期权定价模型及其求解
期权定价模型的推导过程
伊藤过程dS=μSdt+σSdz上式是描述股票价格行为的最广泛使用的一种模型形式简单，比较容易处理，对实际情况的合理近似。
σ称为股票价格波动率，μ称为预期收益率伊藤定理：设变量x 遵循ITO 过程dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz ，则x 和t 的函数G(x,t)遵循如下过程：bdz xG dt b x G t G a x G dG ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=)21(222其中，dz 是与上述过程中同样的维纳过程。
G 实际上也遵循一个ITO 过程。
的分布这是到期时刻股价对数或因此，相互独立其中，，则时刻的股价为，时刻的股价为设离散时间形式均为常数，因此可写为和其中得定理，由应用令由)](),)(2/([ln ~ln )](),)(2/[(~ln ln ),1,0(~,)(),,0(~,)2(ln ln G S T S )2(1,0,1G IT O ln 22222/12T 2222t T t T r S N S t T t T N S S z N t z t N z t T t zt S S t dzdt dG S S G t G S S S G Sdz Sdt dS T T T ---+----∆∆=∆∆∆-=∆∆+∆-=-=∆+-=-=∂∂=∂∂=∂∂=+=σσσσμεεσσμσμσσμσμ按照风险中性假设，当我们希望以无风险利率r 来贴现期权的价值时，即r 0=r ，股票的期望收益率也应该为无风险利率，即μ=r ，则：)]0,[max(ˆ)(K S E e c T t T r -=--)](),)(2/([ln ~ln 22t T t T r S N S T ---+σσ我们有了lnS T 的概率分布，就可以得到S T 的概率分布，即其密度函数，有了S T 的密度函数，E[max(ST-K,0)]就是一个积分过程，通过积分我们就可以得到结果，即著名的Ｂ-Ｓ公式。
具体积分过程如下：⎰⎰∞-∞---=====----T x T S S T xT T u d u f S F u d u f x F ex f x S e S f ln 22/1222/12)()()(ln )()()()2()(,ln )2()(ln 22)(2)(ln σσμμσπσπ则：令2)(ln 22)(ln 22/1222/12)2(1)2(1)(ln )()(σσμμσπσπ------=⨯=⨯=⨯=T S T S eS S eS S f S dx dx x dF S f T TTT T T以上是到期股价T S 的密度函数。
期权定价模型
二、期权价值评估的方法（一）期权估价原理1、复制原理基本思想复制原理的基本思想是：构造一个股票和贷款的适当组合，使得无论股价如何变动投资组合的损益都与期权相同，那么创建该投资组合的成本就是期权的价值。
基本公式每份期权价格（买价）＝借钱买若干股股票的投资支出＝购买股票支出－借款额计算步骤（1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd上行股价Su=股票现价S×上行乘数u下行股价Sd=股票现价S×下行乘数d（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd：股价上行时期权到期日价值Cu=上行股价-执行价格股价下行时期权到期日价值Cd=0（3）计算套期保值率：套期保值比率H=期权价值变化/股价变化=(CU-Cd)/(SU-Sd)（4）计算投资组合的成本（期权价值）=购买股票支出-借款数额购买股票支出=套期保值率×股票现价＝H×S0借款数额=价格下行时股票收入的现值＝（到期日下行股价×套期保值率）/（1+r）= H×Sd/（1+r）2、风险中性原理基本思想假设投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期收益率都应当是无风险利率；假设股票不派发红利，股票价格的上升百分比就是股票投资的收益率。
因此：期望报酬率（无风险收益率）＝（上行概率×股价上升时股价变动百分比）+（下行概率×股价下降时股价变动百分比）＝p×股价上升时股价变动百分比+（1-p）×股价下降时股价变动百分比计算步骤（1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd（同复制原理）（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd（同复制原理）（3）计算上行概率和下行概率期望报酬率＝（上行概率×股价上升百分比）+（下行概率×股价下降百分比）（4）计算期权价值期权价值＝(上行概率×Cu+下行概率×Cd)/（1+r）（二）二叉树期权定价模型1、单期二叉树定价模型基本原理风险中性原理的应用计算公式（1）教材公式期权价格＝U=股价上行乘数＝1＋股价上升百分比d=股价下行乘数＝1－股价下降百分比（2）理解公式：（与风险中性原理完全一样）2、两期二叉树模型基本原理把到期时间分成两期，由单期模型向两期模型的扩展，实际上就是单期模型的两次应用。
第11章 期权定价模型
第11章 布莱克-舒尔茨-默顿期权定价模型一、基本思路1. 基本思路我们为了给股票期权定价，必须先了解股票本身的走势。
因为股票期权是其标的资产（即股票）的衍生工具，在已知执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化，股票价格是影响期权价格的最根本因素。
用几何布朗运动表示股票价格的变化过程，具体形式如下：dS dt dz Sμσ=+ 或者表示为dS Sdt Sdz μσ=+伊藤引理表明，当股票价格服从上述随机过程时，作为衍生品的期权价格f 将服从22221()2f f f f df S S dt Sdz S t SS μσσ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ 两式表明：股票价格及其衍生品——期权价格都只受到同一种不确定性的影响，只是两者对随机因素变化的反应程度不同而已。
