最新平面向量中的最值问题浅析
平面向量中的最值问题浅析
平面向量中的最值问题浅析耿素兰 山西平定二中（045200）平面向量中的最值问题多以考查向量的大体概念、大体运算和性质为主，解决此类问题要注意正确运用相关知识，合理转化。
一、利用函数思想方式求解例一、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o.如下图，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变更.假设,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈,那么x y +的最大值是________.分析：寻求刻画C 点转变的变量，成立目标x y +与此变量的函数关系是解决最值问题的经常使用途径。
解：设AOC θ∠=，以点O 为原点，OA 为x 轴成立直角坐标系，那么(1,0)A ，13(,)2B -，(cos ,sin )C θθ。
,OC xOA yOB =+13(cos ,sin )(1,0)(,)22x y θθ∴=+-即cos 23sin y x y θθ⎧-=⎪⎪⎨⎪= cos 3sin 2sin()6x y πθθθ∴+=+=+2(0)3πθ≤≤。
因此，当3πθ=时，x y +取最大值2。
例二、已知(1,7),(5,1),(2,1),OA OB OP ===点Q 为射线OP 上的一个动点，当QA QB 取最小值时，求.OQ分析：因为点Q 在射线OP 上，向量OQ 与OP 同向，故能够取得关于OQ 坐标的一个关系式，再依照QA QB 取最小值求.OQ 图 1解：设(2,),(0)OQ xOP x x x ==≥，那么(12,7),(52,1)QA x x QB x x =--=--22(12)(52)(7)(1)520125(2)8QA QB x x x x x x x ∴=--+--=-+=--∴当2x =时，QA QB 取最小值-8，现在(4,2).OQ =二、利用向量的数量积n m n m⋅≤⋅求最值例3、ABC ∆三边长为a 、b 、c ，以A 为圆心,r 为半径作圆,PQ 为直径，试判定P 、Q 在什么位置时，BP CQ 有最大值。
求解平面向量最值问题的几个措施
探索探索与与研研究究图1B (-1,0)，C (1,0)，设x ,3-y )，PB =(-1-+PC )=2x 2-23y +2直线BC 为x 轴、.求得若∠AOB =150°，OA +n OB ，则3m -n 33θ)，其中0°≤θ≤150°.设A （1,0），则θ=2sin æèöøθ+π3，2.故选C ．以圆心为原点，两.设将问题我们无法快速求将目将问题转化为函数求得平面向量的最θ，向量c =æèöøcos 2θ2⋅，cos θ=2x -1，图2探索探索与与研研究究可得|c |2=[xa +(1-x )b]2=x 2+2x (1-x )(2x -1)+(1-x )2=-4x 3+8x 2-4x +1．令f (x )=-4x 3+8x 2-4x +1,x ∈[0,1]，则f ′(x )=-4(3x -1)(x -1)，由f ′(x )=0，得x =13或1．当0≤x ＜13时，f ′(x )＜0，此时函数单调递减；当13＜x ＜1时，f ′(x )＞0，此时函数单调递增.所以f (x )min =f æèöø13=1127，故|c |min=．通过换元，将|c |2的表达式转化为关于x 的一元三次函数式.再对函数求导，根据导函数与单调性之间的关系判断出函数的单调性，求得函数的最小值，即可求得|c |min .三、利用向量的几何意义向量兼有数与形的“双重身份”，是联系代数与几何的纽带.在求解平面向量最值问题时，可根据平面向量的几何意义，如加法的三角形法则、平行四边形法则，向量的模即为向量所在线段的长，两个向量的数量积即为一个向量的模与其在另一个向量所在方向上的投影的乘积，来构造几何图形，进而根据图形的几何特征与性质求最值．例4.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则 AP ∙AB 的取值范围是（）.A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)图3解:过C 作CC ′⊥AB ，设垂足为C ′，过F 作FF ′⊥AB ，设垂足为F ′，如图3所示．因为|| AB =2，则 AP 在 AB 方向上的投影为||AP cos ∠PAB ，当P 与C 重合时，|| AP cos ∠PAB 的最大值为|||| AC ′=3，当P 与F 重合时，|| AP cos ∠PAB 的最小值为-||||F ′A =-1，故-1＜|| AP cos ∠PAB ＜3，由向量数量积的几何意义可知， AP ⋅ AB 即为AB 的模与 AP 在 AB 方向上的投影的乘积，即 AP ⋅AB =|| AB ⋅||AP cos ∠PAB ，所以 AP ∙AB 的取值范围是(-2,6).故选A.解答本题，需灵活运用向量数量积的几何意义：AP ∙ AB 即为 AB 的模与 AP 在AB 方向上的投影的乘积，即 AP ∙ AB =|| AB ⋅|| AP cos ∠PAB .再添加辅助线，根据正六边形的结构特征，求得||AP cos ∠PAB 的取值范围，即可解题.四、利用等和线的性质等和线有如下性质：①当P 0在直线AB 上，且OP 垂直于等和线时，若 OP =k OP 0=x OA +yOB (k ,x ,y ∈R)，则x +y =k .根据相似三角形的性质可知等和线之间的距离之比为|k |=|| OP|| OP 0（如图4）．②当等和线恰为直线AB 时，k =1；③当等和线在点O 与直线AB 之间时，k ∈(0,1)；④当直线AB 在点O 与等和线之间时，k ∈(1,+∞)；⑤当等和线经过点O 时，k =0；⑥当两等和线关于点O 对称时，对应的两个定值k 互为相反数.利用等和线的性质求解最值问题的一般步骤为：（1）找到等和线为1的情形；（2）平移等和线到可行域内；（3）利用平面几何知识求出最值．例5.在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上.若 AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为（）.A.3B.2C.2D.25图5解：如图5，设BD 与圆的相切点为P 1，则点A 到BD 的距离等于|P 1C |．当P 在P 1处时，λ+μ=1；当P 在P 1关于点C 对称的点P 2处时，λ+μ最大，此时(λ+μ)max =|P 1P 2|+|P 1C ||P 1C |=3．故选A ．平面向量OP 满足： OP =λ OA +μ OB (λ,μ∈R)，则点P 在直线AB上或在平行于AB 的直线上，可知图449一一一一一一一一一一一一一一一一一一λ+μ=k （定值），此时直线AB 及平行于AB 的直线为等和线，即可根据等和线的性质求得最值.五、利用极化恒等式极化恒等式：a ⋅b =14[(a +b )2-(a -b )2]是解答向量问题的重要工具.当遇到共起点的两向量的数量积最值问题时，可以考虑根据三角形法则和平行四边形法则，将两个向量的数量积的最值问题转化为两个向量的和、差的最值问题，利用极化恒等式求解.例6.如图6，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且 AD =λ BC ，AD ∙ AB =-32，则实数λ的值为，若M ，N 是线段BC 上的动点，且MN =1，则DM ∙DN 的最小值为．图6解：由 AD ∙ AB =-32，得(λ BC )∙ AB =λ| BC || AB |cos ∠B=λ×6×3æèöø-12=-32，解得λ=16．分别过D ，A 作BC 的垂线，垂足分别为E ，F ，由极化恒等式得，DM ∙ DN =||DQ 2-||QM 2=|| DQ 2-æèöø122≥|| DE 2-æèöø122=|| AF 2-æèöø122=132．一般地，若在三角形ABC 中，M 为BD 的中点，由极化恒等式可得： AB ∙ AD =| AM |2-| BM |2；在平行四边形ABCD 中， AB ∙ AD =14(| AC |2-| BD |2)，这样就将向量的数量积问题转化为两条线段长度的平方差问题.解答本题，需先找到定点，再根据动点的变化情况求最值可见，求解平面向量最值问题的措施很多.解题的关键是要根据解题的需求，建立合适的平面直角坐标系和关系式，灵活运用函数的性质、等和线的性质、向量的几何意义、极化恒等式进行求解.（作者单位：云南省曲靖市会泽县茚旺高级中学）探索探索与与研研究究比较函数式的大小问题通常会综合考查一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的性质和图象.解答这类问题的常用方法有：特殊值法、放缩法、中间值法、基本不等式法等.在解题时，若能选用恰当的方法，就能达到事半功倍的效果.本文主要谈一谈下列三种比较函数式大小的思路.一、利用重要不等式在比较函数式的大小时，可根据已有的经验和不等式结论来进行比较，这样能有效地提升解题的效率.常用的重要不等式有：（1）基本不等式及其变形式：若ab >0,a 、b >0，则a +b ≥2ab 、21a +1b≤ab ≤a +b 2≤，当且仅当a =b 时等号成立；（2）切线不等式：e x +1、ln x ≤x -1；（3）柯西不等式：a ,b ,x ,y ∈R ，()a2+b 2()x 2+y 2≥(ax +by )2，(ax -by )2≥()a 2-b 2()x 2-y 2；等等.例1.设a =0.1e 0.1,b =19,c =-ln 0.9，请比较a ，b ，c的大小.解：由于b =19=109-1,c =-ln 0.9=ln 109,令x =-0.1,由切线不等式：e x ≥x +1，当且仅当x =0时等号成立，可得e -0.1>-0.1+1=0.9,则e 0.1<109,所以0.1e 0.1<0.1×109=19,即a <b ，令x =109,由切线不等式：e x≥x +1，得：ln 109<109-1=19,即c <b ，而e 0.1>0.1+1=1.1,则0.1e 0.1>0.1×1.1=0.11,由重要不等式：当x >1时，恒有ln x <12(x -1x )成立，可知-ln 0.9=ln 109<12(109-910)=19180<0.11，50。
平面向量的最值问题
平面向量的最值问题
平面向量的最值问题指的是求平面向量的最大值和最小值的问题。
在求解平面向量的最值问题时，一般可以通过以下几种常用的方法进行求解：
1. 向量的模的最大值和最小值：对于平面向量a=(x,y)，其模的最大值和最小值分别为：
最大值：|a| = √(x^2 + y^2)
最小值：|a| = 0
2. 向量的投影的最大值和最小值：对于平面向量a=(x,y)，其在某个方向上的投影的最大值和最小值分别为：
最大值：|proj_u a| = |a|·cosθ，其中θ为a与u的夹角
最小值：|proj_u a| = 0
3. 向量的点乘的最大值和最小值：对于平面向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，其点乘的最大值和最小值分别为：
最大值：a·b = |a|·|b|·cosθ，其中θ为a与b的夹角
最小值：a·b = |a|·|b|·cosθmin，其中θmin为a与b的夹角的最小值，即θmin=0时
需要注意的是，以上方法中的最大值和最小值都是相对于给定的条件和向量范围的。
具体在实际问题中求解向量的最值时，需要根据具体的条件和向量的性质进行分析和计算。
与平面向量有关的最值、范围问题的求解策略
与平面向量有关的最值、范围问题的求解策略ʏ罗良平与平面向量有关的最值㊁范围问题是高中数学的一个难点,也是高考的一个热点㊂下面就常见的求解策略,进行举例分析,供大家学习与参考㊂策略一:利用一次函数的性质例1 如图1,在矩形A B C D 中,A B =2B C =2,A C 与B D 的交点为M ,N 为边A B上任意点(包含端点),则M B ң㊃D N ң的最大值为㊂图1解:以A 为坐标原点,向量A B ң,A D ң的方向为x 轴,y 轴的正方向,建立平面直角坐标系x A y (如图1),则点M 1,12,B (2,0),D (0,1)㊂设点N (m ,0),0ɤm ɤ2,则M B ң=1,-12,D N ң=(m ,-1),所以M B ң㊃D Nң=m +12㊂因为0ɤm ɤ2,所以12ɤM B ң㊃D N ңɤ52,所以M B ң㊃D N ң的最大值为52㊂一次函数y =k x +b (k ʂ),当k >0时,为单调递增函数;当k <0时,为单调递减函数㊂策略二:利用二次函数的性质例2 如图2,在平行四边形A B C D 中,A B =4,A D =2,A B ң㊃A D ң=42,点P 在边C D 上,则P A ң㊃P B ң的取值范围是( )㊂图2A.-1,8 B .-1,4+2C .-2,4+42D .-2,0 解:作D O ʅA B ,垂足为O ㊂以点O 为坐标原点,O B ,O D 所在直线为x 轴,y 轴建立平面直角坐标系x O y (如图2)㊂因为c o s øB A D =A B ң㊃A DңA B ң㊃A Dң=424ˑ2=22,所以øB A D =π4㊂在R tәA O D 中,因为øB A D =π4,A D =2,所以O D =O A =2,O B =4-2,所以点A (-2,0),B (4-2,0)㊂设点P (x ,2),0ɤx ɤ4,则P A ң=(-2-x ,-2),P B ң=(4-2-x ,-2),所以P A ң㊃P B ң=(-2-x )(4-2-x )+(-2)ˑ(-2)=x 2+(22-4)x +4-42㊂因为二次函数y =x 2+(22-4)x +4-42的图像的开口向上,对称轴为x =2-2,且0ɤx ɤ4,所以当x =2-2时,P A ң㊃P B ң取得最小值-2,当x =4时,P A ң㊃P B ң取得最大值4+42㊂故P A ң㊃P B ң的取值范围是[-2,4+42]㊂应选C ㊂坐标法是求解这类问题的常用方法,建立坐标系的关键在于 巧 ㊂求二次函数的最值问题,应注意二次项系数的符号㊂策略三:利用三角函数的性质例3 如图3,已知边长为1的正方形A B C D 位于第一象限,且顶点A ,D 分别在x 轴,y 轴的正半轴上(含原点O )滑动,则O B ң+O C ң的最大值是()㊂图3A.5 B .2 C .3 D .1031知识结构与拓展高一数学 2023年7 8月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解:当A 与O 重合时,B (1,0),C (1,1),此时O B ң+O C ң=(2,1),所以|O B ң+O C ң|=5㊂当A 与O 不重合时,设øO A D =θ,0ɤθɤπ2㊂因为A D =1,所以O A =c o s θ,O D =s i n θ,所以点Bc o s θ+c o s π2-θ,s i nπ2-θ,C (s i n θ,s i n θ+c o s θ)㊂所以O B ң=(c o s θ+s i n θ,c o s θ),O C ң=(s i n θ,s i n θ+c o s θ)㊂所以O B ң+O C ң=(2s i n θ+c o s θ,s i n θ+2c o s θ),所以O B ң+O Cң=(2s i n θ+c o s θ)2+(s i n θ+2c o s θ)2=5+4s i n 2θ,所以当2θ=π2,即θ=π4时,O B ң+O C ң取得最大值3㊂综上可知,O B ң+O C ң的最大值为3㊂应选C ㊂若x 为三角形的内角,则y =si n x 在0,π2上单调递增,在π2,π上单调递减㊂策略四:利用向量共线例4 如图4,单位圆O :x 2+y 2=1上有两定点A (1,0),B (0,1)及两动点C ,D ,且O C ң㊃O D ң=12,则C A ң㊃C B ң+D A ң㊃D B ң的最大值是( )㊂图4A.2+6B .2+23C .6-2D .23-2解:设A B 的中点为E ,C D 的中点为F ,则O A ң+O B ң=2O E ң,O C ң+O D ң=2O F ң㊂由O C ң㊃O D ң=12,可得O C ң㊃O D ңc o søC O D =c o s øC O D =12,所以øC O D =π3,所以әO C D 为等边三角形,所以O F =32㊂由题设可得,O E =22㊂C A ң㊃C B ң+D A ң㊃D B ң=O A ң-O Cң㊃O B ң-O C ң+O A ң-O D ң㊃O B ң-O D ң=2O A ң㊃O B ң+O C ң2+O D ң2-O A ң+O Bң㊃O C ң+O D ң =-4O E ң㊃O F ң+2㊂所以当O E ң,O F ң的方向相反时,-4O E ң㊃O F ң+2有最大值为-4O E ң㊃O Fңco s π+2=4ˑ22ˑ32+2=2+6,即C A ң㊃C B ң+D A ң㊃D B ң的最大值是2+6㊂应选A ㊂向量共线,有方向相同和方向相反两种情况,方向相同时,其夹角为0ʎ;方向相反时,其夹角为180ʎ㊂平面向量a ,b 满足a =3b ,且a -b =4,则a 与a -b 夹角的正弦的最大值为㊂提示:如图5所示,设a =O A ң,b =O B ң,则a -b =B A ң㊂图5设b =m ,则a =3m ,m >0㊂由余弦定理得c o s øO A B =9m 2+16-m 224m =m3+23mȡ2m 3ˑ23m =223,当且仅当m =2时等号成立㊂因为<a ,a -b >=øO A B ɪ0,π2 ,所以当c o søO A B 最小时,s i nøO A B 最大㊂故a 与a -b 夹角的正弦的最大值为1-c o s 2øD A B =13㊂作者单位:重庆市巫山中学(责任编辑 郭正华)41 知识结构与拓展 高一数学 2023年7 8月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
平面向量的最值问题研讨
平面向量的最值问题研讨平面向量的最值问题，看起来好像一大堆公式、符号堆砌出来的死板东西，其实它背后有着一种很有趣的“玩儿法”。
你想想，我们生活中的一切，都是通过一些力、方向、大小来相互作用的，不管是你手里拿着的手机，还是你坐的公交车，甚至是你走路的步伐，都可以用向量来描述。
向量，其实就是一个有大小和方向的东西，不多不少，正好符合我们生活中大多数“有量有力”的情况。
所以，平面向量的最值问题，咱们不妨想象成一种“最优解”的寻找：在给定的条件下，怎么才能找到最合适的那个值，让一切都尽可能完美。
咱们一开始可以从一个简单的例子聊起：你在平面上走来走去，忽然觉得走得有点累。
为什么呢？因为你没有找到最短的路径！你是不是也想过，咋不直接走直线呢？你看看，最短的路径就是你从一点到另一点的直线段，根本不需要绕弯路。
所以平面向量的最值问题，简单来说，就是如何在这些向量的组合和变化中找到“最短”或“最优”的方向和大小。
要不然，咱们在生活中可就得不停地绕圈子了。
这个最值问题其实特别贴合咱们的实际生活。
比如，想象你站在一个大广场的中心，四周有四个方向可以选择：东南西北。
你如果向北走，刚开始觉得离目的地好像不远，但慢慢地发现，根本不对劲，那个地方离北方远着呢。
于是你得调整方向。
可问题就在于，怎么知道该选择哪一个方向？怎么判断哪个方向能帮你走得最快，走得最远，或者说，走得最合适？这时候，向量就成了你最好的“导航仪”。
不信你看，假设你有两个向量，一个表示你从A点到B点的方向和距离，另一个表示你从B点到C点的方向和距离。
想要找出一个最优解——比如最快到达C点的路径，你就得对这两个向量进行组合。
组合的方式很多，可以是加法、减法、甚至是倍数的乘法。
看似很复杂，但其实它就是在试图找到那条“黄金路径”。
这种“黄金路径”就像咱们常说的“走一步看一步”，一步步通过数学计算，找到最合适的方向和速度。
最值问题往往不止一个解。
咱们可能会遇到一个“多解”的情况。
平面向量中的最值或范围问题
2
2 2
2
所以 c
o
sa - b,
a =
(
·a
a-b)
=
|
a-b|
|
a|
3 2 9
b+
2
2 1
3
3
。
= |
b|+
≥
6
|
b|
4
4
|
b| 2
因为 0≤ a-b,
所 以 0≤ a-b
a ≤π,
≤
π
π
,
故 a-b 与a 的夹角的最大值为 。
6
6
2
=9
b +a -2×3
b·a≤4,所 以 a·b≥2+
2
3
|
b|
2+
3
|
b|
a·b
2
。所以 c
o
sa,
b =
≥
2
|
a|·b
4
|
b|
2
2
1
3
|
b|
,因 为|
=
+
b|≤1,所 以 当|
b|=1
2
|
b|
8
时,
c
o
sa,
b取得最小值为
[
C.
