一次函数动点综合题(含解析)
一次函数之动点问题 (习题及答案).

一次函数之动点问题(习题)1.如图,在平面直角坐标系中,四边形AOBC 是正方形,已知点A 的坐标为(0,2),点D 在x 轴正半轴上,B 是线段OD 的中点,连接CD.动点P 从点O 出发,以每秒1 个单位长度的速度沿O→A→C→B 的路线向终点B 运动,动点Q 从点O 同时出发,以相同的速度沿O→B→D→B 的路线向终点B 运动.设△OPQ 的面积为S,点P 运动的时间为t 秒(0<t<6).求S 与t 之间的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围.2 2. 如图,直线 y =x +4 与 x 轴、y 轴分别交于点 A ,B ,直线 y =-x +b过点 B ,且与 x 轴交于点 C .动点 P 从点 C 出发,沿 CA 方向以每秒 1 个单位长度的速度向终点 A 运动,动点 Q 从点 A 同 时出发,沿折线 AB -BC 以每秒 个单位长度的速度向终点 C 运动.设点 P 运动的时间为 t 秒.(1) 设△CPQ 的面积为 S ,求 S 与 t 之间的函数关系式,并写出自变量 t 的取值范围;(2) 当 t = 时,PQ ∥AB ;(3) 当 0<t ≤4 时,若△APQ 是等腰三角形,求 t 的值.⎨ 【参考答案】⎧ 1 t 2(0 < t ≤2) 2 1. S = ⎪ 2 < t ≤ 4) . ⎨t ( ⎪ 1 2⎪ t - 7t + 24(4 < t < 6) ⎩ 2⎧ 1 t 2(0 < t ≤ 4) 2. (1) S = ⎪ 2 ⎪- 1 ⎩ 2(2) 16 ;3; t 2 + 4t (4 < t < 8) (3)t 的值为8 - 8 , 8 或 4. 32 ⎪。
中考数学之一次函数中的动点问题与实际问题(解析版)

专题一次函数中的动点问题与实际问题【例题精讲】题型一、角度问题例1. 【2019·莆田市期末】如图1,在平面直角坐标系中,直线AB经过点C(a,a),且交x轴于点A(m,0),交y轴于点B(0,n),且m,n满足√m−6+(n-12)2=0.(1)求直线AB的解析式及C点坐标;(2)过点C作CD⊥AB交x轴于点D,请在图1中画出图形,并求D点的坐标;(3)如图2,点E(0,-2),点P为射线AB上一点,且∠CEP=45°,求点P的坐标.【答案】见解析.【解析】解:(1)∵√m−6+(n-12)2=0,∴m=6,n=12,∴A(6,0),B(0,12),设直线AB解析式为y=kx+b,则:b=12,6k+b=0,解得:k=-2,b=12,∴直线AB解析式为y=-2x+12,∵直线AB点C(a,a),∴a=-2a+12,∴a=4,∴点C坐标(4,4).(2)过点C作CD⊥AB交x轴于点D,如图所示,设直线CD解析式为y=12x+n,边点C(4,4)代入得到n=2,即直线CD解析式为y=12x+2,∴点D坐标(-4,0).(3)如图,过点C作CF⊥CE交直线EP于点F,∵∠CEF=45°,∴CE=CF,过C 作x 轴垂线l ,分别过F 、E 作FM ⊥l ,EN ⊥l ,则△FMC ≌△CNE ,则FM =CN =6,CM =EN =4,即F 点坐标为(-2,8),由E (0,-2),得直线EF 的解析式为:52y x =--联立52y x =--,y =-2x +12,得:x =143-,y =643-, 即点P 坐标为:(143-,643-). 题型二、面积问题例1. 【2019·高密市期末】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y =kx +b 的图象经过点A (﹣2,6),且与x 轴相交于点B ,与正比例函数y =3x 的图象相交于点C ,点C 的横坐标为1.(1)求k 、b 的值;(2)请直接写出不等式kx +b ﹣3x >0的解集.(3)若点D 在y 轴上,且满足S ⊥BCD =2S ⊥BOC ,求点D 的坐标.【答案】见解析.【解析】解:(1)当x =1时,y =3x =3,⊥点C 的坐标为(1,3).将A (﹣2,6)、C (1,3)代入y =kx +b ,得:263k b k b -+=⎧⎨+=⎩, 解得:14k b =-⎧⎨=⎩;(2)由kx+b﹣3x>0,得:kx+b>3x,⊥点C的横坐标为1,⊥x<1;(3)在y=﹣x+4中,当y=0时,x=4;x=0时,y=4,⊥点B的坐标为(4,0),直线AB与y轴交点为:F(0,4).过点C作CE⊥y轴于E,则E(0,3),⊥S⊥BCD=2S⊥BOC,⊥S⊥BDF-S⊥CDF=2S⊥BOC,即12×DF×OB-12×DF×CE=2×12×OE×OB,1 2×DF×4-12×DF×1=2×12×3×4,解得:DF=8,⊥F(0,4),⊥D(0,﹣4)或D(0,12).例2. 【2019·成都市期末】如图,已知直线y=kx+4(k≠0)经过点(-1,3),交x轴于点A,y轴于点B,F 为线段AB的中点,动点C从原点出发,以每秒1个位长度的速度沿y轴正方向运动,连接FC,过点F作直线FC的垂线交x轴于点D,设点C的运动时间为t秒.(1)当0<t<4时,求证:FC=FD;(2)连接CD,若⊥FDC的面积为S,求出S与t的函数关系式;(3)在运动过程中,直线CF交x轴的负半轴于点G,11OC OG是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.【答案】见解析.【解析】解:(1)证明:连接OF,⊥直线y=kx+4经过点(-1,3),⊥-k+4=3,解得:k=1,即直线AB的解析式为:y=x+4,当y=0时,x=-4;当x=0时,y=4;⊥A(-4,0),B(0,4),⊥OA=OB=4,⊥⊥AOB=90°,⊥⊥AOB是等腰直角三角形,⊥CBF=45°,⊥F为线段AB的中点,⊥OF=12AB=BF,OF⊥AB,⊥DOF=12⊥AOB=45°=⊥CBF,⊥⊥OFB=90°,⊥DF ⊥CF ,⊥⊥DFC =90°,⊥⊥OFD =⊥BFC ,⊥⊥BCF ⊥⊥ODF (ASA ),⊥FC =FD ;(2)解:⊥当0<t <4时,连接OF ,由题意得:OC =t ,BC =4-t ,由(1)得:⊥BCF ⊥⊥ODF ,⊥BC =OD =4-t ,⊥CD 2=OD 2+OC 2=(4-t )2+t 2=2t 2-8t +16,⊥FC =FD ,⊥DFC =90°,⊥⊥FDC 是等腰直角三角形,⊥FC 2=12CD 2,⊥S =12FC 2 =12×12CD 2 =21242t t -+;⊥当t ≥4时,连接OF ,由题意得:OC =t ,BC =t -4,由(1)得:⊥BCF ⊥⊥ODF ,⊥BC =OD =t -4,⊥CD 2=OD 2+OC 2=(t -4)2+t 2=2t 2-8t +16,⊥S =21242t t -+;综上所述,S 与t 的函数关系式为S =21242t t -+;(3)解:11OC OG +为定值12;理由如下:⊥当0<t <4时,当设直线CF 的解析式为:y =mx +t ,⊥A (-4,0),B (0,4),F 为线段AB 的中点,⊥F (-2,2),把点F (-2,2)代入y =mx +t 得:-2m +t =2,解得:m =12(t -2),⊥直线CF的解析式为:y=12(t-2)x+t,当y=0时,x=22tt-,即G(22tt-,0),⊥OG=22tt-,⊥11OC OG+=122tt t-+=12;⊥当t≥4时,同⊥得:11OC OG+=122tt t-+=12;综上所述,11OC OG+为定值12.题型三、复杂实际问题例1. 【2019·泉州市晋江区期中】某学校开展“青少年科技创新比赛”活动,“喜洋洋”代表队设计了一个遥控车沿直线轨道AC做匀速直线运动的模型.甲、乙两车同时分别从A,B两处出发,沿轨道到达C处,B在AC上,甲的速度是乙的速度的1.5倍,设t(分)后甲、乙两遥控车与B处的距离分别为d1,d2,则d1,d2与t的函数关系如图,试根据图象解决下列问题:(1)填空:乙的速度v2=米/分;(2)写出d1与t的函数关系式:(3)若甲、乙两遥控车的距离超过10米时信号不会产生相互干扰,试探求什么时间两遥控车的信号不会产生相互干扰?【答案】(1)40;(2)(3)见解析.【解析】解:(1)乙的速度v2=120÷3=40(米/分),故答案为:40;(2)v1=1.5v2=1.5×40=60(米/分),60÷60=1(分钟),a=1,d1=()() 606001 606013t tt t-+≤<⎧⎨-≤≤⎩;(3)d2=40t,⊥当0≤t<1时,d2+d1>10,即:﹣60t+60+40t>10,解得:0≤t<2.5,⊥当0≤t<1时,两遥控车的信号不会产生相互干扰;⊥当1≤t≤3时,d2﹣d1>10,即40t﹣(60t﹣60)>10,当1≤t<52时,两遥控车的信号不会产生相互干扰;综上所述:当0≤t<2.5时,两遥控车的信号不会产生相互干扰.【刻意练习】1. 【2019·乐亭县期末】如图1,四边形ABCD中,AB⊥CD,⊥B=90°,AC=AD.动点P从点B出发沿折线B-A-D-C方向以1单位/秒的速度匀速运动,在整个运动过程中,⊥BCP的面积S与运动时间t(秒)的函数图象如图2所示,则AD等于()A.5B.√34C.8D.2√3【答案】B.【解析】解:当t=3时,点P到达A处,即AB=3;过点A 作AE ⊥CD 交CD 于点E ,则四边形ABCE 为矩形, ⊥AC =AD ,⊥DE =CE =12CD , 当S =15时,点P 到达点D 处,则15=12CD •BC , 15=12(2AB )•BC 3×BC =15,则BC =5,由勾股定理得AD =AC =√34,故答案为:B .2. 【2019·卢龙县期末】如图,直线y 1=2x -2的图象与y 轴交于点A ,直线y 2=-2x +6的图象与y 轴交于点B ,两者相交于点C .(1)方程组{2x −y =2,2x +y =6的解是______; (2)当y 1>0与y 2>0同时成立时,x 的取值范围为______;(3)求⊥ABC 的面积;(4)在直线y 1=2x -2的图象上存在异于点C 的另一点P ,使得⊥ABC 与⊥ABP 的面积相等,请求出点P 的坐标.【答案】(1){x =2y =2 ;(2)1<x <3;(3)(4)见解析.【解析】解:(1)如图所示:方程组{2x −y =2,2x +y =6的解为:{x =2y =2;故答案为:{x =2y =2;(2)如图所示:当y 1>0与y 2>0同时成立时, x 取何值范围是:1<x <3; 故答案为:1<x <3;(3)令x =0,则y 1=-2,y 2=6, ⊥A (0,-2),B (0,6). ⊥AB =8. ⊥S ⊥ABC =12×8×2=8; (4)令P (x 0,2x 0-2),则S ⊥ABP =12×8×|x 0|=8, ⊥x 0=±2. ⊥点P 异于点C , ⊥x 0=-2,2x 0-2=-6. ⊥P (-2,-6).3. 【2019·莆田市期末】某土特产公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售.按计划20辆车都要装运,每辆汽车只能装运同一种土特产,且必须装满,根据下表提供的信息,解答以下问题:(1)设装运甲种土特产的车辆数为x,装运乙种土特产的车辆数为y,求y与x之间的函数关系式.(2)如果装运每种土特产的车辆都不少于3辆,那么车辆的安排方案有几种并写出每种安排方案.(3)若要使此次销售获利最大,应采用(2)中哪种安排方案?并求出最大利润的值.【答案】见解析.【解析】解:(1)⊥8x+6y+5(20-x-y)=120,⊥y=20-3x,⊥y与x之间的函数关系式为y=20-3x.(2)由x≥3,y=20-3x≥3,即20-3x≥3,可得3≤x≤253,⊥x为正整数,⊥x=3,4,5.故车辆的安排有三种方案,即:方案一:甲种3辆乙种11辆丙种6辆;方案二:甲种4辆乙种8辆丙种8辆;方案三:甲种5辆乙种5辆丙种10辆.(3)设此次销售利润为W百元,W=8x×12+6(20-3x)×16+5[20-x-(20-3x)] ×10=-92x+1920,⊥W随x的增大而减小,x=3,4,5,当x=3时,W最大=1644 百元.4. 【问题情境】已知矩形的面积为一定值1,当该矩形的一组邻边分别为多少时,它的周长最小?最小值是多少?【数学模型】设该矩形的一边长为x,周长为L,则L与x的函数表达式为.【探索研究】小彬借鉴以前研究函数的经验,先探索函数y=x+1x的图象性质.(1)结合问题情境,函数y=x+1x的自变量x的取值范围是,如表是y与x的几组对应值.x (1)41312123m…y (1)443132122212313144…⊥直接写出m的值;⊥画出该函数图象,结合图象,得出当x=时,y有最小值,y的最小值为;【解决问题】(2)直接写出“问题情境”中问题的结论.【答案】见解析.【解析】解:【数学模型】L与x的函数表达式为:L=2(x+1x );【探索研究】(1)自变量x的取值范围是:x>0;⊥当y=144时,x=4,⊥m的值为4;⊥当0<x<1时,y随x增大而减小;当x>1时,y随x增大而增大;当x=1时函数y=x+1x(x>0)的最小值为2;故答案为:L=2(x+1x);x>0;1,2;(2)当邻边分别为1和1时,它的周长最小,最小值是4.5. 【2018·辽阳市期末】为了开展“足球进校园”活动,某校成立了足球社团,计划购买10个足球和若干件(不少于10件)对抗训练背心.甲、乙两家体育用品商店出售同样的足球和对抗训练背心,足球每个定价120元,对抗训练背心每件15元,现两家商店搞促销活动,甲店:每买一个足球赠送一件对抗训练背心;乙店:按定价的九折优惠.(1)设购买对抗训练背心x件,在甲商店付款为y甲元,在乙商店付款为y乙元,分别写出y甲,y乙与x的关系式;(2)就对抗训练背心的件数讨论去哪家商店买合算?【答案】见解析.【解析】解:(1)y甲=120×10+15(x﹣10)=1050+15x(x≥10);y乙=120×0.9×10+15×0.9x=13.5x+1080(x≥10);(2)y甲=y乙时,1050+15x=13.5x+1080,解得x=20,即当x=20时,到两店一样合算;y甲>y乙时,1050+15x>13.5x+1080,解得x>20,即当x>20时,到乙店合算;y甲<y乙时,1050+15x<13.5x+1080,x≥4,解得10≤x<20,即当10≤x<20时,到甲店合算.6. 【2019·乐亭县期末】小明骑电动车从甲地去乙地,而小刚骑自行车从乙地去甲地,两人同时出发走相同的路线;设小刚行驶的时间为x(h),两人之间的距离为y(km),图中的折线表示y与x之间的函数关系,,0).根据图象进行探究:点B的坐标为(13(1)两地之间的距离为______km;(2)请解释图中点B的实际意义;(3)求两人的速度分别是每小时多少km?(4)直接写出点C的坐标______.【答案】见解析.【解析】解:(1)实际距离是9千米,故答案为:9;(2)点B表示两人相遇.(3)两人的速度和为:9÷13=27 千米/小时=0.45千米/分钟,小刚的速度为:9÷1=9千米/小时=0.15千米/分钟,小明的速度=0.45-0.15=0.3千米/分钟;(4)两人相遇时用时:9÷(9+18)=13,即B(13,0)BC段用时为:9÷18-13=16,此时两人相距:(9+18)×16=4.5,所以C(12,4.5).故答案为:(12,4.5).7. 【2019·宜城市期末】某公司开发处一款新的节能产品,该产品的成本价为6元/件,该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月(30天)的试销售,售价为10元/件,工作人员对销售情况进行了跟踪记录,并将记录情况绘制成图象,图中的折线ABC表示日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的函数关系.(1)求y与x之间的函数表达式,并写出x的取值范围;(2)若该节能产品的日销售利润为w(元),求w与x之间的函数表达式,并求出日销售利润不超过1040元的天数共有多少天?(3)若5≤x≤17,直接写出第几天的日销售利润最大,最大日销售利润是多少元(不用说理)【答案】见解析. 【解析】解:(1)当1≤x ≤10时,设AB 的解析式为:y =kx +b , 把A (1,300),B (10,120)代入得: {k +b =30010k +b =120, 解得:{k =−20b =320,即:y =-20x +320(1≤x ≤10),当10<x ≤30时,同理可得:y =14x -20, 综上所述,y 与x 之间的函数表达式为:()()2032011014201030x x y x x -+≤≤⎧=⎨-<≤⎩ (2)当1≤x ≤10时,w =(10-6)(-20x +320)=-80x +1280, -80x +1280≤1040,解得:x ≥3, 即3≤x ≤10,日销售利润不超过1040元的天数一共8天; 当10<x ≤30时,w =(10-6)(14x -20)=56x -80, 56x -80≤1040, 即10<x ≤20,⊥日销售利润不超过1040元的天数共10天;综上所述,日销售利润不超过1040元的天数共有18天;(3)由(2)知,当5≤x ≤10时,w =-80x +1280,当x =5时,w 取最大值,-80×5+1280=880, 当10<x ≤17时,w =56x -80,当x =17时,w 取最大值,56×17-80=872, ⊥880>872,⊥第5天的日销售利润最大,最大日销售利润是880元.8. 【2019·成都月考】一手机经销商计划购进某品牌的A 型、B 型、C 型三款手机共60部,每款手机至少要购进8部,且恰好用完购机款61000元.设购进A 型手机x 部,B 型手机y 部.三款手机的进价和预售价如下表:(1)用含x ,y 的式子表示购进C 型手机的部数; (2)求出y 与x 之间的函数关系式;(3)假设所购进手机全部售出,综合考虑各种因素,该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元.⊥求出预估利润P (元)与x (部)的函数关系式;(注:预估利润P =预售总额-购机款-各种费用) ⊥求出预估利润的最大值,并写出此时购进三款手机各多少部.【答案】见解析. 【解析】 解:(1)60-x -y ;(2)由题意,得:900x +1200y+1100(60-x -y )=61000, 即,y =2x -50. (3)⊥由题意,得:P =1200x +1600y +1300(60-x -y )-61000-1500, 即,P =500x +500.⊥购进C 型手机部数为:60-x -y =110-3x ,根据题意,得:8250811038x x x ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩,解得:29≤x≤34,⊥x为整数,k=500>0,⊥P随x的增大而增大,⊥当x=34时,P有最大值,最大值为17500元,此时购进A型手机34部,B型手机18部,C型手机8部.9. 【2018·北师大附中期中】已知:如图,⊥MON=90°,在⊥ABC中,⊥C=90°,AC=3cm,BC=4cm,将⊥ABC 的两个顶点A、B放在射线OM和ON上移动,作CD⊥ON于点D,记OA=x(当点O与A重合时,x的值为0),CD=y,小明根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小明的探究过程,请补充完整.(1)通过取点、画图、计算、测量等方法,得到了x与y的几组值,如下表(补全表格)(说明:补全表格时相关数值保留一位小数)(2)建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象。
完整版)八年级数学一次函数动点问题

完整版)八年级数学一次函数动点问题八年级数学一次函数动点问题1、如图所示,以等边三角形OAB的边OB所在直线为x 轴,点O为坐标原点,在第一象限建立平面直角坐标系。
其中,△OAB边长为6个单位。
点P从O点出发沿折线OAB 向B点以3单位/秒的速度运动,点Q从O点出发沿折线OBA向A点以2单位/秒的速度运动。
两点同时出发,运动时间为t(单位:秒),当两点相遇时运动停止。
①点A的坐标为(3,3),P、Q两点相遇时交点的坐标为(3,3);②当t=2时,△OPQ的面积为3/2;当t=3时,△OPQ的面积为9/4;③设△OPQ的面积为S,求S关于t的函数关系式为S=(3t-t^2)/4;④当△OPQ的面积最大时,在y轴上无法找到一点M,使得以M、P、Q为顶点的三角形是直角三角形。
2、如图所示,在平面直角坐标系内,已知点A(0,6)、点B(8,0),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动,同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动。
设点P、Q移动的时间为t秒。
1) 直线AB的解析式为y=-x+6;2) 当t=5时,△APQ的面积为24/5平方单位;3) △OPQ为直角三角形的时间范围为2≤t≤4;4) 无论t为何值,△OPQ都不可能为正三角形。
若点Q的运动速度为4个单位/秒,则此时t=2.3、如图所示,在直角三角形△AOB中,∠AOB=90°,OA=3cm,OB=4cm,以点O为坐标原点建立坐标系,设P、Q分别为AB、OB边上的动点。
它们同时分别从点A、O向B 点匀速运动,速度均为1cm/秒。
设P、Q移动时间为t(≤t≤4)。
1)过点P做PM⊥OA于M,求证:AM:AO=PM:BO=AP:AB,并求出P点的坐标(用t表示)。
证明:由于△OPM与△OAB相似,因此有PM/OB=AO/AB,即PM=AO*OB/AB=9/5.又因为△APM与△AOB相似,因此有AM/OA=PM/OB,即AM=OA*PM/OB=27/20.因此AM:AO=PM:BO=AP:AB=9:15:20.P点的坐标为(3t/5,18t/5)。
九年级中考数学考点提升训练——专题:《一次函数:动点综合》(四)(Word版,带答案)

