]2y x x =∈-的图象 → 方法：单调性求最大值和最小值. → 板演 → 小结步骤：先按定义证明单调性，再应用单调性得到最大（小）值.→ 变式练习：3,[3,6]2x y x x +=∈- ④ 探究：32y x =-的图象与3y x=的关系？ ⑤ 练习：求函数2y x =+. （解法一：单调法； 解法二：换元法）3. 看书P34 例题 → 口答P36练习 →小结：最大（小）值定义 ；三种求法.三、巩固练习：1. 求下列函数的最大值和最小值：（1）25332,[,]22y x x x =--∈-； （2）|1||2|y x x =+-- 2.一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如右：欲使每天的的营业额最高，应如何定价？ （分析变化规律→建立函数模型→求解最大值） 3. 课堂作业：书P43 A 组5题；B 组1、2题. 四、备选用思考题：【题1】、二次函数（x ）=ax 2+bx (a,b 为常数且a ≠0)满足（-x+5）=（x-3）且方程（x ）=x 有等根；①求（x ）的解析式；②是否存在实数m 、n(m <n)使（x ）定义域为[m ，n]，值域为[3m ，3n]，若存在，求出m 、n 之值，若不存在，说明理由解、①（x ）=-12x 2+x ②由于（x ）的值域是（x ）≤12,则3n ≤12,即n ≤16,所以有（m ）=3m 且（n ）=3n∴存在实数m=-4,n=0使（x ）定义域为[-4，0]，值域为[-12，0]★例2：某产品单价是120元，可销售80万件。
人教版高中数学《函数的单调性与最值》全国一等奖教学设计
人教版高中数学《函数的单调性与最值》全国一等奖教学设计1.3.1 函数的单调性与最大（小）值（第一课时）教学设计本课教学内容来自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》第一章3.1节。
函数单调性研究自变量x增大时函数y增大或减小的性质。
增函数表现为“随着x增大，y也增大”。
与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质。
函数单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有。
函数单调性的研究方法具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法：加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般。
教学的重点是引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大，y也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间D上任意取x1，x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)（或f(x1)＞f(x2)），则称函数f（x）在区间D上是增函数（或减函数）。
本课教学内容包含四种知识类型。
函数单调性的相关概念属于概念性知识，函数单调性的符号语言表述属于事实性知识，利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识，发现问题、提出问题、解决问题的研究模式，以及从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法，属于元认知知识。
函数的单调性是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识。
图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识。
本课教学内容不仅在函数内部，而且在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中都有重要的应用，因此在数学中具有核心地位。
文章没有明显的格式错误和问题段落。
本课将通过生活常见数据曲线图例子和函数f(x)=0.001x+1、y=x+的研究，引发观察发现思维和提出、分析、解决问题的思维。
同时，将通过二次函数探究背景，引发从直观到抽象、由特殊到一般、从感性到理性、先猜想后证明的思维，树立“事物是普遍联系的”价值观。
函数单调性与最值教案
函数单调性与最值教案教案标题：函数单调性与最值教案教案目标：1. 了解函数的单调性及其在数学和实际问题中的应用。
2. 掌握求解函数最值的方法和技巧。
3. 能够分析和解决与函数单调性和最值相关的问题。
教案步骤：步骤一：引入概念（15分钟）1. 引导学生回顾函数概念，并解释函数的单调性。
2. 通过示例图像展示函数的单调递增和单调递减的特点。
3. 提出问题：如何判断一个函数的单调性？步骤二：函数单调性的判断（20分钟）1. 介绍函数导数的概念，并解释导数与函数单调性的关系。
2. 讲解判断函数单调性的方法：a. 对函数求导，判断导数的正负性；b. 利用函数的图像和定义域的特点进行判断。
3. 通过练习题让学生巩固判断函数单调性的方法。
步骤三：函数最值的求解（20分钟）1. 引导学生思考如何求解函数的最值。
2. 解释求解函数最值的方法：a. 对函数求导，找出导数为零或不存在的点；b. 利用函数的图像和定义域的特点进行判断。
3. 通过练习题让学生掌握求解函数最值的方法和技巧。
步骤四：综合应用（15分钟）1. 提供一些实际问题，要求学生分析问题并应用函数单调性和最值的概念解决问题。
2. 引导学生讨论解决问题的思路和步骤。
3. 鼓励学生展示解决问题的过程和答案，并进行讨论和评价。
步骤五：总结与拓展（10分钟）1. 总结函数单调性和最值的概念和判断方法。
2. 引导学生思考函数单调性和最值在其他学科和实际问题中的应用。
3. 提供一些拓展问题，鼓励学生继续思考和研究相关概念。
教案评估：1. 在步骤二和步骤三的练习中，检查学生对函数单调性和最值的判断和求解能力。
2. 在步骤四的综合应用中，评估学生对函数单调性和最值在实际问题中的应用能力。
3. 在课堂讨论和总结中，评估学生对函数单调性和最值概念的理解和思考能力。
教案延伸：1. 鼓励学生独立研究更复杂的函数单调性和最值问题，拓展思维能力。
2. 引导学生探索函数单调性和最值在其他数学领域的应用，如微积分、优化问题等。
函数的基本性质单调性教案
函数的基本性质——单调性教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解函数单调性的概念，掌握判断函数单调性的方法；（2）能够运用单调性解决实际问题，如求函数的最值等。
2. 过程与方法：（1）通过观察实例，引导学生发现函数单调性的规律；（2）利用数形结合，让学生理解函数单调性的几何意义。
3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）函数单调性的概念及其判断方法；（2）单调性在实际问题中的应用。
2. 教学难点：（1）理解函数单调性的几何意义；（2）如何运用单调性解决实际问题。
三、教学过程1. 导入：通过实例引入函数单调性的概念，激发学生的兴趣。
2. 新课讲解：（1）介绍函数单调性的定义及判断方法；（2）利用数形结合，讲解函数单调性的几何意义。
3. 案例分析：分析具体案例，让学生学会运用单调性解决实际问题。
4. 练习巩固：布置练习题，让学生独立完成，检验对单调性的掌握程度。
5. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调单调性在数学中的重要性。
四、课后作业1. 完成练习册的相关题目；2. 选取一个实际问题，运用单调性进行解决。
五、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对函数单调性的理解和运用能力。
关注学生在学习过程中的情感态度，激发学生对数学的兴趣。
六、教学活动设计1. 互动环节：学生分组讨论，举例判断给定函数的单调性；2. 探究活动：学生自主研究，分析函数单调性在实际问题中的应用；3. 小组合作：学生分组完成课后作业，相互检查，共同提高。
七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评价学生的学习状态；2. 练习完成情况：检查学生课后作业的完成质量，评价学生对单调性的掌握程度；3. 实际问题解决：评估学生在探究活动中的成果，检验学生运用单调性解决问题的能力。
