(完整版)高考★圆锥曲线★的基本公式推导(学长整合版)
圆锥曲线 公式
圆锥曲线是一个在三维空间中由一个固定点（焦点）和一个固定直线（直角方向线）确定的曲线。
根据焦点和直角方向线的位置关系，圆锥曲线可以分为四种类型：椭圆、双曲线、抛物线和直线。
下面是各种圆锥曲线的基本方程：
1. 椭圆（Ellipse）的方程：
(x/a)² + (y/b)² = 1
其中，a为椭圆的长轴（长半径）长度，b为椭圆的短轴（短半径）长度。
2. 双曲线（Hyperbola）的方程：
(x/a)² - (y/b)² = 1 (右开口)
或
-(x/a)² + (y/b)² = 1 (左开口)
其中，a为双曲线的实轴（长半轴）长度，b为双曲线的虚轴（短半轴）长度。
3. 抛物线（Parabola）的方程：
y = ax² + bx + c
其中，a、b、c为抛物线方程的系数，确定了抛物线的形状和位置。
4. 直线（Line）的方程：
y = mx + c
其中，m为直线的斜率，c为直线的纵截距。
这些方程仅涵盖了基本形态的圆锥曲线方程。
在实际应用中，还可以根据具体情况进行方程的变形和扩展。
(完整word版)高中数学圆锥曲线知识点(word文档良心出品)
高中数学知识点 一圆锥曲线部分、平面解析几何的知识结构:炭|»■汕旷崔乂 —■ 才程，人闻性息、考点(限考)概要:1、椭圆：(1)轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长 2a 大于焦距2c 。
用集合表示为:｛刊昭+昭 =2肚,<2c?,巩出为定点｝②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆。
其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e 是离心率。
用集合表示为:厂国丽F •诵和廊阿 HSi^HSSJ^Tjj L|闿箫MWBUW 旧展rBe aglr ff<* 人卄武 -TRU ：在虹 L-fttW —ifeBSMKEA■・—奥・/RAgTE Em严闌* IS 幣内CL 耐 严・寰丫Lesgg*&和 <«)MtLlweA^B€ff«^B>g* < lt> 的比较4 山RHHA5il曲测6“旳左丈吞穴育啟/UMfl■相FT?F- = % 0 < f < k F为定点9 £为动点到定言线的距离e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁(2)标准方程和性质：2 2①范围：由标准方程^2 爲1知|x| a，|y| b，说明椭圆位于直线x a，a by b所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以y代替y方程不变，所以若点(x, y)在曲线上时，点(x, y)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以x代替x方程不变，则曲线关于y 轴对称。
若同时以x代替x，y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。
在椭圆的标准方程中，令x 0，得y b，则B1(0, b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。
圆锥曲线公式大全
圆锥曲线公式大全(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--圆锥曲线知识考点一、直线与方程1、倾斜角与斜率：1212180＜α≤0(tan x x y y --==）α 2、直线方程：⑴点斜式：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k ： ()00x x k y y -=- ⑵斜截式：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b ：b kx y += ⑶两点式：已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠：121121y y y y x x x x --=-- ⑷截距式：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ：1x y a b+= ⑸一般式：0=++C By Ax （A 、B 不同时为0， 斜率BAk -=，y 轴截距为BC -） (6)k 不存在⇔a x b a x o=⇔⇔=）的直线方程为过（轴垂直,90α3、直线之间的关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+=⑴平行：{⇔⇔≠=21212121//b b k k k k l l 且都不存在，212121C C B B A A ≠=⑵垂直：{⇔⇔⊥-=⇔-==21212111.021k k k k k k l l 不存在，02121=+B B A A⑶平行系方程：与直线0=++C By Ax 平行的方程设为：0=++m By Ax⑷垂直系方程：与直线0=++C By Ax 垂直的方程设为：0=++n Ay Bx⑸定点(交点)系方程：过两条直线:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 的交点的方程设为：0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ反之直线0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ中，λ取任何一切实数R ，则直线一定过定点),(00y x ，即0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 两条直线的交点),(0y x4、距离公式：（1）两点间距离公式：两点),(),,(222211y x P x x P ：()()21221221y y x x P P -+-=（2）点到直线距离公式:点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为2200BA CBy Ax d +++=（3）两平行线间的距离公式：1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，则2221BA C C d +-=二、圆与方程 1、圆的方程：⑴标准方程：()()222r b y a x =-+- 其中圆心为(,)a b ，半径为r .⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x (0422>-+F E D )其中圆心为(,)22D E --，半径为r =2、直线与圆的位置关系 点),(00y x 和圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种：222222222)()()(rb y a x r b y a x rb y a x >-+-⇔=-+-⇔<-+-⇔）（点在圆外）（点在圆上）（点在圆内直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ;0>∆⇔⇔<相交r d .切线方程：（1）当点),(00y x P 在圆222r y x =+上⇔200r y y x x =+ 圆222)()(r b y a x =-+-⇔200))(())((r b y b y a x a x =--+-- （2）当点),(00y x P 在圆222r y x =+外，则设直线方程()00x x k y y -=-，并利用d=r 求出斜率，即可求出直线方程【备注：切线方程一定是两条，考虑特殊直线k 不存在】④弦长公式：222||d r AB -=2212121()4k x x x x =+-- 3、两圆位置关系：21O O d =⑴外离：r R d +> ⇔有4条公切线 ⑵外切：r R d += ⇔有3条公切线 ⑶相交：r R d r R +<<- ⇔有2条公切线 ⑷内切：r R d -= ⇔有1条公切线 ⑸内含：r R d -< ⇔有0条公切线三、圆锥曲线与方程1．椭圆焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b+=>> ()222210y x a b a b+=>> 第一定义到两定点21F F 、的距离之和等于常数2a ，即21||||2MF MF a +=（212||a F F >）第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即(01)MFe e d=<< 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤2．双曲线顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A()1,0b B -、()2,0b B轴长 长轴的长2a = 短轴的长2b = 对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 222122()F F c c a b ==-离心率 22222221(01)c c a b b e e a a a a-====-<<准线方程 2a x c=±2a y c=±焦半径 0,0()M x y 左焦半径：10MF a ex =+ 右焦半径：20MF a ex =-下焦半径：10MF a ey =+ 上焦半径：20MF a ey =-焦点三角形面积12212tan()2MF F S b F MF θθ∆==∠021s 21y c in PF PF •=••=θ 通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径： ab 22焦点的位置焦点在x 轴上 焦点在y 轴上图形标准方程()222210,0x y a b a b -=>> ()222210,0y x a b a b -=>> 第一定义到两定点21F F 、的距离之差的绝对值等于常数2a ，即21||||2MF MF a -=（2102||a F F <<） 第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即(1)MFe e d=>【备注】1、双曲线和其渐近线得关系：由双曲线求渐进线：x a b y a x b y a x b y b y a x b y a x ±=⇒±=⇒=⇒=-⇒=-22222222222201由渐进线求双曲线：λ=-⇒=-⇒=⇒±=⇒±=2222222222220by a x b y a x a x b y a x b y x a b y2．等轴双曲线⇔实轴和虚轴等长的双曲线⇔其离心率e ＝2⇔渐近线x ±=y⇔方程设为λ=-22y x2、求弦长的方法： ①求交点，利用两点间距离公式求弦长； ②弦长公式 ） （消y x x x x k x x k l ]4))[(1(1212212212-++=-+=五、.直线与圆锥曲线的关系1、直线与圆锥曲线的关系如：直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2+y 2b2＝1 (a >b >0)的位置关系：图形标准方程 22y px = ()0p >22y px =- ()0p >22x py = ()0p >22x py =- ()0p >开口方向 向右 向左 向上 向下定义 与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)顶点 ()0,0离心率 1e =对称轴 x 轴y 轴范围0x ≥0x ≤0y ≥0y ≤焦点 ,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线方程 2px =-2px =2p y =-2p y =焦半径 0,0()M x y 02pMF x =+02pMF x =-+02pMF y =+02p MF y =-+通径 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2HH p '=焦点弦长 公式 12AB x x p =++参数p几何意义参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔直线与椭圆相交?