《一题可破万题山——二次函数压轴题常见模型小结》
专题01 二次函数的定义压轴题五种模型全攻略
专题01 二次函数的定义压轴题五种模型全攻略考点一 二次函数的识别 考点二 二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项考点三 根据二次函数的定义求参数 考点四 已知二次函数一点求代数式的值考点五 列二次函数关系式考点一 二次函数的识别例题：（2022·江苏·盐城市初级中学一模）下列函数中为二次函数的是（ ）A ．31y x =-B ．231y x =-C ．2y x=D ．323y x x =+-【变式训练】1．（2020·陕西·西安市大明宫中学三模）观察：①26y x =；②235y x =-+；③2200400y x x =+；④32y x x =-；⑤213y x x=-+；⑥()221y x x =+-．这六个式子中二次函数有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．52．（2022·全国·九年级课时练习）下列函数①55y x =-；②231y x =-；③3243y x x =-；④2221y x x =-+；⑤21y x =．其中是二次函数的是____________．考点二 二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项例题：（2022·福建省福州外国语学校八年级期末）二次函数223y x x =-+的一次项系数是（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．3【变式训练】1．（2022·全国·九年级）设a ，b ，c 分别是二次函数y ＝﹣x 2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（ ）A ．a ＝﹣1，b ＝3，c ＝0B ．a ＝﹣1，b ＝0，c ＝3C ．a ＝﹣1，b ＝3，c ＝3D ．a ＝1，b ＝0，c ＝32．（2022·全国·九年级）已知二次函数y ＝1﹣5x ＋3x 2，则二次项系数a ＝___，一次项系数b ＝___，常数项c ＝___．考点三 根据二次函数的定义求参数例题：（2022·全国·九年级课时练习）已知y ＝21(1)m m x +-+2x ﹣3是二次函数式，则m 的值为 _____．【变式训练】1．（2021·黑龙江·塔河县第一中学校九年级期中）已知(2)21m y m x x =-+-是y 关于x 的二次函数，那么m 的值____．2．（2021·广东广州·九年级期中）关于x 的函数()21mmy m x -=+是二次函数，则m 的值为__________．考点四 已知二次函数一点求代数式的值例题：（2022·全国·九年级）若点(m ，0)在二次函数y ＝x 2﹣3x +2的图象上，则2m 2﹣6m +2029的值为 ____．【变式训练】1．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为()0m ,，则代数式2332022m m -++的值为______．2．（2022·全国·九年级课时练习）点(),1m 是二次函数221y x x =--图像上一点，则236m m -的值为__________考点五 列二次函数关系式例题：（2022·上海市青浦区教育局二模）为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为x ，第一季度的总产值为y （亿元），则y 关于x 的函数解析式为________________．【变式训练】1．（2021·山东滨州·九年级期中）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的售价为x 元，则可卖出()35010x -件，那么卖出商品所赚钱y 元与售价x 元之间的函数关系为________．2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，正方形ABCD 的边长是10cm ，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上的一点，BE DF =．四边形AEGF 是矩形，矩形AEGF 的面积()2cm y 与BE 的长cm x ()010x <£的函数关系是______．一、选择题1．（2021·湖南湘西·九年级期中）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）A ．y ＝3x +1B ．y ＝ax 2+bx +cC ．s ＝2t 2﹣2t ﹣1D ．y ＝x 2+1x2．（2020·浙江杭州·九年级阶段练习）二次函数y ＝x （1﹣x ）﹣2的一次项系数是（ ）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣23．（2021·安徽·休宁县洪里初级中学九年级期中）若y ＝（m －2）22m x -＋5x －3是二次函数，则常数m 的值为（ ）．A ．－2B ．2C ．±2D ．不能确定4．（2022·全国·九年级课时练习）已知|1|(1)2m y m x m -=++是y 关于x 的二次函数，则m 的值为（ ）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．05．（2022·全国·九年级课时练习）在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为()02x x <<的小正方形，如果设剩余部分的面积为y ，那么y 关于x 的函数解析式为（ ）A ．22y x x =+B ．24y x =-C ．24y x =-D ．42y x=-6．（2022·全国·九年级课时练习）已知函数：①y ＝2x ﹣1；②y ＝﹣2x 2﹣1；③y ＝3x 3﹣2x 2；④y =2（x +3）2-2x 2；⑤y ＝ax 2+bx +c ，其中二次函数的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题7．（2021·全国·九年级专题练习）二次函数2231y x x =--的二次项系数与常数项的和是__________．8．（2021·全国·九年级课时练习）把y ＝(3x -2)(x ＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为________．