费米统计和玻色统计
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波色统计和费米统计
平衡温度为T时，系统辐射的总能量为：
A为常数，著名的斯特藩-玻尔兹曼定律
b
11
物理意义： 单位体积的辐射能只与温度有关， 与温度的四次方成正比。
b
12
适用量子分布的理想气体称之为简并气体。
1.费米分布 （适用自旋为1/2的电子系统）
FFD
1 e( )/kT
1
常记为 f ,称为费米能级
b
2
费米分布的性质
别：
b
3
费米能级的具体表示：
其中：n N 表示单位体积的自由电子数 V
b
4
f
f
0
1
2
8
Tc
2 2
mk
(N 2.612V
)2/3
玻色子的质量和粒子数密度决定。
b
7
物理意义：
超导体的正常态转化到超导态可用玻色凝聚解释
b
8
光子气体
平衡系统特点： 高频光子和低频光子总在不停地转换，因而光子数 量也在不断变化，系统中光子数不守恒。
b
9
上式称之为普朗克辐射公式。
b
10
上式为著名的维恩位移定律。 该定律可以用于确定很多星体表面的温度。
第十一章 玻色统计和费米统计
单
粒 子
经典分布 玻尔兹曼分布
态
上
的
三
费米分布
种 分 布
量子分布 玻色分布
经典分布考虑了微观粒子的测不准关系和能量量
子化的影响。但是却没有考虑粒子的全同性以及
泡利不相容原理。
b
1
粒子全同性的微观解释： 微观粒子具有波动性，它们在运动时无轨道可言， 因而无法用编号的方法追踪它们的运动，它们是 不可分辨的。 或者说，粒子的互换不产生新的微观态。
A为常数，著名的斯特藩-玻尔兹曼定律
b
11
物理意义： 单位体积的辐射能只与温度有关， 与温度的四次方成正比。
b
12
适用量子分布的理想气体称之为简并气体。
1.费米分布 （适用自旋为1/2的电子系统）
FFD
1 e( )/kT
1
常记为 f ,称为费米能级
b
2
费米分布的性质
别：
b
3
费米能级的具体表示：
其中：n N 表示单位体积的自由电子数 V
b
4
f
f
0
1
2
8
Tc
2 2
mk
(N 2.612V
)2/3
玻色子的质量和粒子数密度决定。
b
7
物理意义：
超导体的正常态转化到超导态可用玻色凝聚解释
b
8
光子气体
平衡系统特点： 高频光子和低频光子总在不停地转换，因而光子数 量也在不断变化，系统中光子数不守恒。
b
9
上式称之为普朗克辐射公式。
b
10
上式为著名的维恩位移定律。 该定律可以用于确定很多星体表面的温度。
第十一章 玻色统计和费米统计
单
粒 子
经典分布 玻尔兹曼分布
态
上
的
三
费米分布
种 分 布
量子分布 玻色分布
经典分布考虑了微观粒子的测不准关系和能量量
子化的影响。但是却没有考虑粒子的全同性以及
泡利不相容原理。
b
1
粒子全同性的微观解释： 微观粒子具有波动性，它们在运动时无轨道可言， 因而无法用编号的方法追踪它们的运动，它们是 不可分辨的。 或者说，粒子的互换不产生新的微观态。
玻色统计和费米统计
el1
g 2V (2 m )3 /21 /2 e l(1 e l)d
h 3
0
g 2 h 3 V ( 2 m ) 3 /2 e (0 1 /2 e ld 0 1 /2 e 2 ld )
N g(2h m 2 )k 3/2V T e (12 1 3/2e )
2、 理解弱简并理想气体的概念，了解统 计方法在玻色气体和费米气体上的应用。
3、了解玻色—Einstein凝聚现象。 4、掌握 金属中的自由电子气体的费米分 布特性及其对固体热容量的贡献。
.
.
U
0
D()a()d2 3g (2h m 2 )3 k /2 V T e k(1 T 2 1 5 /2e )
相除
U3Nk(1T 1 e)
2
25/2
二、 弱简并条件
利用玻耳兹曼统计的结果
n N V
e N N( h2 )3/2 1 1 Z 1 V 2mkT g
小，稀薄。 T 大，高温。 m大，经典粒子。
0
1/2d
ekT 1
.
T Tc 0
n2h3 (2m)3/2
0
1/2d
ekTc 1
令 x
kT c
n2h3(2mkc)3T/2 0
x1/2dx ex1
Tc
(2.621)22/3
2 n2/3 mk
.
