同济大学数学系《高等数学》第6版下册笔记和课后习题(含考研真题)详解(空间解析几何与向量代数)【圣才
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uuur 任给向量 r，有对应点 M，使 OM ＝r，以 OM 为对角线、三条坐标轴为棱作长方体
RHMK-OPAQ，如图 8-3 所示，有
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图 8-2 三个坐标面将空间分为八个卦限
图 8-3 以 OM 为对角线的长方体 RHMK-OPAQ
3．空间直角坐标系 （1）坐标轴 在空间取定一点 O 和三个两两垂直的单位向量 i，j，k，就确定了三条都以 O 为原点的 两两垂直的数轴，依次记为 x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴），统称为坐标轴。它们 构成一个空间直角坐标系，称为 Oxyz 坐标系或[O，i，j，k]坐标系。 （2）坐标面 三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面。x 轴 及 y 轴所确定的坐标面叫做 xOy 面，另两个由 y 轴及 z 轴和由 z 轴及 x 轴所确定的坐标面， 分别叫做 yOz 面及 zOx 面。 （3）卦限 三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做一个卦限。含有 x 轴、y 轴与 z 轴正半 轴的那个卦限叫做第一卦限，其他第二、第三、第四卦限，在 xOy 面的上方，按逆时针方 向确定。第五卦限至第八卦限，在 xOy 面的下方，第一卦限之下的为第五卦限，按逆时针 方向确定，这八个卦限分别用字母Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示（图 8-2）。
这时它的方向可以是任意的。
向量与数的乘积符合下列运算规律：
①结合律： （ a）＝ （ a）＝（ ）a；
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( )a a a ②分配律： (a b) a b 。 设 ea 表示与非零向量 a 同方向的单位向量，那么 a a ea 。 【定理】设向量 a≠O，那么，向量 b 平行于 a 的充分必要条件是：存在唯一的实数 ， 使 b＝ a。
（2）运算规律
向量的加法符合下列运算规律：
①交换律：a＋b＝b＋a；
②结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。
由于向量的加法符合交换律与结合律，故 n 个向量 a1, a2 , an （n≥3）相加可写成 a1 a2 +an 。
设 a 为一向量，与 a 的模相同而方向相反的向量叫做 a 的负向量，记作-a。由此，我
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同济大学数学系《高等数学》第 6 版下册笔记和课后习题（含考研真题）详解 第 8 章 空间解析几何与向量代数
8.1 复习笔记
在平面解析几何中，通过坐标法把平面上的点与一对有次序的数对应起来，把平面上的 图形和方程对应起来，从而可以用代数方法来研究几何问题。空间解析几何也是按照类似的 方法建立起来的。
两向量平行，又称两向量共线。 设有 k（k≥3）个向量，当把它们的起点放在同一点时，如果 k 个终点和公共起点在一
个平面上，就称为向量共面。
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2．向量的线性运算
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（1）向量加减法
①加减法则
a．三角形法则；
b．平行四边形法则。
r r r ur 上面加箭头）来表示向量，例如 a、r、v、F 或 a 、 r 、 v 、 F 等等。
（2）向量的大小和方向 由于一切向量的共性是都有大小和方向，因此在数学上只研究与起点无关的向量，并称 这种向量为自由向量（简称向量），即只考虑向量的大小和方向。 由于只讨论自由向量，所以如果两个向量 a 和ｂ的大小相等，且方向相同，就认为向量 a 和ｂ是相等的，记作 a＝ｂ。这就是说，经过平行移动后能完全重合的向量是相等的。
们规定两个向量 b 与 a 的差： b a b (a) 。
特别地，当 b＝a 有 a a a (a) 0 。 由三角形两边之和大于第三边，有 a b a b 及 a b a b ，其中等号在 a
与 b 同向或反向时成立。
（3）向量与数的乘法
向量 a 与实数 的乘积记作 a，规定 a 是一个向量，它的模 a a ，它的方向 为：当 ＞0 时与 a 相同；当 ＜0 时与 a 相反。当 ＝0 时， a ＝0，即 a 为零向量，
它的方向可以看做是任意的。
（4）向量的夹角
uur uuur 设有两个非零向量 a，b，任取空间一点 O，作 OA ＝a，OB ＝b，规定不超过 的 AOB
（设 ＝ AOB，0≤ ≤ ）称为向量 a 与 b 的夹角（图 8-1），记作（a，b）或（b，a），
即（a，b）＝ 。如果向量 a 与 b 中有一个是零向量，规定它们的夹角可以在 0 到 之间
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（3）向量的模
uuur
r
uuur
r
向量的大小叫做向量的模。向量 AB 、a、 a 的模依次记作 AB 、 a 、 a 。模等于 1
r 的向量叫做单位向量。模等于零的向量叫做零向量，记作 0 或 0 。零向量的起点和终点重合，
一、向量及其线性运算 1．向量概念 （1）向量 客观世界中有这样一类量，它们既有大小，又有方向，例如位移、速度、加速度、力、 力矩等等，这一类量叫做向量（或矢量）。在数学上，常用一条有方向的线段，即有向线段 来表示向量。有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。以 A 为
uuur 起点、B 为终点的有向线段所表示的向量记 AB 。有时也用一个黑体字母（书写时，在字母
任意取值。
图 8-1 非零向量 a，b
如果（a，b）＝0 或 ，就称向量 a 与 b 平行，记作 a//b。如果（a，b）＝ ，就称 2
向量 a 与 b 垂直，记作 a b。 注意，由于零向量与另一向量的夹角可以在 0 到 之间任意取值，因此可以认为零向
