(完整版)信号与系统z变换教学

10.1 z 变换定义
一、离散时间特征函数
设一个离散系统的输入为x[n] = zn
y[n] h[k]x[n k] k h[k]znk k zn h[k]zk k
H (z)zn H (z)x[n]
H (z) h[k]zk k
就是h[n]的z变换。
二、离散时间信号的z变换
第10章 z变换
掌握Z 变换定义及基本性质、牢记常用典型信号的Z 变换。 掌握求解信号Z 变换(包括正变换和反变换)的基本方法。 掌握运用Z 变换分析LTI 系统的方法。 掌握系统函数H(z)收敛域与系统因果稳定性的关系：定 性分析方法。
掌握系统的典型表示方法：H(z)、h[n]、差分方程、模拟 框图、信号流图、 零极点+收敛域图，以及它们之间的转 换。
其z变换为：
X (z) anu[n]zn (az1)n
n
n0
X(z)要收敛，要求：
(az1)n n0
收敛域为： az1 1 or | z || a |
X (z)
(az1)n
n0
1 1 az1
z
z, a
za
当 a=1
X
(
z
)
1
1 z
1
,
即：Z{u[n]}
1
1 z
1
,
z 1 z 1
解：X1(z) x1[n]zn [n]zn 1 ROC: 整个z平面
n
n
X 2 (z) x2[n]zn [n 1]zn z ROC :| z |
n
n
X3(z)
x3[n]zn [n 1]z n z-1
ROC :| z | 0
n
n
X 4 (z) x4[n]zn 1 z z-1
ROC : 0 | z |
n
RO性C内质，4：那如么果|z|x>[nr]0是的一全个部右有边限序z值列都，一并定且在|z|这=r个0的R圆O位C内于。
……… n
Im(z)
N1
Re(z)
性质5：如果x[n]是一个左边序列，并且|z|=r0的圆位于 ROC内，那么0<|z|< r0 的全部有限z值都一定在这个ROC内。
………
N1
n
Im(z) Re(z)
性质6：如果x[n]是双边序列，并且|z|=r0的圆 位于ROC内，那么该ROC一定是由包括|z|= r0 的 圆环所组成。
………
……… n
Im(z)
Re(z)
性质7：如果x[n]的z变换X(z)是有理的，那么它的 ROC就被极点所界定，或者延伸至无限远。
性质8：如果x[n]的z变换X(z)是有理的，而且若是右边 序列，那么，ROC就位于z平面内最外层极点的外边。
性质9：如果x[n]的z变换X(z)是有理的，而且若x[n]是 左边序列，那么，ROC就位于z平面内最里层的非零极点 的里边。
例 有一z变换X(z)为
X (z)
1
(1 1 z1)(1 2z1)
3
Im(z) 单位圆 × ×Re(z)
Im(z) 单位 圆
× ×Re(z)
Im(z) 单位圆
Im(z) 单位圆
X (z) X (re jw ) F{x[n]rn}
三、z变换的几何解释和收敛域
Z变换和DT信号傅立叶变换之间关系的讨 论和对CT信号的讨论几乎并行进行的，但 是一些重要的不同。
在z变换中当变量z的模为1，即z=ejω时，z 变换退化成DTFT。
傅立叶变换就是在复数z平面中，半径为1 的圆上的z变换。
10.0 引言
前一章我们讨论了拉氏变换，并利用系统函数的零极点 分析了连续时间系统的基本特性。本章将讨论Z变换，从变 换的基本性质和基本作用来看，Z变换和拉氏变换是相似的， 而且，讨论展开的思路也是和拉氏变换平行的。当然，由于 连续时间信号和离散时间信号之间的基本差异，Z变换和拉 氏变换之间必然存在着某些不同。在本章的学习中，读者可 以借助拉氏变换的知识来理解Z变换的基本概念，同时也应 通过两者之间的不同来领会Z变换的主要特点。
7 (1/ 3)n zn 6 (1/ 2)n zn
n0
n0
7z 6z
z
1 3
z
1 2
z(z 32)
(z
1 3
)(z
12)
收敛域为|z|>1/2。
10.2 z变换的收敛域
性质1：X(z)的ROC是在z平面内以圆点为中心的圆环。 Im(z)
Im(z)
Re(z)
Im(z)
Re(z)
Re(z)
离散时间信号的z变换定义为：
记作：
X (z) x[n]zn n
Z
x[n] X (z)
为了理解z变换和离散傅立叶变换之间的关系
z=rejw
则：
X ( z) X (re jw ) x[n](re jw )n n
因此，
(x[n]r n )e jwn n
Im(z) r
w 1 Re(z)
z-plane
当|a-1z|<1，即|z|<|a|时，收敛。
1
1
z
X (z) 1 1 a1z 1 az1 z a ,
| z || a |
Im(z)
xa
1 Re(z
Unit
circle
例 两个实指数信号之和
x[n] 7(1/ 3)n u[n] 6(1/ 2)n u[n]
X (z) {7(1/ 3)n u[n] 6(1/ 2)n u[n]}zn n
Z变换的结果 X(z)=z/(z-a) 是一有理函数，因此，可 用它的零点和极点来表示。
Im(z)
xa
wk.baidu.com
1 Re(z)
Unit circle
例
考虑信号x[n] = -anu[-n-1]
1
X (z) anu[n 1]zn an zn
n
n
an zn 1 (a1z)n
n1
n0
什么情况下，上式收敛呢？
性质2：ROC内不包括任何极点。 在极点处，X(z)为无穷大。
Im(z) ×
Re(z)
性质3：如果x[n]是有限长序列，那么ROC就是整个z 平面，可能去除z=0和/或z=∞。
例：分别求以下信号的z变换
x1[n] [n] x2[n] [n 1]
x3[n] [n 1]
x4[n] [n] [n 1] [n 1]
收敛问题
为了使z变换收敛，等同于要求x[n]r-n的傅立叶变 换收敛。
总的来说，对某一序列x[n]的z变换，存在着某一个z 值的范围，在该范围内的z，X(z)收敛。
由这些使X(z)收敛的z值所组成的范围，就是收敛域 (ROC)。
如果ROC内包括单位圆，则傅立叶变换收敛！
例 指数函数的z变换 考虑信号x[n] = anu[n]