函数的单调性与最值教案
函数的单调性与最值教案一、教学目标：1. 理解函数单调性的概念，能够判断简单函数的单调性。
2. 掌握利用单调性求函数的最值的方法。
3. 能够运用函数的单调性和最值解决实际问题。
二、教学内容：1. 函数单调性的定义与判断方法。
2. 利用单调性求函数的最值。
3. 函数单调性和最值在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 函数单调性的判断方法。
2. 利用单调性求函数的最值。
四、教学方法与手段：1. 采用讲授法，讲解函数单调性的定义与判断方法。
2. 利用数形结合法，结合图形讲解函数的单调性和最值。
3. 运用实例法，分析实际问题中的函数单调性和最值。
五、教学过程：1. 引入：通过举例，让学生感受函数的单调性和最值在实际问题中的重要性。
2. 讲解：讲解函数单调性的定义与判断方法，结合图形进行分析。
3. 练习：让学生练习判断一些简单函数的单调性。
4. 讲解：讲解如何利用单调性求函数的最值，结合实例进行分析。
5. 练习：让学生练习求解一些函数的最值。
6. 总结：总结本节课的主要内容，强调函数单调性和最值在实际问题中的应用。
7. 作业布置：布置一些有关函数单调性和最值的练习题，巩固所学知识。
六、教学拓展：1. 引导学生思考函数单调性与其他数学概念的联系，如导数、极限等。
2. 探讨函数单调性在高等数学中的应用，如微分方程、最优化问题等。
七、案例分析：1. 分析实际问题，引导学生运用函数的单调性和最值解决实际问题。
2. 举例说明函数单调性和最值在经济学、物理学、工程学等领域的应用。
八、课堂互动：1. 组织学生进行小组讨论，分享各自在练习中的心得体会。
2. 邀请学生上台展示自己的解题过程，互相学习和交流。
九、教学评价：1. 课堂讲解：评价学生对函数单调性和最值的理解程度。
2. 练习作业：评价学生运用函数单调性和最值解决实际问题的能力。
十、教学反思：1. 反思本节课的教学内容、教学方法是否适合学生的学习需求。
2. 针对学生的学习情况，调整教学策略，提高教学效果。
《函数的基本性质──单调性与最值》教学设计
《函数的基本性质──单调性与最值》教学设计《函数的基本性质──单调性与最值》教学设计一、内容和内容解析函数思想是贯穿高中数学的一根主线，函数的基本性质又是函数一章的重点内容。
一方面，它是对以前所学具体函数的一次总结，又是函数知识的一次拓展，对后续学习指、对数函数、三角函数有重要的指导作用。
另一方面，函数的单调性与最大(小)值是初等数学与高等数学衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数的单调性与最大(小)值在解决实际问题中有着相当重要的作用。
因此，函数单调性与最大(小)值的教学，在教材体系中有着不可替代的位置，又有着重要的现实意义。
函数的单调性最大(小)值是函数的重要性质之一，它是研究函数值与自变量变化的一种关系，既要求学生结合函数的图象（直观性）来研究函数单调性和最大(小)值，也要求学生利用函数单调性和最大(小)值的定义（严谨性）来研究函数单调性和最大(小)值。
因此本节课的教学重点是函数的单调性与最大(小)值的概念及其几何4、学会运用函数图象理解和研究函数的性质，利用函数的性质来画函数的图象（草图），培养学生数形结合的思想和应用数学意识。
5、函数单调性和最大（小）值的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程。
培养学生的探究能力和创新精神，体验到思考与探索的乐趣，培养学生勇于探索，善于研究的精神，挖掘其非智力因素的资源，培养学生良好的思维品质。
三、教学问题诊断分析函数的单调性这一性质学生在初中曾经接触过,但只是从图象上直观分析图象的上升与下降，而现在要求把它上升到理论的高度，用准确的数学语言去刻画它。
这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的，因此要在概念的形成上重点下功夫。
在函数的单调性的概念教学中，学生往往在理解“任意两个”、“都”这两个词的含义出现障碍，误认为“有两个”、“某两个”，而教学中利用函数的图象，举一些反例加以理解巩固。
《函数的单调性与最大值》教学设计
《函数的单调性与最大值》教学设计教学设计：函数的单调性与最值一、教学目标：1.了解函数的单调性的概念，能够判断函数在一些区间内的单调性。
2.理解函数的最值的概念，能够求解函数在一些区间上的最大值和最小值。
3.能够运用函数的单调性和最值的概念解决实际问题。
二、教学内容：1.函数的单调性：A.单调递增与单调递减的概念及判断方法。
B.设计一些示例，让学生观察函数图像，并判断函数在一些区间内的单调性。
2.函数的最大值和最小值：A.最大值和最小值的概念及求解方法。
B.设计一些函数并给出定义域，让学生求解函数在一些区间上的最大值和最小值。
3.实际问题的解决：A.设计一些实际问题，例如求解函数在一些时间段内的最大速度、最小成本等，让学生运用函数的单调性和最值的概念解决问题。
三、教学过程：1.引入：通过展示一个山峰的图片，并问：“在山峰的哪个位置有最高点？在山谷的哪个位置有最低点？”引导学生思考什么是最值。
2.导入函数的单调性概念：A.讲解函数的单调递增与单调递减的定义。
B.给出函数图像，让学生判断函数在一些区间内的单调性。
C.给出一些判断函数单调性的例题，让学生独立完成并讲解思路和答案。
3.引入函数的最值概念：A.讲解函数的最大值和最小值的定义。
B.给出一个函数图像，让学生找出函数在一些区间上的最大值和最小值。
C.给出一些求解函数最值的例题，让学生独立完成并讲解思路和答案。
4.实际问题的解决：A.给出一个实际问题，例如一辆汽车的速度随时间的变化函数，让学生运用函数的单调性和最值的概念求解汽车在一些时间段内的最大速度。
B.设计几个类似的实际问题，让学生分组讨论解决方法，并展示解决过程和答案。
5.小结与拓展：A.总结函数的单调性与最值的概念。
B.引导学生思考函数单调性与最值的应用领域，例如应用于经济学、物理学等领域。
C.布置相关的作业，要求学生运用函数的单调性和最值的概念解决实际问题。
四、教学评价与反思：1.对于函数的单调性的判断，可以通过让学生观察函数图像，找出函数的增减规律，提高学生的图形观察能力。
函数的单调性与最大最小值的教案
函数的单调性与最大最小值的教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解函数单调性的概念，能够判断函数的单调性；（2）掌握利用导数研究函数的单调性，能够求解函数的单调区间；（3）了解函数的最大最小值的概念，能够利用导数求解函数的最大最小值。
2. 过程与方法：（1）通过实例引导学生理解函数单调性的概念，培养学生的抽象思维能力；（2）利用导数研究函数的单调性，培养学生的逻辑推理能力；（3）通过实例引导学生掌握利用导数求解函数的最大最小值，提高学生的解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣，激发学生学习函数的积极性；（2）培养学生克服困难的意志，提高学生解决问题的能力；（3）培养学生团队合作的精神，提高学生的沟通能力。
二、教学内容1. 函数单调性的概念；2. 利用导数研究函数的单调性；3. 函数的最大最小值的概念；4. 利用导数求解函数的最大最小值。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）函数单调性的判断；（2）利用导数研究函数的单调性；（3）利用导数求解函数的最大最小值。
2. 教学难点：（1）函数单调性的证明；（2）利用导数求解函数的最大最小值的过程。
四、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生理解函数单调性的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 新课导入：讲解函数单调性的定义，引导学生掌握判断函数单调性的方法。
3. 实例分析：利用导数研究函数的单调性，让学生通过实例体会导数在研究函数单调性中的作用。
4. 方法讲解：讲解如何利用导数求解函数的最大最小值，让学生掌握求解方法。
5. 练习与讨论：布置练习题，让学生巩固所学知识，并通过讨论培养学生的团队合作精神。