九年级中考数学考点提升训练——专题:《一次函数:动点综合》(四)1.如图,平面直角坐标系xOy中,直线y=﹣x+3交x轴于点A,交y轴于点B,点P是线段OA上一动点(不与点A重合),过点P作PC⊥AB于点C.(1)当点P是OA中点时,求△APC的面积;(2)连接BP,若BP平分∠ABO,求此时点P的坐标;(3)设点D是x轴上方的坐标平面内一点,若以点O,B,C,D为顶点的四边形是菱形,求点D的坐标及此时OP的长.2.如图①,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=8.点D,E分别是边AC,BC上的动点,连接DE.设CD=x(x>0),BE=y,y与x之间的函数关系如图②所示.(1)求出图②中线段PQ所在直线的函数表达式;(2)将△DCE沿DE翻折,得△DME.①点M是否可以落在△ABC的某条角平分线上?如果可以,求出相应x的值;如果不可以,说明理由;②直接写出△DME与△ABC重叠部分面积的最大值及相应x的值.3.数学课上,李老师提出问题:如图1,在正方形ABCD中,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证:AE=EF.经过思考,小聪展示了一种正确的解题思路.取AB的中点H,连接HE,则△BHE为等腰直角三角形,这时只需证△AHE与△ECF全等即可.在此基础上,同学们进行了进一步的探究:(1)小颖提出:如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(不含点B,C)的任意一点”,其他条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程,如果不正确,请说明理由;(2)小华提出:如图3,如果点E是边BC延长线上的任意一点,其他条件不变,那么结论“AE=EF”是否成立?(填“是”或“否”);(3)小丽提出:如图4,在平面直角坐标系xOy中,点O与点B重合,正方形的边长为1,当E为BC边上(不含点B,C)的某一点时,点F恰好落在直线y=﹣2x+3上,请直接写出此时点E的坐标.4.如图1,在平面直角坐标系中,OB=10,F是y轴正半轴上一点.(1)若OF=2,求直线BF的解析式;(2)设OF=t,△OBF的面积为s,求s与t的函数关系(直接写出自变量t的取值范围);(3)如图3,在(2)的条件下,过点B作BA⊥x轴,点C在x轴上,OF=OC,连接AC,CD⊥直线BF于点D,∠ACB=2∠CBD,AC=13,OF=OC,AC.BD交于点E,求此时t的值.5.如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=x+6与y轴交于点A,直线l2:y=kx+b与y轴交于点B,与l1相交于C(﹣3,3),AO=2BO.(1)求直线l2:y=kx+b的解析式;(2)求△ABC的面积.6.(1)已如:如图,正方形ABCD中,∠EDF=45°,DE、DF分别交边AB、BC平点E、F,求证:EF=AE+CF.(2)在平面直角坐标系中、正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上,点O在原点,将正方形OABC绕O点顺时针旋转,当A点第一次落在直线y=x上停止,旋转过程中,AB边交直线y=x于点M,BC边交x轴于点N.设△MBN的周长为P,在旋转正方形OABC的过程中,P值是否有变化?请证明你的结论.7.如图,一次函数y=2x+b的图象与x轴交于点A(2,0),与y轴交于点B.(1)求b的值.=4,求点C坐标.(2)若直线AB上的点C在第一象限,且S△AOC8.如图,已知直线y=x+2交x轴于A,交y轴于B,过B作BC⊥AB,且AB=BC,点C 在第四象限,点R(3,0).点P、Q分别在直线AB和BC上,△PQR是以RQ为斜边的等腰直角三角形,求出点P的坐标.9.小东同学根据函数的学习经验,对函数y=|x﹣1|+|x+3|进行了探究,下面是他的探究过程:(1)已知x=﹣3时|x+3|=0;x=1时|x﹣1|=0,化简:①当x<﹣3时,y=;②当﹣3≤x≤1时,y=;③当x>1时,y=;(2)在平面直角坐标系中画出y=|x﹣1|+|x+3|的图象,根据图象,写出该函数的一条性质:;(3)根据上面的探究,解决下面问题:已知A(a,0)是x轴上一动点,B(1,0),C(﹣3,0),则AB+AC的最小值是.10.如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=x+4分别与x轴、y轴交于点B、C,且1:y=x交于点A.与直线l2(1)分别求出点A、B、C的坐标;(2)若D是线段OA上的点,且△COD的面积为6,求直线CD的函数表达式;(3)在(2)的条件下,设P是射线CD上的点,在平面内是否存在点Q,使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.参考答案1.解:(1)如图,连接BP,∵直线y=﹣x+3交x轴于点A,交y轴于点B,∴点A(4,0),点B(0,3),∴AO=4,OB=3,∴AB===5,∵点P是OA中点,∴AP=OP=2,∵S=×AP×OB=×AB×CP,△ABP∴CP=,∴AC===,∴S=×AC×PC=;△APC(2)∵BP平分∠ABO,∴∠OBP=∠CBP,又∵BP=BP,∠BOP=∠BCP=90°,∴△BOP≌△BCP(AAS),∴BO=BC=3,OP=CP,∴AC=AB﹣BC=5﹣3=2,∵AP2=PC2+AC2,∴(4﹣OP)2=OP2+4,∴OP=,∴点P(,0);(3)若OB为边,如图2,设点C(a,﹣a+3),连接OD,∵四边形OCDB是菱形,∴OC=CD=BD=OB=3,BO∥CD,OD⊥BC,∴(a﹣0)2+(﹣a+3﹣0)2=9,∴a1=0(不合题意舍去),a2=,∴点C(,),∵BO∥CD,OB=CD=3,∴点D(,),∴直线OD解析式为:y=x,∵PC∥OD,∴设直线PC解析式为y=x+b,∴=×+b,∴b=﹣3,∴直线PC解析式为y=x﹣3,∴当y=0时,x=,∴点P(,0),∴OP=;若OB为对角线,如图3,设点C(a,﹣a+3),连接CD,∵四边形OCBD是菱形,∴OB与CD互相垂直平分,∴点C在OB的垂直平分线上,∴=﹣a+3,∴a=2,∴点C(2,),∵BO垂直CD,∴点D(﹣2,),设直线PC解析式为y=x+b,∴=×2+b,∴b=﹣,∴设直线PC解析式为y=x﹣,当y=0时,x=,∴点P(,0),∴OP=;综上所述:当OP=时,点D(﹣2,)或当OP=时,点D(,).2.解:(1)设线段PQ所在直线的函数表达式为y=kx+b,将P(3,4)和Q(6,0)代入得,,解得,∴线段PQ所在直线的函数表达式为y=﹣x+8;(2)①如图1,连接CM并延长CM交AB于点F,∵∠C=90°,AB=10,BC=8,∴AC==6,由(1)得BE=﹣x+8,∴CE=x,∴,∵∠DCE=∠ACB,∴△DCE∽△ACB,∴∠DEC=∠ABC,∴DE∥AB,∵点C和点M关于直线DE对称,∴CM⊥DE,∴CF⊥AB,=AB•CF,∵S△ABC∴6×8=10×CF,∴CF=,∵∠C=90°,CD=x,CE=x,∴DE==x,∴CM=x,MF=x,过点M作MG⊥AC于点M,过点M作MH⊥BC于点H,则四边形GCHM为矩形,∵∠GCM+∠BCF=∠BCF+∠ABC=90°,∴∠GCM=∠ABC,∵∠MGC=∠ACB=90°,∴△CGM∽△BCA,∴,即,∴MG=x,CG=x,∴MH=x,(Ⅰ)若点M落在∠ACB的平分线上,则有MG=MH,即x,解得x=0(不合题意舍去),(Ⅱ)若点M落在∠BAC的平分线上,则有MG=MF,即x,解得x=,(Ⅲ)若点M落在∠ABC的平分线上,则有MH=MF,即x=x,解得x=.综合以上可得,当x=或x=时,点M落在△ABC的某条角平分线上.②当0<x≤3时,点M不在形外,△DME与△ABC重叠部分面积为△DME的面积,∴S=,当x=3时,S的最大值为=6.当3<x≤6时,点M在形外,如图2,由①知CM =2CQ =x , ∴MT =CM ﹣CF =,∵PK ∥DE ,∴△MPK ∽△MDE , ∴==,∴S △MPK =S △MDE •,∵S 四边形DEKP =S △MDE ﹣S △MPK ,∴S 四边形DEKP ==,化简得S 四边形DEKP =﹣2x 2+16x ﹣24=﹣2(x ﹣4)2+8,∴当x =4时,△DME 与△ABC 重叠部分面积的最大值为8.综合可得,当x =4时,△DME 与△ABC 重叠部分面积的最大值为8.3.解:(1)仍然成立,如图2,在AB 上截取BH =BE ,连接HE ,∵四边形ABCD 是正方形,∴AB=BC,∠ABC=90°=∠BCD,∵CF平分∠DCG,∴∠DCF=45°,∴∠ECF=135°,∵BH=BE,AB=BC,∴∠BHE=∠BEH=45°,AH=CE,∴∠AHE=∠ECF=135°,∵AE⊥EF,∴∠AEB+∠FEC=90°,∵∠AEB+∠BAE=90°,∴∠FEC=∠BAE,∴△AHE≌△ECF(ASA),∴AE=EF;(2)如图3,在BA的延长线上取一点N,使AN=CE,连接NE.∵AB=BC,AN=CE,∴BN=BE,∴∠N=∠FCE=45°,∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BE,∴∠DAE=∠BEA,∴∠NAE=∠CEF,在△ANE和△ECF中,,∴△ANE≌△ECF(ASA)∴AE=EF,故答案是:是;(3)如图4,在BA上截取BH=BE,连接HE,过点F作FM⊥x轴于M,设点E(a,0),∴BE=a=BH,∴HE=a,由(1)可得△AHE≌△ECF,∴CF=HE=a,∵CF平分∠DCM,∴∠DCF=∠FCM=45°,∵FM⊥CM,∴∠CFM=∠FCM=45°,∴CM=FM==a,∴BM=1+a,∴点F(1+a,a),∵点F恰好落在直线y=﹣2x+3上,∴a=﹣2(1+a)+3,∴a=,∴点E(,0).4.解:(1)∵OB=10,OF=2,∴B(﹣10,0),F(0,2),设直线BF的解析式为y=kx+b,∵直线y=kx+b经过点B(﹣10,0),F(0,2),∴,解得:,∴直线BF的解析式为y=x+2;(2)△OBF的面积为S==5t(t>0);(3)如图,延长AB至点R,使BR=AB,连接CR,延长CD交y轴于点T,过点T,作TM ∥x轴交BA的延长线于点M,过点T作TK⊥CR交RC的延长线于点K,连接RT,∵AB⊥BC,AB=BR,∴BC垂直平分AR,∴AC=CR=13,∴∠ACB=∠RCB,设∠CBD=α,则∠ACB=2α,∵BD⊥CD,∴∠BDC=90°,∴∠BCD=90°﹣α,∵∠ACB=∠RCB=2α,∴∠ACK=180°﹣4α,∴∠KCT=∠BCK﹣∠BCD=∠BCA+∠ACK﹣∠BCD=90°﹣α,∴∠KCT=∠BCD,∵TK⊥KR,OT⊥OC,∴OT=TK,∵TC=TC,∴Rt△OTC≌Rt△KTC(HL),∴OC=CK=t,∵OF=OC,∠BOF=∠TOC,∠FBO=∠OTC,∴△BOF≌△TOC(AAS),∴OB=OT=10,∴TK=10,∵∠ABO+∠BOT=90°+90°=180°.∴MB∥OT,∵MT∥OB,∴四边形OBMT为平行四边形,∵OB=OT,∠BOT=90°.∴四边形OBMT为正方形,∴MB=MT=OT=10,∴MT=TK,∵RT=RT,∴Rt△RMT≌Rt△RTK(HL),∴RK=RM=CR+CK=13+t,∴BR=RM﹣MB=3+t,∵BC=OB+OC=10+t,在Rt△BRC中,BR2+BC2=RC2,∴(3+t)2+(10+t)2=132,解得:t=2(t=﹣15舍去).∴t的值为2.:y=x+6与y轴交于点A,5.解:(1)∵直线l1∴当x=0时,y=0+6=6,∴A(0,6),∵AO=2BO,∴B(0,﹣3),∵C(﹣3,3),代入直线l:y=kx+b中得,2解得.的解析式为y=﹣2x﹣3;故直线l2=AB•|x C|=×(6+3)×3=.(2)S△ABC6.(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,∴DA=DC,∠A=∠ADC=∠ACB=90°,把△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCG,如图1,∴∠EDG=90°,DE=DG,AE=CG,∠DCG=∠A=90°,∵∠DCB+∠DCG=180°,∴B、C、G三点共线,∵∠EDF=45°,∴∠GDF=∠EDG﹣45°=45°,∴∠EDF=∠GDF,在△DFE和△DFG中,∴△DFE≌△DFG(SAS),∴EF=FG,∴EF=FC+CG=FC+AE;(2)解:在旋转正方形OABC的过程中,P值不变.理由如下:∵直线y=x为第一、三象限的角平分线,∴∠MON=45°,由(1)的结论得MN=AM+CN,∴P=BM+BN+MN=BM+AM+BN+CN=BA+BC=2AB,而AB为正方形的边长,∴P的值为定值.7.解:(1)将A(2,0)代入直线y=2x+b中,得2×2+b=0解得b=﹣4;=4,点A(2,0),(2)∵S△AOC∴OA=2,∴•OA•y C=4,解得y C=4,把y=4代入y=2x﹣4得2x﹣4=4,解得x=4,∴C(4,4).8.解:∵直线AB为:y=x+2,BC⊥AB,∴直线BC为:y=﹣x+2,①当点P在第二象限时,如下图,过点P作y轴的平行线交过点Q与x轴的平行线于点G,交x轴于点H,延长GQ交y轴于点M,∵∠GAQ+∠HPR=90°,∠HPR+∠PRH=90°,∴∠PRH=∠GAQ,又∠QGA=∠PHR=90°,PR=PQ,∴△PHR≌△QGP(AAS),∴GQ=PH,HR=PG,设:点P、Q的坐标分别为(m,m+2)、(n,﹣n+2),GQ=PH,即:n﹣m=m+2…①,HR=PG,即:﹣n+2﹣m﹣2=3﹣m…②,联立①②并解得:m=﹣,故点P的坐标(﹣,),②当点P在第一象限时,同理可得:点P的坐标为(,),故:点P的坐标为(﹣,)或(,).9.解:(1)∵x=﹣3时|x+3|=0;x=1时|x﹣1|=0∴当x<﹣3时,y=1﹣x﹣x﹣3=﹣2﹣2x;②当﹣3≤x≤1时,y=1﹣x+x+3=4;③当x>1时,y=x﹣1+x+3=2x+2;故答案为:﹣2﹣2x;4;2x+2.(2)在平面直角坐标系中画出y=|x﹣1|+|x+3|的图象,如图所示:根据图象,该函数图象不过原点.故答案为:函数图象不过原点;(3)根据上面的探究可知当A(a,0)位于点B(1,0)和点C(﹣3,0)之间时,AB+AC 有最小值4.故答案为:4.10.解:(1)∵y=x+4分别与x轴、y轴交于点B、C,∴点C坐标为(0,4),点B坐标为(8,0),∵直线l1:y=x+4与直线l2:y=x交于点A.∴﹣x+4=x,∴x=,∴点A坐标为(,);(2)设点D坐标为(x,x),∵△COD的面积为6,∴×4×|x|=6,∴x=±3,∵D是线段OA上的点,∴x=3,∴点D(3,1),设直线CD解析式为:y=kx+4,∴1=3k+4,∴k=﹣1,∴直线CD解析式为:y=﹣x+4;(3)若以OC为边,设点P(a,﹣a+4)(a≥0),如图,当四边形OCPQ是菱形,∴OC=CP=4,PQ∥OC,PQ=OC=4,∴4=,∴a1=2,a2=﹣2(舍去),∴点P(2,4﹣2),∴点Q(2,﹣2);当四边形OCQ'P'是菱形,∴OC=OP'=4,PQ'=OC=4,PQ'∥OC,∴4=,∴a1=0(舍去),a2=4,∴点P'(4,0),∴点Q'(4,4);若OC为对角线,∵以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形,∴CO与PQ互相垂直平分,∴点P的纵坐标为2,∴点P(2,2),∴点Q坐标为(﹣2,2);综上所述:点Q的坐标为(﹣2,2)或(4,4)或(2,﹣2).。
(完整版)一次函数动点问题

一次函数动点问题1.模型介绍:古希腊有一个著名的“将军饮马问题”,大致内容如下:古希腊一位将军,每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B,他总是先去 A 营,再到河边饮马,之后再去 B 营,如图①,他时常想,怎么走才能使每天的路程之和最短呢?大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题如图②,作B关于直线l的对称点B′,连接AB′与直线l交于点C,点C就是所求的位置.请你在下列的阅读、应用的过程中,完成解答.(1)理由:如图③,在直线L 上另取任一点C′,连接AC′,BC′,B′C,′ ∵直线l 是点B,B′的对称轴,点C,C′在l 上∴ CB= ,C′B=∴ AC+CB=AC+CB′=.在△ AC′B中′,∵ AB′<AC′+C′B,′∴AC+CB<AC′+C′B即′AC+CB 最小归纳小结:本问题实际是利用轴对称变换的思想,把A、B 在直线的同侧问题转化为在直线的两侧,从而可利用“两点之间线段最短”,即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决(其中C为AB′与l的交点,即A、C、B′三点共线).本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型.(2)模型应用如图④,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,F是AC上一动点.求EF+FB 的最小值分析:解决这个问题,可以借助上面的模型,由正方形的对称性可知,B与 D 关于直线AC对称,连结ED 交AC于F,则EF+FB的最小值就是线段的长度,EF+FB的最小值是如图⑥,一次函数y=﹣2x+4 的图象与x,y 轴分别交于A,B两点,点O 为坐标原点,点C与点D分别为线段OA,AB的中点,点P为OB上一动点,求:PC+PD 的最小值,并写出取得最小值时P 点坐标.2.已知一次函数图象经过点A(3,5)和点B(﹣4,﹣9)两点,①求此一次函数的解析式;②若点(a,2)在该函数的图象上,试求 a 的值.③若此一次函数的图象与x轴交点C,点P(m,n)是图象上一个动点(不与点C重合),设△ POC的面积是S,试求S关于m 的函数关系式.3.已知函数y=kx+b 的图象经过点A(4,3)且与一次函数y=x+1 的图象平行,点B(2,m)在一次函数y=kx+b 的图象上(1)求此一次函数的表达式和m 的值?(2)若在x 轴上有一动点P(x,0),到定点A(4,3)、B(2,m)的距离分别为PA和PB,当点P 的横坐标为多少时,PA+PB的值最小.4.已知:一次函数图象如图:(1)求一次函数的解析式;(2)若点P为该一次函数图象上一动点,且点A为该函数图象与x 轴的交点,若S△OAP=2,求点P 的坐标.5.阅读下面的材料:在平面几何中,我们学过两条直线平行的定义.下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线给出它们平行的定义:设一次函数y=k1x+b1(k1≠ 0)的图象为直线l1,一次函数y=k2x+b2(k2≠0)的图象为直线l2,若k1=k2,且b1≠b2,我们就称直线l1 与直线l2互相平行.解答下面的问题:(1)已知正比例函数y=﹣x 的图象为直线l1,求过点P(1,3)且与已知直线l1 平行的直线l2 的函数表达式;(2)设直线l2分别与y轴、x轴交于点A、B,求l1和l2两平行线之间的距离;(3)若Q为OA上一动点,求QP+QB的最小值时Q点的坐标为.(4)在x轴上找一点M,使△ BMP为等腰三角形,求M 的坐标.(直接写出答案)6.阅读下面的材料:在平面几何中,我们学过两条直线互相垂直的定义,下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线,给出它们相互垂直的定义:设一次函数y=k1x+b1(k1≠ 0)的直线为l1,一次函数y=k2x+b2(k2≠0)的图象为直线l2.若k1?k2=﹣1,我们就称直线l1 与直线l2 相互垂直,现请解答下面的问题:已知直线l 与直线y=﹣x﹣1 互相垂直,且直线l的图象过点P(﹣1,4),且直线l分别与y轴、x轴交于A、B两点.(1)求直线l 的函数表达式;(2)若点 C 是线段AB 上一动点,求线段OC长度的最小值;(3)若点Q是AO上的一动点,求△ BPQ周长的最小值,并求出此时点Q的坐标;(4)在(3)的条件下,若点P关于BQ的对称点为P′,请求出四边形ABOP′的面积.一次函数动点问题参考答案与试题解析一.解答题(共 6 小题)1.模型介绍:古希腊有一个著名的“将军饮马问题”,大致内容如下:古希腊一位将军,每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B,他总是先去 A 营,再到河边饮马,之后再去 B 营,如图①,他时常想,怎么走才能使每天的路程之和最短呢?大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题如图②,作B关于直线l的对称点B′,连接AB′与直线l交于点C,点C就是所求的位置.请你在下列的阅读、应用的过程中,完成解答.(1)理由:如图③,在直线L 上另取任一点C′,连接AC′,BC′,B′C,′ ∵直线l 是点B,B′的对称轴,点C,C′在l 上∴CB= CB' ,C′B= C'B'∴ AC+CB=AC+CB′=AB' .在△ AC′B中′,∵ AB′<AC′+C′B,′∴AC+CB<AC′+C′B即′AC+CB 最小归纳小结:本问题实际是利用轴对称变换的思想,把A、B 在直线的同侧问题转化为在直线的两侧,从而可利用“两点之间线段最短”,即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决(其中C为AB′与l的交点,即A、C、B′三点共线).本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型.(2)模型应用如图④,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,F是AC上一动点.求EF+FB 的最小值分析:解决这个问题,可以借助上面的模型,由正方形的对称性可知,B与 D 关于直线AC 对称,连结ED交AC于F,则EF+FB 的最小值就是线段DE 的长度,EF+FB的最小值是.如图⑤,已知⊙ O的直径CD为4,∠ AOD的度数为60°,点B是的中点,在直径CD 上找一点P,使BP+AP 的值最小,则BP+AP 的最小值是 2 ;如图⑥,一次函数y=﹣2x+4 的图象与x,y 轴分别交于A,B两点,点O 为坐标原点,点C与点D分别为线段OA,AB的中点,点P为OB上一动点,求:PC+PD 的最小值,并写出取得最小值时P 点坐标.【解答】解:(1)理由:如图③,在直线L 上另取任一点C′,连接AC′,BC′,B′C,′ ∵直线l 是点B,B′的对称轴,点C,C′在l 上∴ CB=CB,' C′B=C'B'∴AC+CB=AC+CB′=A.B'在△ AC′B中′,∵ AB′<AC′+C′B,′∴AC+CB<AC′+C′B即′AC+CB 最小故答案为:CB',C'B',AB';(2)模型应用①解决这个问题,可以借助上面的模型,由正方形的对称性可知,B与D 关于直线AC对称,连结ED交AC于F则EF+FB的最小值就是线段DE的长度,EF+FB的最小值是.在正方形ABCD中,AB=AD=2,∠BAD=9°0 ∵点E是AB 中点,∴AE=1,根据勾股定理得,DE= ,即:EF+FB的最小值,故答案为:DE,;②如图⑤,由圆的对称性可知,A与A'关于直径CD对称,连结A'B交CD于F,则AE+EB 的最小值就是线A'BE的长度,∴∠ AOD=∠A'OD=60°∵点 B 是的中点,∴∠ AOB=∠BOD= ∠AOD=3°0,∴∠ A'OB=90°∵⊙ O的直径为4,∴OA=OA'=OB=2,在Rt△A'OB中,A'B=2 ,∴ BP+AP的最小值是 2 .故答案为 2 ,③如图⑥,由平面坐标系中的对称性可知,C与C'关于直径y轴对称,连结C'D交y轴于P,则PC+PD的最小值就是线C'D 的长度,∵一次函数y=﹣2x+4的图象与x,y 轴分别交于A,B两点,∴A(2,0),B (0,4),∴C(1,0),D(1,2),∵C与C'关于直径y 轴对称,∴C'(﹣1,0),∴ C'D= =2 ,∴ PC+PD的最小值为 2 ,∵C'(﹣1,0),D(1,2),∴直线C'D 的解析式为y=x+1,∴P(0,1).2.已知一次函数图象经过点A(3,5)和点B(﹣4,﹣9)两点,①求此一次函数的解析式;②若点(a,2)在该函数的图象上,试求 a 的值.③若此一次函数的图象与x轴交点C,点P(m,n)是图象上一个动点(不与点C重合),设△ POC的面积是S,试求S关于m 的函数关系式.解答】解:①设一次函数解析式为y=kx+b,依题意,得解得,次函数解析式为y=2x﹣1;②将点(a,2)代入y=2x﹣1 中,得2a﹣1=2,③由 y=2x ﹣1,令 y=0得 x= , ∴C ( 又∵点 P(m ,n )在直线 y=2x ﹣1 上, ∴ n=2m ﹣1,3.已知函数 y=kx+b 的图象经过点A 43 y=x+1 的图象平行,点 B ( 2, m )在一次函数 y=kx+b 的图象上1)求此一次函数的表达式和 m 的值?2)若在 x 轴上有一动点 P (x ,0),到定点 A (4,3)、B (2,m )的距离分别 为 PA 和 PB ,当点 P 的横坐标为多少时, PA+PB 的值最小.解答】 解:(1)∵函数 y=kx+b 的图象经过点 A (4,3)且与一次函数 y=x+1 的图象平行,,解得:∴一次函数的表达式为 y=x ﹣1. 当 x=2 时, m=x ﹣1=2﹣ 1=1, ∴m 的值为1.(2)作点 B 关于x 轴的对称点 B ′,连接 AB ′交x 轴于点 P ,此时PA+PB 取最小值, 如图所示. ∵点 B 的坐标为( 2,1), ∴点 B ′的坐标为( 2,﹣ 1). 设直线 AB ′的表达式为 y=ax+c , 将( 2,﹣1)、(4,3)代入 y=ax+c ,,解得:∴直线 AB ′的表达式为 y=2x ﹣5. 当 y=0 时, 2x ﹣ 5=0,,0),∴S= × ×|n|= | (2m ﹣1)|=|m﹣4.已知:一次函数图象如图: 1)求一次函数的解析式;2)若点 P 为该一次函数图象上一动点,且点 A 为该函数图象与 x 轴的交点,若 S △OAP =2,求点 P 的坐标.解答】 解:(1)设一次函数解析式为 y=kx+b ,所以一次函数解析式为 y=﹣x+1;(2)当 y=0时,﹣ x+1=0,解得 x=1,则 A ( 1, 0), 设 P (t ,﹣ t+1), 因为 S △OAP =2,所以 ×1×|﹣t+1|=2,解得 t=﹣3或t=5, 所以 P 点坐标为(﹣ 3,4)或( 5,﹣ 4).5.阅读下面的材料:在平面几何中, 我们学过两条直线平行的定义. 下面就两个一次函数的图象所确 定的两条直线给出它们平行的定义:设一次函数 y=k 1x+b 1(k 1≠ 0)的图象为把(﹣ 2,3)、(2, 分别代入得,解得PA+PB 的值最小.P 的横坐标为 ﹣1)直线l1,一次函数y=k2x+b2(k2≠0)的图象为直线l2,若k1=k2,且b1≠b2,我们就称直线l1 与直线l2互相平行.解答下面的问题:(1)已知正比例函数y=﹣x 的图象为直线l1,求过点P(1,3)且与已知直线l1 平行的直线l2 的函数表达式;(2)设直线l2分别与y轴、x轴交于点A、B,求l1和l2两平行线之间的距离;(3)若Q为OA上一动点,求QP+QB的最小值时Q点的坐标为Q(0,).(4)在x轴上找一点M,使△ BMP为等腰三角形,求M 的坐标.(直接写出答案)【解答】解:(1)根据正比例函数y=﹣x的图象为直线l1,设直线l2的函数表达式为y=﹣x+b,把P(1,3)代入得:3=﹣1+b,即b=4,则过点P(1,3)且与已知直线l1 平行的直线l2的函数表达式为y=﹣x+4;(2)过O作ON⊥AB,如图1所示,ON为l1和l2两平行线之间的距离,对于直线y=﹣x+4,令x=0,得到y=4;令y=0,得到x=4,∴ A(0,4),B(4,0),即OA=OB=4,∵△ ABC为等腰直角三角形,∴AB= =4 ,且ON 为斜边上的中线,∴ ON= AB=2 ,则l1 和l2 两平行线之间的距离为 2 ;(3)找出B关于y轴的对称点B′(﹣4,0),连接PB′,与y轴交于点Q,连接PQ,此时QP+QB 最小,设直线B′P的解析式为y=mx+n,把B′和P 坐标代入得:,解得:m= ,n= ,∴直线B′P的解析式为y= x+ ,令x=0,得到y= ,即Q(0,);故答案为:Q(0,);(4)如图 2 所示,分三种情况考虑:当PM1=PB时,由对称性得到M1(﹣2,0);当PM2=BM2时,M2 为线段PB垂直平分线与x轴的交点,∵直线PB的解析式为y=﹣x+4,且线段PB中点坐标为( 2.5, 1.5),∴线段PB垂直平分线解析式为y﹣1.5=x﹣2.5,即y=x﹣1,令y=0,得到x=1,即M 2(1,0);当PB=M3B= =3 时,OM3=OB+BM3=4+3 ,此时M 3(4﹣3 ,0),M 3(4+3 ,0).综上,M的坐标为(﹣2,0)或(1,0)或(4﹣ 3 ,0)或(4+3 ,0).6.阅读下面的材料:在平面几何中,我们学过两条直线互相垂直的定义,下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线,给出它们相互垂直的定义:设一次函数y=k1x+b1(k1≠ 0)的直线为l1,一次函数y=k2x+b2(k2≠0)的图象为直线l2.若k1?k2=﹣1,我们就称直线l1 与直线l2 相互垂直,现请解答下面的问题:已知直线l 与直线y=﹣x﹣1 互相垂直,且直线l的图象过点P(﹣1,4),且直线l分别与y轴、x轴交于A、B两点.(1)求直线l 的函数表达式;(2)若点 C 是线段AB 上一动点,求线段OC长度的最小值;(3)若点Q是AO上的一动点,求△ BPQ周长的最小值,并求出此时点Q的坐标;(4)在(3)的条件下,若点P关于BQ的对称点为P′,请求出四边形ABOP′的面积.【解答】解:(1)设直线l 的解析式为y=kx+b,∵直线l 与直线y=﹣x﹣1 互相垂直,∴﹣k=﹣1,解得k=2,∵直线l 的图象过点P(﹣1,4),∴﹣k+b=4,即﹣2+b=4,解得b=6,∴直线l 的解析式为y=2x+6;(2)如图1,过O作OC⊥AB 于点C,在y=2x+6 中,令x=0 可得y=6,令y=0 可求得x=﹣3,∴A(0,6),B(﹣3,0),∴OA=6,OB=3∴ AB= =3 ,∵ AB?OC= OA?OB,∴ 3 OC=3×6,∴ OC= ,即线段OC长度的最小值为;(3)如图2,作点P关于y轴的对称点P″,连接BP″交y轴于点Q,过P″作P″G⊥x 轴于点G,则PQ=P″Q,∴PQ+BQ=BQ+QP″,∵点B、Q、P″三点在一条线上,∴ BQ+PQ最小,∵P(﹣1,4),∴P″(1,4),∴ P″G=,4 OG=1,∴BG=BO+OG=4=″P G,∴∠ OBQ=4°5,BP″=4 ,∴ OQ=BO=3,∴ Q点坐标为(0,3),又BP= =2 ,此时△ BPQ的周长=BP+BP″=4 +2 ;(4)由(3)可知∠ OBQ=∠OQB=4°5,∴∠PQA=∠P″QA=45°,∴PQ⊥BQ,如图3,延长PQ到点P′,使PQ=P′Q,则P′即为点P 关于BQ的对称点,过P′作由(3)可知PQ=Q′P = ,∴QH=H′P =1,∴OH=OQ﹣QH=3﹣1=2,∴ S四边形ABO′P=S△AOB+S△AOP′= ×6×3+ × 6× 1=12,四边形△ △即四边形ABOP′的面积为12.。
一次函数之动点问题(作业及答案)

