第三章-命题逻辑的推理理论
命题逻辑的推理理论,证明方法
31
⑨p
前提引入
⑩ pp
⑧⑨合取
推理正确, q是有效结论
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唐存琛 刘峰
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课堂实训
应用实例1 分析下列事实“如果我有很高的收 入，那么我就能资助许多贫困学生；如果我能资 助许多贫困学生，那么我很高兴；但我不高兴， 所以我没有很高的收入。”试指明前提和结论， 并给予证明。
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归谬法(反证法)的说明
欲证明
前提：A1, A2, … , Ak 结论：B
将B加入前提, 若推出矛盾, 则得证推理正确.
理由: A1A2…AkB (A1A2…Ak)B (A1A2…AkB)
括号内部为矛盾式当且仅当 (A1A2…AkB)为重言式
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一、自然推理系统P的定义（续）
3. 推理规则 (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则 (4) 假言推理规则 (5) 附加规则 (6) 化简规则
(7) 拒取式规则 (8) 假言三段论规则 (9) 析取三段论规则 (10)构造性二难推理
规则 (11) 破坏性二难推理
规则 (12) 合取引入规则
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（5）分情况证明法
为了证明 A1 A2 An B , 只需证明对任意的 i (1 i n) ，均有 Ai B 。
（6）附加前提证明法
为了证明 A1 A2 An A B ,
只需证明 A1 A2 An A B
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离散数学课件03命题逻辑的推理理论
((┐p∧┐q)∨p) ∨ q
((┐p∨p )∧(┐q∨p)) ∨ q
(┐q∨p) ∨ q 1
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由定理 3.1可知， 推理正确。
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推理定律--重言蕴含式
(1) A (A∨B)
附加律
(2) (A∧B) A
化简律
(3) (A→B)∧A B
假言推理
(4) (A→B)∧┐B ┐A
拒取式
(5) (A∨B)∧┐B A
析取三段论
(6) (A→B) ∧ (B→C) (A→C)
假言三段论
(7) (AB) ∧ (BC) (A C)
等价三段论
(8) (A→B)∧(C→D)∧(A∨C) (B∨D) (A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A) B
构造性二难 构造性二难
(特殊形式)
(9)(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐精D选)课件pp(t ┐A∨┐C) 破坏性二难16
只要不出现(3)中的情况，推理就是正确的，因而判断 推理是否正确，就是判断是否会出现(3)中的情况。
推理正确，并不能保证结论B一定为真。
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例题
例3.1 判断下列推理是否正确。（真值表法）
(1) {p,p→q}├ q (2) {p,q→p}├ q
正确 不正确
p q p(p→q) q p(q→p)
推理是指从前提出发推出结论的思维过程。
前提是已知命题公式集合。
结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。
证明是描述推理正确或错误的过程。
要研究推理，首先应该明确什么样的推理是有效的或 正确的。
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4
命题逻辑的推理理论
概念
描述问题 的句子
命题逻辑的推理理论课件(离散数学)
一、自然推理系统P
自然推理系统P由三个部分组成：
1.
字母表：命题变项符号；联结词符号；括
号和逗号。
2.
命题公式。
3.
推理规则。
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二、推理规则
(1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则 (4) 假言推理规则 AB A \B (5) 附加规则 A \AB (6) 化简规则 AB \A (7) 拒取式规则 AB B \A (8) 假言三段论规则 AB BC \AC
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四、附加前提证明法
例6：用附加前提证明法构造证明下面的推
理： 2是素数或合数。若2是素数，则 2 是 无理数。若 2 是无理数，则4不是素数。所 以，如果4是素数，则2是合数。
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四、附加前提证明法
解： 设 p：2是素数， q：2是合数，
r： 2 是无理数，s：4是素数 推理形式结构 前提：pq, pr, rs 结论：sq
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五、归谬法
解：命题符号化
p：小张守第一垒 q：小李向B队投球
r：A队取胜
s：A队成为联赛第一名
推理的形式结构如下：
( p q ) r , r s , s , p 结论： q
前提：