4,
1
2]
7
。
8
→
其中 0≤λ≤1,则 B→
C ·BP
→
一般情况 下,如 果 遇 到 的 问 题 适 合 建 立
2
+
3 s
i
n
π
2
如何解答平面向量最值问题
4x 4y
4
解题宝典
性运算法则、数量积公式来求向量模的表达式，再求
该表达式的最值，即可求得向量的模的最值.还可以根
据向量的几何意义构造出几何图形，将所求向量的模
y
≥ 1 (5 + 2 ∙4x ) = 9 ，
x y
4
4
看作三角形、四边形的一条边长，确定向量的模取最
当且仅当
∠ADC = 90°,
例3.已知直角梯形 ABCD 中，AD//BC，
1
= AM +
AN，
4x
4y
图1
有些平面向量最值问题中含有参数，要求参数的
最值或取值范围，需根据题意建立关于参数的关系
式，将问题转化为求代数式的最值问题，利用基本不
等式、函数的性质来求最值.还可以根据题意和向量加
减法的几何意义：三角形法则和平行四边形法则，画
a
（1）数列的通项公式 n ；
解：
（1）要使 C
{
-A
2m - 2
11 - 3m
2
数学篇
40
76
77
77
77
因 为 77 - 15 =(76 + 1) - 15 = 76 + C177·76 + ⋯
+C - 15 = 76(76 + C ·76 + ⋯ + C ) + 1 - 15 = 4 × 19
因为 BM = x BA + y BD = 2x BE + y BD ，
y
所以 λBN = 2x BE + y BD ，
解答平面向量最值问题的几个“妙招”
思路探寻由于ΔABC 与ΔABD 的底边相同，所以它们的面积之比就是它们在AB 边上的高之比，不难发现这两个三角形的高CE 和DE 的夹角就是二面角的平面角，可直接运用射影面积法，求得两个三角形ΔABC 与ΔABD 的面积，即可解题.三、采用垂面法由二面角的平面角的定义可知两个半平面的公垂面与二面角的棱垂直，因此公垂面与两个半平面的交线所成的角，就是二面角的平面角.如图5，若平面OABC 为二面角α-a -β的公垂面，则这个二面角的平面角为∠COB .运用垂面法解题，要先根据面面垂直的判定定理证明公垂面与二面角的两个半平面都垂直，才能确定二面角的平面角.图5图6例3.如图6，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =AA 1=2，BC =3，E ，F 分别为CD 1，AB 的中点.(1)求证：EF ∥平面BB 1C 1C ；(2)求二面角F -CD 1-D 的余弦值.解：（1）过程略；(2)设CD 的中点为P ，连接FP ，过点P 作CD 1的垂线，垂足为H .在长方体中，由FP ⊥CD 可得FP ⊥CD 1，因为PH ⊥CD 1，PH ⋂FP =P ，所以CD 1⊥平面FHP ，所以FH ⊥CD 1，则∠FHP 为二面角F -CD 1-D 的平面角.因为∠FPH =π2，且FP =BC =3，则HP =12DE=2所以FH =HP 2+FP 2=，所以cos ∠FHP =HPFH .即二面角F -CD 1-D 的余弦值为.运用垂面法解题时，可以找到一个与二面角的棱垂直的平面，那么根据面面垂直的判定定理可知这个平面即为二面角的公垂面.在本题中，我们根据CD 1⊥平面FHP ，确定平面FHP 为二面角的公垂面，从而找到二面角的平面角∠FHP .总之，在求解二面角问题时，我们需根据解题需求，采用三垂线法、射影面积法、垂面法来确定二面角的平面角，再根据平面几何知识，如勾股定理、正余弦定理来求平面角的大小.（作者单位：江苏省淮安市楚州中学）平面向量最值问题的常见命题形式有：（1）求两个向量数量积的最值；（2）求某个向量的模的最值；（3）求参数或代数式的最值.平面向量最值问题具有较强的综合性，对学生的运算和分析能力有较高的要求.下面以一道平面向量最值问题为例，谈一谈解答此类问题的“妙招”.题目：已知平面向量a ,b ,c (c ≠0)满足|a |=1,|b|=2,a ∙b =0,(a -b )∙c =0，若向量d 在a ,b 方向上的投影分别为x ,y ，d -a 在向量c方向上的投影为z ，则x 2+y 2+z 2的最小值为______.题目中给出的条件较多，需先根据题意理清各种关系，根据向量的模的公式、数乘运算法则、数量积公式、投影的定义建立关于x 、y 、z 的关系式，将目标式中变量的个数减少，从而将问题转化为求代数式的最值；再利用配方法、柯西不等式、导数法、数形结合法求解.一、配方配方法只适用于解答含有二次式的代数问题.若平面向量最值问题中的目标式为二次式，则可采用配方法.先将目标式配成完全平方式；然后根据完全平方式恒大于或等于0的性质，令完全平方式为0，即可求得目标式的最小值.解法1.∵a ∙b =0，∴a ⊥b，以a ,b两个向量的起点为原点建立平面直角坐标系，设a =(1,0),b =(0,2),c =(m ,n )，∵(a -b)∙c =0，∴m -2n =0，即m =2n ，∴c =(2n ,n )(n ≠0).∵d在a ,b 方向上的投影分别为x ,y ，∴d =(x ,y )，∵d -a 在c方向上的投影为z ，∴z =(d -a )∙c ||c =，吴仕明48思路探寻5的最小值为25.看作线段OP长度的平到直线2x+y-2=0的距离便可将问题转化为距离问题，通过研究点O、以及直线之间的位置关系确定目标式取最小值最后根据两点间的距离公式、点到直线的距我们从四种不同的角度寻找到解答这道平面向。
例析平面向量的最值问题的几种解法
高一使用2021年5月例析平面向量的最值问题的几种解法■刘长柏1I 平面向量融合了代数、几何及三角函数等知识，在求其最值时，解题方法呈现出多样性。
下面对平面向量的最值问题的解法进行归纳，意在"抛砖引玉”—、基底法以基底法为导向，选择恰当的向量作为基底，用基底表示出所有相关向量，将向量问题化归为基底问题来解决。
例1在平面直角坐标系j：Oy中，点A, BN在圆x2+y2=1上运动，且AB l BC,若点p的坐标为(2,)则i n A+NB+NN 的最大值为()。
A.6B.7C.8D.9解：由AB l BC,可知AC是圆O的直径。
因为p B=P A+OB?P A+PN=2P(5,所以 p A+p B+p N=2P(5+p B= 3PO+o B C3p O+o B=7,当且仅当p O,o B同向时等号成立。
应选B。
评析：本题通过选择合适的基底向量，把三个动向量问题转化为一个动向量问题求解的。
利用基底法解决问题时，首先需要考虑的是如何选择基底。
练习1已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为(一2,0),0为坐标原点，则AO•a N的最大值为。
提示：由题意可得，a O・a N=A N・(AO+ON)=A O+AO・ON=A O+ |AO||ON|cos(n—Z AOP)W A0‘+l AO•O N=6,当且仅当a O,o N同向时等号成立，所以a O-a N的最大值为6。
二、坐标系法利用坐标系法解题时，首先要建立适当的平面直角坐标系，把所求问题中的各个量用向量表示出来，然后运用向量的坐标运算法则来解决。
例2已知矩形ABCN,AB=2,AN= 1，点P,Q分别在边BC,CN上，且X PAQ= 45°,则A「P•A<Q的最小值是。
解：以A为坐标原点,AB^AN所在的直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系,如图1。
由AB=2,AN=1,可知点A(0,0), B(2,0),C(2,1),N(0,1)。
由一道平面向量最值问题引发的思考
探索探索与与研研究究向量是既有大小又有方向的量.由平面向量的这种特殊性质可知，解答平面向量最值问题，可从数量关系和几何图形两个方面入手，寻找解题的思路.下面以一道平面向量最值问题为例，探讨一下解答此类问题的常规思路.例题：如图，在平面四边形ABCD 上，AB ⊥BC ,AD ⊥CD ,∠BAD =120°，AB =AD =1.若点E 为边CD 上的动点，求 AE ∙BE 的最小值.一、基底法基底法是解答平面向量问题的重要方法.在解答平面向量最值问题时，选择两个或三个已知的向量为基底，并根据向量的共线定理、基本定理，用这组基底表示出所求的向量，即可通过向量的加法、减法、数乘运算，利用向量的数量积公式、模的公式，求得问题的答案.解：令 DE =λ DC (0≤λ≤1)，由AD ⊥CD ,∠BAD =120°，AB =AD =1可得DC =3.则 AE = AD + DE = AD +λ DC ，BE = BA + AE = BA +AD +λ DC ，则 AE ∙ BE =( AD +λ DC )∙( BA + AD +λ DC )= AD ∙ BA +| AD |2+λ DC ∙ BA +λ2| DC |2=3λ2-32λ+32=3(λ-14)2+2116，所以当λ=14时， AE ∙ BE 取得最小值2116.我们根据题意很容易求得 BA 、 AD 、DC 的模长，于是采用基底法，设 DE =λDC ，以 BA 、 AD 、 DC 为基底，将向量 AE 、BE 表示出来，并求得这两个向量的数量积的表达式，即可通过配方，求得最值.二、利用极化恒等式极化恒等式是解答向量数量积问题的重要工具.在平行四边形ABCD 中，若 AD =a ,AB =b，由平行四边形法则可得 AC =a +b , DB =a -b，则|| AC 2=()a +b 2=a 2+2a b+b 2，|| DB 2=()a -b 2=a 2-2a b +b 2，将两式相减可得|| AC 2-|| BD 2=4a b ，即a ∙b =14[(a +b )2-(a -b )2].运用极化恒等式，可将平面向量数量积的最值问题转化为求两个向量或两条线段长的和差的最值，这样便使问题得以转化，我们可从另一个角度寻找解题的思路.解：设AB 的中点为F ，连接AF ，由极化恒等式得 AE ∙ BE = EA ∙ EB =| EF |2-| AF |2=| EF |2-14.由图可知，当EF ⊥CD 时，|| EF 最小，此时| EF |=54，所以AE ∙BE 的最小值为2116.运用极化恒等式，可将求 AE ∙BE 的最小值转化为求线段|EF |的最小值.运用极化恒等式解题，实质上是根据向量的平行四边形法则将问题转化为线段问题，再结合图形找到取得最值的特殊位置，即可得到答案.三、坐标法在解答平面向量最值问题时，可在图形中寻找或者求作垂直关系，建立平面直角坐标系，并用坐标表示各个点、各条线段，再进行向量坐标运算，即可求得目标式，这样便将问题转化为求代数式的最值.解：以DB 的中点为原点，DB 为x 轴建立平面直角坐标系，设E (x ,y )，则A (0,-12),BC (0,32)，D.因为点E 在CD 上，则 DE =λDC (0≤λ≤1)，可得点E 的坐标为-32y )，所以AE-32λ+12)，BE -3,32λ).所以 AE ∙ BE =34(4λ2-2λ+2)=3(λ-14)2+2116，则当λ=14时,AE ∙ BE 取最小值2116.在建立平面直角坐标系后，求得各个点的坐标，便将平面向量最值问题转化为向量坐标运算问题.再根据完全平方式恒大于或等于0的性质，即可求得最值.上述三种方法都是解答平面向量最值问题的重要方法，它们各有优缺点.在解题时，同学们要根据题目中的条件灵活选择以上方法.（作者单位：甘肃省临夏州移民中学）孔令春53Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
数学-平面向量中的最值与范围问题
平面向量中的最值与范围问题高中数学 会利用向量的定义及运算求解最值与范围问题．导语 平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量的夹角、系数的范围等等，解题思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．一、向量线性运算中的最值与范围问题例1 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足＝m ＋n (m ，n 均为正实数)，求＋的最小值．AP → AB → AD→ 1m 1n解 因为在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，所以＝＋＝－，AD → AC → CD → AC → 14AB → 所以＝m ＋n AP → AB → AD → ＝m ＋n AB→ (AC → －14AB →)＝＋n ，(m －14n )AB → AC → 由P ，B ，C 三点共线得，m －n ＋n ＝m ＋n ＝1(m ，n >0)，1434所以＋＝1m 1n (1m ＋1n )(m ＋34n )＝＋＋≥＋2743n4m mn 743n 4m ·mn＝＋＝(当且仅当3n 2＝4m 2时取等号)，7437＋434即＋的最小值为.1m 1n 7＋434反思感悟 利用向量的概念及基本运算，将所求问题转化为相应的等式关系，然后用基本不等式求最值．跟踪训练1 如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外一点D .若＝m ＋n ，则m ＋n 的取值范围是________．OC → OA → OB→答案 (－1,0)解析 由点D 是圆O 外一点，可设＝λ(λ>1)，BD → BA→ 则＝＋λ＝λ＋(1－λ).OD → OB → BA → OA → OB → 又因为C ，O ，D 三点共线，令＝－μ(μ>1)，OD → OC→ 则＝－－(λ>1，μ>1)，所以m ＝－，n ＝－，OC → λμOA → 1－λμOB→ λμ1－λμ则m ＋n ＝－－＝－∈(－1,0)．λμ1－λμ1μ二、向量数量积的最值与范围问题例2 在边长为1的正方形ABCD 中，M 为边BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则·EC→ 的取值范围是( )EM→ A. B.[12，2][0，32]C.D ．[0,1][12，32]答案 C解析 将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E (x ，0)，0≤x ≤1.则M，C (1,1)，(1，12)所以＝，＝(1－x ，1)，EM → (1－x ，12)EC → 所以·＝·(1－x ，1)＝(1－x )2＋.EM → EC → (1－x ，12)12因为0≤x ≤1，所以≤(1－x )2＋≤，121232即·的取值范围是.EC → EM → [12，32]反思感悟 建立适当的坐标系，将平面向量数量积的运算坐标化，然后利用二次函数，基本不等式等求最值或范围．跟踪训练2 在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且＝λ，＝，则·的最小值为________．BE → BC → DF → 19λDC → AE→ AF → 答案 2918解析 根据题意，可知DC ＝1，·＝(＋)·(＋)＝(＋λ)·＝AE → AF → AB → BE → AD → DF → AB → BC→ (AD → ＋19λDC → )·＋·＋λ·＋·＝1＋＋－≥1＋2－＝，当且仅当λ＝时，AB → AD → 19λAB → DC → BC → AD → 19BC → DC→ 29λλ211819118291823等号成立．三、向量模的最值问题例3 向量a ，b 满足|a |＝1，a 与b 的夹角为，则|a －b |的最小值为________．π3答案 32解析 |a －b|2＝(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝1－2×1×|b|cos ＋|b|2π3＝|b|2－|b|＋1＝2＋≥，(|b |－12)3434所以|a －b|≥，当|b|＝时取得最小值．3212跟踪训练3 已知|a ＋b |＝2，向量a ，b 的夹角为，则|a |＋|b |的最大值为________．π3答案 433解析 将|a ＋b |＝2两边平方并化简得(|a |＋|b |)2－|a ||b |＝4，由基本不等式得|a ||b |≤2＝(|a |＋|b |2)，故(|a |＋|b |)2≤4，即(|a |＋|b |)2≤，即|a |＋|b |≤，当且仅当|a |＝|b |＝时，(|a |＋|b |)2434163433233等号成立，所以|a |＋|b |的最大值为.433四、向量夹角的最值问题例4 已知|a |＝1，向量b 满足2|b －a |＝b ·a ，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ的最小值为________．答案 255解析 ∵|a |＝1，∴设a ＝(1,0)，b ＝(x ，y )，∴b －a ＝(x －1，y )，由2|b －a |＝b ·a 得，2＝x ，则x >0，(x －1)2＋y 2∴4(x －1)2＋4y 2＝x 2，∴y 2＝－x 2＋2x －1，34∴cos θ＝＝＝＝＝a ·b|a ||b |xx 2＋y 2xx 2－34x 2＋2x －1x14x 2＋2x －11－(1x )2＋2x ＋14＝，1－(1x －1)2＋54∴当＝1即x ＝1时，cos θ取最小值.1x 255反思感悟 将向量夹角的大小问题转化为夹角余弦值的大小，利用函数求最值或范围．跟踪训练4 已知向量a ，b 满足a ＝(t ，2－t )，|b |＝1，且(a －b )⊥b ，则a ，b 的夹角的最2小值为( )A.B.π6π4C. D.π3π2答案 C解析 因为(a －b )⊥b ，所以(a －b )·b ＝0，a ·b ＝b 2，cos 〈a ，b 〉＝＝＝＝a ·b |a ||b ||b |2|a ||b ||b ||a |1|a |＝，12t 2－42t ＋8又因为2t 2－4t ＋8＝2[(t －)2＋2]≥2[(－)2＋2]＝4，2222所以0<cos 〈a ，b 〉≤，所以a ，b 的夹角的最小值为.12π3课时对点练1．已知向量m ＝(a －1,1)，n ＝(2－b ，2)(a >0，b >0)，若m ∥n ，则m ·n 的取值范围是( )A ．[2，＋∞) B ．(0，＋∞)C ．[2,4) D ．(2,4)答案 C解析 因为m ∥n ，所以2a －2＝2－b ，所以2a ＋b ＝4，所以b ＝4－2a >0，所以0<a <2，所以m ·n ＝2a ＋b －ab ＝4－ab ＝4－a (4－2a )＝2a 2－4a ＋4＝2(a －1)2＋2∈[2,4)．2．如图，在△ABC 中，点D 是线段BC 上的动点，且＝x＋y ，则＋的最小值为( )AD → AB → AC→ 1x 4y A ．3 B ．4 C ．