9．（2019·陕西·西安高新一中实验中学九年级期末）若函数27(3)1m y m x x -=--+是二次函数，则m 的值为_________．10．（2021·四川·广汉市教学研究教师培训中心九年级期中）若函数y ＝（m －2）x |m |＋2x ＋1是关于x 的二次函数，则m 的值为________．11．（2021·上海市罗星中学九年级期中）一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加()0x x >厘米，则面积随之增加y 平方厘米，那么y 关于x 的函数解析式为____．12．（2021·全国·九年级课时练习）观察：①26y x =；②235y x =-+；③2200400200y x x =++；④22y x x =-；⑤21132y x x =-+；⑥()221y x x =+-．这六个式子中二次函数有___________________．（只填序号）三、解答题13．（2021·内蒙古·奈曼旗新镇中学九年级阶段练习）已知函数()273m y m x -=+.（1）当m 为何值时，此函数是正比例函数？（2）当m 为何值时，此函数是二次函数？14．（2021·江苏·九年级专题练习）已知y 关于 x 的函数y =（m 2+2m ）x 2+mx +m +1.（1）当m 为何值时，此函数是一次函数？ （2）当m 为何值时，此函数是二次函数？15．（2021·全国·九年级专题练习）已知函数()()2211y m m x m x m =-+-++．（1）当m 为何值时，这个函数是关于x 的一次函数；（2）当m 为何值时，这个函数是关于x 的二次函数．16．（2022·重庆市巴川中学校八年级期中）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝30cm ，∠A ＝60°，动点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm /s 的速度向点A 匀速运动，同时动点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm /s 的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D ，E 运动的时间是ts ，过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接EF ．(1)若四边形AEFD为菱形，则t值为多少？(2)在点D、E的运动过程中，设四边形ADFE的面积为y，请求出y与t的函数关系式？。
《一题可破万题——二次函数压轴题常见模型小结》
——二次函数压轴题常见模型小结DBO AxyC问题1：求抛物线解析式和顶点D 坐标12()()y a x x x x =--2y ax bx c=++2()y a x h k=-+十字相乘配方法（★）12轴交点(，0)、(，0)x x x 轴交点（0，c ）y 顶点（h,k ）原始三角形：重视四点围成的三角形（边、角关系）函数 点形2223(3)(1)(1)4y x x y x x y x =+-=+-=+-问题2：判断△ACD 的形状，并说明理由DBOAxyCD （-1，-4）BOA （-3,0）xyC （0，-3）问题3：E是y轴上一动点，若BE=CE,求点E的坐标DB OA xyCB（1,0）O xyC（0，-3）B（1,0）O xyC（0，-3）问题4：抛物线上有一动点P，过点P作PM⊥x轴于点M,交直线AC与点N，在线段PM、MN中，若其中一条线段是另一条线段的2倍，求点P的坐标。
DB OA xyC最大值及此时点P 的坐标DBO Ax yC PH DB O Ax yC PHEFDB O AxyC PHE F于G ，PH 为邻边作矩形PEGH ，求矩形PEGH 周长的最大值。
DBO Ax yCDB O AxyC PHEG问题7：在对称轴上找一点P，使得△BCP的周长最小，求出P点坐标及△BCP的周长DB OA xyCB（1,0）OA（-3,0）xyC（0，-3）.x=1P问题8：在对称轴上找一点P，使得∣PA-PC∣最大，求出P点坐标DB OA xyCB（1,0）OA（-3,0）xyC（0，-3）.x=1P问题9：线段MN=1，在对称轴上运动（M 点在N 点上方），求四边形BMNC 周长的最小值及此时M 点坐标DBOAxyC已知抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，OA=OC=3,顶点为D 2y x bx c =++B （1,0）OA （-3,0）xyC （0，-3）.x=1NB ’ B ’’M将军饮马：这个将军饮的不是马，是数学！解题依据：两点间线段最短；点到直线的垂直距离最短；翻折，对称。
高频题型专题：二次函数的图象信息题压轴题五种模型全攻略(解析版)
高频题型专题：二次函数的图象信息题压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一 二次函数与一次函数图象共存问题】 ........................................................................................ 1 【考点二 二次函数与反比例函数图象共存问题】 .................................................................................... 5 【考点三 含字母参数的二次函数的图象和性质】 .................................................................................. 10 【考点四 二次函数的图象和性质与系数a ,b ,c 的问题】 ....................................................................... 16 【考点五 二次函数的图象与几何动点问题】 (21)【典型例题】【考点一 二次函数与一次函数图象共存问题】例题：（2023春·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期末）函数||y a x =与()20y ax a a =−≠在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）． ． ． ． 