一次函数之动点问题(作业)例1:如图,直线y =x +4与x 轴、y 轴分别交于点A ,B ,直线y =-x +b 过点B ,且与x 轴交于点C . (1)求直线BC 的表达式.(2)动点P 从点C 出发,沿CA 方向以每秒1个单位长度的速度向点A 运动(点P 不与点A ,C 重合),动点Q 从点A 同时出发,沿折线AB -BC 以每秒2个单位长度的速度向点C 运动(点Q 不与点A ,C 重合),当其中一点到达终点时,另一点也随之停止.设△CPQ 的面积为S ,运动的时间为t 秒,求S 与t 之间的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围.【思路分析】1.研究背景图形,如图 (把函数信息转为几何信息)2.分析运动过程0 < t < 8CA 4s4s8s B (2/s ) Q :A(1/s ) P :C3.画图,设计方案计算当04t <≤时,21122S t t t =⋅⋅= 当48t <<时,211(8)422S t t t t =-=-+221(04)214(48)2t t S t t t ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩8-t t82-2t E P Q xy A BCOt Q P E 2tt 445°42424445°y=-x+4y=x+4xyAB C Oxy A BC O1. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,四边形AOBC 是正方形,已知点A 的坐标为(0,2),点D 在x 轴正半轴上,B 是OD 的中点,连接CD .动点P 从点O 出发,以每秒1个单位长度的速度沿O →A →C →B 的方向匀速运动,动点Q 从点O 同时出发,以相同的速度沿O →B →D →B 的方向匀速运动.过点P 作PE ⊥x 轴于点E ,设△PEQ 的面积为S ,点P 运动的时间为t 秒(06t <<).求S 与t 之间的函数关系式.Q PxO y A CD B (E )xO y ACD BxO y ACD B2. 如图,直线y =-x +42与x 轴交于点A ,与直线y =x 交于点B . (1)求点B 的坐标.(2)判断△AOB 的形状,并说明理由.(3)动点D 从原点O 出发,以每秒2个单位长度的速度沿OA 向终点A 运动(不与点O ,A 重合),过点D 作DC ⊥x 轴,交线段OB 或线段AB 于点C ,过点C 作CE ⊥y 轴于点E .设运动的时间为t 秒,矩形ODCE 与△AOB 重叠部分的面积为S ,求S 与t 之间的函数关系式.EDAO C x ByyBx O AyBxO A3. 如图,直线33334y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A ,B ,与直线3y x =交于点C .动点E 从点A 出发,以每秒1个单位长度的速度沿AO 向终点O 运动,动点F 从原点O 同时出发,以相同的速度沿折线OC -CA 向终点A 运动,设点F 运动时间为t 秒.(1)设△EOF 的面积为S ,求S 与t 之间的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围.(这里规定线段是面积为0的三角形) (2)当24t ≤≤时,是否存在某一时刻,使得△AEF 是等腰三角形?若存在,求出相应的t 值;若不存在,请说明理由.xO yA CBxO yA CBx O yA CB【参考答案】1.2210222241618 462tt S t t t t ⎧<⎪⎪=<⎨⎪⎪-+<<⎩≤≤()()()2.(1)(2222)B ,(2)△OAB 是等腰直角三角形,理由略(3)22023161624tt S t t t ⎧<⎪=⎨-+-<<⎪⎩≤()()3.(1)2233024133232 24420 42+23t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪⎪+⎪=-++<⎨⎪⎪<⎪⎪⎩≤≤≤≤()()()(2)存在,t 的值为2,31+或23(资料素材和资料部分来自网络,供参考。
一次函数综合题(难度较大)带答案

一次函数综合题一.解答题(共10小题)1.如图,在直角坐标系中,△ABC满足∠BCA=90°,点A、C分别在x轴和y轴上,AC=BC=2,当点A从原点开始沿x轴的正方向运动时,则点C始终在y轴上运动,点B始终在第一象限运动.(1)当AB∥y轴时,求B点坐标.(2)随着A、C的运动,当点B落在直线y=3x上时,求此时A点的坐标.(3)在(2)的条件下,在y轴上是否存在点D,使以O、A、B、D为顶点的四边形面积是16?如果存在,请直接写出点D的坐标;如果不存在,请说明理由.2.如图,在平面直角坐标系中,直线y=2x+6与x轴,y轴分别交于点A,C,经过点C的直线与x轴交于点B(6,0).(1)求直线BC的解析式;(2)点G是线段BC上一动点,若直线AG把△ABC的面积分成1:2的两部分,请求点G的坐标;(3)已知D为AC的中点,点P是平面内一点,当△CDP是以CD为直角边的等腰直角三角形时,直接写出点P 的坐标.3.如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=kx+1交y轴于点A,交x轴于点B(4,0),过点E(2,0)的直线l2平行于y轴,交直线l1于点D,点P是直线l2上一动点(异于点D),连接P A、PB.(1)求直线l1的解析式;(2)设P(2,m),求△ABP的面积S的表达式(用含m的代数式表示);(3)当△ABP的面积为3时,则以点B为直角顶点作等腰直角△BPC,请直接写出点C的坐标.4.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=﹣2x﹣1的图象分别交x轴、y轴于点A和B,已知点C的坐标为(﹣3,0).若点P是x轴上的一个动点,(1)求直线BC的函数解析式;(2)过点P作y轴的平行线交AB于点M,交BC于点N,当点P恰好是MN的中点时,求出P点坐标.(3)若以点B、P、C为顶点的△BPC为等腰三角形时,请直接写出所有符合条件的P点坐标.5.如图,在平面直角坐标系中,直线m经过点(﹣1,2),交x轴于点A(﹣2,0),交y轴于点B,直线n与直线m交于点P,与x轴、y轴分别交于点C、D(0,﹣2),连接BC,已知点P的横坐标为﹣4.(1)求直线m的函数表达式和点P的坐标;(2)求证:△BOC是等腰直角三角形;(3)直线m上是否存在点E,使得S△ACE=S△BOC?若存在,求出所有符合条件的点E的坐标,若不存在,请说明理由.6.如图,在平面直角坐标系中,A(﹣1,0),B(0,3),直线y=﹣x+1与x轴相交于点C,与直线AB交于点D,交y轴于点E.(1)求直线AB的解析式及点D的坐标;(2)如图2,H是直线AB上位于第一象限内的一点,连接HC,当S△HCD=时,点M、N为y轴上两动点,点M在点N的上方,且MN=,连接HM、NC,求HM+MN+NC的最小值;(3)将△OEC绕平面内某点旋转90°,旋转后的三角形记为△O'E'C',若点E'落在直线AB上,点O'落在直线CD上,请直接写出满足条件的点E'的坐标.7.如图所示,平面直角坐标系中,直线l1:y=﹣2x+3与直线l2:y=x+1相交于点A,直线l2与x轴相交于点B.过直线l2上的一点P(a,﹣1)作y轴的垂线,交直线l1于点C,连接BC.(1)求点A的坐标;(2)求△ABC的面积;(3)将直线l1向下平移4个单位长度得到直线l3,设直线l3与y轴相交于点D,则直线l2上是否存在一点Q,使得△DPQ是以DP为腰的等腰三角形?若存在,请直接写出Q的坐标,若不存在,请说明理由.8.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b经过A(a,0),B(0,b)两点,且a,b满足(a+8)2+=0,∠ABO的平分线交x轴于点E.(1)求直线AB的表达式;(2)求直线BE的表达式;(3)点B关于x轴的对称点为点C,过点A作y轴的平行线交直线BE于点D,点M是线段AD上一动点,点P 是直线BE上一动点,则△CPM能否为不以点C为直角顶点的等腰直角三角形?若能,请直接写出点P的坐标;若不能,说明理由.9.如图,直线y=﹣x+8与x轴,y轴分别交于A,B两点,点C的坐标为(﹣6,0),连结BC,过点O作OD⊥AB于点D,点Q为线段BC上一个动点.(1)求BC,OD的长;(2)在线段BO上是否存在一点P,使得△BPQ与△ADO全等?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;(3)当点C关于OQ的对称点恰好落在△OBD的边上,请直接写出点Q的坐标.10.已知,如图1,直线AB分别交平面直角坐标系中x轴和y轴于A,B两点,点A坐标为(﹣3,0),点B坐标为(0,6),点C在直线AB上,且点C坐标为(﹣a,a).(1)求直线AB的表达式和点C的坐标;(2)点D是x轴上的一动点,当S△AOB=S△ACD时,求点D坐标;(3)如图2,点E坐标为(0,﹣1),连接CE,点P为直线AB上一点,且∠CEP=45°,求点P坐标.参考答案与试题解析一.解答题(共10小题)1.【分析】(1)根据勾股定理,可得AB的长,根据勾股定理,可得AO的长,可得B点坐标;(2)根据全等三角形的判定与性质,可得BE=OC =x,EC=OA=x,根据勾股定理,可得x的长,可得A点坐标;(3)分类讨论:①D在y轴的正半轴上;②D在y 轴的负半轴上,根据面积的和差,可得关于y的方程,根据解方程,可得答案.【解答】解:(1)∵∠BCA=90°,AC=BC=2,∴∠BAC=45°,AB ==2,∵AB∥y轴,∴∠BAO=90°=∠COA,∴∠CAO=45°=∠OCA,∴CO=AO,∵AO2+CO2=AC2,∴2AO2=(2)2,∴AO =,∴点B 坐标为(,2);(2)如图,过点B作BE⊥y轴,垂足为点E,∵∠BCE+∠ACO=90°,∠ACO+∠CAO=90°,∴∠BCE=∠CAO,且AC=BC,∠BEO=∠AOC,∴△AOC≌△CEB(AAS),∴BE=CO,AO=CE,∵点B落在直线y=3x上,∴设B(x,3x),∴BE=x=OC,OE=3x,∴CE=OA=2x,∵OA2+OC2=AC2,∴(2x)2+x2=20,∴x=2,∴OA=2x=4,∴点A(4,0);(3)设点D(0,y),由(2)得B(2,6),当点D在y轴正半轴上,如图,连接OB,∵S四边形ABDO=S△AOB+S△BDO=16,∴×4×6+×y×2=16,∴y=4,∴点D(0,4);若点D在y轴负半轴上,如图,连接OB,∵S四边形ABDO=S△AOB+S△ADO=16,∴×4×6+×4×(﹣y)=16,∴y=﹣2,∴点D坐标为(0,﹣2).综上,存在点D,使以O、A、B、D为顶点的四边形面积是16,点D的坐标为(0,4)或(0,﹣2).2.【分析】(1)根据题意,求得点C的坐标,结合B的坐标,利用待定系数法求解析式即可;(2)求出S△ABC=27,设G(m,﹣m+6),分两种情况:①S△ABG:S△ACG=1:2时,②S△ABG:S△ACG=2:1时,分别求得m的值,进而求得G点的坐标;(3)分类讨论,①当点D为直角顶点时,②当点C 为直角顶点时,根据等腰直角三角形以及全等三角形的性质即可求解.【解答】解:(1)由y=2x+6得:A(﹣3,0),C(0,6),∵点B(6,0).设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0):∴,解得:,∴直线BC的解析式为y=﹣x+6;(2)∵A(﹣3,0),C(0,6),B(6,0).∴AB=9,∴S△ABC =×9×6=27,设G(m,﹣m+6),(0<m<6),①当S△ABG:S△ACG=1:2时,即S△ABG =S△ABC=9,∴×9(﹣m+6)=9,∴m=4,∴G(4,2);当S△ABG:S△ACG=2:1时,即S△ABG =S△ABC=18,∴×9(﹣m+6)=18,∴m=2,∴G(2,4).综上,点G的坐标为(4,2)或(2,4);(3)∵A(﹣3,0),C(0,6),D为AC的中点,∴D (﹣,3),①当点D为直角顶点时,如图,过点D作DE⊥y轴于E,过点P作PF⊥DE交ED的延长线于F,交x 轴于H,∴∠F=∠CED=90°,∵△CDP是等腰直角三角形,∴DP=CD,∠CDB=90°,∴∠PDF+∠CDE=∠DCE+∠CDE=90°,∴△PDF≌△CDE(AAS),∴DF=CE,PF=DE,∵D (﹣,3),C(0,6).∴DE=PF =,OE=3,CE=DF=6﹣3=3,∴EF=3+=,PH=3+=,∴P (﹣,),同理得:P ′(,);∴P (﹣,)或(,);②当点C为直角顶点时,如图,过点D作DN⊥y轴于N,过点P作PM⊥y轴于M,同①可得△PCM≌△CDN(AAS),∴DN=CM,PM=CN,∵D (﹣,3),C(0,6).∴DN=CM =,ON=3,CN=PM=6﹣3=3,∴OM=6﹣=,∴P(3,),同理得:P′(﹣3,);∴P(3,)或(﹣3,).综上,点P的坐标为(﹣,)或(,)或(3,)或(﹣3,).3.【分析】(1)将B(4,0)代入y=kx+1得到y =﹣x+1;(2)由两直线交点的求法得到点D的坐标;易得线段PD的长度,所以根据三角形的面积公式即可得到结论;(3)根据三角形的面积公式列方程求得m=2,于是得到点P(2,2),推出∠EPB=∠EBP=45°.第1种情况,如图2,过点C作CF⊥x轴于点F根据全等三角形的性质得到BF=CF=PE=EB=2,于是得到C(6,2);第2种情况,如图3根据全等三角形的性质得到PC =CB=PE=EB=2,于是得到C(2,﹣2);第3种情况,当点P在点D下方时,得到(3,2)或(5,﹣2).【解答】解:(1)∵直线l1:y=kx+1交x轴于点B (4,0),∴0=4k+1.∴k =﹣.∴直线l1:y =﹣x+1;(2)由得:.∴D(2,).∵P(2,m),∴PD=|m ﹣|.∴S =×|4﹣0|•PD =×|m ﹣|×4=|2m﹣1|.当m时,S=2m﹣1;当m <时,S=1﹣2m;(3)当S△ABP=3时,2m﹣1=3,解得m=2,∴点P(2,2),∵E(2,0),∴PE=BE=2,∴∠EPB=∠EBP=45°,如图2,∠PBC=90°,BP=BC,过点C作CF⊥x轴于点F,∵∠PBC=90°,∠EBP=45°,∴∠CBF=∠PBE=45°,在△CBF与△PBE中,,∴△CBF≌△PBE(AAS).∴BF=CF=PE=EB=2.∴OF=OB+BF=4+2=6.∴C(6,2);如图3,△PBC是等腰直角三角形,∴PE=CE,∴C(2,﹣2),∴以点B为直角顶点作等腰直角△BPC,点C的坐标是(6,2)或(2,﹣2).当1﹣2m=3时,n=﹣1,可得P(2,﹣1),同法可得C(3,2)或(5,﹣2).综上所述,满足条件的点C坐标为(6,2)或(2,﹣2)或(3,2)或(5,﹣2).4.【分析】(1)由y=﹣2x﹣1得A (﹣,0),B(0,﹣1),设直线BC为y=kx﹣1,用待定系数法可得直线BC为y =﹣x﹣1;(2)设P(m,0),则M(m,﹣2m﹣1),N (﹣m ﹣1),根据点P恰好是MN的中点,可得﹣2m﹣1﹣0=0﹣(﹣m﹣1),即可解得P (﹣,0);(3)设P(t,0),则BC2=10,BP2=t2+1,CP2=(t+3)2,分三种情况:①当BC=BP时,BC2=BP2,10=t2+1,解得P(3,0);②当BC=CP时,10=(t+3)2,解得P (﹣3,0)或(﹣﹣3,0);③当BP=CP时,t2+1=(t+3)2,解得P (﹣,0).【解答】解:(1)在y=﹣2x﹣1中,令x=0得y=﹣1,令y=0得x =﹣,∴A (﹣,0),B(0,﹣1),设直线BC为y=kx﹣1,将C(﹣3,0)代入得:﹣3k﹣1=0,解得k =﹣,∴直线BC解析式为y =﹣x﹣1;(2)设P(m,0),则M(m,﹣2m﹣1),N (﹣m ﹣1),∵点P恰好是MN的中点,∴PM=PN,即﹣2m﹣1﹣0=0﹣(﹣m﹣1),解得m =﹣,∴P (﹣,0);(3)设P(t,0),∵B(0,﹣1),C(﹣3,0),∴BC2=10,BP2=t2+1,CP2=(t+3)2,①当BC=BP时,BC2=BP2,∴10=t2+1,解得t=3或t=﹣3(与B重合,舍去),∴P(3,0);②当BC=CP时,∴10=(t+3)2,解得t =﹣3或t =﹣﹣3,∴P (﹣3,0)或(﹣﹣3,0);③当BP=CP时,∴t2+1=(t+3)2,解得t =﹣,∴P (﹣,0);综上所述,P坐标为(3,0)或(﹣3,0)或(﹣﹣3,0)或(﹣,0).5.【分析】(1)设直线m的函数表达式为y=kx+b(k≠0),把(﹣1,2),(﹣2,0)代入,得,解方程组即可得到结论;(2)设直线n的函数表达式为y=sx+t(s≠0),根据直线n经过点(﹣4,﹣4),(0,﹣2),得到方程组,解方程组得到.求得点B的坐标为(0,4),点C的坐标为(4,0),于是得到结论;(3)根据三角形的面积公式得到,根据题意列方程即可得到结论.【解答】(1)解:设直线m的函数表达式为y=kx+b (k≠0).∵直线m经过点(﹣1,2),(﹣2,0),∴,解得,∴直线m的函数表达式为y=2x+4.将x=﹣4代入y=2x+4,得y=2×(﹣4)+4=﹣4,∴点P的坐标为(﹣4,﹣4);(2)证明:设直线n的函数表达式为y=sx+t(s≠0).∵直线n经过点(﹣4,﹣4),(0,﹣2),∴,解得,∴直线n 的函数表达式为.在y=2x+4中,令x=0,得y=4,即点B的坐标为(0,4).在中,令y=0,得,解得x=4,即点C的坐标为(4,0),∴OB=OC=4,又∵∠BOC=90°,∴△BOC是等腰直角三角形;(3)解:∵OB=OC=4,∠BOC=90°,∴,又∵S△ACE=S△BOC,∴S△ACE=8,即,∵AC=6,∴,即或.①当时,,解得,∴此时点E 的坐标为;②当时,,解得,∴此时点E 的坐标为.综上可知,直线m上存在点E,使得S△ACE=S△BOC,点E 的坐标为或.6.【分析】(1)用待定系数法求函数解析式,再将两个一次函数的解析式联立方程组即可求交点D的坐标;(2)判断△HCD是直角三角形,利用△HCD的面积求出HD的长,再由两点间距离公式求出H点的坐标,作H点关于y轴的对称点H',过点C作CG⊥x轴,且CG =,连接H'G交y轴于点M,当H'、M'、G 三点共线时,HM+MN+NC的值最小,求出H'G的长即可求解;(3)分两种情况,△AOB逆时针旋转90°和顺时针旋转90°分别讨论;根据旋转后O'E'∥x轴,OE=O'E'=1,求出DE'=,设E'(m,3m+3),即可求E'的坐标.【解答】解:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,将A(﹣1,0),B(0,3)代入,∴,∴,∴y=3x+3,联立方程组,∴,∴D (﹣,);(2)设H(t,3t+3),∵OA=1,OB=3,∴tan∠ABO =,直线y =﹣x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点C(3,0),∴tan∠DCA =,∴∠DCA=∠ABO,∴∠CDB=90°,∵CD =,∵S△HCD ==××DH,∴DH =,∵=,∴t=﹣3或t =,∵H是直线AB上位于第一象限内的一点,∴t =,∴H (,),如图1,作H点关于y轴的对称点H',过点C作CG ⊥x轴,且CG =,∴G(3,),H'(﹣,),连接H'G交y轴于点M,∵MN =,∴四边形MNCG是平行四边形,∴MG=CN,由对称性可知,MH=MH',∴HM+MN+NC=MH'+MN+MG≥1+H'G,∴当H'、M'、G三点共线时,HM+MN+NC的值最小,∵H'G =,∴HM+MN+NC 的最小值为+;(3)令x=0,则y=1,∴E(0,1),令y=0,则x=3,∴C(3,0),当△OCE绕点逆时针旋转90°时,∵点E'落在直线AB上,点O'落在直线CD上,∴E'O'∥CO,∴∠DO'E'=∠ECO,∵OE=O'E'=1,CO=3,∴EC =,∴sin∠ECO ==,∴DE'=,设E'(m,3m+3),∴=(﹣﹣m)2+(3m+3﹣)2,∴m =﹣或m =﹣,∵此时E'在D点下方,∴m =﹣,∴E'(﹣,);当△OCE绕点顺时针旋转90°时,∵点E'落在直线AB上,点O'落在直线CD上,∴E'O'∥CO,∴∠DO'E'=∠ECO,∵OE=O'E'=1,CO=3,∴EC =,∴sin∠ECO ==,∴DE'=,设E'(m,3m+3),∴=(﹣﹣m)2+(3m+3﹣)2,∴m =﹣或m =﹣,∵此时E'在D点上方,∴m =﹣,∴E'(﹣,);综上所述:E'点坐标为(﹣,)或(﹣,).7.【分析】(1)联立方程组可求解;(2)分别求出点B,点C坐标,由三角形的面积公式可求解;(3)先求出点D坐标,由等腰三角形的性质和两点之间的距离公式可求解.【解答】解:(1)由题意可得:,解得:,∴点A (,);(2)∵直线l2与x轴相交于点B,∴点B(﹣1,0),∵点P(a,﹣1)在直线l2上,∴﹣1=a+1,∴a=﹣2,∴点P(﹣2,﹣1),∴点C的纵坐标为﹣1,∴﹣1=﹣2x+3,∴x=2,∴点C(2,﹣1),如图,设直线l1与x轴相交于点H,∴0=﹣2x+3,∴x =,∴点H (,0),∴BH =,∴△ABC 的面积=××(+1)=;(3)存在,理由如下:∵将直线l1向下平移4个单位长度得到直线l3,∴直线l3,的解析式为:y=﹣2x﹣1,∴点D(0,﹣1),如图,∵点P(﹣2,﹣1),点D(0,﹣1),∴PD⊥y轴,PD=2,设点Q(a,a+1),∵△DPQ是以DP为腰的等腰三角形,∴PQ=PD=2或PD=QD=2,当PQ=PD=2时,则(﹣2﹣a)2+(﹣1﹣a﹣1)2=4,∴a =±﹣2,∴点Q (﹣2,﹣1)或(﹣﹣2,﹣﹣1);当PD=QD=2时,则(a﹣0)2+(﹣1﹣a﹣1)2=4,∴a=0或﹣2(不合题意舍去),∴点Q(0,1),综上所述:点Q坐标为:(﹣2,﹣1)或(﹣﹣2,﹣﹣1)或(0,1).8.【分析】(1)求出点A与点B的坐标,再由待定系数法求直线AB的解析式即可;(2)过点E作EH⊥AB于点H,求出点E的坐标,再由再由待定系数法求直线BE的解析式即可;(3)①当∠MPC=90°时,P点在C点下,过点P 作GH⊥y轴交AD于点G,交y轴于点H,证明△PMG ≌△CPH(AAS),可得8+t=2t+12,求出t即可求P (﹣4,2);②当∠MPC=90°,P点在C点上时,由①得8+t=﹣2t﹣12,求出t即可求P (﹣,);③当∠PMC=90°时,过点M作KL⊥y轴交y轴于点L,过P点作PK⊥KL交于K,证明△PKM≌△MLC (AAS),由8=﹣2t﹣6﹣(14+t),求出t =﹣,即可求P (﹣,).【解答】解:(1)∵(a+8)2+=0,∴a=﹣8,b=﹣6,∴A(﹣8,0),B(0,﹣6),∵一次函数y=+b经过A(﹣8,0),B(0,﹣6),∴,∴,∴直线AB的表达式y =﹣x﹣6;(2)∵A(﹣8,0),B(0,﹣6),∴OA=8,OB=6,∴在Rt△AOB中AB=10,过点E作EH⊥AB于点H,∵∠ABO的平分线交x轴于点E,∴EH=EO,AE=8﹣EO,AH=10﹣6=4,在Rt△AEH中,(8﹣EO)2=42+EO2,解得:EO=3,∴E(﹣3,0),设直线BE的表达式为y=k1x+b1,∴,∴,∴直线BE的表达式为y=﹣2x﹣6;(3)设P(t,﹣2t﹣6),①如图1,当∠MPC=90°时,P点在C点下,过点P作GH⊥y轴交AD于点G,交y轴于点H,∵∠MPC=90°,∴∠MPG+∠CPH=90°,∵∠MPG+∠GMP=90°,∴∠CPH=∠GMP,∵PM=PC,∴△PMG≌△CPH(AAS),∴MG=PH,CH=GP,∵PH=﹣t,CH=6﹣(﹣2t﹣6)=2t+12,∴GP=8﹣(﹣t)=8+t=2t+12,∴t=﹣4,∴P(﹣4,2);②如图2,当∠MPC=90°,P点在C点上时,由①得,HC=﹣2t﹣6﹣6=﹣2t﹣12,GP=8﹣(﹣t)=8+t,∴8+t=﹣2t﹣12,∴t =﹣,∴P (﹣,);③如图3,当∠PMC=90°时,过点M作KL⊥y轴交y轴于点L,过P点作PK⊥KL 交于K,∵∠PMC=90°,∴∠PMK+∠CML=90°,∵∠PMK+∠MPK=90°,∴∠CML=∠MPK,∵PM=CM,∴△PKM≌△MLC(AAS),∴KM=CL,PK=ML,∴ML=PK=8,CL=KM=﹣8﹣t,∴LO=6﹣(﹣8﹣t)=14+t,∴PK=8=﹣2t﹣6﹣(14+t),∴t =﹣,∴P (﹣,);综上所述:点P的坐标为:(﹣4,2)或(﹣,)或(﹣,).9.【分析】(1)先求出点A,点B坐标,由勾股定理和面积法可求解;(2)分两种情况讨论,先求出BQ解析式,由全等三角形的性质可求解;(3)分两种情况讨论,利用折叠的性质,三角形面积公式,等腰三角形的性质可求解.【解答】解:(1)∵直线y =﹣x+8与x轴,y轴分别交于A,B两点,∴点A(6,0),点B(0,8),∴OA=6,OB=8,∵点C的坐标为(﹣6,0),∴OC=6,∴BC ===10,∵OA=OC=6,BO⊥AC,∴AB=BC=10,∵S△AOB =×AB×OD =×OA×OB,∴OD ==;(2)存在,理由如下:∵AB=BC,∴∠BCA=∠BAO,∵∠CBO+∠BCA=90°=∠AOD+∠BAO,∴∠CBO=∠AOD,设直线BC的解析式为y=kx+b,,解得:,∴直线BC的解析式为y =x+8,设点Q(a ,a+8)当△BPQ≌△OAD时,BQ=OD =,∴(a﹣0)2+(a+8﹣8)2=,∴a =±,∵点Q在第二象限,∴点Q (﹣,),当△BPQ≌△ODA时,BQ=OA=6,∴(a﹣0)2+(a+8﹣8)2=36,∴a =±,∵点Q在第二象限,∴点Q (﹣,),综上所述:点Q坐标为:(﹣,)或(﹣,);(3)如图,当点C关于OQ的对称点落在OB上时,作OE⊥CO于点E,OF⊥BO于点F,∴∠COQ=∠C'OQ=45°,又∵OE⊥CO,OF⊥BO,∴OE=OF,∵S△OBC =×OB×OC =×OC×OE +×OB×OF,∴6×8=(6+8)×OE,∴OE=OF =,∴点Q 的坐标为(﹣,).点C关于OQ的对称点落在AB上时,∴OC=OC'=OA,CQ=C'Q,∠OCQ=∠OC'Q,∴∠C'AO=∠OC'A,∴∠OCQ=∠OC'Q=∠C'AO=∠OC'A,∴∠CBA=∠QC'B,∴BQ=C'Q,∴CQ=BQ=C'Q,∴点Q是BC的中点,∴点Q(﹣3,4),综上所述:点Q坐标为(﹣3,4)或(﹣,).10.【分析】(1)用待定系数法求直线AB的解析式即可;(2)由题意可得AD=9,设D(x,0),则|x+3|=9,即可求D的坐标;(3)分两种情况讨论:①当点P在射线CB上时,过点C作CF⊥CE交直线EP于点F,过C作x轴垂线l,分别过F,E作FM⊥l,EN⊥l,证明△FMC≌△CNE(AAS),即可得F点坐标为(1,4),用待定系数法求出直线EF的解析式为y=5x﹣1,联立方程组,即可求P (,);②当点P在射线CA上时,过点C作CH⊥CE交直线EP于点H,过点H作HK⊥y轴交于K,过点H作GH⊥x轴,过点C作CG⊥GH交于G,证明△CHG≌△EHK(AAS),可求得H (﹣,﹣),求出直线HE的解析式为y=﹣x﹣1,联立方程组,则可求P (﹣,﹣).【解答】解:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,∵A(﹣3,0),B(0,6),则有,∴,∴y=2x+6,∵C(﹣a,a),∴C(﹣2,2);(2)∴S△AOB =×3×6=9,∴S△ACD =×2×AD=9,∴AD=9,设D(x,0),∴|x+3|=9,∴x=6或x=﹣12,∴D(6.0)或(﹣12,0);(3)①如图,当点P在射线CB上时,过点C作CF ⊥CE交直线EP于点F,∵∠CEF=45°,∴CE=CF,过C作x轴垂线l,分别过F,E作FM⊥l,EN⊥l,∴∠FMC=∠CNE=90°,∠MCF+∠MFC=90°,∵CF⊥CE,∴∠MCF+∠NCE=90°,∴∠MFC=∠NCE,∴△FMC≌△CNE(AAS),∴FM=CN=3,CM=EN=2,即F点坐标为(1,4),设直线EF的解析式为y=kx+b,∴,∴,∴直线EF的解析式为y=5x﹣1,联立,解得,∴P (,);②当点P在射线CA上时,过点C作CH⊥CE交直线EP于点H,过点H作HK ⊥y轴交于K,过点H作GH⊥x轴,过点C作CG⊥GH交于G,∵∠CHK=90°,∴∠CHG+∠KHE=90°,∵∠CHG+∠HCG=90°,∴∠KHE=∠HCG,∵∠DEP=45°,∴DH=HE,∴△CHG≌△EHK(AAS),∴CG=KE,GH=HK,∵E(0,﹣1),C(﹣2,2),∴GH=3﹣CG=2+OK=2+CG,∴CG =,∴H (﹣,﹣),设直线HE的解析式为y=k'x+b',,∴,∴y =﹣x﹣1,联立方程组,解得,∴P (﹣,﹣),综合上所述,点P 坐标为(,)或(﹣,﹣).第21页(共21页)。
苏科版八年级数学上册第6章 一次函数的应用——动点问题(解析版)