低温 TTc情况 :
§8.2 弱简并玻色气体和费米气体
玻色统计与费米统计描述不可区分的粒子系统。主 要是空间中不可区分。但当粒子在空间可以区分稀薄 气体时，应该由描述可区分粒子系统的理论－玻耳兹 曼统计描述。这种粒子系统叫非简并气体。
al
l
el
1
e 1
g 2V (2 m )3 /21 /2 e l(1 e l)d
h 3
0
g 2 h 3 V ( 2 m ) 3 /2 e (0 1 /2 e ld 0 1 /2 e 2 ld )
N g(2h m 2 )k 3/2V T e (12 1 3/2e )
2、 理解弱简并理想气体的概念，了解统 计方法在玻色气体和费米气体上的应用。
3、了解玻色—Einstein凝聚现象。 4、掌握 金属中的自由电子气体的费米分 布特性及其对固体热容量的贡献。
.
.
U
0
D()a()d2 3g (2h m 2 )3 k /2 V T e k(1 T 2 1 5 /2e )
相除
U3Nk(1T 1 e)
2
25/2
二、 弱简并条件
利用玻耳兹曼统计的结果
n N V
e N N( h2 )3/2 1 1 Z 1 V 2mkT g
小，稀薄。 T 大，高温。 m大，经典粒子。
0
1/2d
ekT 1
.
T Tc 0
n2h3 (2m)3/2
0
1/2d
ekTc 1
令 x
kT c
n2h3(2mkc)3T/2 0
x1/2dx ex1
Tc
(2.621)22/3
2 n2/3 mk
.
低温 TTc情况 :
§8.2 弱简并玻色气体和费米气体
玻色统计与费米统计描述不可区分的粒子系统。主 要是空间中不可区分。但当粒子在空间可以区分稀薄 气体时，应该由描述可区分粒子系统的理论－玻耳兹 曼统计描述。这种粒子系统叫非简并气体。
al
l
el
1
e 1
玻色统计和费米统计讲义
y
d ( ln Z ) d ln Z d[ ln Z ] d ( ln Z )
因为 N ln Z
∴ (dU Ydy) d[ln Z ln Z ln Z ] d N
∴ (dU Ydy d N ) d[ln Z ln Z ln Z ]
6
对于闭系： d N 0
y
y
由 Z [1 el ]l 知， Z 是 、 和 y的函数，ln Z 也是 、
l
和 y 的函数
∴ d ln Z ln Z d ln Z d ln Z dy
y
5
∴ (dU Ydy) d ( ln Z ) ln Z dy
y
d ( ln Z ) ln Z d ln Z dy d ( ln Z ) d ln Z ln Z d
∴ (dU Ydy) d[ln Z ln Z ln Z ]
是 dU Ydy的积分因子， dU Ydy同样有积分因子 1
T
∴ 1
kT
∴ dS 1 (dU Ydy) kd[ln Z ln Z ln Z ]
T
积分得：
S k[ln Z ln Z ln Z ] k[ln Z N U ]
度升高时，由于热激发电子有可能跃迁到较高的未被占据的状
态去。但处在低能级的电子要跃迁到未被占据的状态，必须吸
取很大的热运动能量，这是极小可能的，所以绝大多数状态的
1
fd
4V
3
(2m) 2
h3
2 d
e kT 1
10
在给定电子数 N ，温度 T 和体积 V 时，总粒子数为：
1
N
4V
h3
3
(2m) 2
0
2 d
e kT 1
∴化学势 是温度 T 和粒子数密度 n N 的函数。
热力学与统计物理：第八章 玻色统计与费米统计
CV
U T
V
5U 2T
1.925Nk
T Tc
六、理想玻色气体出现凝聚的临界条件：
3
n
3
n
2
h mkTc
2.612
也就是说在德布罗意波长范围内的原子 数必须大于2个。
七、有关实验
2021/3/11
第八章 玻色统计与费米统计
23
2021/3/11
第八章 玻色统计与费米统计
24
§8.4辐射的量子统计理论
l
N
e kTc －1
1
令x
kTc
,
2
h3
3
(2mkTC ) 2
x 2dx 0 ex－1 n
2021/3/11
第八章 玻色统计与费米统计
17
1
而
x 2dx＝ 0 ex－1
2
2.612＝I
Tc
2
3
(2.612) 2
h2 mk
2
n3
当 T TC 时，要保证 N const ，则 0 ，与前面结论
k
2021/3/11
第八章 玻色统计与费米统计
6
dU TdS pdV dn, pdV Ydy 又 ：（单位摩尔化学势d）n d N (单位粒子数化学势）
dU Ydy d N TdS
1 , S k(ln Z ln Z ln Z )
kT
以及
kT
2021/3/11
矛盾
三、矛盾的原因
2021/3/11
第八章 玻色统计与费米统计
18
关键在于当 时，将 0 上的粒子数忽略了
而 T TC 时，该能级上的粒子数是很大的数值，不可忽略
玻色统计和费米统计+ppt
f (ε) =
称为费米函数。在固体物理学中，化学势称为费 称为费 称为费米函数。在固体物理学中， 费米函数 米能级， 表示。 米能级，用ε F表示。 ），此时 当T→0 K时（费米能级ε F(0)），此时 → 时 ），此时1/kT→∞ ， →∞ 由上式得到
ωl
al
=
1 e
(ε -) kT
+1
f (ε ) = 1 , 当 ε ≤ ε F (0) 时; f (ε ) = 0 , 当 ε > ε F (0) 时.