⎩⎨⎧ y ＝kx ＋bx 2a 2＋y2b 2＝1⇔有2组实数解，即Δ>0.直线与椭圆相切?⎩⎨⎧ y ＝kx ＋bx 2a 2＋y2b 2＝1⇔有1组实数解，即Δ=0，直线与椭圆相离⎩⎨⎧y ＝kx ＋bx 2a 2＋y2b 2＝1⇔没有实数解，即Δ<【备注】（1）韦达定理（根与系数的关系）{AB x AC x C By Ax x -=+=⇔=++2121x .x 210x 的两根方程和则有21221214)(||xx x x x x -+=-（2）{b kx y bkx y +=+=1122则有下列结论b x x k y y ++=+)(2121)(2121x x k y y -=-22121221)(b x x k x x k y y +++=③、与弦的中点有关的问题常用“点差法”：把弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程，作差→弦的斜率与中点的关系；0202y a x b k -=（椭圆） 0202y a x b k =（双曲线）3、关于抛物线焦点弦的几个结论（了解）设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，1122(,)(,)A x y B x y 、，直线AB 的倾斜角为θ，则⑴ 221212,;4p x x y y p ==- ⑵ 22;sin p AB θ=⑶ 以AB 为直径的圆与准线相切；π；⑸112. ||||FA FB P+=⑷焦点F对A B、在准线上射影的张角为2。
高考数学圆锥曲线的基本公式推导
圆锥曲线的几大大题特征公式：焦半径、准线、弦长、切线方程、弦中点公式、极线方程 圆锥 曲线 的切 线 方程 在 历年高考题中出现，但是在高中教材及资料都涉及较少。
本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。
从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。
【基础知识1：切线方程、极线方程】【1-0】公式小结：x 2换成xx 0，y 2换成yy 0，x 换成(x+x 0)/2,y 换成(y+y 0)/2. 【1-1】 椭圆的切线方程 ：①椭圆 12222=+by a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=+b yy a xx 。
②过椭圆 12222=+by a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=+b yya xx 。
③椭圆12222=+by a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是022222=-+C b B a A(也就是下篇文档所讲的硬解定理公式△=0的充要条件) 【1-2】双曲线的切线方程：①双曲线12222=-by a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=-b yya xx 。
②过椭圆 12222=-by a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=-b yya xx 。
③椭圆12222=-by a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是022222=--C b B a A【1-3】抛物线的切线方程：物线 px y 22= 上一点),(00y x P 处的切线方程是 )(200x x p yy +=②过抛物线 px y 22=外一点 处所引两条切线是)(200x x p yy +=③抛物线 px y 22=与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是AC pB 22=【1-4】 基础知识的证明：【公式一：曲线C 上切点公式证明】1、第1种证明思路：过曲线上一点的切线方程设曲线C 上某一点处 ),(00y x P 的 切 线 方 程 为)(00x x k y y -=-, 联立方程，令0=∆,得到k 的表达式，再代入原始式，最后得切线方程式1)()(2202202020=+=+by a x b yy a xx （注: k 的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下）2、第2种证明思路：点差法(求斜率，其余跟第一种方法一样)证明：设某直线与曲线C 交于M 、N 两点坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，中点P ),(00y x则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221ΛΛΛΛb y a x by a x ⇒)2()1(-，得.02222122221=-+-b y y a x x 2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴ 又.22,000021211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=Θ 2200a b x y k MN -=⋅∴ (弦中点公式的椭圆基本表达式。
高考★圆锥曲线★的基本公式推导(学长整合版)
圆锥曲线的几大大题特征公式：焦半径、准线、弦长、切线方程、弦中点公式、极线方程/*另外，针对“计算不好”的同学，本人提供“硬解定理”供大家无脑使用。
具体的请参考本目录下的【硬解定理的推导和使用】文章。
*/圆锥曲线的切线方程在历年高考题中出现，但是在高中教材及资料都涉及较少。
本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。
从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。
【基础知识1：切线方程、极线方程】【1-0】公式小结：x 2换成xx 0，y 2换成yy 0，x 换成(x+x 0)/2,y 换成(y+y 0)/2.【1-1】椭圆的切线方程： ①椭圆12222=+y x上一点),(00y x P 处的切线方程是12020=+yy xx 。
(【1-2【1-3 【1-41、第入原始式，最后得切线方程式1)()(2202202020=+=+by a x b yy a xx （注:k 的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下）2、第2种证明思路：点差法(求斜率，其余跟第一种方法一样)证明：设某直线与曲线C 交于M 、N 两点坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，中点P ),(00y x则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221 b y a x b y a x ⇒)2()1(-，得.022********=-+-b y y a x x2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴又.22,000021211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--= 2200a b x y k MN -=⋅∴(弦中点公式的椭圆基本表达式。
双曲线则是2200ab x y k MN =⋅) 当M 、N 无限趋近时，P 在椭圆C 上。
即得切线斜率0022y x a b k ⋅-= 3、第三种证明思路(注意：仅供理解，考试使用可能分证明：由2（圆锥曲线切线证明）（同一目录下文章）可知圆上一点的切线方程。
圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）基础知识及常用结论
圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）基础知识及常⽤结论圆锥曲线必背⼝诀(红字为⼝诀)-椭圆⼀、椭圆定义定点为焦点，定值为长轴.（定值=2a ）椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离⼼率.（定值=e ）定点为短轴顶点，定值为负值. （定值2k e 1=-）⼆、椭圆的性质定理长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理①准线⽅程准焦距，a ⽅、b ⽅除以c ②通径等于 2 ep ，切线⽅程⽤代替③焦三⾓形计⾯积，半⾓正切连乘b ④注解：1长轴2a =，短轴2b =，焦距2c =，则：222a b c =+2准线⽅程：2a x c= （a ⽅除以c ）3椭圆的通径d ：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距离称为椭圆的通径.（通径22c b 2b 2a c ad 2ep =??==）过椭圆上00x y (,)点的切线⽅程，⽤00x y (,)等效代替椭圆⽅程得到.等效代替后的是切线⽅程是：0022x x y y1a b+=4、焦三⾓形计⾯积，半⾓正切连乘b焦三⾓形：以椭圆的两个焦点12F F ,为顶点，另⼀个顶点P 在椭圆上的三⾓形称为焦三⾓形.半⾓是指12F PF θ=∠的⼀半.则焦三⾓形的⾯积为：2S b 2tanθ=证明：设1PF m =，2PF n =，则m n 2a +=由余弦定理：222m n 2mn 4c cos θ+-?=22224a 4b m n 4b ()=-=+-即：22mn 2mn 4b cos θ-?=-，即：22b 1mn (cos )θ=+.即：2122b mn PF PF 1||||cos θ==+故：12F PF 1S m n 2sin θ=??△2212b b 211sin sin cos cos θθθθ=?=++⼜：22221222sin cossin tan cos cosθθθθθθ==+ 所以：椭圆的焦点三⾓形的⾯积为122F PF S b 2tan θ=. 三、椭圆的相关公式切线平分焦周⾓，称为弦切⾓定理①1F2FOxyPmn切点连线求⽅程，极线定理须牢记②弦与中线斜率积，准线去除准焦距③细看中点弦⽅程，恰似弦中点轨迹④注解：1弦切⾓定理：切线平分椭圆焦周⾓的外⾓，平分双曲线的焦周⾓. 焦周⾓是焦点三⾓形中，焦距所对应的⾓.弦切⾓是指椭圆的弦与其切线相交于椭圆上时它们的夹⾓，当弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切线是两个焦点弦的⾓平分线.2若000P x y (,)在椭圆2222x y 1a b+=外，则过0P 作椭圆的两条切线，切点为12P P ,，则点0P 和切点弦12P P ,分别称为椭圆的极点和极线.切点弦12P P 的直线⽅程即极线⽅程是0022x xy y1a b+=（称为极线定理）3弦指椭圆内的⼀弦AB .中线指弦AB 的中点M 与原点O 的连线，即OAB ?得中线.这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离2c a x c=-去除准焦距2bp c=，其结果是：2AB OM2c p b k k x a==- 4中点弦AB 的⽅程：在椭圆中，若弦AB 的中点为00M x y (,)，弦AB 称为中点弦，则中点弦的⽅程就是2200002222x x y y x y a b a b+=+，是直线⽅程.弦中点M 的轨迹⽅程：在椭圆中，过椭圆内点000P x y (,)的弦AB ，其中点M 的⽅程就是22002222x x y y x y a b a b+=+，仍为椭圆.