2.3.1 等比数列-王后雄学案

张喜林制
2.3.1 等比数列
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考点知识清单
1．一般地，如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的比都等于 ，那么这个数列就叫做
2．等比数列的通项公式： 3．等比数列的重要性质：
(1) ； (2) ． 4．判断一个数列为等比数列的方法：
(1) ；}{n a ⇔是公比为q 的等比数列， (2) ．}{n a ⇔是公比为q 的等比数列． 5．等比中项的定义：
6．如果,0=/n a 且22
1++=n n n a a a 对任意的正整数n 都成立，则数列}{n a 是
7．(1)若}{n a 为等比数列，且),,,,(1+∈+=+N n m l k n m k 则l k a a ⋅n m a a (2)若}{n a 为等比数列，公比为q ，则}{2n a 也是 ，公比为 (3)若}{},{n n b a 是等比数列，则}{n n b a 也是 (4)若}{n a 为等比数列，则)0}({=/k ka n 也为
(5)若 ,,,,4321a a a a 排列的一列数n a 为等比数列，则按,1a ,,53a a 排列的一列数也为 8．等差数列与等比数列的比较
(1)相同点：①强调的都是 的关系． ② 或 确定．
(2)不同点：①等差数列强调的是每一项与其前一项的 ，等比数列强调的是每一项与其前一
项的 .
②等差数列的首项和公差可以为零，等比数列的首项和公比
③等差中项唯一，是 ，等比中项有 ，分别为_____________ . 即两个正数（或两个负数）的等比中项有 ，它们互为 ；一个正数和一个负数 等比中项，
要点核心解读
1．等比数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项之比都等于同一常数q ，这个数列叫等比数列，常数q 叫做等比数列的公比
定义还可以叙述为：在数列}{n a 中，若),(1
++∈=N n q a a
n
n 则}{n a 是等比数列．易知.0=/q 关于定义理解的几点注意：
(1)由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此g 也不能是0； (2)“从第二项起”是因为首项没有“前一项”；
n
n a a 1)3(+均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意义，同时还要注意公比是每一项与其前一
项之比，防止前后次序颠倒；
(4)如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从第2项起或第3项起是一个等比数列；
(5)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与n 无关的常数，但却是不同的常数，这时此数列不是等比数列；
(6)常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列：若常数列是各项都为O 的数列，它就不是等比数列．当常数列各项不为0时，是等比数列；
(7)证明一个数列为等比数列，其依据是),(1
++∈=N n q a a
n
n 利用这种形式来判定，就便于操作了； (8)在现实生活及国民经济建设中，常出现增长率（降低率）、利率等问题，多与等比数列有联系，应用广泛．
2．等比中项
在任意两个非零实数a 和b 之间，也可以插入n 个数使之成为等比数列，但要注意，在实数范围内，当a >0时，a 、b 之间可以插入任意个数，当ab <0时；在a 和b 之间只能插入偶数个数使之成为等比数列. 当ab >0时，在a 和b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么，G 就叫做a ，b 的等比中项．
.,2ab G ab G G
b
a G ±==∴=， 3．通项公式
等差数列的通项公式是用不完全归纳法得到的．类似地，在等比数列}{n a 中，由等比数列的定义，有：
===q a a q a a 2312;;)(211q a q q a =.)(312134 q a q q a q a a ===
归纳可得：1).0(11