U (ν , T ) 8πhν dν ρ ν ( T ) dν = dν = V c 3 e hν / kT 1
3
6
利用λν = c 和 dν = 上式化为
cdλ
λ
2
并考虑 ρν dν = ρλ dλ
ρ λ (T ) =
8 πhc
λ
5
(
1 e
hc / λ kT
1
)
将上式代入单色辐出度Mλ (T ) ，将Mλ (T) 改为 将上式代入单色辐出度 Mλ 0 (T)，得到 ，
f 1 1／2 ／
o
2
εF(0)
3 5π kT 2 U(T) = Nε F (0)[1 + ( ) ] 5 12 ε F (0)
19
N是系统内自由电子总数。 是系统内自由电子总数。 是系统内自由电子总数
18
处于ε F(0) 附近能态的电子和低能态的电子情 附近、 况不同 ，只有在εF(0)附近、数量级为 能量范 附近 数量级为kT 围内的能态占据情况才会发生变化 ， 其余绝大 多数能态的占据实际上并不改变，如图所示。 多数能态的占据实际上并不改变，如图所示。 对自由电子热容有贡献 的也是处于εF(0)附近能态 附近能态 的电子。 的电子。 自由电子气体系统的内 能用εF (0)可表示为 可表示为
统计物理10-第八章
实验结果： 常温下，电子热容量与离子相比可忽略。 实验结果：
三、量子统计
1、金属中自由电子形成强简并费米气体
e
α
V 2meπ kT 3 2 = ( ) = 2.9 × 10 −4 ≪ 1 N h2
电子自旋 自旋量子数等于1/2 1/2，每个电子有两个不同的自旋状态 两个不同的自旋状态。 自旋 1/2 两个不同的自旋状态
熵是系统微观粒子作无规则运动混乱程度的量度。 熵增原理的统计意义
孤立系统中进行的热力学过程总是由包含微观状态数少 （概率小）的宏观态向包含微观状态数多（概率大）的宏 观态进行，相反的过程发生的可能性几乎为零。
能斯脱定理的统计意义
S0 = k ln Ω0 ≈ 0
结论： 结论：
微观粒子系统原则上遵循量子统计分布 1．不确定关系 2．能量量子化 3．全同性原理
ℏω p= c
在体积V 内，在 ω ~ ω + dω 的范围内，光子可能 的微观状态数为： 2 V ω dω 2 3 π c 在体积V 内，在 ω ~ ω + dω 的范围内的光子数为：
∆ωl 1 V ω2 al = 3 ⋅ βε l = 2 3 ℏω kT −1 h e −1 π c e
2、推导普朗克公式 Uω
Ξ = ∏ 1 + Ae −α −βε l
ln Ξ = ∑
l
ωl
A
l
l
(
)
ωl
A
巨配分函数
ln(1 + Ae −α − βε l )
——玻色系统 ——玻色系统 ——费米系统 ——费米系统
ln Ξ = −∑ ωl ln(1 − e −α − βε l ) ln Ξ = ∑ ωl ln(1 + e −α − βε l )
热力学 统计物理：第八章 玻色统计和费米统计
y
y l
e l • ( ) • ( l )
1
[ y
l
l
ln(1 e l
)]
1
l
l
y 1 e l
l
l l
e l 1 y
Y 1 ln p 1 ln
y
V
N ln
U ln
Y 1 ln
y
dN d ( ln )
dU d ( ln )
Ydy 1 ln dy
U ln ln[ (1 e l )l ]
l
[
l
l ln(1 e l )]
l
l
e l • ( l )
1 e l
l
ll
e l 1
广义力Y是 l 的统计平均值：
y
Y
l
l
y
al
l
l l
e l 1 y
Y也可通过配分函数求得：
Y 1 ln 1 ln[ (1 e l )l ]
y
(dU Ydy dN ) d ( ln ) ln dy d ( ln )
y
