概率论与数理统计习题解答(第8章)

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概率论与数理统计(8)假设检验

概率论与数理统计(8)假设检验第八章假设检验第一节假设检验问题第二节正态总体均值的假设检验第三节正态总体方差的检验第四节大样本检验法第五节 p值检验法第六节假设检验的两类错误第七节非参数假设检验第一节假设检验问题前一章我们讨论了统计推断中的参数估计问题，本章将讨论另一类统计推断问题——假设检验.在参数估计中我们按照参数的点估计方法建立了参数的估计公式，并利用样本值确定了一个估计值，认为参数真值。

由于参数是未知的，只是一个假设（假说，假想），它可能是真，也可能是假，是真是假有待于用样本进行验证（检验）.下面我们先对几个问题进行分析，给出假设检验的有关概念，然后总结给出检验假设的思想和方法.一、统计假设某大米加工厂用自动包装机将大米装袋,每袋的标准重量规定为10kg，每天开工时，需要先检验一下包装机工作是否正常. 根据以往的经验知道,自动包装机装袋重量X服从正态分布N( )．某日开工后，抽取了8袋，如何根据这8袋的重量判断“自动包装机工作是正常的”这个命题是否成立？请看以下几个问题：问题1引号内的命题可能是真，也可能是假，只有通过验证才能确定．如果根据抽样结果判断它是真，则我们接受这个命题，否则就拒绝接受它，此时实际上我们接受了“机器工作不正常”这样一个命题．若用H0表示“”，用H1表示其对立面，即“”，则问题等价于检验H0：是否成立，若H0不成立，则H1：成立．一架天平标定的误差方差为10-4(g2)，重量为的物体用它称得的重量X服从N( )．某人怀疑天平的精度，拿一物体称n次，得n 个数据，由这些数据(样本)如何判断“这架天平的精度是10-4(g2)”这个命题是否成立？问题2记H0: =10-4，H1: ，则问题等价于检验H0成立，还是H1成立．某种电子元件的使用寿命X服从参数为的指数分布，现从一批元件中任取n个，测得其寿命值（样本），如何判定“元件的平均寿命不小于5000小时”这个命题是否成立？记问题3则问题等价于检验H0成立，还是H1成立．某种疾病，不用药时其康复率为，现发明一种新药（无不良反应），为此抽查n位病人用新药的治疗效果，设其中有s人康复，根据这些信息，能否断定“该新药有效”？记问题4则问题等价于检验H0成立，还是H1成立．自1965年1月1日至1971年2月9日共2231天中，全世界记录到震级4级及以上的地震共计162次，问相继两次地震间隔的天数X是否服从指数分布？问题5记服从指数分布，不服从指数分布．则问题也等价于检验H0成立，还是H1成立．在很多实际问题中，我们常常需要对关于总体的分布形式或分布中的未知参数的某个陈述或命题进行判断，数理统计学中将这些有待验证的陈述或命题称为统计假设，简称假设．如上述各问题中的H0和H1都是假设.利用样本对假设的真假进行判断称为假设检验。

概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第八章习题参考答案

⎧Yij = µ + a i + ε ij , i = 1, 2, L , r , j = 1, 2, L , m; ⎪ r ⎪ ⎨∑ a i = 0; ⎪ i =1 2 ⎪ ⎩ε ij 相互独立，且都服从N (0, σ ).
检验的原假设与备择假设为 H0：a 1 = a 2 = … = a r = 0 8.1.3 平方和分解 vs H1：a 1 , a 2 , …, a r 不全等于 0．
i =1 j =1 i =1 j =1 r m r m r m r m r m
= ∑∑ (Yij − Yi⋅ ) 2 + ∑∑ (Yi⋅ − Y ) 2 + 2∑∑ (Yij − Yi⋅ )(Yi⋅ − Y )
i =1 j =1 i =1 j =1 i =1 j =1
= S e + S A + 2∑ [(Yi⋅ − Y )∑ (Yij − Yi⋅ )] = S e + S A + 2∑ [(Yi⋅ − Y ) × 0] = S e + S A + 0 = S e + S A ，
ε i⋅ =
1 m ∑ ε ij ， i = 1, 2, …, r， m j =1
ε=
1 r m 1 r ε = ε i⋅ ． ∑∑ ij r ∑ n i =1 j =1 i =1
显然有 Yi⋅ = µ i + ε i⋅ ， Y = µ + ε ．在单因子方差分析中通常将试验数据及基本计算结果写成表格形式因子水平 A1 A2 ┆ Ar Y11 Y21 ┆ Yr1 Y12 Y22 ┆ Yr2 试验数据 … … ┆ … Y 1m Y 2m ┆ Yrm 和 T1 T2 ┆ Tr 和的平方平方和

概率论与数理统计课后习题答案第八章

有无显著差异(
).
解:检验假设
经计算
查表知
由于
故接受
即甲,乙两台车床加工的产品直径无显著差异.
8. 从甲地发送一个信号到乙地.设乙地接受到的信号值是一个服从正态分布
的随机变量,其
中为甲地发送的真实信号值.现甲地重复发送同一信号 5 次,乙地接受到的信号值为
8.05
8.15
8.2
8.1
8.25
设接收方有理由猜测甲地发送的信号值为 8.问能否接受这一猜测? (
∵
该机正常工作与否的标志是检验是否成立.一日
试问:在检验水平
下,该日自动机工作是否正
查表知
,由于
故拒绝 ,即该日自动机工作不正常.
2. 假定考生成绩服从正态分布,在某地一次数学统考中,随机抽取了 36 位考生的成绩,算的平均成绩为分,标准差 S=15 分,问在显著性水平 0.05 下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为
问这两台机床的加工精度是否一致?
解:该题无值,故省略.(用 F 检验)
4. 对两批同类电子元件的电阻进行测试,各抽 6 件,测得结果如下(单位:Ω )
A 批 0.140 0.138 0.143 0.141 0.144 0.137
B 批 0.135 0.140 0.142 0.136 0.138 0.141
态分布
(单位:公斤).现抽测了 9 包,其重量为:
99.3
98.7
100.5 101.2 98.3
99.7
99.5
102.0 100.5
问这天包装机工作是否正常?
将这一问题化为一个假设检验问题,写出假设检验的步骤,设
解: (1)作假设

概率论与数理统计---同济大学第二版练习册答案

概率论与数理统计练习题系专业班姓名学号第一章随机事件及其概率（一）一．选择题1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ]（A ）不可能事件（B ）必然事件（C ）随机事件（D ）样本事件2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ]（A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品}（B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品}（C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个}（D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品}3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ]（A ）A AB - （B ）()A B B ⋃- （C ）A B （D ）A B4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ⋃表示 [ C]（A ）二人都没射中（B ）二人都射中（C ）二人没有都射着（D ）至少一个射中5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D]（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；（B ）“甲、乙两种产品均畅销”；（C ）“甲种产品滞销”；（D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A]（A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x <<（C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<<⋃≤<+∞7．在事件A ，B ，C 中，A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为 [ A]（A ）C A C B ；（B ）C AB ；（C ）C AB C B A BC A ；（D ）A B C .8、设随机事件,A B 满足()0P AB =，则 [ D ]（A ）,A B 互为对立事件 (B) ,A B 互不相容(C) AB 一定为不可能事件 (D) AB 不一定为不可能事件二、填空题1．若事件A ，B 满足AB φ=，则称A 与B 互不相容或互斥。

《概率论与数理统计》习题及答案第八章

《概率论与数理统计》习题及答案第⼋章《概率论与数理统计》习题及答案第⼋章1. 设x.,x2,,%…是从总体X中抽岀的样本，假设X服从参数为兄的指数分布，⼏未知，给泄⼊〉0和显著性⽔平a(Ovavl),试求假设H o的⼒$检验统计量及否建域.解选统汁量*=2⼈⼯⼄=2如庆则Z2 -Z2(2n) ?对于给宦的显著性⽔平a,査z'分布表求出临界值加⑵"，使加⑵2))=Q因z2 > z2 > 所以(F"： (2/1)) => (/2 > /； (2n)),从⽽a = P{X2 > 加⑵“} n P{r > Za(2/0)可见仏:2>^的否定域为Z2>Z；(2?).2. 某种零件的尺⼨⽅差为O-2=1.21,对⼀批这类零件检查6件得尺⼨数据(毫⽶)：，，，，，。

设零件尺⼨服从正态分布，问这批零件的平均尺⼨能否认为是毫⽶(a = O.O5).解问题是在/已知的条件下检验假设：“ = 32.50Ho的否定域为1“ l> u af2u0(n5 = 1.96 ,因1“ 1=6.77 >1.96,所以否泄弘，即不能认为平均尺⼨是亳⽶。

3. 设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为b = 100,今抽了⼀个容量为26的样本，计算平均值1580,问在显著性⽔平a = 0.05下，能否认为这批产品的指标的期望值“不低于1600。

解问题是在b?已知的条件下检验假设://>1600的否定域为u < -u a/2,其中X-1600 r-r 1580-1600 c , “11 = ------------ V26 = ------------------- x 5.1 = —1.02.100 100⼀叫05 =—1.64.因为// =-1.02>-1.64 =-M005,所以接受H(>,即可以认为这批产品的指标的期望值“不低于1600.4. ⼀种元件，要求其使⽤寿命不低于1000⼩时，现在从这批元件中任取25件，测得其寿命平均值为950⼩时，已知该元件寿命服从标准差为o-=100 ⼩时的正态分布，问这批元件是否合格(<7=0.05)解设元件寿命为X,则X~N(“，IO。