5 D ．9答案 D解析 由图可知x ，y 均为正，且x ＋y ＝1，∴＋＝(x ＋y )＝5＋＋1x 4y (1x ＋4y )y x 4xy≥5＋2＝9，当且仅当＝，y x ·4x y y x 4x y 即x ＝，y ＝时等号成立，1323则＋的最小值为9.1x 4y3．在△ABC 中，AB ＝，BC ＝2，∠B ＝150°，点D 是AC 边上的一点(包括端点)，点M 3是AC 的中点，则·的取值范围是( )BM→ BD → A. B. C. D ．[0,1](0，12)[0，12][12，1]答案 B解析 因为点M 是AC 的中点，所以＝＋，BM → 12BA → 12BC → 因为点D 是AC 边上的一点(包括端点)，所以＝λ，λ∈[0,1]，CD → CA→ －＝λ－λ，＝λ＋(1－λ)，BD → BC → BA → BC → BD → BA → BC → 则·＝·[λ＋(1－λ)]BM → BD → (12BA → ＋12BC →)BA → BC → ＝λ2＋·＋(1－λ)2.12BA → 12BA → BC → 12BC → 因为AB ＝，BC ＝2，∠B ＝150°，3所以2＝3，·＝－3，2＝4，BA → BA → BC → BC → 所以·＝－λ.BM → BD→ 1212因为0≤λ≤1，则0≤－λ≤.121212故·的取值范围是.BM → BD→ [0，12]4．设O (0,0)，A (1,0)，B (0,1)，点P 是线段AB 上的一个动点，＝λ，AP → AB→ 若·≥·，则实数λ的取值范围是( )OP→ AB → PA → PB → A.≤λ≤1 B ．1－≤λ≤11222C.≤λ≤1＋ D ．1－≤λ≤1＋12222222答案 B解析 ∵＝λ，＝(1－λ)＋λ＝(1－λ，λ)，＝λ＝(－λ，λ)，·≥·AP → AB → OP → OA → OB → AP → AB → OP→ AB → PA → ，PB →∴(1－λ，λ)·(－1,1)≥(λ，－λ)·(λ－1,1－λ)，∴2λ2－4λ＋1≤0，解得1－≤λ≤1＋，因为点P 是线段AB 上的一个动点，所以22220≤λ≤1，即满足条件的实数λ的取值范围是1－≤λ≤1.225.如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝，AB ＝2，AD ＝1，若M ，N 分别是边AD ，CD π3上的点，且满足＝＝λ，其中λ∈[0,1]，则·的取值范围是( )MDAD NCDC AN→ BM→ A ．[－3，－1] B ．[－3,1]C ．[－1,1] D ．[1,3]答案 A解析 以A 为原点，AB ，垂直于AB 所在的直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则B (2,0)，A (0,0)，D .(12，32)∵满足＝＝λ，λ∈[0,1]，MDAD NCDC ∴＝＋＝＋(1－λ)＝＋(1－λ)＝＋(1－λ)(2,0)＝，AN → AD → DN → AD → DC → AD → AB → (12，32)(52－2λ，32)＝＋＝－＋(1－λ)＝(－2,0)＋(1－λ)＝，BM → BA → AM → AB → AD → (12，32)(－32－12λ，32(1－λ))·＝·AN → BM → (52－2λ，32)(－32－12λ，32(1－λ))＝＋×(1－λ)(52－2λ)(－32－12λ)3232＝λ2＋λ－3＝2－.(λ＋12)134∵λ∈[0,1]，二次函数的对称轴为λ＝－，12则函数在[0,1]上单调递增，故当λ∈[0,1]时，λ2＋λ－3∈[－3，－1]．6．设0≤θ<2π，已知两个向量＝(cos θ，sin θ)，＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量OP 1→ OP2→长度的最大值是( )P 1P 2——→ A. B. C ．3 D ．22323答案 C解析 ∵＝－＝(2＋sin θ－cos θ，2－cos θ－sin θ)，P 1P 2——→ OP2→ OP 1→ ∴||＝＝≤3.P 1P 2——→ (2＋sin θ－cos θ)2＋(2－cos θ－sin θ)210－8cos θ2当cos θ＝－1时，||有最大值3.P 1P 2——→ 27．已知△ABC 的三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，P 为AB 边上任意一点，则·(－)CP→ BA → BC → 的最大值为________．答案 9解析 根据题意，建立直角坐标系，如图，∴A (0,3)，B (4,0)，C (0,0)，∴＝(4，－3)，AB→ ＝＋＝＋λ＝(0,3)＋(4λ，－3λ)＝(4λ，3－3λ)，λ∈[0,1]，CP → CA → AP → CA → AB→ ∴·(－)＝·＝(4λ，3－3λ)·(0,3)＝9－9λ∈[0,9]，CP→ BA → BC → CP → CA → ∴·(－)的最大值为9.CP→ BA → BC → 8．若a ＝(2,2)，|b |＝1，则|a ＋b |的最大值为________．答案 2＋12解析 因为|b |＝1，设b ＝(cos θ，sin θ)，则a ＋b ＝(2＋cos θ，2＋sin θ)，则|a ＋b|＝＝＝(2＋cos θ)2＋(2＋sin θ)24(cos θ＋sin θ)＋9≤＝＝2＋1，当且仅当sin＝1时取等号．42sin (θ＋π4)＋99＋42(22＋1)22(θ＋π4)9．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·(a ＋b )＝2.求|a －λb |的最小值．解 由|a |＝1，a ·(a ＋b )＝2，可知a ·b ＝1，根据向量求模公式得|a －λb |＝，4λ2－2λ＋1易知，当λ＝时，|a －λb |取得最小值为.143210．△ABC 中，AB ＝2，AC ＝2，∠BAC ＝45°，P 为线段AC 上任意一点，求·的取2PB→ PC → 值范围．解 设＝t (0≤t ≤1)，PC→ AC → 则＝(1－t )，AP → AC → 因为＝－＝－(1－t )，PB → AB → AP → AB → AC → 所以·＝[－(1－t )]·t PB → PC → AB → AC → AC → ＝t ·－t (1－t )2AB → AC → AC → ＝2×2t ·cos 45°－t (1－t )×(2)222＝8t 2－4t ＝82－.(t －14)12因为0≤t ≤1，所以－≤·≤4，12PB→ PC → 所以·的取值范围为.PB → PC→ [－12，4]11．如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝θ，点D 为BC 的三等分点．则·AD→ 的取值范围为( )BC→A. B.(－113，133)(13，73)C.D.(－53，73)(－53，553)答案 C解析 ∵＝＋＝＋AD → AB → BD → AB → 13BC→＝＋(－)＝＋，AB → 13AC → AB → 23AB → 13AC → ∴·＝·(－)AD → BC → (23AB → ＋13AC →)AC → AB → ＝－||2＋||2＋·23AB → 13AC → 13AB → AC →＝－×4＋×9＋×2×3cos θ＝2cos θ＋.23131313∵－1<cos θ<1，∴－<2cos θ＋<.531373∴·∈.AD → BC → (－53，73)12.如图，延长线段AB 到点C ，使得＝2，D 点在线段BC 上运动，点O ∉直线AB ，满AB → BC→ 足＝λ＋μ，则λμ的取值范围是( )OD → OA → OB→A.B.[－32，0][－2，23]C.D ．[－1,1][－34，0]答案 C解析 不妨设AB ＝2BC ＝2，BD ＝x ，x ∈[0,1]，由平面向量三点共线可知，＝ ＋ ，OB → 22＋x OD → x2＋x OA→ ∴＝－，OD → 2＋x 2OB → x 2OA → ∴λ＝－，μ＝，x ∈[0,1]，x22＋x2则λμ＝－＝－(x 2＋2x )，(2＋x )x414∴λμ∈.[－34，0]13．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |＝1，若a ·b ＝，则(a ＋b )·(2b －c )的取值范围是( )12A ．[1,2＋]B ．[1,3＋]33C ．[3－，2＋]D ．[3－，3＋]3333答案 D解析 因为a ·b ＝，设a 与b 的夹角为θ，12则a·b ＝|a|·|b|cos θ＝，解得θ＝，而|a|＝|b|＝|c|＝1，则可设a ＝(1,0)，由θ＝可得b ＝12π3π3.(12，32)由|c |＝1，设c ＝(sin α，cos α)，则(a ＋b )·(2b －c )＝2a·b ＋2b 2－a·c －b·c＝1＋2－sin α－(12sin α＋32cos α)＝3－＝3－sin.(32sin α＋32cos α)3(α＋π6)所以当α＝时取得最大值为3＋，当α＝时取得最小值为3－，所以(a ＋b )·(2b －c )的4π33π33取值范围为[3－，3＋]．3314．已知|a |＝|b |＝a ·b ＝2，c ＝(2－4λ)a ＋λb ，则(c －a )·(c －b )的最小值为________．答案 －4952解析 ∵c －a ＝(1－4λ)a ＋λb ，c －b ＝(2－4λ)a ＋(λ－1)b ，∴(c －a )·(c －b )＝[(1－4λ)a ＋λb ]·[(2－4λ)a ＋(λ－1)b ]＝(16λ2－12λ＋2)a 2＋(－8λ2＋7λ－1)a ·b ＋(λ2－λ)b 2，代入|a |＝|b |＝a ·b ＝2，原式＝52λ2－38λ＋6，∴当λ＝时，原式取得最小值，为－.1952495215．已知正三角形ABC 按如图所示的方式放置，AB ＝4，点A ，B 分别在x 轴的正半轴和y轴的正半轴上滑动，则·的最大值是________．OA → OC →答案 12解析 设∠OAB ＝θ，θ∈，(0，π2)则A (4cos θ，0)，C ，(4cos θ＋4cos (2π3－θ)，4sin (2π3－θ))所以·＝4cos θ·OA → OC → [4cos θ＋4cos (2π3－θ)]＝4cos θ(2cos θ＋2sin θ)3＝4cos 2θ＋4＋4sin 2θ3＝8sin ＋4，θ∈，(2θ＋π6)(0，π2)故当2θ＋＝，即θ＝时，·有最大值12.π6π2π6OA → OC → 16．已知向量a ＝(，－1)，b ＝.3(12，32)(1)求与a 平行的单位向量c ；(2)设x ＝a ＋(t 3＋3)b ，y ＝－k ·t a ＋b ，若存在t ∈[0,2]，使得x ⊥y 成立，求k 的取值范围．解 (1)设c ＝(x ，y )，根据题意得Error!解得Error!或Error!∴c ＝或c ＝.(32，－12)(－32，12)(2)∵a ＝(，－1)，b ＝，3(12，32)∴a·b ＝0.∵x ⊥y ，∴－kt |a |2＋(t 2＋3)|b |2＝0.∵|a |＝2，|b |＝1，∴t 2－4kt ＋3＝0.问题转化为关于t 的二次方程t 2－4kt ＋3＝0在[0,2]内有解．令f (t )＝t 2－4kt ＋3，则当2k ≤0，即k ≤0时，∵f (0)＝3，∴方程t 2－4kt ＋3＝0在[0,2]内无解．当0<2k ≤2，即0<k ≤1时，由Δ＝16k 2－12≥0，解得k ≤－或k ≥，∴≤k ≤1.323232当2k >2，即k >1时，由f (2)≤0得4－8k ＋3≤0，解得k ≥，∴k >1.78综上，实数k 的取值范围为.[32，＋∞)。
平面向量中最值、范围问题
平面向量中的最值、范围问题一、考情分析平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合． 二、经验分享1.利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题,即只需将问题转化为向量形式,用向量的运算来求解.如果能够建立适当的直角坐标系,用向量的坐标运算往往更为简捷.1.平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略2.几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点,作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题,实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件,结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用①求解(较难)；③建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.3．坐标是向量代数化的媒介,通过向量的坐标表示可将向量问题转化为代数问题来解决,而坐标的获得通常要借助于直角坐标系. 对于某些平面向量问题, 若能建立适当的直角坐标系,可以使图形中复杂的几何关系转化为简单明朗的代数关系,减少推理过程,有效地降低思维量,起到事半功倍的效果．上面两题都是通过建立坐标系将向量问题转化为函数与不等式问题求解,体现了向量解题的工具性. 三、知识拓展1．-≤⋅≤a b a b a b . 2．-≤±≤+a b a b a b 四、题型分析(一) 平面向量数量积的范围问题已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,cos a b θ⋅⋅叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a b ⋅.即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅,规定00a ⋅=,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算． 【例1】在边长为2的等边三角形ABC 中,D 是AB 的中点,E 为线段AC 上一动点,则ED EB ⋅的取值范围为【分析】利用向量的加法或减法法则,将向量,EB ED 分别表示,结合已知条件设|AE |x =（02x ≤≤）,将ED EB ⋅用变量x 表示,进而转化为二次函数的值域问题．【点评】将⋅用某个变量表示,转化为函数的值域问题,其中选择变量要有可操作性．【小试牛刀】【江苏省盐城中学2018届高三上学期期末】已知ABC ∆的周长为6,且,,BC CA AB 成等比数列,则BA BC ⋅的取值范围是______． 【答案】2795⎡-⎢⎣⎭【解析】因为,,BC CA AB 成等比数列,所以622a c bb ac +-=≤=,从而02b <≤,所以()()22222263cos 32722b b ac bBA BC ac B b --+-⋅====-++,又()()2222,,4a c b a c b a c ac b -<∴-<+-<,即2390b b +->,3532b -<≤,故27952BA BC -≤⋅<. (二) 平面向量模的取值范围问题设(,)a x y =,则222a a x y ==+,向量的模可以利用坐标表示,也可以借助“形”,向量的模指的是有向线段的长度,过可结合平面几何知识求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以将向量用基底向量表示再求．【例2】已知向量,,a b c 满足4,22,a b ==a 与b 的夹角为4π,()()1c a c b -⋅-=-,则c a -的最大值为 .【分析】根据已知条件可建立直角坐标系,用坐标表示有关点（向量）,确定变量满足的等式和目标函数的解析式,结合平面几何知识求最值或范围. 【解析】设c OC b OB a OA ===,,；以OA 所在直线为x,O 为坐标原点建立平面直角坐标系,4,22,a b ==a 与b 的夹角为4π,则A （4,0）,B （2,2）,设C （x,y ） ∵()()1c a c b -⋅-=-, ∴x 2+y 2-6x-2y+9=0,即（x-3）2+（y-1）2=1表示以（3,1）为圆心,以1为半径的圆,c a -表示点a -的最大值【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标,正确找到变量间的关系,以及目标函数代表的几何意义是解题关键．【小试牛刀】【2018届山东省济南高三上学期期末】已知平面上的两个向量OA 和OB 满足OA a =,OB b =,且221a b +=, 0OA OB ⋅=,若向量(),R OC OA OB λμλμ=+∈,且()()222221214a b λμ-+-=,则OC 的最大值为__________． 【答案】32【解析】因为OA a =, OB b =,且221a b +=, 0OA OB ⋅=,, 1,AB OA OB =⊥,如图,取AB 中点D ,则()12OD OA OB =+, 12OD = , 1122DC OC OD OA OB λμ⎛⎫⎛⎫∴=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由()()222221214a b λμ-+-=可得222211122a b λμ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222211122DC a b λμ⎛⎫⎛⎫∴=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 1DC ∴=, C ∴在以D 为圆心, 1为半径的圆上, ∴当O C ，, D 共线时OC 最大, OC ∴的最大值为312OD +=,故答案为32.(三) 平面向量夹角的取值范围问题设11(,)a x y =,22(,)b x y =,且,a b 的夹角为θ,则121222221122cos a b a bx y x y θ⋅==⋅+⋅+．【例3】已知向量→OA 与→OB 的夹角为θ,→→→→→→→-====PQ OB t OQ OA t OP OB OA ,)1(,,1,20t 在时取得最小值,当0105t <<时,夹角θ的取值范围为________________. 【分析】将PQ 表示为变量t 的二次函数PQ 1)cos 42()cos 45(2+--++=t t θθ,转化为求二次函数的最小值问题,当θθcos 45cos 210++=t 时,取最小值,由已知条件0105t <<,得关于夹角θ的不等式,解不等式得解．