四高精度差分格式及其数值解的逼近程度分析
解四阶抛物型方程高精度紧致差分格式
７ ２
大 学 数 学
第２ ６卷
其 中 Ｄ ， ｑ 依次 为关 于 的一 阶偏 微分算 子 ， 移算 子与一 阶 中心差分 算子 ， 面建 立 中心差 分 Ｔ － 位 下 算子 和微分 算子 Ｄ 的关 系式． Ｔ ｙｏ 展开 ， 得 由 ａ ｌｒ 可
一
＋ １＇？ ： ，）
了一个 三层 隐式 差分 格式 ， 是格 式 的精度 比较 低 ； ［ ］ 造 了一个 三层 显式 差分 格 式 ， 稳定 性条 件 但 文 ４构 其
和局 部截 断误 差 阶分别 为 ｆ ｆ １ ８和 ｏ（Ｚ ｆ。 Ｚ ）） 文 ［ ］ ＜ ／ ｒ （ ） ＋（Ｘ ； Ｘ ５ 构造 了一个 两层 恒稳 隐 式格 式 和 一
因此 ， 文针对 四阶抛物 型方程 （ ） 本 １ 的周期 初值 问题 ， 造 出了一 个两 层 高精度 紧致 差分 格 式和一 个 构 三层高精 度紧致 隐格 式 ， 其截 断误差 阶分别为 Ｏ（△￡ ＋ （ ｚ 和 ｏ（ａ￡ ＋（ ）ｚｚ △ ． （ ） ｚ ）） ５ （ ） Ｓ △￡（ ） ＋（ ）） Ｘ
一ｃ＜ｚ × ０ ≤Ｔ × ＜Ｃ，≤ｆ ， ３ 。
…
１ （２ “ ３＋Ｌ，） ｔ 一“（ ￡ ， 一 ∞ ＜ ＜ ∞ ， ≤ ￡ Ｔ， Ｔ，） Ｏ ≤ 一ｏ ％ｘ ｏ． ｏ ％ ｏ
一
对 于这 类 四阶抛 物 型方程 的数值解 求 解 ， ａ ｌ ｅ Ｓ ｕ ’ｖ在 文 ［ ］ 出 了一 类 含 权 因子 ａ的两 层 差 分 格 式 ， １提 当 ａ 一０时 为显 式格式 ， 其稳定 性 条件 为 ｆ ｆ １ ２一 文 ［ ］ 造 了一族 三层 （ 殊 情况 下 为两 层 ） 含双 参 ＜ ／ 。 ； ２构 ｒ 特 、 数、 绝对 稳定 、 精度 、 对角 线型 的 隐式差 分 格 式 ， 局 部 截 断误 差 为 Ｏ（ ｚ ＋（ ） ） Ａｔ△ｚ分 高 五 其 （ ） ５ ｚ ｚ ， ， ５ 别 为时 间及 空间 步长 ； 后 ， 随 曾文平 针对 四阶抛 物型 方程 提 出 了一系列 的差分 格式 ］其 中文 ［ ］ 造 ， ３构
【国家自然科学基金】_高精度差分格式_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140730
53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
改进型boussinesq方程 扩散方程 序列二次规划方法 平滑 差分逼近程度 差分方法 对流扩散反应方程 对流占优 完全匹配层(pml) 多重网格方法 多自由度系统 四阶紧致差分格式 吸收边界 叶片热传导 可压缩流 变分原理 单调迭代 半显式 加权本质无振荡(weno) 传统差分 传播子技术 中短波 中心格式 三维对流扩散方程 weno格式 sh波场 kelvin-helmhohz不稳定性 fourier分析
有限体积方法 有理谱配点法 显格式 新型高分辨率格式 数学基本格式 数值摄动高精度重构 数值反演 摄动有限体积格式 摄动差分格式 插值 控制容积积分法 指数时程差分法 强对流占优问题 并行算法 导热方程 奇异摄动 奇异分析 多重网格方法 多分辨分析 复杂流场计算 地震波 土壤湿度 吸收边界条件 各向异性 变系数 准p波方程 农业 元体平衡法 代数多重网格方法 交错网格 二阶投影法 二维小波 不可压缩流 不可压navier-stokes方程组 三阶迎风格式 三维小波 三维双调和方程 一致稳定性 weno格式 vti介质 vrs volterra型积分微分方程 vof tvd格式 schr(o)dinger方程 rtk-gps richards方程 pml吸收边界条件 navier-stokes方程 mmb差分格式 gps dlr型k-ε 紊流模型 cdma
热传导方程的一种高精度O(τ 2+h 4)阶差分格式
“ 一 （ ＋ 一 ２ ｉ ｕ一 ） ， ｕ ＋ ｊ。 ，
验估 计和 数值 例子 。
１ 网格 剖 分
取空间步长 ｈ ／ 和时间步长 Ｚ＝ ／ 其 —Ｚ Ｍ －＝ Ｎ， ＝Ｔ
讨论对流程的差分格式的精度及稳定性的认识
讨论对流程的差分格式的精度及稳定性的认识下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢！本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注！Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!论文：对流程的差分格式的精度及稳定性探讨引言对流程的差分格式在科学计算领域中起着至关重要的作用。
四高精度差分格式及其数值解的逼近程度分析.ppt
2u x 2
(2)
K=1
c const, const
单个Fourier分量初值:
K=2
u(x,0) exp(ikx), x
精确解：
1. u(x,t) exp[ik(x ct)]
2. u(x,t) exp(k 2t) exp[ik(x ct)]
的 k S x k
和右端的x
k 1u xk 1
的系数相等
得到代数方程组，求出系数l和al .
• 获得F需要求解矩阵方程组，左端点最好不超过3
15
一阶导数的对称型紧致差分(cont.)
• 四阶精度:
0Fj
1
Fj1 2
F j 1
a1
u j1
u j1 2
1 6
xux
ikx uˆ(t) exp(ikx)
ke
uˆ(t) exp(ikx),ke
i(kx)
i
x 2uxx k 2x2 uˆ(t) exp(ikx) kd uˆ(t) exp(ikx),kd 2
3
半离散方程的精确解
u(x j , t)
bl
l 0
u jl
2u j l2
u jl
相容要求：
l bl
l0
l 1
Taylor展开左端的x2k2Sk
和右端的x2
2k 2u x2k 2
的系数相等
得到代数方程组，求出系数l和bl .
• 获得S需要求解矩阵方程组
13
二阶导数的紧致差分(cont.)