这两个⽅程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.圆锥曲线必背⼝诀(红字为⼝诀)-双曲线⼀、双曲线定义⼆、双曲线的性质定理基本同椭圆，有所区别：实轴虚轴与焦距，形似勾股弦定理①准线⽅程准焦距，a ⽅、b ⽅除以c ②通径等于 2 e p ，切线⽅程⽤代替③焦三⾓形计⾯积，半⾓余切连乘b ④注解：1实轴2a =，虚轴2b =，焦距2c =，则：222a b c +=2准线⽅程2a x c=± （a ⽅除以c ）准焦距p ：焦点到准线的距离：2b pc = （b ⽅除以c ）3通径等于2 e p ，切线⽅程⽤代替双曲线的通径d ：过焦点垂直于长轴的直线与双曲线的两交点之间的距离称为双曲线的通径.（通径22c b 2b 2a c ad 2ep =??==）过双曲线上000P x y (,)点的切线⽅程，⽤000P x y (,)等效代替双曲线⽅程得到，等效代替后的是切线⽅程是：0022x x y y1a b-=4焦三⾓形计⾯积，半⾓余切连乘b焦三⾓形：以双曲线的两个焦点12F F ,为顶点，另⼀个顶点P 在椭圆上的三⾓形称为焦三⾓形.半⾓是指12F PF γ=∠的⼀半.双曲线2222x y 1a b-=的左右焦点分别为12F F ,，点P 为双曲线上异于顶点任意⼀点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点三⾓形满⾜：2122b PF PF 1cos γ=- 其⾯积为；122F PF S b co 2t γ=.证明：设21PF m PF n ,==，则m n 2a -=在12F PF ?中，由余弦定理得：222121212PF PF 2PF PF F F cos γ+-=，即：222m n 2mn 4c cos γ+-?=22224a 4b m n 4b ()=+=-+ 即：2222m n 2mn m n 4b cos ()γ+-?=-+即：22mn 2mn 4b cos γ-?=，即：22b mn 1(cos )γ=-即：22b mn 1cos γ=-，即：2122bPF PF 1cos γ=-那么，焦点三⾓形的⾯积为：12F PF 1S mn 2sin γ?=?212b 21sin cos γγ=?-2222b 22b 122sin cossin cos sinγγγγγ==?-2b 2cot γ= 故：122F PF S b 2cot γ= 同时：12F PF 12P P 1S F F y c y 2?=?=?，故：2p b y c 2cot γ=±? 双曲线的焦点三⾓形的⾯积为：122F PF S b co 2t γ=.三、双曲线的相关公式切线平分焦周⾓，称为弦切⾓定理①切点连线求⽅程，极线定理须牢记②弦与中线斜率积，准线去除准焦距③细看中点弦⽅程，恰似弦中点轨迹④注解：1弦切⾓定理：切线平分椭圆焦周⾓的外⾓，平分双曲线的焦周⾓.焦周⾓是焦点三⾓形中，焦距所对应的⾓. 弦切⾓是指双曲线的弦与其切线相交于双曲线上时它们的夹⾓，当弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切线是两个焦点弦的⾓平分线.如图，12F PF ?是焦点三⾓形，12F PF ∠为焦周⾓，PT 为双曲线的切线. 则PT 平分12F PF ∠.2若000P x y (,)在双曲线2222x y 1a b-=外，以包含焦点的区域为内，不包含焦点的区域为外，则过0P 作双曲选的两条切线，切点为1P 、2P ，则点0P 和切点弦12P P 分别称为双曲线的极点和极线，切点弦12P P 的直线⽅程即极线⽅程是0022x xy y1a b-=（称为极线定理）3弦指双曲线内的⼀弦AB .中线指弦AB 的中点M 与原点O 的连线，即OAB ?得中线.这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离2c a x c =去除准焦距2b p c=，其结果是：2AB OM2c p b k k x a==4中点弦AB 的⽅程：在双曲线中，若弦AB 的中点为00M x y (,)，称弦AB 为中点弦，则中点弦的⽅程就是：2200002222x x y y x y aba b-=-，它是直线⽅程. 弦中点M 的轨迹⽅程：在双曲线中，过双曲线外⼀点000P x y (,)的弦AB ，其AB 中点M 的⽅程就是22002222x x y y x y a b a b-=-，仍为双曲线.这两个⽅程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.圆锥曲线必背⼝诀(红字为⼝诀)-抛物线⼀、抛物线定义抛物线，有定义，定点定线等距离12⼆、抛物线性质焦点准线极点线①，两臂点乘积不变②焦弦切线成直⾓，切点就是两端点③端点投影在准线，连结焦点垂直线④焦弦垂直极焦线⑤，切线是⾓平分线⑥直⾓梯形对⾓线，交点就是本原点⑦焦弦三⾓计⾯积，半个p ⽅除正弦⑧注解：1抛物线的焦点和准线是⼀对极点和极线.抛物线⽅程：2y 2px =，焦点(,)p F 02，准线p p x 2=-(抛物线的顶点(,)O 00到定点(,)p F 02和定直线p p x 2=-距离相等) 焦弦：过焦点的直线与抛物线相交于两点A 和B ，则AB 称为焦弦.弦中点(,)M M M x y ，A B M x x x 2+=，A B M y yy 2+= 焦弦⽅程：()p y k x 2=-，k 为斜率. 2焦点三⾓形两边OA 和OB 的点乘积为定值，且夹⾓是钝⾓. 证明：焦弦AB 满⾜的条件()2y 2pxp y k x 2?=??=- ()22p k x 2px 2-=? ()22222k p k x k 2px 04-++=由韦达定理得：2A B px x 4=2A B py y 22p p 2==-=-?=-，即：2A B p x x 4=，2A B y y p =- ①且：2A A B B A B A B 3OA OB x y x y x x y y p 04(,)(,)?=?=+=-<. 故：焦点三⾓形两边之点乘积为定值.3即：焦弦两端点的切线互相垂直. 证明：如图，由抛物线⽅程：2y 2px =得到导数：yy p '=，即：py y'=故：AEA p k y =，BE Bp k y = 于是：2AE BEA B A Bp p p k k y y y y ?=?=将①式2A B y y p =-代⼊上式得：AE BE k k 1?=-即：AE BE ⊥，故焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直⾓三⾓形. 4即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直⾓三⾓形. 证明：坐标B p C y 2(,)-,A p D y 2(,)-则：B CF p y (,)=-，A DF p y (,)=- 于是：2A B CF DF p y y ?=+将①式2A B y y p =-代⼊上式得：CF DF 0?= 故：CF DF ⊥即：焦弦端点A B ,在准线的投影点D C ,，则CF DF ⊥，即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直⾓三⾓形.5若焦弦AB 对应的极点E ，则EF 为极焦线，于是EF AB ⊥⽤向量⽅法可证.由于M 是AB 的中点，AEB ?为直⾓三⾓形，计算可得E 是DC 的中点，故：ED EF EC == 由向量法可证EF AB 0?=即：焦弦AB 与极焦线EF 互相垂直. 6即：切线平分焦弦的倾⾓(或倾⾓的外⾓) 如图：因为ADE ?和AFE ?都是直⾓三⾓形，且由定义知：AF AD =，AE AE =故ADE AFE ??≌，则对应⾓相等. 即：AE 是DAF ∠的⾓平分线同理，BE 是CBF ∠的⾓平分线 7即：直⾓梯形ABCD 对⾓线相交于原点即：A O C ,,三点共线；B O D ,,三点共线. ⽤向量法证明：OA CO //，OB DO //证明：坐标2A A y A y 2p (,)，2B B y B y 2p (,)，B p C y 2(,)-，A pD y 2(,)-向量：2A A y OA y 2p (,)=，B pCO y 2(,)=-各分量之⽐：2A2x A 2xy OA y 2p p p CO 2()()==，2y A AB A B y OA y y y y y CO ()()==--将①式2A B y y p =-代⼊上式得：22yA A2A By OA y y y y p CO ()()==- 故：y x xyOA OA OACO CO CO()()()()==，即：OA CO // 同理：OB DO //.直⾓梯形ABCD 对⾓线相交于原点. 8即：焦弦三⾓形的⾯积为：sin 2 AOBp S 2α= （α为焦弦的倾⾓）证明：AB AF BF =+A B A B p p x x x x p 22=+ ++=++M p2x 2()=+2EM = 如图：GF 2OF p == 则：2EF GF 1pEM sin sinsin sin αααα==?= E于是：22pAB sin α= 故：AOB1S OF AB 2sin α?=221p 2p p 222sin sin sin ααα==附：圆锥曲线必背----极坐标圆锥曲线的极坐标以准焦距p 和离⼼率e 来表⽰常量，以极径ρ和极⾓θ来表⽰变量.0ρ≥，[,)o 0360θ∈以焦点(,)F 0θ为极点(原点O )，以椭圆长轴、抛物线对称轴、双曲线的实轴为极轴的建⽴极坐标系.故准线是到极点距离为准焦距p 、且垂直于极轴的直线L . 极坐标系与直⾓坐标系的换算关系是：ρ=，arctan y xθ= 或者：cos x ρθ=，sin y ρθ= 特别注意：极坐标系中，以焦点为极点(原点)，⽽直⾓坐标系中以对称点为原点得到标准⽅程. 如图，O 为极点，L 为准线，则依据定义，到定点(极点)和到定直线(准线)的距离之⽐为定值(定值e )的点的轨迹为圆锥曲线. 所以，对极坐标系，请记住：⑴极坐标系的极点O 是椭圆的左焦点、抛物线的焦点、双曲线的右焦点；⑵曲线上的点(,)Pρθ到焦点F的距离是ρ，到准线的距离是cospρθ+，根据定义：cosepρρθ=+即：cosep eρθρ+=，即：cosep eρρθ=-，即：1eρθ=-①这就是极坐标下，圆锥曲线的通式.⑶对应不同的e，呈现不同的曲线. 对双曲线，只是右边的⼀⽀；对抛物线，开⼝向右.将极轴旋转o180，α和θ分别对应变换前后的极⾓，即转⾓为o180θα=+，则极坐标⽅程变换前⽅程为：cosep1eρα=-变换后⽅程为：cosep1eρθ=+②此时的极坐标系下，此时有：⑵对应不同的e，呈现不同的曲线对双曲线，只是左边的⼀⽀；对抛物线，开⼝向左.⑴将极轴顺时针旋转o90，即：o 90θα=+，则情况如图.圆锥曲线的⽅程为：sin ep1e ρθ=- ③此时的极坐标系下：对应于直⾓坐标系下，焦点在y 轴的情况，且极点O 对应于椭圆下⽅的焦点，双曲线上⽅的焦点，抛物线的焦点.对双曲线，只是y 轴上边的⼀⽀；对抛物线，开⼝向上. ⑵如果将极轴逆时针旋转o 90，即：o 90θα=-，则情况如图. 圆锥曲线的⽅程为：sin ep1e ρα=+ ③此时的极坐标系下：对应于直⾓坐标系下，焦点在y 轴的情况，且对应于椭圆上⽅的焦点，双曲线下⽅的焦点，抛物线的焦点.对双曲线，只是y 轴下边的⼀⽀；对抛物线，开⼝向下.⑴在极坐标系中，圆锥曲线的通式为：=cos ep1e ρθ- ①即：cos e ep ρρθ-=，即：cos ep e ρρθ=+即：(cos )(cos )(cos )2222222ep e e p e 2e p ρρθρθρθ=+=++ ②将222x y ρ=+，cos x ρθ=代⼊②式得：2222222x y e p e x 2e px +=++即：()2222221e x 2e px y e p --+= ③当e 1≠时有：()[()]()()22222222222222--++=+---- 即：()()()22222 2222222e p e e p 1e x y e p 11e 1e 1e --+=+=--- 即：()()22222222222e px y 1e1e p e p1e 1e --+=-- ④⑴当e 1<时，令()22222e p a 1e =-，2222e p b 1e=-，22e p c 1e=-则：()222222222e p e p a b 1e 1e-=---[()]()()2222e p e p 11e 1e 1e =--=--⽽：()()2422222222e p e p c a b 1e 1e ===--- 代⼊④式得：()2222x c y 1ab-+= ⑤这是标准的椭圆⽅程. ⑵当e 1>时，令()222 22e p a e 1=-，2222e p b e 1=-，22e p c e 1=-则：()222222222e p e p a b e 1e 1+=+--[()]()()2242e p e p 1e 1e 1e 1=+-=-- ⽽：()()2422222222e p e p c a b e 1e 1===+-- 代⼊④式得：()2222x c y 1ab+-= ⑥这是标准的双曲线⽅程.⑶当e 1=时，由③式()2222221e x 2e px y e p --+=得：222px y p -+=即：()22p y 2px p 2p x 2=+=+ 即：()2p y 2p x 2=+ ⑦这是标准的抛物线⽅程.。