【点评】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解．【小试牛刀】已知非零向量,a b 满足2a b = ,若函数3211().132f x x a x a bx =+++ 在R 上存在极值,则a 和b 夹角的取值范围为 【答案】,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦【解析】()'2fx x a x a b =++⋅,设a 和b 夹角为θ,因为()f x 有极值,所以240a a b ∆=-⋅>,即24cos 0a a b θ∆=-⋅⋅>,即1cos 2θ<,所以,3πθπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． （四）平面向量系数的取值范围问题平面向量中涉及系数的范围问题时,要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系,通过列不等式或等式得系数的不等式,从而求系数的取值范围．【例4】已知()2,λ=a ,()5,3-=b ,且a 与b 的夹角为锐角,则λ的取值范围是 ．【分析】a 与b 的夹角为锐角等价于0a b ⋅>,且a 与b 不共线同向,所以由0a b ⋅>,得310<λ,再除去a 与b 共线同向的情形．【解析】由于a 与b 的夹角为锐角,0>⋅∴b a ,且a 与b 不共线同向,由01030>+-⇒>⋅λb a ,解得310<λ,当向量a 与b 共线时,得65-=λ,得56-=λ,因此λ的取值范围是310<λ且56-≠λ．【点评】注意向量夹角与三角形内角的区别,向量夹角的范围是[0,]π,而三角形内角范围是(0,)π,向量夹角是锐角,则cos 0,θ>且cos 1θ≠,而三角形内角为锐角,则cos 0,θ>．【小试牛刀】【江苏省泰州中学2018届高三10月月考】如图,在ABC ∆中, 21,3AB AC BAC π==∠=. （1）求AB BC ⋅的值；（2）设点P 在以A 为圆心, AB 为半径的圆弧BC 上运动,且AP x AB y AC =+,其中,x y R ∈.求xy 的取值范围.【解析】（1）()AB BC AB AC AB ⋅=⋅- 213||122AB AC AB =⋅-=--=-. （2）建立如图所示的平面直角坐标,则()131,0,,22B C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.设()2cos ,sin ,0,3P πθθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,由AP x AB y AC =+, 得()()13cos ,sin 1,0,2x y θθ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭.所以3cos ,sin 2y x y θθ=-=. 所以323cos sin ,sin x y θθθ=+=. 22323121sin cos sin sin2sin 233363xy πθθθθθ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭. 因为270,,2,3666ππππθθ⎡⎤⎡⎤∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 所以,当262ππθ-=时,即3πθ=时, xy 的最大值为1；当266ππθ-=-或7266ππθ-=即0θ=或23πθ=时, xy 的最小值为0.五、迁移运用1．【江苏省常州2018届高三上学期期末】在ABC ∆中, 5AB =, 7AC =, 3BC =, P 为ABC ∆内一点（含边界）,若满足()14BP BA BC R λλ=+∈,则BA BP ⋅的取值范围为________． 【答案】525,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由余弦定理,得2225371cos 2532B +-==-⨯⨯,因为P 为ABC ∆内一点（含边界）,且满足()14BP BA BC R λλ=+∈,所以30,4λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则14BA BP BA BA BC λ⎛⎫⋅=⋅+ ⎪⎝⎭212515525,44284BA BA BC λλ⎡⎤=+⋅=-∈⎢⎥⎣⎦. 2．【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研】如图,已知矩形ABCD 的边长2AB =, 1AD =.点P ,Q 分别在边BC , CD 上,且45PAQ ︒∠=,则AP AQ ⋅的最小值为_________.【答案】424-3．【江苏省如皋市2017--2018学年度高三年级第一学期教学质量调研】已知点P 是边长为3形ABC 内切圆上的一点,则PA PB ⋅的取值范围为_______. 【答案】[]3,1-【解析】以正三角形ABC 的中心为原点,以AB 边上的高为y 轴建立坐标系,则())3,1,3,1A B ---,正三角形ABC 内切圆的方程为221x y +=,所以可设()cos ,sin P αα,则()()3cos 1,3cos 1PA sin PB sin αααα=----=---，，, 22cos 3sin 21PA PB sin ααα⋅=-+++[]213,1sin α=-∈-,故答案为[]3,1-.4．【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试】如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为1,正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处,且,A B 的位置所图所示,则AB CD ⋅ 的最大值为________．【答案】24【解析】先建立直角坐标系,由向量投影知AB CD ⋅ 取最大值时()()()390,5,3,0,,,0,022C D A B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ ,即AB CD ⋅ ()39345,3,5242222⎛⎫=--⋅--=+= ⎪ ⎪⎝⎭5．【江苏省泰州中学2018届高三12月月考】已知单位向量a , b 的夹角为120︒,那么2a xb -（x R ∈）的最小值是__________． 3 【解析】()()22222244cos1202413a xb a xbx x x x x -=-=+-︒=++=++ ∴ 2a xb-36．【江苏省溧阳市2017-2018学年高三第一学期阶段性调研】扇形AOB 中,弦2AB C =，为劣弧AB 上的动点, AB 与OC 交于点P ,则·OP BP 的最小值是_____________________． 【答案】14-【解析】设弦AB 中点为M,则()·OP BP OM MP BP MP BP ⋅=+=⋅ 若,MP BP 同向,则0OP BP ⋅>,若,MP BP 反向,则0OP BP ⋅<, 故OP BP ⋅的最小值在,MP BP 反向时取得,此时1MP BP +=,则： 2124MP BP OP BP MP BP ⎛⎫+⎪⋅=-⋅≥-=- ⎪⎝⎭, 当且仅当12MP BP ==时取等号,即OP BP ⋅的最小值是14-. 7．【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】已知AB 为圆O 的直径,M 为圆O 的弦CD 上一动点,8AB =,6CD =,则MA MB ⋅的取值范围是 ． 【答案】[9,0]- 【解析】试题分析：22216MA MB MO AO MO ⋅=-=-,而222[,][7,16]O CD MO d r -∈=,所以MA MB ⋅的取值范围是[9,0]-8．【泰州中学2017届高三上学期期中考试】在ABC ∆中,()30AB AC CB -=,则角A 的最大值为_________. 【答案】6π9．【泰州中学2017届高三上学期期中考试】在平面内,定点,,,A B C D 满足,4DA DB DC DA DB DB DC DC DA =====-,动点,P M 满足2,AP PM MC ==,则BM 的最大值是__________.【答案】321【解析】试题分析:设r DC DB DA ===||||||,则4cos cos cos 222-===γβαr r r .由题设可知0120===γβα,且2282=⇒=r r .建立如图所示的平面直角坐标系,则)0,6(),0,6(),23,0(C B A -,由题意点P 在以A 为圆心的圆上,点M 是线段PC 的中点.故结合图形可知当CP 与圆相切时,BM 的值最大,其最大值是123-.应填答案1.10．【2017届甘肃天水一中高三12月月考】已知ABC ∆中,过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交边AB ,AC 于M ,N 两点,设AM xAB =,AN y AC =（0xy ≠）,则4x y +的最小值 ．【答案】94【解析】由已知可得AB x AM AE ME AD AE AD )41(4212-=-=⇒+==⇒+=AC y AB x AM AN MN AC +-=-=+,41,由=+⇒=+⇒=--⇒y x yx y x xMN ME 44114141// 49)425(41)45(41)11)(4(41=⋅+≥++=++y x x y y x x y y x y x . 11．【2017吉林长春五县高二理上学期期末】已知0m >,0n >,向量(),1,3a m =-与()1,,2b n =垂直,则mn 的最大值为 ．【答案】9【解析】因为向量(),1,3a m =-与()1,,2b n =垂直,所以60a b m n ⋅=+-=,即6m n +=,所以292()m n mn +≤＝,当且仅当3m n ==时取等号,所以mn 的最大值为9,故答案为9. 12．【2017河北武邑中学周考】已知直角梯形ABCD 中,BC AD //,90=∠ADC ,2=AD ,1=BC ,P 是腰DC 上的动点,则3PA PB +的最小值为________. 【答案】5【解析】如图所示,以直线,DA DC 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系,则(2,0),(1,),(0,),(0,0)A B a C a D ,设(0,)(0)P b b a ≤≤,则(2,),(1,)PA b PB a b =-=-,所以3(1,5,34)PA PB a a b +=--,所以2325(34)5PA PB a b +=+-≥,所以3PA PB +的最小值为5.13．【2017学年河北武邑中学周考】在平面直角坐标系中,O 为原点,()0,1-A ,()3,0B ,()0,3C ,动点D 满足1CD =,则OA OB OD ++的最大值是________. 【答案】17+【解析】由题意可得,点D 在以(3,0)C 为圆心的单位圆上,设点D 的坐标为(3cos ,sin )θθ+,则71OA OB OD OA OB OC CD ++≤+++=．14．【2017届河北武邑中学高三周考】已知向量()1,1OA =,()1,OB a =,其中O 为原点,若向量OA 与OB 的夹角在区间0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内变化,则实数a 的取值范围是 ． 33a ≤≤【解析】因为),1(),1,1(a OB OA ==,所以a +=⋅1；又θcos 122a +⋅=⋅,故)1(21cos 2a a ++=θ,注意到]12,0[πθ∈,故]1,426[cos +∈θ,即]1,426[)1(212+∈++a a ,解之得333a ≤≤；应填答案333a ≤≤. 15．【2018届辽宁师范大学附属中学高三上学期期末】直角梯形ABCD 中, CB CD ⊥, AD BC ,ABD 是边长为2的正三角形, P 是平面上的动点, 1CP =,设AP AD AB λμ=+（λ, R μ∈）,则λμ+的最大值为__________．【答案】923+ 【解析】以C 为原点, CD 为x 轴, BC 所在直线为y 轴,建立直角坐标系, 1,CP =∴可设()()()cos ,,1,3,2,0CP sin AD AB αα==-=-, (,3,AC =- (cos 2,3,AP AC CP sin αα=+=-+因为AP AD AB λμ=+,所以()()cos 2,32,3sin ααλμλ-+=--3122{{3313122cos sin cos λαλμαλαμαα=+--=-⇒==-+,)13333cos 222λμαααϕ+=-+-+ 332≤=923+即λμ+的最大值为923+923+. 16.【2018届湖南师范大学附属中学高三上学期月考】已知向量,a b 夹角为3π, 2b =,对任意x R ∈,有b xa a b +≥-,则()2atb a tb t R -+-∈的最小值是__________．【答案】7 【解析】向量,a b 夹角为,23b π=,对任意x R ∈,有b xa a b +≥-,两边平方整理可得()222220x a ax b a a b +⋅-⋅≥,则()()2224420a b a a a b ∆=⋅+-⋅≤,即有()220a a b -⋅≤,即()0a a b ⋅-=,则()a b a -⊥,由向量,a b 夹角为,23b π=,由2cos3a ab a b π=⋅=⋅⋅,即有1a =,则2223a b a b a b -=+-⋅=,画出AO a =, AB b =,建立平面直角坐标系,如图所示,则()()1,0,3,A B ()()1,0,1,3a b ∴=-=- ()()22132a tb a tb t t∴-+-=-+()2222113421424t tt t t t ⎛⎫-+=-++-+= ⎪⎝⎭2222131********t t ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢-+--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎣,表示(),0P t 与1313,48M N ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭的距离之和的2倍,当,,M P N 共线时,取得最小值2MN ,即有2211337224848MN ⎛⎫⎛⎫=-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故答7. 17．【2018届江苏省泰州中学高三12月月考】在矩形ABCD 中, 3AB =, 1AD =,若M , N 分别在边BC , CD 上运动（包括端点,且满足BM CN BCCD=,则AM AN ⋅的取值范围是__________．【答案】[1,9]【解析】分别以AB,AD 为x,y 轴建立直角坐标系,则()()(0,03,0,3,1,0,1A B C D ），（）,设()(3,,,1M b N x ）,因为BM CN BCCD=,所以33x b -=,则()3=,1,=3,3x AN x AM -⎛⎫⎪⎝⎭,故()8=1033AM AN x x ⋅+≤≤,所以81193x ≤+≤,故填[1,9]. 18.【2018届安徽省蒙城“五校”联考】在ABC ∆中,点D 在线段BC 的延长线上,且12BC CD =,点O 在线段CD 上（与点,C D 不重合）,若()1AO xAB x AC =+-,则x 的取值范围是__________． 【答案】()2,0-19．【2017届四川双流中学高三训练】已知向量(),2a x =-,(),1b y =,其中x ,y 都是正实数,若a b ⊥,则2t x y =+的最小值是___________． 【答案】4【解析】由a b ⊥,得0=⋅b a ,即()()21,2,-=⋅-xy y x ,所以2=xy ．又x ,y 都是正实数,所以422222=⋅=⋅≥+=y x y x t ．当且仅当y x 2=时取得等号,此时2=x ,1=y ,故答案为：4．20．【2017届江苏南京市盐城高三一模考】在ABC ∆中,已知3AB =,3C π=,则CA CB ⋅的最大值为 . 【答案】32【解析】1cos 2CA CB ba C ab ⋅==,由余弦定理得：2232cos 23a b ab ab ab ab π=+-≥-=,所以32CA CB ⋅≤,当且仅当a b =时取等号21．【2017届浙江杭州地区重点中学高三上学期期中】已知△ABC中,4AB =,2AC =,|(22)|AB AC λλ+-（R λ∈）的最小值为若P 为边AB 上任意一点,则PB PC ⋅的最小值是 ．【答案】94-【解析】令()f λ＝22222|(22)|(22)2(22)AB AC AB AC AB AC λλλλλλ+-=+-+-⋅＝216λ＋24(22)λ-＋2(22)8cos A λλ-⋅＝216[(22cos )(2cos 2)1]A A λλ-+-+,当cos 0A =时,()f λ＝221116(221)16[2()]822λλλ-+=-+≥,因为>所以2A π=,则建立直角坐标系,(0,0)A ,(4,0),(0,2)B C ,设(,0)P x (04)x <<,则(4,0)PB x =-,(,2)PC x =-,所以PB PC ⋅＝(4)x x --＝2(2)4x --；当cos 0A ≠时,()f λ＝2116[(22cos )()2A λ--＋1cos]2A +≥88cos 12A +=,解得1cos 2A =,所以3A π=,则建立直角坐标系,(0,0)A ,(4,0),B C ,设(,0)P x (04)x <<,则(4,0)PB x =-,(1PC x =-,所以PB PC ⋅＝(4)(1)x x --＝259()24x --．综上所述,当52x =时,PB PC ⋅取得最小值94-．。
平面向量最值问题解题方法
平面向量最值问题解题方法平面向量最值问题是高中数学中的重要知识点，涉及面广，难度较大。
下面介绍一些平面向量最值问题的解题方法。
一、向量模长的最值问题1、向量模长最大值设向量a的模长为|a|，则向量a的模长最大值为|a|=√(a_x+a_y)，其中a_x和a_y分别代表向量a在x轴和y轴上的分量。