五、课后作业1. 复习本节课所学内容，整理笔记；2. 完成课后练习题，加深对函数单调性和最大最小值的理解；3. 准备下一节课的内容，提前预习。
六、教学评价1. 知识与技能：（1）学生能准确判断函数的单调性；（2）学生能利用导数研究函数的单调性；（3）学生能利用导数求解函数的最大最小值。
函数的单调性与最值教案
函数的单调性与最值教案一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解函数的单调性的概念，掌握判断函数单调性的方法；（2）了解函数的最值概念，学会求解函数的最值；（3）能够运用单调性和最值解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过实例分析，引导学生发现函数的单调性与最值之间的关系；（2）利用数形结合，让学生掌握函数单调性和最值的求解方法；（3）培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对函数单调性和最值的兴趣，提高学习数学的积极性；（2）培养学生勇于探索、合作学习的良好品质；（3）使学生感受到数学在生活中的应用，培养学生的数学素养。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）函数单调性的判断方法；（2）函数最值的求解方法；（3）单调性和最值在实际问题中的应用。
2. 教学难点：（1）函数单调性在复杂函数中的判断；（2）多变量函数最值的求解；（3）实际问题中单调性和最值的运用。
三、教学准备：1. 教师准备：（1）熟练掌握函数单调性和最值的相关知识；（2）准备典型的例题和习题；（3）制作PPT或黑板课件。
2. 学生准备：（1）预习函数单调性和最值的相关内容；（2）掌握基本函数的单调性和最值；（3）准备笔记本，做好笔记。
四、教学过程：1. 导入新课：（1）复习上节课的内容，回顾函数的性质；（2）提问：同学们认为函数有哪些重要的性质呢？（3）引导学生思考函数的单调性和最值在实际问题中的应用。
2. 知识讲解：（1）讲解函数单调性的定义和判断方法；（2）通过实例分析，让学生理解函数单调性与最值之间的关系；（3）讲解函数最值的概念和求解方法。
3. 课堂互动：（1）让学生举例说明函数的单调性；（2）分组讨论：如何求解函数的最值；（3）教师点评并总结。
4. 巩固练习：（1）出示典型习题，让学生独立解答；（2）讲解习题，分析解答过程；（3）让学生上台板演，互相评价。
5. 课堂小结：（1）回顾本节课所学内容，总结函数单调性和最值的关系；（2）强调单调性和最值在实际问题中的应用；（3）提醒学生做好课后复习。
【教案】《函数的单调性与最值》公开课教学设计
公开课《函数的单调性与最值》教学设计（建阳一中市级公开周）函数的单调性是函数应用中最基本、最重要的知识点，求函数的最值都离不开单调性，而单调性的基础数形结合，这类题型是历年高考的热点，也是难点，针对这类基础薄弱的学生，起点不宜太高，只能从最基础的部分拾起，以题目贯穿内容，逐级而上.教学方法：提示练习探讨法教学过程一、复习引入1．函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2．函数的最值前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件 (1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(3)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ； (4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值M 为最小值二、新课讲授典例讲解问题一：不含参数的函数的单调性例1.求函数 12-=x y 在区间[2，6]上的最大值和最小值．.求函数 []10,2,16)(∈+=x xx x f 的最大值.例2.求下列函数的最值. （1）2)(x x f =(2)[)3,0,12)(2∈--=x x x x f2(3)()21[1,1]f x x ax =---求函数在上的最小值。
【题后感悟】(1)如何求二次函数在闭区间[m,n]上的最值？ 确定二次函数的对称轴，如x=a;根据对称轴与给定区间的位置关系分类讨论； 结合图象明确函数的单调区间进而求解.(2)二次函数在闭区间上的最值只可能在区间的端点处及二次函数图象的对称轴处取得.跟踪练习.][)[][).()(1,3)(3,22)(0,2)1(,32)(2t g x f t t x x f x x f x x x f x的最小值时，求）当（的最值；时，求）当（的最值；时，求当已知二次函数+∈-∈-∈+-=课堂小结利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法 1. 利用图象求函数的最大(小)值2.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值3.利用函数单调性判断函数的最大(小)值 （1）如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，则函数y=f(x)在x=a 处有最小值f(a),在x=b 处有最大值f(b) ；（2）如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)；若函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋a＋1对于x∈[－1，1]时恒有f(x)≥0，则实数a的取值范围是________.。
高中数学北师大版精品教案《函数的单调性和最值》
函数的单调性和最值【第一课时】 【教材分析】函数的单调性和最值的第一课时，主要学习用数学语言刻画函数的变化趋势（单调性的定义）及简单的应用，是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，对于分析函数性质、求函数最值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及其他函数综合问题等，都有重要的应用，掌握函数单调性的定义和应用，为学习幂函数、指数函数、对数函数，包括导函数等做好准备。
【教学目标与核心素养】1．知识目标：利用图象判断函数的单调性、寻找函数的单调区间；掌握函数的单调性的定义，用定义证明函数的单调性，及作差结果符号的判断方法；熟悉常见函数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用。
2．核心素养目标：通过函数单调性的概念的学习和简单的应用，体会数形结合、分类讨论等基本的数学思想方法，提高学生的数学运算和直观想象能力。
【教学重难点】（1）利用函数的图象判断单调性、寻找函数单调区间；（2）函数的单调性的定义，用定义证明函数的单调性的方法，及作差结果符号的判断方法； （3）常见函数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用。
【课前准备】多媒体课件【教学过程】一、知识引入初中学习了一次函数y kx b =+的图象和性质，当0k ＞时，直线是向右上，即函数值y 随x 的增大而增大，当0k ＜时，直线向右下，即函数值y 随x 的增大而减小。
同样二次函数、反比例函数等，也有类似的性质。
思考讨论：（1）如图，是某位同学从高一到高三上学期的考试成绩的统计图，从图中，你可以得出该同学成绩是怎样变化的呢？提示：高一时成绩在下降，高一下期期末降到最低名次32名，以后各次考试成绩逐步提高，到高三上期时已经进入前五名。
（2）如图，是函数()[] 6,9f x x ∈-（）的图象，说出在各个区间函数值()f x 随x 的值的变化情况。
提示：在区间[][][][]6,52,13,4.57,8---、、、上，函数值()f x 都是随x 的值的增大而增大； 在区间[][][][]5,21,3 4.5,78,9--、、、上，函数值f (x )都是随x 的值的增大而减小。
函数的单调性与最大值(第1课时)教学设计
《函数的基本性质---单调性与最大（小）值》教学设计一、教学内容解析1.内容本节课是人教A版（2019年）必修第一册第三章第二节函数的基本性质的第一课时。
2.内容解析本节课是在学生学习了函数的概念以及表示方法后进行的。