解四阶抛物型方程新的高精度显式差分格式
０ 引言
考虑下列四阶抛物型方程初边值问题
维普资讯
第 ３期
单 双荣 等 ：解 四阶抛 物型方程新 的高精 度显式差分格 式
・２ ９・ ７
微 分方 程 （ ） 具有 尽 可能 高 阶的离 散误 差 ，而且 有 较好 的稳 定性 ． １
表 示 方 向 的 四阶 中心 差 分算
子，即：
０ ｕ ３
一 一
＋＋＋） 如 弛窘＋ ］２（ ＋［４ ｈ ０ １ ＋） ＋（ ］ ＋ 一 ） １２ 一 一 ｈ’＋ 一 ２ ＿ｌ２一 一 一２豢 一ｒ （一 一 ’一 ’ （ 一ｈ２＋ ２ ｈ＋ ＋ ｆ（ 一 ０ ｒ ） ２ ２ ＋ ［ ” ２Ｏ ） ２ ＋ｌ ｏ ］ ｉ￣ ｌ２ 。１４ ０ ＋（ 雾］ ， ＋＋２ ＋ ＋ ０２） ５ ） ０ ｕ
得：
（ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ） 一 ＋ ２ ｕ＋（ ＋ ） ０ ］一 （ｏ ＋ 一 一 ） ｕ ＋ ｈ ２ ０２ （ ＋
一ｃ ｏ ｒ ｌ（ ＋
一
＋＋＋一 軎 ＋ ０ ｏ 孑 １ ３ ）
＋ ［ （ ＋ ＋
其中 ０ ， Ｏ ， ，２ ，０， ０ 为待定参数．适 当选取这些参数 ，可以使差分格式 （ ）逼近 五 ０ ｏ０ ０ ， ， ０ ， ６ ２
［ 收稿 日期 ］２ ０ —１ ０ １ ０—１ ０ ［ 作者简介 ］单双荣 （９ ６一） １５ ，男 ，讲 师 ，从 事计 算数学研究 ．
维普资讯
四阶抛物型方程的一个高精度差分格式
（） ２
边 值条件 ： （ ，） Ｍ Ｌ，） ０ ０≤ ｔ Ｔ。 （） “ ０ ｔ一 （ ｔ一 ， ≤ ３ 利用加 耗散项 的思想来构 造偏微 分方程 的差分
本 文对 高阶抛物 型方 程 （ ） 出如 下 的三 层 多 １提 参数差 分格式 ：
收 稿 臼期 ：０ ８ ９～０ ２ ０ ～０ ５
科
学 ｍ
版
Ａ ｉ ｈ Ａｃ ｕ ａ ｙ Ｄｉ ｆ ｒ ｎ ｅ Ｓ ｈ ｍｅ ｆ ｒ Ｓ ｌ ｉ ｇ Ｈ ｇ ｃ ｒ ｃ ｆｅ ｅ ｃ ｃ ｅ ｏ ｏｖ ｎ
ｔ ｔ ｄ ｒ Ｐａ ａ ｏ ｉ ｒ ｉ ｌＤｉｆ ｒ ｎｔａ ｈｅ ４ ｈ Ｏｒ ｅ ｒ ｂ ｌｃ Ｐａ ｔａ ｆ ｅ ｅ ｉ ＩＥｑｕ ｔｏ ａ ｉｎ
Ｗ Ａ ＮＧ ａ － ｎ ＬＩ Ｐｉ ｇ， ＡＮＧ Ｘｉ ｏ Ｆｅ ｇ， Ｕ ｎ Ｗ Ｂｏ
（ ． ｐ ｒ ｍｅ ｔｏ ｔ ｅ ｔ ｓ Ｘｉ ｘ ａ ｇ Ｕｎ ｖ ｒ ｉｙ Ｘｉ￣ａ ｇ ４ ３ ０ Ｃｈ ｎ ； １ Ｄｅ ａ ｔ ｎ ｆＭａ ｈ ｍａ ｉ ， ｎ ｉｎ ｉｅ ｓｔ ， ｎ ｎ ５ ０ ３， ｉ ａ ｃ
０问题 的提 出
格 式是 一个 重要 而有 效 的方法 ， 文献 ［ ，］对 四 阶 １２
抛 物型方 程 （ ） 造 了若 干显式 、 １构 隐式和半显 式差分
在渗流 、 扩散 、 热传 导等领域 中经 常会 遇 到求 解 四阶抛物型方程 的 问题 ， 一维情 形 ， 在 其模 型为 如下 初 边值 问题 ：
合 的。
关键 词 ： 物 型 方 ； 稳 粮一类 号 ： ２４程８待 定 系数 法 ； 志 码 ： ． 抛 Ｏ １．２ 文 献 标 定性 中 图分 Ａ
自
文 章 编 号 ：６ ４ ３ ６ ２ ０ ） ３ ０ ０ － ０ １ ７ —３ ２ （ ０ ８ ０ － ０ ６ ３
求解波动方程初值问题的四阶差分格式
求解波动方程初值问题的四阶差分格式波动方程是描述波动现象的重要方程之一，它在物理学、工程学、地球科学等领域都有广泛的应用。
求解波动方程初值问题是一类常见的数值计算问题，其解法有多种，其中四阶差分格式是一种常用的数值解法。
四阶差分格式是一种高精度的数值解法，其基本思想是将波动方程离散化为差分方程，然后利用差分方程的递推关系求解。
具体来说，四阶差分格式将波动方程在空间和时间上进行四阶差分，从而得到一个高精度的数值解。
四阶差分格式的主要内容包括以下几个方面：1.差分方程的推导差分方程是四阶差分格式的核心，其推导需要根据波动方程的特点进行。
一般来说，差分方程的推导可以采用有限差分法的思想，即将波动方程在空间和时间上进行离散化，然后利用差分近似代替微分，得到一个递推关系式。
2.差分格式的求解差分格式的求解是指利用差分方程递推求解波动方程的数值解。
一般来说，差分格式的求解可以采用迭代法或者直接求解法。
迭代法是指利用差分方程的递推关系式，从初始条件开始逐步迭代求解，直到达到所需的精度为止。
直接求解法是指将差分方程转化为矩阵方程，然后利用矩阵求解方法求解。
3.数值稳定性和精度分析数值稳定性和精度分析是四阶差分格式的重要内容之一，其主要目的是评估差分格式的数值稳定性和精度。
数值稳定性是指差分格式的解是否会因为数值误差而发散或者震荡，而精度分析则是指差分格式的解与真实解之间的误差大小。
4.程序实现和应用程序实现和应用是四阶差分格式的最终目的，其主要内容包括将差分方程转化为程序代码，然后利用计算机进行求解。
应用方面，四阶差分格式可以用于求解各种波动方程初值问题，如声波方程、电磁波方程、弹性波方程等。
总之，四阶差分格式是一种高精度的数值解法，其主要内容包括差分方程的推导、差分格式的求解、数值稳定性和精度分析以及程序实现和应用。
在实际应用中，需要根据具体问题的特点选择合适的差分格式，并进行数值稳定性和精度分析，以保证数值解的精度和可靠性。
Cahn-Hilliard_方程的一个超紧致有限差分格式
第38卷第1期2024年1月山东理工大学学报(自然科学版)Journal of Shandong University of Technology(Natural Science Edition)Vol.38No.1Jan.2024收稿日期:20221209基金项目:陕西省自然科学基金项目(2018JQ1043)第一作者:栗雪娟,女,lxj_zk@;通信作者:王丹,女,1611182118@文章编号:1672-6197(2024)01-0073-06Cahn-Hilliard 方程的一个超紧致有限差分格式栗雪娟,王丹(西安建筑科技大学理学院,陕西西安710055)摘要:研究四阶Cahn-Hilliard 方程的数值求解方法㊂给出组合型超紧致差分格式,将其用于四阶Cahn-Hilliard 方程的空间导数离散,采用四阶Runge-Kutta 格式离散时间导数,将二者结合得到四阶Cahn-Hilliard 方程的离散格式,并给出了该格式的误差估计㊂通过编程计算得到其数值解,并与精确解进行对比,结果表明本文的数值方法误差小,验证了所提方法的有效性和可行性㊂关键词:四阶Cahn-Hilliard 方程;组合型超紧致差分方法;四阶Runge-Kutta 方法;误差估计中图分类号:TB532.1;TB553文献标志码:AA supercompact finite difference scheme for Cahn-Hilliard equationsLI Xuejuan,WANG Dan(School of Science,Xiᶄan University of Architecture and Technology,Xiᶄan 710055,China)Abstract :A numerical method for solving the fourth order Cahn-Hilliard equation is studied.The combi-national ultra-compact difference scheme is given and applied to the spatial derivative discretization of the fourth order Cahn-Hilliard equation.The fourth-order Runge-Kutta scheme is used to discrete time deriv-atives.The discrete scheme of the fourth order Cahn-Hilliard equation is obtained by combining the two methods,and the error estimate of the scheme is given.Finally,the numerical solution is obtained by programming and compared with the exact solution.The results show that the numerical method in this paper has a small error,verifying the effectiveness and feasibility of the proposed method.Keywords :fourth order Cahn-Hilliard equation;combinational supercompact difference scheme;fourthorder Runge-Kutta;error estimation㊀㊀本文考虑的四阶Cahn-Hilliard 方程为u t -f u ()xx +ku xxxx =0,x ɪ0,2π[],t >0,u x ,0()=u 0x (),x ɪ0,2π[],u 0,t ()=0,u 2π,t ()=0,t >0,ìîíïïïï(1)式中:求解区域为0,2π[],且kn ȡ0;f u ()为光滑函数;u 0x ()表示t =0时刻的初值;u t 表示u 关于时间t 求偏导数,u t =∂u∂t;f u ()xx表示f u ()关于x求二阶偏导数,f u ()xx=∂2f u ()∂x 2;u xxxx 表示u 关于x 求四阶偏导数,u