极差、方差与标准差-边讲边练(含答案)-

极差、方差与标准差

学习目标

1．理解极差、方差、标准差可以用来表示一组数据的波动情况，•知道三个统计量各自的长处与不足．

2．学会用极差、方差与标准差来处理数据．

3．会用计算器（计算机）求方差和标准差．

知识网络

背景材料

1．反映一组数据集中程度的指标有哪些？

2．如何反映一组数据的离散程度？反映一组数据离散程度的量有哪些？

3．什么是极差？什么是方差？什么是标准差？方差与标准差的关系是什么？

预习反馈

1．极差是，它反映了．

2．方差是标准差的，如果一组数据的方差是3，那么它的标准差是．

知识要点详解

1．表示一组数据离散程度的指标

（1）极差

用一组数据中的最大数据减去最小的数据所得到的差来反映这组数据的变化范围，这个差就称为极差．

（2）方差

①定义

一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方和的平均数叫做这组数据的方差．

②方差的意义

方差是反映一组数据波动大小的量，它表示的是一组数据偏离平均值的情况上．方差越大，数据组的波动就越大．

③方差的计算公式

数据x1，x2，x3, …n的方差是

S2=1

（x1-x）2+（x2-x）2+（x3-x）2+…+（x）

n

注意：①上面的计算公式是一般情况下计算方差的办法；

②当数据组中的数据个数比较少且绝对值比较小时，又可以采用下面的公式来计算方差：

[（x122232+…2）x2]

S2=1

n

③如果数据组中的每一个数比较接近于常数a时，•也可以采用下面的公式计算方差：

1

[（x`12`22`32+…`2）x`2]（其中x1`、x2`、x3`……`分别n

等于x1、x2、x3……，•x`是数据组x1`、x2`、x3`……`的平均数）（3）标准差

方差的算术平方根叫做标准差．

标准差和方差一样，也是反映一组数据波动大小的指标．同样，标准差越大，数据组的波动就越大．

触类旁通

1．求数据组9、10、11、12的方差．

2．若小明参加体育项目训练近期的5次测试成绩为13、14、13、12、13．求测试成绩的极差、标准差和方差．

典型例题

例1 计算下面两组数据的方差

（1）-1 2 -2 3 -1

（2）40 38 42 45 41 39

分析：第（1）组数据的绝对值比较小，可以利用公式②计算方差；第（2）•题中的数据比较接近于40，可以利用公式③计算方差．

解：（1）平均数为：（-1+2-2+3-1）÷5=0.2，方差为：1

[（-1）2+22+（-2）2+（-1）2+32-5×0.22]=3.76．

5

（2）原数据组中的每一个数都减去40，得：0 -2 2 5 1 -1

新数据组的平均数为：1

6（0-2+2+5+1-1）=5

6

．

方差是：1

6 [02+（-2）2+22+52+12+（-1）-6×（5

6

）2]≈5.14

例2 八（1）班在一次单元测验中的数学成绩如下：

83 74 81 50 87 92 75 94 87 92 83 77 74 70 80 91

78 66 92 89 93 89 87 86 78 89 75 86 78 49 86 75

92 79 90 75 72 99 80 76 88 84 79 80 82 84 85 99

83 90 82 88 70 90 79 88 63 73 91 63 68

请你计算出该班数学成绩的平均分、方差与标准差．

分析：这里的数据比较多，我们可以采用计算器或计算机来计算平均数、方差、标准差．注意操作方法要正确．答案：该班数学成绩的平均分约为82.3，方差约为101.5，标准差约为10.1．

例 3 为了考察两种优质玉米良种的生长情况，在相同时间里把它们种在同一块实验田里，经过一段时间后，分别抽取了其中10株幼苗，测得苗高如下（单位：厘米）：

甲：12 8 7 13 9 10 11 9 12 11

乙：11 9 12 7 13 8 7 10 12 9

分析：要判断哪种玉米长得整齐，显然就是看哪种玉米高度波动较小，•因此我们可计算方差来解决这个问题．解：甲种玉米的平均高度：（12+8+7+13+9+10+11+9+12+11）÷10=10.2（厘米）；•乙种玉米的平均高度是：（11+9+12+7+13+8+7+10+12+9）÷10=9.8（厘米）．

（122+82+72+132+92+102+112+92+122+112-10×10.22） S甲2=1

10

=3.36

（112+92+122+72+132+82+72+102+122+92-10×9.82） S乙2=1

10

=4.16

S甲2

变式练习

1.小明和小刚要去参加一项比赛，近5次他们的测验成绩如下：

你认为该选谁去？

2．计算数据组：25 23 27 26 24 22 24 28 23 21的方差．

3．为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加电脑知识竞赛，•在相同条件下对他们的电脑知识进行了10次测验，成绩如下：（单位：分）

甲：76 84 90 86 81 87 86 82 85 83 乙：82 84 85 89 79 80 91 89 74 79

回答下列问题：

（1）甲学生成绩的众数是（分），乙学生成绩的中位数是（分）；

（2）若甲学生成绩的平均数是x甲，•乙学生成绩的平均数是x乙，•则x甲与x乙的大小关系是：；

（3）经计算知：S甲2=13.2，S乙2=26.36，这表明；（用简明的文字语言表述）

（4）若测验分数在85分（含85分）以上为优秀，则甲的优秀率为；•乙的优秀率为．

误区警示解析

1．混用极差与方差．

例1数据A：1 6 4 3 4；数据B：2 6 6 2 3．

哪一组数据更稳定？

错解：数据组A的极差是6-1=5，数据组B的极差是6-2=4，所以数据组B更稳定．