41
五、归谬法
证一：归谬法（略） 证二：直接法 ① r s 前提引入
② s
③r
前提引入
5
前提是有限个公式的集合，而不是序列 。
二、推理的有效性
A1A2… Ak
0 0
B
0 1
推理的有效性 有效 有效
1
1
0
有效
无效
6
二、推理的有效性
定义：若对于每组赋值，当 A1A2…Ak
命题逻辑的推理理论
前提引入 ①化简 ①化简 前提引入 ②④假言推理 前提引入 ③⑥假言推理 ⑤⑦析取三段论
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附加前提法
有时推理旳形式构造具有如下形式 ： 前提：A1, A2, …, Ak 结论：CB
可将结论中旳前件也作为推理旳前提，使结论只为B。 前提：A1, A2, …, Ak, C 结论：B
理由： (A1A2…Ak)(CB) ( A1A2…Ak)(CB) ( A1A2…AkC)B (A1A2…AkC)B
当推理中包括旳命题变项较多时，上述三种措施演 算量太大。
对于由前提A1,A2,…,Ak推B旳正确推理应该给出严谨 旳证明。
证明是一种描述推理过程旳命题公式序列，其中旳 每个公式或者是前提，或者是由某些前提应用推理 规则得到旳结论（中间结论或推理中旳结论）。
要构造出严谨旳证明就必须在形式系统中进行。
31
例题
（2） 形式构造：
前提：(p∧q)→r,┐s∨p,q 结论：s→r
（3）证明：用附加前提证明法
①s
附加前提引入
② ┐s∨p
前提引入
③p
①②析取三段论
④ (p∧q)→r
前提引入
⑤q
前提引入
⑥ p∧q
③⑤合取
⑦r
④⑥假言推理
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归谬法（反证法）
有时推理旳形式构造具有如下形式：
前提：A1, A2, …, Ak 结论：B
只要不出现(3)中旳情况，推理就是正确旳，因而判断 推理是否正确，就是判断是否会出现(3)中旳情况。
推理正确，并不能确保结论B一定为真。
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例题
例3.1 判断下列推理是否正确。（真值表法）
(1) {p,p→q}├ q (2) {p,q→p}├ q
离散数学课件-3-命题逻辑的推理理论
第三章 命题逻辑的推理理论§1 推理的形式结构推理：从前提出发推出结论的思维过程。
前提：已知命题公式集合。
结论：从前提出发应用推理规则推出的命题公式。
定义设A1, A2, …, A k, B都是命题公式，若命题公式A1∧A2∧…∧A k→B是重言式，则称由前提A1, A2, …, A k推出结论B的推理是有效的或正确的，并称B是有效的结论。
推理的形式结构记为{A1,A2,…,A k}A B推理正确，记为{ A1,A2,…,A k }⊨B推理无效，记为{ A1,A2,…,A k }⊭B注①推理正确，结论未必为真。
②推理只注重结构。
例判断下述推理的正确性。
(1) {p, p→q}⊢ q(2) {p, q→p}⊢ q解 (1) p∧(p→q)→q⇔p∧(¬p∨q)→q⇔(p∧¬p)∨(p∧q)→q⇔p∧q→q⇔¬ (p∧q)∨q⇔¬p∨(¬q∨q)⇔¬p∨1⇔1故{p, p→q }⊨ q(2) p∧(q→p)→q让q =0，可得q→p =1，再取p =1可得p∧(q→p)=1 由此得p∧(q→p)→q有成假赋值1 0，故{ p, q→p }⊭ q判断推理正确性：1．真值表法。
2．等值演算法。
3．主析取范式法。
4．构造证明。
例判断下述推理是否正确？（1）若a能被4整除，则a能被2整除。
a能被4整除。
所以a能被2整除。
（2）若下午气温超过30℃，则王小燕必去游泳。
若她去游泳，则她就不去看电影了。
所以，若王小燕没去看电影，则下午气温必超过了30℃。
解(1) p：a能被4整除q：a能被2整除前提：p→q，p结论：q推理的形式结构：{p→q，p} A q前面已证此推理正确。
(2) p：下午气温超过30℃q：王小燕去游泳r：王小燕去看电影前提：p→q, q→¬r结论：¬ r→p推理的形式结构：{p→q，q→¬r} A(¬r→p)因为，(p→q)∧(q→¬ r)→(¬r→p)⇔m1∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7主析取范式显然不是重言式，故推理不正确。
3 命题逻辑的推理理论
（7）拒取式规则
AB B A
（8） 假言三段论规则
AB BC AC
（9）析取三段论规则
AB B A
（10）构造性二难推理规则
AB CD AC BD
（11）破坏性二难推理规则
AB CD BD AC
（12） 合取引入规则
A B AB
证明方法： ◦ 直接证明法 ◦ 附加前提法 ◦ 归谬法（或称反证法）
（2） 联结词符号： ┐， ， ， ， （3） 括号与逗号：( )，， 2. 合式公式（同合取联接词定义）
3. 推理规则
（1）前提引入规则 在证明的任何步骤上都可以引入前提。
（2）结论引入规则 在证明的任何步骤上所得到的结论都可以作为后继证明的前提。
（3）置换规则 在证明的任何步骤上，命题公式中的子公式都可以用与之等值的公
1、用不同的方法验证下面推理是否正确。对于正确的推理还 要在P系统中给出证明。 （1） 前提：pq, q
结论：p （2） 前提：qr, pr
结论：qp
（1）不正确。 验证答案，只需证明(pq)qp不是重言式。 方法一 等值演算
(pq)qp ((pq)q)p (pq)qp ((pq)(qq))p pq 易知10是成假赋值，故(pq)qp不是重言式，所以推理不正确。
数理逻辑
命题逻辑 一阶逻辑
命题和联结 词
命题变项
复合命题 公式
真值表 等值式与等
值演算 公式类型
范式
实际应用
析取范式 合取范式
主析取范式 主合取范式