从数学上看，将两式联立，解方程组可消掉随机项。
其金融含义可看作：买入股票、卖空期权构造一个短期内没有不确定性的投资组合。
在一个无套利市场中，该投资组合必然只能获得无风险利率收益。
由此可得到一个期权价格满足的微分方程，此即为BSM 期权定价模型的微分形式，具体为222212f f f rS S rf t S S σ∂∂∂++=∂∂∂ 由于该公式中不包含反映投资者风险偏好的参数——预期收益，因此可以在风险中性世界里求解该微分方程。
求解该方程可得到期权定价公式。
无股利欧式看涨期权的价格为 ()12()()r T t c SN d Xe N d --=-其中，21221d d d ===- 根据无股利欧式看涨期权和看跌期权平价公式()21()()r T t p Xe N d SN d --=--- 可求出无股利欧式看跌期权定价公式()21()()r T t p Xe N d SN d --=---无收益美式看涨期权是不会提前执行的，因此无收益美式看涨期权定价公式和欧式看涨期权定价公式相同，()12()()r T t C SN d Xe N d --=-对于有收益欧式期权，需要在股票价格中抛去收益的现值，对有收益的美式看涨期权，需要考虑其提前执行的情况，由于不存在美式期权之间的平价公式，因此无法给出美式看跌期权的确切公式。
第二节期权定价模型
C Fe r (T t ) Ke r (T t ) P
（二）平价关系
4、美式期权的平价关系 （1）标的资产无收益的平价关系
S K c p S Ker (T t )
（2）标的资产有收益的平价关系
S D K c p S D Ker (T t )
第二节
金融期权的定价模型
一、金融期权价格构成 （一）金融期权的内在价值 1、含义：期权的内在价值，即履约的价值，指期权合 约本身所具有的价值，也是期权的买方立即执行期权能 获得的收益。 期权的内在价值取决于协定价格与标的物市场价格的 关系。 期权的内在价值不会小于零。 根据内在价值，期权可分为实值、虚值和平值三种。
注意：对看涨期权来说，L 总是负值（总是借入资金）。 问题：导出复制看跌期权组合的计算公式。
• Risk-Neutral Probability
记： q R d
ud
1 q
C=∆S+L C = 1/R × (q × Cu + (1-q) × Cd) 如果q是股票价格上涨的概率，则看涨期权的价格是期权未来 价值的期望值的贴现值。 衍生证券的风险中性定价 如果每个人都是风险中性的，股票的期望收益率将等于无风险 收益率R. 在风险中性的世界中，股票上升的概率为q（注意 在实际中，股票上升的概率为p，投资者是风险厌恶的 ） 看涨期权的价格是期权未来价值的期望值的贴现值： C = 1/R × {q × Cu + (1-q) × Cd} 一般公式为： Derivative Price = EQ[(1/R)(T-t) × Payoff ] 此公式说明衍生证券的价格是其盈亏贴现值的期望值 (风险中 性的世界中)
1、实例
期权定价理论知识
期权定价理论知识期权定价理论是金融市场中重要的工具，它用于确定期权的合理价格。
期权是一种金融衍生品，它赋予持有者在未来某个时间点购买或卖出标的资产的权利，但并不强制执行。
期权的价格由多种因素决定，包括标的资产价格、行权价格、期权到期时间、标的资产的波动性以及无风险利率等。
在期权定价理论中，最著名的模型是布莱克-斯科尔斯期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model）。
该模型是由费希尔·布莱克和米伦·斯科尔斯于1973年提出的，并且因此获得了诺贝尔经济学奖。
该模型基于一些假设，如市场是完全有效、无风险利率是恒定的等。
根据布莱克-斯科尔斯期权定价模型，期权的价格可以通过以下公式计算：C = S * N(d1) - X * e^(-rt) * N(d2)其中，C表示看涨期权价格，S表示标的资产价格，N(d1)和N(d2)分别是标准正态分布函数，X表示行权价格，r表示无风险利率，t表示期权到期时间。
公式中的d1和d2可以通过以下公式计算：d1 = (ln(S/X) + (r + (σ^2)/2)*t) / (σ * √t)d2 = d1 - σ * √t该模型通过考虑标的资产价格、行权价格、期权到期时间、标的资产的波动性和无风险利率等因素，来确定一个看涨期权的合理价格。
类似地，可以用类似的方法计算看跌期权的价格。
虽然布莱克-斯科尔斯期权定价模型是一个重要的理论框架，但它在实际应用中存在一些限制。
例如，该模型假设市场是完全有效的，但实际市场存在各种交易成本、税收和限制等，这些因素都可能影响期权的价格。
此外，该模型假设无风险利率是恒定的，但实际上利率是变化的。
因此，在实际应用中，需要根据实际情况进行调整和修正。
总之，期权定价理论是金融市场中重要的理论工具，它为期权的定价和交易提供了基础。
布莱克-斯科尔斯期权定价模型是其中最著名的模型之一，它通过考虑标的资产价格、行权价格、期权到期时间、标的资产的波动性和无风险利率等因素来确定期权的合理价格。
第六章布莱克-舒尔斯期权定价模型
第六章 布莱克-舒尔斯期权定价模型一、 影响期权价值的主要因素由前面的分析知道决定期权价值（价格）C V 的因素是到期的股票市场价格m S 和股票的执行价格X 。
但是到期m S 是未知的，它的变化还要受价格趋势和时间价值等因素的影响。
1)标的股票价格与股票执行价格的影响。
标的股票市场价格越高，则买入期权的价值越高，卖出期权的价值越低；期权的执行价越高，则买入的期权价值越低，卖出期权的价值越高。
2）标的股票价格变化范围的影响。
在标的股票价格变动范围增大的，虽然正反两方面的影响都会增大，但由于期权持有者只享受正向影响增大的好处，因此，期权的价值随着标的股价变动范围的增大而升高。
