2.3.1 等比数列-王后雄学案

张喜林制

2.3.1 等比数列

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考点知识清单

1．一般地，如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的比都等于 ，那么这个数列就叫做

2．等比数列的通项公式： 3．等比数列的重要性质：

(1) ； (2) ． 4．判断一个数列为等比数列的方法：

(1) ；}{n a ⇔是公比为q 的等比数列， (2) ．}{n a ⇔是公比为q 的等比数列． 5．等比中项的定义：

6．如果,0=/n a 且22

1++=n n n a a a 对任意的正整数n 都成立，则数列}{n a 是

7．(1)若}{n a 为等比数列，且),,,,(1+∈+=+N n m l k n m k 则l k a a ⋅n m a a (2)若}{n a 为等比数列，公比为q ，则}{2n a 也是 ，公比为 (3)若}{},{n n b a 是等比数列，则}{n n b a 也是 (4)若}{n a 为等比数列，则)0}({=/k ka n 也为

(5)若 ,,,,4321a a a a 排列的一列数n a 为等比数列，则按,1a ,,53a a 排列的一列数也为 8．等差数列与等比数列的比较

(1)相同点：①强调的都是 的关系． ② 或 确定．

(2)不同点：①等差数列强调的是每一项与其前一项的 ，等比数列强调的是每一项与其前一

项的 .

②等差数列的首项和公差可以为零，等比数列的首项和公比

③等差中项唯一，是 ，等比中项有 ，分别为_____________ . 即两个正数（或两个负数）的等比中项有 ，它们互为 ；一个正数和一个负数 等比中项，

要点核心解读

1．等比数列的定义

如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项之比都等于同一常数q ，这个数列叫等比数列，常数q 叫做等比数列的公比

定义还可以叙述为：在数列}{n a 中，若),(1

++∈=N n q a a

n

n 则}{n a 是等比数列．易知.0=/q 关于定义理解的几点注意：

(1)由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此g 也不能是0； (2)“从第二项起”是因为首项没有“前一项”；

n

n a a 1)3(+均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意义，同时还要注意公比是每一项与其前一

项之比，防止前后次序颠倒；

(4)如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从第2项起或第3项起是一个等比数列；

(5)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与n 无关的常数，但却是不同的常数，这时此数列不是等比数列；

(6)常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列：若常数列是各项都为O 的数列，它就不是等比数列．当常数列各项不为0时，是等比数列；

(7)证明一个数列为等比数列，其依据是),(1

++∈=N n q a a

n

n 利用这种形式来判定，就便于操作了； (8)在现实生活及国民经济建设中，常出现增长率（降低率）、利率等问题，多与等比数列有联系，应用广泛．

2．等比中项

在任意两个非零实数a 和b 之间，也可以插入n 个数使之成为等比数列，但要注意，在实数范围内，当a >0时，a 、b 之间可以插入任意个数，当ab <0时；在a 和b 之间只能插入偶数个数使之成为等比数列. 当ab >0时，在a 和b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么，G 就叫做a ，b 的等比中项．

.,2ab G ab G G

b

a G ±==∴=， 3．通项公式

等差数列的通项公式是用不完全归纳法得到的．类似地，在等比数列}{n a 中，由等比数列的定义，有：

===q a a q a a 2312;;)(211q a q q a =.)(312134 q a q q a q a a ===

归纳可得：1).0(11

11==/⋅⋅==--n q a q a q a a n n n 时，等式也成立，即对一切+∈N n 成立．于是可得：

等比数列的通项公式为⋅=/⋅⋅=-)0(11

1q a q

a a n n

除了上面的证明方法，也可以用累乘法来证明，如下：因为}{n a 是等比数列，所以2≥n 时，有

,,,,34

2312 q a a q a a q a a ===⋅=-q a a n n 1将上面n-l 个等式的左右两边分别相乘，得..2312a a a a ,..1134--=n n n q a a a a 即11

-=n n q a a 所以).2(1

1≥=-n q a a n n 当n=l 时，左边,1a =右边,1a =所以等式成立．所以等比数列的通项公式为：).0(111=/⋅⋅=-q a q a a n n

(1)对于等比数列的通项公式，我们还要注意如下几点： ①不要把n a 错误地写成.1n n q a a =

②公比q 是任意一个常数，可以为正数，也可以为负数，在不同数列中，公比q 可以有不同的取值．但

在同一数列中，公比q 的值不变．

③对于公比g ，它是“从第2项起，每一项与它的前一项的比”，不能把相邻两项的次序颠倒．

④由等比数列的通项公式，已知n a q a n ,,,1中三个便可求出另外一个量，即“知三求一”， ⑤在碰到与等比数列的某一项有关的问题时，常常运用等比数列的通项公式来解决． (2)用函数观点看等比数列的通项公式，

等比数列的通项公式可整理为.1

n n q q a

a ⋅=当q 为不等于l 的正数时，x q y =是一个指数函数，而

x q q a y ⋅=1是一个不为零的常数与指数函数的积．因此，等比数列}{n a 中的各项所表示的点离散地分布在

第一或第四象限，并且当1=/q 时，这些点在曲线x q q

a

y ⋅=1上． 当⎩⎨⎧>>1,01q a 或⎩

⎨⎧<<<10,

01q a 时，}{n a 是递增数列，反之也对，

当⎩⎨

⎧<<>10,01q a 或⎩

⎨⎧><1,

01q a 时，}{n a 是递减数列，反之也对，

当q=l 时，}{n a 是常数列，

当q<0时，}{n a 是摆动数列（它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但奇数项与偶数项异号）． 4．等比数列的主要性质

若数列}{n a 是公比为g 的等比数列，则

(1)若,,,,,+∈+=+N q p n m q p n m 则,..q p n m a a a a =

);()2(+-∈⋅=N n m q a a h m n m n

,0.)3(2>+n n a a 即奇数项与奇数项同号，偶数项与偶数项同号；

(4)下标成等差数列的项构成等比数列；

(5)数列)0}({=/λλn a 仍是公比为q 的等比数列；

(6)若}{n b 是公比为q 的等比数列，则数列}{n n b a ⋅是公比为q q ⋅的等比数列．