xxxx=∂4u∂x4;u 是混合物中某种物质的浓度,被称为相变量㊂1958年,Cahn 和Hilliard 提出Cahn-Hilliard 方程,该方程最早被用来描述在温度降低时两种均匀的混合物所发生的相分离现象㊂随着学者对该方程的研究越来越深入,该方程的应用也越来越广泛,特别是在材料科学和物理学等领域中有广泛的应用[1-3]㊂㊀Cahn-Hilliard 方程的数值解法目前已有很多研究,文献[4]使用了全离散有限元方法,文献[5]使用了一类二阶稳定的Crank-Nicolson /Adams-Bashforth 离散化的一致性有限元逼近方法,文献[6-7]使用了有限元方法,文献[8]使用了不连续伽辽金有限元方法,文献[9]使用了Cahn-Hilliard 方程的完全离散谱格式,文献[10]使用了高阶超紧致有限差分方法,文献[11]使用了高阶优化组合型紧致有限差分方法㊂综上所述,本文拟对Cahn-Hilliard 方程构造一种新的超紧致差分格式,将空间组合型超紧致差分方法和修正的时间四阶Runge-Kutta 方法相结合,求解Cahn-Hilliard 方程的数值解,得到相对于现有广义格式精度更高的数值求解格式,并对组合型超紧致差分格式进行误差估计,最后通过数值算例验证该方法的可行性㊂1㊀高阶精度数值求解方法1.1㊀空间组合型超紧致差分格式早期的紧致差分格式是在Hermite 多项式的基础上构造而来的,Hermite 多项式中连续三个节点的一阶导数㊁二阶导数和函数值的数值关系可以表示为ð1k =-1a k f i +k +b k fᶄi +k +c k fᵡi +k ()=0㊂(2)1998年,Krishnan 提出如下紧致差分格式:a 1fᶄi -1+a 0fᶄi +a 2fᶄi +1+hb 1fᵡi -1+b 0fᵡi +b 2fᵡi +1()=1h c 1f i -2+c 2f i -1+c 0f i +c 3f i +1+c 4f i +2(),(3)式中:h 为空间网格间距;a 1,a 0,a 2,b 1,b 0,b 2,c 1,c 2,c 0,c 3,c 4均表示差分格式系数;f i 表示i 节点的函数值;fᶄi 和fᵡi 分别表示i 节点的一阶导数值和二阶导数值;f i -1,f i -2,f i +1,f i +2分别表示i 节点依次向前两个节点和依次向后两个节点的函数值;fᶄi -1,fᶄi +1分别表示i 节点依次向前一个节点和依次向后一个节点的一阶导数值;fᵡi -1,fᵡi +1分别表示i 节点依次向前一个节点和依次向后一个节点的二阶导数值㊂式(2)对应f (x )展开以x i 为邻域的泰勒级数为f x ()=f x i ()+hfᶄx i ()+h 2fᵡx i ()2!+㊀㊀㊀㊀㊀h3f‴x i ()3!+h 4f 4()x i ()4!+h 5f 5()x i ()5!+h 6f 6()x i ()6!+h 7f 7()x i ()7!㊂㊀㊀(4)㊀㊀差分格式的各项系数由式(3)决定,可得到如下的三点六阶超紧致差分格式:716fᶄi +1+fᶄi -1()+fᶄi -h 16fᵡi +1-fᵡi -1()=㊀㊀1516h f i +1-f i -1(),98h fᶄi +1-fᶄi -1()+fᵡi -18fᵡi +1+fᵡi -1()=㊀㊀3h 2f i +1-2f i +f i -1()ìîíïïïïïïïïïï(5)为优化三点六阶紧致差分格式,并保持较好的数值频散,将迎风机制[12]引入式(5),构造出如下三点五阶迎风型超紧致差分格式:78fᶄi -1+fᶄi +h 19fᵡi -1-718fᵡi -172fᵡi +1()=㊀㊀1h -10148f i -1+73f i -1148f i +1(),25fᵡi -1+fᵡi +1h 1910fᶄi -1+165fᶄi +910fᶄi +1()=㊀㊀1h 2-135f i -1-45f i +175f i +1()㊂ìîíïïïïïïïïïï(6)左右边界可达到三阶精度紧致格式:fᶄ1-132fᶄ2+fᶄ3()+3h4fᵡ2+fᵡ3()=㊀㊀-12h f 3-f 2(),fᵡ1+3728h fᶄ3-fᶄ2()+3914h fᶄ1-3356fᵡ3-fᵡ2()=㊀㊀f 3-2f 1+f 2(),ìîíïïïïïïïï(7)fᶄN -132fᶄN -2+fᶄN -1()-3h 4fᵡN -2+fᵡN -1()=㊀㊀12h f N -2-f N -1(),fᵡN -3728h (fᶄN -2-fᶄN -1)-3914h fᶄN -3356(fᵡN -2-㊀㊀fᵡN -1)=1314h 2f N -2-2f N +f N -1()㊂ìîíïïïïïïïïïï(8)上述组合型超紧致差分格式只需要相邻的三个节点便可以同时求得一阶导数和二阶导数的五阶精度近似值,比普通差分格式的节点更少,降低了计算量㊂为便于编程计算,将上述构造的组合型超紧致差分格式重写为矩阵表达形式㊂假设U 为位移矩阵,其大小为m ˑn ,则求一阶导数和二阶导数的离47山东理工大学学报(自然科学版)2024年㊀散过程可以用矩阵运算表示为AF=BU,(9)结合内点的三点五阶迎风型超紧致差分格式和边界点的三点三阶差分格式,组成式(9)中等式左边的矩阵A和等式右边的矩阵B,大小分别为2mˑ2n 和2mˑn;F为奇数行为空间一阶导数和偶数行为空间二阶导数组成的矩阵,大小为2mˑn㊂以上矩阵分别为:A=10-13/23h/4-13/23h/439/14h1-37/28h33/5637/28h-33/567/8h/91-7h/180-h/7219/10h2/516/5h19/1007/8h/91-7h/180-h/7219/10h2/516/5h19/100⋱⋱⋱⋱⋱⋱7/8h/91-7h/180-h/7219/10h2/516/5h19/100-13/2-3h/4-13/2-3h/410-37/28h-33/5637/28h33/56-39/14h1éëêêêêêêêêêêêêêêêêùûúúúúúúúúúúúúúúúú,(10)F=∂u∂x()1,1∂u∂x()1,2∂u∂x()1,n-1∂u∂x()1,n∂2u∂x2()1,1∂2u∂x2()1,2 ∂2u∂x2()1,n-1∂2u∂x2()1,n︙︙︙︙∂u∂x()m,1∂u∂x()m,2∂u∂x()m,n-1∂u∂x()m,n∂2u∂x2()m,1∂2u∂x2()m,2 ∂2u∂x2()m,n-1∂2u∂x2()m,néëêêêêêêêêêêêêêùûúúúúúúúúúúúúú,(11) B=012/h-12/h-13/7h213/14h213/14h2-101/48h7/3h-11/48h-13/5h2-4/5h217/5h2-101/48h27/3h-11/48h-13/5h2-4/5h217/5h2⋱⋱⋱-101/48h7/3h-11/48h-13/5h2-4/5h217/5h2012/h-12/h-13/7h213/14h213/14h2éëêêêêêêêêêêêêêêêêùûúúúúúúúúúúúúúúúú,(12)U=u1,1u1,2 u1,n-1u1,nu2,1u2,2 u2,n-1u2,n︙︙︙︙u m-1,1u m-1,2 u m-1,n-1u m-1,nu m,1u m,2 u m,n-1u m,néëêêêêêêêùûúúúúúúú㊂(13)㊀㊀由式(9)可得F=A-1BU㊂(14)㊀㊀解线性代数方程组(9)可得Cahn-Hilliard方程的空间一阶导数和二阶导数㊂对于四阶导数,可将已求得的二阶导数替代式(14)中的U,再次使用式(14)进行求取㊂57第1期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀栗雪娟,等:Cahn-Hilliard方程的一个超紧致有限差分格式1.2㊀时间离散格式在对很多偏微分方程的数值求解中不仅需要高精度的空间离散格式,同时还需要高精度的时间离散格式㊂普通的一阶精度时间离散格式显然满足不了高精度计算要求,因此本文选用时间四阶Runge-Kutta 格式进行时间离散㊂Runge-Kutta 方法是基于欧拉方法改进后的求解偏微分方程的常用方法,这种方法不仅计算效率高,而且稳定性好㊂格式的推算过程如下:假设求解方程为∂u∂t+F u ()=0,(15)式中F 是对空间变量的微分算子,则修正的四阶Runge-Kutta 格式为u 0i =u n i ,u 1i =u n i-Δt 4F u ()()0i,u 2i =u ni -Δt 3F u ()()1i,u 3i =u n i-Δt 2F u ()()2i,u n +1i =u n i -Δt F u ()()3i ㊂ìîíïïïïïïïïïïïï(16)1.3㊀误差估计以五阶精度将fᶄi -1,fᶄi +1,fᵡi -1,fᵡi +1泰勒级数展开:fᶄi -1=fᶄi -hfᵡi +h 22!f (3)i -h 33!f (4)i +㊀㊀h 44!f (5)i -h 55!f (6)i ,fᶄi +1=fᶄi +hfᵡi +h 22!f (3)i +h 33!f (4)i+㊀㊀h 44!f (5)i +h 55!f (6)i ,fᵡi -1=fᵡi -hf (3)i +h 22!f (4)i -h 33!f (5)i+㊀㊀h 44!f (6)i -h 55!f (7)i ,fᵡi +1=fᵡi +hf (3)i +h 22!f (4)i +h 33!f (5)i +㊀㊀h 44!f (6)i +h 55!f (7)i ㊂ìîíïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïï(17)将式(17)代入式(6),所求得组合型超紧致差分格式的一阶导数及二阶导数对应的截断误差为:78fᶄi -1+fᶄi +h19fᵡi -1-718fᵡi -172fᵡi +1()=㊀1h -10148f i -1+73f i -1148f i +1()+78640f 6()ih 5,25fᵡi -1+fᵡi +1h 1910fᶄi -1+165fᶄi +910fᶄi +1()=㊀-135f i -1-45f i +175f i +1()-5125200f 7()i h 5,ìîíïïïïïïïïïï(18)78640f 6()i h 5ʈ8.101ˑ10-4f 6()i h 5,5125200f 7()ih 5ʈ2.023ˑ10-3f 7()i h 5㊂ìîíïïïï(19)㊀㊀使用组合型超紧致差分格式的好处是在每一个网格点上存在一个一阶和二阶连续导数的多项式㊂本文比较了组合型超紧致差分格式和现有广义格式的一阶导数和二阶导数的截断误差:fᶄi +αfᶄi +1+fᶄi -1()+βfᶄi +2+fᶄi -2()=㊀㊀a f i +1-f i -12h +b f i +2-f i -24h +c f i +3-f i -36h ,fᵡi +αfᵡi +1+fᵡi -1()+βfᵡi +2+fᵡi -2()=㊀㊀a f i +1-2f i +f i -1h 2+b f i +2-2f i +f i -24h2+㊀㊀c f i +3-2f i +f i -39h 2,ìîíïïïïïïïïïïï(20)式中参数α,β,a ,b ,c 在各种格式中取不同的值(表1,表2)㊂本文发现在各种方案中,组合型超紧致差分格式的截断误差最小㊂表1㊀不同格式一阶导数的截断误差格式αβa b c 截断误差二阶中心010013!f 3()ih 2标准Padeᶄ格式1/403/20-15f 5()ih 4六阶中心03/2-3/51/1036ˑ17!f 7()ih 6五阶迎风143ˑ16!f 6()ih 5表2㊀不同格式二阶导数的截断误差格式αβa b c 截断误差二阶中心01002ˑ14!f 4()ih 2标准Padeᶄ格式1/1006/50185ˑ16!f 6()ih 4六阶中心03/2-3/51/1072ˑ18!f 8()ih 6五阶迎风165ˑ17!f 7()ih 567山东理工大学学报(自然科学版)2024年㊀2㊀数值算例误差范数L 1和L 2的定义为:L 1=1N ðNi =1u -U ,L 2=1N ðNi =1u -U ()2㊂对四阶Cahn-Hilliard 取f u ()=u 2,k =2,在边界条件u 0,t ()=u 2π,t ()=0下的计算区域为0,2π[],方程的精确解为u x ,t ()=e -tsin x2,数值解为U ㊂对给出的数值算例,计算误差范数L 1和L 2,并采用四种方法进行数值模拟,对其数值结果进行误差分析和对比,结果见表3,本文所使用方法效果最佳,由此证明所提方法的有效性和可行性㊂表3㊀0.5s 时刻精确度测试结果(N =10)方法L 1误差L 2误差间断有限元格式1.56235ˑ10-21.37823ˑ10-2普通中心差分格式1.66667ˑ10-18.33333ˑ10-2紧致差分格式7.14286ˑ10-31.78571ˑ10-3组合型超紧致差分格式6.48148ˑ10-36.34921ˑ10-4㊀㊀用本文提出的式(6) 式(8)和式(16)计算算例,图1 图3给出了不同时刻数值解与精确解的(a)精确解(b)数值解图1㊀0.1s 的精确解与数值解(a)精确解(b)数值解图2㊀0.5s 的精确解与数值解(a)精确解(b)数值解图3㊀1s 的精确解与数值解77第1期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀栗雪娟,等:Cahn-Hilliard 方程的一个超紧致有限差分格式对比图,可以看出,数值解与精确解吻合很好,表明本文给出的数值格式是可行的,并且精度较高㊂3 结论本文研究了组合型超紧致差分方法和四阶Runge-Kutta方法,并将其运用于四阶Cahn-Hilliard 方程的数值求解,通过研究与分析,得到如下结论: 1)使用泰勒级数展开锁定差分格式系数,得到本文的组合型超紧致差分格式精度更高,误差更小㊂2)在边界点处有效地达到了降阶,并提高了精度㊂3)通过数值算例验证了数值格式的有效性㊂4)预估该方法可应用于高阶偏微分方程的数值求解㊂参考文献:[1]HUANG Q M,YANG J X.Linear and energy-stable method with en-hanced consistency for the incompressible Cahn-Hilliard-Navier-Stokes two-phase flow model[J].Mathematics,2022,10 (24):4711.[2]AKRIVIS G,LI B Y,LI D F.Energy-decaying extrapolated RK-SAV methods for the allen-Cahn and Cahn-Hilliard equations[J].SIAM Journal on Scientific Computing,2019,41(6):3703-3727. [3]YOUNAS U,REZAZADEH H,REN J,et al.Propagation of diverse exact solitary wave solutions in separation phase of iron(Fe-Cr-X(X =Mo,Cu))for the ternary alloys[J].International Journal of Mod-ern Physics B,2022,36(4):2250039.[4]HE R J,CHEN Z X,FENG X L.Error estimates of fully discrete finite element solution for the2D Cahn-Hilliard equation with infinite time horizon[J].Numerical Methods for Partial Differential Equati-ions,2017,33(3):742-762.[5]HE Y N,FENG X L.Uniform H2-regularity of solution for the2D Navier-Stokes/Cahn-Hilliard phase field model[J].Journal of Math-ematical Analysis and Applications,2016,441(2):815-829. [6]WEN J,HE Y N,HE Y L.Semi-implicit,unconditionally energy sta-ble,stabilized finite element method based on multiscale enrichment for the Cahn-Hilliard-Navier-Stokes phase-field model[J]. Computers and Mathematics with Applications,2022,126:172 -181.[7]MESFORUSH A,LARSSON S.A posteriori error analysis for the Cahn-Hilliard equation[J].Journal of Mathematical Modeling, 2022,10(4):437-452.[8]XIA Y,XU Y,SHU C W.Local discontinuous Galerkin methods for the Cahn-Hilliard type equation[J].Journal of Computational Phys-ics,2007,227(1):472-491.[9]CHEN L,LüS J.A fully discrete spectral scheme for time fractional Cahn-Hilliard equation with initial singularity[J].Computers and Mathematics with Applications,2022,127:213-224. [10]周诚尧,汪勇,桂志先,等.二维黏弹介质五点八阶超紧致有限差分声波方程数值模拟[J].科学技术与工程,2020,20(1):54 -63.[11]汪勇,徐佑德,高刚,等.二维黏滞声波方程的优化组合型紧致有限差分数值模拟[J].石油地球物理勘探,2018,53(6):1152 -1164,1110.[12]程晓晗,封建湖,郑素佩.求解对流扩散方程的低耗散中心迎风格式[J].应用数学,2017,30(2):344-349.(编辑:杜清玲)87山东理工大学学报(自然科学版)2024年㊀。
Keller-Segel趋化模型的高精度紧致差分方法
Keller-Segel趋化模型的高精度紧致差分方法专业品质权威编制人：______________审核人：______________审批人：______________编制单位：____________编制时间：____________序言下载提示：该文档是本团队精心编制而成，期望大家下载或复制使用后，能够解决实际问题。
