整除与有余数除法
除法的整除与余数知识点总结
除法的整除与余数知识点总结除法是数学中的一种基本运算，它涉及到整除和余数的概念。
在本文中，我将对除法的整除与余数进行知识点的总结，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、整除的定义与性质整除是指一个数能够被另一个数整除，即没有余数。
对于两个整数a和b，若存在一个整数c，使得a = b * c，我们说a能够被b整除，记作b|a。
下面是整除的一些重要性质：1. 任何数都可以被1整除，即1|a，其中a为任意整数。
2. 任何整数a能够被自身整除，即a|a。
3. 若a能够被b整除，并且b能够被c整除，则a也能够被c整除，即若b|a且c|b，则c|a。
4. 若a能够被b整除，并且b不为0，则a/b是整数，即若b|a且b≠0，则a/b为整数。
这些性质在解题和证明中经常应用，对于理解整除概念起到重要作用。
二、余数的定义与应用余数是指在进行除法运算时，被除数除以除数后所剩下的未被整除的部分。
对于两个整数a和b，其中a为被除数，b为除数，我们用符号a%b表示a除以b的余数。
下面是余数的一些重要性质：1. 若a能够被b整除，则a%b等于0。
2. 余数不可为负数，即对于任意整数a，a%b的值在0到b-1之间。
3. 若a>b，则a%b的值小于b。
余数在解决问题时具有广泛的应用，例如：1. 判断一个数的奇偶性：若一个整数a%2的余数为0，则a为偶数，否则为奇数。
2. 进行模运算：模运算是指将一个数除以另一个数的余数，常用符号为a≡b(mod m)表示a和b对模m同余，也即a% m = b% m。
3. 判断能否整除：若余数为0，则被除数能够被除数整除。
通过了解余数的定义和应用，我们能够更好地理解和利用除法运算。
三、应用举例为了加深对整除与余数的理解，下面举两个具体的例子进行说明。
例1：判断一个数是否能够被5整除。
解析：我们只需要判断这个数的个位上的数字是否是0或5，如果是，则这个数能够被5整除。
例如，对于数字155，它的个位数字为5，所以能够被5整除。
§1.1整除的概念及带余除法
第一章整数的可除性整除性理论是初等数论的基础。
本章要介绍带余数除法，辗转相除法，最大公约数，最小公倍数，算术基本定理以及它们的q，使得成立，则称a能被b整除，a是b的倍数，b是a的约数（因数或除数），并且使用记号b∣a；如果不存在整数q使得a = bq成立，则称a不被b整除，记为显然每个非零整数a称这四个数为a的平凡约数，a下面的结论成立：∣a⇔±b∣±a；(ⅱ) c ∣b，b∣a⇒c∣a；(ⅲ) b∣a i，i = 1, 2, …, n⇒b∣a1q1+a2q2+…+a n q n，此处q i（i = 1, 2, , n）是任意的整数；(ⅳ) b∣a ⇒bc∣ac，此处c是任意的非零整数；(ⅴ) b∣a，a≠ 0 ⇒|b|≤|a|；b∣a且|a|<|b|⇒a = 0。
) 设a 与b 是两个整数，b > 0，则存在q 和r ，使得a = bq + r ，0 ≤ r <b (2) 成立且q 。
中的q 叫做a 被b 除所得的不完全商，r 叫做a 被例1 若1n >，且111n n -+ 求n222x y z +=的整数解能否全是奇数？为什300”位于哪个字母的下面A B C D E F G1 2 3 45 6 78 9 10 1112 13 1415 16 17 ……. 解：观察可以发现两行7个数组成一组故300=7×42+6与6同在字母D 的下面例4 a 除以b 商为c ，余数为r ，则am 除以bm 商为 ， 余数为 。
m N +∈某整数除以3余2，除以4余1，该整数除以12，余 ？三、整除的特征从正整数121n n N a a a a a a -=的末位a 起向左每k 个数码分为一节，最后剩下若有不足k 个数码的也为一节，记为()1()(),,,k k t k A A A并记()1()()()k k k t k S N A A A =+++----数节和1()1()2()()()(1)t kk k k t k S N A A A A -'=-++-----数节代数和 1、设d 是10k 的约数，则()k d N d A ⇔推论：能被2或5整除的数的特征是：这个数的末一位数能被2或5整除。
数字的整除与余数问题
数字的整除与余数问题在数学中，我们经常会遇到整除和余数的问题。
在解决这类问题时，我们需要了解整数的性质以及如何利用整除和余数进行运算。
本文将介绍整除和余数的概念，并提供一些解决这类问题的方法和技巧。
1. 整除的定义整除是指两个数相除的结果恰好等于整数，即没有余数。
如果一个数能被另一个数整除，我们就说它是另一个数的倍数。
例如，12能被3整除，因为12 ÷ 3 = 4，其中没有余数，所以我们可以说12是3的倍数。
2. 余数的定义余数是指两个数相除后剩下的不完整部分，即除不尽的部分。
我们可以使用符号“%”表示余数运算。
例如，对于13 ÷ 5，我们得到商为2和余数为3，可以写成13 % 5 = 3。
3. 整除与余数的性质- 如果一个数能被2整除，那么该数的个位数是0、2、4、6或8。
- 如果一个数能被3整除，那么该数的各个位数之和也能被3整除。
- 如果一个数能被9整除，那么该数的各个位数之和也能被9整除。
4. 解决整除与余数问题的方法和技巧- 除法法则：用一个数除以另一个数，可以将被除数在每一步中逐位除以除数，得到商和余数。
然后将商的各位数相加得到答案。
- 因式分解法：如果需要找到某个数的因数，可以对这个数进行因式分解，以便更好地理解和解决问题。
- 逆向思维：有时候，我们可以通过推理和逆向思考来解决整除和余数的问题。
例如，通过观察某一特定规律，我们可以确定一个数除以另一个数的余数。
5. 应用举例问题1：将一个3位数的个位、十位和百位依次相加，得到的结果可以被3整除吗？解决方法：根据整除性质2，如果一个数能被3整除，那么该数的各个位数之和也能被3整除。
由此，我们可以判断3位数的个位、十位和百位依次相加的结果是否能被3整除。
问题2：将一个4位数的百位数改成0，十位数改成1，个位数改成2，得到的新数能被9整除吗？解决方法：根据整除性质3，如果一个数能被9整除，那么该数的各个位数之和也能被9整除。
除法中的整除与余数概念解析知识点总结
除法中的整除与余数概念解析知识点总结除法是数学中的一项基本运算，常用于将一个数与另一个数进行分割。