如下图： )(s f )(1s f)(2s fx s股票的价格由密度函数)(1s f 变为)(2s f ，S>X 的可能性增大，买入期权的价值增大，对卖出期权的价值则相反。
3）到期时间距离的影响。
距离愈长，股价变动的可能性愈大。
由于期权持有者只会在标的股价变动中受益，因此，距离期权到期的时间越长，期权的价值就越高。
4）利率的影响。
利率越高，则到期m S 的现值就越低，使得买入期权价值提高，而卖出期权价值降低。
5）现金股利的影响。
股票期权受到股票分割或发放股票股利的保护，期权数量也适应调整，而不受影响，但是期权不受现金股利的保护，因此当股票的价格因公司发放现金股利而下降时，买入期权的价值下降，卖出期权的价值便上升。
二、布莱克-舒尔斯期权定价模型的假设条件B-S 模型是反映欧式不分红的买入期权定价模型，它的假定条件，除了市场无摩擦（例如无税、无交易成本、可以无限制自由借贷等）以外，还有：1． 股票价格是连续的随机变量，所以股票可以无限分割。
2． T 时期内各时段的预期收益率r i 和收益方差σi 保持不变。
3． 在任何时段股票的复利收益率服从对数正态分布，即在t 1-t 2时段内有：()()()2221211()ln ,()S t N t t t t S t μσ⎛⎫-- ⎪⎝⎭因为股票的价格可以用随机过程{},...2,1)(=t t S 表示，其中S （t ）表示第t 日股票的价格，它是一个随机变量. 则第t 日股票的收益率（年收益率）为R t ：3651)1()(t R t S t S +=-股票的年收益率（单利）R 应该是：)3651()3651)(3651()364()365()1()0()2()1()0()365(136521R R R S S S S S S S S R +++===+为了简化计算两边同时取自然对数可得：∑=+=+3651)3651()1(t tR In R In设r ，r 1，r 2，…，r 365为和R ，R 1，R 2，…，R 365相对应的连续复利。
B-S期权定价模型、公式与数值方法
B-S期权定价公式：假设条件
1.证券价格遵循几何布朗运动,,为常数 2.允许卖空标的证券 3.没有交易费用或税收 4.所有证券都是无限可分的 5.标的证券在有效期内没有红利支付 6.不存在无风险套利机会 7.交易是连续的 8.无风险利率为常数
B-S期权定价公式
经典的B-S期权定价公式是对于欧式股票期权给出的。
期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合约执 行价格之间的预期差异变化，在现实中，资产价格总是随机变化 的。需要了解其所遵循的随机过程。
研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解在特定时刻，变量 取值的概率分布情况。在下面几节中我们会用数学的语言来描述 这种定价的思想。
6.1 证券价格的变化过程
**随机微积分与非随机微积分的差别 d ln S dS
S
变量x和t的函数G也遵循Ito 过程：
dG ( G xa G t1 2 2 x G 2b2)d t G xbdz
dSSdtSdz
根据Ito引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：
d G ( G SS G t1 2 S 2 G 22 S2)d t G SSdz
但是当人们开始采用分形理论研究金融市场时，发现它的运行并 不遵循布朗运动，而是服从更为一般的分数布朗运动。
对于标准布朗运动来说：设t 代表一个小的时间
间隔长度，z代表变量z在 t 时间内的变化，遵循标
准布朗运动的 z 具有两种特征：
特征1：z和 t 的关系满足：
z ＝ t
其中， 代表从标准正态分布中取的一个随机值。
的普通布朗运动：
Ito过程
dxadb t dz d xa (x,t)d tb (x,t)dz
or：x( t)x0a t bz(t)x(t)x00 tad s0 tbd
期权定价模型和数值方法
期权及其有关概念
3． 期权旳内在价值 买入期权在执行日旳价值CT为 CT=max(ST －E,0)
式中:E表达行权价；ST表达标旳资产旳市场价。 卖出期权在执行日旳价值PT为 PT=max(E－ ST,0) 根据期权旳行权价与标旳资产市场价之间旳关系，期权可分为价内期权（in the
money）(S > E)、平价期权（at the money）(S = E)和价外期权（out of the money）(S < E)。
4. 珞（Rho）ρ ρ为期权旳价值随利率波动旳敏感度，利率增长，使期权价值变大。
5. 伽玛（Gamma）Γ Γ 表达δ与标旳资产价格变动旳关系。
10.3 B－S公式隐含波动率计算
隐含波动率概念
BlackScholes期权定价公式，欧式期权理论价格旳体现式：
式中：
隐含波动率是将市场上旳期权交易价格代入权证理论价格BlackScholes模型反 推出来旳波动率数值。因为期权定价BS模型给出了期权价格与五个基本参数之间旳 定量关系，只要将其中前4个基本参数及期权旳实际市场价格作为已知量代入定价 公式，就能够从中解出惟一旳未知量，其大小就是隐含波动率。
10.3. 3 隐含波动率计算程序
环节3： 函数求解。 M文件TestImpliedVolatility.M代码如下：
%TestImpliedVolatility %市场价格 Price=100; %执行价格 Strike=95; %无风险利率 Rate=0.10; %时间（年） Time=0.25; CallPrice=15.0;%看涨期权交易价格 PutPrice=7.0; %看跌期权交易价格 %调用ImpliedVolatility函数 [Vc,Vp,Cfval,Pfval]=ImpliedVolatility(Price,Strike,Rate,Time,CallPrice,PutPrice)
布莱克-舒尔斯期权定价模型
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程