11==/⋅⋅==--n q a q a q a a n n n 时，等式也成立，即对一切+∈N n 成立．于是可得：
等比数列的通项公式为⋅=/⋅⋅=-)0(11
1q a q
a a n n
除了上面的证明方法，也可以用累乘法来证明，如下：因为}{n a 是等比数列，所以2≥n 时，有
,,,,34
2312 q a a q a a q a a ===⋅=-q a a n n 1将上面n-l 个等式的左右两边分别相乘，得..2312a a a a ,..1134--=n n n q a a a a 即11
-=n n q a a 所以).2(1
1≥=-n q a a n n 当n=l 时，左边,1a =右边,1a =所以等式成立．所以等比数列的通项公式为：).0(111=/⋅⋅=-q a q a a n n
(1)对于等比数列的通项公式，我们还要注意如下几点： ①不要把n a 错误地写成.1n n q a a =
②公比q 是任意一个常数，可以为正数，也可以为负数，在不同数列中，公比q 可以有不同的取值．但
在同一数列中，公比q 的值不变．
③对于公比g ，它是“从第2项起，每一项与它的前一项的比”，不能把相邻两项的次序颠倒．
④由等比数列的通项公式，已知n a q a n ,,,1中三个便可求出另外一个量，即“知三求一”， ⑤在碰到与等比数列的某一项有关的问题时，常常运用等比数列的通项公式来解决． (2)用函数观点看等比数列的通项公式，
等比数列的通项公式可整理为.1
n n q q a
a ⋅=当q 为不等于l 的正数时，x q y =是一个指数函数，而
x q q a y ⋅=1是一个不为零的常数与指数函数的积．因此，等比数列}{n a 中的各项所表示的点离散地分布在
第一或第四象限，并且当1=/q 时，这些点在曲线x q q
a
y ⋅=1上． 当⎩⎨⎧>>1,01q a 或⎩
⎨⎧<<<10,
01q a 时，}{n a 是递增数列，反之也对，
当⎩⎨
⎧<<>10,01q a 或⎩
⎨⎧><1,
01q a 时，}{n a 是递减数列，反之也对，
当q=l 时，}{n a 是常数列，
当q<0时，}{n a 是摆动数列（它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但奇数项与偶数项异号）． 4．等比数列的主要性质
若数列}{n a 是公比为g 的等比数列，则
(1)若,,,,,+∈+=+N q p n m q p n m 则,..q p n m a a a a =
);()2(+-∈⋅=N n m q a a h m n m n
,0.)3(2>+n n a a 即奇数项与奇数项同号，偶数项与偶数项同号；
(4)下标成等差数列的项构成等比数列；
(5)数列)0}({=/λλn a 仍是公比为q 的等比数列；
(6)若}{n b 是公比为q 的等比数列，则数列}{n n b a ⋅是公比为q q ⋅的等比数列．
5．解题基本方法
(1)直接依据等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式（下节将要学习）思考并解决有关等比数列的问题是最基本的解题方法，也是十分重要的解题方法．
(2)注意灵活选设未知数，例如，当三个数成等比数列时，可设这三个数分别为
;,,aq a q
a
当四个数成等比数列且公比为正数时，可设这四个数分别为
.,,,33
aq aq q
a
q a 依次类推． （3)在要求的几个数中，若有若干个数成等差数列，若干个数成等比数列，应尽可能先考虑用等差数列的条件设未知数，
典例分类剖析
考点1 等比数列的定义 命题规律
(1)利用等比数列的概念判断或证明某个数列是否为等比数列． (2)等比数列定义的变式应用．
[例1] 设数列}{n a 的前n 项和为,n S 且+=/+1,0n n S a ⋅>=+)1|(|1k ka s n n 问数列}{n a 是否为等比数列？并说明理由．
[答案] ,1111,++++=-=+n n n n n n a s S ka S S y
,)1(211+++=∴n n a k s 则),2()1(2≥+=n a k S n n
以上两式相减得：
),2()1()1(211≥+-+=++n a k a k a n n n ⋅≥+=-∴+)2()1()1(1n a k a k n n
).2(1
11≥-+=∴+n k k a a n n
又⋅-=
=+∴=+1
2
2,1
2.