(dU Ydy dN ) d ( ln ) ln dy d ( ln )
y
d ( ln ) ln • d ln • d ln dy d ( ln ) ln • d ln • d
e l 1
在实际应用中，两种分布的区别在于将和看作已知常量（开系条件
的平均分布），还是将N和U看作已知常量（孤立系统的最概然分布）。
说明： 本节推导玻色系统和费米系统热力学量的 统计表达式时，采用平均分布观点，也就
是将、和y（粒子能量含外参量y）看作 已知参量，而将热力学量表达为、和y的
函数。
回顾：
热力学统计物理 第八章 玻色统计和费米统计
l
l
l
e l ( l )
1 e l
l
l l
e l 1
U
对比玻耳兹曼分布
U ln
U N ln Z1
热统
5
3 广义力
Y
l
al
l
y
ln l ln(1 e l )
l
1 ln 1
y
y
l
l ln(1 e l )
l
l
e l (1) 1 e l
热统
1
§8.1 热力学量的统计表达
一、从非简并到简并
玻耳兹曼系统（玻耳兹曼分布） 孤立系统
定域粒子组成的系统，满足经典极限条件（非简并条件）的近
独立粒子系统
经典极限条件 al
（非简并条件）
l
e l
1
e 1
al le l
玻色分布和费米分布 趋向于玻耳兹曼分布。
Z1
l 0
e l
l
al ea
l
l
l
e l 1
U lal
l
l
ll
e l 1
l (1 e l )l
l
l
对比玻耳兹曼分布
热统
ln l ln(1 e l )
l
Z1
e l l
l 0
3
三、用巨配分函数表示热力学量
1 平均粒子数 N
N al
l
l
l
e l 1
ln l ln(1 e l )
al
ln(l
al
al
))
热统
k ln B.E 10
对于费米分布
F.D
l
l ! al !(l al )!
l
l
e l ( l )
1 e l
l
l l
e l 1
U
对比玻耳兹曼分布
U ln
U N ln Z1
热统
5
3 广义力
Y
l
al
l
y
ln l ln(1 e l )
l
1 ln 1
y
y
l
l ln(1 e l )
l
l
e l (1) 1 e l
热统
1
§8.1 热力学量的统计表达
一、从非简并到简并
玻耳兹曼系统（玻耳兹曼分布） 孤立系统
定域粒子组成的系统，满足经典极限条件（非简并条件）的近
独立粒子系统
经典极限条件 al
（非简并条件）
l
e l
1
e 1
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玻色分布和费米分布 趋向于玻耳兹曼分布。
Z1
l 0
e l
l
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l
l
l
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U lal
l
l
ll
e l 1
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l
l
对比玻耳兹曼分布
热统
ln l ln(1 e l )
l
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l 0
3
三、用巨配分函数表示热力学量
1 平均粒子数 N
N al
l
l
l
e l 1
ln l ln(1 e l )
al
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al
al
))
热统
k ln B.E 10
对于费米分布
F.D
l
l ! al !(l al )!