假设： ❖ 证券价格遵循几何布朗运动，即 和 为常数 ❖ 允许卖空标的证券 ❖ 没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的 ❖ 在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付 ❖ 不存在无风险套利机会 ❖ 证券交易是连续的，价格变动也是连续的 ❖ 在衍生证券有效期内，无风险利率r为常数
❖ 假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。
❖ 风险中性定价的一般程序：
所有资产的预期收益率都等于无风险利率 确定衍生工具的边界条件，计算到期日的期望值 把期望值按无风险利率贴现
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程 风险中性定价原理在远期合约定价中的应用：
S
(m, s) 表示均值为m ，标准差为s的正态分布
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
对几何布朗运动的理解：
❖
但是，在一个较长的时间T后，
S S
不再具有正态分
布的性质：这是百分比多期收益率的乘积问题。
❖ 因此，尽管 t 是短期内股票价格百分比收益率 的标准差，但是在任意时间长度T后，这个收益率 的标准差却不再是 T 。
❖ 在任意时间长度T后，x值的变化也具有正态分布特 征，其均值为aT，方差为 b2T ，标准差b T 。
❖ 标准布朗运动的漂移率a为0，方差率为1。
第一节 证券价格的变化过程
三、伊藤过程 伊藤过程 ( Ito Process )
❖ 假设变量x的漂移率和方差率是变量x和时间t的函数
dx adt bdz
率进行贴现后的现值，即：
如何评估期权的价值
如何评估期权的价值期权是一种金融衍生品，它赋予购买者在未来某个特定时间内以特定价格购买或者卖出某一标的资产的权利，而并非义务。
在金融市场中，期权的价值评估对于投资者和交易者来说至关重要。
合理的期权定价模型可以帮助投资者做出明智的决策，并降低投资风险。
本文将详细介绍如何评估期权的价值。
一、期权定价模型期权的价值评估主要使用两种经典的定价模型：Black-Scholes模型和Binomial模型。
1. Black-Scholes模型Black-Scholes模型是最常用的期权定价模型之一，基于以下几个关键因素对期权进行定价：- 标的资产的价格（S）：即期权对应的股票、商品或指数的当前价格；- 行权价格（K）：即期权买卖方约定的交易价格；- 到期时间（T）：即期权有效期限；- 无风险利率（r）：市场上的无风险利率，使用国债利率或短期利率作为参考；- 标的资产的波动率（σ）：标的资产价格的波动程度。
通过以上因素，Black-Scholes模型可以计算出一个期权理论价格，即市场上合理的期权价格。
2. Binomial模型Binomial模型是另一种常用的期权定价模型，它基于二叉树的计算方法。
该模型通过构建一个期权价格的二叉树，从期权到期时的所有可能价格路径中，使用回溯法计算出期权的价值。
二、评估期权的价值在实际应用中，我们可以使用以下几种方法来评估期权的价值：1. 市价法市价法是最常用的评估期权价值的方法，即根据市场上实际交易的期权价格来确定期权的价值。
这种方法可以反映市场对该期权的整体认知和供需状况，并具有一定的市场有效性。
2. 基于历史波动率的模型在Black-Scholes模型中，波动率是期权定价的一个重要参数。
我们可以根据过去的历史波动率来估计未来的波动率，然后将其代入到Black-Scholes模型中进行计算。
这种方法适用于市场波动率相对稳定的情况下。
3. 基于隐含波动率的模型隐含波动率是指使市场观察到的期权价格与Black-Scholes模型计算得出的价格相匹配的波动率。
BLACKSCHOLES期权定价模型计算公式套用数据
BLACKSCHOLES期权定价模型计算公式套用数据Black-Scholes期权定价模型是一种用于计算欧式期权价格的数学模型，它基于以下假设：资产价格的波动性是已知且恒定的、市场无摩擦、无风险利率是已知且恒定的、欧式期权只能在到期日行使以获得支付。
根据Black-Scholes模型，欧式期权的价格可以通过以下公式计算：C=S*N(d1)-X*e^(-rT)*N(d2)P=X*e^(-rT)*N(-d2)-S*N(-d1)其中C表示认购期权的价格P表示认沽期权的价格S表示标的资产的当前价格X表示期权的行权价格r表示无风险利率T表示剩余期限，单位为年份d1 = (ln(S/X) + (r + σ^2/2)T) / (σ * √T)d2=d1-σ*√TN(d)和N(-d)是标准正态分布函数。
标准正态分布函数可以通过查找Z表或使用计算机程序进行近似计算。
在应用Black-Scholes模型时，需要提供以下数据：1.标的资产的当前价格（S）2.期权的行权价格（X）3.无风险利率（r）4.剩余期限（T）（以年为单位）5.标的资产的波动率（σ）下面举一个实例来说明如何使用Black-Scholes模型计算期权价格。
假设只股票的当前价格为100美元，期权的行权价格为105美元，无风险利率为5%，剩余期限为6个月（0.5年），股票的波动率为20%。
首先，根据给定的数据，计算d1和d2：d1 = (ln(100/105) + (0.05 + 0.2^2/2) * 0.5) / (0.2 * √0.5) d2=d1-0.2*√0.5然后，使用标准正态分布函数计算N(d1)、N(d2)、N(-d1)和N(-d2)的值。
假设N(d1)=0.6、N(d2)=0.5、N(-d1)=0.4和N(-d2)=0.3接下来，根据公式可计算出认购期权和认沽期权的价格：C=100*0.6-105*e^(-0.05*0.5)*0.5=7.16美元P=105*e^(-0.05*0.5)*0.3-100*0.4=3.84美元因此，在给定的条件下，该认购期权的价格为7.16美元，认沽期权的价格为3.84美元。
第二节期权定价模型..