一次函数的应用——动点问题一、单选题1.在平面直角坐标系中,已知一次函数y=﹣34x+6与x,y轴分别交于A,B两点,点C (0,n)是y轴上一点,把坐标平面沿直线AC折叠,点B刚好落在x轴上,则点C的坐标是()A. (0,3)B. (0,43) C. (0,83) D. (0,73)【答案】C【解析】【解答】解:过C作CD⊥AB于D,如图,对于直线y=﹣34x+6,当x=0,得y=6;当y=0,x=8,∴A(8,0),B(0,6),即OA=8,OB=6,∴AB=10,又∵坐标平面沿直线AC折叠,使点B刚好落在x轴上,∴AC平分∠OAB,∴CD=CO=n,则BC=6﹣n,∴DA=OA=8,∴DB=10﹣8=2,在Rt△BCD中,DC2+BD2=BC2,∴n2+22=(6﹣n)2,解得n= 83,∴点C的坐标为(0,83).故答案为:C.2.如图,函数y=mx﹣4m(m是常数,且m≠0)的图象分别交x轴、y轴于点M,N,线段MN上两点A,B(点B在点A的右侧),作AA1⊥x轴,BB1⊥x轴,且垂足分别为A1,B1,若OA1+OB1>4,则△OA1A的面积S1与△OB1B的面积S2的大小关系是()A. S1>S2B. S1=S2C. S1<S2D. 不确定的【答案】A【解析】【解答】解:由题意可得,m<0,设A(a,ma﹣4m),B(b,mb﹣4m),a<b,∵S1= 12a×(ma﹣4m),S2= 12b(mb﹣4m)∴S1﹣S2= 12(ma2﹣mb2)﹣124m(a﹣b)=(a﹣b){ 12m(a+b)﹣124m}.又∵OA1+OB1>4,∴12m(a+b)﹣124m= 12m(a+b﹣4)<0,∴S1﹣S2>0,故选A.3.如图,正方形ABCD的边长为4,P为正方形边上一动点,沿A→D→C→B→A 的路径匀速移动,设P点经过的路径长为x,△APD的面积是y,则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【解答】解:①当点P由点A向点D运动时,y的值为0;②当点P在DC上运动时,y随着x的增大而增大;③当点p 在CB 上运动时,y=AB•AD ,y 不变; ④当点P 在BA 上运动时,y 随x 的增大而减小. 故选B .二、填空题4.如图,直线y=﹣ 12 x+3与坐标轴分别交于点A 、B ,与直线y=x 交于点C ,线段OA 上的点Q 以每秒1个长度单位的速度从点O 出发向点A 作匀速运动,运动时间为t 秒,连接CQ .若△OQC 是等腰直角三角形,则t 的值为________.【答案】2或4【解析】【解答】∵由 {y =−12x +3y =x,得 {x =2y =2 , ∴C (2,2);如图1,当∠CQO=90°,CQ=OQ ,∵C (2,2), ∴OQ=CQ=2, ∴t=2;如图2,当∠OCQ=90°,OC=CQ , 过C 作CM ⊥OA 于M ,∵C (2,2), ∴CM=OM=2, ∴QM=OM=2, ∴t=2+2=4,即t的值为2或4,故答案为:2或4.5.如图,已知点C为直线y=x上在第一象限内一点,直线y=2x+1交y轴于点A,交x轴于B,将直线AB沿射线OC方向平移√2个单位,则平移后直线的解析式为________。
一次函数与几何及动点综合题(含解析)

一、选择题(题型注释)1.如图反映的过程是:矩形ABCD 中,动点P 从点A 出发,依次沿对角线AC 、边CD 、边DA 运动至点A 停止,设点P 的运动路程为x , ABP S y △.则矩形ABCD 的周长是(P )D A BC61295Oy xA .6B .12C .14D .15 【答案】C 【解析】试题分析:结合图象可知,当P 点在AC 上,△ABP 的面积y 逐渐增大,当点P 在CD 上,△ABP 的面积不变,由此可得AC=5,CD=4,则由勾股定理可知AD=3,所以矩形ABCD 的周长为:2×(3+4)=14.考点:动点问题的函数图象;矩形的性质.点评:本题考查的是动点问题的函数图象,解答本题的关键是根据矩形中三角形ABP 的面积和函数图象,求出AC 和CD 的长.2.小芳步行上学,最初以某一速度匀速前进,中途遇红灯,稍作停留后加快速度跑步去上学,到校后,她请同学们画出她行进路程s (米)与行进时间t (分钟)的函数图象的示意图.你认为正确的是( )【答案】C 【解析】试题分析:运用排除法解答本题,中间的停留路程不变,可排除BD 两项,最后的加速图象应为比最初的路程增加直线增速更快的图象,C 对3.如图,已知A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n+1是x 轴上的点,且OA 1=A 1A 2=A 2A 3=…=A n A n+1=1,分别过点A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n+1作x 轴的垂线交直线y=2x 于点B 1、B 2、B 3、…、B n 、B n+1,连接A 1B 2、B 1A 2、B 2A 3、…、A n B n+1、B n A n+1,依次相交于点P 1、P 2、P 3、…、P n .△A 1B 1P 1、△A 2B 2P 2、△A n B n P n 的面积依次记为S 1、S 2、S 3、…、S n ,则S n 为( )A.121nn++B.31nn-C.221nn-D.221nn+【答案】D.【解析】试题分析:∵A1、A2、A3、…、A n、A n+1是x轴上的点,且OA1=A1A2=A2A3=…=A n A n+1=1,∴A1(1,0),A2(2,0),A3(3,0),…A n(n,0),A n+1(n+1,0),∵分别过点A1、A2、A3、…、A n、A n+1,作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、B n、B n+1,∴B1的横坐标为:1,纵坐标为:2,则B1(1,2),同理可得:B2的横坐标为:2,纵坐标为:4,则B2(2,4),B3(2,6),…B n(n,2n),B n+1(n+1,2n+2),根据题意知:P n是A n B n+1与 B n A n+1的交点,设:直线A n B n+1的解析式为:y=k1x+b1,直线B n A n+1的解析式为:y=k2x+b2,∵A n(n,0),A n+1(n+1,0),B n(n,2n),B n+1(n+1,2n+2),∴直线A n B n+1的解析式为:y=(2n+2)x﹣2n2﹣2n,直线B n A n+1的解析式为:y=﹣2n x+2n2+2n,∴P n(22221n nn++,24421n nn++)∴△A n B n P n的A n B n边上的高为:22221n nnn+-+=21nn+,△A n B n P n的面积S n为:21222121n nnn n⨯⋅=++.故选D .考点:一次函数图象上点的坐标特征. 4.如图,已知直线l :x y 33,过点A (0,1)作y 轴的垂线 交直线l 于点B ,过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1;过 点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1,过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2;…;按此作法继续下去,则点A 4的坐标为 A.(0,64) B.(0,128) C.(0,256) D.(0,512)【答案】C. 【解析】试题分析:∵直线l 的解析式为;3, ∴l 与x 轴的夹角为30°, ∵AB ∥x 轴, ∴∠ABO=30°, ∵OA=1, ∴OB=2, ∴3,∵A 1B ⊥l ,∴∠ABA 1=60°, ∴A 1O=4, ∴A 1(0,4),同理可得A 2(0,16), …∴A 4纵坐标为44=256, ∴A 4(0,256). 故选C .考点:一次函数综合题.5.如图,在矩形ABCD 中,O 是对角线AC 的中点,动点P ,Q 分别从点C ,D 出发,沿线段CB ,DC 方向匀速运动,已知P ,Q 两点同时出发,并同时到达终点B ,C .连接OP ,OQ .设运动时间为t ,四边形OPCQ 的面积为S ,那么下列图象能大致刻画S 与t 之间的关系的是【答案】A . 【解析】试题分析:作OE ⊥BC 于E 点,OF ⊥CD 于F 点,如图,设BC=a ,AB=b ,点P 的速度为x ,点F 的速度为y , 则CP=xt ,DQ=yt ,所以CQ=b-yt , ∵O 是对角线AC 的中点,∴OE 、OF 分别是△ACB 、△ACD 的中位线, ∴OE=12b ,OF=12a , ∵P ,Q 两点同时出发,并同时到达终点, ∴a bx y=,即ay=bx , ∴S=S △OCQ +S △OCP =12•12a•(b-yt )+12•12b•xt=14ab-14ayt+14bxt=14ab (0<t <a x), ∴S 与t 的函数图象为常函数,且自变量的范围为0<t <ax).故选A .考点:动点问题的函数图象.6.函数321+=x y 的图象与x 、y 轴分别交于点A 、B ,点P )(y x ,为直线AB 上的一动点(0>x )过P 作PC ⊥y 轴于点C ,若使PBC ∆的面积大于AOB ∆的面积,则P的横坐标x 的取值范围是( )A 、30<<xB 、3>xC 、63<<xD 、6>x【解析】试题分析:由题意知:PC=x ,OC=132x + ∴BC=12x ∵PBC ∆的面积大于AOB ∆的面积∴x >6. 故选D.考点: 一次函数综合题.7.如图1,在直角梯形ABCD 中,动点P 从点B 出发,沿BC ,CD 运动至点D 停止.设点P 运动的路程为 ,△ABP 的面积为y ,如果y 关于x 的函数图象如图2所示,则△BCD 的面积是( )A .3B .4C .5D .6 【答案】A 【解析】 试题分析:动点P 从直角梯形ABCD 的直角顶点B 出发,沿BC ,CD 的顺序运动,则△ABP 面积y 在BC 段随x 的增大而增大;在CD 段,△ABP 的底边不变,高不变,因而面积y 不变化.由图2可以得到:BC=2,CD=3,△BCD 的面积是12×2×3=3. 故选A .考点:动点问题的函数图象.8.如图,正方形ABCD 的边长为4,P 为正方形边上一动点,沿A →D →C →B →A 的路径匀速移动,设P 点经过的路径长为x ,△APD 的面积是y ,则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是A .B .C .D .【解析】当点P 由点A 向点D 运动时,y 的值为0; 当点p 在DC 上运动时,y 随着x 的增大而增大; 当点p 在CB 上运动时,y 不变;当点P 在BA 上运动时,y 随x 的增大而减小。
第四章一次函数综合题动点问题练习(1)2021-2022学年 北师大版数学八年级上册

北师大版数学八年级上册第四章一次函数综合题动点问题练习11.如图,直线y=kx+6分别与x轴、y轴交于点E,F,已知点E的坐标为(-8,0),点A的坐标为(-6,0).(1)求k的值;(2)若点P(x,y)是该直线上的一个动点,且在第二象限内运动,试写出△OPA的面积S关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;(3)点P是该直线上的一个动点,且在第二象限内运动,探究:当点P运动到什么?并说明理由.位置时,△OPA的面积为2782.如图,已知点A(6,0)、点B(0,2).(1)求直线AB所对应的函数表达式;(2)若C为直线AB上一动点,当△OBC的面积为3时,试求点C的坐标.3.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l1:y=x+3分别交x轴、y轴于点A、B,直线l2:y=-3x与直线l1交于点C,点P为y轴上一动点.(1)求点C的坐标;(2)当PA+PC的值最小时,求此时P点的坐标,并求PA+PC的最小值;(3)在平面直角坐标系中是否存在点M,使以点A、O、C、M为顶点的四边形是平行四边形,若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说出理由.4.如图1,已知平行四边形ABCD,AB//x轴,AB=12,点A的坐标为(2,-8),点D的坐标为(-6,8),点B在第四象限,点P是平行四边形ABCD边上的一个动点.(1)若点P在边BC上,PD=CD,求点P的坐标.(2)若点P在边AB,AD上,点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x-1上,求点P的坐标.(3)若点P在边AB,AD,CD上,点G是AD与y轴的交点,如图2,过点P作y轴的平行线PM,过点G作x轴的平行线GM,它们相交于点M,将△PGM沿直线PG翻折,当点M的对应点落在坐标轴上时,求点P的坐标(直接写出答案).5.直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于B,C两点,且OCOB =43.(1)求点B的坐标和k的值.(2)若点A是在第一象限内直线y=kx-4上的一个动点,当它运动到什么位置时,△AOB的面积是12?(3)若点A是直线y=kx-4上的一个动点,设A(x,y),△AOB的面积为s,求s关于x 的函数表达式,并写出x的取值范围.6.已知,直线y=2x-2与x轴交于点A,与y轴交于点B.(1)如图①,点A的坐标为______,点B的坐标为______;(2)如图②,点C是直线AB上不同于点B的点,且CA=AB.①求点C的坐标;②过动点P(m,0)且垂直于x轴的直线与直线AB交于点E,若点E不在线段BC上,则m的取值范围是______;(3)若∠ABN=45°,求直线BN的解析式.7.如图,直线l分别交坐标轴于点A(3,0)、B(0,6).点P(m,n)是直线l上的动点,但不与点A重合,连接OP,设△OAP的面积为S.(1)求直线l所对应的函数表达式;(2)求S与m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;(3)是否存在这样的点P,使S=3?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.8.如图,直线y=2x+6交x轴于A,交y轴于B.(1)直接写出A(______,______),B(______,______);x上一点,若以A,B,(2)如图1,点E为直线y=x+2上一点,点F为直线y=12E,F为顶点的四边形是平行四边形,求点E,F的坐标.(3)如图2,点C(m,n)为线段AB上一动点,D(-7m,0)在x轴上,连接CD,点M为CD的中点,求点M的纵坐标y和横坐标x之间的函数关系式,并直接写出在点C移动过程中点M的运动路径长.9.在直角坐标系xOy中,已知点A(3,0),直线l:y=−x+4,在第一象限有一动点P(x,y)在直线l上,直线l与x轴、y轴分别交于点B、C,设ΔOPA的面积为S.(1)分别求出B、C的坐标;(2)求S关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;10.已知,直线AB分别交x、y轴于A(4,0)、B两点,C(-4,a)为直线y=-x与AB的公共点.(1)求点B的坐标。
(完整版)八年级数学一次函数动点问题

(2)试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式,并写出相应的t的取值范围。
(3)试求题(2)中当t为何值时,S的值最大,并求出S的最大值。
(4)随着P、Q两点的运动,当点M在线段CB上运动时,设PM的延长线与直线 相交于点N。试探究:当t为何值时,△QMN为等腰三角形?请直接写出t的值.
(3)在坐标平面内存在这样的点M,使得△MAC为等腰三角形且底角为30°,写出所有符合要求的点M的坐标。
6、如图,在平面直角坐标系中.四边形OABC是平行四边形.直线 经过O、C两点.点A的坐标为(8,o),点B的坐标为(11.4),动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动,同时动点Q从点A出发以每秒2 个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动,过点P作PM垂直于x轴,与折线O一C—B相交于点M。当P、Q两点中有一点到达终点时,另一点也随之停止运动,设点P、Q运动的时间为t秒( ).△MPQ的面积为S.
为(-6,0)。(1)求 的值;(2)若点P( , )是第二象限内的直线上的一个动点,在点P的运动过程中,试写出△OPA的面积S与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)探究:当点P运动到什么位置时,△OPA的面积为 ,并说明理由。
5、己知如图在直角坐标系中,矩形OABC的对角线AC所在直线的解析式为 。
(2)当 为等腰三角形时,求点 的坐标.
(3)在直线 上是否存在点 ,使得以点 为顶点的四边形是平行四边形?
9、如图:直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点, ,点C(x,y)是直线y=kx+3上与A、B不重合的动点。(1)求直线 的解析式;(2)当点C运动到什么位置时△AOC的面积是6;(3)过点C的另一直线CD与y轴相交于D点,是否存在点C使△BCD与△AOB全等?若存在,请求出点C的坐标;若不存在,请说明理由。
中考数学《一次函数-动态几何问题》专项练习题及答案