费米狄拉克统计和玻色爱因斯坦统计
费米狄拉克统计和玻色爱因斯坦统计费米狄拉克统计和玻色爱因斯坦统计是两种用于描述粒子统计行为的统计方法。
它们分别适用于费米子和玻色子，这两种粒子在量子力学中具有不同的交换行为和性质。
了解它们的差异对于研究粒子的行为以及理解宏观物理现象至关重要。
一、费米狄拉克统计费米狄拉克统计是描述费米子统计行为的一种统计方法。
费米子是一类具有半整数自旋的粒子，例如电子、质子和中子等。
狄拉克统计的主要特点是：每个量子态只能由一个费米子占据，不同费米子之间不能占据相同的量子态。
这种排斥行为称为泡利不相容原理，它导致了费米子在填充能级时的特殊性质。
对于费米子系统，它们的能级填充遵循费米-狄拉克分布函数。
费米-狄拉克分布函数表示了在温度为T的热平衡下，粒子占据能级的概率。
在零温下，费米子会填充最低的能级，而在有限温度下，费米子的填充受到波尔兹曼因子的影响。
二、玻色爱因斯坦统计玻色爱因斯坦统计是描述玻色子统计行为的统计方法。
玻色子是一类具有整数自旋的粒子，例如光子、声子和玻色凝聚中的声子等。
相比于费米子，玻色子具有不同的交换行为，允许多个玻色子占据相同的量子态。
玻色爱因斯坦统计的特点是，可以有多个玻色子处于同一能级上，而且他们之间的交换不会对系统的状态产生影响。
当玻色子系统处于热平衡时，玻色-爱因斯坦分布函数描述了粒子占据能级的概率分布。
在更低的温度下，玻色子会聚集在能级的基态上，形成玻色凝聚。
三、费米狄拉克统计和玻色爱因斯坦统计的应用费米狄拉克统计和玻色爱因斯坦统计在理论物理和实验物理研究中有广泛的应用。
它们被用来描述固体材料的电子结构、理解物质的热力学性质以及研究凝聚态物理中的相变和超流性等现象。
在固体物理学中，费米狄拉克统计用来解释电子在晶格中的分布，特别是在导体中的电子行为。
根据费米狄拉克统计，能带中的电子填充遵循泡利不相容原理，因此解释了为什么导体具有电流传导的性质。
而在玻色爱因斯坦统计方面，光子是一种典型的玻色子。
第4章 玻色统计和费米统计
ln gl ln 1 e 1 e l
l
内能
ln U
1 ln Y X
ln ln S k ln
此结论导致“紫外灾难”，并且动摇了经典物理的 基础。 2，普朗克公式考虑光能量按hν传播——量子力学的萌芽。
光子系统的平均粒子数 f
1 e
kT
1
普朗克公式 U , T d
普朗克公式极限情况
kT
V 3d 2c3 e kT 1
1
1
D d
2 3 2V N g 3 2m 2 d h e 1
“＋”表示费米气体， “－”表示玻色气体
系统的内能为：
2V U g 3 2m h
3 2
e 1 d
3
2
方便推导起见，令x=β ε
2 3 2V x dx N g 3 2mkT 2 x 0 e h 1 1
广义力/状态方程
熵
第2节 弱简并玻色气体和费米气体
什么叫弱简并性气体？简并性气体？非 简并性气体？ 弱简并性气体的内能有何特点？
在体积V内，dε范围内的微观状态数：
1 3 2V 2 D d g 3 2m 2 d h
g表示因自旋引起的状态增加
1 e
则系统粒子数为： N
一，巨配分函数
考虑玻色分布 则内能 假设
l
al
e l 1
e
l
gl
U l al
l
l
量子理论的诞生和发展（13）：玻色统计和费米统计
量子理论的诞生和发展（13）：玻色统计和费米统计作者：张天蓉物理学中的统计规律是指粒子系统的宏观运动规律。
波尔兹曼研究的是经典粒子的统计行为，粒子系统的自由度用麦克斯韦-波尔兹曼统计方法来描述或计算。
不同于经典统计，量子力学的统计规律则有两种：玻色-爱因斯坦统计和费米-狄拉克统计。
图13-1：波色和费米提出量子统计理论的这四位物理学家，其中玻色可能是很多人不甚了解的一位。
玻色是印度人，他在一次有关光电效应的讲课中，因为犯了一个违反经典统计的“錯誤”却发现了玻色子的统计规律。
物理学中以他的名子命名玻色子，这使得他在物理学界还是挺有名的。
纳特·玻色（Nath Bose，1894年－1974年）出生于印度加尔各答，他的父亲是一名铁路工程师，他是七名孩子中的长子。
玻色在大学时曾得到几位优秀教师的赞赏和指点。
他获得数学硕士学位之后并未继续攻读博士，而是直接在加尔各答物理系担任讲师。
后来，他又到达卡大学物理系任讲师，并自学物理。