金融期权的定价模型
一、金融期权价格构成 （一）金融期权的内在价值 1、含义：期权的内在价值，即履约的价值，指期权合 约本身所具有的价值，也是期权的买方立即执行期权能 获得的收益。 期权的内在价值取决于协定价格与标的物市场价格的 关系。 期权的内在价值不会小于零。 根据内在价值，期权可分为实值、虚值和平值三种。
（三）期权价格的有关性质 性质 5: 看涨期权的价格，不会高于标的资产的价格； If the premium of the call option is greater than the price of its underlying asset: Today: buy the asset, write the call and receive $(C-S). If the call is exercised deliver the stock and get $E. If it not exercised you keep both $(C-S) and the underlying asset. 性质 6: 看跌期权的价格，不会高于执行价格；
（四）影响期权价格的主要因素
1、协定价格与市场价格及两者的关系 （1）决定期权的内在价值 （2）决定期权的时间价值 协定价格与市场价格差距越大，时间价值越小， 协定价格与市场价格差距越小，时间价值越大， 当期权处于平值时，时间价值最大。 2、权利期间（期权剩余的有效时间） • 期权期间越长，套期保值时间越长，期权时间价值越大 • 随着期权期间缩短，期权时间价值的增幅是递减的。 3、标的资产的收益：标的资产收益率越高，看涨期权价格越 低，看跌期权价格越高。 4、标的资产价格的波动性：标的资产价格波动性越大，期权 价格越高 5、利率：利率对看涨期权价格有正向影响，利率对看跌期权 价格有负向影响
资产定价中的期权定价模型
资产定价中的期权定价模型在金融市场中，期权是一种重要的金融衍生品。
期权的持有者在未来某一时间点上有权进行一定的交易，而其出售者则有相应的义务。
如何对期权进行定价，一直是金融学研究的重点之一。
期权定价模型可以帮助投资者合理地评估期权的价格，从而作出科学的投资决策。
在资产定价中，期权定价模型也起到了重要的作用。
期权定价模型主要有两种：Black-Scholes模型和Binomial模型。
Black-Scholes模型是最为著名的期权定价模型之一。
它是由费雪-布莱克和马顿·斯科尔斯在1973年提出的。
Black-Scholes模型假设以下四个条件：1. 证券市场是完全有效的，即不存在任何套利机会。
2. 股票价格的波动率是固定的，并且是已知的。
3. 股票市场的收益率符合对数正态分布。
4. 没有交易费用和税收。
基于以上条件，Black-Scholes模型可以通过求解偏微分方程来计算欧式看涨欧式看跌期权的理论价格。
该模型得出的期权价格，主要取决于以下几个因素：期权行权价格、期权到期时间、标的资产价格、无风险收益率和波动率。
其中，隐含波动率是一个重要的变量，它是指在当前市场条件下，使得理论价格等于市场价格的波动率。
Binomial模型又称二项式模型，是Cox、Ross和Rubinstein在1979年提出的。
Binomial模型基于离散时间、离散状态的假设，即时间轴和股价轴都是离散的。
该模型将给定时刻的资产价格看作是一个上涨或下跌的分支过程，从而形成一个二叉树结构。
通过在概率树上求解，可以计算出欧式期权、美式期权等的理论价格。
与Black-Scholes模型相比，Binomial模型更适用于处理近期股价波动较大的市场情况。
需要注意的是，Black-Scholes模型和Binomial模型都有其适用的范围。
在实际应用中，我们需根据特定的市场情况来选择相应的期权定价模型。
同时，期权定价模型也存在一定的局限性，如市场波动性的假设、隐含波动率的估计等问题。
期权定价二叉树模型
qd e
rT
e
0.025
0.37342 0.36420
Ru 2, Rd 0
C qu Ru qd Rd 0.611111 2 1.22.
在期权价值树上进行计算
2
qu
C
Ru
1.22
0.61111
qd
Rd
0.3642
0
计算期权价格的价格树(二叉树)
四个时段的情形 考虑以某一股票为标的资产、执行期限为T 的买入期权，设股票的现行价格为S 0 60 元， 期权确定的执行价格为 。设把期权 S X 65 元 的有效期分为时间相同的4个阶段，预计股 票价格在每阶段要么上升10%，要么下降 5%，每阶段内无风险收益率为5%, 确定期 权的价格.
二、二项式定价的基本过程
设有这样一个以某股票为标的资产的3月期 欧式买入期权，股票现行的市场价格为30 元，期权确定的执行价格为31元。设已知3 个月后股票价格要么上升10%，要么下降 10%，市场的无风险利率为10%(年利率)， 试确定该期权的价格。
33
30 27 ?