圆锥曲线公式大全（高中珍藏版）
圆锥曲线公式大全1、椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的性质椭圆定义焦点位置椭圆的图象和性质若M 为椭圆上任意一点，则有|MF 1|+|MF 2|=2ax 轴y图形o xy 轴y o x标准方程焦点坐标焦距顶点坐标a ,b ,c 的关系式长、短轴对称轴离心率范围x 2y 2+2=12a b F 1(-c, 0 ), F 2( c, 0 )|F 1F 2| = 2c(±a , 0 ), ( 0,±b )a 2 =b 2 +c 2y 2x 2+2=12a b F 1(0,-c, ), F 2( 0, c )(0,±a ), (±b , 0 )长轴长=2a ,短轴长=2b ，长半轴长=a ,短半轴长=b 无论椭圆是x 型还是y 型，椭圆的焦点总是落在长轴上关于x 轴、y 轴和原点对称e =c ( 0 <e < 1)，离心率越大，椭圆越扁，反之，越圆a-a ≤x ≤a ,-b ≤y ≤b 2-b ≤x ≤b ，-a ≤y ≤a22、判断椭圆是x 型还是y 型只要看x 对应的分母大还是y 对应的分母大，若x 对应的分母大则x 型，若y 对应的分母大则y 型.22x 2y 23、求椭圆方程一般先判定椭圆是x 型还是y 型，若为x 型则可设为2+2=1，若为y a b y 2x 222型则可设为2+2=1，若不知什么型且椭圆过两点，则设为稀里糊涂型：mx +ny =1a b 4、双曲线的定义、双曲线的标准方程、椭圆的性质双曲线的图象和性质若M为双曲线上任意一点，则有MF1-MF2=2a(2a<2c)双曲线定义若MF1-MF2=2a=2c,则点M的轨迹为两条射线若MF1-MF2=2a>2c,则点M无轨迹焦点位置x轴y轴图形标准方程焦点坐标焦距顶点坐标(±a, 0 )x2y2-2=12a bF1(-c, 0 ), F2( c, 0 )|F1F2| = 2cy2x2-2=12a bF1(0,-c, ), F2( 0, c )(0,±a )a,b,c的关系式椭圆形状长的像a,所以a是老大，a2 = b2 + c2；双曲线形状长的像c,所以c是老大，c2 = a2 + b2实轴、虚轴对称轴离心率范围渐近线实轴长=2a,虚轴长=2b，实半轴长=a,虚半轴长=b无论双曲线是x型还是y型，双曲线的焦点总是落在实轴上关于x轴、y轴和原点对称e=c(e >1)aa≤x或x≤-a,y∈R a≤y或y≤-a,x∈Ry=±bxay=±axb2、判断双曲线是x 型还是y 型只要看x 前的符号是正还是y 前的符号是正，若x 前的符号为正则x 型，若y 前的符号为正则y 型，同样的，哪个分母前的符号为正，则哪个分母就为a 22222x 2y 23、求双曲线方程一般先判定双曲线是x 型还是y 型，若为x 型则可设为2-2=1，若a b y 2x 2为y 型则可设为2-2=1，若不知什么型且双曲线过两点，则设为稀里糊涂型：a b mx 2-ny 2=1(mn <0)6、若已知双曲线一点坐标和渐近线方程y =mx ，则可设双曲线方程为y 2-m 2x 2=λ(λ≠0)，而后把点坐标代入求解7、椭圆、双曲线、抛物线与直线l :y =kx +b 的弦长公式：AB =(k 2+1)(x 1-x 2)2=(12+1)(y -y )122k 8、椭圆、双曲线、抛物线与直线问题出现弦的中点往往考虑用点差法9、椭圆、双曲线、抛物线与直线问题的解题步骤：（1）假化成整(把分式型的椭圆方程化为整式型的椭圆方程)，联立消y 或x (2)求出判别式，并设点使用伟大定理（3）使用弦长公式1、抛物线的定义：平面内有一定点F 及一定直线l (F 不在l 上)P 点是该平面内一动点，当且仅当点P 到F 的距离与点P 到直线l 距离相等时，那么P 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的一条抛物线.————见距离想定义！！！2、（1）抛物线标准方程左边一定是x 或y 的平方（系数为1），右边一定是关于x 和y 的一次项，如果抛物线方程不标准，立即化为标准方程！（2）抛物线的一次项为x 即为x 型，一次项为y 即为y 型!(3)抛物线的焦点坐标为一次项系数的四分之一，准线与焦点坐标互为相反数！一次项为x ，则准线为”x=多少”，一次项为y ，则准线为”y=多少”!(4)抛物线的开口看一次项的符号，一次项为正，则开口朝着正半轴，一次项为负，则开口朝着负半轴！（5）抛物线的题目强烈建议画图，有图有真相，无图无真相！3、求抛物线方程，如果只知x 型，则设它为y =ax (a ≠0),a>o,开口朝右；a<0,开口朝左；如果只知y 型，则设它为x =ay (a ≠0),a>o,开口朝上；a<0,开口朝下。
圆锥曲线公式及知识点总结(详解)
圆锥曲线公式及知识点总结(详解)（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如小学资料、初中资料、高中资料、大学资料、文言文、中考资料、高考资料、近义词、反义词、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor.I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!In addition, this store provides you with various types of practical materials, such as primary school materials, junior high school materials, senior high school materials, university materials, classical Chinese, senior high school examination materials, college entrance examination materials, synonyms, antonyms, other materials, etc. If you want to know different data formats and writing methods, please pay attention!圆锥曲线公式及知识点总结(详解)圆锥曲线的统一概念：到定点的距离与到定直线的距离的商是常数e的点的轨迹。
(完整版)最全圆锥曲线知识点总结
4．方程 Ax2 By 2 C ( A, B, C均不为零） 是表示椭圆的条件
方程 Ax 2 By 2 C 可化为 Ax 2 By 2 1 ，即 x 2 By 2 1，所以只有 A、 B、 C同号，
CC
CC
AB
且 A B 时，方程表示椭圆。 当 C
C
时，椭圆的焦点在
x 轴上； 当 C
C
时，椭圆的焦点在
y
AB
AB
轴上。
5．求椭圆标准方程的常用方法：
①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再
由条件确定方程中的参数 a,b, c 的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；
②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。
F1 (0, c) F2 (0, c)
3
焦点在实轴上， c 顶点坐标 （ a ,0 ） ( a ,0)
2
2
a b ；焦距： F1F2 2c
(0, a ,) (0 ， a )
离心率
渐近线 方程
ec a
b2 1 a2 ,( e 1)
y bx a
共渐近线 的双曲线
x2 a2
y2 b2
k （ k 0）
系方程
分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：
(a b 0) ， (a c 0) ，且 ( a2 b2 c2 ) 。
可借助右图理解记忆：
a, b, c 恰构成一个直角三角形的三条边，其中 a 是斜边， b、c 为两条直角边。
3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置 椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：
(完整版)高中数学圆锥曲线结论(最完美版本)
圆锥曲线二级推论椭圆Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连 结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭 1. 点 P 处的切线 PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△ PF 1F 2在点 P 处的外角，则焦 点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以 圆准线于 M 、N 两点，则 MF ⊥NF.10.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于 两点 P 、Q, A 1、 A 2为椭圆长轴上的顶 点，A 1P 和 A 2Q 交于点 M ，A 2P 和 A 1Q3. 4. 5. 6.长轴为直径的圆，除去长轴的两个端 点.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线 相离.以焦点半径 PF 1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆 内切 . 2 若P 0(x 0, y 0) 在椭圆 x2 a 的椭圆的切线方程是 2 yb 2x 0x 2a2yb 21上，则过P 0 y 0y1. b 02 1.1外 ，则过2若P 0(x 0, y 0) 在椭圆 x2 a Po 作椭圆的两条切线切点为 P 1、P 2， P 1P 2 的直线方程是 则切点弦x 0x y 0y22 ab 2 椭圆 x 2a 分别为 F 1， 点 F 1PF 2 积为 S F 1PF 222椭圆 x 2y 式：|MF 1 | a ex 0,|MF 2 | a ex 0 ( F 1( c,0) , F 2 (c,0) M (x 0,y 0)).1. 7. 8.交于点 N ，则 MF ⊥NF. 2y2 1的不平行于对称轴 b2 yb 2 1 (a >b > 0)的左右焦点 F2，点 P 为椭圆上任意一 ，则椭圆的焦点角形的面 b 2 tan . 22 1(a > b >0)的焦半径公 ab9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P 、2 11.AB 是椭圆 x2 a的弦， M (x 0,y 0)为 AB 的中点，则k OM k AB即 KABb 22， ab 2 x 02。