文档全文可编辑，以便您下载后可定制修改，请依据实际需要进行调整和使用，感谢!同时，本团队为大家提供各种类型的经典资料，如办公资料、职场资料、生活资料、进修资料、教室资料、阅读资料、知识资料、党建资料、教育资料、其他资料等等，想进修、参考、使用不同格式和写法的资料，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!And, this store provides various types of classic materials for everyone, such as office materials, workplace materials, lifestyle materials, learning materials, classroom materials, reading materials, knowledge materials, party building materials, educational materials, other materials, etc. If you want to learn about different data formats and writing methods, please pay attention!Keller-Segel趋化模型的高精度紧致差分方法Keller-Segel趋化模型的高精度紧致差分方法引言Keller-Segel模型是一种用于描述生物群体中化学物质扩散和趋化运动的数学模型。
四点差分格式
四点差分格式
四点差分格式（Four Point Difference Formulation）是一种数值计算方法，用于求解偏微分方程。
该方法主要应用于有限差分法中，通过在求解域上离散化偏微分方程，将其转化为代数方程组进行求解。
四点差分格式通常采用四个网格点的值来逼近偏微分方程中的导数项，通过这种方式可以将偏微分方程离散化为代数方程组。
具体来说，对于一个偏微分方程中的导数项，我们可以用四个网格点的值来表示该导数项的逼近值。
这四个网格点通常包括当前点、前一点、后一点和下一点，形成一个矩形区域。
通过选取适当的权值，我们可以将这四个网格点的值组合起来，得到导数项的逼近值。
四点差分格式的优点是简单易懂，易于编程实现。
同时，由于该方法只涉及到四个网格点的值，因此计算量相对较小，适用于大规模的数值计算问题。
但是，四点差分格式也存在一些缺点，例如对于复杂边界条件和不规则求解域的处理不够灵活，可能会引入较大的数值误差等。
在实际应用中，需要根据具体的问题和要求选择合适的差分格式和离散化方法。
同时，还需要对离散化后的代数方程组进行适当的处理和优化，以提高计算效率和精度。
求解波动方程的2种显式高精度紧致差分格式
求解波动方程的2种显式高精度紧致差分格式姜蕴芝;葛永斌【摘要】针对一维波动方程,空间采用四阶Padé逼近,时间采用中心差分离散得到了一种时间二阶、空间四阶精度的显式紧致差分格式,其截断误差为O(τ2+h4).之后采用截断误差余项修正的方法对时间离散进行改进,改进后的格式的截断误差为O(τ4+τ2h2+h4),即格式具有整体四阶精度.然后,通过Fourier方法分析了2种格式的稳定性.最后,通过数值实验验证了本格式的精确性和可靠性.%In this paper,an explicit compact difference scheme is obtained for solving the one dimensional wave equation.The truncation error of the scheme is O(τ2 + h4).It's constructed by applying the fourth-order accurate Padé approximation in space and the second-order accurate central difference in time.Then,the remainder of the truncation error correction method is employed to improve the accuracy of the discretization of time,the truncation error of the improved scheme is O(τ4 + τ2 h2 + h4),which means the scheme has an overall fourth-order accuracy.And then,the stability conditions of the two schemes are obtained by the Fourier method.Finally,the accuracy and the reliability of the present two schemes are verified by numerical experiments.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(040)002【总页数】7页(P177-183)【关键词】波动方程;Padé逼近;紧致格式;显式差分;稳定性【作者】姜蕴芝;葛永斌【作者单位】宁夏大学数学统计学院,宁夏银川750021;宁夏大学数学统计学院,宁夏银川750021【正文语种】中文【中图分类】O242.1波动方程是一类重要的双曲型偏微分方程，在数学、物理、化学等领域内有着广泛的应用[1].对这类方程进行数值求解的方法主要有有限差分法、有限元法和有限体积法等.就有限差分法而言，对该类问题研究的理论成果有：文献[2]采用二阶中心差分格式和非均匀网格离散，提出了一种求解一维波动方程在非均匀时间网格上的三层显式差分格式，该格式具有一阶精度；文献[3]利用泰勒级数展开及待定系数法建立了一种求解一维波动方程的三层隐格式，该格式是条件稳定的，并且具有四阶精度；文献[4]将Runge-Kutta方法应用到哈密顿系统中并与辛格式相结合，提出了求解一维波动方程的一类显式辛方法，该方法具有二阶精度，并且是条件稳定的；文献[5]采用三次样条公式推导出精度分别为O(τ2+h2)、O(τ2+h4)、O(τ4+h2)和O(τ4+h4)的4种差分格式，并采用Fourier方法分析了格式的稳定性；文献[6]对一维二阶波动方程提出了具有二阶精度的精细时程积分法，该方法能够在时间方向上精确计算，空间方向的局部截断误差为O(h2)，并且该方法是无条件稳定的；文献[7]通过加权平均和紧致差分离散的思想提出了2种精度分别为O(τ2+h4)和O(τ4+h4)的隐式紧致差分格式；文献[8]在Crank-Nicolson格式的基础上设计了重叠型区域分解的并行算法，该算法的最优逼近阶为O(τ2+h2)；文献[9]利用三次样条插值，提出了求解一维波动方程的一种三层隐式差分格式，该格式最优能够达到时间二阶，空间四阶精度，并且是无条件稳定的；文献[10]通过四次样条函数与广义梯形算法相结合的方法提出了一维波动方程的一类两层差分格式，其精度为O(τ2+h4)，当选择适当的参数时，其精度可提高到O(τ3+h4)；文献[11]采用四阶紧致差商逼近公式及加权平均思想，提出了2种精度分别为O(τ2+h4)和O(τ4+h4)的交替方向隐式格式，前者是无条件稳定的，后者是条件稳定的；文献[12]提出了一种求解一维波动方程的高精度隐式差分格式，该格式是无条件稳定的，并且具有时间二阶、空间四阶精度.本文将建立2种显式紧致差分格式，为此，考虑如下一维波动方程的初边值问题:其中,u(x,t)是待求未知函数，a为波动系数，f(x,t)为非齐次项，φ(x)、ψ(x)、g0(t)、g1(t)为已知函数，且具有充分的光滑性.设时间步长为τ，空间步长为h，网格节点为(xj,tn)，其中xj=jh，tn=nτ，j=0,1,2,…,N，n>0，用表示u(xj,tn)的近似值.1.1 CTFS格式对初始时间层的离散.利用泰勒展开公式有将(2)式代入(4)式中，进行整理并舍去其截断误差项有计算的值.对空间内部节点采用文献[13]中的四阶紧致差分格式进行逼近，则有对于空间边界节点的处理，由(1)式与(3)式可得时间的推进.对时间方向上的推进，采用中心差分格式有对上式进行整理，并舍去其截断误差项有(10)式即为所构造的显式紧致差分格式，记为CTFS格式.等号右端的项采用(6)～(8)式通过追赶法进行计算，初始时间步由(5)式进行计算.通过差分格式的构造过程不难发现，该格式是显格式，其截断误差为O(τ2+h4).1.2 FTFS格式为了使时间精度与空间精度能够相匹配，使格式整体精度达到四阶，下面对上述差分格式进行改进，进一步提高时间精度，为此，对初始时间层的离散采用文献[7]中的方法，有其中λ=τ/h.对于时间二阶导数项的离散，采用中心差分格式离散后保留其截断误差主项，可得又由(1)式可得将上式代入(12)式中有对(14)式进行整理，并舍去其截断误差项有又由(1)式，对上式进行变形有(15)式即为整体四阶精度的显式紧致差分格式，记为FTFS格式.由格式的构造过程可知，该差分格式的截断误差为O(τ4+τ2h2+h4).下面采用Fourier方法分析本文所提2种格式的稳定性.假设源项f精确无误差，令=ηneiωj，其中ξ、η为振幅，ω为相位角，为虚数单位.引理 1[1] 实系数二次方程μ2-bμ-c=0的根按模不大于1的充分必要条件为|b|≤1-c≤2.对于(6)式有对上式进行化简整理有对于CTFS格式(10)，令，将其写为矩阵的形式有令Uj=(uj,vj)T，并将(17)式代入进行整理有从而可得CTFS格式(10)的误差增长矩阵为令λ=τ/h，r=aλ,则得上述误差增长矩阵的特征方程为其中,，c=-1.因此，可得格式(10)稳定的充要条件为即.进而可得稳定性条件为|r|，即|a|.对于FTFS格式(15)，令，将其写为矩阵的形式有令代入上式，并进行整理有将(17)式代入(24)式进行整理，可得FTFS格式的误差增长矩阵为则误差增长矩阵的特征方程为其中，因此，可得该格式稳定的充要条件为上式等价于如下2个不等式:对于不等式(28)易得由于不等式对任意ω的取值都要成立，所以有即|a|.