大约是在1921年，玻色讲授光电效应和黑体辐射引发的紫外灾难，他本来是想按照经典方法分析粒子的统计行为，结果犯了一个类似“掷两枚硬币，得到“正正”概率为三分之一”的错误。
然而没想到是，他的这个错误却得出了与实验相符合的结论，也就是不可区分的全同粒子所遵循的一种统计规律。
所谓“掷两枚硬币，‘正正’概率为三分之一”是错误的，意思是说当你掷两枚硬币的时候，因为每个硬币都有正反两面，实验结果就有四种情况：正正、正反、反正、反反。
也就是说，按照经典理论，这四种情况中的每一种发生的几率是一样的，即都是四分之一，但玻色所得到的结果却是三分之一。
玻色的这个“错误”之所以是“不可区分的全同粒子”的统计规律，是因为对于两个粒子而言，它们的统计行为是否可以区分或不可区分是有区别的。
假如两枚硬币不能区分谁正谁反，你掷两枚硬币所得到的正、反与反、正就是完全一样的结果。
“不可区分”的两个粒子如同“量子硬币”，它们在宏观系统中总是给我们完全一模一样的感觉。
第八章 波色统计和费米统计
必有可观数目粒子出现在零能
级。 ——玻色—爱因斯坦凝聚。
热统
22
Tc
2
(2.612)2/ 3
2 mk
n2/ 3
因此，为了容易实现玻色－爱因斯坦 凝聚，需要提高临界温度。 为此，要提高气体密度，减小气体粒 子质量。
二、热力学量 T<T c时
n
2
h3
(2m)3/ 2
0
1/ 2d
e kT 1
热统
25
§8.4 光子气体
一、光子气体特性
光子——辐射场能量的量子化，自旋 1－玻色子。 平衡辐射场中，光子数不守恒。
空窖壁不断吸收和发射光子，保持能量守恒，但光子能量 有高有低，发射光子平均能量高发射光子数目少，被吸收的 光子平均能量低，被吸收的光子数目就多，因此不要求光子 数守恒。
光子气体服从玻色分布
l
l
l
S k(ln U N )
？ k ln F.D k( l lnl al lnal (l al ) ln(l al ))
l
l
l
热统
11
al
l
e l
1
e l l al
al
l
ln l al
al
1 e l l l al
ln l ln(1 e l )
l
l
ln
0
N
g(
2m kT
h2
)3
/
2Ve
(1
1 23/ 2
e )
热统
14
内能
U D( )a( ) d 0
3 2
g
(
2mk
h2
T
)3
/
玻色统计和费米统计
x
dx
=
1
3
22
∞
x
1 2
e−
x
dx
=
0
1
3
22
Γ
⎛ ⎜⎝
3 2
⎞ ⎟⎠
=
π
5
22
,
∴N
=
g
2πV h3
( 2mkT
)3 2
⎛ ⎜⎜⎝
π 2
e−α
∓
π
5
22
e−2α
⎞ ⎟⎟⎠
=
g
⎛ ⎜⎝
2π mkT h2
3
⎞2 ⎟⎠
Ve−α
⎛ ⎜1
∓
⎝
1
3
22
e−α
⎞ ⎟ ⎠
（*）
∫ ( ) ( ) U
=
g
2πV h3
1 ∓ e−α −βεl ∓ωl = ∓ ωl ln 1 ∓ e−α −βεl = ∓ ln 1 ∓ e−α −βεs
F.
l
l
s
−玻色 ＋费米
然后由上面的公式求出热力学量。
N B.
=
−
∂ ∂α
ln Ξ B.
，U B.
=
−
∂ ∂β
ln Ξ B.
，
F.
F.
F.
F.
YiB.
F.
=
−
1 β
⋅
∂ ∂yi
ln ΞB. ，
4
1 2
e−α
⎞ ⎟⎠
⎜⎝⎛1 ±
2
1 2
e−α
⎞ ⎟⎠
22
≈ 1± 1 e−α ∓ 1 e−α = 1± 1 e−α
22
第8章 费米统计
e
l
l
1
l e
1 e
l
l
N al
l l
l e
l l
1 e
l [l ln(1 e )] l
l
ln l ln(1 e
l
)
N ln
l
k [(l al ) ln( al ) l ln l al ln al ]
l
（8.1.9）
将（8.1.9）与（6.7.4 P185）比较，可得玻耳兹曼关系
S k ln
第八章 玻色统计与费米统计 13
巨热力学势
ln 是以，，（对简单系统即 y , T ,V）为 自然变量的特性函数.
l l
第八章 玻色统计与费米统计
l ( l )
e
l
1
12
k [l ln l l ln( al )] k al ( l )
l l
k [l ln l l ln( al ) al ln(l al ) al ln al ]
ln ln d ln d ( ) d ( )
ln ln d (ln )
表明β是积分因子.