概率论与数理统计第八章假设检验习题解答

1.[一]某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）3.25 3.27 3.24 3.26 3.24。

设测定值总体服从正态分布，问在α = 0.01下能否接受假设：这批矿砂的含镍量的均值为3.25.解：设测定值总体X～N （μ，σ 2），μ，σ 2均未知步骤：（1）提出假设检验H 0：μ=3.25; H 1：μ≠3.25 （2）选取检验统计量为)1(~25.3--=n t nS X t（3）H 0的拒绝域为| t |≥).1(2-n t α（4）n=5, α = 0.01，由计算知01304.0)(11,252.3512=--==å=i iX Xn S x查表t 0.005(4)=4.6041, )1(343.0501304.025.3252.3||2-<=-=n t t α（5）故在α = 0.01下，接受假设H 02．[二] 如果一个矩形的宽度ω与长度l 的比618.0)15(21»-=l ω，这样的矩形称为黄金矩形。

这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉。

现代建筑构件（如窗架）、工艺品（如图片镜框）、甚至司机的执照、商业的信用卡等常常都是采用黄金矩型。

下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形的宽度与长度的比值。

设这一工厂生产的矩形的宽度与长短的比值总体服从正态分布，其均值为μ，试检验假设（取α = 0.05）H 0：μ = 0.618H 1：μ≠0.6180.693 0.749 0.654 0.670 0.662 0.672 0.615 0.606 0.690 0.628 0.668 0.611 0.606 0.609 0.601 0.553 0.570 0.844 0.576 0.933. 解：步骤：（1）H 0：μ = 0.618； H 1：μ≠0.618 （2）选取检验统计量为)1(~618.0--=n t nS X t（3）H 0的拒绝域为| t |≥).1(2-n t α （4）n=20 α = 0.05，计算知0925.0)(11,6605.01121=--===åå==ni ini ix xn S xnx ，)1(055.2200925.0618.06605.0||,0930.2)1(22-<=-==-n t t n t αα（5）故在α = 0.05下，接受H 0，认为这批矩形的宽度和长度的比值为0.6183.[三] 要求一种元件使用寿命不得低于1000小时，今从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时，已知这种元件寿命服从标准差为σ =100小时的正态分布。

概率论与数理统计练习题第八章答案

第八章假设检验（一）一、选择题：1．假设检验中，显著性水平为α，则 [ B ](A) 犯第二类错误的概率不超过α (B) 犯第一类错误的概率不超过α (C) α是小于等于%10的一个数，无具体意义 (D) 可信度为α-1.2．设某产品使用寿命X 服从正态分布，要求平均寿命不低于1000小时，现从一批这种产品中随机抽出25只，测得平均寿命为950小时，方差为100小时，检验这批产品是否合格可用 [ A ]（A ）t 检验法（B ）2χ检验法（C ）Z 检验法（U 检验法）（D ）F 检验法 3．从一批零件中随机抽出100个测量其直径，测得的平均直径为5.2cm ，标准方差为1.6cm ，若这批零件的直径是符合标准5cm ，采用了t 检验法，在显著性水平α下，接受域为 [ A ]（A ）2||(99)<t t α （B ）2||(100)<t t α （C ）2||(99)≥t t α （D ）2||(100)≥t t α4．设样本12,,,n X X X 来自正态分布2~(,)X N μσ，在进行假设检验时，采用统计量t =是对于[ C ]（A ）μ未知，检验220σσ= （B ）μ已知，检验220σσ=（C ）2σ未知，检验0μμ= （D ）2σ已知，检验0μμ= 二、计算题：1．已知某炼铁厂铁水含碳量在正常情况下，服从正态分布2(4.52,0.108)N ，现在测定了5炉铁水，其含碳量分别为4.29 4.33 4.77 4.35 4.36 若标准差不变，给定显著性水平05.0=α，问（1）现在所炼铁水总体均值μ有无显著性变化？（2）若有显著性变化，可否认为现在生产的铁水总体均值 4.52μ<？010.02522: 4.52,: 4.52~(0,1)0.05 1.964.421,0.108|| 2.07 1.96H H x Z N z x Z μμασμ=≠======>提出假设：选统计量在给定显著性水平下，取临界值为，由于计算所以，现在所炼铁水总体均值有显、.二著性变化。

概率论与数理统计习题解答(第8章)

第八章假设检验三、解答题1. 某种零件的长度服从正态分布，方差2= ，随机抽取6件，记录其长度（毫米）分别为，，，，，在显著性水平 = 下，能否认为这批零件的平均长度为32.50毫米解：这是单个正态总体均值比较的问题，若设该种零件的长度),(~2σμN X ，则需要检验的是：00:μμ=H 01:μμ≠H由于2σ已知，选取nX Z σμ0-=为检验统计量，在显著水平 = 下，0H 的拒绝域为：}|{|}|{|005.02Z z Z z ≥=≥α>查表得 2.575829005.0=Z ，现由n =6, 31.1266711∑===ni i x n x ,1.1=σ, 50.320=μ计算得：3.0581561.132.5-31.126670==-=nX z σμ005.0Z z >可知，z 落入拒绝域中，故在的显著水平下应拒绝0H ，不能认为这批零件的平均长度为32.50毫米。

EXCEL 实验结果：2. 正常人的脉搏平均每分钟72次，某医生测得10例“四乙基铅中毒”患者的脉搏数如下：、54，67，68，78，70，66，67，65，69，70已知人的脉搏次数服从正态分布，问在显著水平 = 下，“四乙基铅中毒”患者的脉搏和正常人的脉搏有无显著差异解：这是单个正态总体均值比较的问题，若设“四乙基铅中毒”患者的脉搏数),(~2σμN X ，则需要检验的是：0:μμ=H1:μμ≠H由于方差未知，选取ns X T 0μ-=为检验统计量，在显著水平 = 下，0H 的拒绝域为：)}9(|{|)}1(|{|2/05.02t t n t t ≥=-≥α查表得 2.26215716)9(025.0=t ，现由n =10, 67.411∑===n i i x n x , ()35.155555611122∑==--=n i ix x n s ，计算得2.45335761035.1555556724.670=-=-=nsX t μ()9(025.0t t >可知，t 落入拒绝域中，故在的显著水平下应拒绝0H ，“四乙基铅中毒”患者的脉搏和正常人的脉搏有显著差异。