在学完本小节后，学生将掌握研究函数性质的一般方法，对接下来基本函数模型的学习具有指导作用。
而对于函数的基本性质这节课来说，单调性是所有函数都具备的性质之一，是研究函数性质必不可少的一部分，因此作为为第一课时的内容进行学习。
函数单调性是函数的一种定性性质。
在必修课程的函数主题中，我们利用代数运算和图象直观结合的方式研究函数的单调性，并用更加精确的符号语言描述。
而在选择性必修课程中，将进一步利用导数语言来精确刻画函数在局部上的单调性，因此本单元是后续学习的基础，特别是学习数学语言刻画尤为重要。
在本节课中，学生研究函数需要研究函数的变化规律，而不变的规律就是所谓的性质，因此在研究函数性质时要抓住变化中的不变性。
而在单调性研究的过程中，教师要引导分析函数值随自变量的值的变化而变化中具有的不变关系。
同时通过图象的几何直观进而数学抽象出符号语言，用更加简洁的符号语言进行描述，不断提升学生的数学抽象素养。
在学习完单调性概念后，学生在教师的引导下学习了如何证明函数的单调性，培养学生逻辑推理、数学运算的核心素养。
3.教学重点用符号语言表达函数的单调性，用定义证明函数的单调性二、教学目标设置1.课程目标借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义。
2.课时教学目标（1）通过图象变化，经历函数单调性概念的抽象过程，能用二次函数例子说出函数单调递增、单调递减的定义及其图象特征，同时能够说出增函数、减函数的定义及其图象特征；同时通过全称量词和存在量词等数学符号语言表达单调性定义，经历数学抽象的过程。
（2）能够通过例子明确用函数单调性定义证明函数的单调性的步骤，能用函数单调性的定义解决函数单调性问题，发展逻辑推理、数学运算素养。
北师大版高一数学必修第一册(2019版)_《函数的单调性和最值》教学设计一
《函数的单调性和最值》教学设计一教学设计一、创设情境，引入课题实例：科考队对沙漠气候进行科学考察，下图是某天气温随时间的变化曲线请你根据曲线图说说气温的变化情况.预设：学生的关注点不同，如气温的最值，某时刻的气温，某时间段气温的升降变化（若学生没指明时间段，可追问）等.图象在某区间上（从左往右）“上升”或“下降”的趋势反映了函数的一个基本性质——单调性（板书课题）.设计意图：从科考情境导入新课，了解“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候，直观形象感知气温变化，自然引入函数的单调性.函数是描述事物变化规律的数学模型.如果清楚了函数的变化规律，那么就基本把握了相应事物的变化规律.在事物变化过程中，保持不变的特征就是这个事物的性质.因此，研究函数的变化规律是非常有意义的.观察下列函数图象，请你说说这些函数有什么变化趋势.在区间D上，若函数的图象（从左向右）总设函数的定义域为I，区间D I是上升的，即y随x的增大而增大，则称函数在区间D上是递增的，区间D称为函数的单调增区间.引导学生类比定义“递减”，接着给出下图，让学生准确回答单调性的变化情况.设计意图：从图象直观感知到文字描述，完成对函数单调性的第一次认知，明确相关概念，准确表述单调性.二、引导探索，生成概念问题1：（1）下图是函数()y f x =的图象（以()0.0011f x x =+为例），它在定义域R 上是递增的吗？（2）函数1()f x x x=+在区间(0,)+∞上有何单调性？ 预设：学生会不置可否，或者凭感觉猜测，可追问判定依据.设计意图：函数图象虽然直观，但是缺乏精确性，必须结合函数解析式，但仅凭函数解析式常常也难以判断其单调性.借此认知冲突，让学生意识到学习符号化定义的必要性.问题2：（1）如何用数学符号描述函数图象的“上升”特征，即“y 随x 的增大而增大”？以二次函数2()f x x =在区间[0,)+∞上的单调性为例，用几何画板动画演示“y 随x 的增大而增大”，生成表格（每一秒生成一对数据）.设计意图：先借助图形、动画和表格等直观感受“y 随x 的增大而增大”，然后让学生思考、讨论得出：若12x x <，则必须有12y y <.（2）已知12a x x b <<<，若()()12()()f a f x f x f b <<<，则能保证函数()y f x =在区间[,]a b 上递增吗？拖动“拖动点”，改变函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象，可以递增，可以先增后减，也可以先减后增.（3）已知123a x x x b <<<<，若()()()123()()f a f x f x f x f b <<<<，则能保证函数()y f x =在区间[,]a b 上递增吗？拖动“拖动点”，观察函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象变化.设计意图：先让学生讨论交流、举反例，然后借助几何画板动态说明验证两个定点不能确定函数的单调性，三个点也不行，引导学生过渡到符号化表示，呈现知识的自然生成.（4）已知1234a x x x x b<<<<<<，若有()()()()1234()()f a f x f x f x f x f b <<<<<<，能保证函数()y f x =在区间[,]a b 上递增吗？可先请持赞同观点的同学说明理由，再请持反对意见的学生进行反驳，然后追问：无数个x 也不能保证函数递增，那该怎么办呢？若学生回答全部取完或任取，追问“总不能一个一个验证吧？”.紧接着师生一起回顾子集的概念（课件展示教材上子集的定义），再次体验对“任意一个”进行操作，实现“无限”目标的数学方法，体会用“任意”来处理“无限”的数学思想.问题3：如何用数学语言准确刻画函数()y f x =在区间D 上递增呢？ 预设：请学生自愿尝试概括定义板书“任意12,x x D ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x <，则称函数()y f x =在区间D 上递增”，要突出关键词“任意”和“都有”；若缺少关键词“任取”或“任意”，则追问“验证两个点就能保证函数在区间D 上递增吗？”.问题4：请你试着用数学语言定义函数()y f x =在区间D 上是递减的. 预设：为表达准确规范，要求学生先写下来，然后展示，并有意引导使用“任意12,x x D ∈，当12x x >时，都有()()12f x f x <，则称函数()y f x =在区间D 上递减”，以此打破必须“12x x <”的思维定式.抽象概括：设函数()f x 的定义域为D ：如果对于任意的12,x x D ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x <，那么就称函数()y f x =是增函数.特别地，当Ⅰ是定义域D 上的一个区间时，也称函数()y f x =在区间Ⅰ上单调递增.如果对于任意的12,x x D ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就称函数()y f x =是减函数.特别地，当Ⅰ是定义域D 上的一个区间时，也称函数()y f x =在区间Ⅰ上单调递减.如果函数()y f x =在区间Ⅰ上单调递增或单调递减，那么就称函数()y f x =在区间Ⅰ上具有单调性.此时，区间Ⅰ为函数()y f x =的单调区间.若存在实数M ，对所有的x D ∈，都有()f x M ，且存在0x D ∈，使得()0f x M =，则称M 为函数()y f x =的最大值.同样地，可以定义函数()y f x =的最小值，函数的最大值和最小值统称为最值.三、学以致用，理解感悟判断题：你认为下列说法是否正确，请说明理由（举例或者画图） （1）设函数()y f x =的定义域为[,)a +∞，若对任意x a >，都有()()f x f a >，则()y f x =在区间[,)a +∞上递增.（2）设函数()y f x =的定义域为R ，若对任意12,(,)x x a ∈+∞，且12x x >，都有()()12f x f x >，则()y f x =是递增的.（3）反比例函数1()f xx=的单调递减区间是(,0)(0,)-∞⋃+∞.让学生分组讨论，然后进行展示性回答.若学生认为正确，则要求说明理由；若学生认为错误，则要求学生到黑板上画出反例（3）可追问怎么修改）.通过构造反例，逐步完善和加深对函数单调性的理解.例1、设1()(0)f x xx=<，画出(3)(3)f x x+<-的图象，并通过图象直观判断它的单调性.提出问题：1.你能用几种方法画出函数(3)(3)f x x+<-的图象？