根据下列真语句，请判断是谁谋害了张先生？ (1)A、B、C三人中至少有一人。 (2)如果张先生生前未饮过麻醉剂，那不是C。 (3)如果张先生曾饮过麻醉剂，那不是A。 (4)如果是A谋害的，那么B也参加了。 (5)如果作案在落雨前，则是A谋害的。 (6)如果作案不在落雨前，张先生临死前搏斗过。 (7)张先生临死前搏斗过，就不是B谋害的。 (8)经过法医解剖化验，张先生死前曾饮过麻醉剂。
3第三章 命题逻辑的推理理论
从语言角度, 推理分为语义和语法两种。 从语言角度, 推理分为语义和语法两种。 语义(semantics)推理注重内涵的正确性 也就是从真 语义(semantics)推理注重内涵的正确性, 也就是从真 推理注重内涵的正确性, 要推出真的结论来, 的前提出发要推出真的结论来 推理过程考虑得少, 的前提出发要推出真的结论来, 推理过程考虑得少,关 心的是结论的正确性。 心的是结论的正确性。 语法推理则注重形式上的有效, 注重推理过程是否符 语法推理则注重形式上的有效, 注重推理过程是否符 则注重形式上的有效 合某些事先规定的逻辑规则, 结论是严格遵循规则 合某些事先规定的逻辑规则, 若结论是严格遵循规则 有效的 得到的, 那便是有效 得到的, 那便是有效的。 数理逻辑主要采用语法推理, 数理逻辑主要采用语法推理, 它关心的是结论的有效 不关心前提的实际真值, 性，而不关心前提的实际真值, 当然语法推理作为一 种推理方法, 种推理方法, 它必须能反映客观事物中真实存在的逻 辑关系, 语法推理必须保证语义上的正确性 必须保证语义上的正确性。 辑关系, 即 语法推理必须保证语义上的正确性。
3、2.1节给出的24个等值式中的每个都可以 2.1节给出的 个等值式中的每个都可以 节给出的24 派生出两条推理定律。 派生出两条推理定律。 例如：双重否定律 A⇔¬¬A ⇔¬¬A 例如： 可以产生两条推理定律 A⇒¬¬A ¬¬A ¬¬A ¬¬A ⇒A
§3.2 自然推理系统P 自然推理系统P
由上一节知识可知，可以利用真值表法、等值演算法 由上一节知识可知，可以利用真值表法、 真值表法 和主析取范式法三种方法来判断推理是否正确。 和主析取范式法三种方法来判断推理是否正确。 三种方法来判断推理是否正确 但是，当推理中包含的命题变项较多时，以上三种 命题变项较多时 但是，当推理中包含的命题变项较多 方法的演算量太大。因此对于由前提A1, A2,…,Ak推 方法的演算量太大。因此对于由前提A B的正确推理应给出严谨的证明。 正确推理应给出严谨的证明。 证明是一个描述推理过程的命题公式序列， 证明是一个描述推理过程的命题公式序列，其中的每 是一个描述推理过程的命题公式序列 个公式是已知前提或者是由某些前提应用推理规则得 个公式是已知前提或者是由某些前提应用推理规则得 已知前提或者是 到的结论。 到的结论。
命题逻辑的推理理论
精品课件
实例
例 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所 以明天是5号.
解 设 p：今天是1号，q：明天是5号. 证明的形式结构为: (p®q)Ùp®q
证明（用等值演算法）
(p®q)Ùp®q Û Ø((ØpÚq)Ùp)Úq Û ØpÚØqÚq Û 1
得证推理正确
A Þ (AÚB)
附加律
(AÙB) Þ A
化简律
(A®B)ÙA Þ B
假言推理
(A®B)ÙØB Þ ØA
拒取式
(AÚB)ÙØB Þ A
论
析取三段
(A®B)Ù(B®C) Þ (A®C)
假言三段论
(A«B)Ù(B«C) Þ (A«C)
等价三段论
(A®B)Ù(C®D)Ù(AÚC) Þ (BÚD)
难
构造性二
推理的形式结构。
精品课件
说明（2）
设任一A1组，赋A2值，a…1a，2…Aka，n （B中ai＝共0出或现1n，个命i＝题1变，项2，，…对n于），
前提和结论的取值情况有以下四种：
（1） A1ÙA2Ù…ÙAk 为0，B为0； （2） A1ÙA2Ù…ÙAk 为0，B为1； （3） A1ÙA2Ù…ÙAk 为1，B为0； （4） A1ÙA2Ù…ÙAk 为1，B为1。
AB
(12) 合取引入规则
CD
课件
构造证明——直接证明法
例3.3 在自然推理系统P中构造下面推理的证明；
（1） 前提：p Ú q， q ® r， p ® s ， Ø s 结论：r Ù （p Ú q）
（2）前提： Ø p Ú q， r Ú Ø q ，r ® s 结论：p ® s
精品课件
逻辑学导论第三章
14
也可以用否定词、等值把矛盾关系表述如下：
◦ （1）SAP↔¬SOP ◦ （2）SEP↔¬SIP ◦ （3）SIP↔¬SEP ◦ （4）SOP↔¬SAP
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差等关系
◦ 亦称“从属关系”，指A与I、E与O之间的关系。我们可 以把它概括为：如果全称命题真，则相应的特称命题真； 如果特称命题假，则相应的全称命题假；如果全称命题假， 则相应的特称命题真假不定；如果特称命题真，则相应的 全称命题真假不定。
SAP 等 关 系 差 等 关 系 关 系 SIP 下反对关系 SOP 矛 盾 盾 矛 关 反对关系 系 差 等 关 关 系 系 差 SEP 差 等 关
差 a （某个 S） 是P 差
系 系 a（某个 S） 不是 P
等
等
关
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直言命题中词项的周延性
◦ 在直言命题中，若断定了一个词项的全部外延，则称它是 周延的，否则是不周延的。由此可知，直言命题中词项的 周延性有下述特点：
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以上五条三段论规则是基本的，用它们就足以把有 效的三段论与无效的三段论区分开来。为明确和方 便起见，有时还从它们证明、推导出一些规则，例 如：
◦ （6）两个特称前提不能得结论。 ◦ （7）如果两个前提中有一个特称，结论必然特称。
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根据三段论的一般规则，还可以证明有关三段论的 一些定理，例如：