在除法运算中，有两个重要概念：整除和余数。
本文将对这两个概念进行解析，并总结相关的知识点。
一、整除的概念整除是指一个数能够被另一个数整除，即没有余数的情况。
常用的符号表示是用“|”表示，例如a能整除b，可以写作a|b。
如果一个数能被另一个数整除，那么被除数就是整数除数的倍数。
例如，4能整除12，可以表示为4|12。
这意味着12是4的倍数，可以用4乘以3得到12。
同样地，一个数也一定能被1整除。
整除的特点：1. 一个数能够被自身整除，例如a|a。
2. 一个数能够整除1，例如1|a。
3. 一个数能够整除0，例如a|0。
注意到0除以任何非零数都是0。
二、余数的概念余数是指在进行除法运算时，被除数中剩下的未被整除的部分。
用符号“%”表示余数。
例如，a除以b的余数可以表示为a%b。
例如，7除以2，商是3，余数是1，可以表示为7÷2=3...1，或者7%2=1。
这意味着7除以2得到的商是3，余数是1。
余数的特点：1. 如果一个数能够整除另一个数，那么余数为0。
例如，4除以2，商是2，余数是0。
2. 余数一定小于除数。
三、整除和余数的应用整除和余数在数学中有着广泛的应用，尤其在代数、数论以及计算机科学领域。
1. 判断整除：通过判断一个数能否被另一个数整除，可以得到结论。
例如，判断一个数能否被2整除，可以观察该数的个位数是否为偶数。
2. 模运算：在计算机科学中，余数的概念常被应用于模运算，即求除法运算的余数。
例如，判断一个数是奇数还是偶数，可以进行模2运算，如果余数为0，则为偶数；如果余数为1，则为奇数。
3. 素数判断：判断一个数是否为素数，可以利用整除的概念。
如果一个数除以2至少有一个整数解，那么该数就不是素数。
4. 重复数字判断：通过整除和余数的概念，可以判断一个数是否存在重复数字。
例如，如果一个三位数能整除10，那么它至少有一位是0，这就是存在重复数字。
除法的整除和余数
除法的整除和余数在数学中，除法是一种基本运算，用来寻找一个数值可以被另一个数值整除的次数以及剩余部分。
除法运算可以分为整除和余数两个概念。
首先，让我们来了解一下什么是整除。
整除发生在被除数能够被除数整除的情况下，即没有任何余数。
换言之，如果对于两个整数 a 和 b，当 a 能被 b 整除时，我们就说 a 可以被 b 整除。
此时，我们可以将其表示为 a ÷ b = c，其中 c 是一个整数。
例如，10 ÷ 2 = 5，因为 10 能够被 2 整除。
接下来，我们来看一下余数的概念。
余数指的是在一个除法运算中，被除数不能被除数整除时所剩下的部分。
当被除数不能被除数整除时，我们可以用余数来表示这个结果。
余数通常用符号“%”来表示。
例如，当我们计算 10 ÷ 3 时，我们得到商为 3，余数为 1，可以表示为 10 ÷ 3= 3...1。
在计算机编程中，除法运算同样被广泛使用。
计算机可以通过除法运算来确定一个数值是否能够整除另一个数值，并计算出整除结果以及余数。
在计算机程序中，我们可以使用 "%" 运算符来获取两个数值相除后的余数。
这在程序设计中经常用到，例如用于判断一个数是奇数还是偶数时，可以通过判断其与 2 相除的余数来决定。
同时需要注意的是，除数不能为零。
在除法运算中，如果除数为零，将会导致数学错误。
因此，在进行除法运算时，我们需要确保除数不为零。
综上所述，除法运算涉及到整除和余数两个概念。
整除指的是被除数能够被除数整除，没有余数；余数是一个除法运算中，被除数不能被除数整除时所剩下的部分。
除法运算在数学和计算机编程中都有广泛的应用。
熟练掌握除法的整除和余数概念，对于理解数学和计算机编程都具有重要意义。
整除与有余数除法
第二十一讲整除与有余数除法【】同学们，我们在二年级就已经学过“有余数的除法”，下面，向大家介绍整除与有余数除法的基础知识与基本方法。
1、整除：两个数相除时（除数不为0），它们的商是整数。
例如：12÷4＝3我们就说“12被4整除”或“4整除12”。
2、有余数除法：两个整数相除时（除数不为0），它们的商不是整数。
例如：1313÷7＝7我们就说“13不能被7整除”，可写成：13÷7=1……6,我们称6为13除以7的余数，这种带有余数的除法叫有余数除法，可表示为：被除数÷除数＝商……余数.有时为了讨论方便和统一，也将两整数整除时称作余数为零。
3、被除数＝除数×商＋余数4、可被2整除的数的特征是：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被2整除。
5、可被3整除的数的特征是：如果一个数的个位数字的各位上的数字之和能被3整除，那么这个数能被3整除。
6、可被5整除的数的特征是：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能被5整除。
7、数的整除有两个简单的性质：（1）如果甲、乙两个整数都能被整数丙整除，那么甲、乙两数的和以及甲、乙两数的差也能被丙整除。
（2）几个整数相乘，如果其中有一个因数能被某个整数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
【典型例题】例一、一个除法运算，被除数是10，除数比10小，则可能出现的所有不同的余数的和是多少仿练一、哪些数除以5，能使商与余数相同例二、两个整数相除商是12，余数是8，并且被除数与除数的差是822，求这两个整数。
仿练二、两个数的和是444，较大的数除以较小的数所得的商是4余24，这两个数各是多少例三、下面算式中的两个方框内应填什么数，才能使这道整数除法题的余数最大仿练三、被除数、除数、商与余数的总和是100，已知商是12，余数是5，求被除数与除数；例四、从4,0,5,7四个数中任选三个，组成能同时被2,3,5整除的数，并将这些数从小到大进行排列。
除法的运算法则掌握除法的整除和有余数的情况
除法的运算法则掌握除法的整除和有余数的情况除法是数学中一种常见的运算方法，它可以将一个数平均地分成若干个相等的部分。
在进行除法运算时，我们需要掌握除法的整除和有余数的情况，以便准确地得出计算结果。
一、整除的情况整除是指被除数可以被除数整除，没有余数。
在这种情况下，除法的结果是一个整数。
下面是一个例子：例：36 ÷ 6 = 6在这个例子中，被除数36可以被除数6整除，没有余数，所以结果为6。
当进行整除的除法运算时，除数可以直接整除被除数，得到一个整数结果。
这种情况下，我们不需要进行进一步的计算，直接将商作为最终结果。
