大学高等数学ppt课件第六章2矩阵及其运算

2020/4/4
1 0 1
1
例如：
0
2 1
3
2
2 1
2 1
2
0
6 4
7 4
5
2
1 0 1
2
1
2 1
2 0
1
0
2 1
3
2
无意义！
AB存在，BA无意义，ABBA
注意： 左边矩阵 的列数
右边矩阵 的行数
2020/4/4
例题：计算下列各题
0
（1） 1
2
0
1
(1 0 2 1 0 1 ) 2
●单位矩阵——主对角线上的元素都是1的对角形矩阵，
简记作 E
。如：
n
1
0
0
1
E2
1
0 0
0 1 0
0
0
E3
1
1 0 ...... 0
0
1 ...... 0
......
En
0 0 . . . . . . 1
等……
2020/4/4
●上三角形矩阵——主对角线下方元素全为零、上方的
元素不全为0的方阵。如：
2 1 2
0
1
0
0 0 1
a11 a12 ......a1n
0
a 22
......a 2n
......
0 0 . . . . . . a n n
等……
2020/4/4
●下三角形矩阵——主对角线上方的元素全为零，下方 的元素不全为0的方阵。
2 0 0
4
●方阵——行数和列数相等的矩阵。如：
0 0
0
0
二阶方阵
1 1 1
2
2
2
0 0 0
三阶方阵
a11 a12 ......a1n
a 21
a 22
......a 2n
......
a n 1 a n 2 . . . . . . a n n
等……
n阶方阵
●零矩阵 ——所有元素都为零的矩阵，简记作 0 m n 。
2020/4/4
例3 当λ、μ为何值时，下面的方程组有非零解？
x1 x2 x3 0
x1
x2
x3
0
x1
2
x2
x3
0
解 因为系数方程组的行列式为
11 D 1 1 3(1)
1 2 1
所以当 λ=1 或 μ=0 时，原方程组有非零解
2020/4/4
● 矩阵的引入
用加减消元法求解二元一次方程组
n
1 1 1 0 0 0 AB 0
（7）
0
0
1
0
0
0
A0或 B0
1110 111 2 00 （8） 00 10 00 1 2 00
ABAC BACA 2020/4/4
B C 矩阵的乘法运算 B C 不满足消去律
●矩阵相乘的运算规律：
（1）ABCABC
一般地：
1 ABBA
设
A
M
O
a m1 L
a1n
M
a mn
AmnAmnO mn
，则称矩阵
a11 K
M
O
a m1 L
a1n
M
为A
的负矩阵，记作
A
。
a m n
若A、B为同型矩阵，则规定 ABA(B)，
即 ABaijbij m n
2020/4/4
●数乘矩阵（见教材P235定义3）
若
Aaij
2020/4/4
当 a11a22a12a210 时
x1
b1a22 a11a22
b2a12 a12a21
x2
b2a11 a11a22
b1a21 a12a21
可见，在求解方程组的过程中，只有方程组 的系数和常数项进行运算，未知量只是进行同类 项的合并。
在日常生活中，我们也经常关心一些数表： 如价格表、股票行情表、财务报表等等，这些重 要的“矩形数表”，在数学学科中，则可用矩阵 来表示。
1 A A A
2 A A A 4 1.5 1
3 A B A B
X
1
2.5
1
3.5 5.5 2.5
3 1 0
1 0 2
设
A
1
3
2 4
1
2
，B
1
2
1 1
1
，求满足
1
方程 3A2XB的X 。
2020/4/4
●矩阵的乘法（见教材P235定义4）
a11 K
设
A
M
a21x 1a22 x 2 L a2n xn 0 ........................................