◦ 定理 一个结论全称的正确三段论，其中项不能周延两次。
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三段论的特殊规则
第一格规则：
◦ （1）小前提必须肯定。 ◦ （2）大前提必须全称。
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第二格规则：
◦ （1）两个前提必须有一个否定。 ◦ （2）大前提必须全称。
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第三格规则：
◦ （1）小前提必须肯定。 ◦ （2）结论必须特称。
第三章推理的形式结构
充分性: 若蕴涵式(A1∧A2∧…∧Ak)→B为重言式，则对于任何赋 值此蕴涵式均为真，因而不会出现前件为真后件为假 的情况，即在任何赋值下，或者A1∧A2∧…∧Ak为假， 或者A1∧A2∧…∧Ak和B同时为真，这正符合定义3.1中 推理正确的定义。 由此定理知，推理形式： 前提：A1,A2,…,Ak 结论：B 是有效的当且仅当(A1∧A2∧…∧Ak)→B为重言式。
以引入前提。
（2） 结论引入规则：在证明的任何步骤上所得 到的结论都可以作为后继证明的前提。 （3） 置换规则：在证明的任何步骤上，命题公 式中的子公式都可以用与之等值的公式置换，得到 公式序列中的又一个公式。
（4） 假言推理规则
（5） 附加规则：
（6） 化简规则：
（7） 拒取式规则：
（8） 假言三段论规则：
A1,A2,…,Ak和B中出现的命题变项的任意一组赋值，
或者A1∧A2 ∧…∧Ak为假，或者当A1∧A2 ∧…∧Ak为 真时，B也为真，则称由前提A1,A2,…,Ak推出B的推 理是有效的或正确的，并称B是有效结论。 其中，前提是一个有限的公式集合，记为Г。 将由Г推B的推理记为Г├ B。 若推理是正确的，则记为Г B，否则记为Г B。
（9） 析取三段论规则：
（10） 构造性二难推理：
（11） 破坏性二难推理规则：
（12） 合取引入规则：
P中的证明就是由一组P中公式作为前提，利用P 中的规则，推出结论。当然此结论也为P中公式。
例3.3 在自然推理系统P中构造下面推理的证明： (1)前提：p∨q,q→r,p→s,┐s 结论：r∧(p∨q) 证明： ① p→s ② ┐s 前提引入
结论的否定 前提引入 前提引入 ②③析取三段 前提引人 ④⑤拒取式 ⑥置换 前提引入 ⑦⑧析取三段
第三章.命题逻辑
第三章命题逻辑重点：掌握数理逻辑中命题的翻译及命题公式的定义；利用真值表技术和公式转换方式求公式的主析取范式和主合取范式；利用规则、基本等价和蕴涵公式、三种不同的推理方法完成命题逻辑推理；难点：如何正确地掌握对语言的翻译，如何利用推理方法正确的完成命题推理。
数理逻辑是用数学方法来研究推理的形式结构和推理规律的数学学科，它与数学的其他分支、计算机学科、人工智能、语言学等学科均有十分密切的联系，并且益显示出它的重要作用和更加广泛的应用前景。
要很好地使用计算机，就必须学习逻辑。
数理逻辑分五大部分。
在离散数学中仅介绍命题逻辑和谓词逻辑。
命题逻辑是谓词逻辑的基础，只有掌握了命题逻辑，才能学好谓词逻辑。
对于命题逻辑，下面从六个知识点来加以阐述。
3.1 命题符号化及联系结词1 命题有确切真值的陈述句称为命题。
所谓确切真值是指在具体的环境，具体的时间，具体的对象，具体的位置等情况下能唯一确定真值的。
命题分为两种：(1) 简单命题：不能分解为更为简单的句子的命题。
(2)复合命题：能够分解为更为简单的命题。
2 命题联结词关于联结词，有如下几点要注意：（1）此联结词是联结的句子与句子之间的联结，而非单纯的名记号、形容词、数词等的联结；（2）此联结词是两个句子真值之间的联结词，而非句子的具体含义的联结，两句子之间可以无任何的内在联系；（3）联结词与自然语言之间的对应并非一一对应，如合取联结词“∧”对应了自然语言中的“既……又……”、“不仅……而且……”、“虽然……但是……”、“并且”、“和”、“与”等。
如蕴涵联结词“→”，P →Q 对应了自然语言中的“加P 则Q ”，“只要P 就Q ”，“P 仅当Q ”，“只有Q 才P ”，“除非Q 否则乛P ”等。
如等价联结词“←→ ”对应了自然语言中的“等价”、“并且仅当”、“充分必 ”等。
如析取联结词∨是对应相容的或(中兼的或)。
3.2 命题公式及分类一般称具有确切真值的简单命题叫命题常量，用P ，Q ，R ，…等表示。
离散数学最全最新答案--屈婉玲
第一章命题逻辑基本概念课后练习题答案4.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1；（2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1；（3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1；（4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0；（5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0.5.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1；（2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1；（3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；（4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1；（5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；6.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨；（2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；.7.