概率论与数理统计习题及答案第八章

习题8-11.填空题(1) 假设检验易犯的两类错误分别是____________和__________.解第一类错误(弃真错误); 第二类错误(取伪错误).(2) 犯第一类错误的概率越大, 则右侧检验的临界值(点)越_____, 同时犯第二类错误的概率越_____.解小, 小.2. 已知一批零件的长度X(单位:cm)服从正态分布(,1)Nμ, 从中随机地抽取16个零件, 得到长度的平均值为40cm. 求:(1) 取显著性水平α=0.05时, 均值μ的双侧假设检验的拒绝域;(2) μ的置信水平为0.95的置信区间;(3) 问题(1)和(2)的结果有什么关系.解(1) 计算得到拒绝域为(-∞, 39.51)∪(40.49, +∞).(2) 已知x=40, σ =1,α = 0.05, 查表可得0.02521.96,z zα==所求置信区间为22()(40 1.96,40 1.96),x z x zαα+=-(39.51,40.49).=(3) 对于显著性水平α=0.05, μ的双侧假设检验的接受域恰为μ的置信水平为0.95的置信区间.习题8-21.填空题(1) 设总体2~(,)X Nμσ,12,,,nX X X是来自总体X的样本. 对于检验假设H:μμ=(μμ≥或μμ≤), 当2σ未知时的检验统计量是,H为真时该检验统计量服从分布; 给定显著性水平为α, 关于μ的双侧检验的拒绝域为, 左侧检验的拒绝域为, 右侧检验的拒绝域为__________.解Xt=; 自由度为n-1的t分布;2t tα…;t tα-…;t tα….2. 统计资料表明某市人均年收入服从2150μ=元的正态分布. 对该市从事某种职业的职工调查30人, 算得人均年收入为2280x=元, 样本标准差476s=元. 取显著性水平0.1, 试检验该种职业家庭人均年收入是否高于该市人均年收入?解由于总体方差未知, 故提出假设H0:μ≤μ0=2150; H1:μ>μ0.对于α=0.1,选取检验统计量X t =拒绝域为t >)1(-n t α=t 0.1(29)=1.3114.代入数据n =30, x =2280, s =476, 得到4959.130476215022800=-=-=n s x t μ>1.3114.所以拒绝原假设, 可以认为该种职业家庭人均年收入高于市人均年收入.3. 从某种试验物中取出24个样品，测量其发热量, 算得平均值11958, 样本标准差316s =．设发热量服从正态分布. 取显著性水平α=0.05, 问是否可认为该试验物发热量的期望值为12100?解提出假设 H 0: μ=μ0=12100; H 1:μ≠μ0 .对于α=0.05,选取检验统计量X t =, 拒绝域为|t |>)1(2-n t α=t 0.025(23)=2.0687代入数据n =24, x =11958, s =316, 得到|| 2.20144x t ===>2.0687.所以拒绝原假设, 不能认为该试验物发热量的期望值为12100.4．从某锌矿的东西两支矿脉中, 各抽取容量分别为9和8的样品, 计算其样本含锌量(%)的平均值与方差分别为:东支: 0.230,x =2110.1337,9;n s ==西支: 0.269,y =2220.1736,8s n ==.假定东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布. 取显著性水平0.05α=, 问能否认为两支矿脉的含锌量相同?解提出假设 H 0:μ1-μ2=0 ; H 1: μ1-μ2≠0.已知α=0.05, 210.230,0.1337x s ==, 220.269,0.1736y s ==,129,8,n n ==选取检验统计量X Y t =, 22112212(1)(1)2w n S n S S n n -+-=+-,拒绝域为|t |>120.0252(2)(15) 2.1315.t n n t α+-==因为2222112212(1)(1)(91)0.1337(81)0.17360.392982wn s n s s n n -+--⨯+-⨯===+-+-,||0.2058x y t ===<2.1315,所以不能拒绝原假设, 可以认为两支矿脉的含锌量相同.习题8-3一、填空题1. 设总体2~(,)X N μσ, 12,,,n X X X 是来自总体X 的样本, 则检验假设0H :220σσ=(220σσ≥或220σσ≤), 当μ未知时的检验统计量是 , 0H 为真时该检验统计量服从分布; 给定显著性水平α, 关于σ2的双侧检验的拒绝域为 , 左侧检验的拒绝域为 , 右侧检验的拒绝域为__________.解 2220(1)n S χσ-=; 2(1)n χ-; 2212(1)n αχχ--≤或222(1)n αχχ-≥;221(1)n αχχ--≤;22(1)n αχχ-≥. 2. 为测定某种溶液中的水分, 由它的10个测定值算出样本标准差的观察值0.037s =％. 设测定值总体服从正态分布, 2σ为总体方差, 2σ未知. 试在0.05α=下检验假设0:0.04H σ≥%; 1:0.04H σ<%.解只需考虑假设 022:0.04)%H ≥(σ; 122:(0.04)%H <σ . 对于α=0.05, 选取检验统计量2220(1)n S χσ-=, 拒绝域为22210.95(1)(9) 3.325n αχχχ--==≤.代入数据10=n ,220(0.04%)=σ, s 2=(0.037%)2, 计算得到222220(1)(101)(0.037%)(0.04%)n S --⨯==χσ=7.701>3.325,不落在拒绝域内,所以在水平α=0.05下接受H 0, 即认为σ≥0.04%.3. 有容量为100的样本, 其样本均值观察值 2.7x =, 而10021225（）i i x -x ==∑.试以0.01α=检验假设H 0: σ2=2.5．解提出假设 2201: 2.5;: 2.5.H H σσ=≠对于α=0.01, 选取检验统计量2220(1)n S χσ-=, 拒绝域为22220.9950.995121(1)(99)(2n z αχχχ--=≈+≤=65.67,或22220.0050.00521(1)(99)(2n z αχχχ-=≈≥=137.96.代入数据n =100, 2(1)225,n s -=得到2220(1)2252.5n s χσ-===90.因为65.67<90<137.96, 即χ2的观察值不落在拒绝域内, 所以在水平α=0.01下接受H 0, 即认为σ2=2.5.习题8-41..试在显著性水平α=0.025下检验H 0: X 的概率密度2,01,()0,.x x f x <<⎧=⎨⎩其它解因为22/4(1)/41(1){}2,4416i i i i i i i p P X x x ----=<==⎰≤d i =1, 2, 3, 4.待检假设 02,01,:()0,.x x H X f x <<⎧=⎨⎩ 其它列计算表如表8-1所示, 算得2421() 1.83.i i i if np npχ=-==∑表8-1 第1题数据处理查表知20.025(3)9.348,χ= 经比较知220.0251.83(3)9.348,χχ=<=故接受H 0, 认为X 的概率密度为2,01,()0,.x x f x <<⎧=⎨⎩其它2. 在显著性水平α=0.05下, 检验这枚骰子是否均匀.解用X 表示骰子掷出的点数, P {X =i }=p i , i =1, 2, …, 6. 如果骰子是均匀的, 则p i =16, i =1, 2, …, 6. 因此待检假设01:6i H p =, i =1, 2, …, 6. 计算检验统计量221()ni i i if np np χ=-=∑的值, 得2222222100100100[(13)(14)(20)666100100100100(17)(15)(21)]66663.2.χ=-+-+-+-+-+-÷=查表知20.05(61)11.071,χ-= 经比较知220.053.2(5)11.071,χχ=<= 故接受H 0, 认为骰子是均匀的.。

概率论与数理统计教程-魏宗舒-课后习题解答答案-7-8章

概率论与数理统计教程-魏宗舒-课后习题解答答案-7-8章概率论与数理统计教程-魏宗舒-课后习题解答答案-7-8章第七章假设检验7.1 设总体2(,)N ξµσ~，其中参数µ，2σ为未知，试指出下⾯统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设：（1）0:0,1H µσ==；（2）0:0,1H µσ=>；（3）0:3,1H µσ<=；（4）0:03H µ<<；（5）0:0H µ=.解：（1）是简单假设，其余位复合假设 7.2 设1225,,,ξξξ取⾃正态总体(,9)N µ，其中参数µ未知，x 是⼦样均值，如对检验问题0010:,:H H µµµµ=≠取检验的拒绝域：12250{(,,,):||}c x x x x c µ=-≥，试决定常数c ，使检验的显著性⽔平为0.05解：因为(,9)N ξµ~，故9(,)25N ξµ~ 在0H 成⽴的条件下，00053(||)(||)53521()0.053cP c P c ξµξµ-≥=-≥??=-Φ=55()0.975,1.9633c cΦ==，所以c =1.176。

7.3 设⼦样1225,,,ξξξ取⾃正态总体2(,)N µσ，20σ已知，对假设检验0010:,:H H µµµµ=>，取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=>，（1）求此检验犯第⼀类错误概率为α时，犯第⼆类错误的概率β，并讨论它们之间的关系；（2）设0µ=0.05，20σ=0.004，α=0.05，n=9，求µ=0.65时不犯第⼆类错误的概率。

解：（1）在0H 成⽴的条件下，200(,)nN σξµ~，此时00000()P c P ξαξ=≥=10，由此式解出010c αµ-=+在1H 成⽴的条件下，20(,)nN σξµ~，此时101010()(P c P αξβξµ-=<=<=Φ=Φ=Φ由此可知，当α增加时，1αµ-减⼩，从⽽β减⼩；反之当α减少时，则β增加。

浙江大学概率论与数理统计盛骤-第四版

拒绝域为:
X S
0
n

t (n 1)
即 S k n t (n 1)
因此，拒绝域为：
t

X 0
Sn
t (n 1).
14
例2 某种元件的寿命X（以小时记）服从正态分布N (, 2 ),
, 2均未知。现测得16只元件的寿命如下：
159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170 问是否有理由认为元件的平均寿命大于225（小时）？（取
原假设 H0 : 6.0，备择假设 H1 : 6.0
检验统计量为 X , 检验拒绝域的形式为 X 6.0 c.
由于作出决策的依据是一个样本，因此，可能出现“实际上原假设成立，但根据样本作出拒绝原假设”的决策。这种错误称为“第一类错误”，实际中常常将犯第一类错误的概率控制在一定限度内，即事先给定较小的数α (0<α<1)（称为显著性水平）,使得
X1, X2, , Xn来自N , 2 , X 和S 2分别为样本均值和方差,显著性水平为
H0 : 0 , H1 : 0
1 2已知时
检验拒绝域形式为：X 0 c n
在H0为真时，
X 0 n
~ N 0,1
根据犯第一类错误概率不大于 ,
正确决策
第二类错误
第一类错误
正确决策
第一类错误：原假设H0成立时，作出拒绝原假设的决策；第二类错误：备择假设H1成立时，作出接受原假设的决策。
通常，犯第一类错误的概率、犯第二类错误的概率、样本容量可以看作为“三方拔河”。
8
例如，设显著性水平为，计算上例中犯第一类错误的概率和 5.4时犯第二类错误的概率：

(2021年整理)概率论与数理统计习题集及答案

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《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念§1 。

1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H ﹑反面T 出现的情形。

样本空间是：S= ；(2）一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数。

样本空间是：S= ; 2.（1）丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= 。

(2）一枚硬币连丢2次, A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：（1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为：。

(3）A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .（4）A 、B 、C 中最多二个发生表示为: 。

（5）A 、B 、C 中至少二个发生表示为：。

(6）A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=⋃B A ,（2）=AB ，(3）=B A ，（4)B A ⋃= ，（5）B A = 。

§1 。

3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则（1） =)(AB P ，（2)()(B A P ）= , （3))(B A P ⋃= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = 。

概率论与数理统计课后习题及答案 (8)