二、有余数的情况有余数的情况下，被除数无法完全被除数整除，会有一个余数留下。
在这种情况下，除法的结果是一个带余数的分数或小数。
下面是一个例子：例：17 ÷ 5 = 3 余 2在这个例子中，被除数17除以除数5所得的商是3，余数是2。
这意味着17除以5等于3又2/5。
当进行有余数的除法运算时，我们需要先计算商，并将余数写在分数线上方，除数写在分数线下方，得到一个带余数的分数。
如果需要，我们还可以将这个分数化为小数，得到一个更准确的结果。
无论是整除还是有余数的除法运算，我们都应该遵守一些基本的运算法则。
1. 除法的运算法则（1）左除原则：先除大的数，再除小的数。
例如，16 ÷ 8 与 8 ÷ 16的结果是不一样的。
（2）逐位相除：从高位向低位依次进行相除操作。
例如，124 ÷ 4可以先将百位数除以4，然后再将十位数除以4，最后将个位数除以4。
（3）末尾补零：当除数无法整除被除数时，可以向被除数的末尾补零，使得被除数能够被除数整除。
例如，15 ÷ 4 可以先将15末尾补零变为150，再进行运算。
2. 检验除法运算的结果为了确保除法运算的结果准确无误，我们可以通过乘法来检验结果。
方法是将除数乘以商，再加上余数，得到的结果应该等于被除数。
除法的整除与余数知识点
除法的整除与余数知识点在数学中，除法是一种基本运算符，用于将一个数（称为被除数）除以另一个数（称为除数），并得到商和余数。
除法的整除与余数是除法运算中的两个重要概念。
本文将详细介绍除法的整除与余数的相关知识点。
一、整除的概念及性质1. 整除的定义：如果一个数a可以被另一个数b整除（即a除以b的余数为0），则称a能够被b整除，记作b | a，读作“b整除a”或“a是b的倍数”。
例如，4 | 12，表示4可以整除12。
2. 整除的性质：a）对于任意的整数a，满足1 | a和a | a。
b）若a | b且b | c，则a | c。
（整除具有传递性）c）若a | b且a | c，则a | (mb + nc)，其中m和n为任意整数。
（整除具有线性性质）二、余数的概念及计算方法1. 余数的定义：在除法运算中，如果被除数a不能被除数b整除，那么a除以b所得到的余数就是a对b的余数。
余数通常用r表示，即a modb = r。
例如，13 ÷ 5 = 2 余 3，因此13对5的余数为3。
2. 余数的计算方法：假设被除数为a，除数为b，商为q，余数为r，那么有以下公式成立：a =b * q + r三、整除与余数的求解方法1. 判断整除：当一个数a能够被另一个数b整除时（即a mod b = 0），我们可以通过判断a与b的关系来确定是否整除。
如果两个数之间存在整数倍关系，即b = ka（k为整数），则a能够被b整除。
2. 求解余数：为了计算a除以b的余数r，我们可以将a除以b并取其余数部分。
常用的方法有：a）短除法：将a除以b的过程简化为手算的步骤，依次从高位到低位进行计算，最终得到余数r。
b）取模运算：利用计算机编程中的取模运算符（%）可以直接得到a mod b的结果。
四、应用举例1. 判断整除：a）判断一个数是否是另一个数的倍数：若一个数a能够被另一个数b整除，则a是b的倍数。
例如，判断36是否是9的倍数，可以计算9 | 36，如果结果为真，则36是9的倍数。
育苗指引－整数和有余数的除法
育苗杯辅导资料（整数和有余数的除法）整数除法有两种情况：1.甲数除以乙数，商是整数，没有余数，叫做甲数能被乙数整除；2.甲数除以乙数得到整数的商后，还余下一个比乙数小的整数，叫做有余数的除法。
整除也可以看做是余数为0的有余数的除法。
围绕整除和有余数的除法，可以提出和解答许多有趣的问题。
例1 在四位数中，能同时被3、5、7整除的数一共有多少个？解：能同时被3、5、7整除的最小的数是3、5、7的最小公倍数104，1000除105=9……55，10000除105=95……25，那么105的10～95倍的数都是四位数中能同时被3、5、7整除的数，共有95-10+1=86（个）。
例2 一个四位数是它去掉首位数字得到的三位数的9倍，有哪几个这样的四位数？解：四位数的首位数字的值是这个数字的1000倍，例如首位数字是5，它就表示5000，四位数是去掉首位数字得到的三位数的9倍，就是把所得到的三位数作为1份，原来的四位数是这样的9倍，那么首位数字表示的这个整千数是这样的8份，整千数都能被8整除，当整千数除以8所得的商是三位数时，这个整千数与它除以8所得的商的和是符合提意的一个四位数。
1000除8=125，1125符合题意；2000除8=250，2250符合题意；3000除8=375，3375符合题意；4000除8=500，4500符合题意；5000除8=625，5625符合题意；6000除8=750，6750符合题意；7000除8=875，7875符合题意。
共有7个这样的四位数。
答：这样的四位数有1125，2250，3375，4500，5625，6750，7875共7个。
例3 一个自然数恰好有8个因数，把这8个因数按从小到大的顺序排列，第1个因数与第2个因数的和是4，第4个因数与第5个因数的和是28，这个自然数是几？解：自然数最小的因数是1，所求的自然数的第2个以因数是4-1=3，这个自然数没有因数2，它的第4个因数和第5个因数也不会是偶数。
除法运算中的整除与余数知识点总结
除法运算中的整除与余数知识点总结在数学中，除法是一种基本的运算符号，用于将一个数称为另一个数的倍数。
在除法运算中，我们常常遇到两个关键概念：整除和余数。
本文将对整除和余数的概念进行详细解释，并探讨其在数学运算和实际问题中的应用。
一、整除的概念整除是指一个数能够被另一个数整除，即没有余数。
我们可以用符号“|”来表示整除关系，例如，如果一个数a能够被另一个数b整除，则记作a | b。
例如，4 | 12 表示12能够被4整除，即12 ÷ 4 = 3，没有余数。
整除的应用非常广泛。
在数论中，整除是研究素数、因数分解、最大公约数和最小公倍数的基础。
在实际应用中，整除的概念经常用于整数的倍数关系、约数关系等。
二、余数的概念余数是指在除法运算中剩下的不够被除数整除的部分。
余数常常用符号“%”来表示。
例如，如果一个数a除以另一个数b得到的余数为r，则记作a % b = r。
例如，13 % 5 = 3，表示13除以5得到的余数为3。
余数的应用也非常广泛。
在计算机科学中，余数的概念经常用于判断一个数是否为偶数或奇数，进而进行条件判断。