（描点法、平移法）哪种方法更好？让学生用两种方法画出函数的图象，体会两种方法的优劣.解：依题意知1(3)(3)3f x xx+=<-+，其图象可由1()(0)f x xx=<的图象向左平移3个单位长度得到（如图）该函数在区间(,3)-∞-上单调递减.2.如果把后面设定的范围去掉，函数1(3)3f xx+=+的定义域是什么？你能画出它的图象并直观判断它的单调性吗？解：函数1(3)3f xx+=+的定义域是(,3)(3,)-∞-⋃-+∞.其图象如图所示.函数1(3)3f xx+=+有两个单调递减区间，分别为(,3),(3,)-∞--+∞，但不能说函数在定义域(,3)(3,)-∞-⋃-+∞上递减.例2、根据函数的图象直观判断|1|y x=-的单调性，并求出最小值.提出问题：1.你能用几种方法画出函数|1|y x=-的图象？方法一：描点法.方法二：先把函数|1|y x=-写成分段函数的形式1,1,1,1,x xyx x-⎧=⎨->⎩然后画出其图象.方法三：利用图象变换，先画出函数1y x=-的图象，然后把x轴下方的部分对称到x轴的上方.解：函数|1|y x=-可以表示为1,1,1,1,x xyx x-⎧=⎨->⎩画出该函数的图象（如图），由图象可知该函数在区间(,1]-∞上单调递减，在区间[1,)+∞上单调递增.当1x=时，|1|y x=-取得最小值，最小值为0.2.拓展：你能说出函数||y x a=-的单调区间吗？（减区间为(,)a-∞，增区间为(,)a+∞）例3、判断函数()32f x x=-+的单调性，并给出证明.提出问题：1.这个函数是什么函数类型？（一次函数）追问：如何判断一次函数的单调性？（方法一：一次项系数的正负；方法二：利用图象）2.你能用单调性的定义证明它的单调性吗？ 教师引导学生分析证明方法并给出规范板书.解：画出函数()32f x x =-+的图象（如图）.由图象可以看出，函数()32f x x =-+在定义域R 上可能是减函数.下面利用函数单调性的定义证明这一结论. 任取12,x x ∈R ，且12x x <，则120x x -<. 所以()()()()12123232f x f x x x -=-+--+()1230x x =-->， 即()()12f x f x >.由函数单调性的定义可知，函数()32f x x =-+在定义域R 上是减函数. 通过教师规范板书本例题，给学生以示范，并给合例题的证明过程，总结归纳用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤：（1）设元（要指出任意性）；（2）作差；（3）变形（因式分解、配方、不等式等）；（4）断号；（5）定论.例4、判断函数()f x =.学生结合例3的示范，独立完成本例题，教师找两名学生板演.解：画出函数()f x =（如图）.由图象可以看出函数()f x =义域[0,)+∞上可能是增函数.任取12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，则120x x -<. 所以()()12f x f x -==.0>，可知()()120f x f x -<， 即()()12f x f x <.由函数单调性的定义可知，函数()f x =[0,)+∞上是增函数. 这个证明是在定义域内任取12x x <，通过计算()1f x 与()2f x 的差，得到()()12f x f x <，从而由函数单调性的定义判断函数()f x =[0,)+∞上是增函数.例5、试用函数单调性的定义证明：函数1()f x x x=+在区间(0,1]上单调递减，在区间[1,)+∞上单调递增.证明：任取12,(0,1]x x ∈，且12x x <.()()12121211f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()1212121212121212111.x x x x x x x x x x x x x x x x -=--⎛⎫=-- ⎪⎝⎭--=因为1201x x <<，所以12120,01x x x x -<<<，则()()12121210x x x x x x -->，即()() 120f x f x->.这表明函数1()f x xx=+在区间(0,1]上单调递减.同理可证，函数1()f x xx=+在区间[1,)+∞上单调递增.思考题：物理学中的玻意耳定律kpV=（k为正常数）告诉我们，一定质量的某种气体，在温度不变的情况下，当其体积V减小时，压强p将增大.试用函数的单调性证明这个结论.设计意图：引导学生用数学知识解释其他学科的规律，培养学生应用数学的意识和能力.四、回顾反思，深化认识课堂小结：通过本节课的学习，你的主要收获有哪些？1.概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性.2.证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论.3.数学思想方法和思维方法：数形结合、等价转化、类比等.五、布置作业1.教材第62页练习.2.判断并证明函数1()(0)f x x xx=+<的单调性.3.向一杯水中加一定量的糖，糖加得越多，糖水越甜.请你运用所学的数学知识解释这一现象.板书设计教学研讨本案例采用教师启发引导，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法.课堂上使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识.考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，可以对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解.如何将图形特征用严谨的数学语言来刻画是本节课的难点之一，另一难点是学生在高中阶段第一次接触代数证明，要思考如何让学生进行严格的推理论证并完成规范的书面表达.重点是让学生领会函数单调性的实质，明确单调性是一个局部概念，并能利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性.教学设计很有必要从以下几个方面进行改进：在新授课上，应从学生的已有知识和生活经验出发，围绕知识目标展开新知识出现的情境，适当推迟新知识得出时间，丰富学生的情感体验，在知识目标得到有效落实的同时，达成能力目标.在习题处理上，应以能力培养为核心，注重在知识网络的交汇点设计问题，突出基础知识的应用和基本技能的运用，强化知识目标，广泛建立知识之间的联系，培养学生学习数学的情感，在知识应用课上，应强调数学走向生活，解决具有现实意义的生活问题，培养学生的数学应用能力.11/ 11。
《函数的单调性与最值》教案
教学过程一、课堂导入问题1：大家一起来举出生活中描述上升或下降的变化规律的成语（蒸蒸日上、每况愈下、波澜起伏）问题2：请你根据上述的成语分别给出一个函数，并在直角坐标系中绘制相应的函数图象.二、复习预习1、函数的概念2、函数的三要素3、函数的表示方法三、知识讲解考点1 函数的单调性(1)单调函数的定义：增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2.当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是逐渐上升的自左向右看图象是逐渐下降的(2)如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间D具有(严格的)单调性，这一区间叫做y＝f(x)的单调区间．考点2 函数的最值四、例题精析【例题1】【题干】讨论函数f(x)＝axx2－1(a>0)的单调性【解析】由x 2－1≠0，得x ≠±1，即定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞)．①当x ∈(－1,1)时，设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2(x 21－1)(x 22－1)＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1). ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0.