中考数学《一次函数-动态几何问题》专项练习题及答案一、单选题1.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∥B=90°,AB=AD=5,BC=4,M、N、E分别是AB、AD、CB上的点,AM=CE=1,AN=3,点P从点M出发,以每秒1个单位长度的速度沿折线MB﹣BE向点E运动,同时点Q从点N出发,以相同的速度沿折线ND﹣DC﹣CE向点E运动,当其中一个点到达后,另一个点也停止运动.设∥APQ的面积为S,运动时间为t秒,则S与t函数关系的大致图象为()A.B.C.D.2.如图,正方形ABCD的边长为2cm,动点P从点A出发,在正方形ABCD的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止设点P的运动路程为x(cm),在下列图象中,能表示∥ADP的面积y(cm2)关于x(cm)的函数关系的图象是()A.B.C.D.3.如图,矩形ABCD中,P为CD中点,点Q为AB上的动点(不与A,B重合).过Q作QM∥PA 于M,QN∥PB于N.设AQ的长度为x,QM与QN的长度和为y.则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是( )A.B.C.D.4.如图,平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(9,6),AB⊥y轴,垂足为B,点P从原点O出发向x轴正方向运动,同时,点Q从点A出发向点B运动,当点Q到达点B时,点P、Q同时停止运动,若点P与点Q的速度之比为1:2,则下列说法正确的是()A.线段PQ始终经过点(2,3)B.线段PQ始终经过点(3,2)C.线段PQ始终经过点(2,2)D.线段PQ不可能始终经过某一定点5.如图1,在四边形ABCD中,DC//AB,∠DAB=90°,点E沿着B→C→D的路径以2cm/s速度匀速运动,到达点D停止运动,EF始终与直线BC保持垂直,与AB或AD交于点F,设线段EF的长度为d(cm),运动时间为t(s),若d与t之间的关系如图2所示,则图中a的值为()A.3.8B.3.9C.4.5D.4.86.如图,在平面直角坐标系中,A(1,1),B(2,2),直线y=kx+x+3与线段AB有公共点,则k的取值范围是()A.k≥−3B.k<−32C.−3<k<−32D.−3≤k≤−3 27.如图所示,A、M、N点坐标分别为A(0,1),M(3,2),N(4,4),动点P从点A出发,沿y 轴以每秒一个单位长度的速度向上移动,且过点P的直线l:y=﹣x+b也随之移动,设移动时间为t 秒,若点m,n分别位于l的异侧,则t的取值范围是()A.5<t<8B.4<t<7C.4≤t≤7D.4<t<88.一次函数y=−2x+4的图象与y轴交于点P,将一次函数图象绕着点P转动,转动后得到的一次函数图象与两坐标轴所围成的面积比原来增加2,则转动后得到的一次函数图象与x轴交点横坐标为()A.−3B.3C.3或−3D.6或−69.如图,在平面直角坐标系中有-个3×3的正方形网格,其左下角格点A的坐标为(1,1),右上角格点B的坐标为(4,4),若分布在直线y=k(x-1)两侧的格点数相同,则k的取值可以是()A.52B.2C.74D.3210.如图,直线AB:y=-3x+9交y轴于A,交x轴于B,x轴上一点C(-1,0),D为y轴上一动点,把线段BD绕B点逆时针旋转90°得到线段BE,连接CE,CD,则当CE长度最小时,线段CD的长为()A.√10B.√17C.5D.2√711.小颖从家出发,走了20分钟,到一个离家1000米的图书室,看了40分钟的书后,用15分钟返回到家,图(3)中表示小颖离家时间x与距离y之间的关系正确的是()A.B.C.D.12.如图,在平面直角坐标系中,线段AB的端点A(−1,−2),B(3,−1),若直线y=kx+2与线段AB有交点,则k的值可能是()A.2B.3C.−12D.-4二、填空题13.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(0,2),点B是x轴上的一个动点,始终保持∥ABC 是等边三角形(点A,B,C按逆时针排列),当点B运动到原点O处时,则点C的坐标是.随着点B在x轴上移动,点C也随之移动,则点C移动所得图象的表达式是.14.在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别是(m,2),(2m−1,2),若直线y=4x+1与线段AB有公共点,则m的取值范围是≤m≤.15.在平面坐标系中,已知点A(2,3),B(5,8),直线y=kx-k(k≠0)与线段AB有交点,则k的取值范围为.16.如图,在直角坐标系中,∥A的圆心的坐标为(﹣2,0),半径为2,点P为直线y=﹣34x+6上的动点,过点P作∥A的切线,切点为Q,则切线长PQ的最小值是17.如图,在∥ABC中,∥C=90°,AC=8,BC=6,D点在AC上运动,设AD长为x,∥BCD 的面积y,则y与x之间的函数表达式为.18.如图,点M的坐标为(3,2),点P从原点O出发,以每秒1个单位的速度沿y轴向上移动,同时过点P的直线关于直线l也随之上下平移,且直线l与直线y=−x平行,如果点M关于直线l的对称点落在坐标轴上,如果点P的移动时间为t秒,那么t的值为.三、综合题19.如图,在平面直角坐标系中,点F的坐标为(0,10).点E的坐标为(20,0),直线l1经过点F 和点E,直线l1与直线l2 、y= 34x相交于点P.(1)求直线l1的表达式和点P的坐标;(2)矩形ABCD的边AB在y轴的正半轴上,点A与点F重合,点B在线段OF上,边AD平行于x 轴,且AB=6,AD=9,将矩形ABCD沿射线FE的方向平移,边AD始终与x 轴平行.已知矩形ABCD以每秒√5个单位的速度匀速移动(点A移动到点E时止移动),设移动时间为t秒(t>0).①矩形ABCD在移动过程中,B、C、D三点中有且只有一个顶点落在直线l1或l2上,请直接写出此时t的值;②若矩形ABCD在移动的过程中,直线CD交直线l1于点N,交直线l2于点M.当∥PMN的面积等于18时,请直接写出此时t的值.20.在一次运输任务中,一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地,到达乙地卸货后返回.设汽车从甲地出发x(h)时,汽车与甲地的距离为y(km),y与x的函数关系如图所示.根据图象信息,解答下列问题:(1)这辆汽车的往、返速度是否相同?请说明理由;(2)求返程中y与x之间的函数表达式;(3)求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离.21.如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴、y轴分别交A、B两点,与直线y=−12x+b相交于点C(2,m)(1)求点A、B的坐标;(2)求m和b的值;(3)若直线y=−12x+b与x轴相交于点D.动点P从点D开始,以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动,设点P的运动时间为t秒①若点P在线段DA上,且ΔACP的面积为10,求t的值;②是否存在t的值,使ΔACP为等腰三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.22.当我们将一条倾斜的直线进行上下平移时,直线的左右位置也发生着变化.下面是关于“一次函数图象平移的性质”的探究过程,请补充完整.(1)如图1,将一次函数y=x+2的图像向下平移1个单位长度,相当于将它向右平移了个单位长度;(2)将一次函数y=−2x+4的图像向下平移1个单位长度,相当于将它向(填“左”或“右”)平移了个单位长度;(3)综上,对于一次函数y=kx+b(k≠0)的图像而言,将它向下平移m(m>0)个单位长度,相当于将它向(填“左”或“右”)(k>0时)或将它向(填“左”或“右”)(k<0时)平移了n(n>0)个单位长度,且m,n,k满足等式.23.如图,在平面直角坐标系中,点A(2,a),B(a+2,a),其中a>0,直线y=kx﹣2与y轴相交于C点.(1)已知a=2①求S∥ABC;②若点A和点B在直线y=kx﹣2的两侧,求k的取值范围;(2)当k=2时,若直线y=kx﹣2与线段AB的交点为D点(不与A点、B点重合),且AD<3,求a的取值范围.24.如图所示,平面直角坐标系中,直线AB交x轴于点B(﹣3,0),交y轴于点A(0,1),直线x=﹣1交AB于点D,P是直线x=﹣1上一动点,且在点D上方,设P(﹣1,n).(1)求直线AB的解析式;(2)求∥ABP的面积(用含n的代数式表示);(3)点C是y轴上一点,当S∥ABP=2时,∥BPC是等腰三角形①满足条件的点C的个数是▲ 个(直接写出结果);②当BP为等腰三角形的底边时,求点C的坐标.参考答案1.【答案】D 2.【答案】A 3.【答案】D 4.【答案】B 5.【答案】B 6.【答案】D 7.【答案】B 8.【答案】C 9.【答案】C 10.【答案】B 11.【答案】A 12.【答案】D13.【答案】( √3 ,1);y = √3 x -2 14.【答案】14;5815.【答案】2≤k ≤3 16.【答案】4√2 17.【答案】y =-3x +24 18.【答案】2或319.【答案】(1)解:设直线l 1的表达式为y=kx+b ∵直线l 1过点F (0,10),E (20,0)∴{b =1020k +b =0解得 {k =−12b =10直线l 1的表达式为y=﹣ 12 x+10求直线l 1与直线l 2 交点,得34 x=﹣ 12 x+10解得x=8y= 34×8=6 ∴点P 坐标为(8,6)(2)解:①如图,当点D 在直线上l 2时∵AD=9∴点D 与点A 的横坐标之差为9∴将直线l1与直线l2交解析式变为x=20﹣2y,x= 43y∴43y﹣(20﹣2y)=9解得y= 8710则点A的坐标为:(135,8710)则AF= √(135)2+(10−8710)2=13√510∵点A速度为每秒√5个单位∴t= 1310如图,当点B在l2直线上时∵AB=6∴点A的纵坐标比点B的纵坐标高6个单位∴直线l1的解析式减去直线l2 的解析式得﹣12x+10﹣34x=6解得x= 165则点A坐标为(165,425)则AF= √(165)2+(10−425)2=8√55∵点A速度为每秒√5个单位∴t= 8 5故t值为1310或85②如图设直线AB交l2 于点H设点A横坐标为a,则点D横坐标为a+9由①中方法可知:MN= 54a+54此时点P到MN距离为:a+9﹣8=a+1∵∥PMN的面积等于18∴12×(54a +54)⋅(a +1)=18解得a 1= 12√55−1 ,a 2=﹣ 12√55−1 (舍去)∴AF=6﹣ √52则此时t 为 6√55−12 当t= 6√55−12 时,∥PMN 的面积等于18 20.【答案】(1)解:不同.理由如下:∵ 往、返距离相等,去时用了2小时,而返回时用了2.5小时∴ 往、返速度不同.(2)解:设返程中 y 与 x 之间的表达式为 y =kx +b则 {120=2.5k +b ,0=5k +b.解之,得 {k =−48,b =240.∴ y =−48x +240 .( 2.5x ≤x ≤5 )(3)解:当 x =4 时,汽车在返程中∴y =−48×4+240=48 .∴ 这辆汽车从甲地出发4h 时与甲地的距离为48km.21.【答案】(1)解:在 y =x +2 中当 x =0 时当 y =0 时∴A(−2,0)(2)解: ∵ 点 C(2,m) 在直线 y =x +2 上∴m =2+2=4又 ∵ 点 C(2,4) 也在直线 y =−12x +b 上 ∴ 即 4=12x +5 解得 b =5(3)解:在 y =−12x +5 中 当 x =0 时∴D(10,0)∵A(−2,0)∴AD =12①设 PD =t ,则 AP =12−t过 C 作 CE ⊥AP 于 E ,则 CE =4由 ΔACP 的面积为 10得 12(12−t)×4=10 解得 t =7②过 C 作 CE ⊥AP 于 E则 CE =4∴AC =4√2a. 当 AC =CP 时,如图①所示则 AP =2AE =8∴PD =AD −AP =4∴t =4b. 当 AP 1=AP 2=AC =4√2 时,如图②所示DP 1=t =12−4√2c. 当 CP =AP 时,如图③所示设 EP =a则 CP =√a 2+42∴√a 2+42=a +4解得 a =0∴AP =4∴PD =8∴t =8综上所述,当 t =4 或 t =12−4√2 或 t =12+4√2 或 t =8 时,ΔACP 为等腰三角形22.【答案】(1)1(2)左;12(3)右;左;m=n|k|23.【答案】(1)解:①∵a =2∴A (2,2),B (4,2)∴AB =2∵直线y =kx ﹣2与y 轴相交于C 点∴C (0,﹣2),如图∴S ∥ABC =12AB×(2+2)=12×2×4=4. ②当直线y =kx ﹣2经过点A (2,2)时2k ﹣2=2,解得k =2当直线y =kx ﹣2经过点B (4,2)时4k ﹣2=2,解得k =1∴点A 和点B 在直线y =kx ﹣2的两侧时,1<k <2;(2)解:直线AB 的解析式为:y =a当k =2时,直线y =2x ﹣2∴2x ﹣2=a ,即x =a+22∴D (a+22,a )∴2<a+22<a+2解得a >2又∵AD =a+22−2<3解得a <8所以a 的取值范围为2<a <8.24.【答案】(1)解:设直线AB 的解析式为y=kx+b ,把A(0,1),B(﹣3,0)代入,得{b =1−3k +b =0解得{b =1k =13∴y =13x +1; (2)解:当x=-1时,y =13×(−1)+1=23∵P(﹣1,n)∴PD=n−2 3∴∥ABP的面积=∥APD的面积+∥BPD的面积=12PD⋅OB=12(n−23)×3=32n−1;(3)解:①3;②设C(0,c)∵P(-1,2),B(﹣3,0)∴PC2=(−1−0)2+(2−c)2=c2−4c+5BC2=(−3−0)2+(0−c)2=c2+9当PC=BC时c2-4c+5= c2+9∴c=-1∴C(0,-1).。
【2021中考数学】一次函数:动点综合含答案

2021年九年级中考数学一轮复习专题《一次函数:动点综合》1.如图所示,在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+3分别与x轴、y轴交于点B,C,且与直线y=x﹣2交于点A,直线y=x﹣2与y轴交于点D.(1)直接写出点A,B,C,D的坐标;(2)若点E是直线AD上的点,且△COE的面积为12,求直线CE的函数表达式;(3)设点P是x轴上的点,使得点P到点A,C的距离和最小,直接写出点P的坐标.2.如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx过点A(6,m),过点A作x轴的垂线,垂足为点B,过点A作y轴的垂线,垂足为点C.∠AOB=60°,CD⊥OA于点D.动点P从点O 出发,以每秒2个单位长度的速度向点A运动,动点Q从点A出发.以每秒个单位长度的速度向点B运动.点P,Q同时开始运动,当点P到达点A时,点P,Q同时停止运动,设运动时间为t(s),且t>0.(1)求m与k的值;(2)当点P运动到点D时,求t的值;(3)连接DQ,点E为DQ的中点,连接PE,当PE⊥DQ时,请直接写出点P的坐标.3.八年级数学兴趣小组的同学在一起研究数学问题:已知直线y =2x +2与y 轴、x 轴分别交于A 、B 两点,以B 为直角顶点在第二象限作等腰Rt △ABC ,请你参与解决以下问题:(1)如图1,请求出点C 的坐标;(2)如图2,直线CB 交y 轴于E ,在直线CB 上取一点D ,连接AD ,若AD =AC ,设△ABC 的面积为S 1,△ADE 的面积为S 2,请判断S 1与S 2的大小关系,并说明理由;(3)如图3,设直线AC 交x 轴于M ,P (﹣2.5,k )是线段BC 上一点,在线段BM 是否存在一点N ,使直线PN 平分△BCM 的面积?若存在,请求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由.4.如图,直线y =﹣x ﹣4交x 轴和y 轴于点A 和点C ,点B (0,2)在y 轴上,连接AB ,点P 为直线AB 上一动点.(1)直线AB 的解析式为 ;(2)若S △APC =S △AOC ,求点P 的坐标;(3)当∠BCP =∠BAO 时,求直线CP 的解析式及CP 的长.5.如图,在平面直角坐标系中,过点C(0,6)的直线AC与直线OA相交于点A(4,2).(1)求直线AC的表达式;(2)求△OAC的面积;(3)动点M在线段OA和射线AC上运动,是否存在点M,使△OMC的面积是△OAC的面积的?若存在,求出此时点M的坐标;若不存在,请说明理由.6.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+8与直线y=x﹣1交于点A(3,m).(1)求k,m的值;(2)已知点P(n,n),过点P作垂直于y轴的直线与直线y=x﹣1交于点M,过点P 作垂直于x轴的直线与直线y=kx+8交于点N(P与N不重合).若PN≤2PM,结合图象,求n的取值范围.7.点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上,过点P向x轴,y轴作垂线段,若垂线段的长度的和为4,则点P叫做“垂距点”,例如:如图中的P(1,3)是“垂距点”.(1)在点A(2,2),B(,﹣),C(﹣1,5),是“垂距点”的为;(2)若D(m,m)为“垂距点”,求m的值;(3)若过点(2,3)的一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上存在“垂距点”,则k的取值范围是.8.如图,在平面直角坐标系中,过点A(0,6)的直线AB与直线OC相交于点C(2,4)动点P沿路线O→C→B运动.(1)求直线AB的解析式;(2)当△OPB的面积是△OBC的面积的时,求出这时点P的坐标;(3)是否存在点P,使△OBP是直角三角形?若存在,直接写出点P的坐标,若不存在,请说明理由.9.如图,直线l的解析式为y=﹣x+b,它与坐标轴分别交于A、B两点,其中点B坐标为(0,4).(1)求出A点的坐标;(2)在第一象限的角平分线上是否存在点Q使得∠QBA=90°?若存在,求点Q的坐标;若不存在,请说明理由.(3)动点C从y轴上的点(0,10)出发,以每秒1cm的速度向负半轴运动,求出点C 运动所有的时间t,使得△ABC为轴对称图形(直接写答案即可)10.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=kx+b与x轴交于点A(﹣6,0),与y1:y=x相交于点C.轴交于点B(0,4),与直线l2(1)求直线l的函数表达式;1(2)求△COB的面积;(3)在x轴上是否存在一点P,使△POC是等腰三角形.若不存在,请说明理由;若存在,请直接写出点P的坐标.参考答案1.解:(1)∵直线y=﹣x+3分别与x轴、y轴交于点B,C,∴令y=0,则﹣x+3=0,解得x=6,令x=0,则y=3,∴B(6,0),C(0,3),∵直线y=x﹣2与y轴交于点D,∴当x=0时,y=﹣2,∴D(0,﹣2),解得,∴A(5,);(2)设点E的坐标为(),∴,即,∴a=±8,∴E(8,2)或E(﹣8,﹣6),设CE的函数表达式为y=kx+3,把E(8,2)或E(﹣8,﹣6)代入上式得或,∴直线CE的函数表达式为或;(3)如图,求得C关于x轴的对称点C′(0,﹣3),连接AC′,交x轴于P,设直线AC′的解析式为y=mx﹣3,代入A(5,)得,=5m﹣3,解得m=,∴直线AC′为y=x﹣3,令y=0,则x﹣3=0,解得x=,∴.2.解:(1)∵AB⊥OB,∴∠ABO=90°,∵∠AOB=60°,∴∠BAO=30°,∵A(6,m),∴OB=6,AB=m,∴OA=2OB=12,AB=6,∴m=6,即A(6,6),∵直线y=kx过点A(6,6),∴6k=6,∴k=;(2)如图1,∵AB∥y轴,∴∠COD=∠BAO=30°,∵CD⊥OA,∴∠CDO=90°,∵OC=AB=6,∴CD=OC=3,OD=CD=9,当点P运动到点D时,OP=OD=9,∴t=;(3)如图2,连接PQ,过点P作PF⊥AB于F,由题意得:OP=2t,AQ=t,Rt△ACD中,∠ACD=30°,AC=6,∴AD=3,∴PD=OA﹣AD﹣OP=12﹣2t﹣3=9﹣2t,∵E是DQ的中点,PE⊥DQ,∴PQ=PD=9﹣2t,Rt△APF中,∠BAO=30°,∴PF=AP==6﹣t,∵AQ=t,BF=t,∴FQ=AB﹣AQ﹣BF=6﹣t﹣t=6﹣2t,Rt△PQF中,由勾股定理得:PQ2=FQ2+PF2,∴(9﹣2t)2=(6﹣2t)2+(6﹣t)2,解得:t1=3(如图3,此时F与Q重合),t2=,如图4,过点P作PM⊥x轴于点M,Rt△OPM中,∠POM=30°,∴OM=OP=t,PM=t;∴P(3,3)或(,).3.解:(1)令x=0,则y=2,令y=0,则x=﹣1,则点A、B的坐标分别为:(0,2)、(﹣1,0),过点C作CH⊥x轴于点H,∵∠HCB +∠CBH =90°,∠CBH +∠ABO =90°,∴∠ABO =∠BCH ,∵∠CHB =∠BOA =90°,BC =BA ,∴△CHB ≌△BOA (AAS ),∴BH =OA =2,CH =OB ,则点C (﹣3,1);(2)将点A 、C 的坐标代入一次函数表达式:y =mx +b 得:,解得,故直线AC 的表达式为:y =x +2;∵AD =AC ,AB ⊥BC ,则BC =BD ,故S △ABC =S △ABD ,由C 、D 的坐标,同理可得直线CD 的表达式为:y =﹣x ﹣…①,则点E (0,﹣), 直线AD 的表达式为:y =﹣3x +2…②,联立①②并解得:x =1,即点D (1,﹣1),点B 、E 、D 的坐标分别为(﹣1,0)、(0,﹣)、(1,﹣1), 故点E 是BD 的中点,∴S 2=S △ABD =S △ABC =S 1,故S 1=2S 2;(3)将点BC 的坐标代入一次函数表达式并解得:直线BC的表达式为:y=﹣x﹣,将点P坐标代入直线BC的表达式得:k=,直线AC的表达式为:y=x+2,则点M(﹣6,0),S△BMC=MB×y C=×5×1=,S△BPN =S△BCM==NB×k=NB,解得:NB=,则ON=,∵BN<BM,故点N在线段MB上,故点N(﹣,0).4.解:(1)∵直线y=﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C,∴点A(﹣4,0),点C(0,﹣4),设直线AB的解析式为y=kx+b,由题意可得:,解得:,∴直线AB的解析式为y=x+2,故答案为:y=x+2;(2)∵点A(﹣4,0),点C(0,﹣4),点B(0,2),∴OA=OC=4,OB=2,∴BC=6,设点P(m,m+2),当点P在线段AB上时,∵S△APC =S△AOC,∴S△ABC ﹣S△PBC=×4×4,∴×6×4﹣×6×(﹣m)=8,∴m=﹣,∴点P(﹣,);当点P在BA的延长线上时,∵S△APC =S△AOC,∴S△PBC ﹣S△ABC=×4×4,∴×6×(﹣m)﹣×6×4=8,∴m=﹣,∴点P(﹣,﹣),综上所述:点P坐标为(﹣,)或(﹣,﹣);(3)如图,当点P在线段AB上时,设CP与AO交于点H,在△AOB和△COH中,,∴△AOB≌△COH(ASA),∴OH=OB=2,∴点H坐标为(﹣2,0),设直线PC解析式y=ax+c,由题意可得,解得:,∴直线PC解析式为y=﹣2x﹣4,联立方程组得:,解得:,∴点P(﹣,),∴CP==,当点P'在AB延长线上时,设CP'与x轴交于点H',同理可求直线P'C解析式为y=2x﹣4,联立方程组,∴点P(4,4),∴CP==4,综上所述:CP的解析式为:y=﹣2x﹣4或y=2x﹣4;CP的长为或4.5.解:(1)设直线AC的解析式是y=kx+b,根据题意得:,解得:.则直线AC的解析式是:y=﹣x+6;(2)∵C(0,6),A(4,2),∴OC=6,=×6×4=12;∴S△OAC(3)设OA的解析式是y=mx,则4m=2,解得:m=.则直线的解析式是:y=x,∵当△OMC的面积是△OAC的面积的时,∴M到y轴的距离是×4=1,∴点M的横坐标为1或﹣1;当M 的横坐标是:1,在y =x 中,当x =1时,y =,则M 的坐标是(1,);在y =﹣x +6中,x =1则y =5,则M 的坐标是(1,5).则M 的坐标是:M 1(1,)或M 2(1,5).当M 的横坐标是:﹣1,在y =﹣x +6中,当x =﹣1时,y =7,则M 的坐标是(﹣1,7).综上所述:M 的坐标是:M 1(1,)或M 2(1,5)或M 3(﹣1,7). 6.解:(1)把A (3,m )代入y =x ﹣1中,得m =3﹣1=2,∴A (3,2),把A (3,2)代入y =kx +8中,得2=3k +8,解得,k =﹣2;答:k ,m 的值为﹣2、2;(2)由(1)知,直线y =kx +8为y =﹣2x +8,根据题意,如图:∵点P (n ,n ),∴M (n ﹣1,n ),N (n ,﹣2n +8),∴PM =1,PN =|3n ﹣8|,∵PN ≤2PM ,∴|3n ﹣8|≤2×1,∴2≤n≤∵P与N不重合,∴n≠﹣2n+8,∴n≠,综上,2≤n≤,且n≠.7.解:(1)根据题意,对于点A而言,|2|+|2|=4,A是“垂距点”,对于点B而言,||+|﹣|=4,B是“垂距点”,对于点C而言,|﹣1|+|5|=6≠4,所以C不是“垂距点”,故答案为A和B.(2)根据题意得|m|+||=4①当m>0时,则2m=4,解得m=2,②当m<0时,则﹣2m=4,解得m=﹣2,故m的值为±2.(3)如图,取E(0,4),F(4,0),G(﹣4,0).连接EF,EG,在EF上取一点P,作PM⊥OE于M,PN⊥OF于N.则有四边形PMON是矩形,可得PN=OM,∵OE=OF,∴∠OEF=45°∴PM=EM,∴PM+PN=OM+EM=4,∴线段EF或线段EG上的点是“垂距点”,当直线y=kx+b与线段EF或线段EG有交点时,直线y=kx+b上存在“垂距点”,∵直线y=kx+b,经过A(2,3),∴3=2k+b,∴b=3﹣2k,∴直线y=kx+3﹣2k,当直线经过E(0,4)时,k=﹣,当直线经过F(4,0)时,k=﹣,观察图象可知满足条件的k的值为k≤﹣或k≥﹣且k≠0.故答案为:k≤﹣或k≥﹣且k≠0.8.解:(1)∵点A的坐标为(0,6),∴设直线AB的解析式为y=kx+6,∵点C(2,4)在直线AB上,∴2k+6=4,∴k=﹣1,∴直线AB的解析式为y=﹣x+6;(2)由(1)知,直线AB的解析式为y=﹣x+6,令y=0,∴﹣x+6=0,∴x=6,∴B(6,0),∴S=OB•y C=12,△OBC∵△OPB的面积是△OBC的面积的,∴S=×12=3,△OPB设P的纵坐标为m,=OB•m=3m=3,∴S△OPB∴m=1,∵C(2,4),∴直线OC的解析式为y=2x,当点P在OC上时,x=,∴P(,1),当点P在BC上时,x=6﹣1=5,∴P(5,1),即:点P(,1)或(5,1);(3)∵△OBP是直角三角形,∴∠OPB=90°,①当点P在OC上时,如图,过点C作CH⊥x轴于H,∵C(2,4),∴CH=4,OC=2=OB•CH=OC•BP,∴S△OBC∴BP===,由(2)知,直线OC的解析式为y=2x①,设点P的坐标为(m,2m),∵B(6,0),∴BP2=(m﹣6)2+4m2=,∴m=∴P(,),②当点P在BC上时,同①的方法,∴P(3,3),即:点P的坐标为(,)或(3,3).9.解:(1)将点B(0,4)代入直线l的解析式得:b=4,∴直线l的解析式为:y=x+4,令y=0得:x=3,∴A(3,0).(2)存在.∵Q在第一象限的角平分线上,设Q(x,x),根据勾股定理:QB2+BA2=QA2,x2+(x﹣4)2+52=x2+(x﹣3)2,解得x=16,故Q(16,16).(3)能使△ABC为轴对称图形,则得:△ABC为等腰三角形,当AB=BC时,C(0,9)或(0,﹣1),此时C点运动1秒或11秒,当AB=AC时,C(0,﹣4),此时C点运动14秒,当AC=BC时,C(0,),此时C点运动秒.综上所述:当C点运动1秒、秒、11秒、14秒时,能使△ABC为轴对称图形.10.解:(1)将点A(﹣6,0),B(0,4)代入y=kx+b中,得,∴,∴直线l的函数表达式为y=x+4;1的函数表达式为y=x+4①,(2)由(1)知,直线l1:y=x,∵直线l2联立①②解得,,∴C(6,8),∵B(0,4),∴OB=4,=OB•|x C|=×4×6=12;∴S△COB(3)设P(m,0),∵O(0,0),C(6,8),∴OP=|m|.OC=10,CP=,∵△POC是等腰三角形,①当OP=OC时,∴|m|=10,∴m=±10,∴P(﹣10,0)或(10,0),②当OP=CP时,∴|m|=,∴m=,∴P(,0),③当OC=CP时,∴10=,∴m=0(舍)或m=12,∴P(12,0),即:满足条件的点P的坐标为(﹣10,0)或(10,0)或(12,0)或(,0).21。
一次函数之动点问题(含解析)