在代数学中，余数的概念与同余关系有密切的联系。
三、整除与余数的性质与定理1. 若a | b 且 b | c，则a | c。
这是整除关系的传递性质。
2. 若a | b 且 b | a，则a = ±b。
这是整除关系的反对称性质。
3. 若a | b 且 a | c，则a | (pb + qc)，其中p和q为任意整数。
这是整除关系的线性性质。
4. 余数定理：对于任意整数a和正整数b，存在唯一的整数q和r，使得a = bq + r，其中0 ≤ r < b。
这个定理说明了除法运算总能得到一个唯一的余数。
五、整除与余数在实际问题中的应用整除与余数的概念不仅仅在数学中有重要的应用，它们在实际问题中也起着重要的作用。
1. 日历计算：通过整除和余数的概念，我们可以计算任意一天是星期几。
11整除与带余数除法
第一章整数的整除性整除是初等数论的基本概念，整除理论是初等数论的基础•本章从整除这个基本概念出发，引进带余数除法和辗转相除法，然后建立最大公因数和最小公倍数理论，并进一步证明算术基本定理，所有这些是整个课程的基本部分.本章的最后介绍函数［X］及；、X,并利用［x］来说明如何把n!表示成质数幕的乘积.§1整除和带余数除法一整除我们已熟知正整数、自然数、整数等概念.本书用N +表示全体正整数的集合，用N 表示全体自然数的集合，用Z表示全体整数的集合;并且约定，如果没有特别声明，以后我们用小写的拉丁字母a,b,c,|||或希腊字母川|等表示整数.我们还知道，任意两个整数的和、差、积仍然是整数，但是用一个不为零的整数除另一个整数所得的商却不一定是整数.那么，什么情况下一个整数除另一个整数所得的商是整数呢？这就是整数的整除性问题.为此我们先给出整除的概念.定义1设a,b均为整数且b = 0.如果存在整数q使得a二bq ,则称b整除a，或a 能被b整除,记作b a .此时我们也把b叫做a的因数（或约数）,a叫做b的倍数.如果不存在整数q使得a =bq ,则称b不整除a或a不能被b整除,记作b ?a .例如，2 4,（—巧15, 13 182; 5 寣9, 6 44, （ _4）?（—7 ）.应当注意的是,符号ba本身包含了条件a,b^ z,b^0.根据整除的定义及整数的性质，我们不难证明下列有关整除的性质.定理1下列结论成立(i) b a= b (-a 启(-b )a= |b a(ii) 若b a, cb,则c a;n,故b L k i a i .id因由b a i 推出存在q (1剟in(iii) b q (1剟i n 戶b 迟k i a i ,其中k 1,k 2^|, k n 是任意整数;i £(iv) ba 二 kb ka ,其中 k^O ;(v) 若 b a,则当 a^O 时 b , a ,当 acb 时 a=0;(vi) 若 a b, b a ,则 a = ±b .证 只证(iii)及(v),其它性质请读者自证.(iii)必要性n n n ,使得 a i=bq i ,于是ka i 二 b^ kq i iA i 4 充分性对每一个i ,取K =1,匕=0 j=i ,得到充分性证明.(v)若b a,则由(i)知 a = b||q .当a 式0时有q T,得b , a .而当a c b 时，有a — b| =|b (|q -1 0 ,此时因b > 0从而必有q = 0,得a = 0.这些看起来十分简单的性质是非常有用的.例1证明：(1) 若 3 a, 5a,则 15a.(2) 设a,b 为非零整数，且存在整数x, y 使得ax + by = 1.则当an, bn 时有ab n.证 不难发现,(1)是⑵ 的特例.(1)由3a 知存在整数q 使a=3q ,所以5 3q .又因5 5q ,依定理1 (iii )得5 2 3q-5q ,即5q .因而依定理1 iv 有15a.(2) 由条件有 n = n ax by [= nax nby ,而 ab na, ab nb ,依定理 1 (iii)得 ab n .根据整除的定义，若整数b = 0,则b的所有倍数的集合是「kb k Z 〉这个集合是完全确定的.显然,零是这个集合的一个元素，因而零是所有非零整数的倍数，或说所有非零整数都是零的因数.我们再来考察非零整数a的因数.显然_1,_a都是a的因数，a的这些因数称为a 的平凡因数，a的其它因数(如果存在的话)称为a的非平凡因数(或真因数).由定理 1 (v )可知,如果b是a的非平凡因数,则1cbv|a.于是非零整数a的所有因数的集合是一个非空有限集，其元素个数是确定的.例如对于a =12,它的全体因数是：_1,二2, _3, _4, _6, _12,12共有12个因数,其中_2, _3,_4, _6是它的真因数.而对于a =11,它的全体因数是：_1,-11,11共有4个因数,它没有真因数.例2设A二⑹^,川,dj是非零整数n的所有因数的集合，B=卫，卫，川，丄. g d2 dk j 则 A 二B .证对每一个d i E A ,因为d i n ,所以存在整数q使得n = d i q i ,于是—=q是整数,d i且q n,故每一个-都是n的因数.d i又当d i =d j时，---,因此卫二，川，丄是n的k个不同的因数.由于非零整数j d i d j d1 d2 d kn的因数个数是确定的，所以B也是n的所有因数的集合，因此有A二B .例3设n为正整数，求证：23(52^ +2n* +尹).证用数学归纳法证.当n =1时，因为52n 1 ' 2n 4 - 2n J =161 =23 7 ,所以结论成立.假设n二k时，结论成立，即则当n =k 1时,2耳23 52k 1- 2 52k 1- 2k 42k -1=23汇52宀+ 2"52k41 +2kj4+2宀).因为23 23汉5心，23 (5心+2心+2宀),所以这就是说，n二k 1时结论也成立.根据归纳原理,当n为正整数时,23(52n*+2n" +2n* ).例 4 设m,n, p,q 均为整数,证明：若m - p ' mn • pq ,贝U m - p ' mq • np .证注意至卩mq np = m - p q _ n r i mn pq , 由条件(m - p j( mn十pq )及定理1 (iii )即知m 一p " mq np .二带余数除法前面我们对能够整除的情形进行了初步讨论•对于一般情形，我们有下面的重要定理.