第八章 玻色统计与费米统计 9
根据开系的基本热力学方程(3.2.9)
dU Tds Ydy dN
比较下式
第八章 玻色统计与费米统计 8
利用
1 U ln Y ln N ln y
ln ln ln (dU Ydy dN ) d ( ) dy d ( ) y
玻色统计和费米统计
ln ln ln d ln d d dy y
根据前面求出的已知量，可求得 (拉氏乘法原理，加上一个为0的项)
第九章 玻色统计和费米统计
上式指出是 dU Ydy d N 的积分因子。
1 与dS (dU Ydy dN )比较 T
玻色分布
9.1.1 玻色系统
把, 和y看作由实验确定的参量. 1 、巨配分函数
第九章 玻色统计和费米统计
取对数为 对取偏导为
ln l ln( 1 e l )
l
上下同乘e l
l ln l e 1 l
2、系统的平均总粒子数
kT
, 意味着：平衡状态下光子气体的化学势为零。
体积为V的空窖内,在p到p+dp的动量范围内，自由粒子可能 的量子态数为
光子自旋有两个投影.
第九章 玻色统计和费米统计
体积为V的空窖内, p到p+dp的动量范围内，光子的量子态数
(光子自旋有两个投影)
cp
态数
4V 2 p dp 3 h
2
d cdp
体积为V的空窖内，在到+d的圆频率范围内，光子的量子
h 2
每个量子态上的平均光子数
第九章 玻色统计和费米统计
9.3.2 辐射场的内能
U (, T )d N
普朗克公式
上式所给出的辐射场内能按频率的分布与实验结果完全符合。 1、低频
1 kT
1 2 2 2 ( px p y pz ) 2m
第九章 玻色统计和费米统计
2、微观状态数 在体积V内，在到+d的能量范围内，分子可能的 微观状态数 g由粒子可能具有自旋而引入的简并度． 其中： ３、系统的总分子数
波色统计和费米
费米能级的具体表示：
n N V
其中：
表示单位体积的 自由电子数
f
f
0
1
2
8
( kT
f0
)2
2 / 3
玻色分布特点：
玻色子：自旋为零或整 数的粒子。主要用于处 理
光子气体、声子气体和 低温玻色凝聚。
选取单粒子基态能量为 零
即：
FBE (0)
1 e /kT
1
e/kT 1, 0
1.玻色凝聚
踪它们的运动，它们是
不可分辨的。
或者说，粒子的互换不产
生新的微观态。
单击此处添加小标题
适用量子分布 的理想气体称 之为简并气体。
1
F FD
单击此处添加小标题
e 费米分布 （适
( )/ kT
用自旋为1/2
的电子系统）
常记为 f ,称为费
费米分布的性质
费米分布和麦 克斯韦分布的 区别：
见课本230页 图示
第十一章 玻色统计和费米统计
单
粒 子
经典分布 玻尔兹曼分布
态
上
的
三
费米分布
种 分 布
量子分布 玻色分布
经典分布考虑了微观粒子的测不准关系和能量量 子化的影响。但是却没有考虑粒子的全同性以及 泡利不相容原理。
单击此处添加小标题
粒子全同性的微观解释：
微观粒子具有波动性，它
们在运动时无轨道可言，
因而无法用编号的方法追
Tc
2 2 mk
(N 2.612V
Байду номын сангаас)2/3
质量不为零，粒子数守恒的玻色子组成的理想气体。 当T趋于绝对零度时，几乎所有的玻色子都会凝聚 到能量、动量为零的基态。 玻色子的质量和粒子数密度决定。
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*费米统计和玻色统计
1. 费米统计 量子统计给出，费米子系统在温度 T 的平衡 态下，能量为 E 的量子态上的平均粒子数：
N (E) = 1 e
( E − μ ) / kT
+1
— 费米 — 狄拉克统计
N(E) 1 0.5 0 EF
μ = μ (T) — 粒子化学势
EF = μ (0) — 费米能量 T 不太高时，μ (T) ≈ EF
±1
≈e
− ( E − μ ) / kT
=e
μ / kT
⋅e
− E / kT
= A(T )e − E / kT
— 麦克斯韦 — 玻耳兹曼统计 所以高能态时，量子统计就过渡到经典的 麦克斯韦 — 玻耳兹曼统计。