一次函数之动点问题一、 框架套路和标准动作动点问题的特征是速度已知,主要考查运动的过程. 1. 一次函数背景下研究动点问题的思考方向:①把函数信息(坐标或表达式)转化为背景图形的信息; ②分析运动过程,注意状态转折,确定对应的时间范围; ③画出符合题意的图形,研究几何特征,设计解决方案. 2. 解决具体问题时会涉及线段长的表达,需要注意两点:①路程即线段长,可根据s=vt 直接表达已走路程或未走路程;②根据研究几何特征的需求进行表达,既要利用动点的运动情况,又要结合背景图形信息.二、 例题解析(1)读题标注,整合信息(即研究背景图形)由直线AB 的表达式y +()(400A B -,,, 即4OA OB ==,8AB =,∠BAC =60°.又由∠ABC =60°, 可得△ABC 是等边三角形,且AB =BC =AC =8,OA =OC =4. 如图:(2)分析特征,有序思考,设计方案(分析运动过程): 分析运动过程,核心是运动过程的四要素:①起点、终点、速度;②时间范围;③状态转折点;④目标.具体操作:①起点、终点、速度;动点P 从点A 沿AC 向点C 运动,可以确定点P 的起点(点A )、终点(点C ),速度为1/s ;动点Q 从点C 沿CB —BA 向点A 运动,可以确定点Q 的起点(点C )、终点(点A ),速度为2/s ,图示如下:AQ :BC (2/s)(1/s)A P :②时间范围根据路程、时间和速度的公式s =vt ,已知动点的速度,结合基本图形中线段长的研究,可以确定动点的运动时间.例如:动点P 的速度是1/s ,AC =8,故动点P 由A 到C 共经过8s ;动点Q 的速度是2/s ,CB =BA =8,故每段各走4s ,共8s ,综上0≤t ≤8.图示如下:AQ :B C4s(2/s)(1/s)(0≤t ≤8)A P :③状态转折点状态转折点即点的运动发生变化的点,常常为动点的运动方向发生改变、或者是动点的速度发生改变.例如:动点P 从点A 到点C ,速度和方向均未变化,故点P 没有状态转折点;动点Q 从点C 沿CB —BA 向点A 运动,在点B 处运动方向发生了变化,故点B 为状态转折点,由状态转折点可对运动过程进行分段.图示如下:4 < t ≤ 80 ≤ t ≤ 4①②Q :C(2/s)(1/s)(0≤t ≤8)A P :④确定目标确定目标是正确高效解题的保证,是有序操作的重要一环.本题求S 与t 之间的函数关系式,即用t 来表示△APQ 的面积S .图示如下:△APQ S (t )4 < t ≤ 80 ≤ t ≤ 4①②Q :C(2/s)(1/s)(0≤t ≤8)A P : (3)根据方案作出图形、有序操作(分段作图,求解)作图需要充分借助动点的运动路线图,利用运动路线图可以确定每段时间范围内点的位置. 例如:①当04t ≤≤时,点P 在AO 上,点Q 在CB 上,连接AQ ,PQ ;要求△APQ 的面积,先从表达开始,可以表达动点的已走路程,得到AP =t ,CQ =2t 。
初二数学 一次函数动点问题含解析

一次函数动点问题1、如图,正方形ABCD 的边长为6cm,动点P 从A 点出发,在正方形的边上由A→B→C→D 运动,设运动的时间为t(s),△ APD的面积为S(cm2),S与t 的函数图象如图所示,请回答下列问题:(1)点P 在AB 上运动时间为s,在CD 上运动的速度为cm/s,△APD 的面积S 的最大值为cm2;(2)求出点P 在CD 上运动时S 与t 的函数解析式;(3)当t 为s 时,△APD 的面积为10cm2.2、如图1,等边△ ABC 中,BC=6cm,现有两个动点P、Q 分别从点A 和点B 同时出发,其中点P 以2cm/s 的速度沿AB 向终点B 移动;点Q 以1cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动,其中一点到终点,另一点也随之停止.连接PQ,设动点运动时间为x 秒.(图2、图3 备用)(1)填空:B Q= ,P B= (用含x 的代数式表示);(2)当x 为何值时,PQ∥AC?(3)当x 为何值时,△ PBQ 为直角三角形?3、如图,矩形ABCD 中,AB=6,BC=8,点P 从A 出发沿A→B→C→D 的路线移动,设点P 移动的路线为x,△ PAD 的面积为y.(1)写出y 与x 之间的函数关系式,并在坐标系中画出这个函数的图象.(2)求当x=4 和x=18 时的函数值.(3)当x 取何值时,y=20,并说明此时点P 在矩形的哪条边上.4、如图1,在矩形ABCD 中,点P 从B 点出发沿着四边按B→C→D→A 方向运动,开始以每秒m 个单位匀速运动,a秒后变为每秒2 个单位匀速运动,b秒后又恢复为每秒m 个单位匀速运动.在运动过程中,△ ABP 的面积S 与运动时间t 的函数关系如图2 所示.(1)求矩形ABCD 的长和宽;(2)求m、a、b 的值5、如图1 所示,在直角梯形ABCD 中,AB∥DC,∠B=90°.动点P 从点B 出发,沿梯形的边由B→C→D→A 运动.设点P 运动的路程为x,△ ABP 的面积为y.把y 看作x 的函数,函数的图象如图2 所示,试求当0≤x≤9 时y 与x 的函数关系式.6、如图1,在矩形ABCD 中,AB=12cm,BC=6cm,点P 从A 点出发,沿A→ B→C→D 路线运动,到D 点停止;点Q 从D 点出发,沿D→C→B→A 运动,到A 点停止.若点P、点Q 同时出发,点P 的速度为每秒1cm,点Q 的速度为每秒2cm,a 秒时点P、点Q 同时改变速度,点P的速度变为每秒b(cm),点Q的速度变为每秒c(cm).如图2 是点P出发x秒后△ APD 的面积S1(cm2)与x(秒)的函数关系图象;图3 是点Q 出发x 秒后△ AQD 的面积S2(cm2)与x(秒)的函数关系图象.根据图象:(1)求a、b、c 的值;(2)设点P离开点A的路程为y1(cm),点Q到点A还需要走的路程为y2(cm),请分别写出改变速度后y1、y2 与出发后的运动时间x(秒)的函数关系式,并求出P 与Q 相遇时x 的值.动点答案1、解:(1)点P在AB上运动的速度为6÷6=1cm/s,在CD上运动的速度为6÷3=2cm/s,当点P 运动到点B 时,△APD 的面积S 最大,最大值是×6×6=18cm2;(2)PD=6﹣2(t﹣12)=30﹣2t,S= AD•PD= ×6×(30﹣2t)=90﹣6t;(3)当0≤t≤6 时,S=3t,12≤t≤15 时,90﹣6t=10,t=,所以当t 为(s)、(s)时,△APD的面积为10c△ APD 的面积为10cm2,即S=10 时,3t=10,t= ,当m2.2、解:(1)根据题意,B Q=x,P B=6﹣2x;(2)若PQ∥AC,有,即,解之得:x=2;(3)当∠BPQ=90°时,根据三角函数关系,可知BQ=2BP,∴x=2(6﹣2x),解之得:x= ,当∠BQP=90°时,2BQ=BP,即6﹣2x=x,解之得:x= .3、解:(1)当点P在线段AB上时,此时AP=x,AD=8,根据三角形的面积公式可得:y= •AD•AP= ×8×x=4x,当点P 在线段BC 上运动时,面积不变;当点P 在线段CD 上,运动时,DP=6+8+6﹣x=20﹣x,AD=8根据三角形的面积公式可得:y= •AD•DP=×8×(20﹣x)=80﹣4x,∴y 与x 之间的函数关系式为y=(2)当x=4 时,y=4x=4×4=16,当x=18 时,y=80﹣4×18=8;(3)当y=4x=20,解得x=5,此时点P 在线段AB 上,当y=80﹣4x=20,解得x=15,此时点P 在线段CD 上.4、解:(1)从图象可知,当6≤t≤8 时,△ A B P面积不变即6≤t≤8 时,点P 从点C 运动到点D,且这时速度为每秒2 个单位∴CD=2(8﹣6)=4∴AB=CD=4(2 分)当t=6 时(点P运动到点C),S△ABP=16∴AB•BC=16∴×4×BC=16∴BC=8(4 分)∴长方形的长为8,宽为4.(2)当t=a 时,S△ABP=8=×16即点P 此时在BC 的中点处∴PC= BC= ×8=4∴2(6﹣a)=4∴a=4(6 分)∵BP=PC=4∴m=BP÷a=4÷4=1,当t=b 时,S△ABP=AB•AP=4∴ ×4×AP=4,AP=2∴b=13﹣2=11(9 分);5、解:由题意知:BC=4,DC=9﹣4=5,AD=5…(3 分)…(5 分)当0≤x≤4 时,…(8 分)当4<x≤9 时,…(9 分)6、解:(1)观察图象得,S△APQ=PA•AD=×(1×a)×6=24,解得a=8(秒)b= =2(厘米/秒)(22﹣8)c=(12×2+6)﹣2×8解得c=1(厘米/秒)(2)依题意得:y1=1×8+2(x﹣8),即:y1=2x﹣8(x>8),y2=(30﹣2×8)﹣1×(x﹣8)=22﹣x(x>8)又据题意,当y1=y2 时,P 与Q 相遇,即2x﹣8=22﹣x,解得x=10(秒)∴出发10 秒时,P 与Q 相遇.。
2020年中考数学复习专题练:《一次函数综合 》(含答案)