定理2设a, b (b = 0)是任意两个整数,则存在唯一的一对整数q,r,使得a =bq +r, 0, r 引耳•(1)证存在性当b 0时，作整数列则a必介于上述数列某相邻两项之间，即存在整数q使得qb, a ■： (q 1)b.令r = a - qb ,则0, r :: b.于是存在整数q,r ,使得a 二bq r, 0, r ：b 二b当b :: 0时，-b 0,由前一情形可知，存在整数q , r,使得a 二_bq r, 0, r 「b 二a=bq+r,O, rc|b|.存在性得证.唯一性若q i,r i也是使得(1)式成立的两个整数,即a =bq g 0, * ：：|b|,贝U bq r = bq r i,因而A—rNq—qjb, |r|—r|c|b|,这就是说b|(r i -r )且|* -r| c|b|.由定理1 (v)知A = r,从而q^ q .唯一性得证.定理2中的q, r分别称为被除数a除以除数b的商和余数.这个定理叫做带余数除法定理.从定理易知，如果a =bq +r, 0, r c|b|,那么b|a的充要条件是r = 0.定义2能被2整除的整数称为偶数,不能被2整除的整数称为奇数.根据带余数除法定理，我们常将偶数表示成2k(k • Z)的形式，将奇数表示成2k 1或2k -1(k・Z)的形式.例5 证明：当n为整数且n^9q r(0, r :: 9)时,r只可能是0,1,8.证设n = 3q1 r1(0, r1 ::: 3),则n3=(3q rj3=9(3q； 3q：r1 qf) f.根据条件及定理2得q =3q；3q2n qrj, r *.若* =0,则r =0;若「1=1,则r =1;若r^ 2,则r =8.故r只可能是0,1,8.例6证明:任意两个奇数的积是奇数，任一偶数与任一整数的积是偶数.证设奇数a=2k 1,^2^ 1,则a与b的积仍是奇数.同理可证另一结论例7已知a, b是整数,且a?「4b =1.讨论a, b的奇偶性.解由条件可得a^4b 1,故a必是奇数.设a = 2k T,则a2 -1 b k(k 1).4所以b是偶数.例8以.(n)表示正整数n的正因数的个数.判断的奇偶性.解对于正整数n,如果d是它的一个正因数，则-也是n的正因数；当且仅当d d 即n二d2时，d与-是同一个数.因此,当n不是完全平方数时n的正因数是成 d d 对出现的，此时，•(n)是偶数；当n是完全平方数时，.(n)是奇数.因为442：：： 2014 ：：： 452,所以在(1 ) , (2D「，( 2中恰有44个奇数，故•⑴• .(2) • |]| (2014)是偶数.例9设f (x^ax2bx c的系数都是整数，且有某一奇数：•，使f G )是奇数.求证：f (x) =0无奇数根.证对任意奇数2k • ：•有f(2k ：)=(a：2 b：c) 2(2k2a 2ka：kb).由于fC 2c为奇数,而上式第二项是偶数,所以f(2k「)是奇数,即f (2k *) = 0.故f (x) =0无奇数根.三能被某些数整除的数的特征a能被b整除的特征就是a能被b整除的充要条件.________________ n为叙述方便,我们引进记号a n a n4H!a1a^ ' a i 10',其中厲(0剟i n)为0,1,1|1,9i =0中的某个数字，且a n = 0.定理3设N =a n a n二川3^0,则（i）N能被2（或5）整除的特征是a。
除法运算的整除与余数
除法运算的整除与余数在数学中，除法运算是一种常见且基础的运算方式。
除法运算可以使我们得到两个数之间的商和余数。
其中，整除指的是被除数被除数能够被除尽，余数则是被除数除以除数后剩下的部分。
本文将详细介绍除法运算的整除与余数的相关概念、计算方法及其应用。
一、整除的概念与计算方法在进行除法运算时，如果被除数能够被除数整除，即没有余数，那么我们称之为整除。
对于两个整数a和b，如果存在一个整数q，使得a= bq，那么我们就可以说a整除b。
其中，a为被除数，b为除数，q为商。
整除的计算方法主要有以下几种：1. 竖式法：这是一种常用的计算整除的方法。
具体步骤如下：(1) 将被除数写在上方；(2) 将除数写在下方，并在除数下方留出足够的空间；(3) 将一个数字相乘得到一个最接近被除数的数，且不超过被除数；(4) 用这个数去乘除数，得到一个乘积，将其写在被除数的下方；(5) 将被除数减去乘积得到一个差，作为新的被除数；(6) 重复步骤(3)-(5)，直至差小于除数为止，此时的差即为余数，之前的商即为整数部分。
2. 短除法：短除法又称作数栈法，是一种逐步相除的计算方法，具体步骤如下：(1) 将被除数的每一位数字从高位到低位依次写在右侧的空白格内；(2) 从最高位的数字开始，判断该位数字是否能够整除除数；(3) 如果能够整除，则将商写在上方对应的位置，并将余数写在右侧的相邻空白格内；(4) 否则，将该位数字和下一位数字拼接成一个两位数，再判断是否能够整除除数，以此类推；(5) 重复步骤(2)-(4)，直至将被除数的每一位数字都处理完毕，最终得到的商即为整数部分，最后一位余数即为余数部分。
二、除法运算中整除与余数的应用整除和余数在实际生活和数学问题中有着广泛的应用，以下将介绍一些常见的应用场景。
1. 瓜分物品：假设有n个物品需要瓜分给m个人，可以使用整除来确定每个人能得到的物品数量。
商即为每个人能得到的物品数量，余数则是剩余的物品数量。
除法整除和余数的概念
除法整除和余数的概念除法是数学中常见的运算之一，用于计算一个数能被另一个数整除的次数以及剩余的部分。
在学习除法的过程中，我们常常会遇到两个概念，即整除和余数。
本文将对这两个概念进行详细的介绍和解释。
一、整除的概念在进行除法运算时，如果被除数恰好被除数整除，即没有余数，我们就称之为整除。
简而言之，整除就是没有余数的除法运算。
例如，如果我们用8除以2，那么8被2整除，结果为4，没有余数。
在数学符号中，如果a能被b整除，我们可以用a被b整除的形式表示为：a÷b。
在这个表示法中，a是被除数，b是除数，÷表示除法运算，称为除号。
举例来说，8被2整除可以表示为8÷2=4。
除法运算中的整除概念在实际生活中应用广泛。
比如，在分糖果的时候，如果有8个糖果要平均分给2个小朋友，每个小朋友就可以得到4个糖果，没有多余的糖果。
二、余数的概念余数是指在除法运算中，被除数不能整除时所剩下的部分。
简单来说，余数就是除法运算中的剩余部分。
例如，如果我们用9除以4，商为2余1，其中1就是余数。
在数学符号中，我们用r表示余数。