221221k a a
ka a a ka S s 若}{n a 为等比数列，则
,1
2
11-=-+k k k ,1=∴k 这与1||>k 矛盾．}{n a ∴不是等比数列．
[方法技巧] 判定或证明数列}{n a 是否为等比数列，一般用如下三种形式说明：q a a n n ⋅=-1①
=/≥q n ,2();0);0,2(.112=/≥=+-n n n n a n a a a ②q c q c a n
n ,(⋅=③为非零常数）
，本例用了形式①， 说明某数列不是等比数列时，可以通过已知的某三个项连续不成等比数列来证明，也可用反证法．
母题迁移 1．(1)已知,2,1111++=+=n n n a S S a 求通项⋅n a
(2)（2010年杭州调考题）已知数列},{n C 其中+=n n C 2,3n 且数列}{1n n pc C -+为等比数列，求常数p ．
考点2 通项公式的运用和等比数列的设项法 命题规律
(1)利用等比数列的通项公式判断某些项是否是等比数列中的项． (2)利用“对称设项”的方法来解决等比数列问题．
[例2] 已知无穷数列,,10,,10,10|10 s
n s
s
-求证：
(1)这个数列是等比数列；
(2)这个数列中的任一项是其后第5项的
;10
1 (3)数列中任两项之积仍为数列中的项． [答案] (1)任取数列中的相邻两项==+-15
1,10
n n n a a ,105
n
则.101010
55
15
1t
n rl n
n a a ==-+
由等比数列定义可知此数列为等比数列． (2)任取数列中一项,10
5
1-=m m a 则其后第5项应为=+5m a 5
410
+m
则⋅=
===-----+10
1
1010
1010
15
4
15
5
15
m m m m m a a 问题得证． (3)任取数列中两项,10
,105
121|17-===n n s
n n a a
则5
2
215
121|2|110
10
10
-+--=⋅=⋅n n n s
n n n a a
,1,121≥≥n n 且,,,2]21n n N n n =/∈+ ,0221>-+∴n n 且⋅∈-++N n n 221
2n n a a ∴符合已知数列中项的特点，
即,21n n a a 为数列中的项．
[启示] 由本例可知，等比数列的通项公：式是解决某些问题的关键，它的作用在于用较少的量
1(a 和q ）来表示数列中任意一项，它就是起到了“消元”的作用．
母题迁移2．在四个正数中，前三个数成等差数列，和为48，后三个数成等比数列，积为8000.求此四个数，
考点3 等比数列性质的应用 命题规律
(1)利用等比数列的性质简化计算，优化解题过程．
(2)等比数列性质的灵活运用．
[例3] (1)在1与100之间插入n 个正数，使这n+2个数成等比数列，则插入的n 个数的积为 (2)实数等比数列}{n a 中，,24,352==a a 则数列,,,741a a a ,10a 的通项公式为 [解析] (1)利用性质“”q n m a a a a ρ=便可迅速获得，设插入的n 个数为,,,,,2121n n a a a G a a a = 则,)1001()())()((1231212n n n n n a a a a a a a a G ⨯==--
.10n G =∴
22233252328~,)2(--⨯====∴=n n n q a a q q q a a
由题意知，数列 ,,,,10741a a a a 的通项
432323--⨯==n n n a b
[答案] n 10)1( 4323)2(-⨯n
母题迁移3．在等差数列}{n a 中，若,010=a 则有等式)(...192121N n a a a a a a n n ∈+++=+++- 成立，类比上述性质，相应地，在等比数列}{n b 中，若,19=b 则有等式 成立．
考点4 等比数列实际应用题 命题规律
(1)利用等比数列的知识从实际生活中抽象出等比数列模型． (2)利用等比数列的有关知识解决一些简单的实际问题．