an1x 1an2 x 2 L ann xn 0
这样的方程组一定有解，至少有零解
x1x2Lxn0
根据Crammer法则，当系数行列式D≠0时，齐次线性
方程组只有唯一的零解；否则，当系数行列式 D=0 时，
（1）
的系数行列式D不等于零， 则方程组有唯一解
L x 1
D1 , D
x2
D2 , D
2020/4/4
, xn
Dn D
证明
例1 用Cramer法则求解线性方程组
x1 x2 x3 x4 5 2x1x1 23xx2 2x3x345xx4 422 3x1 x2 2x3 11x4 0
解 系数行列式为
0
如 0 ... 0
0
0
0 0
0
0
0 00
0
0
0
等……
2020/4/4
●对角形矩阵——主对角线上的元素不全为零，其它的
元素都为0的方阵，简记作 。
0 0
0
2
2 0 0
0 0
0 0
0 9
a1 0 L 0
0
a2 L
0
L L O L
0 0
a n
等……
Байду номын сангаас
2020/4/4
性质 AkAl Akl 2020/4/4
Ak l Akl
●线性方程组的矩阵表示法（2）
a11x1 a12x2 ...... a1nxn b1
a21x1 a22x2 ...... a2nxn b2
齐次线性方程组有非零解（无穷多个）。
2020/4/4
例2 当k为何值时，下面的方程组只有零解？
x1 kx2 2 kx3 0
k
x1
x2
2kx3
0
x1 2 x2 5 x3 0
解 因为系数方程组的行列式为
1 k 2k Dk 1 2k k26k5(k5)(k1)
12 5
所以当 k≠5且 k≠1时，原方程组只有零解
D4 2
3
1
142 2
31 2 0
所以 x 1 D D 1 1 ,x 2 D D 2 2 ,x 3 D D 3 3 ,x 4 D D 4 1
2020/4/4
小结：Crammer法则的使用有极大的局限性
（1） Crammer法则只能用于求解方程个数与未知数 个数相等的线性方程组；
（2） Crammer法则只能求得系数行列式不为零时的 线性方程组的唯一解；
1
0
5 3 7
a11 0 L 0
a
21
a 22
L
0
L L L L
a n 1 a n 2 L a n n
2020/4/4
●同型矩阵：有相同的行数与相同的列数的
两个矩阵，称为同型矩阵。
如： A10
1 4
0 3
1 7
C
0
1
0
5 2 0
4
3
0
B
1 0
1 0
1 0
1 0
D
7 1
2020/4/4
● 矩阵的概念
矩阵的定义（见书P233定义1） 矩阵的一般形式如下：
a11 a12 ......a1n
a
21
a 22 ......a 2n
......
a m 1 a m 2 . . . . . .a m n
a 其中：i j 称作矩阵的元素。 a i j 的第一个下标 i 称为行标，
i
行
am1 L
a1t
b11
M B
amt mt
M bt1
K b1n
j
列
M
L btn tn
c11 K 则 ABC M O
cm1 L
c1n
M
左矩阵 A的列数
右矩阵 B的行数
cmn mn
其中 c ij a i1 b 1j a i2 b 2j ... a itb tj
(i 1 ,2 ,...m ; j 1 ,2 ,...n )
称为方程组的增广矩阵
2线020/4性/4 方程组与矩阵之间可建立一一对应的关系
几种特殊形式的矩阵
●行矩阵（行向量）——只有一行的矩阵。
1 2 1 2 4 a1 a2 ...an 等……
●列矩阵（列向量）——只有一列的矩阵。
1
1
2
0
9
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a1
a
2
等……
M
a m
0 0
0 0
0
0
1 0 0
1
0
0 1
0 0
1 0
0 1
例题：已知
x2
A
0
yx 1
z7
5
，
3x z1 z7
B
0
x
z1 ，且 A B ，
求 x, y, z 的值。
x 2 3x
关 系 式
y x z 1
1
x
5 z 1
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x1 y2 z 4
● 矩阵的基本运算及性质
（2）ABCACBC, 2 AB0
CABCACB,
A 0或B 0
（3）kA B kA B A kB 3 ABAC
