三角函数恒等变换练习题与答案详解.doc

两角和与差的正弦、余弦、正切

1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换；

2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质

2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；

2.灵活使用 (正用、逆用、变形用

)两角和与差的正弦、余弦、

正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键．

知识点回顾

1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式

cos(α－ β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C α－β)

cos(α＋ β)＝cos_αcos_β－ sin_αsin_β (C α＋β)

sin(α－ β)＝sin_αcos_β－ cos_αsin_β (S α－β)

sin(α＋ β)＝sin_αcos_β＋ cos_αsin_β (S α＋β)

tan α－ tan β (T α－ β tan(

α－ β)＝

1＋ tan αtan β

)

tan α＋ tan β (T α＋ β tan(

α＋ β)＝

1－ tan αtan β

)

2． 二倍角公式

sin 2α＝ 2 sin cos ；

cos 2α＝cos 2α－sin 2 α＝2cos 2α－ 1＝ 1－ 2sin 2α；

tan 2 α＝ 2tan α

2

.

1－ tan α

3． 在准确熟练地记住公式的基础上，

要灵活运用公式解决问题： 如公式的正用、 逆用和变形用等． 如 T α±β

可变形为

tan α± tan β＝ tan( α±β)(1tan_ αtan_ β)， tan αtan β＝ 1－ tan α＋ tan β tan α－ tan β

＝ － 1.

tan α＋β tan α－ β

4． 函数 f(α)＝ acos α＋ bsin α(a ，b 为常数 )，可以化为 f(α)＝ a 2＋ b 2sin(α＋ φ)或 f(α)＝ a 2＋ b 2

cos(α－ φ)，

其中 φ 可由 a ， b 的值唯一确定． [难点正本

疑点清源 ]

三角变换中的 “三变 ”

(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是 “配凑 ”．

(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有

“切化弦 ”、 “升幂与降幂 ”等．

(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有 “常值代

换 ”、 “逆用变用公式 ”、 “通分约分 ”、 “分解与组合 ”、 “配方与平方 ”等．

热身训练

2

1 tan α 1． 已知 sin(α＋ β)＝ ， sin(α－ β)＝－ ，则

的值为 _______．

3

5

tan β

2． 函数 f(x)＝ 2sin x(sin x ＋ cos x)的单调增区间为 ______________________ ．

3． (2012 江·苏 )设 α为锐角，

若 cos

6 4

，则

＝ 5

sin α＋cos α 1

()

4． (2012

＝ ，则 tan 2α等于

江·西 )若

sin α－cos α 2

3

4 A ．－ 4

C ．－ 3

5． (2011 π

1

()

辽·宁 )设 sin( ＋θ)＝ ，则 sin 2θ等于

4 3

7 1

A ．－ 9

B ．－ 9

典例分析

题型一

三角函数式的化简、求值问题

例 1 (1)化

简：

1

－ tan α

α

α

2

·1＋ tan α·tan 2 ；

tan 2

(2)求值： [2sin 50 ＋°sin 10 (1°＋ 3tan 10 )]°·2sin 2

80°.

在 △ ABC 中，已知三个内角

A ，

B ，

C 成等差数列，则

A

C A C

tan 2＋ tan 2＋ 3tan 2 tan 2的值为 ________．

题型二 三角函数的给角求值与给值求角问题

例 2

(1)已

π ＝－ 1

2 知 0<β< <α<π，且 cos

，sin

2

＝ ，求 cos(α＋ β)的值；

2

2 9

3

(2)已知 α， β∈ (0， π)，且 tan( α－ β)＝1， tan β＝－ 1

，求 2α－ β的值．

2 7

1 ， cos(α－ β)＝ 13

π 已知 cos α＝ 14 ，且 0<β<α< ，求 β. 7

2

题型三 三角变换的简单应用

例3 已知

f(x)＝

1

1

sin 2x － 2sin

x

·sin

x

tan x 4

4

(1)若 tan α＝2，求 f(α)的值；

π π (2)若 x ∈ 12，

2 ，求 f(x)的取值范围．