因为p与q不能同时为真.13.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：（1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；（2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；（3）p q，真值为1；（4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1.16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s) ⇔（0↔1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)⇔0（3）（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔1(4)（π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数1答：p:q: 3是无理数02是无理数 1r:s: 6能被2整除1t: 6能被4整除0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
离散数学第三章 命题逻辑的推理理论
推理实例
例1 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是 号，则明天是 号. 今天是 号. 所以 明天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 今天是1号 所以, 明天是5号 (2) 若今天是 号，则明天是 号. 明天是 号. 所以 今天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 明天是5号 所以, 今天是1号 解 设 p：今天是 号，q：明天是 号. ：今天是1号 ：明天是5号 → ∧ → (1) 推理的形式结构 (p→q)∧p→q 推理的形式结构: 用等值演算法 (p→q)∧p→q → ∧ → ⇔ ¬((¬p∨q)∧p)∨q ¬ ∨ ∧ ∨ ∨¬q∨ ⇔ ¬p∨¬ ∨q ⇔ 1 ∨¬ 由定理3.1可知推理正确 由定理 可知推理正确
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练习1： 练习 ：判断推理是否正确
1. 判断下面推理是否正确 判断下面推理是否正确: (1) 前提：¬p→q, ¬q 前提： → 结论： 结论：¬p ∧¬q→¬ 推理的形式结构: ¬ → ∧¬ →¬p 解 推理的形式结构 (¬p→q)∧¬ →¬ 方法一：等值演算法 方法一： (¬p→q)∧¬ →¬ ∧¬q→¬ ¬ → ∧¬ →¬p ∧¬q)∨¬ ⇔ ¬((p∨q)∧¬ ∨¬ ∨ ∧¬ ∨¬p ∧¬q)∨ ∨¬ ∨¬p ⇔ (¬p∧¬ ∨q∨¬ ¬ ∧¬ ∨¬p ⇔ ((¬p∨q)∧(¬q∨q))∨¬ ¬ ∨ ∧ ¬ ∨ ∨¬ ⇔ ¬p∨q ∨ 易知10是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确 易知 是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确. 是成假赋值
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例4 前提：¬(p∧q)∨r, r→s, ¬s, p 前提： ∧ ∨ → 结论： 结论：¬q 证明 用归缪法 ①q 结论否定引入 ② r→s → 前提引入 ③ ¬s 前提引入 ②③拒取式 ④ ¬r ②③拒取式 ⑤ ¬(p∧q)∨r ∧ ∨ 前提引入 ④⑤析取三段论 ⑥ ¬(p∧q) ∧ ④⑤析取三段论 ∨¬q ⑦ ¬p∨¬ ∨¬ ⑥置换 ①⑦析取三段论 ⑧ ¬p ①⑦析取三段论 ⑨p 前提引入 ⑧⑨合取 ¬p∧p ∧ ⑧⑨合取
离散数学课后习题答案
第一章命题逻辑基本概念课后练习题答案1.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1；（2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1；（3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1；（4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0；（5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0.2.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1；（2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1；（3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；（4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1；（5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；3.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨；（2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；.4.因为p与q不能同时为真.5.