运筹学作业2
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(k) (g) 0 -5/4 (j)
显然 l=1, k=0
l 1/ 4 1/ 4 b 5 / 4
0 3 / 4
i
15
25
/
4
0 h 1/ 2 20 5 / 2
lb 10 3/ 415 20i 25 / 4 15h 10 5 / 2
故 b=10, i = -1/4, h=-1/2
在X*中，因 x1 2 0, x2 2 0, x3 4 0
从而使得其对偶问题的前三个约束为等式，即：
3y1y 12
y
2
y
2
y
3
y
4
y
4
2 4
y3 y4 1
又 X (2, 2, 4, 0)T 代入原规划中，第4个约束成为严格不等式，即
x1 x2 x3 8 9
y1
sΒιβλιοθήκη Baidu.
2 y1 2 y1
y2 4 y3 5 5y2 7 y3 6 y2 3y3 3
y1无约束 y2 0 y3 0
2、判断下列说法是否正确，为什么
1）如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一
定存在可行解
不正确
2）如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定
无可行解
不正确
1 B1 0
0
1/ 4 3/4 1/ 2
1/ 4 1/ 4 1/ 2
由于
1 0
B 1
a
1
2 0
1 0 B1 1 0
c 1
有a = 2, c = 3
同理因为
1 1/ 4 d
B 1
2
5
/
4
e
1 1/ 2 f
有d =1/4, e=5/4, f = -1/2
下面考虑检验数：
j C j CB B1Pj
课后练习（四）
1 已知线性规划问题
max Z x1 x2
st. 2xx11
x2 x2
x3 x3
2 1
x1, x2 , x3 0
试根据对偶问题性质证明上述线性规划问题目标函数值无界
其对偶问题为：
min 2 y1 y2
y1 2 y2 1
st.
y1 y1
y2 1 y2 0
st.
x1
3x3 2x2 2x3
x4
x5
3 5
xi 0,(i 1, 2, 3, 4, 5)
Cj
-4 -12 -18 0 0
CB XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
0 x4 -3 -1 0 -3 1 0
0 x5 -5 0 -2 -2 0 1
检验数j
-4 -12 -18 0 0
Cj
-4 -12 -18 0 0
-4 0 -6 0 -6
Cj
-4 -12 -18 0 0
CB XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
0 x4 -3 -1 0 -3 1 0
-12 x2 5/2 0 1 1 0 -1/2
检验数j
-4 0 -6 0 -6
Cj
-4 -12 -18 0 0
CB XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
0 x4 -3 -1 0 -3 1 0
-12 x2 5/2 0 1 1 0 -1/2
检验数j
由互补松弛性质知：
y
4
0
故对偶规划的最优解为：
Y ( 4 , 3 , 1, 0). 55
3、用对偶单纯刑法求解下列线性规划问题
min Z 4x1 12x2 18x3
st.
x1
2x2
3x3 2x3
3 5
x1, x2 , x3 0
解：原规划化为标准规划为：
max w max( z) 4x1 12 x2 18 x3
课后练习（三）
1 写出下列线性规划问题的对偶问题
min Z 2x1 2x2 4x3
x1 3x2 4x3 2
s.t.
2x1 x2 3x3 3 x1 4x2 3x3 5
x1, x2 0, x3无约束
其对偶问题为：max 2 y1 3y2 5y3
y1 2 y2 y3 2
y1, y2 0
由第一个约束条件知对偶问题无可行解，由此可知原问题 目标函数值无界
2 给出线性规划问题
max Z 2x1 4x2 x3 x4
x1 3x2
x4 8
st.