习题八1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.1082).现在测了5炉铁水，其含碳量（%）分别为4.28 4.40 4.42 4.35 4.37问若标准差不改变，总体平均值有无显著性变化（α=0.05）?【解】0010/20.0250.025: 4.55;: 4.55.5,0.05, 1.96,0.1084.364,(4.364 4.55)3.851,0.108.H Hn Z ZxxZZZαμμμμασ==≠=======-===->所以拒绝H0，认为总体平均值有显著性变化.2. 某种矿砂的5个样品中的含镍量（%）经测定为：3.24 3.26 3.24 3.27 3.25设含镍量服从正态分布，问在α=0.01下能否接收假设：这批矿砂的含镍量为3.25.【解】设0010/20.0050.005: 3.25;: 3.25.5,0.01,(1)(4) 4.60413.252,0.013,(3.252 3.25)0.344,0.013(4).H Hn t n tx sxtttαμμμμα==≠===-====-===<所以接受H0，认为这批矿砂的含镍量为3.25.3. 在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，若从这种香烟堆中任取36支作为样本；测得样本均值为1.008（克），样本方差s2=0.1(g2).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取α=0.05）.【解】设0010/20.02520.025: 1.1;: 1.1.36,0.05,(1)(35) 2.0301,36,1.008,0.1,6 1.7456,1.7456(35)2.0301.H Hn t n t nx sxtttαμμμμα==≠===-=========<=所以接受H0，认为这堆香烟（支）的重要（克）正常.4.某公司宣称由他们生产的某种型号的电池其平均寿命为21.5小时，标准差为2.9小时.在实验室测试了该公司生产的6只电池，得到它们的寿命（以小时计）为19，18，20，22，16，25，问这些结果是否表明这种电池的平均寿命比该公司宣称的平均寿命要短？设电池寿命近似地服从正态分布（取α=0.05）. 【解】0100.050.05:21.5;:21.5.21.5,6,0.05, 1.65, 2.9,20,(2021.5)1.267,2.91.65.H Hn z xxzz zμμμασ≥<======-===->-=-所以接受H0，认为电池的寿命不比该公司宣称的短.5.测量某种溶液中的水分，从它的10个测定值得出x=0.452(%),s=0.037(%).设测定值总体为正态，μ为总体均值，σ为总体标准差，试在水平α=0.05下检验.（1）H0：μ=0.5(%)；H1：μ＜0.5(%).（2）:Hσ'=0.04(%)；1:Hσ'＜0.04(%).【解】(1)00.050.050.5;10,0.05,(1)(9) 1.8331,0.452,0.037,(0.4520.5)4.10241,0.037(9) 1.8331.n t n tx sxtt tαμα===-====-===-<-=-所以拒绝H0，接受H1.(2)2222010.9522222220.95(0.04),10,0.05,(9) 3.325,0.452,0.037,(1)90.0377.7006,0.04(9).nx sn sασαχχχσχχ-=======-⨯===>所以接受H0，拒绝H1.6.某种导线的电阻服从正态分布N（μ，20.005）.今从新生产的一批导线中抽取9根，测其电阻，得s=0.008欧.对于α=0.05，能否认为这批导线电阻的标准差仍为0.005?【解】00102222/20.0251/20.975222220.02522:0.005;:0.005.9,0.05,0.008,(8)(8)17.535,(8)(8) 2.088,(1)80.00820.48,(8).(0.005)H Hn sn sαασσσσαχχχχχχχσ-===≠=======-⨯===>故应拒绝H0，不能认为这批导线的电阻标准差仍为0.005.7.有两批棉纱，为比较其断裂强度，从中各取一个样本，测试得到：第一批棉纱样本：n1=200，x=0.532kg, s1=0.218kg；第二批棉纱样本：n 2=200，y =0.57kg, s 2=0.176kg.设两强度总体服从正态分布，方差未知但相等，两批强度均值有无显著差异？(α=0.05) 【解】01211212/2120.0250.0250.025:;:.200,0.05,(2)(398) 1.96,0.1981,1.918;(398).w H H n n t n n t z s x y t t t αμμμμα=≠===+-=≈=======-< 所以接受H 0，认为两批强度均值无显著差别.8.两位化验员A ，B 对一种矿砂的含铁量各自独立地用同一方法做了5次分析，得到样本方差分别为0.4322(%2)与0.5006(%2).若A ，B 所得的测定值的总体都是正态分布，其方差分别为σA 2，σB 2，试在水平α=0.05下检验方差齐性的假设222201:;:.A B A B H H σσσσ=≠【解】221212/2120.0250.9750.02521225,0.05,0.4322,0.5006,(1,1)(4,4)9.6,11(4,4)0.1042,(4.4)9.60.43220.8634.0.5006n n s s F n n F F F s F s αα=====--========那么0.9750.025(4,4)(4,4).F F F <<所以接受H 0，拒绝H 1.9. 在π的前800位小数的数字中，0，1，…，9相应的出现了74，92，83，79，80，73，77，75，76，91次.试用2χ检验法检验假设H 0：P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=…=P(X=9)=110，其中X 为π的小数中所出现的数字，α=0.10.解：假设古典概型，设有未知参数，1ˆ(),80010iP P x i n ====22221021ˆ()(7480)(9280)(9180) 5.125ˆ808080i ii i f nP nP χ=----==+++=∑在检验水平α=0.10下，查自由度m=10-0-1=9的2χ分布表，得到临界值20.10(9)14.684χ=.因为2χ=5.125<14.684不能拒绝原假设.10. 在一副扑克牌(52张)中任意抽3张，记录3张牌中含红桃的张数，放回，然后再任抽3张，如此重复64次，得到如表8-10所示的结果，试在水平α=0.01下检验.表8-10H 0：Y 服从二项分布，3313(),0,1,2,3.44iii P Y i C i -⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解：假设Y ～B （3，14），没有未知参数. 313ˆ()44iii i P P Y i C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n=64. 2421ˆ() 3.926ˆi ii i f nP nP χ=-=≈∑在检验水平α=0.01下，查自由度m=4-0-1=3的2χ分布表，20.01(3)11.345χ=,因为2χ=3.926<11.345,所以不能拒绝原假设.11. 在某公路上，50min 之间，观察每15s 内过路的汽车的辆数，得到频数分布如表8-11所示，问这个分布能否认为是泊松分布(α=0.10)?表8-11解：假设H 0：总体X 服从泊松分布.P{x=i}=!ie i λλ-,i=0,1,2,，，…,这里H 0中参数λ未知，用最大似然估计法得到：0921682283114150ˆ0.805200λ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==若H 0为真，P{X=i}的估计为ˆiP =0.8051ˆ{(1)}(0.805),200,(1)!i e P X i n i --=-==-2621ˆ() 2.115ˆi ii i f nP nP χ=-=≈∑在检验水平0.10下，查自由度m=6-1-1=4的2χ分布表，得20.10(4)7.779χ=,由于2χ=2.115<7.779，所以接受假设H 0，即是泊松分布.12. 测得300只电子管的寿命(以h 计)如表8-12所示，试取水平α=0.05下的检验假设： H 0：寿命X 服从指数分布，其密度为2001,0,()2000,.te tf t -⎧>⎪=⎨⎪⎩其他解：10001100200200201{0100}10.39200t t P t e dt e e ---<≤==-=-≈⎰2001001200120020021001{100200}0.24200tt P t e dt e e e ----<≤==-=-≈⎰3002003300120020022001{200300}0.14200t t P t e dt ee e----<≤==-=-≈⎰3000300200020033221{300}1{300}12001110.22tt P t P t e dte e e ---->=-≤=-⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫=--=≈ ⎪⎝⎭⎰没有未知参数，n=300,所以222(1213000.39)(583000.22)3000.397000.221.631.χ-⨯-⨯=++⨯⨯≈ 在检验水平α=0.05下查自由度m=4-0-1=3的2χ分布表，得到临界值20.05(3)7.815χ=.因=1.631<7.815，所以不能拒绝原假设. 为2。

概率论与数理统计课后习题答案第八章习题详解

习题八1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N,.现在测了5炉铁水，其含碳量（%）分别为问若标准差不改变，总体平均值有无显着性变化（α=）【解】0010/20.0250.025: 4.55;: 4.55.5,0.05, 1.96,0.1084.364,(4.364 4.55)3.851,0.108.H Hn Z ZxxZZZαμμμμασ==≠=======-===->所以拒绝H0，认为总体平均值有显着性变化.2. 某种矿砂的5个样品中的含镍量（%）经测定为：设含镍量服从正态分布，问在α=下能否接收假设：这批矿砂的含镍量为.【解】设0010/20.0050.005: 3.25;: 3.25.5,0.01,(1)(4) 4.60413.252,0.013,(3.252 3.25)0.344,0.013(4).H Hn t n tx sxtttαμμμμα==≠===-====-===<所以接受H0，认为这批矿砂的含镍量为.3. 在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，若从这种香烟堆中任取36支作为样本；测得样本均值为（克），样本方差s2=(g2).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取α=）.【解】设0010/20.02520.025: 1.1;: 1.1.36,0.05,(1)(35) 2.0301,36,1.008,0.1,6 1.7456,1.7456(35)2.0301.H Hn t n t nx sxtttαμμμμα==≠===-=========<=所以接受H0，认为这堆香烟（支）的重要（克）正常.4.某公司宣称由他们生产的某种型号的电池其平均寿命为小时，标准差为小时.在实验室测试了该公司生产的6只电池，得到它们的寿命（以小时计）为19，18，20，22，16，25，问这些结果是否表明这种电池的平均寿命比该公司宣称的平均寿命要短设电池寿命近似地服从正态分布（取α=）.【解】0100.050.05:21.5;:21.5.21.5,6,0.05, 1.65, 2.9,20,(2021.5)1.267,2.91.65.H Hn z xxzz zμμμασ≥<======-===->-=-所以接受H0，认为电池的寿命不比该公司宣称的短.5.测量某种溶液中的水分，从它的10个测定值得出x=(%),s=(%).设测定值总体为正态，μ为总体均值，σ为总体标准差，试在水平α=下检验.（1）H0：μ=(%)；H1：μ＜(%).（2）:Hσ' =(%)；1:Hσ'＜(%).【解】(1)00.050.050.5;10,0.05,(1)(9) 1.8331,0.452,0.037,(0.4520.5)4.10241,0.037(9) 1.8331.n t n tx sxtt tαμα===-====-===-<-=-所以拒绝H0，接受H1.(2)2222010.9522222220.95(0.04),10,0.05,(9) 3.325,0.452,0.037,(1)90.0377.7006,0.04(9).nx sn sασαχχχσχχ-=======-⨯===>所以接受H0，拒绝H1.6.某种导线的电阻服从正态分布N（μ，）.今从新生产的一批导线中抽取9根，测其电阻，得s=欧.对于α=，能否认为这批导线电阻的标准差仍为【解】00102222/20.0251/20.975222220.02522:0.005;:0.005.9,0.05,0.008,(8)(8)17.535,(8)(8) 2.088,(1)80.00820.48,(8).(0.005)H Hn sn sαασσσσαχχχχχχχσ-===≠=======-⨯===>故应拒绝H0，不能认为这批导线的电阻标准差仍为.7.有两批棉纱，为比较其断裂强度，从中各取一个样本，测试得到：第一批棉纱样本：n1=200，x=0.532kg, s1=0.218kg；第二批棉纱样本：n2=200，y=0.57kg, s2=0.176kg.设两强度总体服从正态分布，方差未知但相等，两批强度均值有无显着差异(α=【解】01211212/2120.0250.0250.025:;:.200,0.05,(2)(398) 1.96,0.1981,1.918;(398).w H H n n t n n t z s x y t t t αμμμμα=≠===+-=≈=======-< 所以接受H 0，认为两批强度均值无显着差别.8.两位化验员A ，B 对一种矿砂的含铁量各自独立地用同一方法做了5次分析，得到样本方差分别为(%2)与(%2).若A ，B 所得的测定值的总体都是正态分布，其方差分别为σA 2，σB 2，试在水平α=下检验方差齐性的假设222201:;:.A B A B H H σσσσ=≠【解】221212/2120.0250.9750.02521225,0.05,0.4322,0.5006,(1,1)(4,4)9.6,11(4,4)0.1042,(4.4)9.60.43220.8634.0.5006n n s s F n n F F F s F s αα=====--========那么0.9750.025(4,4)(4,4).F F F <<所以接受H 0，拒绝H 1.9~12. 略。