2
1 0
1.025
1.025
上升状态价格因子和下降状态价格因子仅同股 票价格在每个阶段的上升因子、下降因子、期 权有效期(每个时段)的长短以及期权有效期内 的无风险收益率有关，而同股票价格和期权确 定的执行价格无关。
对上述例子的应用
u (e rT 1) 0.1 (e 0.025 1) 0.37342 ud 0.2
,n
欧式卖出期权的二项式定价公式
n n i i n i i P qu qd max{S X S0 (1 u ) (1 d ) , 0} i 0 i
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
其中：D表示期权有效期内红利的现值
Sichuan University
一、期权
注： 1、提前执行不付红利美式看涨期权是不明智的。 2、不付红利的美式看跌期权可能提前执行。 3、在红利的影响下，美式看涨期权可能提前执行。
那么，则有： 在第6个月末，该头寸将服从正态分布，均值为60,标准差 为：30√0.5=21.21的正态分布； 在第1年末，该头寸将服从正态分布，均值为70，标准差为 30。
分析：随机变量值在பைடு நூலகம்来某一确定时刻的不确定性（用标准 差来表示）是随着时间长度的平方根增加而增加的。
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3、股价过程是马尔科夫过程等于股票市场的弱有效性。
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二、随机过程
➢（二）标准布朗运动或维纳过程： 变量z是一个随机变量，设一个小的时间间隔长度为Δt，
定义Δz为在Δt时间内z的变化。要使z遵循维纳过程，Δz必须 满足两个基本性质：
性质1：Δz与Δt的关系满足方程式:
2、Put Option: Gives owner the right to sell an asset for a given price on or before the expiration date.
3、 European Option：Gives owner the right to exercise the option only on the expiration date.
所以有： XerT p 。
如果不存在这一关系，则套利者出售期权并将所得收入以 无风险利率进行投资，可以轻易获得无风险收益。
期权定价理论
期权定价理论期权定价理论是衡量期权合约价格的数学模型。
它基于一系列假设和推导出的公式，通过评估期权的相关因素来确定其合理的市场价格。
这些因素包括标的资产价格、期权执行价格、期限、波动率以及无风险利率等。
期权的定价理论中最著名的模型是布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）。
该模型基于以下假设：市场无摩擦，即不存在交易费用和税收；标的资产价格服从连续时间的几何布朗运动；期权可以在任意时间点以市场价格进行买卖。
布莱克-斯科尔斯模型通过以下公式计算欧式期权的价格：C = S0 * N(d1) - X * e^(-r * T) * N(d2)其中，C是期权的市场价格，S0是标的资产的当前价格，N()是标准正态分布函数，d1和d2分别是两个维度上的标准正态分布变量，X是期权的行权价格，r是无风险利率，T是期权剩余时间。
布莱克-斯科尔斯模型的原理是通过构建组合，使得期权价格与标的资产价格的变动相对冲，从而消除风险。
通过调整组合中的权重，可以确定合理的期权价格。
这一模型在市场上得到广泛应用，被视为期权定价的标准模型之一。
除了布莱克-斯科尔斯模型外，还有其他一些期权定价模型，如考虑股息的期权定价模型、跳跃扩散模型等。
这些模型在不同情况下，可以更准确地预测期权价格。
需要注意的是，期权定价理论是基于一系列假设和前提条件建立的。
市场实际情况中可能存在不符合这些假设的情况，因此实际期权价格可能与模型计算结果存在一定的差异。
此外，期权定价也受到市场供求关系、交易量以及市场情绪等因素的影响。
总之，期权定价理论是一种基于数学模型的方法，用于评估期权合约的合理价格。
布莱克-斯科尔斯模型是最著名的期权定价模型之一，通过构建相对冲抗风险的组合来确定期权价格。
然而，需要注意实际市场中的差异和其他影响因素。
期权定价理论是金融衍生品定价的核心理论之一，它对金融市场的有效运行和风险管理起着重要作用。
期权是一种约定，赋予期权持有人在未来某个特定时间以特定价格买入或卖出某个标的资产的权利，而不是义务。
期权定价的方法和模型综述
期权定价的方法和模型综述本文从期权定价理论发展的历史和现状着手，系统地分析了期权定价的各种方法和模型，指出其优点和不足，并对期权定价理论的发展前景进行了展望。
关键词：期权定价无套利复制鞅方法期权就是选择权，期权的持有人在确定的时间、按确定的价格向出售方购销一定数量的基础资产，但他不承担必须购入（销售）的义务。
作为一种有效风险管理工具，期权日益活跃在现代金融市场中，其定价问题也一直是金融工程和数学金融学研究的重点之一。
期权定价问题的研究最早可以追溯到1900年，Bachelier在其博士论文中首次提出了股票价格的布朗运动假设并运用它来对欧式买权进行定价，然而模型中有几点与实际市场不符：股票价格可能为负、离到期日足够远的买权价格可能大于股票价格、股票的期望报酬为零。
1969年著名经济学家Sanuelson与Merton合作，提出了把期权价格做为基础资产价格函数的观点，不过在1973年B-S模型提出之前大部分模型都没有实用价值。
随着B-S 公式的问世，金融市场也变得空前繁荣，刺激了大量的学者对期权的定价机制、方法、模型进行研究，本文从三个方面综述期权定价理论的发展。
期权定价的方法无套利复制定价。
这种方法主要归功于Black-Scholes(1973)、Moerton(1973)，其基本原则就是无套利思想。
在一个无套利的市场中，具有相同未来收益的资产组合应当具有相同的价格，通过构造一个投资组合使得其未来收益与未定权益(如期权)的未来收益相同。