量与任何向量都平行，也可以认为零向量与任何向量都垂直。 当两个平行向量的起点放在同一点时，它们的终点和公共起点应在一条直线上。因此，
RHMK-OPAQ，如图 8-3 所示，有
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图 8-2 三个坐标面将空间分为八个卦限
图 8-3 以 OM 为对角线的长方体 RHMK-OPAQ
3．空间直角坐标系 （1）坐标轴 在空间取定一点 O 和三个两两垂直的单位向量 i，j，k，就确定了三条都以 O 为原点的 两两垂直的数轴，依次记为 x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴），统称为坐标轴。它们 构成一个空间直角坐标系，称为 Oxyz 坐标系或[O，i，j，k]坐标系。 （2）坐标面 三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面。x 轴 及 y 轴所确定的坐标面叫做 xOy 面，另两个由 y 轴及 z 轴和由 z 轴及 x 轴所确定的坐标面， 分别叫做 yOz 面及 zOx 面。 （3）卦限 三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做一个卦限。含有 x 轴、y 轴与 z 轴正半 轴的那个卦限叫做第一卦限，其他第二、第三、第四卦限，在 xOy 面的上方，按逆时针方 向确定。第五卦限至第八卦限，在 xOy 面的下方，第一卦限之下的为第五卦限，按逆时针 方向确定，这八个卦限分别用字母Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示（图 8-2）。
这时它的方向可以是任意的。
向量与数的乘积符合下列运算规律：
①结合律： （ a）＝ （ a）＝（ ）a；
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( )a a a ②分配律： (a b) a b 。 设 ea 表示与非零向量 a 同方向的单位向量，那么 a a ea 。 【定理】设向量 a≠O，那么，向量 b 平行于 a 的充分必要条件是：存在唯一的实数 ， 使 b＝ a。
（2）运算规律
向量的加法符合下列运算规律：
①交换律：a＋b＝b＋a；
②结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。
由于向量的加法符合交换律与结合律，故 n 个向量 a1, a2 , an （n≥3）相加可写成 a1 a2 +an 。
设 a 为一向量，与 a 的模相同而方向相反的向量叫做 a 的负向量，记作-a。由此，我
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同济大学数学系《高等数学》第 6 版下册笔记和课后习题（含考研真题）详解 第 8 章 空间解析几何与向量代数
8.1 复习笔记
在平面解析几何中，通过坐标法把平面上的点与一对有次序的数对应起来，把平面上的 图形和方程对应起来，从而可以用代数方法来研究几何问题。空间解析几何也是按照类似的 方法建立起来的。
两向量平行，又称两向量共线。 设有 k（k≥3）个向量，当把它们的起点放在同一点时，如果 k 个终点和公共起点在一
个平面上，就称为向量共面。
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2．向量的线性运算
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（1）向量加减法
①加减法则
a．三角形法则；
b．平行四边形法则。
r r r ur 上面加箭头）来表示向量，例如 a、r、v、F 或 a 、 r 、 v 、 F 等等。
（2）向量的大小和方向 由于一切向量的共性是都有大小和方向，因此在数学上只研究与起点无关的向量，并称 这种向量为自由向量（简称向量），即只考虑向量的大小和方向。 由于只讨论自由向量，所以如果两个向量 a 和ｂ的大小相等，且方向相同，就认为向量 a 和ｂ是相等的，记作 a＝ｂ。这就是说，经过平行移动后能完全重合的向量是相等的。
们规定两个向量 b 与 a 的差： b a b (a) 。
特别地，当 b＝a 有 a a a (a) 0 。 由三角形两边之和大于第三边，有 a b a b 及 a b a b ，其中等号在 a
与 b 同向或反向时成立。
（3）向量与数的乘法
向量 a 与实数 的乘积记作 a，规定 a 是一个向量，它的模 a a ，它的方向 为：当 ＞0 时与 a 相同；当 ＜0 时与 a 相反。当 ＝0 时， a ＝0，即 a 为零向量，
它的方向可以看做是任意的。
（4）向量的夹角
uur uuur 设有两个非零向量 a，b，任取空间一点 O，作 OA ＝a，OB ＝b，规定不超过 的 AOB
（设 ＝ AOB，0≤ ≤ ）称为向量 a 与 b 的夹角（图 8-1），记作（a，b）或（b，a），
即（a，b）＝ 。如果向量 a 与 b 中有一个是零向量，规定它们的夹角可以在 0 到 之间
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（3）向量的模
uuur
r
uuur
r
向量的大小叫做向量的模。向量 AB 、a、 a 的模依次记作 AB 、 a 、 a 。模等于 1
r 的向量叫做单位向量。模等于零的向量叫做零向量，记作 0 或 0 。零向量的起点和终点重合，
一、向量及其线性运算 1．向量概念 （1）向量 客观世界中有这样一类量，它们既有大小，又有方向，例如位移、速度、加速度、力、 力矩等等，这一类量叫做向量（或矢量）。在数学上，常用一条有方向的线段，即有向线段 来表示向量。有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。以 A 为
uuur 起点、B 为终点的有向线段所表示的向量记 AB 。有时也用一个黑体字母（书写时，在字母
任意取值。
图 8-1 非零向量 a，b
如果（a，b）＝0 或 ，就称向量 a 与 b 平行，记作 a//b。如果（a，b）＝ ，就称 2
向量 a 与 b 垂直，记作 a b。 注意，由于零向量与另一向量的夹角可以在 0 到 之间任意取值，因此可以认为零向
量与任何向量都平行，也可以认为零向量与任何向量都垂直。 当两个平行向量的起点放在同一点时，它们的终点和公共起点应在一条直线上。因此，