2020年中考数学复习专题练:《一次函数综合》1.如图,直线与x轴交于A点,与y轴交于B点,动点P从A点出发,沿AO方向向点O匀速运动,同时动点Q从B点出发,沿BA方向向点A匀速运动,P,Q两点的运动速度都是每秒1个单位,当一个点停止运动,另一个点也随之停止运动,连接PQ,设运动时间为t(s).(1)求A,B两点的坐标;(2)当t为何值时△AQP的面积为;(3)当t为何值时,以点A,P,Q为顶点的三角形与△ABO相似,并直接写出此时点Q 的坐标.2.已知直线y=2x+b与x轴交于点A,与y轴交于点B,将线段BO绕着点B逆时针旋转90°得到线段BC,过点C作CD⊥x轴于点D,四边形OBCD的面积为36.(1)求直线AB的解析式;(2)点P为线段OD上一点,连接CP,点H为CP上一点,连接BH,且BH=BC,过点H 作CP的垂线交CD、OB于E、F,连接AE、AC,设点P的横坐标为t,△ACE的面积为S,求S与t的函数解析式;(3)在(2)的条件下,连接OH,过点F作FK⊥OH交x轴于点K,若PD=PK,求点P 的坐标.3.如图,已知直线y=kx+2与x轴、y轴分别相交于点A、点B,∠BAO=30°,若将△AOB沿直钱CD折叠,使点A与点B重合,折痕CD与x轴交于点C,与AB交于点D.(1)求k的值;(2)求点C的坐标;(3)求直线CD的表达式.4.如图1,在平面直角坐标系中,OB=10,F是y轴正半轴上一点.(1)若OF=2,求直线BF的解析式;(2)设OF=t,△OBF的面积为s,求s与t的函数关系(直接写出自变量t的取值范围);(3)如图3,在(2)的条件下,过点B作BA⊥x轴,点C在x轴上,OF=OC,连接AC,CD⊥直线BF于点D,∠ACB=2∠CBD,AC=13,OF=OC,AC.BD交于点E,求此时t的值.5.如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(0,1),点B 的坐标为(﹣3,﹣1),将线段AB 向右平移m (m >0)个单位,点A 、B 的对应点分别为点A ′,B ′.(1)画出线段AB ,当m =4时,点B ′的坐标是 ;(2)如果点B ′又在直线x =上,求此时A ′、B ′两点的坐标;(3)在第(2)题的条件下,在第一象限中是否存在这样的点P ,使得△A ′B ′P 是以A ′B ′为腰的等腰直角三角形?如果存在,直接写出点P 的坐标;如果不存在,试说明理由.6.如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线l 1:y =x +2与x 轴交于点A ,直线l 2:y =3x ﹣6与x 轴交于点D ,与l 1相交于点C .(1)求点D 的坐标;(2)在y 轴上一点E ,若S △ACE =S △ACD ,求点E 的坐标;(3)直线l 1上一点P (1,3),平面内一点F ,若以A 、P 、F 为顶点的三角形与△APD 全等,求点F 的坐标.7.如图,在平面直角坐标系中,长方形OABC的顶点O为坐标原点,顶点A,C分别在x轴正半轴和y轴正半轴上,顶点B的坐标为(12,8),直线y=kx+8﹣6k(k<0)交边AB 于点P,交边BC于点Q.(1)当k=﹣1时,求点P,Q的坐标;(2)若直线PQ∥AC,BH是Rt△BPQ斜边PQ上的高,求BH的长;(3)若PQ平分∠OPB,求k的值.8.如图,直线y=﹣x+4与x轴交于A点,与y轴交于B点,动点P从A点出发,以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动,点E是点B以Q为对称中心的对称点,同时动点Q从B点出发,以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动,当一个点停止运动,另一个点也随之停止运动,连结PQ,设P,Q两点运动时间为t秒(0<t≤1.5).(1)直接写出A,B两点的坐标.(2)当t为何值时,PQ∥OB?(3)四边形PQBO面积能否是△ABO面积的;若能,求出此时t的值;若不能,请说明理由;(4)当t为何值时,△APQ为直角三角形?(直接写出结果)9.定义:在平面直角坐标系中,对于任意两点A(a,b),B(c,d),若点T(x,y)满足x=,y=,那么称点T是点A和B的融合点.例如:M(﹣1,8),N(4,﹣2),则点T(1,2)是点M和N的融合点.如图,已知点D(3,0),点E是直线y =x+2上任意一点,点T(x,y)是点D和E的融合点.(1)若点E的纵坐标是6,则点T的坐标为;(2)求点T(x,y)的纵坐标y与横坐标x的函数关系式:(3)若直线ET交x轴于点H,当△DTH为直角三角形时,求点E的坐标.10.已知:在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线y=kx+8(k<0)分别交x轴,y 轴于点C,B,点A在第一象限,连接AB,AC,四边形ABOC是正方形.(1)如图1,求直线BC的解析式;(2)如图2,点D,E分别在AB,OC上,点E关于y轴的对称点为点F,点G在EF上,且EG=2FG,连接DE,DG,设点G的横坐标为t,△DEG的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围;(3)如图3,在(2)的条件下,连接BE,BF,CD,点M在BF上,且FM=EG,点N在BE上,连接MN交DG于点H,∠BNM=∠BEF,且MH=NH,若CD=5BD,求S的值.11.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=kx+b与x轴交于点A(﹣6,0),与y1轴交于点B(0,4),与直线l:y=x相交于点C.2(1)求直线l的函数表达式;1(2)求△COB的面积;(3)在x轴上是否存在一点P,使△POC是等腰三角形.若不存在,请说明理由;若存在,请直接写出点P的坐标.12.如图,直线y=x+4与x轴.y轴分别交于A.B两点直线BC与x轴交于点C(4,0).(1)求直线BC的解析式;(2)D(2,m)为线段BC上的点,作点D关于直线上x=﹣4的对称点E.CE交直线:x =﹣4于F,求线段CF的长;(3)y轴上是否存在一点M.使得以A、B、M为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.13.将矩形AOCB如图放置在平面直角坐标系中,E为边OC上的一个动点,过点E作ED⊥AE 交BC边于点D,且OA,OC的长是方程x2﹣20x+96=0的两个实数根,且OC>OA.(1)设OE=x,CD=y,求y与x的函数关系(不求x的取值范围).(2)当D为BC的中点时,求直线AE的解析式;(3)在(2)的条件下,平面内是否存在点F,使得以A,D,B,F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由.14.如图,直线y=ax+b交x轴于点A,交y轴于点B,且a,b满足a=+4,直线y=kx﹣4k过定点C,点D为直线y=kx﹣4k上一点,∠DAB=45°.(1)a=,b=,C坐标为;(2)如图1,k=﹣1时,求点D的坐标;(3)如图2,在(2)的条件下,点M是直线y=kx﹣4k上一点,连接AM,将AM绕A顺时针旋转90°得AQ,OQ最小值为.15.在平面直角坐标系中,直线AB与x轴交于点A,与y轴交于点B,与直线OC:y=x交1于点C.=﹣x+10时,如图1.(1)当直线AB解析式为y2①求点C的坐标;②根据图象求出当x满足什么条件时﹣x+10<x.(2)如图2,作∠AOC的平分线ON,若AB⊥ON,垂足为E,△OAC的面积为9,且OA=6.P,Q分别为线段OA、OE上的动点,连接AQ与PQ,试探索AQ+PQ是否存在最小值?若存在,求出这个最小值:若不存在,说明理由.16.如图1,在第四象限的矩形ABCD,点A与坐标原点O重合,且AB=4,AD=3.点Q从B 点出发以每秒1个单位长度的速度沿B→C→D运动,当点Q到达点D时,点Q停止运动,设点Q运动的时间为t秒.(1)请直接写出图1中,点C的坐标,并求出直线OC的表达式;(2)求△ACQ的面积S关于t的函数关系式,并写出t的取值范围;(3)如图2,当点Q开始运动时,点P从C点出发以每秒2个单位长度的速度运动向点A运动,当点P到达A点时点Q和点P同时停止运动,当△QCP与△ABC相似时,求出相应的t值.17.如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B.(1)求点A,B的坐标;(2)点P从B点出发,沿射线BO方向运动,速度为每秒一个单位,当t为何值时,△ABP为直角三角形?(直接写出答案)(3)点E(5,0)过点E作直线l⊥x轴,点C在直线l上,点D在x轴上,以A、B、C、D四个点组成的四边形是平行四边形,请直接写出点D坐标.18.在平面直角坐标系中,一次函数y=﹣x+3图象与x轴交于点A,与y轴交于点B.(1)请直接写出点A坐标,点B坐标;(2)点C是直线AB上一个动点,当△AOC的面积是△BOC的面积的2倍时,求点C的坐标;(3)点D为直线AB上的一个动点,在平面内找另一个点E,且以O、B、D、E为顶点的四边形是菱形,请直接写出满足条件的菱形的周长.19.如图,在平面直角坐标系中,OA=OB,△OAB的面积是2.(1)求线段OB的中点C的坐标.(2)连结AC,过点O作OE⊥AC于E,交AB于点D.①直接写出点E的坐标.②连结CD,求证:∠ECO=∠DCB;(3)点P为x轴上一动点,点Q为平面内一点,以点A、C、P、Q为顶点作菱形,直接写出点Q的坐标.20.如图,正方形AOBC的边长为2,点O为坐标原点,边OB,OA分别在x轴,y轴上,点D是BC的中点,点P是线段AC上的一个点,如果将OA沿直线OP对折,使点A的对应点A′恰好落在PD所在直线上.(1)若点P是端点,即当点P在A点时,A′点的位置关系是,OP所在的直线是,当点P在C点时,A′点的位置关系是,OP所在的直线表达式是.(2)若点P不是端点,用你所学的数学知识求出OP所在直线的表达式.(3)在(2)的情况下,x轴上是否存在点Q,使△DPQ的周长为最小值?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.参考答案1.解:(1)令y=0,则﹣x+6=0,解得:x=8,令x=0时,y=6,∴点A(8,0),点B(0,6);(2)由(1)得:OA=8,OB=6,在Rt△AOB中,AB===10,∵当一个点停止运动,另一个点也随之停止运动,∴0<t≤8,∵点P的速度是每秒1个单位,点Q的速度是每秒1个单位,∴AP=t,AQ=AB﹣BQ=10﹣t,∴点Q到AP的距离为AQ•sin∠OAB=(10﹣t)×=(10﹣t),∴△AQP的面积S=×t×(10﹣t)=,解得t=5+(不合题意舍去)或t=5﹣,∴当t为(5﹣)秒时△AQP的面积为;(3)若∠APQ=90°,则△APQ∽△AOB,此时=,即:=,解得:t=,若∠AQP=90°,则△APQ∽△ABO,此时=,即:=,解得t=,∵0<t≤8,∴t的值为或,①当t=时,OP=8﹣=,PQ=AP•tan∠OAB=×=,∴点Q的坐标为:(,);②当t=时,AQ=,过点Q作QM⊥x轴于M,如图所示:∴AM=AQ•cos∠OAB=×=,则OM=8﹣=,QM=AQ•sin∠OAB=×=,∴点Q的坐标为:(,);综上所述,当t为秒或秒时,以点A,P,Q为顶点的三角形与△ABO相似,此时点Q的坐标分别为(,)、(,).2.解:(1)∵将线段BO绕着点B逆时针旋转90°得到线段BC,∴OB=BC,∠OBC=90°,∵CD⊥x轴于点D,∴∠CDO=90°,∵∠BOD=90°,∴四边形OBCD为正方形,∵四边形OBCD的面积为36.∴OB=6,∴B(0,6),∵直线y=2x+b与y轴交于点B,∴b=6,∴直线AB的解析式为y=2x+6;(2)∵直线y=2x+6与x轴交于点A,∴A(﹣3,0),如图1,过点B作BL⊥CP,垂足为L,交CD于点M,∵BH=BC,∴CL=HL,∵BL⊥CP,EF⊥CP,∴BM∥EF,∴CM=ME,∵∠CBM+∠BMC=∠BMC+∠MCL=90°∴∠CBM=∠PCD,∵∠BCM=∠PDC,BC=CD,∴△BCM≌△CDP(ASA),∴CM=PD,∴PD=CM=ME=6﹣t,∴CE=2CM=2(6﹣t),∵AD=OA+OD=9,∴S===﹣9t+54(0≤t≤6);(3)设PD=a,如图2,∵BF∥CD,BM∥EF,∴四边形BFEM是平行四边形,∴BF=EM=PD=a,∴OF=OP,连接FP,设FK与OH交于A',∴∠OFP=45°,∵∠FOP+∠FHP=180°,∴F、O、P、H四点共圆,∴∠OFP=∠OHP=45°,∴∠OHF=45°,∵FK⊥OH,∴∠FA'H=90°,∴∠EFK=45°,如图3,过点E作ER⊥EF交射线FK于点R,∴△EFR为等腰直角三角形,∴EF=ER,过点F作FG⊥CD于点G,过点R作x轴的平行线交y轴于点Q,交CD的延长线于点N,连接KE、∴∠RNE=∠FGE=90°,∠FEG=∠ERN,∴△EFG≌△REN(AAS),∴EN=FG,EG=RN=PD=a,∵CG=BF=a,GE=a,设ED=b,∴DN=CE=2a=OQ,OF=a+b,∵PD=PK=a,OD=CD=2a+b,∴OK=b,∵OK∥QR,∴,即,∴b(3a+b)=(a+b)2,∴a=b,∴3a=6,∴a=2,∴P(4,0).3.解:(1)令x=0,则y=2,即:OB=2,由勾股定理得:OA=6,则k=﹣;(2)设:BC=AC=a,则OC=6﹣a,在△BOC中,(2)2+(6﹣a)2=a2,解得:a=4,则点C(2,0);(3)点D时AB的中点,则点D(3,),将点C、D的坐标代入一次函数:y=kx+b得:,解得:,故直线CD的表达式为:y=x﹣2.4.解:(1)∵OB=10,OF=2,∴B(﹣10,0),F(0,2),设直线BF的解析式为y=kx+b,∵直线y=kx+b经过点B(﹣10,0),F(0,2),∴,解得:,∴直线BF的解析式为y=x+2;(2)△OBF的面积为S==5t(t>0);(3)如图,延长AB至点R,使BR=AB,连接CR,延长CD交y轴于点T,过点T,作TM ∥x轴交BA的延长线于点M,过点T作TK⊥CR交RC的延长线于点K,连接RT,∵AB⊥BC,AB=BR,∴BC垂直平分AR,∴AC=CR=13,∴∠ACB=∠RCB,设∠CBD=α,则∠ACB=2α,∵BD⊥CD,∴∠BDC=90°,∴∠BCD=90°﹣α,∵∠ACB=∠RCB=2α,∴∠ACK=180°﹣4α,∴∠KCT=∠BCK﹣∠BCD=∠BCA+∠ACK﹣∠BCD=90°﹣α,∴∠KCT=∠BCD,∵TK⊥KR,OT⊥OC,∴OT=TK,∵TC=TC,∴Rt△OTC≌Rt△KTC(HL),∴OC=CK=TK=t,∵OF=OC,∠BOF=∠TOC,∠FBO=∠OTC,∴△BOF≌△TOC(AAS),∴OB=OT=10,∴TK=10,∵∠ABO+∠BOT=90°+90°=180°.∴MB∥OT,∵MT∥OB,∴四边形OBMT为平行四边形,∵OB=OT,∠BOT=90°.∴四边形OBMT为正方形,∴MB=MT=OT=10,∴MT=TK,∵RT=RT,∴Rt△RMT≌Rt△RTK(HL),∴RK=RM=CR+CK=13+t,∴BR=RM﹣MB=3+t,∵BC=OB+OC=10+t,在Rt△BRC中,BR2+BC2=RC2,∴(3+t)2+(10+t)2=132,解得:t=2(t=﹣15舍去).∴t的值为2.5.解:(1)∵点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(﹣3,﹣1),将线段AB向右平移m(m>0)个单位,∴A'(m,1),B'(m﹣3,﹣1),当m=4时,A'(4,1),B'(1,﹣1),故答案(1,﹣1);(2)由(1)知,B'(m﹣3,﹣1),∵点B′又在直线x=上,∴m﹣3=,∴m=6,由(1)知,A'(m,1),B'(m﹣3,﹣1),∴A'(6,1),B'(3,﹣1);(3)存在,理由:如图,由(2)知,A'(6,1),B'(3,﹣1),过点B'作GH∥x轴,过点P作PG⊥GH于G,过点A'作A'H⊥GH于H,∴H(6,﹣1),∴A'H=2,B'H=3,∵△PA'B'是等腰直角三角形,∴A'B'=PB',∠A'B'P=90°,∴∠PB'G+∠A'B'H=90°,∵∠PB'G+∠B'PG=90°,∴∠B'PG=∠A'B'H,∴△PB'G≌△A'B'H(AAS),∴B'G=A'H=2,PG=B'H=3,∴P(1,2),同理:P'(4,4),即:点P的坐标为(1,2)或(4,4).:y=3x﹣6与x轴交于点D,6.解:(1)∵直线l2∴令y=0,则3x﹣6=0,∴x =2,∴D (2,0);(2)如图1,∵直线l 1:y =x +2与x 轴交于点A , ∴令y =0.∴x +2=0,∴x =﹣2,∴A (﹣2,0),由(1)知,D (2,0), ∴AD =4,联立直线l 1,l 2的解析式得,, 解得,, ∴C (4,6),∴S △ACD =AD •|y C |=×4×6=12, ∵S △ACE =S △ACD ,∴S △ACE =12,直线l 1与y 轴的交点记作点B , ∴B (0,2),设点E (0,m ),∴BE =|m ﹣2|,∴S △ACE =BE •|x C ﹣x A |=|m ﹣2|×|4+2|=4|m ﹣2|=12, ∴m =﹣2或m =6,∴点E (0,﹣2)或(0,6);(3)如图2,①当点F 在直线l 1上方时,∵以A 、P 、F 为顶点的三角形与△APD 全等,∴Ⅰ、当△APF'≌△APD时,连接DF',BD,由(2)知,B(0,2),由(1)知,A(﹣2,0),D(2,0),∴OB=OA=OD,∴∠ABO=∠DBO=45°,∴∠ABD=90°,∴DB⊥l,1∵△APF'≌△APD,∴PF'=PD,AF'=AD,∴直线l是线段DF'的垂直平分线,1对称,∴点D,F'关于直线l1∴DF'⊥l,1∴DF'过点B,且点B是DF'的中点,∴F'(﹣2,4),Ⅱ、当△PAF≌△APD时,∴PF=AD,∠APF=∠PAD,∴PF∥AD,∵点D(2,0),A(﹣2,6),∴点D向左平移4个单位,∴点P向左平移4个单位得,F(1﹣4,6),∴F(﹣3,3),②当点F在直线l下方时,1∵△PAF''≌△APD,由①Ⅱ知,△PAF≌△APD,∴△PAF≌△PAF'',∴AF=AF'',PF=PF'',∴点F与点F'关于直线l对称,1,∴FF''⊥l1∵DF'⊥l,1∴FF'∥DF',而点F'(﹣2,4)先向左平移一个单位,再向下平移一个单位,∴D(2,0),向左平移1个单位,再向下平移一个单位得F''(2﹣1,0﹣1),∴F''(1,﹣1),即:点F的坐标为(﹣3,3)或(﹣2,4)或(1,﹣1).7.解:(1)当k=﹣1时,该直线表达式为y=﹣x+14,∵四边形OABC是长方形,点P,Q分别在边AB,BC上,点B(12,8),∴点P的横坐标为12,点Q的纵坐标为8,当x=12时,y=﹣1×12+14=2,当y=8时,﹣x+14=8,解得x=6,∴点P,Q的坐标分别是P(12,2),Q(6,8);(2)如图1,过点B作BH⊥PQ于H,∵长方形OABC的顶点B的坐标是(12,8),∴点A的坐标为(12,0),点C的坐标为(0,8).设直线AC表达式为y=ax+b,则解得,,∴直线AC的解析式为y=﹣x+8,∵PQ∥AC,∴k=﹣.∴直线PQ表达式为y=﹣x+12,∵当x=12时,y=4;当y=8时,8=﹣x+12,∴x=6,∴BP=4,BQ=6.在Rt△BPQ中,根据勾股定理得,PQ==2,∵S=BQ•BP=PQ•BH,△PBQ∴×4×6=××BH,∴BH=;(3)∵当x=12时,y=6k+8;当y=8时,x=6.∴点P的坐标为(12,6k+8),点Q的坐标为(6,8).∴AP=6k+8,AO=12,BQ=CQ=6,AB=OC=8.∴BP=8﹣(6k+8)=﹣6k,过点Q作QM⊥OP于点M,连接OQ,如图2,∵PQ平分∠OPB,∴∠QPB=∠QPM,又∵∠PMQ=∠B=90°,PQ=PQ,∴△BPQ≌△MPQ(AAS),∴QM=QB=6,MP=BP=﹣6k,在Rt△OCQ中,根据勾股定理得,OQ=10,在Rt△OQM中,根据勾股定理得OM=8,∴OP=OM+MP=8﹣6k,∵在Rt△OAP中,OA2+AP2=OP2,即122+(6k+8)2=(8﹣6k)2.解得,k=﹣.8.解:(1)令y=0,则﹣x+4=0,解得x=4,x=0时,y=4,∴OA=6,OB=8,∴点A(4,0),B(0,4);(2)在Rt△AOB中,由勾股定理得,AB===4,∵点P的速度是每秒2个单位,点Q的速度是每秒1个单位,∴AP=2t,AQ=AB﹣BQ=4﹣t,若PQ ∥OB ,则∠APQ =∠AOB =90°,则 ∴,解得t =;(3)如图,作QH ⊥OA 于H ,∴QH ∥OB ,∴△QAH ∽△BAO , ∴,即,∴QH =4﹣t ,当四边形PQBO 面积是△ABO 面积的时,S △APQ =S △AOB , ∴•2t •(4﹣t )=×, 整理得t 2﹣4t +4=0,解得t =(2﹣)或t =(2+)(舍去)∴t 的值为=(2﹣)四边形PQBO 面积是△ABO 面积的.(4)若∠APQ =90°,由(2)可知t =;若∠AQP =90°,则cos ∠OAB =, ∴=,解得t =8﹣4,∵0<t ≤1.5,∴t 的值为,∴当t 为时,△APQ 为直角三角形.9.解:(1)∵点E 是直线y =x +2上一点,点E 的纵坐标是6,∴x+2=6,解得,x=4,∴点E的坐标是(4,6),∵点T(x,y)是点D和E的融合点,∴x==,y==2,∴点T的坐标为(,2),故答案为:(,2);(2)设点E的坐标为(a,a+2),∵点T(x,y)是点D和E的融合点,∴x=,y=,解得,a=3x﹣3,a=3y﹣2,∴3x﹣3=3y﹣2,整理得,y=x﹣;(3)设点E的坐标为(a,a+2),则点T的坐标为(,),当∠THD=90°时,点E与点T的横坐标相同,∴=a,解得,a=,此时点E的坐标为(,),当∠TDH=90°时,点T与点D的横坐标相同,∴=3,解得,a=6,此时点E的坐标为(6,8),当∠DTH=90°时,该情况不存在,综上所述,当△DTH为直角三角形时,点E的坐标为(,)或(6,8).10.解:(1)当x=0时,y=kx+8=8所以B(0,8),OB=8∵四边形ABOC是正方形∴OB=OC=8∴C(8,0)得8k+8=0∴k=﹣1∴y=﹣x+8(2)∵点E关于y轴的对称点为点F∴OE=OF=EF∵EG=2FGEG=EF∴OE=3OG=﹣3t∴EG=﹣4t∴S=(﹣8≤t<0)(3)作ML∥EF,交BE于点L,作EQ⊥LG,则∠BEF=∠BLM 显然BM=BL,MF=LE∴LE=GE∴∠3=∠BEF而已知∠2=∠BEF∴∠2=∠3,MN∥EQ∴∠2=∠BLM∵∠1+∠2=∠BLM∴∠1=∠2∵GL⊥MN∴GL过MN的中点∴G,L,D在一条直线上∵CD=5BD∴(5BD)2﹣(8﹣BD)2=82得BD=2∴82+(﹣3t)2=(2﹣4t)2得t=﹣2∴S=3211.解:(1)将点A(﹣6,0),B(0,4)代入y=kx+b中,得,∴,的函数表达式为y=x+4;∴直线l1(2)由(1)知,直线l的函数表达式为y=x+4①,1:y=x,∵直线l2联立①②解得,,∴C(6,8),∵B(0,4),∴OB=4,=OB•|x C|=×4×6=12;∴S△COB(3)设P(m,0),∵O(0,0),C(6,8),∴OP=|m|.OC=10,CP=,∵△POC是等腰三角形,①当OP=OC时,∴|m|=10,∴m=±10,∴P(﹣10,0)或(10,0),②当OP=CP时,∴|m|=,∴m=,∴P(,0),③当OC=CP时,∴10=,∴m=0(舍)或m=12,∴P(12,0),即:满足条件的点P的坐标为(﹣10,0)或(10,0)或(12,0)或(,0).12.解:(1)∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点,∴A(﹣4,0),B(0,4),设直线BC的解析式为:y=kx+4,∴4k+4=0,∴k=﹣,∴直线BC的解析式为:y=﹣x+4;(2)如图1,∵D(2,m)为线段BC上的点,∴m=﹣2+4=2,∴D(2,2),∵点D关于直线上x=﹣4的对称点E,∴E(﹣10,2),∴直线CE的解析式为y=﹣x+,当x=﹣4时,y=,∴F(﹣4,),∴AF =,AC =8, ∴CF ==2;(3)存在,如图2,∵AO =4,OB =4,∴AB =8,∠ABO =30°,∠BAO =60°,当BA =BM =8时,以A 、B 、M 为顶点的三角形为等腰三角形, ∴OM =8+4或OM =8﹣4, ∴M 1(0,8+4),M 3=(0.4﹣8); 当AB =MM =8时,以A 、B 、M 为顶点的三角形为等腰三角形, ∴OM =OB =4,∴M 4(0,﹣4),当MA =MB 时,以A 、B 、M 为顶点的三角形为等腰三角形, ∴∠MAB =∠MBA =30°,∴∠MAO =30°,∴OM =, ∴M 2(0,),综上所述,点M 的坐标为M 1(0,8+4),M 2(0,),M 3=(0.4﹣8),M 4(0,﹣4).13.解:(1)x2﹣20x+96=0 (x﹣8)(x﹣12)=0x 1=8,x2=12,∵OC>OA,∴OA=8,OC=12,∵ED⊥AE,∴∠AEO+∠DEC=90°,又∵∠AEO+∠OAE=90°,∴∠OAE=∠CED,又∠AOE=∠ECD=90°,∴△AOE∽△ECD,∴=,即=,∴y=﹣x2+x;(2)当D为BC的中点时,y=4,∴﹣x2+x=4,解得,x1=4,x2=8,设直线AE的解析式为:y=kx+b,当x=4时,点E的坐标为(4,0),解得,,∴直线AE的解析式为:y=﹣2x+8;当x=8时,点E的坐标为(8,0),解得,,∴直线AE的解析式为:y=﹣x+8,∴当D为BC的中点时,直线AE的解析式为y=﹣2x+8或y=﹣x+8;(3)当点F在线段OA上时,FA=BD=4,∴OF=4,即点F的坐标为(0,4),当点F在线段OA的延长线上时,FA=BD=4,∴OF=12,即点F的坐标为(0,12),当点F在线段BC右侧、AB∥DF时,DF=AB=12,∴点F的坐标为(24,4),综上所述,以A,D,B,F为顶点的四边形为平行四边形时,点F的坐标为(0,4)或(0,12)或(24,4).14.解:(1)∵4﹣b≥0,b﹣4≥0,∴b=4,则a=4,对于直线y=kx﹣4k,当y=0时,x=4,∴点C的坐标为(4,0),故答案为:4;4;(4,0);(2)当D在线段BC上时,作BE⊥BA交AD的延长线于点E,作EF⊥y轴于F,则∠BEF+∠EBO=90°,∠ABO+∠EBO=90°,∴∠BEF=∠ABO,∵∠DAB=45°,∴BA=BE,在△AOB和△BFE中,,∴△AOB≌△BFE(AAS),∴BF=OA,EF=OB=4,对于直线y=4x+4,当y=0时,x=﹣1,∴OA=1,∴E(4,3)设直线AE解析式为y=mx+n,,解得,,则直线AE解析式为y=x+,,解得,,∴D(,);当D在CB延长线上时,同理可得D(,);(3)设M(m,﹣m+4),由(2)可得,△ANM≌△QHA,∴MN=AH=﹣m+4,AN=QH=m+1,∴Q(﹣m+3,﹣m﹣1)则OQ2=(﹣m+3)2+(﹣m﹣1)2=2(m﹣1)2+8,当m=1时,OQ最小为,故答案为:2.15.解:(1)①由題意,,解得:,所以C(4,4).②观察图象可知x>4时,直线AB位于直线OC的下方,即x>4时,﹣x+10<x.(2)由题意,在OC上截取OM=OP,连结MQ,∵ON平分∠AOC,∴∠AOQ=∠COQ,又OQ=OQ.∴△POQ≌△MOQ(SAS),∴PQ=MQ,∴AQ+PQ=AQ+MQ,当A、Q、M在同一直銭上,且AM⊥OC吋,AQ+MQ最小,即AQ+PQ存在最小値;∴AB⊥ON,∴∠AEO=∠CEO,∴△AEO≌△CEO(ASA),∴OC=OA=6,∵△OAC的面积为9,∴OC•AM=9,∴AM=3,∴AQ+PQ存在最小值,最小值为3.16.解:(1)∵在第四象限的矩形ABCD,点A与坐标原点O重合,且AB=4,AD=3,∴点C的坐标为(4,﹣3),设直线OC的函数解析式为y=kx,﹣3=4k,得k=﹣,即直线OC的表达式为y=﹣x;(2)当0≤t<3时,S==﹣2t+6,当3<t≤7时,S==,由上可得,S=;(3)∵AB=4,BC=3,∠ABC=90°,∴AC=5,当△ABC∽△QPC时,则,∵AC=5,QC=3﹣t,CB=3,CP=2t,∴,解得,t=;当△ABC∽△PQC时,,∵AC=5,PC=2t,BC=3,QC=3﹣t,∴,解得,t =;由上可得,当△QCP 与△ABC 相似时,t 值是或. 17.解:(1)∵直线y =x +4,∴当y =0时,x =﹣3,当x =0时,y =4,∴点A 的坐标为(﹣3,0),点B 的坐标为:(0,4);(2)当t 为4或时,△ABP 为直角三角形,理由:当∠BPA =90°时,此时点P 与点O 重合,此时t =OB =4,当∠BAP =90°时,△BAO ∽△BPA ,则,∵点A 的坐标为(﹣3,0),点B 的坐标为:(0,4),∴OA =3,OB =4,∵∠BOA =90°,∴AB =5, ∴,解得,BP =,由上可得,当t 为4或时,△ABP 为直角三角形; (3)点D 坐标是(2,0)或(8,0),理由:当四边形ABC 1D 1是平行四边形时,∵点A 的坐标为(﹣3,0),点B 的坐标为:(0,4),点E 的坐标为(5,0), ∴BC 1=5,∵四边形ABC 1D 1是平行四边形,∴BC 1=AD 1,∴AD 1=5,∵点A 的坐标为(﹣3,0),∴点D 1的坐标为(2,0);当四边形ABD 2C 2是平行四边形时,则ED 2=OA ,∵点A 的坐标为(﹣3,0),点E 的坐标为(5,0),∴OA=3,∴OD=8,2的坐标为(8,0);∴D2由上可得,点D坐标是(2,0)或(8,0).18.解:(1)在y=﹣x+3中,令x=0,则y=3;令y=0,则x=3;∴A(3,0),B(0,3);故答案为:(3,0);(0,3).(2)∵A(3,0),B(0,3),∴OA=3,OB=3,=OA×OB=×3×3=,∴S△AOB设C(m,n),①当点C在线段AB上时,如图1,∵△AOC的面积是△BOC的面积的2倍,∴S△AOC=,∴∴m=2或m=﹣2(舍去),∵点C在直线y=﹣x+3上,∴﹣2+3=n,∴n=1,∴C(2,1).②当点C在线段AB的延长线上时,如图2,∵△AOC的面积是△BOC的面积的2倍,∴S△BOC =S△AOB,∴×OB×|m|=,∴m=﹣3或m=3(舍去),∴C(﹣3,6).综合以上可得点C的坐标为(2,1)或(﹣3,6).(3)如图3,以OB为边的菱形OBDE中,∵OB=3,∴周长为3×4=12,如图4,以OB边的菱形OBDE中,同理周长为12.如图5,以OB为对角线的菱形ODBE中,∵OB=OA=3,∴∠OBA=45°,∴∠DBE=90°,∴四边形ODBE为正方形,∴BD=3×.∴四边形ODBE的周长为4×.综上可得以O、B、D、E为顶点的菱形的周长为12或6.故答案为:12或6.19.解:(1)∵OA=OB,△OAB的面积是2.∴OA•OB=2,∴OA=OB=2,线段OB的中点C的坐标为:(﹣1,0),答:线段OB的中点C的坐标为:(﹣1,0).(2)①过点E作EF⊥OB,∵∠AOC=90°,OA=2,OC=1,∴AC=,∵OE⊥AC,由面积法得:OE===,∵∠EOF+∠AOE=∠EAO+∠AOE=90°,∴∠EOF=∠EAO,∴tan∠EOF=tan∠EAO=,设EF=x,则OF=2x,∴由勾股定理得:,解得:x=,2x=,∴点E坐标为:(﹣,).②证明:过点B作OB的垂线,交OE于点G,由(2)①可知,∠EOF=∠EAO,∴在△AOC和△OBG中,∴△AOC≌△OBG(ASA),∴∠ECO=∠BGD,BG=OC,∵C为线段OB的中点,∴BG=BC,∵OA =OB ,∠AOC =∠OBG =90°,∴∠GBD =∠CBD =45°,∴在△BGD 和△BCD 中,∴△BGD ≌△BCD (SAS )∴∠DCB =∠BGD ,又∠ECO =∠BGD ,∴∠ECO =∠DCB .(3)由菱形对角线互相垂直的性质,易知,P 1(1,0),Q 1(0,﹣2)符合题意; ∵AC =,∴分别以点C 和点A 为圆心,以为半径作圆,与x 轴可得两个交点P 2(﹣,0),P 3(,0)从而得Q 2(﹣,2),Q 3(,2), 由tan ∠ACO =2,可知,当以AC 为菱形的对角线时,AC 被另一条对角线垂直平分,,从而另一条对角线P 4Q 4的一半为,从而P 4C =,∴P 4(,0),Q 4(﹣,2)综上,点Q 的坐标为:(0,﹣2)、(﹣,2)、(,2),(﹣,2).20.解:(1)由轴对称的性质可得,若点P 是端点,即当点P 在A 点时,A ′点的位置关系是点A ,OP 所在的直线是y 轴;当点P 在C 点时,∵∠AOC =∠BOC =45°,∴A′点的位置关系是点B,OP所在的直线表达式是y=x.故答案为:A,y轴;B,y=x.(2)连接OD,∵正方形AOBC的边长为2,点D是BC的中点,∴==.由折叠的性质可知,OA′=OA=2,∠OA′D=90°.∴A′D=1.设点P(x,2),PA′=x,PC=2﹣x,CD=1.∴(x+1)2=(2﹣x)2+12.解得x=.所以P(,2),∴OP所在直线的表达式是y=3x.(3)存在.若△DPQ的周长为最小,即是要PQ+DQ为最小.∵点D关于x轴的对称点是D′(2,﹣1),∴设直线PD'的解析式为y=kx+b,,解得,∴直线PD′的函数表达式为y=﹣x+.当y=0时,x=.∴点Q(,0).。
2020年中考数学考点提分专题十六一次函数综合题(解析版)