求出向量a的模长后，可以采用以下两种方法求出向量a的模长最大值：（1）对于a的分量a_x和a_y，分别求出它们的绝对值，即|a_x|和|a_y|，然后将它们代入|a|=√(a_x+a_y)中，求出|a|的最大值。
（2）根据勾股定理，可以得出|a|的最大值为向量a在x轴和y 轴上的分量的平方和的平方根，即|a|=√((a_x+a_y))。
2、向量模长最小值同样设向量a的模长为|a|，则向量a的模长最小值为|a|=√(a_x+a_y)，其中a_x和a_y分别代表向量a在x轴和y轴上的分量。
求出向量a的模长后，可以采用以下两种方法求出向量a的模长最小值：（1）对于a的分量a_x和a_y，分别求出它们的绝对值，即|a_x|和|a_y|，然后将它们代入|a|=√(a_x+a_y)中，求出|a|的最小值。
（2）根据勾股定理，可以得出|a|的最小值为向量a在x轴和y 轴上的分量的平方差的平方根，即|a|=√((a_x-a_y))。
二、向量夹角的最值问题设向量a和向量b的夹角为θ，则向量a和向量b的夹角的最值为：1、夹角最大值当向量a和向量b的方向相反时，它们的夹角最大，此时θ=π。
2、夹角最小值当向量a和向量b的方向相同时，它们的夹角最小，此时θ=0。
三、向量和的模长的最值问题对于两个向量a和b，它们的和向量c=a+b。
则向量c的模长最值为：1、模长最大值当向量a和向量b的方向相同，且它们的模长相等时，它们的和向量c的模长最大，此时|c|=2|a|。
2、模长最小值当向量a和向量b的方向相反，且它们的模长相等时，它们的和向量c的模长最小，此时|c|=0。
平面向量中的极化恒等式及有关最值(范围)问题
平面向量中的极化恒等式及有关最值(范围)问题知识拓展1.极化恒等式：a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2].几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14.2.平行四边形PMQN ，O 是对角线交点.则：(1)PM →·PN →＝14[PQ 2－NM 2](平行四边形模式)；(2)PM →·PN →＝PO 2－14NM 2(三角形模式).3.平面向量中的最值(范围)问题(1)向量数量积投影、向量的模、夹角的最值(或范围)；(2)向量表达式中字母参数的最值(或范围).题型突破题型一 极化恒等式的应用【例1】 (1)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC→＝________.(2)已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则P A →·PB→的取值范围是________.解析 (1)因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得AB →·AC →＝AM 2－14BC 2＝9－14×100＝－16.(2)取AB 的中点D ，连接CD ，因为三角形ABC 为正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，且OC ＝2OD ＝2，所以CD ＝3，AB ＝2 3.又由极化恒等式得P A →·PB →＝PD 2－14AB 2＝PD 2－3，因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，PD max ＝3， 当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，PD min ＝1，所以P A →·PB→∈[－2，6]. 答案 (1)－16 (2)[－2，6]【训练1】 (1)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·DA→的值为________. (2)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( ) A.2B.3C.6D.8解析 (1)取AE 中点O ，设AE ＝x (0≤x ≤1)，则AO ＝12x ，∴DE →·DA→＝DO 2－14AE 2＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－14x 2＝1. (2)如图，由已知|OF |＝1，取FO 中点E ，连接PE ，由极化恒等式得OP →·FP →＝|PE |2－14|OF |2＝|PE |2－14，∵|PE |2max ＝254，∴OP →·FP →的最大值为6. 答案 (1)1 (2)C题型二 平面向量中的最值(范围)问题类型1 利用函数型【例2－1】 (1)设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，|b －t a |的最小值为1，则( )A.若θ确定，则|a |唯一确定B.若θ确定，则|b |唯一确定C.若|a |确定，则θ唯一确定D.若|b |确定，则θ唯一确定(2)已知m ，n 是两个非零向量，且|m |＝1，|m ＋2n |＝3，则|m ＋n|＋|n|的最大值为( )A. 5B.10C.4D.5解析 (1)由|b －t a |的最小值为1知(b －t a )2的最小值为1，令f (t )＝(b －t a )2，即f (t )＝b 2－2t a ·b ＋t 2a 2，则对于任意实数t ，f (t )的最小值为4a 2·b 2－（2a ·b ）24a 2＝4a 2b 2－（2|a ||b |cos θ）24a2＝1，化简得b 2(1－cos 2θ)＝1，观察此式可知，当θ确定时，|b |唯一确定，选B.(2)因为(m ＋2n )2＝4n 2＋4m ·n ＋1＝9，所以n 2＋m ·n ＝2，所以(m ＋n )2＝m 2＋2m ·n ＋n 2＝5－n 2，所以|m ＋n |＋|n |＝5－|n |2＋|n |.令|n |＝x (0<x ≤5)，f (x )＝5－x 2＋x ，则f ′(x )＝－2x 25－x 2＋1.由f ′(x )＝0，得x ＝102，所以当0<x <102时，f ′(x )>0时，当102<x ≤5时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，102上单调递增，在⎝ ⎛⎦⎥⎤102，5上单调递减，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫102＝10，故选B. 答案 (1)B (2)B【训练2－1】 (1)(2017·浙江卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________.(2)如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧(在正方形内，包括边界点)上的任意一点，则AP →·BP→的取值范围是________；若向量AC →＝λDE →＋μAP →，则λ＋μ的最小值为________.解析 (1)由题意，不妨设b ＝(2，0)，a ＝(cos θ，sin θ)(θ∈[0，2π))， 则a ＋b ＝(2＋cos θ，sin θ)，a －b ＝(cos θ－2，sin θ).令y ＝|a ＋b |＋|a －b | ＝（2＋cos θ）2＋sin 2θ＋（cos θ－2）2＋sin 2θ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y 2＝10＋225－16cos 2θ∈[16，20].由此可得(|a ＋b |＋|a －b |)max ＝20＝25，(|a ＋b |＋|a －b |)min ＝16＝4，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是2 5.(2)以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD 所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则易得A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，P (cos θ，sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2，则AP →·BP →＝(cos θ，sin θ)·(cos θ－1，sin θ)＝cos 2θ－cos θ＋sin 2θ＝1－cosθ，又因为0≤θ≤π2，所以AP →·BP →＝1－cos θ∈[0，1].由AC→＝λDE →＋μAP →得(1，1)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1＋μ(cos θ，sin θ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μcos θ，－λ＋μsin θ，所以⎩⎨⎧12λ＋μcos θ＝1，－λ＋μsin θ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝2sin θ－2cos θ2cos θ＋sin θ，μ＝32cos θ＋sin θ，则λ＋μ＝2sin θ－2cos θ2cos θ＋sin θ＋32cos θ＋sin θ＝2sin θ－2cos θ＋32cos θ＋sin θ，当θ＝π2时，λ＋μ＝2sin θ－2cos θ＋32cos θ＋sin θ＝5，当θ≠π2时，λ＋μ＝2sin θ－2cos θ＋32cos θ＋sin θ＝2tan θ－2＋3tan 2θ＋12＋tan θ，设f (x )＝2x －2＋3x 2＋12＋x(x ≥0)，则f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋3x x 2＋1（2＋x ）－（2x －2＋3x 2＋1）（2＋x ）2＝6x 2＋1＋6x －3（2＋x ）2x 2＋1>0(x ≥0)，所以函数f (x )＝2x －2＋3x 2＋12＋x 在[0，＋∞)上单调递增，则当tan θ＝0时，λ＋μ＝2tan θ－2＋3tan 2θ＋12＋tan θ取得最小值12.综上所述，λ＋μ的最小值为12.答案 (1)4 25 (2)[0，1] 12类型2 利用不等式型【例2－2】 (1)(2020·浙江名校新高考研究联盟三联)已知边长为1的正方形ABCD ，E ，F 分别是边BC ，DC 上的两个动点，AE→＋AF →＝xAB →＋yAD→，若x ＋y ＝3，则|EF →|的最小值为________. (2)(一题多解)(2019·七彩阳光联盟三联)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b ＝0，则|2c －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12c －b 的最小值为( ) A.172B.2C.52D. 5(3)(2016·浙江卷)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________.解析 (1)因为四边形ABCD 是正方形，以C 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A (1，1)，B (1，0)，C (0，0).设E (a ，0)，F (0，b )，则0≤a ，b ≤1.所以AE→＝(a －1，－1)，AF →＝(－1，b －1)，因为AE →＋AF →＝xAB →＋yAD→，所以有y ＝2－a ，x ＝2－b .因为x ＋y ＝3，所以a ＋b ＝1.所以|EF →|＝a 2＋b 2≥（a ＋b ）22＝22，所以|EF →|min ＝22，当且仅当a ＝b ＝12时取到最小值.(2)法一 因为|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ⊥b .所以通过计算有|2c －a |＝|c －2a |，⎪⎪⎪⎪⎪⎪12c －b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c －12b ，所以|2c －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12c －b ＝|c －2a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪c －12b ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a －12b ＝172，故选A. 法二 因为|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ⊥b ，所以可设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝(x ，y )，则有x 2＋y 2＝1，所以|2c －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12c －b ＝（2x －1）2＋4y 2＋14x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y －12＝4x 2－4x ＋1＋4y2＋14x 2＋14y 2－y ＋1＝x 2－4x ＋4＋y 2＋x 2＋y 2－y ＋14＝（x －2）2＋y 2＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122≥22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝172，故选A. (3)由已知可得6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e |由于上式对任意单位向量e 都成立.∴6≥|a ＋b |成立.∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b .即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12. 答案 (1)22 (2)A (3)12【训练2－2】 (1)(2020·杭州四中仿真)若非零向量a ，b 满足a 2＝(5a －4b )·b ，则cos 〈a ，b 〉的最小值为________.(2)(2019·浙江名师预测卷一)已知向量a ，b 满足|b |＝1，|a ＋b |＝2|a －b |，则|a |2－|b |2的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，8B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－19，8 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，19 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－19，19 (3)(2020·温州适应性测试)已知平面向量a ，b ，c 满足：a ·b ＝0，|c |＝1，|a －c |＝|b －c |＝5，则|a －b |的最小值为( )A.5B.6C.7D.8解析 (1)由a 2＝(5a －4b )·b 得a ·b ＝15(a 2＋4b 2)≥15×2|a |2·4|b |2＝45|a |·|b |，则cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |≥45|a |·|b ||a |·|b |＝45，当且仅当|a |＝2|b |时等号成立，所以cos 〈a ，b 〉的最小值为45.(2)因为|b |＝1，所以|(a ＋b )－(a －b )|＝2|b |＝2.两边平方得|a ＋b |2＋|a －b |2－2(|a |2－|b |2)＝4，又|a ＋b |＝2|a －b |，所以|a |2－|b |2＝5|a －b |2－42，又因为|a ＋b |－|a －b |≤|(a ＋b )－(a －b )|≤|a ＋b |＋|a －b |，即|a －b |≤2≤3|a－b |，故23≤|a －b |≤2，所以|a |2－|b |2＝5|a －b |2－42的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，8，故选A.(3)|a －b |2＝|(a －c )－(b －c )|2＝(a －c )2－2(a －c )(b －c )＋(b －c )2＝50－2(a ·b －a ·c －b ·c ＋1)＝48＋2(a ＋b )·c ＝48＋2|a ＋b |cos θ(其中θ为a ＋b 与c 的夹角)，因为|a －b |＝|a ＋b |，所以|a －b |2＝48＋2|a －b |cos θ，则由cos θ∈[－1，1]，得48－2|a －b |≤|a －b |2≤48＋2|a －b |，解得6≤|a －b |≤8，即|a －b |的最小值为6，此时向量a －b 的方向与向量c 的方向相反，故选B.答案 (1)45 (2)A (3)B类型3 利用向量平行(垂直)、向量的投影型【例2－3】 (1)如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”.若A ，B ，C ，D 四点均位于图中的“晶格点”处，且A ，B 的位置如图所示，则AB →·CD→的最大值为________.(2)已知|a |＝2，|b |＝|c |＝1，则(a －b )·(c －b )的最大值为________，最小值为________.解析 (1)先建立平面直角坐标系如图，因为正六边形的边长均为1，所以B (0，0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，92，当CD →在AB →方向上的投影最大时，AB →·CD →最大，此时取C (0，5)，D (－3，0)，即(AB →·CD →)max ＝⎝⎛⎭⎪⎫－32，－92·(－3，－5)＝32＋452＝24.(2)设M ＝a ·c －a ·b －b ·c ，则(a －b )(c －b )＝a ·c －a ·b －b ·c ＋b 2＝1＋a ·c－a ·b －b ·c ＝1＋M .