2 x1
x2
6
x2 x3 x4 6
x1
x2 x3
9
x j 0
要求： （1）写出其对偶问题 （2）已知原问题最优解为X*=(2, 2, 4, 0)，试根据 对偶理论，直接求出对偶问题的最优解
Cj
3
CB XB
b x1
0 x4 (b) 1
0 x5 15 (a)
0 x6 20 2
检验数j
3
Cj
3
CB XB
b x1
0 x4 5/4 0
3 x1 25/4 1
2 x2 5/2 0
检验数j
0
22000 x2 x3 x4 x5 x6 11 1 0 0 12 0 1 0 (c) 1 0 0 1
2 2 00 0 22000 x2 x3 x4 x5 x6 0 (d) (l) -1/4 -1/4 0 (e) 0 3/4 (i) 1 (f) 0 (h) 1/2
（1）对偶规划为：min w 8y1 6 y2 6 y3 9 y4
y1 2 y2 y4 2
st.
3 y1
y2
y3 y4 y3 y4
4 1
y1
y3
1
yi 0, (i 1, 2, 3, 4)
（2）记
Y
( y1 ,
y
2
,
y
3
,
y
4
)
为对偶规划的最优解，由互补松弛性质知，
3）在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管原问题是 求极大或极小，原问题可行解的目标函数值一定不超过其 对偶问题可行解的目标函数值 不正确
4）任何线性规划问题具有唯一的对偶问题 正确
3、已知某求极大化线性规划问题用单纯行法求解时的初始 单纯形表及最终单纯形表如下所示，求表中各括弧内未知 数的值。
st.
3 4
y1 y1
y2 3 y2
4 y3 3 y3
2 4
y1 0, y2 0, y3无约束
max Z 5x1 6x2 3x3
x1 2x2 2x3 5
s.t.
x1 5x2 x3 3 4x1 7x2 3x3 8
x1无约束，x2 0, x3 0
其对偶问题为：
min 5y1 3y2 8y3
C j CB Pj'
由于
1/ 4
g 2 0
3
2
5
/
4
1/ 2
j 0 0 3
有 g= -3/4, j = -1/4
1/ 4
2 1/ 4
1/ 2
综上所述： a =2, b=10, c=3, d=1/4, e=5/4 , f=-1/2, g=-3/4, h=-1/2 i = -1/4, j=-1/4, k=0, l = 1
显然 l=1, k=0
l 1/ 4 1/ 4 b 5 / 4
0 3 / 4
i
15
25
/
4
0 h 1/ 2 20 5 / 2
lb 10 3/ 415 20i 25 / 4 15h 10 5 / 2
故 b=10, i = -1/4, h=-1/2
在X*中，因 x1 2 0, x2 2 0, x3 4 0
从而使得其对偶问题的前三个约束为等式，即：
3y1y 12
y
2
y
2
y
3
y
4
y
4
2 4
y3 y4 1
又 X (2, 2, 4, 0)T 代入原规划中，第4个约束成为严格不等式，即
x1 x2 x3 8 9
y1
sΒιβλιοθήκη Baidu.
2 y1 2 y1
y2 4 y3 5 5y2 7 y3 6 y2 3y3 3
y1无约束 y2 0 y3 0
2、判断下列说法是否正确，为什么
1）如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一
定存在可行解
不正确
2）如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定
无可行解
不正确
1 B1 0
0
1/ 4 3/4 1/ 2
1/ 4 1/ 4 1/ 2
由于
1 0
B 1
a
1
2 0
1 0 B1 1 0
c 1
有a = 2, c = 3
同理因为
1 1/ 4 d
B 1
2
5
/
4
e
1 1/ 2 f
有d =1/4, e=5/4, f = -1/2
下面考虑检验数：
j C j CB B1Pj
课后练习（四）
1 已知线性规划问题
max Z x1 x2
st. 2xx11
x2 x2
x3 x3
2 1
x1, x2 , x3 0
试根据对偶问题性质证明上述线性规划问题目标函数值无界
其对偶问题为：
min 2 y1 y2
y1 2 y2 1
st.
y1 y1
y2 1 y2 0
st.