高考数学圆锥曲线部分重要公式及结论
高中数学圆锥曲线部分重要公式及结论（椭圆部分）● 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.● PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.● 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.● 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.● 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.● 椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).● 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.● 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.● AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a xb K AB -=。
● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.● 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.● 过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.● 若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+. ● 设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.● 若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.● P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.● 椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.● 已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +. ● 过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. ● 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<.● 设P 点是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b γ∆=.● 设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PABa b S b a γ∆=-. ● 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点. ● 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.● 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.● 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). ● （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） ● 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. ● 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.（双曲线部分）● 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.● PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.● 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.● 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）● 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. ● 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b -=.● 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.● 双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c● 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a=-. ● 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a=--● 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.● 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.● AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
(完整word版)高中数学圆锥曲线结论(最完美版本)
1 .点P处的切线PT平分△PF1F2在点P 处的外角.2 . PT平分△PF1F2在点P处的外角,那么焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4 .以焦点半径PF i为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.2 25 .假设P o(X o, y o)在椭圆与yY 1上,那么过P0 a b的椭圆的切线方程是警缪1. a b2 26 .假设P0(X o, y o)在椭圆占4 1外,那么过a bP0作椭圆的两条切线切点为P1、P2, 那么切点弦P1P2的直线方程是x o x y o y-2~ ~2~1.a b2 27.椭圆\ 4 1 (a>b>0)的左右焦点a b分别为F1, F2,点P为椭圆上任意一点F1PF2 ,那么椭圆的焦点角形的面积为S F PF b2 tan-. 1 222 28 .椭圆=yr 1 (a>b>0)的焦半径公a b式：IMF I | a ex0,|MF2 | a e%(F1( c,0),F2(C,0) M(x0,y.)).9 .设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N 两点,那么MF XNF.10 .过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A I、A2为椭圆长轴上的顶点,A I P和A2Q交于点M, A2P和A I Q交于点N,那么MFXNF.2 211. AB是椭圆与当1的不平行于对称轴a b的弦,M(x°,y°)为AB的中点,那么b2k OM k AB _2,a即K AB整.a V.双曲线1 .点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.2 . PT平分△PF1F2在点P处的内角, 那么焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4 .以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切：P在右支；外切：P在左支)2 25 .假设P o(%,y.)在双曲线与3 1 (a>a b0,b>0〕上,那么过B的双曲线的切为AB 的中点,那么K OM K AB 线方程是粤.当1.a b2 26.假设R〔X°,y.〕在双曲线与匕ab 1 (a>0,b>0〕外,那么过Po作双曲线的两条切线切点为P「P2,那么切点弦P1P2的直线方程是X0X y0 y 1.即K ABb2X.-20a y.212.右P Q〔X.,y.〕在双曲线—2ab2X.-2 )a y.1 (a>0,b>0〕内,那么被Po所平分的中点弦的方程是2 2X Q X y°y X0 y2 27.双曲线 : 〕a b 右焦点分别为线上任意一点1 〔a>0,b>o〕的左F 2,点P为双曲F1PF2 ,那么双曲线2 . 2 2aba213.假设P0(x0,y0)在双曲线—ab2 yb7 1(a>的焦点角形的面积为S2 2 F1PF2b2cot—.20,b>0〕内,那么过Po的弦中点的轨2 2迹方程是3线誓岑.a2b2a2b28 .双曲线: I 1 〔a>0,b>o〕的焦a b半径公式：〔F1〔 c,0〕, F2〔c,0〕当M〔X0,y°〕在右支上时,|MF1| ex0 a ,| MF2 | ex0 a.当M〔X0, y°〕在左支上时,|MF1| eX0 a,|MF2| eX0 a9 .设过双曲线焦点F作直线与双曲线椭圆与双曲线的对偶性质-椭1.相交P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别2.交相应于焦点F的双曲线准线于M、N 两点,那么MFXNF.10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲3.线交于两点P、Q, A「A2为双曲线2 2椭圆三-yy 1 〔a>b>o〕的两个顶 a b 点为A〔 a,0〕,A2〔a,0〕,与y轴平行的直线交椭圆于P r P2时A1P1与A2P22 2交点的轨迹方程是3多1. a b2 2过椭圆与与1 〔a> 0, b>0〕上任 a b 一点A〔X0,y.〕任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,那么直线BC有定向且k Bc骆〔常数〕.a y.2 2假设P为椭圆33 1 〔a>b>0〕上 a b实轴上的顶点,A1P和A2Q交于点异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦M, A2P和A1Q交于点N,那么MF点, PFE PF2F1±NF.tan — cot —.2 11. AB是双曲线三a2纭 1 (a> 0,b> 0) b 4. 设椭圆得a24 1 (a>b>0)的两个b2的不平行于对称轴的弦,M 〔X., y°〕焦点为F I、F2,P 〔异于长轴端点〕为椭圆上任意一点,在△ PF1F2中, 记F1PF2 ,PF1F2 , F i F2P ,那么有点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,贝E|MN |210.椭圆与ae.22yb21 ( a> b>0)sin c --- ----- e.sin sin a ,A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点25.假设椭圆与a 2 y_b21 (a> b>0)的左、右焦点分别为F i、F2,左准线为L,2 .2P(x°,0),那么a211.设P点是椭圆三aX2 ,2a baa> b>0)那么当0<e<点1时,可在椭圆上求一点P,使得PF i是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.2 26. P为椭圆二与1 (a>b>0)上任a b 上异于长轴端点的任一点,F i、F2 为其焦点记F1PF2 ,那么八2b21) 1P削0、一点,F i,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,那么2) S PF1F2 b2tan-.1 2 2212.