2020年中考数学考点提分专题十六一次函数综合题(解析版)考点分析【例1】(2019·浙江中考真题)如图,在平面直角坐标系中,直线142y x=-+分别交x轴、y轴于点B,C,正方形AOCD的顶点D在第二象限内,E是BC中点,OF⊥DE于点F,连结OE.动点P在AO上从点A 向终点O匀速运动,同时,动点Q在直线BC上从某点Q1向终点Q2匀速运动,它们同时到达终点.(1)求点B的坐标和OE的长;(2)设点Q2为(m,n),当17nm=tan∠EOF时,求点Q2的坐标;(3)根据(2)的条件,当点P运动到AO中点时,点Q恰好与点C重合.①延长AD交直线BC于点Q3,当点Q在线段Q2Q3上时,设Q3Q=s,AP=t,求s关于t的函数表达式.②当PQ与△OEF的一边平行时,求所有满足条件的AP的长.【例2】(2019·射阳县)如图,已知函数12y x b=-+的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,与函数y=x的图象交于点M,点M的横坐标为2.在x轴上有一点P (a,0)(其中a>2),过点P作x轴的垂线,分别交函数12y x b=-+和y=x的图象于点C,D.(1)求点A的坐标;(2)若OB=CD,求a的值.考点集训1.(2019·重庆中考真题)函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用,下面我们就一类特殊的函数展开探索.画函数2||y x =-的图象,经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示;经历同样的过程画函数2||2y x =-+和2| 2|y x =-+的图象如图所示. x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y …﹣6﹣4﹣2﹣2﹣4﹣6…(1)观察发现:三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形;三个函数解折式中绝对值前面的系数相同,则图象的开口方向和形状完全相同,只有最高点和对称轴发生了变化.写出点A ,B 的坐标和函数-2|2|y x =+的对称轴.(2)探索思考:平移函数2||y x =-的图象可以得到函数2||2y x =-+和2|2|y x =-+的图象,分别写出平移的方向和距离.(3)拓展应用:在所给的平面直角坐标系内画出函数2|3|1y x =--+的图象.若点()11,x y 和(22,)x y 在该函数图象上,且213x x >>,比较1y ,2y 的大小.2.(2019·江苏省无锡市天一实验学校初三月考)在平面直角坐标系xOy 中,点P 的坐标为(1x ,1y ),点Q 的坐标为(2x ,2y ),且12x x ≠,12y y ≠,若P ,Q 为某个矩形的两个顶点,且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,则称该矩形为点P ,Q 的“相关矩形”.下图为点P ,Q 的“相关矩形”的示意图.(1)已知点A的坐标为(1,0).①若点B的坐标为(3,1)求点A,B的“相关矩形”的面积;②点C在直线x=3上,若点A,C的“相关矩形”为正方形,求直线AC的表达式;(2)⊙O的半径为,点M的坐标为(m,3).若在⊙O上存在一点N,使得点M,N的“相关矩形”为正方形,求m的取值范围.3.(2019·山东省济南汇才学校初三期中)如图所示,在平面直角坐标系中,过点A(﹣,0)的两条直线分别交y轴于B、C两点,且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根(1)求线段BC的长度;(2)试问:直线AC与直线AB是否垂直?请说明理由;(3)若点D在直线AC上,且DB=DC,求点D的坐标;(4)在(3)的条件下,直线BD上是否存在点P,使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接写出P点的坐标;若不存在,请说明理由.4.(2019·内蒙古初三)小明在一次数学兴趣小组活动中,对一个数学问题作如下探究:问题情境:如图1,四边形ABCD中,AD∥BC,点E为DC边的中点,连结AE并延长交BC的延长线于点F.求证:S四边形ABCD=S△ABF.(S表示面积)问题迁移:如图2,在已知锐角∠AOB 内有一定点P .过点P 任意作一条直线MN ,分别交射线OA 、OB 于点M 、N .小明将直线MN 绕着点P 旋转的过程中发现,△MON 的面积存在最小值.请问当直线MN 在什么位置时,△MON 的面积最小,并说明理由.实际应用:如图3,若在道路OA 、OB 之间有一村庄Q 发生疫情,防疫部分计划以公路OA 、OB 和经过防疫站的一条直线MN 为隔离线,建立一个面积最小的三角形隔离区△MON .若测得∠AOB =66º,∠POB =30º,OP =4km ,试求△MON 的面积.(结果精确到0.1km 2)(参考数据:sin66º≈0.91,tan66º≈2.25,3≈1.73) 拓展延伸:如图4,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A 、B 、C 、P 的坐标分别为(6,0)、(6,3)、9922⎛⎫⎪⎝⎭,、(4,2),过点P 的直线l 与四边形OABC 一组对边相交,将四边形OABC 分成两个四边形,求其中以点O 为顶点的四边形的面积的最大值.5.(2019·贵州初三)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=﹣23x+4的图象与x 轴和y 轴分别相交于A 、B 两点.动点P 从点A 出发,在线段AO 上以每秒3个单位长度的速度向点O 作匀速运动,到达点O 停止运动,点A 关于点P 的对称点为点Q ,以线段PQ 为边向上作正方形PQMN .设运动时间为t 秒. (1)当t=13秒时,点Q 的坐标是 ; (2)在运动过程中,设正方形PQMN 与△AOB 重叠部分的面积为S ,求S 与t 的函数表达式; (3)若正方形PQMN 对角线的交点为T ,请直接写出在运动过程中OT+PT 的最小值.6.(2019·武汉市第八中学初三期中)如图,直线MN 与x 轴,y 轴分别相交于A ,C 两点,分别过A ,C 两点作x 轴,y 轴的垂线相交于B 点,且OA ,OC (OA >OC )的长分别是一元二次方程x 2﹣14x+48=0的两个实数根.(1)求C 点坐标; (2)求直线MN 的解析式;(3)在直线MN 上存在点P ,使以点P ,B ,C 三点为顶点的三角形是等腰三角形,请直接写出P 点的坐标. 7.(2019·辽宁中考真题)在平面直角坐标系中,直线y =kx+4(k≠0)交x 轴于点A (8,0),交y 轴于点B ,(1)k 的值是 ;(2)点C 是直线AB 上的一个动点,点D 和点E 分别在x 轴和y 轴上.①如图,点E 为线段OB 的中点,且四边形OCED 是平行四边形时,求▱OCED 的周长; ②当CE 平行于x 轴,CD 平行于y 轴时,连接DE ,若△CDE 的面积为334,请直接写出点C 的坐标. 8.(2019·四川中考真题)在平面直角坐标系xOy 中,已知(0,2)A ,动点P 在3y x =的图像上运动(不与O 重合),连接AP ,过点P 作PQ AP ⊥,交x 轴于点Q ,连接AQ .(1)求线段AP长度的取值范围;(2)试问:点P运动过程中,QAP∠是否问定值?如果是,求出该值;如果不是,请说明理由.(3)当OPQ∆为等腰三角形时,求点Q的坐标.9.(2019·浙江中考模拟)如图,Rt△OAB的直角边OA在x轴上,顶点B的坐标为(6,8),直线CD交AB 于点D(6,3),交x轴于点C(12,0).(1)求直线CD的函数表达式;(2)动点P在x轴上从点(﹣10,0)出发,以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动,过点P作直线l 垂直于x轴,设运动时间为t.①点P在运动过程中,是否存在某个位置,使得∠PDA=∠B?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;②请探索当t为何值时,在直线l上存在点M,在直线CD上存在点Q,使得以OB为一边,O,B,M,Q 为顶点的四边形为菱形,并求出此时t的值.10.(2013·山东中考真题)如图,直线142y x=-+与坐标轴分别交于点A、B,与直线y x=交于点C.在线段OA上,动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动,同时动点P从点A出发向点O做匀速运动,当点P、Q其中一点停止运动时,另一点也停止运动.分别过点P、Q作x轴的垂线,交直线AB、OC于点E、F,连接EF.若运动时间为t秒,在运动过程中四边形PEFQ总为矩形(点P、Q重合除外).(1)求点P 运动的速度是多少?(2)当t 为多少秒时,矩形PEFQ 为正方形?(3)当t 为多少秒时,矩形PEFQ 的面积S 最大?并求出最大值.11.(2019·浙江中考真题)定义:在平面直角坐标系中,对于任意两点(,)A a b ,(,)B c d ,若点(,)T x y 满足3a c x +=,3b dy +=,那么称点T 是点A ,B 的融合点. 例如:(1,8)A -,(4,2)B -,当点(,)T x y 满是1413x -+==,8(2)23y +-==时,则点(1,2)T 是点A ,B 的融合点,(1)已知点(1,5)A -,(7,7)B ,(2,4)C ,请说明其中一个点是另外两个点的融合点. (2)如图,点(3,0)D ,点(,23)E t t +是直线l 上任意一点,点(,)T x y 是点D ,E 的融合点. ①试确定y 与x 的关系式.②若直线ET 交x 轴于点H ,当DTH ∆为直角三角形时,求点E 的坐标. 12.(2019·北京中考真题)在平面直角坐标系xOy 中,直线l :()10y kx k =+≠与直线x k =,直线y k =-分别交于点A ,B ,直线x k =与直线y k =-交于点C .(1)求直线l 与y 轴的交点坐标;(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记线段AB BC CA ,,围成的区域(不含边界)为W .k 时,结合函数图象,求区域W内的整点个数;①当2②若区域W内没有整点,直接写出k的取值范围.2020年中考数学考点提分专题十六一次函数综合题(解析版)考点分析【例1】(2019·浙江中考真题)如图,在平面直角坐标系中,直线142y x =-+分别交x 轴、y 轴于点B ,C ,正方形AOCD 的顶点D 在第二象限内,E 是BC 中点,OF ⊥DE 于点F ,连结OE .动点P 在AO 上从点A 向终点O 匀速运动,同时,动点Q 在直线BC 上从某点Q 1向终点Q 2匀速运动,它们同时到达终点.(1)求点B 的坐标和OE 的长; (2)设点Q 2为(m ,n),当17n m =tan ∠EOF 时,求点Q 2的坐标; (3)根据(2)的条件,当点P 运动到AO 中点时,点Q 恰好与点C 重合.①延长AD 交直线BC 于点Q 3,当点Q 在线段Q 2Q 3上时,设Q 3Q =s ,AP =t ,求s 关于t 的函数表达式. ②当PQ 与△OEF 的一边平行时,求所有满足条件的AP 的长. 【答案】(1)(8,0),25OE =;(2)(6,1);(3)①3552s t =,②AP 的长为165或3019. 【解析】解:(1)令0y =,则1402x -+=, ∴8x =,∴B 为()80,. ∵C 为()04,, 在Rt BOC V 中,228445BC =+=又∵E 为BC 中点,∴1252OE BC ==(2)如图,作EM OC ⊥于点M ,则EM CD ∥, ∴CDN MEN V V ∽, ∴1CN CDMN EM==, ∴1CNMN ==, ∴221417EN =+=. ∵EN OF ON EM ⋅=⋅, ∴12171717OF ==, 由勾股定理得141717EF =, ∴7tan 6EOF ∠=, ∴171766n m =⨯=. ∵142n m =-+,∴61m n ==,,∴2Q 为()61,.(3)①∵动点P Q ,同时作匀速直线运动, ∴s 关于t 成一次函数关系,设s kt b =+,将25t s =⎧⎪⎨=⎪⎩455t s =⎧⎪⎨=⎪⎩225455k b k b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩3525k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴3552s t =②(ⅰ)当PQ OE ∥时,(如图),QPB EOB OBE ∠=∠=∠,作OH x ⊥轴于点H ,则12PH BH PB ==. ∵36565552BQ s t =-=-+37552t =-, 又∵2cos 55QBH ∠=, ∴143BH t =-, ∴286PB t =-, ∴28612t t +-=, ∴165t =.(ⅱ)当PQ OF ∥时(如图),过点Q 作3QG AQ ⊥于点G ,过点P 作PH GQ ⊥于点H ,由3Q QG CBO V V ∽得33::1:5Q G QG Q Q =.∵33552Q Q s t ==∴331322Q G t QG t =-=-,, ∴33PH AG AQ Q G ==-3361722t t ⎛⎫=--=-⎪⎝⎭,∴3222QH QG AP t t t =-=--=-. ∵HPQ CDN ∠=∠, ∴1tan tan 4HPQ CDN ∠=∠=, ∴1322742t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, ∴3019t =.(ⅲ)由图形可知PQ 不可能与EF 平行.综上所述,当PQ 与OEF V 的一边平行时,AP 的长为165或3019. 【点睛】此题是一次函数的综合题,主要考查了:用待定系数法求一次函数关系式,三角形相似的性质和判定,三角函数的定义,勾股定理,正方形的性质等知识,并注意运用分类讨论和数形结合的思想解决问题.【例2】(2019·射阳县)如图,已知函数12y x b =-+的图象与x 轴、y 轴分别交于点A ,B ,与函数y =x 的图象交于点M ,点M 的横坐标为2.在x 轴上有一点P (a ,0)(其中a>2),过点P 作x 轴的垂线,分别交函数12y x b =-+和y =x 的图象于点C ,D . (1)求点A 的坐标; (2)若OB =CD ,求a 的值.【答案】(1)(6,0);(2)4. 【解析】解:(1)∵点M 在直线y=x 的图象上,且点M 的横坐标为2, ∴点M 的坐标为(2,2), 把M (2,2)代入y=﹣12x+b 得﹣1+b=2,解得b=3,∴一次函数的解析式为y=﹣12x+3, 把y=0代入y=﹣12x+3得﹣12x+3=0,解得x=6, ∴A 点坐标为(6,0); (2)把x=0代入y=﹣12x+3得y=3, ∴B 点坐标为(0,3), ∵CD=OB , ∴CD=3, ∵PC ⊥x 轴, ∴C 点坐标为(a ,﹣12a+3),D 点坐标为(a ,a ) ∴a ﹣(﹣12a+3)=3, ∴a=4.考点集训1.(2019·重庆中考真题)函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用,下面我们就一类特殊的函数展开探索.画函数2||y x =-的图象,经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示;经历同样的过程画函数2||2y x =-+和2| 2|y x =-+的图象如图所示.(1)观察发现:三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形;三个函数解折式中绝对值前面的系数相同,则图象的开口方向和形状完全相同,只有最高点和对称轴发生了变化.写出点A ,B 的坐标和函数-2|2|y x =+的对称轴.(2)探索思考:平移函数2||y x =-的图象可以得到函数2||2y x =-+和2|2|y x =-+的图象,分别写出平移的方向和距离.(3)拓展应用:在所给的平面直角坐标系内画出函数2|3|1y x =--+的图象.若点()11,x y 和(22,)x y 在该函数图象上,且213x x >>,比较1y ,2y 的大小. 【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析. 【解析】解:(1)(0,2)A ,(2,0)B -,函数2| 2|y x =-+的对称轴为2x =-;(2)将函数2||y x =-的图象向上平移2个单位得到函数2||2y x =-+的图象; 将函数2||y x =-的图象向左平移2个单位得到函数2|2|y x =-+的图象;(3)将函数2||y x =-的图象向上平移1个单位,再向右平移3个单位得到函数2|3|1y x =--+的图象. 所画图象如图所示,当213x x >>时,12y y >.【点睛】本题考查了一次函数与几何变换,一次函数的图象,一次函数的性质,平移的性质,正确的作出图形是解题的关键.2.(2019·江苏省无锡市天一实验学校初三月考)在平面直角坐标系xOy 中,点P 的坐标为(1x ,1y ),点Q 的坐标为(2x ,2y ),且12x x ≠,12y y ≠,若P ,Q 为某个矩形的两个顶点,且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,则称该矩形为点P ,Q 的“相关矩形”.下图为点P ,Q 的“相关矩形”的示意图.(1)已知点A 的坐标为(1,0).①若点B 的坐标为(3,1)求点A ,B 的“相关矩形”的面积;②点C 在直线x=3上,若点A ,C 的“相关矩形”为正方形,求直线AC 的表达式; (2)⊙O 的半径为,点M 的坐标为(m ,3).若在⊙O 上存在一点N ,使得点M ,N 的“相关矩形”为正方形,求m 的取值范围.【答案】(1)①2;②1y x =-或1y x =-+;(2)1≤m≤5 或者51m -≤≤-. 【解析】(1)①S=2×1=2;②C 的坐标可以为(3,2)或者(3,-2),设AC 的表达式为y=kx+b ,将A 、C 分别代入AC 的表达式得到:0{23k b k b =+=+或0{23k b k b =+-=+,解得:1{1k b ==-或1{1k b =-=,则直线AC 的表达式为1y x =-或1y x =-+; (2)若⊙O 上存在点N ,使MN 的相关矩形为正方形,则直线MN 的斜率k=±1,即过M 点作k=±1的直线,与⊙O 有交点,即存在N ,当k=-1时,极限位置是直线与⊙O 相切,如图1l 与2l ,直线1l 与⊙O 切于点N ,ON=2,∠ONM=90°,∴1l 与y 交于1P (0,-2).1M (1m ,3),∴13(2)0m --=-,∴1m =-5,∴1M (-5,3);同理可得2M (-1,3);当k=1时,极限位置是直线3l 与4l (与⊙O 相切),可得3M (1,3),4M (5,3). 因此m 的取值范围为1≤m≤5或者51m -≤≤-.考点:一次函数,函数图象,应用数学知识解决问题的能力.3.(2019·山东省济南汇才学校初三期中)如图所示,在平面直角坐标系中,过点A (﹣,0)的两条直线分别交y 轴于B 、C 两点,且B 、C 两点的纵坐标分别是一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个根 (1)求线段BC 的长度;(2)试问:直线AC 与直线AB 是否垂直?请说明理由; (3)若点D 在直线AC 上,且DB=DC ,求点D 的坐标;(4)在(3)的条件下,直线BD 上是否存在点P ,使以A 、B 、P 三点为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接写出P 点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)4;(2)AC⊥AB,理由见解析;(3)D(﹣2,1);(4)点P的坐标为(﹣3,0),(﹣,2),(﹣3,3﹣),(3,3+).【解析】(1)∵x2﹣2x﹣3=0,∴x=3或x=﹣1,∴B(0,3),C(0,﹣1),∴BC=4;(2)∵A(﹣,0),B(0,3),C(0,﹣1),∴OA=,OB=3,OC=1,∴OA2=OB•OC,∵∠AOC=∠BOA=90°,∴△AOC∽△BOA,∴∠CAO=∠ABO,∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°,∴∠BAC=90°,∴AC⊥AB;(3)设直线AC的解析式为y=kx+b,把A(﹣,0)和C(0,﹣1)代入y=kx+b,∴,解得:,∴直线AC的解析式为:y=﹣x﹣1,∵DB=DC,∴点D在线段BC的垂直平分线上,∴D的纵坐标为1,∴把y=1代入y=﹣x﹣1,∴x=﹣2,∴D的坐标为(﹣2,1),(4)设直线BD的解析式为:y=mx+n,直线BD与x轴交于点E,把B(0,3)和D(﹣2,1)代入y=mx+n,∴,解得,∴直线BD的解析式为:y=x+3,令y=0代入y=x+3,∴x=﹣3,∴E(﹣3,0),∴OE=3,∴tan∠BEC==,∴∠BEO=30°,同理可求得:∠ABO=30°,∴∠ABE=30°,当PA=AB时,如图1,此时,∠BEA=∠ABE=30°,∴EA=AB,∴P与E重合,∴P的坐标为(﹣3,0),当PA=PB时,如图2,此时,∠PAB=∠PBA=30°,∵∠ABE=∠ABO=30°,∴∠PAB=∠ABO,∴PA∥BC,∴∠PAO=90°,∴点P的横坐标为﹣,令x=﹣代入y=x+3,∴y=2,∴P(﹣,2),当PB=AB时,如图3,∴由勾股定理可求得:AB=2,EB=6,若点P在y轴左侧时,记此时点P为P1,过点P1作P1F⊥x轴于点F,∴P1B=AB=2,∴EP1=6﹣2,∴sin∠BEO=,∴FP1=3﹣,令y=3﹣代入y=x+3,∴x=﹣3,∴P1(﹣3,3﹣),若点P在y轴的右侧时,记此时点P为P2,过点P2作P2G⊥x轴于点G,∴P2B=AB=2,∴EP2=6+2,∴sin∠BEO=,∴GP2=3+,令y=3+代入y=x+3,∴x=3,∴P2(3,3+),综上所述,当A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形时,点P的坐标为(﹣3,0),(﹣,2),(﹣3,3﹣),(3,3+).考点:一次函数和三角形的综合题.4.(2019·内蒙古初三)小明在一次数学兴趣小组活动中,对一个数学问题作如下探究:问题情境:如图1,四边形ABCD中,AD∥BC,点E为DC边的中点,连结AE并延长交BC的延长线于点F.求证:S四边形ABCD=S△ABF.(S表示面积)问题迁移:如图2,在已知锐角∠AOB 内有一定点P .过点P 任意作一条直线MN ,分别交射线OA 、OB 于点M 、N .小明将直线MN 绕着点P 旋转的过程中发现,△MON 的面积存在最小值.请问当直线MN 在什么位置时,△MON 的面积最小,并说明理由.实际应用:如图3,若在道路OA 、OB 之间有一村庄Q 发生疫情,防疫部分计划以公路OA 、OB 和经过防疫站的一条直线MN 为隔离线,建立一个面积最小的三角形隔离区△MON .若测得∠AOB =66º,∠POB =30º,OP =4km ,试求△MON 的面积.(结果精确到0.1km 2)(参考数据:sin66º≈0.91,tan66º≈2.25,3≈1.73) 拓展延伸:如图4,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A 、B 、C 、P 的坐标分别为(6,0)、(6,3)、9922⎛⎫ ⎪⎝⎭,、(4,2),过点P 的直线l 与四边形OABC 一组对边相交,将四边形OABC 分成两个四边形,求其中以点O 为顶点的四边形的面积的最大值.【答案】问题情境:见解析问题迁移:见解析实际运用:∴()2MON S 10.3km ∆≈。
一次函数动点问题专题练习(含答案)

动点问题专题练习
1、如图,已知在平面直角坐标系中,直线l:y=x+2分别交两坐标轴于A、
B两点,M是线段AB上一个动点,设M的横坐标为x,三角形OMB的面积为S;
(1)写出S与x的函数关系式,并画出函数图象;
(2)若△OMB的面积为3,求点M的坐标;
(3)当△OMB是以OB为底的等腰三角形时,求它的面积。
2、在边长为2的正方形ABCD的边BC上,点P从B点运动到C点,设PB=x,四
边形APCD的面积为 y,
(1)写出y与自变量x的函数关系式,并画出它的图象。
(2)当x为何值时,四边形APCD的面积等于
3、如图,在矩形ABCD中,动点P从点B出发,沿BC、CD、DA运动至点A停
止,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y,如果y关于x的函数图象如图所示,
(1)求△ABC的面积。
(2)求Y关于x的函数解析式。
4、如图①在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=60°,动点P从A点出发,以1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动,直到点P到达点D后才停止.已知△PAD 的面积S(单位:cm2)与点P移动的时间(单位:s)的函数如图②所示,则点P 从开始移动到停止移动一共用了多少秒(结果保留根号)
5、如图,A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点,点P(2,p)在第一象限,直线PA交y轴于点C(0,2),直线PB交y轴于点D,S△AOP=6.
(1)求△COP的面积
(2)求点A的坐标及P的值
(3)若S△AOP=S△BOP,求直线BD的函数解析式。
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一次函数综合题(含解析)
一.解答题(共12小题)
1.求出将直线y=﹣x+绕点A(2,1)顺时针旋转45度得到的直线表达式.
2.如图1,一次函数y=﹣2x+2的图象与y轴交于点A,与x轴交于点B,过点B 作线段BC⊥AB且BC=AB,直线AC交x轴于点D.
(1)求A,B两点的坐标;
(2)求点C的坐标,并直接写出直线AC的函数关系式;
(3)若点P是图1中直线AC上的一点,连接OP,得到图2.
请在下面的A,B两题中任选一题解答,我选择.
A.当点P的纵坐标为3时,求△AOP的面积;
B.当点P在第二象限,且到x轴,y轴的距离相等时,求△AOP的面积;(4)若点Q是图1中坐标平面内不同于点B、点C的一点.
请在下面的A,B两题中任选一题解答,我选择
A.当以点B,D,Q为顶点的三角形与△BCD全等时,直接写出点Q的坐标;B.当以点C,D,Q为顶点的三角形与△BCD全等时,直接写出点Q的坐标.
3.如图,直线OB是一次函数y=2x的图象,点A的坐标是(0,2),点C在直线OB上且△ACO为等腰三角形,求C点坐标.
4.如图,直线y=4﹣x与两坐标轴分别相交于A、B点,点M是线段AB上任意一点(A、B两点除外),过M分别作MC⊥OA于点C,MD⊥OB于点D.
(1)当点M在AB上运动时,则四边形OCMD的周长=.
(2)当四边形OCMD为正方形时,将正方形OCMD沿着x轴的正方向移动,设平移的距离为a(0<a≤4),在平移过程中,当平移距离a为多少时,正方形OCMD的面积被直线AB分成1:3两个部分?
5.如图,在平面直角坐标系中,直线AB交x轴于点A(﹣4,0),交y轴于点B (0,2),P为线段OA上一个动点,Q为第二象限的一个动点,且满足PQ=PA,OQ=OB.
(1)求直线AB的函数关系式;
(2)若△OPQ为直角三角形,试求点P的坐标,并判断点Q是否在直线AB上.
6.矩形ABCD在如图所示的直角坐标系中,点A的坐标为(0,3),BC=2AB、直线l经过点B,交AD边于点P1,此时直线l的函数表达式是y=2x+1.
(1)求BC、AP1的长;
(2)沿y轴负方向平移直线l,分别交AD、BC边于点P、E.
①当四边形BEPP1,是菱形时,求平移的距离;
②设AP=m,当直线l把矩形ABCD分成两部分的面积之比为3:5时,求m的值.
7.如图,平面直角坐标系中,直线AB:y=﹣x+b交y轴于点A(0,4),交x轴于点B.
(1)求直线AB的表达式和点B的坐标;
(2)直线l垂直平分OB交AB于点D,交x轴于点E,点P是直线l上一动点,且在点D的上方,设点P的纵坐标为n.
①用含n的代数式表示△ABP的面积;
②当S
=8时,求点P的坐标;
△ABP
③在②的条件下,以PB为斜边在第一象限作等腰直角△PBC,求点C的坐标.
8.如图,点A的坐标是(﹣2,0),点B的坐标是(6,0),点C在第一象限内且△OBC为等边三角形,直线BC交y轴于点D,过点A作直线AE⊥BD,垂足为E,交OC于点F.
(1)求直线BD的函数表达式;
(2)求线段OF的长;
(3)连接BF,OE,试判断线段BF和OE的数量关系,并说明理由.
9.在直角坐标系xOy中,点A、点B、点C坐标分别为(4,0)、(8,0)、(0,﹣4).
(1)求过B、C两点的一次函数解析式;
(2)若直线BC上有一动点P(x,y),以点O、A、P为顶点的三角形面积和以点O、C、P为顶点的三角形面积相等,求P点坐标;
(3)若y轴上有一动点Q,使以点Q、A、C为顶点的三角形为等腰三角形,求Q点坐标.
10.已知:如图,平面直角坐标系xOy中,点A、B的坐标分别为A(4,0),B (0,﹣4),P为y轴上B点下方一点,PB=m(m>0),以AP为边作等腰直角三角形APM,其中PM=PA,点M落在第四象限.
(1)求直线AB的解析式;
(2)用m的代数式表示点M的坐标;
(3)若直线MB与x轴交于点Q,判断点Q的坐标是否随m的变化而变化,写出你的结论并说明理由.。