概率论与数理统计(理工类.第四版)吴赣昌主编答案5,6,7,8章

第五章数理统计的基础知识5.1 数理统计的基本概念习题一已知总体X服从[0,λ]上的均匀分布(λ未知),X1,X2,⋯,Xn为X的样本，则().(A)1n∑i=1nXi-λ2是一个统计量；(B)1n∑i=1nXi-E(X)是一个统计量；(C)X1+X2是一个统计量；(D)1n∑i=1nXi2-D(X)是一个统计量.解答：应选(C).由统计量的定义：样本的任一不含总体分布未知参数的函数称为该样本的统计量.(A)(B)(D)中均含未知参数.习题2观察一个连续型随机变量，抽到100株“豫农一号”玉米的穗位(单位：cm),得到如下表中所列的数据. 按区间[70,80),[80,90),⋯,[150,160),将100个数据分成9个组，列出分组数据计表(包括频率和累积频率),并画出频率累积的直方图.解答：分组数据统计表X¯=1n∑i=1nXi与Sn2=1n∑i=1n(Xi-X¯)2分别表示样本均值和样本二阶中心矩，试求E(X¯),E(S2).解答：由X∼B(10,3100),得E(X)=10×3100=310,D(X)=10×3100×97100=2911000,所以E(X¯)=E(X)=310,E(S2)=n-1nD(X)=291(n-1)1000n.习题6设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料f(x)={λe-λx,x>00,其它,F(x)={1-e-λx,x>00,x≥0,X(2)的概率密度为f(2)(x)=2F(x)f(x)={2λe-λx(1-e-λx),x>00,其它,又X(1)的概率密度为f(1)(x)=2[1-F(x)]f(x)={2λe-2λx,x>00,其它.习题9设电子元件的寿命时间X(单位：h)服从参数λ=0.0015的指数分布，今独立测试n=6元件，记录它们的失效时间，求：(1)没有元件在800h之前失效的概率；(2)没有元件最后超过3000h的概率.解答：(1)总体X的概率密度f(x)={(0.0015)e-0.0015x,x>00,其它,分布函数F(x)={1-e-0.0015x,x>00,其它,{没有元件在800h前失效}={最小顺序统计量X(1)>800},有P{X(1)>800}=[P{X>800}]6=[1-F(800)]6=exp(-0.0015×800×6)=exp(-7.2)≈0.000747.(2){没有元件最后超过3000h}={最大顺序统计量X(6)<3000}P{X(6)<3000}=[P{X<3000}]6=[F(3000)]6=[1-exp{-0.0015×3000}]6=[1-exp{-4.5}]6≈0.93517.习题10设总体X任意，期望为μ,方差为σ2,若至少要以95%的概率保证∣X¯-μ∣<0.1σ,问样本容量n应取多大？解答：因当n很大时，X¯-N(μ,σ2n),于是P{∣X¯-μ∣<0.1σ}=P{μ-0.1σ<X¯<μ+0.1σ}≈Φ(0.1σσ/n)-Φ(-0.1σσ/n)=2Φ(0.1n)-1≥0.95,则Φ(0.1n)≥0.975,查表得Φ(1.96)=0.975,因Φ(x)非减，故0.1n≥1.96,n≥384.16,故样本容量至少取385才能满足要求.5.2 常用统计分布习题1对于给定的正数a(0<a<1),设za,χa2(n),ta(n),Fa(n1,n2)分别是标准正态分布，χ2(n),t(n),F(n1,n2)分布的上a分位点，则下面的结论中不正确的是().(A)z1-a(n)=-za(n);(B)χ1-a2(n)=-χa2(n);(C)t1-a(n)=-ta(n);(D)F1-a(n1,n2)=1Fa(n2,n1).解答：应选(B).因为标准正态分布和t分布的密度函数图形都有是关于y轴对称的，而χ2分布的密度大于等于零，所以(A)和(C)是对的.(B)是错的. 对于F分布，若F∼F(n1,n2),则1-a=P{F>F1-a(n1,n2)}=P{1F<1F1-a(n1,n2)=1-P{1F>1F1-a(n1,n2)由于1F∼F(n2,n1),所以P{1F>1F1-a(n1,n2)=P{1F>Fa(n2,n1)=a,即F1-a(n1,n2)=1Fa(n2,n1). 故(D)也是对的.习题2(1)2.设总体X∼N(0,1),X1,X2,⋯,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布? (1)X1-X2X32+X42;解答：因为Xi∼N(0,1),i=1,2,⋯,n,所以：X1-X2∼N(0,2),X1-X22∼N(0,1),X32+X42∼χ2(2),故X1-X2X32+X42=(X1-X2)/2X32+X422∼t(2).习题2(2)2.设总体X∼N(0,1),X1,X2,⋯,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布? (2)n-1X1X22+X32+⋯+Xn2;解答：因为Xi∼N(0,1),∑i=2nXi2∼χ2(n-1),所以n-1X1X22+X32+⋯+Xn2=X1∑i=2nXi2/(n-1)∼t(n-1).习题2(3)2.设总体X∼N(0,1),X1,X2,⋯,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布?(3)(n3-1)∑i=13Xi2/∑i=4nXi2.解答：因为∑i=13Xi2∼χ2(3),∑i=4nXi2∼χ2(n-3),所以：(n3-1)∑i=13Xi2/∑i=4nXi2=∑i=13Xi2/3∑i=4nXi2/(n-3)∼F(3,n-3).习题3设X1,X2,X3,X4是取自正态总体X∼N(0,22)的简单随机样本，且Y=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2,则a=?,b=?时，统计量Y服从χ2分布，其自由度是多少？解答：解法一Y=[a(X1-2X2)]2+[b(3X3-4X4)]2,令Y1=a(X1-2X2),Y2=b(3X3-4X4),则Y=Y12+Y22,为使Y∼χ2(2),必有Y1∼N(0,1),Y2∼N(0,1),因而E(Y1)=0,D(Y1)=1,E(Y2)=0,D(Y2)=1,注意到D(X1)=D(X2)=D(X3)=D(X4)=4,由D(Y1)=D[a(X1-2X2)]=aD(X1-X2)=a(D(X1)+22D(X2))=a(4+4×4)=20a=1,D(Y2)=D[b(3X3-4X4)]=bD(3X3-4X4)=b(9D(X3)+16D(X4))=b(4×9+16×4)=100b=1,分别得a=120,b=1100.这时Y∼χ2(2),自由度为n=2.解法二因Xi∼N(0,22)且相互独立，知X1-2X2=X1+(-2)X2∼N(0,20),3X3-4X4=3X3+(-4)X4∼N(0,100),故X1-2X220∼N(0,1),3X3-4X4100∼N(0,1),为使Y=(X1-2X21/a)2+(3X3-4X41/b)2∼χ2(2),必有X1-2X21/a∼N(0,1),3X3-4X41/b∼N(0,1),与上面两个服从标准正态分布的随机变量比较即是1a=20,1b=100,即a=120,b=1100.习题4设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N(0,32).X1,X2,⋯,X9和Y1,Y2,⋯,Y9是分别取自总体X和Y的简单随机样本，试证统计量T=X1+X2+⋯+X9Y12+Y22+⋯+Y92服从自由度为9的t分布.解答：首先将Xi,Yi分别除以3,使之化为标准正态.令X′i=Xi3,Y′i=Yi3,i=1,2,⋯,9,则X′i∼N(0,1),Y′i∼N(0,1);再令X′=X′1+X′2+⋯+X′9,则X′∼N(0,9),X′3∼N(0,1),Y′2=Y′12+Y′22+⋯+Y′92,Y′2∼χ2(9).因此T=X1+X2+⋯+X9Y12+Y22+⋯+Y92=X1′+X2′+⋯+X9′Y′12+Y′22+⋯+Y′92=X′Y′2=X′/3Y′2/9∼t(9),注意到X′,Y′2相互独立.习题5设总体X∼N(0,4),而X1,X2,⋯,X15为取自该总体的样本，问随机变量Y=X12+X22+⋯+X1022(X112+X122+⋯+X152)服从什么分布？参数为多少？解答：因为Xi2∼N(0,1),故Xi24∼χ2(1),i=1,2,⋯,15,而X1,X2,⋯,X15独立，故X12+X22+⋯+X1024∼χ2(10),X112+X122+⋯+X1524∼χ2(5),所以X12+X22+⋯+X1024/10X112+X122+⋯+X1524/5=X12+X22+⋯+X1022(X112+X122+⋯+X152)=Y习题6证明：若随机变量X服从F(n1,n2)的分布，则(1)Y=1X服从F(n2,n1)分布；(2)并由此证明F1-α(n1,n2)=1Fα(n2,n1).解答：(1)因随机变量X服从F(n1,n2),故可设X=U/n1V/n2,其中U服从χ2(n1),V服从χ2(n2),且U与V相互独立，设1X=V/n2U/n1,由F分布之定义知Y=1x=V/n2U/n1,服从F(n2,n1).(2)由上侧α分位数和定义知P{X≥F1-α(n1,n2)}=1-α,P{1X≤1F1-α(n1,n2)=1-α,即P{Y≤1F1-α(n1,n2)=1-α,1-P{Y>1F1-α(n1,n2)=1-α,故P{Y>1F1-α(n1,n2)=α,而P{Y≥Fα(n2,n1)}=α.又Y为连续型随机变量，故P{Y≥1F1-α(n1,n2)=α,从而Fα(n2,n1)=1F1-α(n1,n2),即F1-α(n1,n2)=1Fα(n2,n1).习题7查表求标准正态分布的上侧分位数：u0.4,u0.2,u0.1与u0.05.解答：u0.4=0.253,u0.2=0.8416,u0.1=1.28,u0.05=1.65.习题8查表求χ2分布的上侧分位数：χ0.952(5),χ0.052(5),χ0.992(10)与χ0.012(10).解答：1.145,11.071,2.558,23.209.习题9查表求F分布的上侧分位数：F0.95(4,6),F0.975(3,7)与F0.99(5,5).解答：0.1623,0.0684,0.0912.习题10查表求t分布的下侧分位数：t0.05(3),t0.01(5),t0.10(7)与t0.005(10).解答：2.353,3.365,1.415,3.169.(2)P{X¯>4.5}=P{Z>4.5-42/9=1-P{Z≤2.25}≈1-Φ(2.25)=1-0.9878=0.0122.习题2设总体X服从正态分布N(10,32),X1,X2,⋯,X6是它的一组样本，设X¯=16∑i=16Xi.(1)写出X¯所服从的分布；(2)求X¯>11的概率.解答：(1)X¯∼N(10,326),即X¯∼N(10,32).(2)P{X¯>11}=1-P{X¯≤11}=1-Φ(11-1032)≈1-Φ(0,8165)≈1-Φ(0.82)=0.2061.习题3设X1,X2,⋯,Xn是总体X的样本，X¯=1n∑i=1nXi,分别按总体服从下列指定分布求E(X¯),D(X¯).(1)X服从0-1分布b(1,p);(2)*X服从二项分布b(m,p);(3)X服从泊松分布P(λ);(4)X服从均匀分布U[a,b];(5)X服从指数分布e(λ).解答：(1)由题意，X的分布律为：P{X=k}=Pk(1-P)1-k(k=0,1).E(X)=p,D(X)=p(1-p).所以E(X¯)=E(1n∑i=1nXi)=1n∑i=1nE(Xi)=1n⋅np=p,D(X¯)=D(1n∑i=1nXi)=1n2∑i=1nD(X1)=1n2⋅np(1-p)=1np(1-p). (2)由题意，X的分布律为：P{X=k}=CmkPk(1-p)m-k(k=0,1,2,⋯,m).同(1)可得E(X¯)=mp,D(X¯)=1nmp(1-p).(3)由题意，X的分布律为：P{X=k}=λkk!e-λ(λ>0,k=0,1,2,⋯).E(X)=λ,D(X)=λ.同(1)可得E(X¯)=λ,D(X¯)=1nλ.(4)由E(X)=a+b2,D(X)=(b-a)212,同(1)可得E(X¯)=a+b2,D(X¯)=(b-a)212n.(5)由E(X)=1λ,D(X)=1λ2,同(1)可得D(X¯)=1λ,D(X¯)=1nλ2.习题4某厂生产的搅拌机平均寿命为5年，标准差为1年，假设这些搅拌机的寿命近似服从正态分布，求：（1）容量为9的随机样本平均寿命落在4.4年和5.2年之间的概率；（2）容量为9的随机样本平均寿命小于6年的概率。