对于除法运算a÷b来说，r表示a÷b的余数。
举例来说，9÷4=2余1，其中2是商，1是余数。
余数在实际生活中也有很多应用。
比如，我们要将13本书平均分给4个人时，每个人能分到3本书，但还剩下1本书无法平分。
三、除法整除和余数的关系在除法运算中，整除和余数是密切相关的。
我们可以通过整除和余数的关系，来描述除法运算的结果。
对于除法运算a÷b来说，可以表示为：a =b ×商 + 余数其中，a表示被除数，b表示除数，商表示整除的结果，余数表示除法运算的剩余部分。
以之前的例子来解释，8÷2=4，其中8是被除数，2是除数，4是商。
根据上述关系式，我们可以得到：8 = 2 × 4 + 0再以9÷4=2余1为例，9是被除数，4是除数，2是商，1是余数。
除法的整除与余数
除法的整除与余数除法是数学中的一种基本运算，用于求解两个数之间的商和余数。
在数学中，我们把被除数除以除数的商称为整除，而被除数除以除数的余数称为余数。
本文将详细介绍除法的整除和余数的概念、计算方法及其在实际问题中的应用。
一、整除的概念与计算方法在数学中，整除是指一个数能够被另一个数整除，也就是没有余数。
例如，当8被2整除时，商为4，没有余数。
我们可以用符号“÷”表示除法运算，用符号“=”表示整除。
即8 ÷ 2 = 4，表示8被2整除，商为4。
在进行除法运算时，被除数除以除数，如果能够整除，则商为整数，没有余数；如果不能整除，则商为带小数的小数部分，余数为被除数减去整数部分的乘积。
例如，15 ÷ 4 = 3 余 3，表示15被4整除，商为3，余数为3。
除法的计算方法主要有两种：长除法和短除法。
长除法适用于整除或带余数的情况，相对繁琐；而短除法适用于整除的情况，计算简便快速。
二、余数的概念与计算方法余数是指在除法运算中，被除数除以除数后剩下的不完全除尽的部分。
余数总是小于除数的，它是除法运算中商的整数部分无法包含的部分。
余数可以用符号“mod”来表示，例如15 mod 4 = 3，表示15除以4的余数是3。
在数学中，余数在代数、数论、计算机算法等领域都有广泛应用。
计算余数的方法与整除类似，即被除数减去整除的部分得到余数。
例如，15除以4，商为3，整数部分为12，余数为15减去12的乘积，即3。
三、除法的应用举例除法的整除和余数在实际问题中有广泛的应用，例如：1.商场促销：商场举办促销活动，商品价格为15元，如果每人只能购买4件商品，那么可以整分给几个人？答案是3人，因为15÷4=3，余数为3，所以可以给3人每人4件商品，余下3件商品无法整分。
2.糖果分配：小明有15颗糖果，要平均分给4位同学，每位同学能分得几颗糖果？答案是3颗，因为15÷4=3，没有余数，所以每位同学能分得3颗糖果，不会有剩余。
除法的整除与余数
除法的整除与余数除法是数学中常见的运算方式，它可以通过整除和余数两种方式进行计算。
在进行除法运算时，我们经常会遇到需要求整除和余数的情况。
下面将详细介绍除法的整除与余数的概念、计算方法以及应用。
1. 除法的整除概念除法的整除是指在计算中，被除数能够被除数整除的情况。
当两个整数a和b满足条件a = b ×c（其中c为整数）时，称a能够被b整除，b为a的因数，a为b的倍数。
例如，当计算12 ÷3时，12能够被3整除，因为12 = 3 ×4。
因此，12是3的倍数，3是12的因数。
2. 除法的余数概念除法的余数是指在进行除法运算时，被除数不能被除数整除所剩下的不足一除的数。
余数始终小于除数。
例如，计算13 ÷ 5时，由于5不能整除13，我们需要找到一个最大的整数n，使得13 - 5 × n仍然大于等于5，但小于除数5的值。
而在这个例子中，最大的n为2，即13 - 5 × 2 = 3，因此3是13除以5的余数。
3. 除法的整除与余数的计算方法（1）整除的计算方法：当进行除法运算时，可以直接计算出被除数除以除数的商。
这里以10 ÷ 2为例，可以得出10 ÷ 2 = 5。
（2）余数的计算方法：在进行除法运算时，可以使用带余除法的方法计算余数。
具体步骤如下：- 首先，将被除数除以除数得到商数，记作q。
- 接下来，将商数q乘以除数得到一个中间结果，记作m。
- 然后，用被除数减去中间结果m，得到的结果就是余数r。
例如，计算17 ÷ 3的余数，首先将17 ÷ 3得到商数q = 5，然后计算m = 5 × 3 = 15，最后用17减去15，得到r = 2，因此17除以3的余数为2。
4. 除法的整除与余数的应用（1）在编程中，除法的整除与余数经常被用于判断某个数的特性。
例如，判断一个数是否为偶数，可以使用除以2的余数是0的方式进行判断。
除法的余数与整除
除法的余数与整除余数是数学中除法运算中常常出现的一个概念，它是指在进行除法运算时，除数不能完全整除被除数时所剩下的部分。
而整除则是指除法运算中被除数能够被除数整除，没有余数的情况。
余数和整除在数学中有着重要的意义，不仅在数论中有广泛应用，也在实际生活中起着重要的作用。
一、余数的概念及性质在进行除法运算时，被除数除以除数所得到的余数是被除数不能被除数整除的部分。
例如，当7除以3时，商是2，余数是1。
其中，商指的是除法运算所得的整数部分，余数指的是被除数除以除数所剩下的部分。
余数有一些重要的性质：1. 余数总是非负整数。
因为余数是被除数除以除数所剩下的部分，所以它必然是一个非负整数。
例如，当7除以3时，商是2，余数是1，余数1是一个非负整数。
2. 余数的大小一定小于除数。
这是因为余数是被除数除以除数所得的剩下的部分，而这个剩下的部分一定小于除数。
例如，当7除以3时，商是2，余数是1，余数1小于除数3。
3. 当两个整数除以同一个正整数时，它们的余数是相等的。
例如，当7除以3时，商是2，余数是1；当10除以3时，商是3，余数是1。
这是因为两个整数除以同一个正整数所得的余数是由除数来决定的。
二、整除的概念及性质整除是指在进行除法运算时，被除数能够被除数整除，没有余数的情况。
当被除数能够被除数整除时，我们称被除数是除数的倍数。
例如，当12除以3时，商是4，没有余数，所以12能够被3整除，3是12的倍数。
整除也有一些重要的性质：1. 如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它也能够被除数的倍数整除。
例如，如果12能够被3整除，那么12也能够被3的倍数（如6、9）整除。
2. 如果一个整数能够被除数整除，那么它一定也能够被除数的因子整除。
