《一题可破万题山——二次函数压轴题常见模型小结》

若不存在，请说明理由
y y
A
OB
x
C D
Q2
A
OB
x
Q1 C
D
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19
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D 问题16：抛物线上是否存在点E，使得BE平分△ABC的面积，若存在，求出E点坐标， 若不存在，请说明理由
y
y
A
OB
x
C D
A
OB
x
F E
y
y
x=-1
A
OB
C D
x
A
OB
x
M
C N
25
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
问题22：在对称轴上有一点M，在抛物线上有一点N，若以A、B、M、N为顶点 的四边形为平行四边形，求M、N的坐标
y
y
y
A
OB
x
C D
A
OB
x
C
D
A
OB
x
C D
A
C
B
D
D
A
C B
D
A C
B
m
m
m
S=（m×AD）÷2
S=（m×BD）÷2
S=（m×CD）÷2
注：一般来讲：过动点（设横表纵）做y轴的平行线与其对边或延长线相交！
15
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
问题12：在AC下方的抛物线上有一动点N，使得四边形ABCN的面积最大？若存在， 请求出四边形ABCN的最大面积。
x
C D
34
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D 问题30：将AD所在的直线绕点A逆时针旋转45°，所得直线与抛物线交于点M,求M点坐标。
y
y
A
OB
x
C D
A
OB
x
C D
35
题号 形定问题 线段问题 最值问题
面积问题
特殊图形
角度问题 旋转问题
问题8：在对称轴上找一点P，使得∣PA-PC∣最大，求出P点坐标
y
A
OB
x
C D
y
.x=1
A（-3,0）
B（1,0）
O
x
C（0，-3）
P
10
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
问题9：线段MN=1，在对称轴上运动（M点在N点上方）， 求四边形BMNC周长的最小值及此时M点坐标
y
A
OB
y
.x=1
A（-3,0）
B（1,0）
O
x
x
B’’
M
B’
C D
N
C（0，-3）
11
将军饮马：这个将军饮的不是马，是数学！ 解题依据：两点间线段最短；点到直线的垂直距离最短；翻折，对称。 解题策略：对称、翻折→化同为异；化异为同；化折为直。
两村一路（异侧） 和最小
两村一路（同侧） 和最小
一村两路和最小
……
针对变式题目
1-解析式、2-三角形形状
3-线段相等、4-线段成比例
5-线段最值1（直）、 6-线段最值2（斜） 、 7-和最小 8-差最大 、 9-两村一路
10-定点求面积 、11-斜三角形求面积 、 12-（定+动）求面积 13-同底等高（直）、14-同底等高（斜）、15-面积平分1 16-面积平分 2 、17-面积平分3 、 18-面积分割
问题14：抛物线上是否存在点H，使得S△BCH= S△ABC,若存在，求出点H的坐标；
若不存在，请说明理由
H
y y
A
OB
x
C D
A
OB
x
DC
18
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
问题15：抛物线上是否存在点Q，使得S△AOQ= S△COQ,若存在，求出点Q的坐标；
y
B（1,0）
O
x
C（0，-3）
5
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D 问题4：抛物线上有一动点P，过点P作PM⊥x轴于点M,交直线AC与点N，在线段PM、 MN中，若其中一条线段是另一条线段的2倍，求点P的坐标。
y
A
OB
x
C D
6
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
P
B· ·A
两村一路（线段）和最小
两村一路（同侧） 差最大
两村两路和最小
两村一路（异侧） 差最大
12
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
问题10：求四边形ABCD的面积
y y
A（-3,0） E
B（1,0）
O
x
A
OB
x
C D
C（0，-3） D（-1，-4）
C
D
20
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D 问题17：抛物线上找一点P，作PM⊥x轴，交线段AC于点N，使AC平分△APM的面积
y
y
A
OB
x
C D
M
A
NO
B
x
P
C
D
21
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
标；若不存在，请说明理由
y
y
y
A
OB
x
C D
F1
A(-3,0)
F3
O
F5
F2
D(-1,-4)
A(-3,0) O
x
x
F5
D(-1,-4)
F4
24
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
问题21：作垂直于x轴的直线x=-1交直线AC于点M，交抛物线于点N，以A、M、 N、E为顶点作平行四边形，求第四个顶点E的坐标
问题23：点E是抛物线上一动点，点F在抛物线的对称轴上，若以C、D、E、F为顶 点的四边形为菱形，求点E的坐标
y
y
x=-1
A
B
x
A
OB
x
C D
O C
D
28
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
问题24：在线段AC上是否存在点M，使得三角形AOM与△ABC相似？若存在， 求出点M的坐标，若不能，请说明理由
y
A（-3,0）
B（1,0）
O
x
C（0，-3）
E
F
D（-1，-4）
13
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
问题11：在AC下方的抛物线上有一动点N，使得三角形CAN的面积最大？若存在， 请求出△CAN的最大面积及点N的坐标。
y
y
A
OB
x
A
OB
x
C D
30
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