设A、B是椭圆与a 1 ( a> b2a |AF2 11PA | | PF i | 2a |AF1 |,当且仅当A,F2,P三点共线时,等号成立>0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点, PAB ,PBA , BPA , c、e分别是椭圆的半焦距离心率,那么有2 27.椭圆区舁1与直线a bAx By C 0有公共点的充要条件是A2a2B2b2(Ax0 By0 C)2.2 28.椭圆一4 1 (a>b>0), O a b为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且OP OQ .(1)|PA|tan tanS PAB2 . .2ab |cos |2a2bb213.椭圆9. 1)2)3)2 2c cos1 e2.(3)2.(2)2a2xacot2yb21 ( a>b>0)的右准线l与X轴相交于点E ,过椭圆1 1 1 1 .| OP |2|OQ |2a2b2;|OP2+|OQ|2的最大值为2 2S OPQ的最小值是告红a b右焦点F的直线与椭圆相交于A、B2 24a2b2 .~~2 ,a b2冬i (a>b>0)的右焦b两点,点C在右准线l上,且BC x轴,那么直线AC经过线段EF的中点.14 .过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,那么相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15 .过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,那么该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16 .椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注：在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)17 .椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18 .椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中央的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质一双曲线2 21 .双曲线二4 1 (a>0,b>0) a b的两个顶点为A( a,0) , A2(a,0), 与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹2 2方程是x2 4 1.a b2 22 .过双曲线与4 1 (a>0,b>o)a b上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,那么直线BC有定向且k Bc 辂(常数).a V.23 .假设P为双曲线与a>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点,PF1F2 , PF2F1,那么c-a tan—cot—(或c a 2 2c a x----- tan—cot —7.c a 2 22 24.设双曲线与与1 (a>0,b>0) a b的两个焦点为F「F2,P (异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在△PF1F2 中,记F1PF2 ,PF1F2 , \F2P ,那么有sin c--------------------- --- e.(sin sin ) a2 25 .假设双曲线-2 -V2- 1 (a>0,b>0) a b的左、右焦点分别为F「F2,左准线为L,那么当1<ew V2 1时,可在双曲线上求一点巳使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. 2 26 . P为双曲线与4 1 (a>0,b> a b2£ 1( a> 0,b0)上任一点,F I,F2为二焦点,A 为双曲线内一定点,那么2 ,SPF1F2b COt二.22 212.设A、B是双曲线与与a b 1 (aIAF2I 2a |PA| |PF i|,当且仅当>0,b>0)的长轴两端点,P是双曲线上的一点,PABA,F2,P三点共线且P和A, F2在y PBA , BPA , C、e 分别是轴同侧时,等号成立双曲线的半焦距离心率,那么有2 7.双曲线x2 a与直线Ax2y2 1 (a> 0,b> 0) b By C 0有公共点的充要条件是A2a2B2b2C2.2 28.双曲线tI 1 (b>a >a b0), O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,且OP OQ .1)2)3)2 . .2ab | cos ||PA|「2-N | a c cos |2tan tan 1 e .SPAB2, 22a b ,2一 2 cotb a 213.双曲线占a2j 1 (a> 0,b>(1)| OP |2|OQ I2(2) |OP2+|OQ|2的最小值为2,2(3) S OPQ的最小值是-2巴b2a2 2 4a b . ~22 ；b a2 29.过双曲线与匕1 (a>0,b>0)a b的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,那么|PF | e .|MN | 22 210.双曲线 \ 4 1 (a>0,b>a b0) ,A、B是双曲线上的两点, 线段AB的垂直平分线与x轴相2 .2交于点P(x°,0),那么x.a~^或 a2 ,2a b x-- .a2 211.设P点是双曲线与与1 (a>a2b20,b> 0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F1PF2 ,那么⑴|PF1||PF2|产一.⑵1 cos0)的右准线l与x轴相交于点E , 过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上,且BCx轴,那么直线AC经过线段EF的中点.14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,那么相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15 .过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,那么该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16 .双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).〔注：在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点〕.17 .双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18 .双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中央的比例中项.圆锥曲线问题解题方法圆锥曲线中的知识综合性较强,因而解题时就需要运用多种根底知识、采用多种数学手段来处理问题.熟记各种定义、根本公式、法那么固然重要,但要做到迅速、准确解题,还须掌握一些方法和技巧.一.紧扣定义,灵活解题灵活运用定义,方法往往直接又明了.例1.点A (3, 2), F (2, 0),双曲线2X2匕1,P为双曲线上一点.31求|PA| 1|PF|的最小值.2解析：如下图,双曲线离心率为2, F为右焦点,由第1二定彳t知1|PF|即点P到准线距离.1 5|PA| |PF| |PA| |PE| AM -2 2二.引入参数,简捷明快参数的引入,尤如化学中的催化剂,能简化和加快问题的解决.例2.求共焦点F、共准线l的椭圆短轴端点的轨迹方程.解：取如下图的坐标系,设点F到准线l的距离为p (定值),椭圆中央坐标为M (t, 0) (t为参数) ,叫.2 .b pc pt再设椭圆短轴端点坐标为P (x, y),那么X c ty b ..pt消去t,得轨迹方程y2 px三 .数形结合,直观显示将“数〞与“形〞两者结合起来,充分发挥“数〞的严密性和“形〞的直观性,以数促形,用形助数,结合使用,能使复杂问题简单化,抽象问题形象化.熟练的使用它,常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题.例3.x,y R,且满足方程x2 y2 3(y 0),又m --3 ,求m 范围.解析：m —-的几何意义为,曲线x 3x2 y2 3(y 0)上的点与点(—3, — 3)连线的斜率,如下图四.应用平几,一目了然用代数研究几何问题是解析几何的本质特征,因此,很多“解几〞题中的一些图形性质就和“平几〞知识相关联,要抓住关键,适时引用,问题就会迎刃而解.例4.圆(x 3)2 y2 4和直线y mx的交点为P、Q,那么|OP||OQ|的值为.解：OMP ~ OQN|OP||OQ| |OM||ON| 5五.应用平面向量,简化解题向量的坐标形式与解析几何有机融为一体,因此,平面向量成为解决解析几何知识的有力工具.例5.椭圆：工y- 1 ,直线l :24 16y12 81, P是l上一点,射线OP交椭圆于六.应用曲线系,事半功倍利用曲线系解题,往往简捷明快,收到事半功 倍之效.所以灵活运用曲线系是解析几何中重要 的解题方法和技巧之一.例6.求经过两圆x 2 y 2 6x 4 0和 22x y 6y 28 0的父点,且圆心在直线x y 4 0上的圆的方程.点R,点Q 在OP 上且满足|OQ||OP| |OR|2 ,当 点P 在l 上移动时,求点Q 的轨迹方程.解：设所求圆的方程为：22_22_x 2y 26x 4 (x 2y 26y 28) 0 (1 )x 2 (1)y 2 6x 6 y (284) 0分析：考生见到此题根本上用的都是解析 几何法,给解题带来了很大的难度,而如果用向 量共线的条件便可简便地解出. 解：如图,OQ, OR, OP 共线,设 OR OQ , OP OQ , OQ (x, y),贝U 那么圆心为(」_ , _J_),在直线11x y 4 0 上解得 7故所求的方程为x 2 y 2 x 7y 32 0OR ( x, y) , OP ( x, y) 2七.巧用点差,简捷易行在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程,往往采用 点差法,此法比其它方法更简捷一些.例7.过点A (2, 1)的直线与双曲线2x 2 — 1相交于两点P 1、P 2,求线段P 1P 2中点2的轨迹方程.解：设 P ,(x1,Y I ) , P 2(x 2, y 2),那么2X I 2 X22 Y I2 2Y 2 2|OQ||OP| |OR| <2> —<1> 得(X 2 X I )(X I X 2)1 2(Y 2 Y I )(Y I2Y 2)2 22 |OQ|2 2|OQ|22点R 在椭圆上,P 点在直线l 上 2 222———匕1,三△ 12416 12 8 2 2即士 L 二y241612 8化简整理得点Q 的轨迹方程为： 22 _(x 1) (y 1) 2 … -—广1(直线y — x 上万 5 5 323局部) 即 Y 2 Y I2( X I X 2) X 2 X IY I Y 2设P 1P 2的中点为M(X O , y 0),那么kP 1P 2Y 2 Y Ix 2 X 12xY O又,而P I 、A 、M 、P 2共线k P 1P2k AM,即^X O 2Y O的轨迹方程是2x 2 y 2 4x y 0P 1P 2中点M解析几何题怎么解高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题,1个填空题,1个解做题),共计30分左右,考查的 知识点约为20个左右.