计算机图形学作业

1、证明两个二维比例变换T(s x1，s y1)，T(s x2，s y2)具有下式：
T(s x1，s y1) T(s x2，s y2)＝T(s x1 * s x2，s y1 * s y2 )
)21,21(1000000100
00001000000)2,2()1,1(212
122
11sy sy sx sx T s s s s s s s s sy sx T sy sx T y y x x y x y x ••=⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡••=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡•⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=•
2、已知三角形各顶点坐标为(10,10),(10,30)和(30,20),作下列变换，先绕原点逆时针旋转90度,再沿X正向平移10，沿Y负向平移20。

写出变换的矩阵。

平移变换矩阵为：⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-120
10
010
001
，旋转变换矩阵为：⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-10
0001010 总的变换矩阵为：T ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-10
000
101
0×⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-120
10
010001
＝⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--120
10
00
1010
试证明一个绕原点的旋转变换和一个均匀比例变换是可交换的变换对。

证明：⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡•⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=10
0cos sin 0sin cos 100000010
0cos sin 0sin cos 1θθθθ
θθθθS S S S S S
T ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡-•⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10
0cos sin 0sin cos 10
00cos sin 0sin cos 100
00
002θθθθ
θθθθ
S S S S S S
T
推导以直线ax+by+c=0为对称轴的二维对称变换矩阵，其中b!=0。

直线变为y=(-a/b)x+(-c/b)，即直线的斜率为-a/b，直线的截距为-c/b，整个变换过程可分以下几个步骤完成：
a) 沿y轴，平移直线使之通过原点，平移量为c/b，变换矩阵为：
b) 绕原点旋转-θ（θ=arctg(-a/b)），使直线与x轴重合，变换矩阵为：
c) 做关于x轴的对称变换，变换矩阵为：
d) 绕原点回旋θ，变换矩阵为：
e) 沿y轴，平移直线，平移量为-c/b，变换矩阵为：
整个过程的变换矩阵为：。