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：（1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；（2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；（3）p q，真值为1；（4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1.返回第二章命题逻辑等值演算本章自测答案5.(1)：∨∨,成真赋值为00、10、11；(2)：0，矛盾式，无成真赋值；(3)：∨∨∨∨∨∨∨,重言式，000、001、010、011、100、101、110、111全部为成真赋值；7.(1)：∨∨∨∨⇔∧∧；(2)：∨∨∨⇔∧∧∧；8.(1)：1⇔∨∨∨,重言式；(2)：∨⇔∨∨∨∨∨∨；(3)：∧∧∧∧∧∧∧⇔0，矛盾式.11.(1)：∨∨⇔∧∧∧∧；(2)：∨∨∨∨∨∨∨⇔1；(3)：0⇔∧∧∧.12.A⇔∧∧∧∧⇔∨∨.第三章命题逻辑的推理理论本章自测答案6.在解本题时，应首先将简单陈述语句符号化，然后写出推理的形式结构*，其次就是判断*是否为重言式，若*是重言式，推理就正确，否则推理就不正确，这里不考虑简单语句之间的内在联系(1)、(3)、(6)推理正确，其余的均不正确，下面以(1)、(2)为例，证明(1)推理正确，(2)推理不正确(1)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*1)在本推理中，从p与q的内在联系可以知道，p与q的内在联系可以知道，p与q不可能同时为真，但在证明时，不考虑这一点，而只考虑*1是否为重言式.可以用多种方法（如真值法、等值演算法、主析取式）证明*1为重言式，特别是，不难看出，当取A为p,B为q时，*1为假言推理定律，即(p→q)∧p→q ⇒ q(2)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*2)可以用多种方法证明*2不是重言式，比如，等值演算法、主析取范式（主和取范式法也可以）等(p→q)∧q→p⇔(┐p∨q) ∧q →p⇔q →p⇔┐p∨┐q⇔⇔∨∨从而可知，*2不是重言式，故推理不正确，注意，虽然这里的p与q同时为真或同时为假，但不考虑内在联系时，*2不是重言式，就认为推理不正确.9.设p:a是奇数，q:a能被2整除，r:a：是偶数推理的形式结构为(p→q┐)∧(r→q)→(r→┐p) (记为*)可以用多种方法证明*为重言式，下面用等值演算法证明：(p→┐q)∧(r→q)→(r→┐p)⇔(┐p∨┐q) ∨(q∨┐r)→(┐q∨┐r) (使用了交换律)⇔(p∨q)∨(┐p∧r)∨┐q∨┐r⇔(┐p∨q)∨(┐q∧┐r)⇔┐p∨(q∨┐q)∧┐r⇔110.设p:a,b两数之积为负数，q:a,b两数种恰有一个负数，r：a，b都是负数.推理的形式结构为(p→q)∧┐p→(┐q∧┐r)⇔(┐p∨q) ∧┐p→(┐q∧┐r)⇔┐p→(┐q∧┐r) (使用了吸收律)⇔p∨(┐q∧┐r)⇔∨∨∨由于主析取范式中只含有5个W极小项，故推理不正确.11.略14.证明的命题序列可不惟一，下面对每一小题各给出一个证明① p→(q→r)前提引入② P前提引入③ q→r①②假言推理④ q前提引入⑤ r③④假言推理⑥ r∨s前提引入（2）证明：① ┐(p∧r)前提引入② ┐q∨┐r①置换③ r前提引入④ ┐q ②③析取三段论⑤ p→q前提引入⑥ ┐p④⑤拒取式（3）证明：① p→q前提引入② ┐q∨q①置换③ (┐p∨q)∧(┐p∨p) ②置换④ ┐p∨(q∧p③置换⑤ p→(p∨q) ④置换15.(1)证明：① S结论否定引入② S→P前提引入③ P①②假言推理④ P→(q→r)前提引入⑤ q→r③④假言推论⑥ q前提引入⑦ r⑤⑥假言推理（2）证明：① p附加前提引入② p∨q①附加③ (p∨q)→(r∧s)前提引入④ r∧s②③假言推理⑤ s④化简⑥ s∨t⑤附加⑦ (s∨t)→u前提引入⑧ u⑥⑦拒取式16.(1)证明：① p结论否定引入② p→ ┐q前提引入③ ┐q ①②假言推理④ ┐r∨q前提引入⑤ ┐r③④析取三段论⑥ r∧┐s前提引入⑦ r⑥化简⑧ ┐r∧r⑤⑦合取（2）证明：① ┐(r∨s)结论否定引入② ┐r∨┐s①置换③ ┐r②化简④ ┐s②化简⑤ p→r前提引入⑥ ┐p③⑤拒取式⑦ q→s前提引入⑧ ┐q④⑦拒取式⑨ ┐p∧┐q⑥⑧合取⑩ ┐(p∨q)⑨置换口p∨q前提引入⑾①口┐(p∨q) ∧(p∨q) ⑩口合取17．设p：A到过受害者房间，q: A在11点以前离开，r：A犯谋杀罪，s：看门人看见过A。
命题逻辑的推理理论ch
命题逻辑的符号体系
命题逻辑使用特定的符号来表示命题 和推理规则，这些符号包括逻辑联结 词（如∧、∨、→、¬等）、量词（如 ∀、∃）和括号等。
通过这些符号，命题逻辑能够精确地 表示命题之间的逻辑关系，并建立严 密的推理体系。
命题逻辑的基本概念
命题
命题是具有真假值的陈述句，它 描述了某个事物的性质或关系。 在命题逻辑中，每个命题都有一 个与之对应的真值，即真或假。
02
03
析取式推理
如果一个命题A的真，导致命题B或C 的真，那么我们可以从A推导出B或C。
推理规则的应用
01
逻辑推理
通过应用直接和间接推理规则， 我们可以推导出新的命题或验证 现有命题的真假。
演绎推理
02
03
归纳推理
通过应用直接和间接推理规则， 我们可以从一般到特殊推导出结 论。
通过应用直接和间接推理规则， 我们可以从特殊到一般推导出结 论。
规划与决策
03
基于逻辑推理的规划算法，用于机器人行动规划、智
能控制等领域。
在法律领域的应用
法律推理
利用逻辑推理对法律案例进行推理和分析，辅 助法官进行裁决。
法律知识表示
将法律知识表示为逻辑命题，构建法律知识库， 用于法律咨询、案例检索等。
法律证据分析
利用逻辑推理对法律证据进行分析和推理，辅助律师进行辩护。
方式，结论不是必然的，只是一种可能性。
02
归纳推理可以采用不同的方法，如简单枚举归纳、科
学归纳等。
03
归纳推理在科学研究、数据分析等领域中广泛应用，