而(b －a －c )2＝6＋2M ，M ＝－3＋12(b －a －c )2，∴当(b －a －c )2＝0时，M min ＝－3，∴[(a －b )(c －b )]min ＝1－3＝－2；当b ，－a ，－c 共线且同向时，M max ＝－3＋12(1＋2＋1)2＝5，∴[(a －b )·(c －b )]max ＝1＋5＝6.答案 (1)24 (2)6 －2【训练2－3】 (1)已知向量a ，b ，c 满足|b |＝|c |＝2|a |＝1，则(c －a )·(c －b )的最大值是________，最小值是________.(2)已知|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝2，|OP →|＝1，且OA →＝BO →，记P A →·PB →＋PB →·PC →＋PC →·P A →的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝( )A.6B.4C.－2D.－4解析 (1)由题意得|a |＝12，|b |＝|c |＝1，则(c －a )·(c －b )＝|c |2－c ·b －c ·a＋a ·b ＝|c |2＋12(－a －b ＋c )2－12(|a |2＋|b |2＋|c |2)＝－18＋12(－a －b ＋c )2，则当向量－a ，－b ，c 同向共线时，(c －a )·(c －b )取得最大值－18＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1＋12＝3，当－a －b ＋c ＝0时，(c －a )·(c －b )取得最小值－18. (2)因为P A →·PB →＋PB →·PC →＋PC →·P A →＝(OA →－OP →)·(OB →－OP →)＋(OB →－OP →)·(OC →－OP →)＋(OC →－OP →)·(OA →－OP →)＝3OP →2－2OP →·OC →－4，令3OP →＝OQ →，2OC →＝OM →，P A →·PB →＋PB →·PC →＋PC →·P A →＝OP →·MQ →－4，如图，设OC →与OP→夹角为θ(θ∈[0，π]).因为MQ →＝OQ →－OM →.所以MQ →·OP →|OP →|＝OP →(3OP →－2OC→)＝3－4cos θ，又因为cos θ∈[－1，1]，所以MQ →在OP →方向上的投影d ∈[－1，7]，即M ＝3，m ＝－5，所以M ＋m ＝－2，故选C.答案 (1)3 －18 (2)C类型4 利用轨迹图形性质(数形结合)型【例2－4】 (1)(一题多解)(2018·浙江卷)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( ) A.3－1 B.3＋1 C.2D.2－ 3(2)已知向量|a |＝3，|b |＝6，a ·b ＝9，则|a ＋t (b －a )|＋|(1－t )(b －a )－13b |(其中t ∈[0，1])的最小值是________.解析 (1)法一 设O 为坐标原点，a ＝OA→，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆.因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA→|－|CB →|＝3－1.故选A.法二 由b 2－4e ·b ＋3＝0得b 2－4e ·b ＋3e 2＝(b －e )·(b －3e )＝0. 设b ＝OB →，e ＝OE →，3e ＝OF →，所以b －e ＝EB →，b －3e ＝FB →，所以EB →·FB →＝0，取EF 的中点为C ，则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图，设a ＝OA →，作射线OA ，使得∠AOE ＝π3，所以|a －b |＝|(a －2e )＋(2e －b )|≥|a －2e |－|2e －b |＝|CA→|－|BC →|≥3－1.故选A.(2)由cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝12得a ，b 的夹角为60°，又因为|a |＝3，|b |＝6，所以△OAB 为直角三角形，B ＝30°.如图，令a ＝OA →，b ＝OB →，∠BOA ＝60°，AC→＝tAB →，DB →＝13OB →，则|OA →＋tAB →|＝|OC →|，⎪⎪⎪⎪⎪⎪(1－t )AB →－13OB →＝|CD →|，问题转化为当点C 在线段AB 上运动时，求|OC→|＋|CD →|的最小值.作点D 关于线段AB 对称的点G ，连接OG ，则OG 即为所求的最小值.在Rt △BDE 中，∠BED ＝90°，BD ＝2，B ＝30°，则DE ＝1，DG ＝2DE ＝2，在△ODG 中，OD ＝4，∠ODG ＝120°，DG ＝2，由余弦定理得OG ＝OD 2＋DG 2－2OD ·DG cos ∠ODG ＝27. 答案 (1)A (2)27【训练2－4】 (1)已知|a |＝|b |＝1，向量c 满足|c －(a ＋b )|＝|a －b |，则|c |的最大值为________.(2)(一题多解)(2019·宁波模拟)已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，|c －b |＝1，则|a ＋c |的取值范围为________.解析 (1)由|c －(a ＋b )|＝|a －b |得向量c 的终点的轨迹为以向量a ＋b 的终点为圆心，|a －b |为半径的圆，则|c |的最大值为|a ＋b |＋|a －b |， 又因为|a ＋b |＋|a －b |≤2[（a ＋b ）2＋（a －b ）2] ＝2（|a |2＋2a ·b ＋|b |2＋|a |2－2a ·b ＋|b |2）＝22，当且仅当|a ＋b |＝|a －b |，即a ⊥b 时等号成立，所以|c |的最大值为2 2. (2)法一 令m ＝a ＋c ，则问题转化为|m |的取值范围.由三角不等式有||m |－|a ＋b ||≤|m －(a ＋b )|，则|a ＋b |－1≤|m |≤1＋|a ＋b |，又||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，即1≤|a ＋b |≤3，故0≤|m |≤4，即|a ＋c |的取值范围为[0，4].法二 如图，由已知，作OB→＝b ，分别以点O ，B 为圆心作单位圆，则－a 的终点A 在圆O 上，c 的终点C 在圆B 上，则AC→＝c －(－a )＝c ＋a ，故|a ＋c |＝|AC →|表示两圆上两点连线的长，因此，由圆的性质得0≤|AC →|≤4，即|a ＋c |的取值范围为[0，4].答案 (1)22 (2)[0，4] 补偿训练 一、选择题1.(2013·浙江卷)在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( ) A.∠ABC ＝90° B.∠BAC ＝90° C.AB ＝ACD.AC ＝BC解析 取BC 边中点D ，由极化恒等式得PB →·PC →＝PD →2－14BC →2，P 0B →·P 0C →＝P 0D →2－14BC →2，由PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，得PD →2≥P 0D →2，即|PD →|≥|P 0D →|，D 到AB 的最短距离为P 0D ，∴DP 0→⊥AB →，设AB 的中点为P ′，又P 0B ＝14AB ，∴DP ∥CP ，∴CP ⊥AB ，故AB ＝AC . 答案 C2.(2020·诸暨适应性考试)已知AB 是圆O 的直径，AB 长为2，C 是圆O 上异于A ，B 的一点，P 是圆O 所在平面上任意一点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为( )A.－14B.－13C.－12D.－1解析 P A →＋PB →＝2PO →，∴(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →，取OC 中点D ，由极化恒等式得PO →·PC →＝PD 2－14OC 2＝PD 2－14，又PD 2min ＝0，∴(P A →＋PB →)·PC →的最小值为－12. 答案 C3.(一题多解)如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE→＝( )A.－34B.－89C.－14D.－49解析 法一 ∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO →|＝13， ∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋0－1＝－89.法二 OF ＝13，由极化恒等式得 FD →·FE →＝OF 2－14DE 2＝19－1＝－89. 答案 B4.如图，在△ABC 中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD →＋AE →＝xAB →＋yAC →，则1x ＋4y的最小值为( )A.32 B.2 C.52D.92解析 由图可设AD→＝λAB →＋(1－λ)AC →，AE →＝μAB →＋(1－μ)AC →，其中λ，μ∈(0，1)，则AD→＋AE →＝(λ＋μ)AB →＋(2－λ－μ)AC →.由题知，x ＝λ＋μ，y ＝2－λ－μ，所以有x ＋y ＝2，所以1x ＋4y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y (x ＋y )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y x ×4x y ＝92，当且仅当y ＝2x ，即x ＝23，y ＝43时，取等号，故选D. 答案 D5.在△ABC 中，BC ＝2，A ＝45°，B 为锐角，点O 是△ABC 外接圆的圆心，则OA →·BC →的取值范围是( ) A.(]－2，22 B.(]－22，2 C.[]－22，22D.()－2，2解析 依题意得△ABC 的外接圆半径R ＝12·BCsin 45°＝2，|OA→|＝2， 如图所示，A 在弧A 1C 上(端点除外)，OA 2→与BC →同向，此时OA →·BC →有最大值22， 又OA 1→·BC →＝－2，故OA →·BC →∈(]－2，22.故选A. 答案 A6.记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b .在△AOB 中，∠AOB ＝90°，P 为斜边AB上一动点.设M ＝max{OP →·OA →，OP →·OB →}，则当M 取最小值时，AP PB ＝( )A.OAOBB.OA OBC.⎝ ⎛⎭⎪⎫OA OB 2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫OA OB 3 解析 M 取最小值时，OP →·OA →＝OP →·OB →，即OP →·AB →＝0，亦即OP ⊥AB .根据直角三角形的射影定理可得|AP ||PB |＝AP ·PB PB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OP PB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OA OB 2，故选C.答案 C7.(2019·浙江名师预测卷四)已知a ，b 是单位向量，向量c 满足|c －b ＋a |＝|a ＋b |，则|c |的最大值为( ) A.2 B.2 2 C.3D.3 2解析 由|c －(b －a )|＝|a ＋b |得向量c 的终点的轨迹为以向量b －a 的终点为圆心，|a ＋b |为半径的圆，则|c |的最大值为|a ＋b |＋|b －a |. 又因为|a ＋b |＋|b －a |≤2[（a ＋b ）2＋（b －a ）2]＝2（|a |2＋2a ·b ＋|b |2＋|b |2－2a ·b ＋|a |2）＝2 2.当且仅当|a ＋b |＝|b －a |，即a ⊥b 时等号成立，所以|c |的最大值为2 2. 答案 B8.(2020·浙江教育绿色评价联盟适考)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上，若BP →＝λBA →＋μBC→，设λ＋2μ的最大值为M ，最小值为N ，则M －N 的值为( )A.2105B.3105C.4105D.10解析 如图，以C 为坐标原点，分别以直线BC ，CD 为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则B (－2，0)，A (－2，1)，由已知，圆C 的方程为x 2＋y 2＝45，设P⎝ ⎛⎭⎪⎫25cos θ，25sin θ，又BP →＝λBA →＋μBC →，则⎩⎨⎧25cos θ＋2＝2μ， 25sin θ＝λ，即λ＋2μ＝25(sin θ＋cos θ)＋2＝225sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋2，故M －N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫225＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－225＋2＝4105，故选C.答案 C9.(2018·天津卷)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为( )A.2116B.32C.2516D.3解析 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图的平面直角坐标系，因为在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝1，∠BAD ＝120°，所以A (0，0)，B (1，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.设C (1，m )，E (x ，y )，所以DC → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，m －32，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，因为AD ⊥CD ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，m －32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32＝0，则32×(－12)＋32⎝⎛⎭⎪⎫m －32＝0，解得m ＝3，即C (1，3).因为E 在CD 上，所以32≤y ≤3，由k CE ＝k CD ，得3－y 1－x ＝3－321＋12，即x ＝3y －2，因为AE →＝(x ，y )，BE →＝(x －1，y )，所以AE →·BE →＝(x ，y )·(x －1，y )＝x 2－x ＋y 2＝(3y －2)2－3y ＋2＋y 2＝4y 2－53y ＋6，令f (y )＝4y 2－53y ＋6，y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.因为函数f (y )＝4y 2－53y ＋6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，538上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤538，3上单调递增，所以f (y )min ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫538 2－53×538＋6＝2116.所以AE →·BE →的最小值为2116，故选A. 答案 A 二、填空题10.在△ABC 中，BC ＝3，AB →·AC →＝4，则BC 边上的中线AM 的长是________.解析 因为AB →·AC →＝14[(2AM →)2－BC →2]， AM →2＝14(4AB →·AC →＋BC →2)＝254，即|AM →|＝52， 所以BC 边上的中线AM 的长为52. 答案 5211.在面积S ＝2的△ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则PC →·PB →＋BC →2的最小值是________. 解析 取BC 的中点为D ，连接PD ，则由极化恒等式得PC →·PB →＋BC →2＝PD →2－BC →24＋BC →2＝PD →2＋34BC →2≥h 24＋34BC→2(其中h 为A 点向BC 边作的高)， 当且仅当PD→⊥BC →时取等号. 由上可知PC →·PB →＋BC →2≥h 24＋34BC →2≥2h 24·34BC →2≥3S ＝2 3.答案 2 312.在Rt △ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN→的取值范围是________. 解析 取MN 的中点为P ，由极化恒等式得CM →·CN →＝14[(2CP →)2－MN →2]＝CP →2－12.问题转化为求|CP→|的取值范围，当P 为AB 的中点时，|CP →|取最小值为2，则CM →·CN →的最小值为32；当M 与A (或N 与B )重合时，|CP →|取最大值为102，则CM →·CN →的最大值为2，所以CM →·CN →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2 13.(2020·浙江新高考仿真卷二)在△ABC 中，A ＝120°，BC ＝213，AC＝2，则AB ＝________；当|CB→＋λCA →|取到最小值时，则λ＝________. 解析 在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ，即(213)2＝22＋AB 2－2×2AB cos 120°，解得AB ＝6，则cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22BC ·AC ＝（213）2＋22－622×213×2＝51326，则|CB →＋λCA →|2＝|CB →|2＋λ2|CA →|2＋2λCB →·CA →＝(213)2＋λ2×22＋2λ×213×2×51326＝4λ2＋20λ＋52，则当λ＝－202×4＝－52时，|CB →＋λCA →|取得最小值.