对于不等式(29)，由求根公式易得其等式解为令，则有在y∈[0,2]时，恒有<0，故有Smin=S(y)|y=2=2，此时cos ω=-1.又由于关于对称，故有另一解为1.进而可得第二个不等式的解为，与第一个不等式取交集即得差分格式(15)的稳定性条件为，即|a|].为了验证本文所提2种格式的精确性和可靠性，现考虑如下2个具有精确解的初边值问题.问题 1[7]:其精确解为u(x,t)=sin(πt)sin(πx).问题 2 :其精确解为u(x,t)=te-πtsin(πx).表1～3给出了问题1的计算结果.表1采用本文CTFS格式与文献[7]中的四阶格式进行了计算.由于这2种格式的精度均为时间二阶、空间四阶，因此取τ=2h2，计算了t=0.5时刻取不同h时(τ也相应不同)的L∞和L2范数误差和收敛阶.eL∞和eL2范数及收敛阶的定义如下：由表1的数据可以看出，2种格式空间均达到了四阶精度，而本文的CTFS格式要比文献[7]中的四阶格式更为精确.表2给出了本文FTFS格式和文献[7]中的四阶格式的计算结果，由于2种格式均具有整体四阶精度，因此取τ=h，计算了t=0.5时刻取不同h时的L∞和L2范数误差和收敛阶.可以看出，2种格式几乎具有相同的精度.表3验证了本文2种格式的稳定性，取h=1/32,给出了不同时间步steps(不同时间t)、不同网格比λ的计算结果.可以看出，当λ=0.8时CTFS格式是稳定的，而当λ≥1时，CTFS格式是发散的，这与本文的理论分析结果|a|是吻合的.当λ=0.8、1.0、1.5、1.6、1.7时，本文FTFS格式是稳定的，这也验证了本文的理论分析结果.而文献[7]中的四阶格式的稳定性条件为因此，当|a|λ大过1之后，计算结果是发散的.表4～6给出了问题2的计算结果.表4采用了本文CTFS格式与文献[7]中的四阶格式进行了计算.取τ=h2，计算了t=1时刻取不同h时的L∞和L2范数误差和收敛阶.同样可以看出，本文的CTFS格式要比文献[7]中的四阶格式更为精确.表5给出了本文FTFS格式和文献[7]中的四阶格式的计算结果，取τ=h，计算了t=1时刻取不同时的L∞和L2范数误差和收敛阶.可以看出，2种格式均达到了四阶精度，但本文FTFS格式比文献[7]中的四阶格式的计算结果更加精确.与问题1齐次问题的结果相比较，说明了本文FTFS格式更加适用于求解非齐次问题.表6验证了本文2种格式的稳定性，取h=1/32，给出了不同时间步、不同网格比λ的计算结果.同样可以看出，当λ=0.8、1.0、1.5、1.6、1.7时，本文FTFS格式是稳定的，这与我们对该格式稳定性的理论分析结果|a|]是吻合的.本文针对一维波动方程提出了2种显式高精度紧致差分格式，2种格式的截断误差分别为O(τ2+h4)和O(τ4+τ2h2+h4)，并通过Fourier分析法分析了2种格式的稳定性，其中前一种CTFS格式的稳定性条件为|a|，后一种FTFS格式的稳定性条件为|a|].然后通过数值实验将本文格式与文献[7]中的格式的计算结果进行对比，可以看出本文格式计算结果更加精确.并且本文格式的精度、稳定性与理论分析相一致，验证了本文格式的精确性与可靠性.此外，文献[14]提出了数值求解二维波动方程的三层全隐式紧致差分格式，其精度分别为O(τ2+h4)和O(τ4+h4)，为了加快迭代收敛速度，采用了多重网格方法进行加速.而本文的显式差分方法可以推广到二维，并且在二维情况下只需进行2次追赶法求解和一次显式递推计算，无需迭代，因此可望本文方法推广到二维后，在保有高精度的情况下会较文献[14]的方法具有更高的求解效率.目前，我们正在进行此方面的研究.另外，文献[15]提出了分数阶波动方程的一种差分方法，发展分数阶波动方程的显式高精度差分方法也是一个有意义的研究方向.致谢宁夏大学自然科学基金项目(ZR1407)和宁夏大学研究生创新项目(GIP2016032)对本文给予了资助,谨致谢意.【相关文献】[1] 戴嘉尊,邱建贤.偏微分方程数值解法[M].南京:东南大学出版社,2002.[2] CHO C H.Stability for the finite difference schemes of the linear wave equation with nonuniform time meshes[J].Num Meth Part Diff Eqns,2013,29(3):1031-1042.[3] 张天德,孙传灼.关于波动方程的差分格式[J].山东工业大学学报,1995,25(3):283-287.[4] 孙耿.波动方程的一类显式辛格式[J].计算数学,1997,19(1):1-10.[5] 齐远节,刘利斌.求解二阶波动方程的三次样条差分方法[J].大学数学,2011,27(1):59-64.[6] 金承日,吕万金.二阶双曲型方程的精细时程积分法[J].计算力学学报,2003,20(1):113-115.[7] 葛永斌,朱琳,田振夫.求解波动方程的高精度紧致隐式差分方法[J].宁夏大学学报(自然科学版),2005,26(4):297-299.[8] 田敏,羊丹平.波动方程的重叠型区域分解并行有限差分算法[J].山东大学学报(理学版),2007,42(2):28-38.[9] RASHIDINIA J,JALILIAN R,KAZEMI V.Spline methods for the solutions of hyperbolic equations[J].Appl Math Comput,2007,190(1):882-886.[10] LIU T,LIU L,XU H,et al.A new two level difference scheme for solving one-dimensional second-order hyperbolic equations[C]//2012 Fifth International Joint Conference on Computational Sciences and Optimization,2010:218-221.[11] 马月珍,李小刚,葛永斌.二维波动方程的高精度交替方向隐式方法[J].四川师范大学学报(自然科学版),2010,33(2):179-183.[12] 崔进,吴宏伟.一类波动方程初边值问题的高阶差分格式[J].应用数学,2014,27(1):166-174.[13] LELE S pact finite difference schemes with spectral-like resolution[J].J Comput Phys,1992,103(1):16-42.[14] 葛永斌,吴文权,田振夫.二维波动方程的高精度隐格式及其多重网格算法[J].厦门大学学报(自然科学版),2003,42(6):691-696.[15] 余跃玉.一种Caputo型时间分数阶波动方程的差分方法[J].四川师范大学学报(自然科学版),2014,37(4):524-528.2010 MSC：35A35; 65M99。
一种改进的求解N-S方程的高精度紧致算法
一种改进的求解N-S方程的高精度紧致算法王婉歆;白乙拉;孙琦;杨瑞【摘要】给出了一种改进的求解二维定常不可压N-S方程的差分算法,该算法时间精度为三阶,空间精度为六阶,并对其稳定性进行了分析,通过数值算例验证该算法的有效性。
%An improved differential algorithm is provided to solve the two-dimensional steady incompressible N-S equation.This algorithm is three orders in time precision and six orders in space accuracy.Its stability is analyzed,and its effectiveness is verified by means of numerical examples.【期刊名称】《渤海大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(033)001【总页数】5页(P1-5)【关键词】N-S方程;六阶紧致差分;Runge-Kutta法【作者】王婉歆;白乙拉;孙琦;杨瑞【作者单位】渤海大学数理学院,辽宁锦州121013;渤海大学数理学院,辽宁锦州121013;渤海大学数理学院,辽宁锦州121013;渤海大学数理学院,辽宁锦州121013【正文语种】中文【中图分类】O2420 引言N－S方程是计算流体力学的基本方程，近年来人们对其数值解法的研究已取得了许多成果。
为了得到更高精度的近似解，紧致差分格式引起了人们的关注，Ciment和Leventhal〔1〕最早提出了紧致差分格式。
Lele〔2〕对紧致格式进行了总结，提出不限于三点的对称型紧致格式。
傅德薰、马延文〔3〕提出了高精度紧致格式与迎风紧致格式的一般形式，时间方向采用ADI(二阶)。
马晖扬〔4〕运用人工压缩方法与迎风紧致格式相结合进行不可压粘性流动的数值计算。
高精度差分格式WNND的构造及数值实验
高精度差分格式WNND的构造及数值实验
赵海洋;刘伟;万国新
【期刊名称】《国防科技大学学报》
【年(卷),期】2002(024)006
【摘要】基于二阶NND格式,通过引入Jiang和Shu的加权思想以及具有TVD 性质的三阶Runge-Kutta方法,构造了一种时间、空间均达到三阶精度的WNND 格式.分别以波动方程、一维Euler方程和三维全Navier-Stokes方程为例,通过对WNND格式的数值结果分析表明,WNND格式引起的耗散和波动较小,并且能够高精度地分辨场间断.
