关于几类特殊矩阵特征值的讨论

编号2012110243 研究类型理论研究分类号O151．21

学士学位论文（设计）

Bachelor’s Thesis

论文题目关于几类特殊矩阵特征值的讨论

作者姓名

学号2008111010243

所在院系数学与统计学院

学科专业名称数学与应用数学

导师及职称傅朝金教授

论文答辩时间2012年5月5日

学士学位论文（设计）诚信承诺书

目录

1．引言 (1)

2．矩阵的特征值与特征向量的定义及其性质 (1)

3．特值与特征征向量的求法 (2)

3．1求数字方阵的特征值与特征向量 (2)

3．2已知矩阵A，求与之相关的矩阵的特征值 (2)

4．与矩阵A相关矩阵的特征值 (2)

5．矩阵AB与BA的特征值的关系 (5)

6．矩阵的KRONECKER积的特征值 (7)

7．行（列）转置矩阵的特征值 (8)

7．1定义和命题 (8)

7．2主要结果 (9)

8．矩阵A的特征值与矩阵A的共轭转置矩阵A¢的特征值之间的关系 (10)

¢=时，矩阵A的特征值的特点 (10)

8．1当()

A A f B

8．1．1 酉矩阵的特征值 (11)

8．1．2 正交矩阵的特征值 (11)

¢=时，矩阵A的特征值的特点 (13)

8．2当()

A f A

关于几类特殊矩阵特征值的讨论

汤（指导教师：傅朝金教授）

（湖北师范学院数学与统计学院中国黄石 435002）

摘要：物理、力学、工程技术中的许多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值与特征向量问题．矩阵的特征值概念以及求矩阵的特征值是高等代数的重要内容之一，这个知识点也是考研的热点．本文将与几类特殊矩阵的特征值有关的结论总结出来并加以证明，使得某些在平时学习中零散的结论综合在一起，发现这些结论的内在规律，有效地利用这些规律，就可以方便的求出矩阵的特征值．

关键词：矩阵；特征值；特征向量

中图分类号：O151．21

Discussion on some special classes of matrix eigenvalue

TANG Yuting （Tutor：FU Chaojin）

(College of Mathematics and Statistics,Hubei Normal

University,Huangshi ,Hubei,435002)

Abstract : Many problems in the physics, mechanics, engineering mathematics, are attributed to the matrix, the eigenvalues and eigenvectors. The concept of the

eigenvalue of matrix and how to calculate the matrix eigenvalue is an

important part of Higher Algebra, and this knowledge is also the hot spots of .

Entrance Examination. This article summes up and proves the conclusions of

some special classes of matrix characteristics, making some conclusions that are

scattered in the normal learning integrated and finding the inherent law of these

conclusions. If you can use these laws effectively, you can easily calculate the

eigenvalues of the matrix.

Keywords:matrix; eigenvalue; eigenvectors

CLC number:O151.21

关于几类特殊矩阵的特征值的结论

1．引言

在学习高等代数的过程中，矩阵与特征值是学习的重点与难点，而这个知识点也是考研的热点，所以本文将与几类特殊矩阵的特征值有关的结论总结出来并加以证明，使得某些在平时学习中零散的结论综合在一起，发现这些结论的内在规律，有效地利用这些规律，就可以方便的求出矩阵的特征值．

为了方便讨论，规定：1A -表示矩阵A 的逆矩阵，A ¢表示矩阵A 的转置矩阵，A 表示矩阵A 的行列式，A ¢表示矩阵A 的共轭转置矩阵，E 表示n 阶单位矩阵．

2．矩阵的特征值与特征向量的定义及其性质

定义1 设A 是n 阶方阵，如果对于数域P 中的一个数l ，存在一个n 维非零向量X ，使得AX X l =，那么称l 为A 的一个特征值，X 为矩阵A 的属于特征值l 的一个特征向量．

性质1 若12,X X 为矩阵A 属于特征值l 的特征向量，当12,k k 不全为零时，

1122k X k X +仍是矩阵A 的属于特征值l 的特征向量．

性质2 若12,,,m l l l 是矩阵A 的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是

12,,X X ,m X ，则12,,,m X X X 线性无关，即属于不同特征值的特征向量线性无关．

性质 3 若矩阵()ij n n A a ´=的n 个特征值为12,,,n l l l ，则

112212nn n a a a l l l +++=+++ ，12n A l l l = ．