概率论与数理统计机械工业出版社答案

概率论与数理统计机械工业出版社答案【篇一：概率论与数理统计第八章课后习题详解(机械工业出版社)】课后习题????????????????????????财务?????详解???????????????????判断单侧检验与双侧检验的方法：???若问：是否可以认为??某数值；或者要求??某数值；或者问有无显著差变化或差别，则为双侧检验；????若问：某产品含量不得少于或者不得高于某数值，则该产品是否合格；或者问新产品的平均等级是否比原产品的等级低，则为单侧检验。

?1.解：由题得：?=56.0，??0.9，x?54.9，n?9x?n(56.0,0.9),?已知，用u检验法。

假设h0:??56.0，h1:??56.0选取统计量u?2222??????????n(0,1)x?54.9,u??u0.025?1.962拒绝域为（-?，?1.96）?(1.96,+?)3.7?u?2?拒绝h0，即检验总体的平均抗拉强度有变化。

（闫田田）??2.解：x?n(?,?2),?2已知，用u检验法。

假设h0:?=54 , h1:??54选取统计量u=-~n（0,1）?54.46,??0.75,u0.025?1.96拒绝域为（-?，?1.96）u（1.96,+?）?u??1.9395?u0.025?接受h0，即无显著差异。

?????????（王碧磊）?3.解：x~n??,?2?,?2已知，用u检验法。

假设h0：???0，h1:??0选用统计量u??~n?0,1?ua?u0.05?1.645所以拒绝域为（-?，-1.645）97.7-9815u=????1.6450.88所以拒绝h0，接受h1，新油辛烷平均等级比原来低。

（陈丽娜）? ?4.解：?x?n（?，?2），?2未知，用t检验法。

假设h0：??1277，h1：??1277选取统计量t=??t?n?1??1259，s?11.94，t0.025?4??2.7764拒绝域为???，?2.7764???2.7764，???t??3.369?t0.025?4?拒绝h0，即不可以认为??1277。