（4）E m A m nA m nE nA m n
（5）0A0, A00
或 BACA BC
若 A 是方阵，则乘积 AA......A有意义，记作 A k
称为 A 的 k 次幂。
●矩阵的加法（见P234定义2）
ABaijbij m n
显
注意：只有同型矩阵才能相加。
然
例
12 1
1 0201
21313
1 3
成 立
矩阵加法的运算规律： （1）交换律 A+B = B+A
Am nO m nAm n
（2）结合律 （A+B）+C = A+（B+C）
2020/4/4
●矩阵的减法
a11 K
11 1 1
1 2 1 4
D
142
2 3 1 5
3 1 2 11
2020/4/4
5111
2 2 1 4
D1 2
3
1
142 5
0 1 2 11
11 5 1
1 2 2 4
D3 2
3
2
426 5
3 1 0 11
15 1 1
1 2 1 4
D2 2
2
1
284 5
3 0 2 11
11 1 5
1 2 1 2
8 2
9 3
只有矩阵 A 与矩阵B 同型
2020/4/4
●相等矩阵：若 A、 B 两矩阵同型且对应位置上 的元素相等，则称A、 B 相等，记 作A B 。
注意：同型是相等的必要条件。 如：
2 0 0
0 0
2 0
0 2
2 0
0 2
1
1
1
1
2020/4/4
0 0 0
0
0
0 0
j 第二个下标 称为列标。
简称为mn矩阵，简记作 A(aij )mn
2020/4/4
a11x1 a12x2 ...... a1nxn b1 设有线性方程组 La21Lx1 a22x2 ...... a2nxn b2
am1x1 am2x2 ...... amnxn bm
a11 a12 ......a1n
aa2111
x1 x1
a12 a22
x2 x2
b1 b2
（1） （2）
(1)a22(2)a12 得
(a 1 1 a 2 2 a 1 2 a 2 1 )x 1 b 1 a 2 2 b 2 a 1 2
(2)a11(1)a21 得
(a 1 1 a 2 2 a 1 2 a 2 1 )x 2 b 2 a 1 1 b 1 a 2 1
即如果方程个数与未知数个数不相等，或系数 行列式等于零，则Crammer法则失效。
（3）计算量大，要计算 n+1 个 n 阶行列式的值。
如何解决这些问题呢？留待第七章解决。
2020/4/4
●齐次线性方程组
常数项全为零的线性方程组，称为齐次线性方程组。
a11x 1 a12 x 2 L a1n xn 0
a
21
a 22 ......a 2n
......
a m 1 a m 2 . . . . . .a m n
称为方程组的系数矩阵
a11 a12 ...... a1n b1
a
21
a 22 ......a 2n
b2
......
a m 1 a m 2 . . . . . .a m n b n
,kR，则
mn
kA kaij
mn
注意：数乘矩阵时， 矩阵的每一元素都要乘以常数K。
如：313
2 3 4 9
6 12
2 0 0
2
E3
0
2
0
0 0 2
k 0 ...... 0
kE n
0
k
......
......0
0 0 ......k
数量矩 阵
等……
2020/4/4
●数乘矩阵的运算规律：
2
0
5
2
（6）
2 0
31
2
0
1
1
2
0
5
2
2020/4/4
同型 但不相等。
特殊 AB=BA
（1）一般地，ABBA，即乘法不满足交换律。
小
（2）当AB=BA时，称A、B为可交换矩阵，或 称A、B可交换。此时，A、B必为同阶方阵。
结
特别地，有：AnAnEnEnAn，即
可交换。
A
n与 E
2020/4/4
●行列式的应用——Crammer法则
如果线性方程组
a11x 1a12 x 2 L a1n xn b1
a21x 1a22 x 2 L a2n xn b2 ........................................
an1x 1an2 x 2 L ann xn bn
1
0
01 0 2 00
（2） 1
1
2
0
11
1 2
1
0
1
11 1 2 1 0
0 0 0
1
2
0
1 2 0
AB与BA不同型
ABBA
2020/4/4
1
（3）
1
2 0 2 1
1 0
2 2
1
1
0
（4）
1
1 1
0
1
2 2
1 1
2
2
（5）
1 0
1 2
1
0
3 2