其命题一般紧扣课本,突出重点,全面考查.选择题和填空题考查直线,圆, 圆锥曲线,参数方程和极坐标系中的根底知识.解做题重点考查圆锥曲线中的重要知识点,通过知识 的重组与链接,使知识形成网络,着重考查直线与圆车t 曲线的位置关系,求解有时还要用到平几的基 本知识,这点值得考生在复课时强化.例1点T 是半圆O 的直径AB 上一点,AB=2、OT=t (0<t<1),以AB 为直腰作直角梯形 AA B B ,使AA 垂直且等于AT,使BB 垂直且等于BT , A B 交半圆于P 、Q 两点,建立如图所 示的直角坐标系.⑴写出直线A B 的方程； (2)计算出点P 、Q 的坐标;(3)证实：由点P 发出的光线,经AB 反射后,反射光线 通过点Q.饼斛：通过I 卖图,看出A , B 点的坐标. 一…' ' .'一 ,.…(1 )显然A 1,1 t , B 1,1 t ,于是直线A B 的方程为ytx 1 ;222(2)由方程组 x y 1,解出 P(0,1)、Q(1/,」^)； y tx 1, 1 t 1 t由直线PT 的斜率和直线QT 的斜率互为相反数知,由点 P 发出的光线经点T 反射,反射光线通 过点Q.需要注意的是,Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式,有趣吗？22例2直线l 与椭圆\ J 1(a b 0)有且仅有一个交点Q,且与x 轴、y 轴分别交于R 、S, a b 求以线段SR 为对角线的矩形ORPS 的一个顶点P 的轨迹方程.讲解：从直线l 所处的位置,设出直线l 的方程,由,直线l 不过椭圆的四个顶点,所以设直线l 的方程为y kx m(k 0). 代入椭圆方程 b 2x 2 a 2y 2 a 2b 2,得 b 2x 2 a 2(k 2x 2 2kmx m 2)a 2b 2.化简后,得关于x 的一■兀二次方程 (a 2k 2b 2)x 2 2ka 2mxa 2m 2 a 2b 20.于是其判别式(2ka 2m)2 4(a 2k 2 b 2)(a 2m 2 a 2b 2) 4a 2b 2(a 2k 2 b 2 m 2).由,得^ 二0 .即a 2k 2 b 2 m 2.①在直线方程y kx m 中,分别令y=0, x=0,求得R ( —,0),S(0,m). k(3) k PTk QT2t1t(it 2昌m I, y x—, k — 令顶点P 的坐标为(x, y), 由,得 k解得 xym.m y.2, 2代入①式并整理,得 a 2 b 2 1,即为所求顶点P 的轨迹方程.x 2 3 y 22. 2方程土上1形似椭圆的标准方程,你能画出它的图形吗？22x y例3双曲线x 2 4 1的离心率e .,过A (a,0),B(0, b)的直线到原点的距离是 —.a 2b 2 32(1)求双曲线的方程；的值.设C(x i ,y i ),D(x 2,y 2),CD 的中点是 E(x o ,y o ),那么2(2)考虑直线l 的斜率的存在性,可分两种情况:解出 e i)当k 存在时,设l 的方程为y k(x c)于是椭圆方程可转化为x 2 2y 2 2c 2 0 ................................. ②(2)直线y kx5(k 0)交双曲线于不同的点 C, D 且C, D 都在以B 为圆心的圆上,求k讲解：:( 1) £ a2卡原点到直线AB:二 1的距离dab ■..a 2 1, ab 2■、.ab c、3~2~故所求双曲线方程为x 2 2V y 1.(2)把y kx 5代入x 23y 23中消去y,整理得(12 23k 2)x 230kx 78x .x 1x 22 15 k U y 0kx 05； : । 2 , kBE1 3ky 01x 0x 0 ky 0 k0,即15 k 3k 25 k---------- - k 0,又 k 1 3k 20, k故所求k= ± a.为了求出 k 的值,需要通过消元,想法设法建构k 的方程.例4椭圆 C 的中央在原点,焦点F I 、F 2在x 轴上,点P 为椭圆上的一个动点, 的最大值为90° ,直线l 过左焦点F I 与椭圆交于A 、B 两点,4ABF 2的面积最大值为 且/ 12.F 1PF 2(1)求椭圆C 的离心率; (2)求椭圆C 的方程. 讲解: (D 设IPF I I「I ,|PF 2| "F I F 2|2c ,对PF I F 2,由余弦定理,得cos F 1PF 21 22r 1 r 2 4c2rj 2(.L)22r 1r 2 4c 2 2rj 24a 4c 1------------- 1 1 r 1 r 2 2 2(七壬卜面给出此题的另一解法,请读者比拟二者的优劣: 设过左焦点的直线方程为：x my c (这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思 2 2椭圆的方程为：x ^ \ 1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) a b 由e 字得：a 2 2c 2,b 2 c 2,于是椭圆方程可化为: 把①代入②并整理得：(m 2 2)y 2 2mcy c 2 于是y 〞y 2是上述方程的两根. AB 边上的高h 一c1 m 2当且仅当m=0取等号,即S max 收02. 由题意知v2c 2 12,于是b 2 c 2 66,a 2 12V2 .故当△ ABF 2面积最大时椭圆的方程为： 上 工12. 262将①代入②,消去y 得 x 2 2k 2(x c)2 2c 20,整理为x 的一元二次方程,得._2、22_2.2、 一(1 2k )x 4ck x 2c (k 1) 0.那么x i 、x 2是上述方程的两根.且 | x 2 x i | 2 .. 2c1 k AB 边上的高 h | FR | sin BF 1 F 21 2c |k|,2,1 k2kk 2| x 2 x i |2 2c(1 k 2)；~2,1 2k厂也可这样求解:2c 1cc/1 k 2、 |k | c S -2 2c( 2) |—| 22c212k1 k 212产区| M y 2|2.2c 2.rviki 1 2k 2k 2k 4k 24k 42'2"1 1 42k k,2c 2.c | k | | x ix 2 |ii)当k 不存在时,把直线x c 代入椭圆方程得 y£c ,|AB|由①②知S 的最大值为V2c 2由题意得2c 2 = 12所以c 2 6 2 b 212 2故当△ ABF 2面积最大时椭圆的方程为： 上12. 2 2V 1.6 2x 2 2y 2 2c 2 0 .................. (2|AB| \(x 1、2 z、2x ) (y1 m2 | y 2 y 1|1 m2 4m2 2, 2,2c 4c (m 2)2m 2-22 2c(1 m 2)从而 S l|AB|h 二2 2c(1m2)22 m 2 22c221 m22 2c 21m2c(m 2)22 2c 2■ m1 1 122m 212c 2. 1.2 2例5直线y x 1与椭圆之与1〔a b 0〕相交于A、B两点,且线段AB的中点在直 a b 线l :x 2y 0上.〔1〕求此椭圆的离心率；〔2 〕假设椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆x2y24上,求此椭圆的方程.y 讲解：〔1〕设A、B两点的坐标分别为A〔x1,y〕 BM, y?〕.那么由x2-2 a2 2、 2 2 2 2(a b )x 2a x a a,- 4.2如果| AB | ——,求直线MQ的万程；〔2〕求动弦AB的3中点P的轨迹方程.、… r 4、2讲解：〔1〕由1A Bi可,可得|MP| J MA |2 (LA%2J12(迪)2 1,由射影定理,得2 . 3 3|MB |2|MP | |MQ |,得|MQ | 3,在RtAMOQ 中,|OQ | <| MQ |2 |MO |2、32 2 2 M5 ,故a 盘或a <5 ,所以直线AB方程是2x J5y 2运 0或2x 岛2匹 0; x 1, y2行2_ 1 b2根据韦达定理,得x1 x2与,,y2函 a bX2)2b2a2b2「•线段AB的中点坐标为〔2 .2a b~2 -2 , -2 ~2 a b a b2由得二Ja2b22b-2 a 厂0, a2 2b2 2(a2 c2) 2c2,故椭圆的离心率为〔2〕由〔1〕知 b c,从而椭圆的右焦点坐标为F〔b,0〕,设F〔b,0〕关于直线l:x 2y 0的对称点为(x°, y°),那么也x0 b 2 f 0,解得X. 3 b且y°2 b5 5由得4,3 2(b)52 2(-b)2 4, b24,故所求的椭圆方程为—1 .5 8 4.M:x2(y 2〕2 1,Q是x轴上的动点,QA, QB分别切.M于A, B两点, (DC............ I _ z — I 1............................... ~~z 2 y_2(2)连接MB, MQ,设P(x,y),Q(a,0),由点M, P, Q 在一直线上,得一 -一,(*) a x由射影定理得| MB |2 |MP | | MQ |,即 &一(y 2)2 商—4 1,(**)7 c 1把(*)及(**)洎去a,并注意到y 2,可得x2(y -)2—(y 2).4 16适时应用平面几何知识,这是快速解答此题的要害所在,还请读者反思其中的微妙a—例- 如图,在Rt^ABC 中,/CBA=90° , AB=2 , AC=旧.2DO=2 ,曲线E过C点,动点P在E上运动,且保持| PA |+| PB |的值不变.(1)建立适当的坐标系,求曲线E的方程；(2)过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间,设-DM ,试确定DNDO LAB 于.点,OA=OB ,实数讲解: 的取值范围.(1)建立平面直角坐标系,如下图 : | PA |+| PB |=| CA |+|CB | V=得 22 ( 22)22V2「•动点P的轨迹是椭圆;、区b 1,c 1；曲线E的方程是(2)设直线L的方程为y kx 2,代入曲线E的方程x i 2y2 2,得(2k22(8k)2 4(2k 1)8k x2x〔x22 ,2k2 162 .2k 1i) L与y轴重合时, ii) L与y轴不重合时, x2x1 0,.(x〔x2)2x1 x2xx2x2x i1)x2 8kx 0设M1 ( 〞乂), N(x2, y),0,| DM |rDNu由①得DMDNxD X MX D X Nx1x2 x1 0, .,.0< < 1 ,1 2-.(x x2)2x1 x264k226(2k2 1)3213(2 -7)k那抛物线有两个不同的交点,因此l 与l 不重合,l 不是CD 的垂直平分线.此题是课此题的深化,你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累,水平在联想中提升 .课本是 高测试题的生长点,复课切忌忘掉课本!1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)由 e / 得 a 2 2c 2,b21 .,・•・ 6 3(2-2) 8.■ ■ 432V~ 3(2 -r) k16 ・二 4 16 31,10 32, 1.的取值范围是10 3值得读者注意的是,直线 L 与y 轴重合的情况易于遗漏,应当引起警惕.例8直线l 过抛物线y 22 Px(p 0)的焦点,且与抛物线相交于 A (x 1, y 1)和B(x 2, y 2)两点.(1)求证：4x 1x 2p 2; (2)求证:对于抛物线的任意给定的一条弦 CD,直线l 不是CD 的垂直平分线.讲解：(1)易求得抛物线的焦点F (£°). 2,2 …・右l ,x 轴,那么l 的方程为x P 显然x 1x 2 —.右l 不垂直于x2,八〞 4 轴,可设y k(x P),代入抛物线方程整理得 2__ _ 2x 2P(1 ,)x — k 4 0,那么x 1x 2—.综上可知 4X I X 24.2. 2(2)设C(J c) D(L d)且c d ,那么CD 的垂直平分线l 的万程为y Jd 2p' ' 2p' 2c d——(x 2P2 2〞) 4P假设l 过F,那么0,2, 2一3(R c d )整理得 (c d)(2p 2 c 2 d 2) 2p 2 4p2p 2 c 2 d 2 0 ,d 0.这时l 的方程为y=0,从而l 与抛物线y 2 Px 只相交于原点.而l 与。