可以帮助人们从大量数据中找出规律和趋势。
04 命题逻辑的推理方法
演绎推理方法
定义
《离散数学》课件-第3章命题逻辑的推理理论
判断方法一：真值表法
真值表的最后一列全为1，所以（（p∨q）∧┐p） →q为重言式。因而推理正确。
判断方法二：等值演算法
（（p∨q）∧┐p）→q ⇔ （（p∧┐p）∨（q∧┐p））→q ⇔ （ q∧┐p ）→q ⇔ ┐q∨p∨q ⇔1
因为（（p∨q）∧┐p）→q为重言式，所 以推理正确。
判断方法三：主析取范式法
★ ★★
可见，如果能证明★★是重言式，则★也是重言式。 在★★中，原来的结论中的前件A已经变成前提了，称A为 附加前提。称这种将结论中的前件作为前提的证明方法为 附加前提法。
例：在自然推理系统P中构造下面推理的证明 如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影。小
赵不去看电影或小张去看电影。小王去看电影。所 以，当小赵去看电影时，小李也去。
前提引入
② ┐s
前提引入
③ ┐p
①②拒取式（A→B）∧┐B⇒┐A
④ p∨q
B）∧┐B⇒A
⑥ q→r
前提引入
⑦r
⑤⑥假言推理（A→B）∧A⇒B
⑧ r∧（p∨q） ⑦④合取引入
（2）前提：┐p∨q，r∨┐q，r→s 结论：p→s
证明：
① ┐p∨q 前提引入
② p→q
①置换
（A→B）∧（C→D）∧（┐B∨┐D） ⇒（┐A∨┐C）
（12）合取引入规则：若证明的公式序列中出现过 A和B，则A∧B是A和B的有效结论。
推理规则（12个）
（1）前提引入规则 （2）结论引入规则（隐规则） （3）置换规则：等值置换 （4）假言推理规则：（A→B）∧A⇒B （5）附加规则：A⇒（A∨B） （6）化简规则：A∧B ⇒A （7）拒取式规则：（A→B）∧┐B⇒┐A （8）假言三段论规则：（A→B）∧（B→C）⇒（A→C） （9）析取三段论规则：（A∨B）∧┐B⇒A （10）构造性二难推理规则 （11）破坏性二难推理规则 （12）合取引入规则
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2．推理规则 （1）P 规则（前提引入规则）
在推导过程中，前提可视需要引入使用。前提可 以用在证明中的任何步骤上。
（2）T规则 （结论引入规则）
在推导过程中，利用推理定律可引入前面已导出 结论的有效结论。
3. CP规则 (附加前提规则)
（1）欲证： 前提：A1, A2, …, Ak 结论：CB （3）理由： (A1A2…Ak)(CB) （2）等价地证明 前提: A1, A2, …, Ak, C
假言推理
拒取式 析取三段论
(AB)(BC) (AC)
(AB)(BC) (AC) (AB)(CD)(AC) (BD) (AB)(AB)(AA)B
假言三段论
等价三段论 构造性二难 构造性二难(特殊形式)
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
析取三段论
A B
B
A
构造性二难：
AB CD AC BD
合取引入： A B A B
破坏性二难： AB CD BD AC
（1）推理定律——重言蕴涵式
A (AB) (AB) A 附加律 化简律
(AB)A B
(AB)B A (AB)B A
3．判断推理是否有效的方法（多种） （1）真值表法 （2）等值演算法 （3）主析取范式法
例 判断下面推理是否正确? （1）若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所以明天是5号. （2）若今天是1号，则明天是5号. 明天是5号. 所以今天是1号. 解 设p：今天是1号，q：明天是5号. 证明的形式结构采用（2）.
第三章 小 结 一、本章的主要内容及要求 1．主要内容 推理的形式结构的不同形式 判断推理是否正确的不同方法 ① 真值表法 ② 等值演算法
③ 主析取范式法
④ 形式证明…
2. 要求
理解并记住推理形式结构的如下形式：
① (A1A2…Ak)B
② 前提：A1, A2, … , Ak
结论：B
熟练掌握判断推理是否有效的不同方法（如真 值表法、等值演算法、主析取范式法等） 牢记P系统中各条推理规则（内容与名称）
P P
③ r
④ (p q ) r
T①②拒取式
P
⑤ (p q )
T ③④拒取式
例 构造下面推理的证明： 2是素数或合数. 若2是素数，则 2 是无理数. 若 2 是无理数，则4不是素数. 所以，如果4是 素数，则2是合数. 用附加前提证明法构造证明 （1）设p：2是素数，q：2是合数，
练习： 3.如果乐队不能演奏摇滚乐或者点心没有 准时送上来，那么新年音乐会就将取消， 并且玛丽会很生气。如果音乐会取消， 那么就要办理退款。没有办理退款。所 以乐队能演奏摇滚乐。
练习： 证明： (1)pq，(qr)r，(ps)s (2) (pq) (qr) p
前提：A1, A2, … , Ak
结论：B
（2）将B当前提，推出矛盾，得证（1）正确 （3）理由： A1A2…AkB (A1A2…Ak)B (A1A2…AkB) 括号内部为矛盾式当且仅当 (A1A2…AkB)为 重言式
例 前提： (pq)r, rs, s, p 结论：q
r： 2 是无理数， s：4是素数
（2）形式结构 前提：pq, pr, rs 结论：sq
（3）证明 ①s ② p r ③ rs ④ ps ⑤ p CP P P T②③假言三段论 T①④拒取式
⑥ p q
⑦q
P
T⑤⑥析取三段论
请用直接证明法证明之
4．归谬法（或称反证法）
（1）欲证 A1A2…AkB
P T (1)蕴含等值式 P T(2) (3) 假言三段论 T(4) 假言异位 P T(5)(6)假言三段论 T(7) 蕴含等值式
例：前提：pq,q(rs),r(t u), pt
结论：u (1)pq
(2)q(rs) (3)p(rs) (4)pt (5)p (6) (rs)
((pq)q)p
(pq)qp
((pq)(qq))p
p q 易知10是成假赋值，故()不是重言式，所以推理不正确.