例如，如果12能够被3整除，那么12也能够被3的因子（如1、3）整除。
三、余数与整除在实际生活中的应用余数和整除在实际生活中有着广泛的应用。
下面我们以一些实例来说明：1. 日历中的星期几：我们经常使用日历来查看某一天是星期几，这涉及到日期的整除运算。
带余除法与整除性判断
带余除法与整除性判断带余除法是一种数学运算方法，用于计算两个数相除的商和余数。
它可以帮助我们判断一个数能否整除另一个数。
本文将介绍带余除法的概念和使用方法，并详细解释如何利用带余除法进行整除性判断。
一、带余除法的概念带余除法又称为长除法，是一种将除数逐步从被除数中减去并计数的方法，直到无法再减去时得到的商为止。
在进行带余除法时，除数通常为整数，而被除数可以是任意实数。
二、带余除法的使用方法1. 将被除数写在除号上方，除数写在除号下方。
2. 从被除数中取出与除数位数相同的数字作为第一个除数位数。
3. 判断第一个除数位数能否整除除数，如果可以，则将商写在上方对应位置，否则向后取一位进行下一步计算。
4. 将上一步中得到的商乘以除数，并在下面写出结果。
5. 将上一步中得到的结果减去被除数，并将差写在下方。
6. 重复以上步骤，直到无法再减去被除数为止。
三、整除性判断利用带余除法，我们可以判断一个数能否整除另一个数。
如果在整个带余除法的过程中，被除数始终能够被整除，则被除数是除数的倍数，即可以整除。
如果在带余除法的过程中出现了余数，则被除数不能整除除数。
例如，我们要判断36能否被9整除：1. 将36写在除号上方，9写在除号下方。
2. 取出与除数位数相同的数字3，作为第一个除数位数。
3. 9可以整除3，商为3，将3写在上方对应位置。
4. 3乘以9得27，将27写在下方。
5. 36减去27得到9，将9写在下方。
6. 9可以整除9，商为1。
7. 1乘以9得到9，将9写在下方。
8. 9减去9得到0，此时已无法再减去被除数，整个过程结束。
因此，36能够被9整除。
通过带余除法，我们不仅可以判断整除性，还可以得到具体的商和余数。
这在数学计算和实际生活中都具有重要的应用价值。
综上所述，带余除法是一种实用的数学运算方法，可以帮助我们判断一个数能否整除另一个数。
通过正确运用带余除法，我们能够快速准确地进行整除性判断，提高解题效率。
有余数除法的各种计算公式
有余数除法的各种计算公式有余数除法是数学中的一个重要概念，它在实际生活中有着广泛的应用。
有余数除法是指在进行除法运算时，除数不能整除被除数，最终得到的余数。
在这篇文章中，我们将介绍有余数除法的各种计算公式，以及它们在实际生活中的应用。
1. 整除与余数。
在进行有余数除法的计算之前，我们首先需要了解整除与余数的概念。
当被除数能够被除数整除时，我们称之为整除，余数为0；当被除数不能被除数整除时，我们称之为有余数除法，余数不为0。
2. 除法的基本公式。
有余数除法的基本公式可以表示为：被除数 = 除数×商 + 余数。
其中，被除数表示被除数，除数表示除数，商表示商，余数表示余数。
3. 余数的计算方法。
余数的计算方法可以表示为：余数 = 被除数除数×商。
其中，被除数表示被除数，除数表示除数，商表示商，余数表示余数。
4. 余数的性质。
余数的性质包括：（1）余数的范围，余数的范围是0到除数-1；（2）余数的性质，余数是被除数除以除数所得到的剩余部分。
5. 余数的应用。
余数在实际生活中有着广泛的应用，例如：（1）商场促销，商场在进行促销时，常常会采用“满减”或“满赠”的方式，这就是利用了余数的概念。
例如，满100减20，这里的20就是余数；（2）时间计算，在日常生活中，我们经常需要进行时间的计算，例如，计算几点之后的时间是多少，这就涉及到了余数的计算；（3）分配物品，在进行物品的分配时，如果物品不能平均分配，就会产生余数，需要进行合理的分配。
6. 余数的计算公式。
余数的计算公式包括：（1）余数的计算公式，余数 = 被除数除数×商；（2）商的计算公式，商 = (被除数余数) ÷除数；（3）被除数的计算公式，被除数 = 除数×商 + 余数。
7. 余数的取舍规则。
在进行有余数除法的计算时，我们需要遵守余数的取舍规则，即：（1）余数的取舍规则，当余数小于除数的一半时，商取小数部分；当余数大于除数的一半时，商取整数部分加1。
整除与余数——有余数的除法教案
整除与余数——有余数的除法教案有余数的除法教案一、知识导入我们都知道，除数除以被除数，商是多少，余数是多少，这是正常的整除。
但是，当我们需要把一个数分成几份时，就要用到有余数的除法。
例如，小明有9个苹果要分成3份，每份应该得到多少个苹果呢？显然，如果每份都是3个苹果，最终还剩下3个苹果。
这个剩下的3个苹果就是余数。
接下来，我们就要讲解有余数的除法。
二、新知引入1、定义：在除法中，除数由被除数几整数倍或者不足几整数倍与余数的除法，就是有余数的除法。
2、求余数定义及其关系式：有余数的除法可以分成几小部分来讲解。
我们要熟悉求余数的定义及其关系式。
定义：在有余数的除法中，被除数是除数的整数倍加上余数（被除数=除数×商+余数）。
关系式：余数=被除数-除数×商。
3、案例分析：接下来，我们通过一个案例来讲解有余数的除法。
小明家有15个苹果，要分成4份，每份苹果相等，并且不能剩余。
我们可以把这个问题转化成有余数的除法问题。
即，15÷4=？我们先用正常的除法来计算。
4不能整除15，所以商只能是3，余数是3。
即，15÷4=3……3。
我们再运用求余数的定义及其关系式，根据公式被除数=除数×商+余数，15=4×3+3。
这个式子也可逆运用，根据公式余数=被除数-除数×商，3=15-4×3。
我们发现，在本案例中，余数等于被除数减去除数乘以商。
三、实践探究1、列竖式在有余数的除数中，除法算式要写成竖式。
我们可以通过竖式来求解有余数的除法。
例如，56÷7=？我们先按照竖式计算规则写出算式，如图1所示。
我们按照竖式计算规则来计算这个算式。
我们用7去除5，商是0，余数是5。
我们用7去除56，商是8，余数是0。
我们发现余数是0，所以56÷7=8。
2、余数的一些性质余数有一些性质，我们可以通过这些性质来判断余数的大小。
第一个性质：余数不能大于除数。
除法的整除与余数整除和余数的概念
除法的整除与余数整除和余数的概念除法是数学中的一种基本运算方式，它包括整除和余数两个概念。
在进行除法运算时，我们将一个数称为被除数，另一个数称为除数。