答案 6 －5214.若非零向量a 和b 满足|a ＋b |＝|b |＝2，则|a |的取值范围是________，|a －b |的取值范围是________.解析 因为||a ＋b |－|b ||≤|a |＝|a ＋b －b |≤|a ＋b |＋|b |＝4，又a 是非零向量，所以|a |的取值范围是(0，4]，因为|a －b |＋|a ＋b |≥2|b |＝|(a ＋b )－(a －b )|≥||a －b |－|a ＋b ||，所以－4≤|a －b |－|a ＋b |≤4，|a －b |＋|a ＋b |≥4，又|a ＋b |＝2，解得|a －b |的取值范围是[2，6].答案 (0，4) [2，6]15.(2020·杭州三校三联)如图，圆O 是半径为1的圆，OA ＝12，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC →·BC→的取值范围是________.解析 设a ＝OA →，b ＝OB →，c ＝OC →，则有|a |＝12，|b |＝|c |＝1，则AC →·BC →＝(c －a )·(c －b )≤|c －a |·|c －b |≤(|c |＋|a |)·(|c |＋|b |)＝32×2＝3，当且仅当a ，b 同向共线，且与c 反向共线时，等号成立，所以AC →·BC→的最大值为3.AC →·BC →＝(c －a )·(c －b )＝1－c ·(a ＋b )＋a ·b ≥1－|c |·|a ＋b |＋a ·b ＝1－|a ＋b |＋a ·b ＝1－54＋2a ·b ＋a ·b ，令a ·b ＝t ，则易得t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，AC →·BC →＝(c －a )·(c －b )≥1－54＋2t ＋t ，设f (t )＝1－54＋2t ＋t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤t ≤12，则f ′(t )＝1－154＋2t .易得当t ＝－18时，f (t )＝1－54＋2t ＋t 取得最小值－18.综上所述，AC →·BC →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，3. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，3 16.已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，|c －a |＝|c －b |，则|c |的最小值为________，此时a ·b ＝________.解析 由|c －a |＝|c －b |，得c 2－2a ·c ＋a 2＝c 2－2b ·c ＋b 2，即2b ·c －2a ·c＝b 2－a 2＝3，则(b －a )·c ＝32≤|b －a |·|c |≤(|b |＋|a |)·|c |＝3|c |，所以|c |≥12，当且仅当a 与b 方向相反且a ，b ，c 共线时等号成立，所以|c |的最小值为12，此时a ·b ＝|a ||b |cos π＝－2.答案 12 －217.已知正三角形ABC 的边长为4，O 是平面ABC 内的动点，且∠AOB ＝π3，则OC →·AB→的最大值为________. 解析 如图，圆E 2为△ABC 的外接圆，圆E 1与圆E 2关于直线AB 对称，由题意知O 在圆E 1，E 2的优弧AB ︵上(圆E 1，E 2半径相等)，设AB 的中点为D ，OC →·AB →＝(DC →－DO →)·AB →＝BA →·DO →＝|BA →|·|DO →|·cos ∠ADO ，易知当∠ADO为锐角，且DO →在BA →方向上的射影最大时，OC →·AB →取得最大值，易知DO→在BA→方向上射影的最大值为△ABO 外接圆的半径，故所求最大值为4×42sin π3＝1633.答案 1633 18.(2019·浙江卷)已知正方形ABCD 的边长为1，当每个λi (i ＝1，2，3，4，5，6)取遍±1时，|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|的最小值是________，最大值是________.解析 如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则AB→＝(1，0)，AD →＝(0，1). 设a ＝λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD → ＝λ1AB →＋λ2AD →－λ3AB →－λ4AD →＋λ5(AB →＋AD →)＋λ6(AD →－AB →) ＝(λ1－λ3＋λ5－λ6)AB →＋(λ2－λ4＋λ5＋λ6)AD → ＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6).故|a|＝（λ1－λ3＋λ5－λ6）2＋（λ2－λ4＋λ5＋λ6）2.∵λi (i ＝1，2，3，4，5，6)取遍±1，∴当λ1－λ3＋λ5－λ6＝0，λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0时，|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|取得最小值0. 考虑到λ5－λ6，λ5＋λ6有相关性，要确保所求模最大，只需使|λ1－λ3＋λ5－λ6|，|λ2－λ4＋λ5＋λ6|尽可能取到最大值，即当λ1－λ3＋λ5－λ6＝2，λ2－λ4＋λ5＋λ6＝4时可取到最大值，∴|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|的最大值为4＋16＝2 5. 答案 0 2 5。
2023高考数学----平面向量范围与最值问题规律方法与典型例题讲解
2023高考数学----平面向量范围与最值问题规律方法与典型例题讲解【规律方法】平面向量范围与最值问题常用方法：（1）定义法第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步：得出结论（2）坐标法第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步：将平面向量的运算坐标化第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解（3）基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论（4）几何意义法第一步：先确定向量所表达的点的轨迹第二步：根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果【典型例题】例1、（2022·全国·高三专题练习）已知在OAB 中，2OA OB ==，AB =P 位于线段AB 上，当·PA PO 取得最小值时，向量PA 与PO 的夹角的余弦值为（ ）A．BC． D【答案】C【解析】因为在OAB 中，2OA OB ==，AB =6OAB π∠=，所以 PA PO PA ⋅=⋅ ()225+|cos |36PA AO PA PA AO PA PA π=+⋅=−= 2333244PA ⎛−−≥− ⎝⎭，当且仅当32PA =OAP △中，4PO =+= 所以向量PA 与PO 734+−= 故选： C. 例2、（2022·全国·高三阶段练习）已知平面向量a ，b ，c ，d ，满足a b ⊥，1a b ==，1b c +=，若()()124b d ad +−≥，则c d +的取值范围是________． 【答案】22⎤⎥⎣⎦【解析】由已知1a b ==，1b c +=，a b ⊥，设(),c c c x y = 不妨设()1,0a =，()0,1b =，(),d x y = ()1c b −−=可得()2211c c x y ++= 又因为()()124b d a d +−≥，故()()221,21,24x y x y x x y y +−−=−+−−≥ 所以22124x x y y −++≤−，即 ()221112x y ⎛⎫−++≤ ⎪⎝⎭所以()c d d c +=−−，易知，c −终点在以()10,1O 为圆心，11r =为半径的圆上. d 终点在以21,12O ⎛⎫− ⎪⎝⎭为圆心，21r =为半径的圆上. ()c d d c +=−−的取值范围为d 与c −终点距离的取值范围故17222c d ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦故答案为：22⎤+⎥⎣⎦例3、（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）已知等边△ABC 的内接于圆22:1O x y +=，点P 是圆O 上一点，则()PA PB PC ⋅+的最大值是______．【答案】2【解析】设BC 的中点为E ，连接AE ，向量,PO OE 的夹角为θ，因为等边△ABC 内接于圆22:1O x y +=，所以点O 在AE 上，且PO ＝AO ＝2OE ＝1，所以()()2PA PB PC PA PE ⋅+=⋅2()()PO OA PO OE =+⋅+22()PO PO OA OE OA OE ⎡⎤=+⋅++⋅⎢⎥⎣⎦222()2PO PO OE OE ⎡⎤=+⋅−−⎢⎥⎣⎦211211cos 21cos 22θθ⎡⎤⎛⎫=−⨯−⨯=−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 所以当cos 1θ=−，即点P 为AE 的延长线与圆的交点时，()PA PB PC ⋅+取最大值2， 故答案为：2．例4、（2022·四川资阳·一模（理））已知平面向量a ，b ，c 满足2a b a b ==+=，且27a b c −−=，则c r 的最大值为______． 【答案】【解析】由题意，222()24a b a a b b +=+⋅+=，又2a b ==， 故2a b ⋅=−， 故2222(2)4448a b a b a a b b −=−=−⋅+=+=， 由向量模长的三角不等式，2|22a b c a b c a b c −−≤−−≤−+，即727c c ≤≤+，c ≤r c r 的最大值为故答案为：例5、．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）如图，在直角梯形ABCD 中，,AD BC AB BC ⊥∥，1,2,AD BC P ==是线段AB 上的动点，则4PC PD +的最小值为__________.【答案】6【解析】如图，以B 点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设,(0AB a BP x x ==剟a ），因为1,2AD BC ==，所以()()()0,,2,0,1,P x C D a ， 所以()()()2,,1,,44,44PC x PD a x PD a x =−=−=−，所以()46,45PC PD a x +=−，所以4366PC PD +=， 所以当450a x −=，即45x a =时，4PC PD +的最小值为6.故答案为：6。
破解平面向量最值问题的两个“妙招”
平面向量最值问题一般与动点、参数有关.这类问题具有较强的综合性，通常会考查平面向量的基本定理、共线定理、运算法则、公式，平面几何图形的性质.本文结合例题探讨一下破解平面向量最值问题的两个妙招.一、建立坐标系当遇到与等腰三角形、平行四边形、矩形、圆等规则平面几何图形有关的问题时，可根据几何图形的特点，建立合适的平面直角坐标系，求得各个点的坐标，各条线段的方向向量，便可通过向量的坐标运算求得目标式，再利用二次函数的性质、基本不等式等求得目标式的最值，即可解题.例1.在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD =120°，AB =AD =1，若点E 为边CD 上的动点，则 AE ∙ BE 的最小值为_____.解：以点D 为原点，DA 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，设E ()0,t ，t ∈[]0，3，则A ()1,0，B æèçø32，C ()0,3，因为 AE ∙ BE =()-1×æèöø-32+t æèçøt-=t 2+32=æèçøt 2t +2116，所以当t = AE ∙ BE 取最小值2116.解答该题，需根据已知条件AD ⊥CD ，来建立平面直角坐标系.求得点A 、B 、C 、D 、E 的坐标，并设出点E 的坐标，便可根据向量的数量积公式求得AE ∙BE 的表达式，最后根据二次函数的性质求得最值.二、几何性质法平面向量具有“数”“形”两重身份.因此在解答平面向量问题时，往往可采用几何性质法来求解.可根据向量的三角形法则、平行四边形法则，绘制相应的几何图形，将向量之间的关系转化为几何关系，灵活运用平面几何图形的性质，如圆、矩形、三角形、平行四边形的性质，寻找到使目标式取最值的临界情形，从而求得最值.例2.已知A 、B 是圆C ：()x -12+()y -22=4上的两点，若平面内存在一点Q 使得 QC =λ QA +()1-λQB ，λ∈R ，点P 在直线l ：3x +4y +4=0上，求 PA ∙PB 的最小值.解：∵ QC =λ QA +()1-λQB ，λ∈R ，∴A 、B 、C 共线，即AB 是圆C 的直径，∵ BA = PA -PB ，2 PC = PA + PB ,∴ BA 2= PA 2+ PB 2-2 PA ∙ PB ，①4 PC 2= PA 2+ PB 2+2 PA ∙PB ，②由①②可得 PA ∙ PB = PC 2-14BA 2= PC 2-4，∵点C ()1,2到直线l ：3x +4y +4=0距离为3，∴ PC 2最小值为9，即 PA ∙PB 的最小值为5.解答本题,需先根据平面向量的共线定理证明A 、B 、C 三点共线，根据圆对称性得出结论：AB 是圆C的直径，然后利用向量的模的公式和向量的数量积公式求得 PA ∙ PB 的表达式，将求 PA ∙PB 的最小值转化为求|| PC 的最小值.而C 为顶点，P 点在直线l 上，只需根据点到直线的距离公式即可求得最小值.例3.已知e 为单位向量，非零向量a 与e的夹角为π3，b 2-4e ∙b +3=0，求||||a -b 的最小值.解：设 OA =a ，OB =b， OC =e ，若OC 在x 轴上，且点A 位于第一象限中，∵a 与e 的夹角为π3，∴点A 在斜率为π3的射线上，考点透视马小芹39设点B 为()x ,y ，由b 2-4e ∙b+3=0得()x -22+y 2=1，即点B 在圆()x -22+y 2=1上，∵||||a -b =|| OA - OB =|| BA ，∴||||a -b 的最小值为点B 到射线OA 的最短距离，即圆心()2,0到射线y =3x 的距离减去半径，∴||||a -b min=3-1.首先以单位向量e 作为解题的突破口，假设e 为水平方向的单位向量，然后将问题中的各个条件转换为几何关系，如将“a 与e 的夹角为π3”转化为“点A 在斜率为π3的射线上”；根据()x -22+y 2=1，将点B 看作圆()x -22+y 2=1上的点，将“||||a -b 的最小值”转化为“点B 到射线OA 的最短距离”等，根据圆的性质来求最值.运用几何性质法解答平面向量最值问题，需仔细研究向量的几何意义，联系直线、中点的向量表达形式，把向量以点和图形的形式呈现出来，将向量的最值问题等价转化为平面几何中的距离、角度的最值问题，结合平面几何图形的性质来求解.虽然平面向量最值问题较为复杂，但是我们只要能根据图形的特点建立合适的平面直角坐标系，根据向量的几何意义构造平面几何图形，便能通过向量的坐标运算，利用平面几何图形的性质，求得问题的答案.本文系江苏省陶研会立项课题《高中生小组合作学习下数学错题反思的有效性研究》（课题批准文号：JSTY624）研究成果（作者单位：江苏省泗洪姜堰高级中学）考点透视特殊与一般思想是重要的数学思想.在解答数学问题时，将特殊问题一般化，有助于了解、掌握问题的本质和通性通法；将一般问题特殊化，有利于快速找到解题的突破口.下面主要谈一谈特殊与一般思想在解答不等式问题中的应用.一、将一般性的问题特殊化将一般性的问题特殊化，需把研究对象或问题从原有的范围缩到较小范围或个别情形进行考查.在一般情况下成立的命题，在一些满足题意的特殊情形下也必然成立.因此，在解答某些含有参数、不确定变量的不等式问题时，可以从题目中的已知条件出发，通过尝试寻找特殊情形，如赋特殊值，考查特殊数，取特殊点、特殊位置，考虑特殊图形等，从中寻得启示.获得结果后，再对其进行验证，便可快速解题.例1.如图，若数轴上A 、B 两点分别表示实数a 、b ，则下列结论正确的是（）.A.a +b >0B.ab >0C.|a |-|b |>0D.a -b >0分析：题目中的A 、B 、a 、b 的大小均不确定，很难直接得到正确的选项，不妨运用特殊与一般思想，将问题特殊化，根据题意给a 、b 赋予特殊值，将其代入四个选择中进行运算，即可得到正确的答案.解：通过观察数轴，可以得出a <-1，0<b <1，令a =-2，b =0.5，则a +b =-1.5<0，ab =-1<0，|a |-|b |=1.5>0，a -b =-2.5<0，故选C.对于选择题，可通过特殊个例来寻求满足一般情况的结论，将其推广到一般性的问题上，从而获得一般性问题的答案.在运用特殊与一般思想解题时，要关注一些特殊情形：如区间的端点、曲线的切点、中点等，从特殊情形入手，以便将一般性的问题特殊化.例2.已知x i ≥0(i =1,2,3,…,n )，且∑i =1nx i =1，求证：1≤∑i =1n x i ≤n .分析：该例题中的未知量较多，不容易入手，根据化多为少的原则应想办法减少未知量的个数，让问题纪婷吴明忠40。
平面向量与复数专题培优课平面向量中的最值范围问题课件-2025届高三数学一轮复习
A．－12
B．－1
C．－2
D．－4
答案：B
题型三 与向量的模有关的最值(范围)问题
例 3 设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，
则|c|的取值范围是( )
A．[ 2－1， 2＋1] B．[ 2－1， 2＋2]
C．[1， 2＋1]
D．[1， 2＋2]
答案：A
解析：∵|a|＝|b|＝1，a·b＝0，且|c－a－b|＝|c－(a＋b)|＝1， ∴作出图象如图，由图可知，|c|最小值为 2－1，最大值为 2 ＋1.故选A.