【总页数】4页(P11-14)
【作者】赵海洋;刘伟;万国新
【作者单位】国防科技大学航天与材料工程学院,湖南,长沙,410073;国防科技大学航天与材料工程学院,湖南,长沙,410073;国防科技大学航天与材料工程学院,湖南,长沙,410073
【正文语种】中文
【中图分类】V411.3
【相关文献】
1.辛差分格式的阶条件和高阶格式的构造 [J], 朱文杰
2.高精度有限差分格式的构造与分析 [J], 徐会林;刘明
3.高精度的数值积分对偶格式及其数值实验 [J], 徐伟;郑华盛;陈凌蕙
4.构造定常对流扩散方程高精度紧致差分格式的新方法 [J], 田振夫
5.三阶WNND格式的构造及在复杂流动中的应用 [J], 刘伟;赵海洋;谢昱飞
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
偏微分方程数值解：4、差分格式收敛性分析
差分格式收敛性分析相容性概念：相容性(consistency)：当有限差分网格变小时，截断误差趋于0。
经典显示差分格式：h→，k →截断误差→经典显式差分无条件相容DuFort-Frankel差分格式截断误差条件相容。
绝大多数差分格式为无条件相容！稳定性（stability）：计算所得解的全部扰动有界。
条件稳定/无条件稳定数值分析的稳定性概念与偏微分方程无关，它关心的是在求解有限差分方程时由于进行算术运算而产生误差的不稳定增长或稳定衰减问题。
Lax等价定理：对一个适定的定解问题，若给出的差分格式是相容的，则该差分格式收敛的充分必要条件是该差分格式稳定。
算法稳定性是最重要的问题，精度排在其后，只有在稳定的情况下再追求精度。
(1)显式差分为例：误差的传播过程图：(2) Richardson 显式差分来自<https:///wiki/Von_Neumann_stability_analysis >要点：a 误差满足同样的方程b 误差函数的分解（傅里叶分解+分离变量法）Von Neumann stability analysis -稳定性分析Von Neumann条件稳定分析过程两边同除以得到：经典显式差分稳定性条件：Richardson显式差分O(Δ)结论：Richardson显式差分格式无条件不稳定，即使精度高也无用处%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%隐式差分结论：无条件稳定Crank-Nicolson隐式差分结论：无条件稳定加权隐式差分向量函数稳定性：增长矩阵方法增长矩阵可以得到要求矩阵特征值满足。
晶体相场方程的高精度Ｆｏｕｒｉｅｒ拟谱逼近
第３７卷 第１期 ２０２２年３月 西 南 科 技 大 学 学 报 ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｏｕｔｈｗｅｓｔＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｖｏｌ．３７Ｎｏ．１ Ｍａｒ．２０２２ 收稿日期：２０２１－１１－１１；修回日期：２０２１－１２－１９ 基金项目：北京市应用物理与计算数学研究所装备预研重点实验室基金项目（６１４２Ａ０５２００１０３） 第一作者简介：罗原（１９６４—），男，讲师，研究方向为微分方程及应用，Ｅ ｍａｉｌ：ｌｕｏｙｕａｎ＠ｓｗｕｓｔ．ｅｄｕ．ｃｎ晶体相场方程的高精度Ｆｏｕｒｉｅｒ拟谱逼近罗 原 吴燕梅（西南科技大学理学院 四川绵阳 ６２１０１０）摘要：针对能量稳定和质量守恒的晶体相场方程的周期边界条件，提出一种具有新的能量稳定性的高精度数值算法。
算法对方程的离散在空间上采用Ｆｏｕｒｉｅｒ拟谱逼近，在时间上采用三阶精度的后向微分形式，并增加Ｄｏｕｇｌａｓ－Ｄｕｐｏｎｔ项，以保证数值格式的能量稳定性。
理论上证明了数值解的存在唯一性以及格式的能量稳定性。
数值仿真验证了算法的高精度和稳定性。
关键词：晶体相场方程 能量稳定性 Ｆｏｕｒｉｅｒ拟谱逼近 后向微分形式中图分类号：Ｏ１７５．２６ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７１－８７５５（２０２２）０１－００９３－０８Ｈｉｇｈ ａｃｃｕｒａｃｙＦｏｕｒｉｅｒＰｓｅｕｄｏｓｐｅｃｔｒａｌＡｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｆｏｒｔｈｅＣｒｙｓｔａｌＰｈａｓｅＦｉｅｌｄＥｑｕａｔｉｏｎＬＵＯＹｕａｎ，ＷＵＹａｎｍｅｉ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＳｏｕｔｈｗｅｓｔＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｍｉａｎｙａｎｇ６２１０１０，Ｓｉｃｈｕａｎ，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｏｒｔｈｅｐｅｒｉｏｄｉｃｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｅｎｅｒｇｙ ｓｔａｂｌｅａｎｄｍａｓｓ ｃｏｎｓｅｒｖｉｎｇｃｒｙｓｔａｌｐｈａｓｅｆｉｅｌｄｅｑｕａｔｉｏｎ，ａｈｉｇｈ ａｃｃｕｒａｔｅｎｕｍｅｒｉｃａｌａｌｇｏｒｉｔｈｍｗｉｔｈｎｅｗｅｎｅｒｇｙｓｔａｂｉｌｉｔｙｗａｓｐｒｏｐｏｓｅｄ．ＴｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｍａｉｎｌｙｕｓｅｄｔｈｅＦｏｕｒｉｅｒｐｓｅｕｄｏｓｐｅｃｔｒａｌａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｉｎｓｐａｃｅｆｏｒｔｈｅｄｉｓｃｒｅｔｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎ，ａｎｄｉｔａｄｏｐｔｅｄｔｈｅｂａｃｋｗａｒｄｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｆｏｒｍｏｆｔｈｉｒｄ ｐｈａｓｅｐｒｅｃｉｓｉｏｎｉｎｔｉｍｅ．ＡｎｄａＤｏｕｇｌａｓ－Ｄｕｐｏｎｔｔｙｐｅｒｅｇ ｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎｔｅｒｍｗａｓａｄｄｅｄｔｏｅｎｓｕｒｅｔｈｅｅｎｅｒｇｙｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｆｏｒｍａｔ．Ｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅａｎｄｕ ｎｉｑｕｅｎｅｓｓｏｆｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎａｎｄｔｈｅｅｎｅｒｇｙｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅｓｃｈｅｍｅｗｅｒｅｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｌｙｐｒｏｖｅｄ．Ａｎｄｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓｖｅｒｉｆｉｅｄｔｈｅｈｉｇｈａｃｃｕｒａｃｙａｎｄｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｃｒｙｓｔａｌｐｈａｓｅｆｉｅｌｄｅｑｕａｔｉｏｎ；Ｅｎｅｒｇｙｓｔａｂｉｌｉｔｙ；Ｆｏｕｒｉｅｒｐｓｅｕｄｏｓｐｅｃｔｒａｌａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ；Ｂａｃｋ ｗａｒｄｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｆｏｒｍ 晶体相场模型是由Ｅｌｄｅｒ等［１］提出的能够在原子尺度和扩散时间上模拟材料微观结构的新方法，是传统的连续相场模型的延伸及推广，用以填补连续模型与分子动力学方法之间的空白。
解四阶抛物型方程的两层显式差分格式
解四阶抛物型方程的两层显式差分格式四阶抛物型方程是指具有四个导数项的抛物型偏微分方程，可以写成如下形式：u_t = a*u_xx + b*u_xxx + c*u_xxxx + f(x,t)其中，u表示未知函数，t表示时间，x表示空间，a、b、c为系数，f(x,t)为已知的源项函数。
为了数值求解这类方程，我们可以使用显式差分格式。
显式差分格式是指通过将方程中的导数项用差分运算进行离散化，将连续的偏微分方程转化为离散的差分方程。
两层显式差分格式指使用两个时间层次的差分方程进行迭代求解。
下面我们将介绍两种常用的两层显式差分格式：双边五点差分格式和五点中心差分格式。
1.双边五点差分格式（BDF5）双边五点差分格式采用五点差分近似导数，其中时间层次的差分使用五阶向前差分，空间层次的差分使用五阶中心差分，可以得到如下差分方程：(u_i^(n+1)-u_i^n)/Δt=a*(u_{i-2}^n-4u_{i-1}^n+6u_i^n-4u_{i+1}^n+u_{i+2}^n)/(Δx^2)+b*(u_{i-2}^n-2u_{i-1}^n+2u_{i+1}^n-u_{i+2}^n)/(2Δx^2)+c*(u_{i-2}^n-u_{i-1}^n-u_{i+1}^n+u_{i+2}^n)/(Δx^2)+f_i^n其中，i表示空间格点的索引，n表示时间层次的索引，Δt和Δx 分别表示时间和空间的步长，u_i^n表示在第n个时间层次上的第i个空间点的解，f_i^n表示在第n个时间层次上的第i个空间点的源项。