又a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，函数f (x )在(－1,1)上为减函数． ②设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)， ∵1<x 1<x 2，∴x 21－1>0，x 22－1>0，x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在(1，＋∞)上为减函数．又函数f (x )是奇函数，∴f (x )在(－∞，－1)上是减函数.【例题2】【题干】求函数y＝x2＋x－6的单调区间【解析】令u＝x2＋x－6，y＝x2＋x－6可以看作有y＝u与u＝x2＋x－6的复合函数．由u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.∵u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝u在(0，＋∞)上是增函数．∴y＝x2＋x－6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)【例题3】【题干】已知f(x)＝xx－a(x≠a)，若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．【解析】]任设1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝a(x2－x1)(x1－a)(x2－a).∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立．∴a≤1.综上所述，a的取值范围是(0,1]．【例题4】【题干】设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m －4m 2f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】由题意知，x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立， 即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立， 当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m ≤－32或m ≥32.即实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.五、课堂运用【基础】1．(2012·广东高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x解析：选A选项A的函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1] C．(0,1) D．(0,1]解析：选D∵函数f(x)＝－x2＋2ax在区间[1,2]上是减函数，∴a≤1.又∵函数g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上也是减函数，∴a>0.∴a的取值范围是(0,1]．3．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0且a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ C ．(0，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12解析：选D 令g (x )＝2x 2＋x >0，得x >0或x <－12，所以函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)．易知函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递增，所以在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上，0<g (x )<1.又因为f (x )>0恒成立，故0<a <1，故函数y ＝log a x 在其定义域上为减函数．而g (x )＝2x 2＋x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上是单调递减的，所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12.【巩固】4．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．解析：由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1,1]上递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝3.答案：35．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e －x －2，x ≤0，2ax －1，x >0(a 是常数且a >0)．对于下列命题： ①函数f (x )的最小值是－1； ②函数f (x )在R 上是单调函数； ③若f (x )>0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是a >1； ④对任意的x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2.其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．解析：根据题意可画出草图，由图象可知，①显然正确；函数f (x )在R 上不是单调函数，故②错误；若f (x )>0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，则2a ×12－1>0，a >1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意的x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2成立，故④正确．答案：①③④【拔高】6．讨论函数f(x)＝mxx－2(m<0)的单调性．解：函数定义域为{x|x≠2}，不妨设x1，x2∈(－∞，2)且x1<x2，f(x2)－f(x1)＝mx2x2－2－mx1x1－2＝mx2(x1－2)－mx1(x2－2)(x1－2)(x2－2)＝2m(x1－x2)(x1－2)(x2－2).∵m<0，x1，x2∈(－∞，2)，且x1<x2，∴x1－x2<0，(x2－2)(x1－2)>0.∴m(x1－x2)(x2－2)(x1－2)>0，即f(x2)>f(x1)，故函数f(x)在区间(－∞，2)上是增函数．同理可得函数f(x)在区间(2，＋∞)上也是增函数．综上，函数f(x)在(－∞，2)，(2，＋∞)上为增函数．7．已知函数f(x)对任意的a，b∈R恒有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.解：(1)证明：任取x1，x2∈R, 且x1<x2，∵f(x2)＝f((x2－x1)＋x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，又x2－x1>0，∴f(x2－x1)>1.∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0，即f(x2)>f(x1)．∴f(x)是R上的增函数．(2)令a＝b＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝2f(2)－1，∴f(2)＝3.而f(3m2－m－2)<3，∴f(3m2－m－2)<f(2)．又f(x)在R上是单调递增函数，∴3m2－m－2<2，解得－1<m<43.故原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，43.课程小结函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．。
函数的单调性与最大最小值的教案
函数的单调性与最大最小值的教案一、教学目标：1. 理解函数的单调性的概念，能够判断函数的单调性。