(完整版)圆锥曲线的切线方程的推导
圆锥曲线的切线方程的推导1.若点00(,)P x y 是椭圆22221x y a b+=上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：00221x x y ya b+=。
证明：由22221y x b a=-⇒2222(1)x y b a =-……①1°当xa ≠±时，过点P 的切线斜率k 一定存在，且0'|x xk y ==∴对①式求导：20222'b yy x a=-，∴02020'|x x b x k y a y =-==∴切线方程为200020()b xy y x x a y --=--…………②∵点00(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，故 2200221x y a b += 代入②得00221x x y y a b+=…………③而当x a =±时，00y = 切线方程为x a =±，也满足③式故00221x x y ya b+=是椭圆过点00(,)P x y 的切线方程.2. 若点00(,)P x y 是双曲线22221x y a b-=上任一点，则双曲线过该点的切线方程为：00221x x y ya b-=。
证明：由22221y x b a=-⇒2222(1)x y b a =-……①1°当x a ≠±时，过点P 的切线斜率k 一定存在，且0'|x xk y ==∴对①式求导：20222'b yy x a=∴02020'|x x b x k y a y === ∴切线方程为200020()b x y y x x a y -=--…………②∵点00(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=上，故2200221x y a b -= 代入②得00221x x y y a b -=…③而当x a =±时，00y =,切线方程为x a =±，也满足③式.故00221x x y ya b-=是双曲线过点00(,)P x y 的切线方程.3.若点00(,)P x y 是抛物线22y px =上任一点，则抛物线过该点的切线方程是00()y y p x x =+证明：由22y px =，对x 求导得：002'2'|x x pyy p k y y ==⇒==。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆锥曲线的几大大题特征公式：焦半径、准线、弦长、切线方程、弦中点公式、极线方程 /*另外，针对“计算不好”的同学，本人提供“硬解定理”供大家无脑使用。
具体的请参考本目录下的【硬解定理的推导和使用】文章。
*/
圆锥 曲线 的切 线 方程 在 历年高考题中出现，但是在高中教材及资料都涉及较少。
本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。
从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。
【基础知识1：切线方程、极线方程】
【1-0】公式小结：x 2换成xx 0，y 2换成yy 0，x 换成(x+x 0)/2,y 换成(y+y 0)/2. 【1-1】 椭圆的切线方程 ：
①椭圆 12222=+b
y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=+b yy
a xx 。
②过椭圆 12222=+b
y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=+b yy a xx 。
③椭圆122
22=+b
y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是02
2222=-+C b B a A
(也就是下篇文档所讲的硬解定理公式△=0的充要条件)
【1-2】双曲线的切线方程：
①双曲线12222=-b
y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=-b yy a xx 。
②过椭圆 12222=-b
y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=-b yy a xx 。
③椭圆122
22=-b
y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是022222=--C b B a A
【1-3】抛物线的切线方程：
② 物线 px y 22
= 上一点),(00y x P 处的切线方程是 )(200x x p yy += ②过抛物线 px y 22=外一点 处所引两条切线是)(200x x p yy += ③抛物线 px y 22
=与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是AC pB 22
= 【1-4】 基础知识的证明：
【公式一：曲线C 上切点公式证明】
1、第1种证明思路：过曲线上一点的切线方程
设曲线C 上某一点处 ),(00y x P 的 切 线 方 程 为)(00x x k y y -=-, 联立方程，令
0=∆,得到k 的表达式，
再代入原始式，最后得切线方程式1)()(22
02202020=+=+b
y a x b yy a xx （注: k 的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下）
2、第2种证明思路：点差法(求斜率，其余跟第一种方法一样)
证明：设某直线与曲线C 交于M 、N 两点坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，中点P ),(00y x
则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)
2(.1)1(,122
22
2222
1221ΛΛΛΛb y a x b
y a x ⇒)2()1(-，得.022
22122221=-+-b y y a x x 22
12121212a
b x x y y x x y y -=++⋅--∴ 又.22,000021211212
x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=Θ 22
00a b x y k MN -=⋅∴ (弦中点公式的椭圆基本表达式。
双曲线则是2200a b x y k MN =⋅)
当M 、N 无限趋近时，P 在椭圆C 上。
即得切线斜率0
22y x a b k ⋅-=
3、第三种证明思路(注意：仅供理解，考试使用可能分 证明：由2（圆锥曲线切线证明）（同一目录下文章）可知圆上一点的切线方程。
()()2
2
2
2
2
2
000022','=''+1,1''''
+11
x a x y b y x y x y
a b
x x y y xx yy a b
=⋅⋅=+
==+=坐标变幻，令,因为圆方程为从而得到变形后椭圆表达式
因为圆切线方程为从而得到椭圆切线方程
附言：第1种证明思路中，抛物线证明过程中稍微有些不同。
③
①切线斜率可用导数表示。
②得到式子后，要利用px y 22
0=把2
0y 消去。
【公式二：曲线外一点引切线，过切点作直线的通式证明】(称为极线方程)
证明思路：过),(00y x P 作两条曲线C 的切线，切点为A ),(11y x ，B ),(22y x 。
⇒⎩⎨
⎧=++=++00
2
211C By Ax C By Ax 。
所以⇒过A 、B 两点直线AB l 方程为0=++C Bx Ax 证明(就举椭圆为例)
解：过),(00y x P 作两条曲线C 的切线，切点为A ),(11y x ，B ),(22y x 。
过A 点切线:
12121=+b yy a xx ，过B 点切线：122
22=+b
yy a xx 。
⇒过A 、B 两点直线AB l 方程为12020=+b
yy
a xx
【公式三：由公式一的思路可得】
【基础知识2：焦半径与准线】(具体关系与内容省略，详情看圆锥曲线知识表格) 【1-0】
【1-1】焦半径公式(具体推导用“两点间距离公式”也可解决，之后类似“求长度”的题型，求长度式子写“两点间举例公式”，结果可以直接靠背。
对于焦半径PF ， 口诀：椭圆F 左加右减。
ex a ±(记忆：a 大则在前)
双曲线F 左加右减，双曲线上点P 左减右加。
a ex μ±
焦半径与点到准线距离关系如下。
即(ex a ±)/e=准线距离=±x c
a 2
推广应用:
通过n m ,比例⇔e 的值 ⇔θcos 的值⇔ k =θtan 的值
巧用公式e
n m n m 1
cos ⋅+-=
θ(注：双曲线交于同侧、抛物线类似) 不过需要注意的是，双曲线交于异侧时，公式就变为e
n m n m 1
cos ⋅-+=θ，具体自己推导吧
【基础知识3：弦中点公式及系列类似结论拓展】(坐标变幻只能用于证明部分内容) 【结论一：弦中点公式】
【证明】：设某直线与曲线C 交于M 、N 两点坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，中点P ),(00y x
则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)
2(.1)1(,
122
22
2222
1221ΛΛΛΛb y a x b
y a x ⇒)2()1(-，得.022
22122221=-+-b y y a x x 22
12121212a
b x x y y x x y y -=++⋅--∴ 又.22,000021211212
x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=Θ 22
00a
b k k x y k OP MN MN
-=⋅=⋅∴即 (常用) 结论：斜率不变的直线与椭圆交于两点，所得两点中点的轨迹是一条过原点的直线。
【抽象理解型证明】
具体理解，可以用“坐标系变幻理解”
证明：设某斜率为定值k 的直线与曲线C 交于M 、N 两点坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，中点P ),(00y x
2222
1x y a b
+=，令',='x a x y b y =⋅⋅⇒22
(')+ (')1x y =。
∵变幻后， x a y b 轴缩短倍，轴缩短倍，得到中点轨迹方程始终与MN 垂直
''2
''2
'1''OP MN OP MN OP MN y b y b
k k k k x a x a
b b
b k k k k a a
a
∆∆∴⋅=-===⋅∆∆∴⋅=
⋅=-Q 又
【结论二：顶点连线斜率乘积公式】(用坐标变幻好理解)(部分设元会用它比较方便)
2
2AP BP
b k k a
⋅=-,具体证明见下面的“拓展性证明”,若要抽象理解的话坐标变幻后两个垂直，
证明方法和上面一样。
至于双曲线，则是2
2AP BP
b k k a
⋅=。
结论可以直接背，不过引用的时候还得按照下面的方法老实推导。
【结论三：（上一结论的延伸）对称点连线斜率乘积公式】(没法用坐标变幻)
证明：不建议设直线，直接设两个元最后消元即可(此处只列椭圆的，双曲线的证明类似) A ),(n m 、B ),(n m --在椭圆上，且关于原点对称。
则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)
2(.1)1(,12
22222
1221ΛΛΛΛb n a m b y a x ⇒)2()1(-，得2222
22a b m x n y -=-- 222
222==AP BP y n y n y n b k k x m x m x m a
-+-⋅⋅=--+-∴。