2.五点中心差分格式（CD5）五点中心差分格式采用五点差分近似导数，其中时间层次的差分使用五阶前后向差分，空间层次的差分使用五阶中心差分，可以得到如下差分方程：(u_i^(n+1)-u_i^(n-1))/(2Δt)=a*(u_{i-2}^n-4u_{i-1}^n+6u_i^n-4u_{i+1}^n+u_{i+2}^n)/(Δx^2)+b*(u_{i-2}^n-2u_{i-1}^n+2u_{i+1}^n-u_{i+2}^n)/(2Δx^2)+c*(u_{i-2}^n-u_{i-1}^n-u_{i+1}^n+u_{i+2}^n)/(Δx^2)+f_i^n这两个差分方程可以通过逐步迭代求解，用现有的时间层次上的解来计算下一个时间层次上的解。
计算流体力学简介
数值计算的局限性
• 总是离散近似解 • 依赖于模型 • 离散误差 • 迭代误差 • 舍入误差
8
计算流体力学的发展
• 高精度、多分辨、高效 方法 • 湍流的直接数值模拟， 大涡模拟 • 化学反应流、多物理问 题 • 自由界面流、多相流、 流固相互作用 • 高温辐射流、磁流体力 学 • 微尺度流 • 复杂流体 • 软件需求大，求解问题 的复杂程度提高和应用 领域扩大 • 工程分析、设计优化工 具
16
2.4 模型方程（续）
• 2.4.2 热传导方程：
u 2u 2 , x , t 0 t x u ( x,0) ( x) const 0 精确解 u ( x, t ) 1 4t ( x )2 exp (）d 4 t
Viscous stress tensor for Newtonian fluid:
2 τ 2 v (v) ( v) ij 3
T
Implying Stokes hypothesis:
3 2 0
and bulk viscosity=0
12
2.3 直角坐标系下N-S方程
S
qd ( vp)d ( τ v )d
d b Q 11 vd
2.2 任意惯性坐标系下的N-S方程
v 0 t v ( v v) p τ b t E b v ( v( E p)) q ( τ v) Q t
• N-S方程的模型 • 当μ很小时，分辨大梯度解要求极多的网格数和极小 的时间步长！
19
2.5双曲型方程组的初边值问题
求解BURGERS方程的数值方法及其稳定性分析
国内图书分类号：O241.82 学校代码：10213国际图书分类号： 517.9 密级：公开理学硕士学位论文求解Burgers方程的数值方法及其稳定性分析硕士研究生：张弘博导师：李冬松申请学位：理学硕士学科：计算数学所在单位：数学系答辩日期：2010年6月授予学位单位：哈尔滨工业大学Classified Index: O241.82U.D.C.: 517.9Dissertation for the Master Degree in ScienceTHE NUMERICAL METHODS FOR BURGERS EQUATION AND STABILITYANALYSISCandidate：Zhang HongboSupervisor：Prof. Li DongsongAcademic Degree Applied for：Master of ScienceSpeciality：Computational Mathematics Affiliation：Department of MathematicsDate of Defence: June, 2010Degree Conferring Institution: Harbin Institute of Technology哈尔滨工业大学理学硕士学位论文- I -摘 要本文主要研究了求解非线性Burgers 方程的数值解法，并对其进行了相应的稳定性分析。
文中首先详细地介绍了计算流体力学的发展历史及Burgers 方程的研究意义，指出了模拟Burgers 方程的困难之处——在解中产生激波。
然后，简单的介绍了文中所用到的三种数值方法(有限差分法，交替分组显示 (AGE) 方法和局部间断加辽金 (LDG) 有限元法) 的提出，发展情况及基本思想，并简要地介绍了本文所进行的工作。
本文分为四章。
在第二章中，我们讨论的是，利用中心差分方法求解一维非线性Burgers 方程。
高分辨率差分格式的数值分析与限制因子的构造
高分辨率差分格式的数值分析与限制因子的构造
张梦萍;刘儒勋
【期刊名称】《应用数学和力学》
【年(卷),期】1998(19)7
【摘要】本文利用差分方法余项效应理论，分析比较了一些典型的限制因子·对不同的限制因子，格式的表现明显差异主要是由其数值耗散性、色散性强弱不同所致·在分析比较格式的数值耗散性、色散性之后，本文提出了一种新的限制因子，得到的格式在解的剧烈变化区具有更高的分辨率，在光滑区避免了由于数值色散性较强导致的失真·数值试验表明该格式具有较好的性质·
【总页数】10页(P631-640)
【关键词】限制因子;数值分析;分辨率;差分格式
【作者】张梦萍;刘儒勋
【作者单位】中国科技大学数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O241
【相关文献】
1.辛差分格式的阶条件和高阶格式的构造 [J], 朱文杰
2.一类三维时空二阶精度高分辨率MmB差分格式 [J], 吴开腾;宁建国
3.双曲型守恒方程若干差分格式收敛性判别法则及高分辨率的度量 [J], 陈传淡
4.添加限制器的高分辨率熵相容格式对比研究 [J], 魏伟平;封建湖;;
5.一种新型的高分辨率通量差分裂格式 [J], 胡立军;赵昆磊;袁海专
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数： 微分方程精确解及其导 ˆ (t ) exp(ikx) u ( x, t ) u xu ikx u ˆ (t ) exp(ikx) ke u ˆ (t ) exp(ikx), ke i (kx) i x 2 x 2 u k 2 x 2 u ˆ (t ) exp(ikx) k d u ˆ (t ) exp(ikx), k d xx
要求数值格式： kd 1 2 kr 0（0耗散要求；k r 0表示格式有正耗散， k r 0负耗散） ki 1 (对 色散误差，要求保持原 波速c）
4
4.2 高精度差分格式
• 特别适用于光滑问题 • 减少网格点数 • 应用于湍流等多尺度问题
5
4.2.1 传统型差分格式
J-3
J-2 J-1 J
J+1 J+2 J+1 J+2 J+3
J-2
J-1 J
7
传统型差分格式(cont)
迎风偏斜差分的应用： u u c 0 t x Fj u c 0 t x cFj c F j c F j
8
传统型差分对模型方程的逼近特性
• 所有中心型差分：无耗散 • 迎风偏斜差分：有耗散，但可能为负耗散 • 可从差分格式的精确解分析色散和耗散
直接由网格点的函数值线性组合 N阶精度至少需要N+1个网格点 Taylor展开确定系数
u x x F j al u j l 1 u j l Fj
l
相容性：
a
l
l
1
中心型差分： u j l u j l F j al 2t)
3
半离散方程的精确解
ki kr u ( x j , t ) exp ck t expik x j c t , 0 kd 2 ki kr u ( x j , t ) exp 2 k t ck t expik x j c t , 0 微分方程精确解： u ( x, t ) expik x ct u ( x, t ) exp k 2 t expik x ct
逼近于一阶导数的四阶 精度中心型差分 1 Fj 8(u j 1u j 1) ) (u j 2 u j 2 ) ) (1) 12 五阶精度的迎风偏斜差 分 1 F j x 3u j 2 27u j 1 47u j 13u j 1 2u j 2 (2) 60 1 F j x 3u j 2 27u j 1 47u j 13u j 1 2u j 2 (3) 60
K=1
单个Fourier分量初值 : u ( x,0) exp(ikx), 精确解： 1. u ( x, t ) exp[ik ( x ct )]
K=2
x
2. u ( x, t ) exp( k 2t ) exp[ik ( x ct )]
2
模型方程及半离散方程(cont.)
9
传统型差分格式(cont.)
• 二阶导数的差分逼近
2u 2 x 2 x u j l 2u j u j l S j bl l2 l 0 相容： Sj
b
l 0
l
1
流动的扩散项一般用中 心型差分 四阶精度（ 5点）： 4 1 S j 2u j u j 2 2u j u j 2 3 12 六阶精度（ 7点）： 3 3 1 S j 2u j u j 2 2u j u j 2 u j 3 2u j u j 3 2 20 90
半离散方程（ODE方程） 1. Fj u c 0 t x Fj Sj u 2. c 2 t x x 其中 Fj (3) (4)
u S j 2u 1 , 2 2 ，例如F j u j 1 u j 1 , S j u j 1 2u j u j 1 x x x x 2 离散的初值： u ( x j ,0) exp(ikx j ) 离散方程的精确解及其 导数(无x) : u ( x j , t ) u (t ) exp(ikx j ) F j ke u (t ) exp(ikx j ) S j k d u (t ) exp(ikx j ) 代入（3），（4）
(四) 高精度差分格式及其数值解 的逼近程度分析
• 指大于二阶精度的格式 • 要求准确模拟小扰动量长时间、远距离 传播的速度和幅值 • 用于计算噪声、DNS等 • 有传统高精度差分和紧致差分两种
1
4.1模型方程及半离散方程
模型方程 1. u u c 0 t x u u 2u 2. c 2 t x x c const, const (1) (2)