简单地说，构造一个就是复制该未定权益的投资组合，那么这个自筹资策略的初始成本就是期权当前的价值。
Black-Scholes正是根据上述思路得到了描述期权价格变化的随机微分方程，即所谓的B-S方程，最终利用得到了期权定价模型的解析解，也就是著名的Black-Scholes公式，正是这个公式使Scholes与Moerton分享了1997年的诺贝尔经济学奖。
期权定价的鞅方法。
期权定价模型：
期权定价模型目前期权定价模型主要有两种方法，布莱克－斯科尔斯模型和二项式定价模型。
一、布莱克－斯科尔斯模型（一）基础知识1.收益率与价格表示我们知道，在金融市场中，收益率一般都服从正态分布，价格本身却不服从正态分布。
但是，金融资产价格变动与收益率息息相关，那么我们可以在资产价格与收益率之间建立一种联系，以此来获得价格的分布函数。
（以股票为例）。
（1）假设股票现价为100元，下一个时期股价涨到110，按照传统的收益率定义方式，此时股票投资收益率为10％传统定义收益＝。
我们假设投资者先获得一个10％的收益率然后再损失10％，那么投资者是否回到了原来的价格呢？很显然没有。
（2）为了解决诸如（1）中所提到的问题，金融工程中，我们一般用价格比的对数来计算收益率：收益率＝㏑，（1.1）它比单用价格比更一致。
这里，S t代表时间t的市场价格，S t+1代表一段时间后的价格。
由公式（1.1）得：S t+1＝S t× （1.2）运用这种方法，如果第一阶段的收益率为10％，第二阶段的收益率为－10％，初始价格为S0＝100，那么，我们可以得到：S1＝＝110.52S2＝＝100.00这一次价格在上升10％然后下降10％后回到了原来的价位，与一般认为的结果一样。
2.收益率与价格概率分布我们一般认为收益率服从正态分布，那么价格就服从扭曲的正态分布。
如下图一所示，由于价格的表示方法，那么对于初始价格S0，当价格降低时，曲线会逐渐压缩；当价格上升时，曲线会逐渐扩展。
图一随时间变化的价格序列50 75 100 125 150 175收益率定义为价格比的对数，并且假定服从正态分布：㏑～（1.3）这里，S0时间0的价格S t时间t的价格N（m，s）随机的正态分布，平均值为m，标准差为sμ 年收益率σ 收益率的年标准差由公式（1.3）可以直接推出价格的对数服从正态分布，S0为常数，所以有：㏑（S t）～㏑（S0）＋（1.4）即，价格服从对数正态分布，遵循以下关系：～（1.5）从公式（1.3）可以得出预期收益率为：＝（1.6）我们给出分布图：图二收益率的正态分布图三价格的对数正态分布由概率与数理统计知识，关于期望的对数和对数的期望值之间有如下公式：㏑（E）＝＋那么我们可以得出：＝（1.7）即预期价格比比从预期收益率导出的价格大。
期权定价-二叉树模型
期权定价-二叉树模型期权定价是金融市场中的重要内容，它是根据期权的特点和市场条件来确定期权价格的过程。
二叉树模型是一种常用的期权定价方法之一，其基本思想是将时间离散化，并通过构建一个二叉树来模拟标的资产价格的变动。
在二叉树模型中，每个节点代表了一个特定的时刻，而每个节点之间的关系是通过上涨和下跌两种情况进行连接的。
通过调整上涨和下跌的幅度，可以模拟出不同标的资产的价格变动情况。
期权的定价在二叉树模型中可以通过回溯法进行计算。
首先，在最后一个节点上，根据期权的特点以及市场条件来确定期权的价值。
然后，逐步向前回溯，通过考虑不同的路径来计算每个节点上的期权价值。
在回溯过程中，需要考虑每个节点的两个子节点的权重，即上涨和下跌的概率。
这可以根据市场条件来确定，通常是基于历史数据进行估计。
然后，在回溯过程中，可以根据节点上的期权价值和子节点的权重来计算每个节点的期权价格。
通过不断回溯，最终可以得到期权的初始价值，即在当前市场条件下，期权价格应该是多少。
这个初始价值可以用作参考，帮助投资者做出合理的投资决策。
需要注意的是，二叉树模型是一个简化的模型，它有一些假设和限制。
首先，它假设标的资产的价格只有上涨和下跌两种情况，而忽略了其他可能的情况。
其次，它假设市场条件在整个期权有效期内保持不变，而实际情况可能是变化的。
因此，在使用二叉树模型进行期权定价时，需要注意这些假设和限制。
总而言之，期权定价是金融市场中的重要内容，二叉树模型是一种常用的定价方法。
通过构建二叉树模型，并根据回溯法计算每个节点上的期权价值，可以得到期权的初始价格。
然而，需要注意二叉树模型的假设和限制，并结合实际情况进行综合分析和判断。
期权定价是金融市场中的重要内容，其旨在确定期权的合理价格。
期权是一种金融工具，赋予购买者在期权到期时以约定价格购买或出售标的资产的权利。
很多投资者都希望能够在市场上买入或者卖出期权，以便于在未来某个时刻获得利润。
因此，了解期权的合理价格对投资者来说至关重要。
期权定价模型及算法研究
期权定价模型及算法研究在金融市场中，期权是一种重要的金融工具，它给予持有人在未来一定时间内以特定价格购买（或卖出）标的资产的权利。
期权交易在风险管理、增加收益和投机方面具有广泛的应用。
为了有效地定价期权合约，金融学家和数学家们开发了各种期权定价模型和算法。
本文将介绍期权定价模型的一些基本概念，并研究Black-Scholes模型和蒙特卡洛模拟算法。
期权定价模型是用来计算期权价格的数学模型。
它的核心思想是根据标的资产的特性、时间、风险和其他因素来计算期权的内在价值和时间价值。
内在价值是指期权的立即行权价值，即如果立即行使期权，持有者可以获得的利润。
时间价值则是指期权的附加价值，考虑到剩余期限和标的资产预期价格波动性。
期权定价模型的目标是准确估计期权的价格，以便提供合理的交易价格，并帮助投资者进行有效的风险管理。
Black-Scholes模型是最著名的期权定价模型之一，它是由费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯在1973年提出的。
该模型基于一些假设，包括资产的价格服从几何布朗运动、无风险收益率是已知的、市场是没有摩擦的、期权可以随时买卖等。
基于这些假设，Black-Scholes模型可以用一些简单的公式计算欧式期权的价格。