[例4] 从盛满a 升（a>1）纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水加满，如此继续下去，问第n 次操作后溶液的浓度是多少？若a=2，至少应倒几次后才能使酒精浓度低于10%? [解析] 开始的浓度为1，操作一次后溶液的浓度是=1a ,1
1a
-
操作n 次后的溶液浓度可构成一个数列 },{n a 此数列为等比数列．
[答案] 设操作n 次后溶液的浓度为n a 依题意可得=1a ),11(1,11a a a a n n -=+-}{n a ∴是以a
11- 为首项，a
1
1-
为公比的等比数列． ,)11(11n n n a q a a -==∴-即第n 次操作后酒精的浓度为.)1
1(n a -
当a=2时，由,10
1
)21(<
=n n a 得.4≥n 故至少应操作4次后才能使酒精浓度低于10%．
母题迁移4．李政道博士1979年访问中国科技大学，给少年班同学提出一个“猴子分苹果”的趣题：海滩边5只猴子分一堆苹果，第一只 猴子把苹果分成5等份，还多一个，把多的一个扔到海里，取走一份；第二只猴子把剩下的分成5等份，也多一个，把多的一个扔到海里，取走一份，以后的3只猴子都是如此办理，问最初至少有多少个苹果？最后至少剩下多少个苹果？
考点5 可化为等比数列的递推数列问题
命题规律
(1)利用给出的递推关系转化为等比数列． (2)利用等比数列知识解决简单的综合问题．
[例5]设二次方程),3,2,1(0112 ==+-+n x a x a n n 有两根α和β，且满足,3626=+-βαβα (1)试用n a 表示 ,1+n a (2)求证}3
2{-n a 是等比数列； (3)当6
7
1=
a 时，求数列}{n a 的通项公式． [解析] 它是有关数列、二次方程的根与系数关系的综合题．根据题目条件列出等量关系，，找到递推关系即可获解．
[答案] (1)根据根与系数关系，有关系式
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=
=+n
n
n a a a
1,
1αββα代入题设条件,32)(6=-+αββα
得.32
61=-+n
n n a a a
).,3,2,1(3
1
211 =+=
∴+n a a n n (2)因为,31211+=+n n a a 所以⋅-=-+)32(21321n n a a 故数列}32{-n a 是以21
为公比的等比数列
(3)当671=a 时，⋅=-21
321a
故数列}32{-n a 是首项为,21321=-a 公比为21
的等比数列．
⋅=+=∴),3,2,1()2
1
(32 n a n n
即数列}{n a 的通项公式为,2,1()21(32=+=n a n
n ).,3
[启示] 将二次方程根与系数的关系与数列联系起来，将数列的递推关系式用方程根与系数的关系表示出来，从而求出数列的通项公式．
问题：31211+=
+n n a a 恒等变换为：=-+321n a )3
2
(21-n a 是怎样变换得到的呢？同类问题在没有(2)问的提示下你能解决吗？
母题迁移 5．(1)数列}{n a 满足0a 为常数，-=-13n n a ,21-n a 求数列}{n a 的通项公式； (2)已知数列}{n a 的前n 项和n s 满足,)1(2n
n n a S -+=,1≥n 求数列}{n a 的通项公式．
优化分层测讯
学业水平测试
1．已知等比数列}{n a 的公比,3
1-=q 则
86427
531a a a a a a a a ++++++等于( )．
3
1.-A 3.-B 31
.C 3.D
2．若a ，b ，c 成等比数列，其中n c b a ,0<<<是大于1的整数，那么n n og n c b a log ,],log 组成的数列是( )．
A ．等比数列
B ．等差数列
C ．每项的倒数成等差数列
D ．第二项与第三项分别是第一项与第二项的n 次幂
3．已知}{n a 是等差数列，公差,0=/d 且931,,a a a 成等比数列，则⋅++++10
429
31a a a a
a a 等于( )．
167.
A 169.
B 16
11.C 1613
.D
4．一个各项均为正数的等比数列，其任何项都等于它后面两项的和，则其公比是( )．
25.