Hale Waihona Puke 2. 玻色统计 量子统计给出，玻色子系统在温度 T 的平衡 态下，能量为 E 的量子态上的平均粒子数：
N (E) = 1 e ( E − μ ) / kT − 1
— 玻色 — 爱因斯坦统计 对所有温度 T ，N(E) 应满足 0 ≤ N(E) < ∞ ， 由此可引出玻色 — 爱因斯坦凝聚的概念。
设最低能级（基态）为能量零点：E0 = 0， 1 N 0 = N ( E 0 ) = − μ / kT e −1 T → 0K 时，要求 0 ≤ N0 < ∞ ， 则有 μ < 0 。
原子速度分布逐渐达到BEC的三维示意图 1995年实现了超冷原子的BEC，达到了宏观数量的 原子处于同一量子态（2001 Nobel）。 BEC实现了 原子相干，可做成原子干涉仪和量子频标等。
3. 量子统计到经典统计的过渡 当 E 很高时，(E−μ) >> kT
N (E) = 1 e
( E − μ ) / kT
Na e − μ / kT − 1 T →0 = ⎯ ⎯ ⎯→ 0 对任意激发态 a ： ( E a − μ ) / kT N0 e −1
上式表明，0K时玻色气体全部粒子都集中到 基态上， 在动量空间形成了一个“凝聚体”， 称为玻色 — 爱因斯坦凝聚（BEC）。
v =0
T < TC T = TC T > TC
T=0 T>0 E
N(E) 1 0.5 0
T=0
kT << EF kT >> EF E
EF
热激发能量一般是 kT 量级， 当 kT << EF 时， 粒子只能跃迁到费米能级以上，宽度为kT 范围内的态上， 将费米分布台阶的棱角变钝， 形成一定坡度的过渡带。 当 kT >> EF 时， 台阶就消失了。
1. 费米统计 量子统计给出，费米子系统在温度 T 的平衡 态下，能量为 E 的量子态上的平均粒子数：
N (E) = 1 e
( E − μ ) / kT
+1
— 费米 — 狄拉克统计
N(E) 1 0.5 0 EF
μ = μ (T) — 粒子化学势
EF = μ (0) — 费米能量 T 不太高时，μ (T) ≈ EF
±1
≈e
− ( E − μ ) / kT
=e
μ / kT
⋅e
− E / kT
= A(T )e − E / kT
— 麦克斯韦 — 玻耳兹曼统计 所以高能态时，量子统计就过渡到经典的 麦克斯韦 — 玻耳兹曼统计。
Hale Waihona Puke 2. 玻色统计 量子统计给出，玻色子系统在温度 T 的平衡 态下，能量为 E 的量子态上的平均粒子数：
N (E) = 1 e ( E − μ ) / kT − 1
— 玻色 — 爱因斯坦统计 对所有温度 T ，N(E) 应满足 0 ≤ N(E) < ∞ ， 由此可引出玻色 — 爱因斯坦凝聚的概念。
设最低能级（基态）为能量零点：E0 = 0， 1 N 0 = N ( E 0 ) = − μ / kT e −1 T → 0K 时，要求 0 ≤ N0 < ∞ ， 则有 μ < 0 。
原子速度分布逐渐达到BEC的三维示意图 1995年实现了超冷原子的BEC，达到了宏观数量的 原子处于同一量子态（2001 Nobel）。 BEC实现了 原子相干，可做成原子干涉仪和量子频标等。
3. 量子统计到经典统计的过渡 当 E 很高时，(E−μ) >> kT
N (E) = 1 e
( E − μ ) / kT
Na e − μ / kT − 1 T →0 = ⎯ ⎯ ⎯→ 0 对任意激发态 a ： ( E a − μ ) / kT N0 e −1
上式表明，0K时玻色气体全部粒子都集中到 基态上， 在动量空间形成了一个“凝聚体”， 称为玻色 — 爱因斯坦凝聚（BEC）。
v =0
T < TC T = TC T > TC
T=0 T>0 E
N(E) 1 0.5 0
T=0
kT << EF kT >> EF E
EF
热激发能量一般是 kT 量级， 当 kT << EF 时， 粒子只能跃迁到费米能级以上，宽度为kT 范围内的态上， 将费米分布台阶的棱角变钝， 形成一定坡度的过渡带。 当 kT >> EF 时， 台阶就消失了。