2. 掌握函数最大值和最小值的求法，能够运用单调性求解函数的最值。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 函数单调性的定义与判断方法。
2. 函数最大值和最小值的求法。
3. 运用单调性求解函数的最值。
三、教学重点与难点：1. 函数单调性的判断方法。
2. 运用单调性求解函数的最值。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解函数单调性的定义与判断方法。
2. 采用案例分析法，分析具体函数的单调性。
3. 采用练习法，让学生通过练习求解函数的最值。
五、教学准备：1. 教案、PPT、黑板。
2. 相关数学教材、辅导资料。
3. 函数图像展示软件。
4. 练习题。
一、函数单调性的定义与判断方法：1. 引入单调性的概念，通过具体例子讲解单调递增和单调递减的定义。
2. 讲解单调性的判断方法，如何利用导数或图像判断函数的单调性。
二、函数最大值和最小值的求法：1. 引入函数最值的概念，讲解局部最大值和全局最大值的求法。
2. 讲解利用导数求解函数最值的方法，包括一阶导数法和二阶导数法。
三、运用单调性求解函数的最值：1. 讲解如何利用单调性求解函数的最值，给出求解步骤。
2. 通过具体例子，演示如何运用单调性求解函数的最值。
四、函数单调性的应用：1. 讲解函数单调性在实际问题中的应用，如最优化问题、经济问题等。
2. 通过案例分析，让学生学会如何运用函数单调性解决问题。
2. 提出拓展问题，激发学生的学习兴趣，进一步深入研究函数的性质。
3. 布置作业，巩固所学知识。
六、实例分析与练习：1. 分析具体函数的单调性，通过例题展示如何判断函数的单调递增或单调递减。
2. 提供一组练习题，让学生独立判断给定函数的单调性，并解释判断过程。
七、利用导数找函数的临界点：1. 回顾导数的基本概念，解释导数如何帮助我们研究函数的单调性。
2. 展示如何利用导数找到函数的临界点，即可能的极值点。
函数的单调性与最值教案
函数的单调性与最值教案一、教学目标知识与技能：1. 理解函数的单调性的概念，能够判断函数的单调性；2. 掌握函数的最值的概念，能够求出函数的最值；3. 学会运用函数的单调性和最值解决实际问题。
过程与方法：1. 通过观察函数图象，探究函数的单调性和最值；2. 利用数学软件或图形计算器，验证函数的单调性和最值的计算结果。
情感态度价值观：1. 培养学生的数学思维能力，提高学生对函数学科的兴趣；2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容第一课时：函数的单调性1. 引入单调性的概念，讲解单调性的定义和判断方法；2. 通过举例，让学生理解单调性的性质和应用。
第二课时：函数的最值1. 引入最值的概念，讲解最值的定义和求法；2. 通过举例，让学生理解最值的性质和应用。
第三课时：函数的单调性和最值的综合应用1. 通过实例，让学生学会运用单调性和最值解决实际问题；三、教学重点与难点重点：1. 函数的单调性的判断和应用；2. 函数的最值的求法和应用。
难点：1. 函数的单调性的证明；2. 函数的最值的计算方法。
四、教学方法与手段1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究函数的单调性和最值；2. 利用数学软件或图形计算器，进行函数图象的演示和验证；3. 通过实例，让学生运用函数的单调性和最值解决实际问题。
五、教学评价1. 课堂问答：通过提问，了解学生对函数单调性和最值的理解程度；2. 课后作业：布置有关函数单调性和最值的练习题，检验学生的掌握情况；3. 实践应用：让学生运用函数的单调性和最值解决实际问题，评价学生的应用能力。
六、教学准备1. 教学PPT：制作包含函数单调性和最值概念、判断方法和求法的内容；2. 教学素材：收集一些有关函数单调性和最值的实例；3. 数学软件或图形计算器：用于演示和验证函数图象及单调性和最值的计算。
七、教学过程1. 导入新课：回顾上一节课的内容，引入本节课的学习主题——函数的单调性与最值；2. 讲解与演示：通过PPT和教学素材，讲解函数的单调性和最值的概念、判断方法和求法；3. 实践操作：让学生利用数学软件或图形计算器，进行函数图象的演示和验证；4. 例题解析：分析实例，引导学生学会运用函数的单调性和最值解决实际问题；5. 课堂互动：组织学生进行小组讨论，分享各自的学习心得和解题方法；八、教学反思在课后，教师应反思本节课的教学效果，包括：1. 学生对函数单调性和最值概念的理解程度；2. 学生运用函数单调性和最值解决实际问题的能力；3. 教学方法的适用性和改进措施；4. 学生课堂参与度和反馈意见。
函数的单调性与最值教案
龙文教育一对一个性化辅导教案
学生学校年级高一次数第次科目数学教师侯忠职日期时段
课题函数的单调性与最值
教学重点1、理解并掌握函数的单调性所涉及的知识点，并可以灵活运用所学知识解题
2、理解并掌握函数的最值所涉及的知识点，并可以灵活运用所学知识解题
教学难点1、证明一个函数的单调性
2、求解分段函数的最值
教学目标1、掌握函数的单调性的知识点，并能灵活解题
2、掌握函数最值的知识点，并能灵活解题
教学步骤及教学内容一、教学衔接：
1、检查学生的作业，及时指点；
2、通过沟通了解学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容。
二、内容讲解：
知识点一：函数的单调性
知识点二：函数的最值
拓展提升：高考真题
三、课堂总结与反思：
带领学生对本次课授课内容进行回顾、总结
四、作业布置：
复习教案所讲知识点，完成教案上的作业
管理人员签字：日期：年月日
作业布置1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差
备注：
2、本次课后作业：
见教案
课
堂
小
结
家长签字：日期：年月日。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《函数的基本性质──单调性与最值》教学设计一、内容和内容解析函数思想是贯穿高中数学的一根主线，函数的基本性质又是函数一章的重点内容。
一方面，它是对以前所学具体函数的一次总结，又是函数知识的一次拓展，对后续学习指、对数函数、三角函数有重要的指导作用。
另一方面，函数的单调性与最大(小)值是初等数学与高等数学衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数的单调性与最大(小)值在解决实际问题中有着相当重要的作用。
因此，函数单调性与最大(小)值的教学，在教材体系中有着不可替代的位置，又有着重要的现实意义。
函数的单调性最大(小)值是函数的重要性质之一，它是研究函数值与自变量变化的一种关系，既要求学生结合函数的图象（直观性）来研究函数单调性和最大(小)值，也要求学生利用函数单调性和最大(小)值的定义（严谨性）来研究函数单调性和最大(小)值。
因此本节课的教学重点是函数的单调性与最大(小)值的概念及其几何意义；判断、证明函数单调性；求函数的最大(小)值，利用单调性和最大(小)值来解决实际问题，培养学生的函数思想，数形结合思想以及应用数学意识。
二、目标和目标解析1、通过观察一些函数图象的特征，形成函数单调性的直观认识。
再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出函数单调性的定义。
理解函数单调性的定义，能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性。
2、通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最大（小）值，由此得出函数最大（小）值的定义。
理解函数最值的定义，掌握求最值的基本方法和基本步骤，能解决相关实际问题。
3、利用函数的单调性和图象求函数在闭区间上的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，增进对数学应用价值的认识，激发学习数学兴趣与热情。
4、学会运用函数图象理解和研究函数的性质，利用函数的性质来画函数的图象（草图），培养学生数形结合的思想和应用数学意识。
5、函数单调性和最大（小）值的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程。