x1
3x3 2x2 2x3
x4
x5
3 5
xi 0,(i 1, 2, 3, 4, 5)
Cj
-4 -12 -18 0 0
CB XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
0 x4 -3 -1 0 -3 1 0
0 x5 -5 0 -2 -2 0 1
检验数j
-4 -12 -18 0 0
Cj
-4 -12 -18 0 0
-4 0 -6 0 -6
Cj
-4 -12 -18 0 0
CB XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
0 x4 -3 -1 0 -3 1 0
-12 x2 5/2 0 1 1 0 -1/2
检验数j
-4 0 -6 0 -6
Cj
-4 -12 -18 0 0
CB XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
0 x4 -3 -1 0 -3 1 0
-12 x2 5/2 0 1 1 0 -1/2
检验数j
由互补松弛性质知：
y
4
0
故对偶规划的最优解为：
Y ( 4 , 3 , 1, 0). 55
3、用对偶单纯刑法求解下列线性规划问题
min Z 4x1 12x2 18x3
st.
x1
2x2
3x3 2x3
3 5
x1, x2 , x3 0
解：原规划化为标准规划为：
max w max( z) 4x1 12 x2 18 x3
课后练习（三）
1 写出下列线性规划问题的对偶问题
min Z 2x1 2x2 4x3
x1 3x2 4x3 2
s.t.
2x1 x2 3x3 3 x1 4x2 3x3 5
x1, x2 0, x3无约束
其对偶问题为：max 2 y1 3y2 5y3
y1 2 y2 y3 2
y1, y2 0
由第一个约束条件知对偶问题无可行解，由此可知原问题 目标函数值无界
2 给出线性规划问题
max Z 2x1 4x2 x3 x4
x1 3x2
x4 8
st.
2 x1
x2
6
x2 x3 x4 6
x1
x2 x3
9
x j 0
要求： （1）写出其对偶问题 （2）已知原问题最优解为X*=(2, 2, 4, 0)，试根据 对偶理论，直接求出对偶问题的最优解
Cj
3
CB XB
b x1
0 x4 (b) 1
0 x5 15 (a)
0 x6 20 2
检验数j
3
Cj
3
CB XB
b x1
0 x4 5/4 0
3 x1 25/4 1
2 x2 5/2 0
检验数j
0
22000 x2 x3 x4 x5 x6 11 1 0 0 12 0 1 0 (c) 1 0 0 1
2 2 00 0 22000 x2 x3 x4 x5 x6 0 (d) (l) -1/4 -1/4 0 (e) 0 3/4 (i) 1 (f) 0 (h) 1/2
（1）对偶规划为：min w 8y1 6 y2 6 y3 9 y4
y1 2 y2 y4 2
st.
3 y1
y2
y3 y4 y3 y4
4 1
y1
y3
1
yi 0, (i 1, 2, 3, 4)
（2）记
Y
( y1 ,
y
2
,
y
3
,
y
4
)
为对偶规划的最优解，由互补松弛性质知，
3）在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管原问题是 求极大或极小，原问题可行解的目标函数值一定不超过其 对偶问题可行解的目标函数值 不正确
4）任何线性规划问题具有唯一的对偶问题 正确
3、已知某求极大化线性规划问题用单纯行法求解时的初始 单纯形表及最终单纯形表如下所示，求表中各括弧内未知 数的值。
st.
3 4
y1 y1
y2 3 y2
4 y3 3 y3
2 4
y1 0, y2 0, y3无约束
max Z 5x1 6x2 3x3
x1 2x2 2x3 5
s.t.
x1 5x2 x3 3 4x1 7x2 3x3 8
x1无约束，x2 0, x3 0
其对偶问题为：
min 5y1 3y2 8y3
C j CB Pj'
由于
1/ 4
g 2 0
3
2
5
/
4
1/ 2
j 0 0 3
有 g= -3/4, j = -1/4
1/ 4
2 1/ 4
1/ 2
综上所述： a =2, b=10, c=3, d=1/4, e=5/4 , f=-1/2, g=-3/4, h=-1/2 i = -1/4, j=-1/4, k=0, l = 1