A 251.-
B 5
2.C 21
5.-D
5．在等比数列}{n a 中，,36,462==a a 则=10a
6．在6和768之间插入6个数，使它们组成共有8项的等比数列，则这个等比数列的第7项是 7．已知等比数列}{n a 中，,20,55331=+=+a a a a 则公比=q
8．在利用电子邮件传播病毒的例子中，如果第一轮感染的计算机数是100台，并且从第一轮起，以后各
轮的每一台计算机都可以感染下一轮的30台计算机，到第5轮可以感染到多少台计算机？
高考能力测试
（测试时间：90分钟测试满分：100分）
一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意）
1．（2009年江西高考题）公差不为零的等差数列}{n a 的前n 项和为,n S 若4a 是3a 与7a 的等比中项，
,328=s 则10s 等于( )．
18.A 24.B 60.C 90.D
2．（2009年广东高考题）已知等比数列}{n a 满足,1,0=>n a n ,,2 且),3(2.2525≥=-n a a n n 则当1≥n
时，+12]a og =++-12232log log n a a ( )．
)12(.-n n A 2)1.(+n B 2.n C 2)1.(-n D
3．在等比数列}{n a 中，公比.120,30,04321=+=+<a a a a q 则通项公式为( )．
1210.-⋅=n n a A 1)2(30.---=n n a B n n a C )2(30.-= n n a D 230.⋅-=
4．随着市场的变化与生产成本的降低，每隔5年计算机的价格降低2000,3
1年价格为8100元的计算机到
2015年时的价格应为( )．
A ．900元 B.2200元 C.2400元 D ．3600元
5．在等比数列}{n a 中，,124,512.8374=+-=a a a a 且公比q 为整数，则10a 的值等于( )． 512.-A 512.B 4096.C 4096.-D
6．一个直角三角形三边的长成等比数列，则( )．
A ．三边边长之比为3:4:5
B ．三边边长之比为3:3:1
C ．较小锐角的正弦为2
15- D ．较大锐角的正弦为2
15- 7．三个互不相等的实数a ，1，b 依次成等差数列，且22,1,b a 依次成等比数列，则
b
a 11+的值是( )． A.2 B ．-2 C.2或-2 D ．不确定
8．如果-1，a ，b ，c ，-9成等比数列，那么( )． 9,3.==ac b A
9,3.=-=ac b B
9,3.-==ac b C
9,3.-=-=ac b D
二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分）
9．（2009年浙江高考题）设等差数列}{n a 的前n 项和为,n s 则1216812484,,,S S S s s s s ---成等差数列．类
比以上结论有：设等比数列}{n b 的前n 项积为,n T 则,4T ， ，12
16T T 成等比数列． 10.（2011年江苏高考题）设,1721a a a ≤≤≤= 其中,,31a a 75,a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a
成公差为1的等差数列，则q 的最小值是
11.（2010年黄冈中学模拟题）已知等差数列}{n a 的公差,0=/d 且931,,a a a 成等比数列，则=++++1074963a a a a
a a 12.（2010年南昌市模拟题）设}{n a 为公比q>l 的等比数列，若2004a 和2005a 是方程03842
=+-x x 的两
根，则=+20072006a a
三、解答题（本题包括3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
13.（13分）（2009年全国高考题）设等差数列}{n a 的前n 项和为,n s 公比是正数的等比数列}{n b 的前n
项和为,n T 已知.17,3,13311=+==b a b a ,1233=-S T 求}{},{n n b a 的通项公式．
14.（13分）（2010年北京模拟题）已知=-=)(,)1()(2x g x x f ),1(4-x 数列}{n a 满足)(,211n n a a a -=+
=+)()(n n a f a g ,0数列}{n b 满足),()(31+-=n n n a g a f b 求数列}{n b 的最大项和最小项．
15.（14分)是否存在一个等比数列},{n a 使其满足下列三个条件：11)1(61=+a a 且;9
3243=a a );()2(1++∈>N n a a n n (3)至少存在一个),4,(>∈+m N m m 使++-121,,32m m m a a a 9
4依次成等差数列．若存在，请写出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．。