题后师说 与向量的模有关的最值(范围)问题的两种常用方法
(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，或通过建立平面直 角坐标系，借助向量的坐标表示；需要构造不等式，利用基本不等式， 三角函数，再用求最值的方法求解；
巩固训练4 平面向量a，b满足|a|＝|b|，且|a－3b|＝1，则cos 〈b，3b－a〉的最 小值是________．
答案：2 2
3
1 ． 已 知 向 量a ， b ， c满 足a ＝(3 ，0) ，b ＝(0 ，4) ，c ＝λa ＋(1 －
λ)b(λ∈R)，则|c|的最小值为( )
A．56
答案：B
题后师说 与数量积有关的最值(范围)问题的两种常用解法
(1)坐标法：通过建立直角坐标系，运用向量的坐标运算转化为代数 问题处理．
(2)向量法：运用向量数量积的定义、不等式、函数性质等有关知识 解决．
巩固训练2
[2024·山东滨州模拟]在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，
M是线段AC上任意一点，则MB·MC的最小值是( )
答案：C
浅谈平面向量的模的最值问题的求解策略
ʏ廖庆伟平面向量的模的最值问题是向量问题的一个难点,也是高考的一个常考点㊂这类问题的求解策略主要有:二次函数性质法,三角函数性质法,判别式法,向量不等式法,几何图形性质法等㊂下面举例分析㊂一㊁二次函数性质法例1设向量a,b满足a=2,b= 1,<a,b>=60ʎ,则a+t b(tɪR)的取值范围是㊂解:因为a+t b=(a+t b)2= a2+2a㊃b t+t2b2=4+2t+t2= (t+1)2+3ȡ3(当t=-1时,不等式等号成立),所以a+t b(tɪR)的取值范围是[3,+ɕ)㊂评注:把所求的模表示成某个变量的二次函数,再利用二次函数的性质求最值㊂二㊁三角函数性质法例2已知向量a,b满足|a|=1,|b|= 2,则|a+b|+|a-b|的最大值是,最小值是㊂解:设向量a,b的夹角为θ,则|a+b|= (a+b)2=5+4c o sθ,|a-b|= (a-b)2=5-4c o sθ,所以a+b|+ a-b=5+4c o sθ+5-4c o sθ㊂令y=5+4c o sθ+5-4c o sθ,则y2=10+225-16c o s2θɪ16,20[]㊂据此可得,(|a+b|+|a-b|)m a x=20=25, (|a+b|+|a-b|)m i n=16=4㊂故a+b|+a-b的最大值是25,最小值是4㊂评注:把所求的模表示成某个变量的三角函数,再利用三角函数的性质求最值㊂三㊁判别式法例3已知平面向量a,b满足|a|=1, |b|=2,|a-b|=7,若对于任意实数k,不等式|k a+t b|>1恒成立,则实数t的取值范围是㊂解:由|a|=1,|b|=2,|a-b|=7,可得(a-b)2=7,所以a㊃b=-1㊂对于任意实数k,不等式|k a+t b|>1恒成立,即对于任意实数k,不等式k2a2+2k t a㊃b+t2b2>1恒成立,也即对于任意实数k,不等式k2-2t k+4t2-1>0恒成立,所以Δ=4t2-4(4t2-1)<0,解得t<-33或t>33,即实数tɪ-ɕ,-33æèçöø÷ɣ33,+ɕæèçöø÷㊂评注:将二次不等式恒成立问题转化为Δ<0是解答本题的关键㊂四㊁绝对值不等式法例4已知向量b=(c o sβ,s i nβ),c= (-1,0),则向量b+c的模的最大值为㊂解:易得|b|=1,|c|=1,所以|b+c|ɤ|b|+|c|=2(当c o sβ=-1时,不等式取等号)㊂所以向量b+c的模的最大值为2㊂评注:利用向量不等式||a|-|b||ɤ|aʃb|ɤ|a|+|b|可求向量的模的最值㊂五㊁几何图形性质法例5已知|a|=|b|=2,aʅb,若向量c 满足|c-a-b|=2,则|c|的取值范围为㊂解:由aʅb,不妨令a=(0,2),b=(2, 0),c=(x,y)㊂由|c-a-b|=2,可得(x-2)2+(y-2)2=4㊂|c|=x2+y2可看作动点(x,y)到原点的距离,且动点(x,y)在以(2,2)为圆心,2为半径的圆上(图略)㊂因为圆心(2,2)到原点的距离为22,所以点(x,y)到原点的最小值为22-2,最大值为22+2,即22-2ɤ|c|ɤ22+2㊂评注:弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解㊂作者单位:湖北省巴东县第三高级中学(责任编辑郭正华)5数学部分㊃知识结构与拓展高一使用2022年3月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
由一道题谈平面向量最值问题的解法
思路探寻平面向量是既有大小又有方向的量，具有代数和几何双重特性，因此，解答平面向量最值问题可以从代数和几何两个角度入手，寻找不同的解题方案.下面以一道向量最值问题为例，探讨一下平面向量最值问题的解法.例题：已知点O 为∆ABC 的外心，AB =a ，AC =1a ，∠BAC =120°.若 AO =m AB +n AC ，求m +n 的最小值.方法一：基本不等式法基本不等式：a +b ≥2ab (a >0,b >0)是解答最值问题的重要工具.在运用基本不等式求最值时，要确保条件“一定二正三相等”成立.若已知关系式中出现两式的和或积，或根据已知关系式能配凑出两式的和或积，就可以根据题意创造出运用基本不等式的条件，利用基本不等式求得最值.解法1：因为 OA =m ( OB - OA )+n ( OC - OA )，所以(m +n +1) OA =m OB +n OC ，所以(m +n +1)2（ OA ）2=m 2( OB )2+n 2( OC )2+2mn OB ∙OC .因为cos ∠BOC =cos(2×60°)=-12，|| OA 2=|| OB || OC =|| OC 2，所以(m +n +1)2=m 2-mn +n 2，化简得mn =2(m +n ）-13，又mn ≤æèöøm +n 22，当且仅当m =n 时等号成立，所以mn =2(m +n ）-13≤æèöøm +n 22，解得m +n ≥2,或m +n ≤23,因为A 为钝角，所以m +n ≥1，所以m +n ≥2.以向量 OB 、 OC 为基底，表示出向量OA ，再通过变形得到关于m ，n 的关系式mn =2(m +n )-13.该式中含有m 、n 的和与积，利用基本不等式进行求解，就能顺利求得最值.解法2：因为 AO ∙ AB =12 AB 2，可得 AO ∙ AB =(m AB +n AC )∙ AB =12|| AB 2，所以m ∙a 2+n ∙1a ∙a cos 120°=12a 2，所以m ∙a 2-12n =12a 2.①又 AO ∙ AC =12AC 2，可得 AO ∙ AC =(m AB +nAC )∙ AC =12|| AC 2，所以m ∙1a ∙a cos 120°+n ∙(1a )2=12(1a)2，所以-12m +n (1a )2=12a2，②由①②得m =2a 2+13a 2，n =a 2+23，所以m +n =2a 2+13a 2+a 2+23=43+a 23+13a 2≥43+=2，当且仅当a =1时等号成立.根据外心的性质建立关于m 、n 的两个关系式，再联立两个方程，求得m 、n 的值，即可得出m +n 的表达式m +n =43+a 23+13a 2.该式中a 23、13a 2两式的积为定值，运用基本不等式即可求得两式的和的最小值.方法二：数形结合法在解答平面向量最值问题时，可根据平面向量的几何意义：三角形法则、平行四边形法则，或根据代数式的几何意义画出相应的几何图形；然后根据图形中点、直线、曲线之间的位置关系找到目标式取得最值时的情形，据此建立关系式，即可求得问题的答案.解：画出如图所示的图形，设AO =1，连接AO ，交BC 于点D ，则 AD =λ AB +(1-λ)AC ，设 AD =t AO ，则 AD =tm AB +tn AC ，则m =λt ，n =1-λt ，所以m +n =λt +1-λt =1t =1AD，当AO ⊥BC 时，OD 最小，AD 最大．因为∠BAC =120°，所以OD ≥12，所以m +n =1AD ≥2.根据题意和向量的平四边形法则画出相应的图形，然后根据平面向量的基本定理建立关于m 、n 的关系式，再通过分析图形，找到取得最值的情形：AO ⊥BC ，便可根据三角形的性质求得最值.可见，解答平面向量最值问题，可以从目标式的结构特征出发，利用基本不等式进行求解；也可从平面向量的几何意义出发，构造图形，通过数形结合来求得问题的答案.同学们在解答向量最值问题时，要注意运用发散思维，分别从几何、代数两个角度去寻找解题的方案.（作者单位：江苏省盐城市第一中学）由一道题谈平面向量最值问题的解法陈晓娟A 52。
浅议与平面向量最值问题有关的几种题型
ʏ陈泽刚 杜海洋平面向量中的最值问题是一种典型的能力考查题,它能有效地考查同学们分析问题和解决问题的能力,体现了高考在知识交汇处命题的思想㊂下面就平面向量最值问题有关的几种题型举例分析㊂题型1:与数量积有关的最值问题例1 如图1,扇形O A B 的半径为1,圆心角为2π3,P 是A B ︵上的动点,则A P ң㊃B P ң的最小值为㊂图1分析:由题意得A P ң㊃B P ң=12-O P ң㊃(O A ң+O B ң),要使A P ң㊃B P ң最小,只需O P ң与O A ң+O B ң同向共线即可㊂解:由A P ң=O P ң-O A ң,B P ң=O P ң-O B ң,可得A P ң㊃B P ң=(O P ң-O A ң)㊃(O P ң-O B ң)=O P ң2-O P ң㊃(O A ң+O B ң)+O A ң㊃O B ң㊂因为O A ң㊃O B ң=-12,O P ң2=1,所以A P ң㊃B P ң=12-O P ң㊃(O A ң+O B ң)㊂要使A P ң㊃B P ң最小,只需O P ң与O A ң+O B ң同向共线即可㊂由扇形O A B 的半径为1,圆心角为2π3,利用向量的模易得|O A ң+O B ң|=|O P ң|=1,所以(A P ң㊃B P ң)m i n =12-1=-12㊂题型2:与模长有关的最值问题例2 设向量a ,b ,c 满足|a |=|b |=1,a ㊃b =-12,a -c 与b -c 的夹角为60ʎ,则|c |的最大值为㊂分析:由a ㊃b =-12得a 与b 的夹角,由a -c 与b -c 的夹角为60ʎ得c 的终点在圆上,再利用正弦定理即得结果㊂解:由a ㊃b =-12,可得|a ||b |c o s <a ,b >=c o s <a ,b >=-12,所以<a ,b >=120ʎ㊂设a =O A ң,b =O B ң,c =O C ң,由a -c 与b -c 的夹角为60ʎ,可得øA C B =60ʎ㊂因为øA C B +øA O B =180ʎ,所以O ,A ,C ,B 四点共圆㊂设圆的半径为R ,则|c |的最大值为2R ㊂由A B ң=b -a ,易得A B ң=3,所以2R =|A B ң|s i n 120ʎ=2,即|c |的最大值为2㊂题型3:与三角形有关的最值问题例3 在әA B C 中,øA C B =60ʎ,B M ң=M C ң,|A M ң|=3,则әA B C 的面积的最大值为㊂分析:әA B C 的面积S әA B C =32|A C ң|㊃|M C ң|,由余弦定理得9=|A C ң|2+|M C ң|2-|A C ң|㊃|M C ң|,再利用基本不等式|A C ң|2+|M C ң|2ȡ2|A C ң|㊃|M C ң|即得结果㊂解:在әA M C 中,由øA C B =60ʎ,|A M ң|=3及余弦定理得9=|A C ң|2+|M C ң|2-|A C ң|㊃|M C ң|㊂因为|A C ң|2+|M C ң|2ȡ2|A C ң|㊃|M C ң|(当且仅当|A C ң|=|M C ң|时取等号),所以9+|A C ң|㊃|M C ң|ȡ2|A C ң|㊃|M C ң|,即0<|A C ң|㊃|M C ң|ɤ9㊂由B M ң=M C ң,可知M 为B C 的中点,所以әA B C 的面积S әA B C =2S әA M C =|A C ң|㊃|M C ң|s i n 60ʎ=32|A C ң|㊃|M C ң|,所以0<S әA B C ɤ932㊂故әA B C 的面积的最大值为932㊂题型4:与二次函数有关的最值问题例4 在әA B C 中,A C =1,B C =2,øA C B =60ʎ,点P 是线段B C 上一动点,则32数学部分㊃创新题追根溯源高一使用 2022年2月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.P A ң㊃P C ң的最小值是㊂分析:建立直角坐标系,根据题意求得各点坐标,利用向量的坐标运算求得数量积,再结合二次函数求出最小值㊂解:在әA B C 中,由余弦定理得A B =3㊂由此可知әAB C 是直角三角形㊂以点A 为坐标原点,A B 所在直线为x轴,A C 所在直线为y 轴,建立平面直角坐标系x A y ,如图2所示㊂图2设点P (a ,b ),则点B (3,0),C (0,1),P A ң=(-a ,-b ),P C ң=(-a ,1-b )㊂因为直线B C 的方程为y =1-33x ,所以b =1-33a ,即a =3(1-b )㊂由P A ң㊃P C ң=a 2-b (1-b )=a 2-b +b 2=4b 2-7b +3,b ɪ[0,1],可得对称轴方程为b =78ɪ[0,1]㊂故当b =78时,P A ң㊃P C ң取得最小值为-116㊂题型5:与基本不等式有关的最值问题例5 设向量O A ң=(1,-2),O B ң=(a ,-1),O C ң=(-b ,0),其中O 为坐标原点,a >0,b >0㊂若A ,B ,C 三点共线,则a b 的最大值为㊂分析:先求出向量A B ң,A C ң,根据A ,B ,C 三点共线,建立关于a ,b 的关系式,再利用基本不等式求出最大值㊂解:由O A ң=(1,-2),O B ң=(a ,-1),O C ң=(-b ,0),可得A B ң=O B ң-O A ң=(a -1,1),A C ң=O C ң-O A ң=(-b -1,2)㊂因为A ,B ,C 三点共线,所以A B ң=λA C ң,即(a -1,1)=λ(-b -1,2),所以a -1=λ(-b -1),1=2λ,{可得2a +b =1㊂因为a >0,b >0,所以1=2a +b ȡ22a b ,所以a b ɤ18(当且仅当2a =b =12时取等号)㊂故a b 的最大值为18㊂题型6:与三角函数有关的最值问题例6 已知向量a =2s i n x ,c o s 2x (),b =3c o s x ,2(),函数f (x )=a ㊃b ㊂(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递减区间㊂(2)求函数f (x )在区间0,π2[]上的最大值和最小值㊂分析:由函数f (x )=2s i n 2x +π6()+1,可得f (x )的周期,再求f (x )的递减区间;由正弦函数的性质,可得最大值和最小值㊂解:(1)由题意得f (x )=23s i n x c o s x +2c o s 2x =3s i n 2x +c o s 2x +1=2s i n 2x +π6()+1,所以函数f (x )的最小正周期为π㊂由2k π+π2ɤ2x +π6ɤ3π2+2k π,k ɪZ得π6+k πɤx ɤ2π3+k π,k ɪZ ,所以f (x )的单调递减区间为π6+k π,2π3+k π[],k ɪZ ㊂(2)由x ɪ0,π2[]得2x +π6ɪπ6,7π6[]㊂当2x +π6=7π6时,函数f (x )取得最小值为2s i n 7π6+1=0;当2x +π6=π2时,函数f (x )取得最大值为2s i n π2+1=3㊂故f (x )在区间0,π2[]上的最大值为3,最小值为0㊂小结:平面向量中的最值问题的求解通常有两种思路:一是 形化 ,即利用平面向量的几何意义,将问题转化为平面几何中的最值问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断;二是 数化 ,即利用平面向量的坐标运算,将问题转化为代数中的函数最值问题㊂作者单位:四川省成都经济技术开发区实验中学校(责任编辑 郭正华)42 数学部分㊃创新题追根溯源 高一使用 2022年2月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
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平面向量中的最值问题浅析
耿素兰 山西平定二中（045200）
平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、基本运算和性质为主，解决此类问题要注意正确运用相关知识，合理转化。
一、利用函数思想方法求解 例1、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o
.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中
,x y R ∈,则x y +的最大值是________.
分析：寻求刻画C 点变化的变量，建立目标x y +与此变量的函数关系是解决最值问题的常用途径。
解：设AOC θ∠=，以点O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，则(1,0)A ，13
(,
)22
B -，(cos ,sin )
C θθ。
,OC xOA yOB =+
13
(cos ,sin )(1,0)(,)22
x y θθ∴=+-即
cos 23sin y x y θθ⎧-=⎪⎪
⎨
⎪= cos 3sin 2sin()6x y πθθθ∴+=+=+2(0)3
π
θ≤≤。
因此，当3
πθ=
时，x y +取最大值2。
例2、已知(1,7),(5,1),(2,1),OA OB OP ===点Q 为射线OP 上的一个动点，当
QA QB 取最小值时，求.OQ
分析：因为点Q 在射线OP 上，向量OQ 与OP 同向，故可以得到关于OQ 坐标的一个关系式，再根据QA QB 取最小值求.OQ
解：设(2,),(0)OQ xOP x x x ==≥，则(12,7),(52,1)QA x x QB x x =--=--
图 1
2
2
(12)(52)(7)(1)520125(2)8
QA QB x x x x x x x ∴=--+--=-+=--
∴当2x =时，QA QB 取最小值-8，此时(4,2).OQ =
二、利用向量的数量积n m n m
⋅≤⋅求最值
例3、ABC ∆三边长为a 、b 、c ，以A 为圆心,r 为半径作圆,PQ 为直径，试判断P 、Q 在什么位置时，BP CQ 有最大值。
分析：用已知向量表示未知向量，然后用数量积的性质求解。
解：
,AB BP AP AC CQ AQ AP +=+==-
2
22
()()()BP CQ AP AB AP AC r AB AC AP AB AC r AB AC AP CB AB AC AP CB r ∴=---=-++-=-++≤+-
当且仅当AP 与CB 同向时，BP CQ 有最大值。
三、利用向量模的性质a b a b a b -≤+≤+求解
例4：已知2,(cos ,sin ),a b b θθ-==求a 的最大值与最小值。
分析：注意到()a a b b =-+，考虑用向量模的性质求解。
解：由条件知1b =。
设a b c -=，则a =b c +，
c b c b c b -≤+≤+， ∴13a ≤≤。
所以当b 与c 同向时，a 取最大值3；当b 与c 反向时，a 取最小值1。
四、利用几何意义，数形结合求解
例5、如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是 （A ）1213PP PP ⋅ （B ）1214PP PP ⋅ （C ）1215PP PP ⋅ （D ）1216PP PP ⋅
分析：平面向量数量积121(1,2,3,4,5,6)i PP PP i =的几何意义为121i PP PP 等于12PP 的长度与
P
A
Q
B
C
图 2
图3
1i PP 在12PP
方向上的投影1121cos ,i i PP PP PP 的乘积。
显然，由图可知，13PP 在12PP 方向上的投影最大，故选（A ）。
例6、a b 与是两个夹角为1200的单位向量，且p+q=1（p 、q ∈R ），则pa qb +的最小值是
分析: 如图3，设,,OA a OB b OC ===pa qb +则(1)OC pOA p OB
=+-即
BC pBA = 因此点C 在直线AB 上，显然当OC ⊥AB 时，pa qb +最小，其最小值为12。
O A
图
4
C。