培养学生的探究能力和创新精神，体验到思考与探索的乐趣，培养学生勇于探索，善于研究的精神，挖掘其非智力因素的资源，培养学生良好的思维品质。
三、教学问题诊断分析函数的单调性这一性质学生在初中曾经接触过,但只是从图象上直观分析图象的上升与下降，而现在要求把它上升到理论的高度，用准确的数学语言去刻画它。
这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的，因此要在概念的形成上重点下功夫。
在函数的单调性的概念教学中，学生往往在理解“任意两个”、“都”这两个词的含义出现障碍，误认为“有两个”、“某两个”，而教学中利用函数的图象，举一些反例加以理解巩固。
函数的单调性一定与某个区间相对应，而学生容易犯“某个函数单调递增（减）函数”这一错误。
“函数在（-∞，0）上y随x增大而减少，在（0，+∞）上y随x的增大而减少。
”而学生容易错误理解函数在定义域内是减函数，即把两个单调区间进行合并；分别在区间上取两个数-1和5，-1<5，而f(-1)<f(5)这与函数单调递减的定义相矛盾加以说明。
单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的，许多学生甚至还搞不清什么是代数证明，也没有意识到它的重要性，所以单调性的证明自然就是教学中的难点。
在证明过程中，有些学生在作差变形中，缺乏相应的运算变换能力，在教学中多举一些例子，多让学生接触一些不同类型，然后进行必要总结（通分，因式分解，有理化，配方等），要变形到最后能判断符号为止，千万不能想当然，或中间“烂肚子”而直接下结论。
对于函数的最大（小）值的定义，在初中也只有定性的研究，而现在要求定量探讨，用准确的数学语言来描述。
学生对“任意”、“都”、“存在”这些词的含义不容易理解，利用求函数的最值，讨论函数（x>0）单调区间等具体的例子加以巩固。
四、学习行为分析学生在学习本节内容之前已经学习了函数的定义，表示法，图象，也学习了一次函数，二次函数，反比例函数的函数值y与变量x之间的关系，特别是学习了二次函数的最大（小）值，这为理解函数的单调性和最大（小）值奠定了一定的基础。
但另一方面，以前对函数的单调性和最大（小）值的研究是一种定性的研究，侧重于直观的思维，而本节内容是要对函数单调性和最大（小）值的定量的研究，侧重于逻辑思维能力，这给学生的学习带来了较大的困难。
因此，在教学过程中，多创设熟悉的问题情景：如在引课中利用建造一个长方形的花坛，构造熟悉的二次函数，上课中所举例子都是一些常见的函数来加以落实。
在定义教学中，多给学生思考问题的时间和空间，引导学生观察，归纳，总结。
特别利用数形结合，定性与定量相结合，尽量让学生用数学语言来描述，以便于学生的理解和掌握。
利用类比教学法：当介绍了增函数的定义之后，让学生自己得出相应减函数的定义；当介绍了函数最大值的定义之后，让学生自己得出函数最小值的定义；便于学生进一步加深对定义的理解。
对于一些容易出错的问题采取纠错教学法：“函数在(-∞,0）上y随x的增大而减少,在（0,+∞）上y随x的增大而减少，则函数在定义域内是减函数”。
“所有函数是否都有最大（小）值？”、“函数在相应的区间内是否一定有单调性？”。
还有一些比较复杂的问题：“确定函数的单调区间”等问题让学生去讨论，去探究，教师积极引导，培养学生的自主探究能力。
五、教学支持条件分析函数的单调性和函数的最大（小）值这一性质学生在初中接触到过，但只侧重于图象上直观分析，而现在要求把它上升到理论的高度，用准确的数学语言去刻画它。
这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的，为了突破这一难点，充分发挥信息技术的辅助教学的功能。
在概念教学中，首先利用多媒体技术画出函数y=x，y=x2，，y=x3相应的函数的图象，然后在函数上取不同的点，由学生观察函数的值y随x的变化而变化的规律，化静为动，化抽象为直观，便于学生理解。
对于概念中的一些关键字词，比如“任意”、“都”、“存在”在多媒体课件中用不同的颜色加以标明，便于学生加深印象。
对于一些容易出错的问题采取小组讨论法，纠错法。
例如教师提出“讨论函数的单调性”，让学生分组讨论，然后推荐代表发言。
有学生会回答是“递减函数”，理由是“图形的形状是下降”。
也有同学会回答“不是单调函数”，理由是“因为x1=-1，x2=1时，x1<x2，这时f(-1)<f(1)，与减函数的意义不符，所以它不是减函数，同样也不是增函数”。
也有同学会回答“函数在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)也是减少，理由是可以用定义来证明之。
根据学生的不同回答，首先让其它组的同学予以纠正，充分发挥学生的力量；当学生碰到困难时，教师予以引导，点拨，最后统一结论。
对于例（3）学生熟悉的烟花问题，可采用自学导学法，首先让学生通读题目，理解题意，然后利用多媒体演示动画模型，激发学生学习兴趣；接着相互讨论，共同解决。
最后学生提问，教师答疑，师生共同小结求最值的基本方法。
六、评价设计《高中数学课程新标准》中提出：“对学生数学学习的评价，既要关注学生知识与技能的理解和掌握，更要关注他们情感与态度的形成与发展；既要关注学生数学学习的结果，更要关注他们在学习过程中的变化和发展。
”根据新课程标准的要求，发展性评价的核心是关注学生的发展、促进学生的发展，实现评价发展性功能的一个重要举措就是突出评价的过程性，评价将贯穿于教学的整个过程，将学生在数学学习活动过程中的全部情况都纳入评价的范围，而不只是评价学生的学习的结果。
在本教学设计过程中，始终注重过程评价，注重评价的针对性，实效性。
主要体现在三个方面：一是基础知识掌握情况的评价。
对函数的单调性和函数的最大（小）值的定义能否深刻的，全面的理解，特别是一些关键字词，如“任意两个”、“都”、“存在”的理解。
举出正面和反面的例子让学生辨别，个别评价与集体评价相结合。
二是基本技能掌握情况的评价。
主要包括函数单调性判断的基本方法（图象法，定义法，复合函数法），如何选择不同的方法。
证明函数单调性的基本步骤和基本策略（主要是作差变形的策略），单调区间的确定。
求最值的基本方法的掌握情况等。
三是数学思想的落实和数学探究能力培养的评价。
运用函数图象理解和研究函数的性质，利用函数的性质来画函数的图象（草图），提升学生数形结合的思想。
函数单调性和最大（小）值的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程。
让学生真正参与到数学活动中来，让学生真正成为学习的主人。
（具体的教学评价见教学过程）七、教学过程设计设计环节 设计意图 师生活动一．创设情境，导出问题“问题是数学的心脏”，把问题作为出发点，为下一步提出探索性的问题创设有效的学习环境。
教师提出问题：学校准备建造一个长方形的花坛，周长设计为16米。
由于受周围地理位置限制，其中一边的长度既不能超过6米，又不能少于1米。
以实际问题为背景、以学生熟悉的一元二次函数为入口点，激活学生原有的认知，让学生对所要学的新知获得感性的认识。
问1、建立面积y 与一边长x 的函数关系式。
生：y =x (8-x ) (1≤x ≤6) 问2、画出上面函数的图象。
问3、指出y 的值与x 值的变化关系。
生：当1≤x ≤4时，y 随x 值的增大而增大， 当4≤x ≤6时，y 随x 值的增大而减小。
问4、求出面积的最大值与最小值。
生：当x =4时，S max =16m ；当x =1时，S min =7m 引导学生解决，体会函数单调性与最大（小）值在实际中的应用。
二、借助信息技术，利用熟悉的函数，给出单调性直观认识。
从形象、直观的图形入手，为探索与思考问题提供方向和“路标”，并借机发展学生的动手实践能力、创新能力、和探索能力。
请学生分别画出下列函数的图象，并探讨函数值y 与自变量x 之间的关系：y =x ， y =x ， y = ， y =x 3学生动手画图，个别板演，集体探讨函数值与自变量之间的关系，教师适当引导。
y =x 在R 上y 随x 的增大而增大。
y =x 在(-∞,0)上y 随x 的增大而减少，在(0,+∞)上y 随x 的增大而增大。
y =在（-∞，0）上y 随x 的增大而减少,在 （0，+∞）上y 随x 的增大而减少。
y =x 3 在R 上y 随x 的增大而增大。
教师利用信息技术，动画演示函数的图象。
三、从定性到定量，引出单调性的定义，并能深刻理解定义的含义。
从定性描述到定量描述，从通俗的日常用语到严谨的数学语言，让学生学会抽象概括，学会逻辑地、合理地思考问题。