概率论与数理统计第八章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第八章课后习题及参考答案1．设某产品指标服从正态分布，它的均方差σ已知为150h ，今从一批产品中随机抽查26个，测得指标的平均值为1637h ．问在5%的显著性水平，能否认为这批产品的指标为1600h ？解：总体X ～)150,(2μN ，检验假设为0H ：1600=μ，1H ：1600≠μ．采用U 检验法，选取统计量nX U /00σμ-=，当0H 成立时，U ～)1,0(N ，由已知，有1637=x ，26=n ，05.0=α，查正态分布表得96.1025.0=u ，该检验法的拒绝域为}96.1{>u ．将观测值代入检验统计量得2577.142.293726/150********==-=u ，显然96.12577.1<=u ，故接受0H ，即可认为这批产品的指标为1600h ．2．正常人的脉搏平均为72次/min ，现某医生从铅中毒患者中抽取10个人，测得其脉搏(单位：次/min)如下：54，67，68，78，70，66，67，70，65，69设脉搏服从正态分布，问在显著性水平05.0=α下，铅中毒患者与正常人的脉搏是否有显著性差异？解：本题是在未知方差2σ的条件下，检验总体均值72=μ．取检验统计量为nS X T /0μ-=，检验假设为0H ：720==μμ，1H ：72≠μ．当0H 成立时，T ～)1(-n t ，由已知，有4.67=x ，93.5=s ，05.0=α，查t 分布表得262.2)9(025.0=t ，将观测值代入检验统计量得45.288.16.410/93.5724.67/0-=-=-=-=n s x t μ，显然)9(262.2447.2025.0t t =>=，故拒绝0H ，即铅中毒患者与正常人的脉搏有显著性差异．3．测定某溶液中的水分，得到10个测定值，经统计%452.0=x ，22037.0=s ，该溶液中的水分含量X ～),(2σμN ，μ与2σ未知，试问在显著性水平05.0=α下该溶液水分含量均值μ是否超过5%？解：这是在总体方差2σ未知的情况下，关于均值μ的单侧检验．检验假设为0H ：%5.0≤μ，1H ：%5.0>μ．此假设等价于检验假设0H ：%5.0=μ，1H ：%5.0>μ．由于2σ未知，取检验统计量为nS X T /0μ-=．当0H 成立时，T ～)1(-n t ，拒绝域为)}1(/{0-≤-n t n s x αμ，将观测值代入检验统计量得709.1)5.052.0(10/0=-=-=ns x t μ，由05.0=α，查t 分布表得833.1)9(05.0=t ，显然)9(833.1709.105.0t t =<=，所以接受0H ，即该溶液水分含量均值μ是否超过5%．4．甲、乙两个品种作物，分别用10块地试种，产量结果97.30=x ，79.21=y ，7.2621=s ，1.1222=s ．设甲、乙品种产量分别服从正态分布),(21σμN 和),(22σμN ，试问在01.0=α下，这两种品种的产量是否有显著性差异？解：这是在方差相等但未知的情况下检验两正态总体的均值是否相等的问题．检验假设为0H ：21μμ=，1H ：21μμ≠．由题可知，22221σσσ==未知，因此取检验统计量nm n m mn S n S m YX T +-+-+--=)2()1()1(2221，当0H 为真时，T ～)2(-+n m t ，该检验法的拒绝域为)}2({2/-+>n m t t α．由题设，10==n m ，97.30=x ，79.21=y ，7.2621=s ，1.1222=s ．将其代入检验统计量得n m n m mn S n S m yx t +-+-+--=)2()1()1(222166.4201810101.1297.26979.2197.30=⨯⨯⨯+⨯-=，由01.0=α，查t 分布表得878.2)18()2(005.02/==-+t n m t α．显然)18(878.266.4005.0t t t =>=，因此，拒绝0H ，即这两种品种的产量有显著性差异．5．某纯净水生产厂用自动灌装机装纯净水，该自动灌装机正常罐装量X ～)4.0,18(2N ，现测量某厂9个罐装样品的灌装量(单位：L)如下：0.18，6.17，3.17，2.18，1.18，5.18，9.17，1.18，3.18在显著性水平05.0=α下，试问：(1)该天罐装是否合格？(2)罐装量精度是否在标准范围内？解：(1)检验罐装是否合格，即检验均值是否为18，故提出假设0H ：18=μ，1H ：18≠μ，由于方差224.0=σ已知，取检验统计量为nX U /00σμ-=，当0H 为真时，U ～)1,0(N ，该检验法的拒绝域为}{2/αu u ≥．由题可知，9=n ，18=x ，将其代入检验统计量得09/4.01818/00=-=-=n x u σμ，由05.0=α，查标准正态分布表得96.1025.0=u ，显然，025.096.10u u =<=，故接受0H ，即该天罐装合格．(2)检验罐装量精度是否在标准范围内，即检验假设0H ：224.0≤σ，1H ：224.0>σ，此假设等价于0H ：224.0=σ，1H ：224.0>σ．由于18=μ已知，选取检验统计量为∑=-=n i i X12202)18(1σχ，当0H 为真时，2χ～)(2n χ，该检验法的拒绝域为)}({22n αχχ≥．由已知计算得625.6)18(112202=-=∑=n i i x σχ，查2χ分布表得307.18)10(205.0=χ，由此知)10(307.18625.6205.02χχ=<=，故接受0H ，即罐装量精度在标准范围内．6．某厂生产某型号电池，其寿命长期以来服从方差221600h =σ的正态分布，现从中抽取25只进行测量，得222500h s =，问在显著性水平05.0=α下，这批电池的波动性较以往有无显著变化？解：这是在均值未知的条件下，对正态总体方差的检验问题．检验假设为0H ：202σσ=，1H ：202σσ≠，其中160020=σ，取检验统计量为222)1(σχS n -=．当0H 为真时，2χ～)(2n χ，对于给定的显著性水平，该检验法的拒绝域为)}1({22/12-≤-n αχχ或)}1({22/2-≥n αχχ．将观测值25002=s 代入检验统计量得5.371600250024)1(222=⨯=-=σχs n ．对于05.0=α，查2χ分布表得401.12)24()1(2975.022/1==--χχαn ，364.39)24()1(2025.022/==-χχαn ，由于)24(364.395.37401.12)24(2025.022975.0χχχ=<=<=，故接受0H ，即这批电池的波动性较以往无显著变化．7．某工厂生产一批保险丝，从中任取10根试验熔化时间，得60=x ，8.1202=s ，设熔化时间服从正态分布),(2σμN ，在01.0=α下，试问熔化时间的方差是否大于100？解：本题是在均值未知的条件下，检验2σ是否大于100，是关于2σ的单侧检验问题．检验假设为0H ：1002≥σ，1H ：1002<σ，此假设等价于0H ：1002=σ，1H ：1002<σ，这是左侧检验问题，取检验统计量为2022)1(σχS n -=，当0H 为真时，2χ～)(2n χ，该检验法的拒绝域为)}1({212-≤-n αχχ．将10=n ，10020=σ，8.1202=s ，代入上述统计量得87.101008.1209)1(2022=⨯=-=σχs n ．对于01.0=α，查2χ分布表得0879.2)9(299.0=χ，显然)9(0879.287.10299.02χχ=>=，接受0H ，即熔化时间的方差大于100．本题如果将检验假设设为0H ：1002≤σ，1H ：1002>σ，即进行右侧检验，统计量得选取如上，则该检验法的拒绝域为)}1({22-≥n αχχ．对于01.0=α，查2χ分布表得666.21)9(201.0=χ，显然)9(666.2187.10201.02χχ=<=，接受0H ，即熔化时间的方差不大于100．注：若选取的显著性水平为3.0=α，用MATLAB 计算得6564.10)9(23.0=χ，从而有)9(6564.1087.1023.02χχ=<=，则应拒绝原假设，即熔化时间的方差大于100．上述结果说明了在观测值接近临界值时，原假设不同的取法会导致检验结果的不一样，如果用-p 值检验法则可避免上述矛盾．8．设有两个来自不同正态总体的样本，4=m ，5=n ，60.0=x ，25.2=y ，07.1521=s ，81.1022=s ．在显著性水平05.0=α下，试检验两个样本是否来自相同方差的总体？解：记两正态总体为),(211σμN 和),(222σμN ，其中1μ和2μ未知．检验假设为0H ：2221σσ=，1H ：2221σσ≠．取检验统计量为2221S S F =，当0H 为真时，F ～)1,1(--n m F ，该检验法的拒绝域为)}1,1({2/1--≤-n m F F α或)}1,1({2/--≥n m F F α．由题可知，05.0=α，4=m ，5=n ，将观测值代入检验统计量得39.181.1007.152221===s s F ，查F 分布表得98.9)4,3()1,1(025.02/1==---F n m F α，066.010.151)3,4(1)4,3()1,1(025.0975.02/====--F F n m F α．由此知)4,3(98.939.1066.0)4,3(025.0975.0F F =<<=，观测值没有落入拒绝域内，接受0H ，即两个样本来自相同方差的总体．9．某厂的生产管理员认为该厂第一道工序加工完的产品送到第二道工序进行加工之前的平均等待时间超过90min ．现对100件产品的随机抽样结果的平均等待时间为96min ，样本标准差为30min ．问抽样的结果是否支持该管理员的看法？(05.0=α)．解：这是非正态总体均值的检验问题，用X 表示第一道工序加工完的产品送到第二道工序进行加工之前的等待时间，设其均值为μ，依题意，检验假设为0H ：90≤μ，1H ：90>μ．由于100=n 为大样本，故用U 检验法．总体标准差σ未知，用样本标准差S 代替．取检验统计量为100/90S X U -=，当0H 为真时，近似地有U ～)1,0(N ，该检验法的拒绝域为}{αu u >．由题可知，96=x ，30=s ，100=n ．对于05.0=α，查标准正态分布表得645.105.0==u u α．将观测值代入检验统计量得2100/309096100/90=-=-=s x u ，显然，05.0645.12u u =>=，故拒绝0H ，即平均等待时间超过90分钟，也即支持该管理员的看法．10．一位中学校长在报纸上看到这样的报道：“这一城市的初中学生平均每周看8h 电视．”她认为她所领导的学校，学生看电视时间明显小于该数字．为此，她向学校的100名初中学生作了调查，得知平均每周看电视的时间5.6=x h ，样本标准差为2=s h ，问是否可以认为校长的看法是对的？(05.0=α)解：初中生每周看电视的时间不服从正态分布，这是非正态总体均值的假设检验问题．检验假设为0H ：8=μ，1H ：8<μ．由于100=n 为大样本，故用U 检验法，取检验统计量为nS X U /μ-=，当0H 为真时，近似地有U ～)1,0(N ，该检验法的拒绝域为}{αu u -<．由题可知，5.6=x ，2=s ，100=n ．对于05.0=α，查标准正态分布表得645.105.0==u u α．将观测值代入检验算统计量得5.7100/285.6-=-=u ，显然，05.0645.15.7u u -=-<-=，故拒绝0H ，即初中生平均每周看电视的时间少于8小时，这位校长的看法是对的．11．已知某种电子元件的使用寿命X (单位：h)服从指数分布)(λE ．抽查100个元件，得样本均值950=x h ．能否认为参数001.0=λ？(05.0=α)解：X ～)(λE ，λ1)(=X E ，21)(λ=X D ，由中心极限定理知，当n 充分大时，近似地有n X n X U )1(/1/1-=-=λλλ～)1,0(N ．由题可知001.00=λ，检验假设可设为0H ：0λλ=，1H ：0λλ≠．取检验统计量为n X n X U )1(/1/1000-=-=λλλ，当0H 为真时，近似地有U ～)1,0(N ，该检验法的拒绝域为}{2/αu u ≤．由题知，100=n ，950=x ，05.0=α，查标准正态分布表知96.1025.02/==u u α．将观测值代入检验统计量得5.0-=u ，显然，025.096.15.0u u =<=，故接受0H ，即可以认为参数001.0=λ．12．某地区主管工业的负责人收到一份报告，该报告中说他主管的工厂中执行环境保护条例的厂家不足60%，这位负责人认为应不低于60%，于是他在该地区众多的工厂中随机抽查了60个厂家，结果发现有33家执行了环境保护条例，那么由他本人的调查结果能否证明那份报告中的说法有问题？(05.0=α)解：设执行环境保护条例的厂家所占的比率为p ，则检验假设为0H ：6.0≥p ，1H ：6.0<p ，上述假设等价于0H ：6.0=p ，1H ：6.0<p ．引入随机变量⎩⎨⎧=.,0,,1条例抽到的厂家为执行环保例抽到的厂家执行环保条X 则X ～),1(p B ，p X E =)(，)1()(p p X D -=，由中心极限定理，当0H 为真时，统计量60/)6.01(6.06.0/)1(000--=--=X n p p p X U 近似地服从)1,0(N ．对于显著性水平05.0=α，查标准正态分布表得645.105.0==u u α，由此可知05.0}645.160/)6.01(6.06.0{≈-<--X P ．以U 作为检验统计量，该检验法的拒绝域为}645.1{05.0-=-<u u ．将55.06033==x 代入上述检验统计量，得791.060/)6.01(6.06.055.0/)1(000-=--=--=n p p p x u ，显然，05.0645.1791.0u u -=->-=，故接受0H ，即执行环保条例的厂家不低于60%，也即由他本人的调查结果证明那份报告中的说法有问题．13．从选取A 中抽取300名选民的选票，从选取B 中抽取200名选民的选票，在这两组选票中，分别有168票和96票支持所选候选人，试在显著性水平05.0=α下，检验两个选区之间对候选人的支持是否存在差异．解：这是检验两个比率是否相等的问题，检验假设为0H ：21p p =，1H ：21p p ≠．取检验统计量为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=m n p p p pU 11)ˆ1(ˆˆˆ21，其中)(1ˆ2121m n Y Y Y X X X mn p ++++++++= 是21p p p ==的点估计．当0H 为真时，近似地有U ～)1,0(N ．由题可知300=n ，168=n μ，200=m ，96=m μ，又56.0300168ˆ1==p ，48.020096ˆ2==p ，528.0500264ˆ==++=m n p m n μμ．由此得统计量的观测值为755.11201472.0528.048.056.0=⨯⨯-=u ，由05.0)96.1(==>αU P ，得拒绝域为}96.1{>u ，因为96.1755.1<=u ，故接受0H ，即两个选区之间对候选人的支持无显著性差异．。