整除是指当被除数能够被除数整除时，所得的商是一个整数，没有余数；而余数是指当被除数无法被除数整除时，所得的商不是一个整数，而是一个小于被除数、大于等于0的数。
除法的整除是我们在日常生活中经常用到的概念之一。
当我们需要将一件物品平均分给若干人时，就需要用到整除。
比如，将12个苹果平均分给3个小朋友，每个小朋友能够得到的苹果数量应该是相同的，即每人分3个苹果。
因为12除以3等于4，也即12÷3=4，这里的商4就是整除的结果。
在这个例子中，每个小朋友都获得了整数个苹果，没有剩余。
除法的余数也是一种常见的概念。
当被除数无法被除数整除时，就会产生余数。
余数代表了除法中剩余的部分。
比如，将13个苹果平均分给4个小朋友，由于13除以4等于3余1，也即13÷4=3余1，这里的余数1代表了无法平均分给每个小朋友的1个苹果。
在这个例子中，每个小朋友能够得到的苹果数量是3个，剩下的1个苹果无法平分，所以产生了一个余数。
除法的整除和余数在日常生活中有着广泛的应用和意义。
我们可以通过整除判断一个数是否是另一个数的倍数。
如果一个数能够被另一个数整除，那么它就是另一个数的倍数。
例如，我们可以通过判断一个数能否被2整除来确定它是否为偶数，因为偶数都是2的倍数。
而通过余数可以进行进一步的判断和计算。
比如，在进行商业交易中，我们需要计算商品的总价和每件商品的平均价格，这时候就需要使用整除和余数的概念。
除法的整除和余数还有一些特殊的性质和应用。
例如，除数是10的整数次幂时，可以通过查看被除数的末尾几位来判断整除和余数。
以整除10为例，只需查看被除数的个位数是否为0即可。
而以整除100为例，只需查看被除数的末两位数是否为00即可。
这种方法在实际计算中非常实用，可以节省时间和精力。
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第二十一讲 整除与有余数除法
【】
同学们，我们在二年级就已经学过“有余数的除法”，下面，向大家介绍整除与有余数除法的基础知识与基本方法。
1、整除：两个数相除时（除数不为0），它们的商是整数。
例如：
12÷4＝3
我们就说“12被4整除”或“4整除12”。
2、有余数除法：两个整数相除时（除数不为0），它们的商不是整数。
例如：
13÷7＝713
我们就说“13不能被7整除”，可写成：13÷7=1……6,我们称6为13除以7的余数，这种带有余数的除法叫有余数除法，可表示为：被除数÷除数＝商……余数.
有时为了讨论方便和统一，也将两整数整除时称作余数为零。
3、被除数＝除数×商＋余数
4、可被2整除的数的特征是：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被2整除。
5、可被3整除的数的特征是：如果一个数的个位数字的各位上的数字之和能被3整除，那么这个数能被3整除。
6、可被5整除的数的特征是：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能被5整除。
7、数的整除有两个简单的性质：
（1）如果甲、乙两个整数都能被整数丙整除，那么甲、乙两数的和以及甲、乙两数的差也能被丙整除。
（2）几个整数相乘，如果其中有一个因数能被某个整数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
【典型例题】
例一、一个除法运算，被除数是10，除数比10小，则可能出现的所有不同的余数的和是多少
仿练一、哪些数除以5，能使商与余数相同
例二、两个整数相除商是12，余数是8，并且被除数与除数的差是822，求这两个整数。
仿练二、两个数的和是444，较大的数除以较小的数所得的商是4余24，这两个数各是多少
例三、下面算式中的两个方框内应填什么数，才能使这道整数除法题的余数最大
仿练三、被除数、除数、商与余数的总和是100，已知商是12，余数是5，求被除数与除数；
例四、从4,0,5,7四个数中任选三个，组成能同时被2,3,5整除的数，并将这些数从小到大进行排列。
仿练四、四位数13AA 能被3整除，则A 是多少
例五、四位数b a 27能被2,3,5整除，求这样的四位数。
仿练五、四位数B A 18能同时被2,3,5整除，问：这个四位数是多少（不同字母代表不同数字）
例六、首位数字是9，各位上的数字互相不同，并且能同时被2、3整除的七位数中，最小是几
仿练六、求能被2,3,5整除的最大三位数是多少最小三位数是多少
【课后作业】
一、填空题
1、今天是星期三，从今天算起，第100天是星期______。
2、减数、被减数、差之和，除以被减数，商是________。
3、某个自然数，被3除余2，被5除余4，被7除余6，这个自然数最小是______。
4、五位数B A 148能同时被2,3,5整除，这个数的百位数字A ＝_______。
5、五位数x 7913能被3整除，这样的五位数，这样的五位数一共有_______个。
6、有一本故事书共99页，插图和文字的排列顺序是文、图、图、图、文、图、图、图、文……照这样反复，这本书共有_______页插图。
二、选择题
7、14600÷700的商与余数为（ ）。
（A ）商2余6 （B ）商20余6 （C ）商2余60 （D ）商20余600
8、科学家进行一项实验，每隔5小时做一次记录，做第十二次记录时，钟表时针恰好指向9，做第一次记录时，指针指向（ ）。
（A ）2 （B ）5 （C ）7 （D ）9
9、能同时被3,5整除的最小四位数b a 25的个数b 是（ ）。
（A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）5
10、个位数是5，且能被3整除的四位数有（ ）个。
（A ）300 （B ）250 （C ）180 （D ）100
三、简答题
11、甲数除以乙数，商18余4，甲数与乙数的和是270，求甲、乙两数。
12、有同样大小的红、白、黑球共200个，按5个红球、4个白球、3个黑求的顺序排列，
问：黑球共几个第158个球是什么颜色
13、在一道有余数的除法算式中，被除数除以除数，商是4，余数是12，被除数、除数、商、余数四个数相加的和是18，求被除数和除数各是多少
189能同时被2和3整除，问：x等于几
14、四位数x
15、已知被除数比除数大78，并且商是6，余数是3，求被除数与除数之积。
（第十七届“华罗庚杯少年数学邀请赛网络版决赛第9题”）
÷＋－
8、。