问题26：在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO?若能，求出点P的坐标， 若不能，请说明理由
y
y
A
OB
x
C D
A
OB
x
C D
31
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
——二次函数压轴题常见模型小结
1
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
问题1：求抛物线解析式和顶点D坐标
函数
点
y a(x x1)(x x2)
x轴交点(x1，0)、(x 2，0)
y
十字相乘
A
OB
x
C D
y ax 2 bx c 配方法（★）
问题27：过点B的直线交直线AC与点M，当直线AC与BM的夹角等于∠ACB的2倍时， 直接写出点M的坐标。
y y
A
OB
x
A
B
O
x
C
C
D
32
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D 问题28：y轴上是否存在点N，使得∠BCO+ ∠BNO= ∠BAC?若存在，请写出点N的坐标。
19-直角三角形 、20-等腰三角形 、21-平行四边形1 22-平行四边形2 、23-菱形 、 24-相似三角形1 25-相似三角形2
26-角相等 、27-倍半角、28-和差角
29-形旋转 、30-线旋转
……
坐标；若不存在，请说明理由
y
y
y
y
A
OB
C D
E1
A(-3,0)
A(-3,0)
O
x
O
A(-3,0)
x
O
E3
x
x
E2
E4
D(-1,-4)
D(-1,-4)
D(-1,-4)
23
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
问题20：在y轴上是否存在一点F，使得△ADF是等腰三角形？若存在，求出点F的坐
C D
E
A
F
OB
x
N
C
D
14
宽高法(铅垂线法)：S =（宽×高）÷2 ★重点：什么是宽？什么是高？如何确定？ （横平竖直；改斜归正）
定义：过三角形的一个顶点做y轴的平行线（x轴的垂线）与这个顶点的对边 （或延长线）相交，交点到这点的距离（纵坐标的差的绝对值）叫做该三角形
的“高”（竖直高）；另外两个顶点的水平距离（横坐标的差的绝对值）叫做 该三角形的“宽”（水平宽）。具体操作时有如图所示的三种情形：
y y
A
OB
x
C
A
OB
x
C D
y
A
OB
x
C
29
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
问题25：P是抛物线上一个动点，作PH⊥x轴于H，是否存在一点P,使得△PAH与 △BOC相似？若存在，求出点P的坐标，若不能，请说明理由
y
y
A
OB
x
C D
y a(x h)2 k
y轴交点（0，c） 顶点（h,k）
y x 2 2x 3 y (x 3)(x 1) y (x 1)2 4
形
原始三角形： 重视四点围成的 三角形（边、角 关系）
3
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
y
y
A
OB
x
C D
A
G
OB
x
H
E
P
C
D
8
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D 问题7：在对称轴上找一点P，使得△BCP的周长最小，求出P点坐标及△BCP的周长
y
.x=1
y
A
OB
x
C D
A（-3,0）
B（1,0）
O
x
P C（0，-3）
9
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
y y
A
OB
x
A
B
O
x
C
C
D
33
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
问题29：将△BOC绕平面内一点顺时针转90°，得到△B’O’P’,若△B’O’P’
恰好有两个点同时落在抛物线上，求点O’的坐标？
y
y
y
A
OB
x
C D
A
OB
x
C D
A
OB
问题2：判断△ACD的形状，并说明理由
y y
A
OB
x
C D
A（-3,0）
OB
x
C（0，-3） D（-1，-4）
4
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
问题3：E是y轴上一动点，若BE=CE,求点E的坐标
y
y
B（1,0）
O
x
A
OB
x
C D
C（0，-3）
问题5：直线AC下方的抛物线上有一动点P，过点P作PH⊥AC于H，求线段PH的 最大值及此时点P的坐标
y
y
y
A
OB
x
H
P
C
D
E
A
F
OB
x
H
P
C
D
E
A
F
OB
x
H
P
C
D
7
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
问题6：直线AC下方的抛物线上有一动点P，过点P作PH⊥AC于H，PG∥y轴交AC 于G，PH为邻边作矩形PEGH，求矩形PEGH周长的最大值。
问题18：抛物线上找一点P，作PM⊥x轴，交线段AC于点N，使AC分△APM的面 积为2:1两部分？
y
y
A
OB
x
C D
MO
A N
B
x
P
C
D
22
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
问题19：在y轴上是否存在一点E，使得△ADE是直角三角形？若存在，求出点E的
y
y
A
OB
x
C D
E
A
F
OB
x
N
C
D
16
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
问题13：抛物线上是否存在点N，使得S△ABN= S△ABC,若存在，求出点N的坐标； 若不存在，请说明理由
y
y
N2
N3
A
OB
x
C D
A
OB
x
N1
C
D
17
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
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平行四边形的存在性
预备知识：①中点坐标公式；②三平三交定三点；③两对角线端点的横、纵坐标 之和分别相等（秒杀必备）；④横平竖直接做辅助。
分类
三定一动：用②③即可秒杀（本质还是中点坐标公式）
两定两动
两点之间线 段是一条边
两点之间线 段是对角线
利用①②③ ④综合解决
27
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D