该模型提供了一个评估期权价格的基准，并成为了金融衍生品定价和风险管理的基础。
然而，Black-Scholes模型也有其局限性。
它假设资产价格服从几何布朗运动，但实际市场中的价格波动往往不遵循正态分布。
此外，该模型无法处理一些复杂的期权类型，如美式期权和波动率衍生品。
因此，研究人员提出了一些改进的模型和算法，以解决Black-Scholes模型的局限性。
蒙特卡洛模拟算法是一种常用的数值计算方法，用于估计期权价格。
该算法通过生成大量随机数对期权进行多次模拟，然后取模拟结果的平均值作为期权价格的估计值。
蒙特卡洛模拟算法可以处理各种复杂的期权类型和市场情景，并且可以考虑到市场波动率等因素的不确定性。
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【实验小结】（收获体会）
通过这次期权定价模型与数值方法综合实验，加深了对Black-Schole期权定价公式的理解，同时培养了运用软件工具解决期权定价问题的应用和动手能力。
三、指导教师评语及成绩：
评语
评语等级
优
良
中
及格
不及格
1.实验报告按时完成,字迹清楚,文字叙述流畅,逻辑性强
（7）可以运用全部的金融资产所得进行卖空操作。
无收益欧式看涨期权的定价公式：
无收益资产欧式看跌期权的定价公式：
其中 ，
算例：股票的价格为100，股票的波动率标准差为0.25，无风险利率为5%，期权的执行价格为100，存续期为0.25年，试计算该股票欧式期权的价格。
【实验环境】
MATLAB2010b
Windows10
2.实验方案设计合理
3.实验过程（实验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻）
4实验结论正确.
成绩：
指导教师签名：
批阅日期：
附录1：源程序
欧式期权的收益图程序：
subplot(1,2,1)
s=[0:1:99];
E=50;
call=zeros(size(s));
for i=1:100
call(i)=max(s(i)-E,0);
【实验原理】
1.BSM期权价格微分方程
2.看跌期权定价的显性差分法
（1）BSM微分方程中偏导数的差分近似
； ；
（2）差分方程
其中
（3）边界条件
T时刻看跌期权的价值为
下边界 上期权价值为
上边界 上期权价值为
（4）期权的价值
对于差分方程和边界条件
；
解出每个 的期权值，然后再与每个格点的期权内在价值 进行比较，判断是否提前执行，从而得到 时刻每个格点的期权价格。
end
plot(S,put);
ylim([-10 50]);
xlim([0 90]);
xlabel('到期价格S(T)');
ylabel('看跌期权的到期收益');
计算期权定价：
function [Call Put]=bsprice(S0,K,r,T,sigma)
% call:看涨期权
% put:看跌期权
数学与计算科学学院
实验报告
实验项目名称期权定价模型及其求解
所属课程名称微分方程数值解
实验类型验证型
实验日期4月8日
班级
学号
姓名
成绩
一、实验概述：
【实验目的】
（1）通过期权定价模型与数值方法综合实验，使学生加深对期权模型的理解；
（2）熟练掌握运用Matlab软件计算期权价格的有限差分法。
（4）培养学生运用软件工具解决期权定价问题的应用和动手能力。
二、实验内容：
【实验方案】
编写m文件，存储函数和需要求解的方程，在命令窗口输入相关命令调用函数即可得到结果。
【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）
第一步.利用Matlab绘制欧式期权的收益图
2,计算Black-Scholes期权价格:
(call:看涨期权put:看跌期权
S0：股票的现价K：期权执行价格
（1）在期权有效期内，无风险利率和股票资产期望收益变量和价格波动率是恒定的；
（2）市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；
（3）股票资产在期权有效期内不支付红利及其它所得(该假设可以被放弃)；（4）该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施;
（5）金融市场不存在无风险套利机会；
（6）金融资产的交易可以是连续进行的；
Put=K*exp(-r*T)*normcdf(-d2)-S0*normcdf(-d1); %利用Black-Schole公式计算看跌期权价格、
依此类推，可以计算出 ，当 等于初始资产价格时，该格点对应的 就是所求的期权价值。
1.参量与符号
（1） :标的资产的价格；（2） ：行权价格；（3） ：到期期限；
（4） ：标的资产价格波动率；（5） ：连续复利的无风险利率。
2.Black-Schole期权定价公式
在满足以下条件下，可以有新的计算公式。
% S0：股票的现价
% K：期权执行价格
% r:
d1=(log(S0/K)+(r+0.5*sigma^2)*T)/(sigma*sqrt(T)); % d1的计算
d2=d1-(sigma*sqrt(T)); % d2的计算
Call=S0*normcdf(d1)-K*exp(-r*T)*normcdf(d2); %利用Black-Schole公式计算看涨期权价格
r:无风险利率T：期权存续期
sigma：波动率)
用老师给定的数据s0=100;k=100;r=0.05;sigma=0.5;T=0.25;调用语句[Call,Put]=bsprice(100,100,0.05,0.25,0.5)得到如下结果：
Call =
10.5193
Put =
9.2770
【实验结论】（结果）
end
plot(s,call)
ylim([-10 50]);
xlim([0 90]);
xlabel('到期价格S(T)');
ylabel('看涨期权的到期收益');
subplot(1,2,2)
S=[0:1:99];
put=zeros(size(S));
for i=1:100
put(i)=max(E-S(i),0);