方法二 主析取范式法 经过演算后可知 () m0m1m3 未含m2, 故()不是重言式.
方法三 真值表法，()的真值表为
p q 0 0 1 1 0 1 0 1 (pq)qp 1 1 0 1
结论（不正确）是对的 方法四 直接观察出10是成假赋值
解（2）答案：推理正确
方法一 真值表法（自己做）
方法二 等值演算法（自己做） 方法三 主析取范式法（自己做）
方法四 P系统中构造证明
证明：（直接证明法）
① pr （前提引入）
T③⑥析取三段论
T⑦附加
② rp ③ qr ④ qp （①置换） （前提引入） （③②假言三段论） 请用附加前 提证明法证 明之
2．在P系统中构造下面推理的证明： 如果今天是周六，我们就到颐和园或圆明 园玩. 如果颐和园游人太多，就不去颐和 园. 今天是周六，并且颐和园游人太多. 所 以我们去圆明园或动物园玩.
结论： B
( A1A2…Ak)(CB)
( A1A2…AkC)B
(A1A2…AkC)B
（1） pq （ 2） p q （ 3） q s （4） p s （ 5） s p （6） pr （7） s r （8） sr
三、构造证明 1．P规则（前提引入规则） 例：前提: (pq) , (pr) ,(qs) ； 结论: sr
若明天是星期一或星期三，我就有课。 若有 课，今天必备课。我今天下午没备课. 所以， 说明天是星期一或星期三是不对的。
构造证明（ 1 ）设 p ：明天是星期一， q ：明天 是星期三，r：我有课，s：我备课 （2）形式结构：
前提：(pq)r, rs, s
结论：(p用归缪法）
①q
② rs
结论否定引入
P
③ s
④ r ⑤ (pq)r ⑥ (pq)
P
T②③拒取式 P T④⑤析取三段论 T⑥置换 T①⑦析取三段论 P
请用直接证明法证 明之
⑦ pq ⑧ p ⑨p
⑩ pp
T⑧⑨合取
练习： 1.证明：(pr),qs ,p,q r∧s 2.在自然推理系统中构造下面推理的证明： 若小张喜欢数学，则小李或小赵也喜欢 数学。若小李喜欢数学，他也喜欢物理。 小张确实喜欢数学，可小李不喜欢物理， 所以小赵喜欢数学。
会用附加前提证明法及归谬法
二、练习
1．用不同的方法验证下面推理是否正确. 对于 正确的推理还要在P系统中给出证明.
（1）前提：pq, q 结论：p
（2）前提：qr, pr
结论：qp
解（ 1 ）答案：不正确。验证答案，需将推理形式结 构改为另一种形式 (pq)qp () 只需证明()不是重言式 方法一 等值演算 (pq)qp
P P T(1)(2)假言三段论 P T(4)化简律 T(5)(3)假言三段论
(7)r
(8) r(t u)
T(6)化简律
P
(9) (rt) u
(10) t
T(8)
T(4)化简律
(11) rt
(12) u
T(7) (10)合取
T(9) (11)析取三段论
例 用直接证明法构造下面推理的证明：
第1.5节 推理理论
本章的主要内容
推理的形式结构
形式证明
1 推理的形式结构 一、何为推理？
1．例 （1）若今天是星期一，则明天是星期二 （2）若ACBD，则AB且CD 2．推理——从前提出发推出结论的思维过程
上例中，（1）是有效的推理，而（2）是无效的 推理.
二、推理的形式结构及证明方法
（4）形式证明
形式证明的推理过程是一个命题序列，其中每个命题 或者是已知命题，或者是由某个前提根据推理规则推 出的结论，序列的最后一个命题是需要论证的结论。
1 推理定律
假言推理
AB A B
附加律
A AB
化简律 AB A
假言三段论
A B B C A C
拒取式 AB B A
（1）设 p：今天是周六， q：到颐和园玩， r：到圆明园玩， s：颐和园游人太多
（3）证明：
① p (q r) ②p ③ q r ④ sq P P T①②假言推理 P
t：到动物园玩
（2）前提：
⑤s
⑥ q
P
T ④⑤假言推理
p(qr), sq, p, s
结论：rt
⑦r
⑧ r t
1．推理的有效性 定义1 设A1, A2, …, Ak, B为命题公式
由前提A1, A2, …, Ak 推出结论B的推理形式表示为 （1）A1A2…AkB （符号表示推出） （2）前提： A1, A2, … , Ak 结论： B
2．推理的形式结构（多种形式）
定义2 若对于每组赋值，或者A1A2… Ak 均为假，或者当 A1A2…Ak 为真时， B 也为 真，则称由前提A1, A2, …, Ak推出B的推理是 有效的（正确），并称B是一组前提A1, A2, …, Ak 的有效结论；否则称推理是无效的（错误 的）。 定理1 命题公式A1, A2, …, Ak 推出B的推理 是有效的当且仅当 A1A2…AkB为重言式
（1）(pq)pq
（2）(pq)qp
证明（1）（用等值演算法） (pq)pq ((pq)p)q pqq 1 由定理1可知推理正确
证明：（2）（用主析取范式法） (pq)qp (pq)qp ((pq)q)p q p (pq)(pq) (pq)(pq) m0m2m3 结果不含m1, 故01是成假赋值,所以推理不正确