《概率论与数理统计》习题及答案第八章

《概率论与数理统计》习题及答案第八章1.设12,,,n X X X 是从总体X 中抽出的样本,假设X 服从参数为λ的指数分布，λ未知,给定00λ>和显著性水平(01)αα<<，试求假设00:H λλ≥的2χ检验统计量及否定域. 解 00:H λλ≥选统计量 200122nii XnX χλλ===∑记212nii Xχλ==∑则22~(2)n χχ,对于给定的显著性水平α，查2χ分布表求出临界值2(2)n αχ,使22((2))P n αχχα≥=因 22χχ>，所以2222((2))((2))n n ααχχχχ≥⊃≥，从而 2222{(2)}{(2)}P n P n αααχχχχ=≥≥≥ 可见00:H λλ≥的否定域为22(2)n αχχ≥.2．某种零件的尺寸方差为21.21σ=,对一批这类零件检查6件得尺寸数据（毫米）：32．５6, 29.6６, 31.64, 30.00, 2１.87, 3１．0３。

设零件尺寸服从正态分布,问这批零件的平均尺寸能否认为是3２.50毫米(0.05α=）．解问题是在2σ已知的条件下检验假设0:32.50H μ= 0H 的否定域为/2||u u α≥ 其中29.4632.502.45 6.771.1X u -==⨯=-0.0251.96u =，因|| 6.77 1.96u =>,所以否定0H ，即不能认为平均尺寸是3２．５毫米。

3．设某产品的指标服从正态分布,它的标准差为100σ=，今抽了一个容量为26的样本,计算平均值15８0，问在显著性水平0.05α=下,能否认为这批产品的指标的期望值μ不低于160０。

解问题是在2σ已知的条件下检验假设0:1600H μ≥0H 的否定域为/2u u α<-，其中 158016005.1 1.02100X u -==⨯=-.0.051.64u -=-.因为0.051.02 1.64u u =->-=-,所以接受0H ，即可以认为这批产品的指标的期望值μ不低于１600.４．一种元件,要求其使用寿命不低于1０00小时，现在从这批元件中任取２５件,测得其寿命平均值为９5０小时,已知该元件寿命服从标准差为100σ=小时的正态分布，问这批元件是否合格?（0.05α=)解设元件寿命为X ，则2~(,100)X N μ,问题是检验假设0:1000H μ≥． 0H 的否定域为0.05u u ≤-，其中95010005 2.5100X u -==⨯=-0.05 1.64u = 因为0.052.5 1.64u u =-<-= 所以否定0H ,即元件不合格.5.某批矿砂的５个样品中镍含量经测定为(%)X : 3.25,3.27,3.24,3.26,3.24设测定值服从正态分布,问能否认为这批矿砂的镍含量为3.25(0.01)α=？解问题是在2σ未知的条件下检验假设0: 3.25H μ=0H 的否定域为 /2||(4)t t α>522113.252,(5)0.00017,0.0134i i X S X X S ===-⨯==∑0.005(4) 4.6041t =3.252 3.252.240.3450.013X t -==⨯=因为0.005||0.345 4.6041(4)t t =<=所以接受0H ，即可以认为这批矿砂的镍含量为3．２5.6．糖厂用自动打包机打包，每包标准重量为１00公斤，每天开工后要检验一次打包机工作是否正常，某日开工后测得9包重量(单位：公斤)如下: 99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5 问该日打包机工作是否正常(0.05α=；已知包重服从正态分布)?解 99.98X =,92211(()) 1.478i i S X X ==-=∑， 1.21S =,问题是检验假设0:100H μ=0H 的否定域为/2||(8)t t α≥. 其中99.9810030.051.21X t -==⨯=-0.025(8) 2.306t =因为0.025||0.05 2.306(8)t t =<= 所以接受0H ，即该日打包机工作正常.7．按照规定,每10０克罐头番茄汁中，维生素C 的含量不得少于2１毫克，现从某厂生产的一批罐头中抽取1７个,测得维生素C 的含量（单位：毫克)如下 22,21,20,23,21,19,15,13,16, 23,17,20,29,18,22,16,25.已知维生素C 的含量服从正态分布,试检验这批罐头的维生素含量是否合格。

概率论与数理统计第8章假设检验习题及答案

62第8章假设检验一、填空题1、对正态总体的数学期望m 进行假设检验，如果在显著性水平0.05下，接受假设00:m m =H ，那么在显著性水平0.01下，必然接受0H 。

2、在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平为a ，则犯第一类错误的概率是a 。

3、设总体),(N ~X 2s m ，样本n 21X ,X ,X ，2s未知，则00:H m =m ，01:H m <m 的拒绝域为 )}1(/{0--<-n t nS X a m ，其中显著性水平为a 。

4、设n 21X ,X ,X 是来自正态总体),(N 2s m 的简单随机样本，其中2,sm 未知，记å==n1i i X n 1X ，则假设0:H 0=m 的t 检验使用统计量=T Qn n X )1(-.二、计算题1、某食品厂用自动装罐机装罐头食品，规定标准重量为250克，标准差不超过3克时机器工作为正常，每天定时检验机器情况，现抽取16罐，测得平均重量252=X 克，样本标准差4=S 克，假定罐头重量服从正态分布，试问该机器工作是否正常？解：设重量),(~2s m N X05.016==a n 4252==S X(1)检验假设250:0=m H 250:1¹m H ，因为2s 未知，在0H 成立下，)15(~/250t nS X T -=拒绝域为)}15(|{|025.0tT >，查表得1315.2)5(025.0=¹t由样本值算得1315.22<=T ，故接受0H (2)检验假设9:20=s H9:201>s H因为m 未知，选统计量 222)1(s S n x -=在0H 成立条件下，2x 服从)15(2x 分布，拒绝域为)}15({205.02x x >，查表得996.24)15(205.0=x ，现算得966.24667.26916152>=´=x 拒绝0H ，综合(1)和(2)得，以为机器工作不正常2、一种电子元件，要求其使用寿命不得低于1000小时，现在从一批这种元件中随机抽取25 件，测得其寿命平均值为950小时，已知该种元件寿命服从标准差100=s 小时正态分布，试在显著性水平0.05下确定这批产品是否合格. 解：设元件寿命),(~2s m N X ，2s 已知10002=s，05.0,950,25===a X n检验假设1000:0=m H1000:1<m H在2s 已知条件下，设统计量)1,0(~/1000N nX s m -=拒绝域为}{05.0mm<，查表得645.195.005.0-=-=m m而645.15.2205025/1001000950-<-=-=-=m拒绝假设0H 选择备择假设1H ，所以以为这批产品不合格.3. 对显著水平 a ，检验假设 H 0 ; m = m 0， H 1 ; m ¹ m 0，问当 m 0， m ， a 一定时，增大样本量 n 必能使犯第二类错误概率 b减少对吗？并说明理由。

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