【答案】C【分析】根据一次函数与二次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵a >，∴||y a x =经过一、三象限；当0a >时，二次函数()20y ax a a =−≠开口向上，与y 轴的交点在负半轴上， 当0a <时，二次函数()20y ax a a =−≠开口向下，与y 轴的交点在正半轴上，∴只有选项C 符合题意；故选：C ．【点睛】题目主要考查一次函数与二次函数图象的判断，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题关键． 【变式训练】1．（2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图是一次函数y kx b =+的图象，则二次函数22y kx bx =++的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】先根据一次函数图象确定00k b >>，，进而确定二次函数开口向上，对称轴在y 轴左侧，由此即可得到答案．【详解】解：∵一次函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限且与y 轴交于y 轴的正半轴， ∴00k b >>，，∴二次函数22y kx bx =++的图象的开口向上， ∵二次函数的对称轴为直线02bx k =−<，∴二次函数的对称轴在y 轴左侧，∴四个选项中只有C 选项中的函数图象符合题意， 故选C ．【点睛】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，正确求出00k b >>，是解题的关键． 2．（2023春·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校考期末）在同一坐标系中，一次函数1y mx =−+与二次函数，2y x m =+的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据一次函数的1b =和二次函数的1a =即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过y 轴正半轴，从而排除A 和C ，分情况探讨m 的情况，即可求出答案.【详解】解：二次函数为2y x m =+ ， 10a ∴=>，∴二次函数的开口方向向上， ∴排除C 选项.一次函数1y mx =−+，1>0b ∴=，一次函数经过y 轴正半轴， ∴排除A 选项.当0m >时，则0m −<，一次函数经过一、二、四象限，二次函数2y x m =+经过y 轴正半轴，∴ 排除B 选项.当0m <时，则0m −>一次函数经过一、二、三象限，二次函数2y x m =+经过y 轴负半轴， ∴D 选项符合题意.故选：D.【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图像性质，解题的关键在于熟练掌握图像性质中系数大小与图像的关系.3．（2023·全国·九年级假期作业）在同一平面直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222(0)y mx x m =−++≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据函数图象判断两个m 值，函数的图象是否正确即可得到答案．【详解】解：A 、根据函数图象可知：一次函数解析式中0m <，二次函数解析式中0m −<，即0m >，两者符号不相同，故该选项不符合题意；B 、根据函数图象可知：一次函数解析式中0m <，二次函数解析式中0m −>，即0m <，两者符号相同，但根据a m =−，2b =得抛物线的对称轴应在y 轴的左侧，与图象不符，故该选项不符合题意；C 、根据函数图象可知：一次函数解析式中0m >，二次函数解析式中0m −>，即0m <，两者符号不相同，故该选项不符合题意；D 、根据函数图象可知：一次函数解析式中0m <，二次函数解析式中0m −>，即0m <，两者符号相同，根据a m =−，2b =得抛物线的对称轴应在y 轴的左侧，与图象相符，故该选项符合题意； 故选：D ．【点睛】此题考查一次函数与二次函数的图象性质，根据图象判断函数解析式中字母的取值，正确理解函数图象是解题的关键．A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】从二次函数图象的开口方向和对称轴的位置，可以得到a<0，0b >，可知直线y ax b =+经过第一、二、四象限．【详解】解：由二次函数的图象可知，开口向下，对称轴bx 02a =−>，∴a<0，0b >，∴一次函数y ax b =+的图象是经过第一、二、四象限. ∴只有选项C 符号条件， 故选：C ．【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象，解题关键是由二次函数的图象得到,a b 的符号，从而判断直线的位置．【考点二 二次函数与反比例函数图象共存问题】． ． ． ．【答案】D【分析】根据2y ax ax =+可知，二次函数图象与y 轴交点为0y =时，即二次函数图象过原点．再分两种情况即0a ＞，0a ＜时结合二次函数2y ax bx c =++中a ，b 同号对称轴在y 轴左侧，a ，b 异号对称轴在y 轴右侧来判断出二次函数与反比例函数图象所在象限，找到符合题意的即为正确答案．【详解】解：①当0a ＞时，二次函数2y ax ax =+开口向上，过原点，对称轴在y 轴左侧，故二次函数在一、二、三象限，反比例函数在一、三象限；②当0a ＜时，二次函数2y ax ax =+开口向下，过原点，对称轴在y 轴左侧，故二次函数在二、三、四象限，反比例函数在二、四象限， 观察图象可知只有D 符合， 故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象以及反比例函数图象的性质，解题的关键是根据二次函数中a 的取值确定二次函数以及反比例函数的图象． 【变式训练】A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据a 的符号变化判断反比例函数和二次函数所在象限即可得出答案． 【详解】解：当0a >时，2y ax =的图像开口向上，过一、二象限；ay x =的图像位于一、三象限，可知，D正确；当a<0时，2y ax =的图像开口向下，过三、四象限；ay x =的图像位于二、四象限，无此选．故选：D【点睛】本题考查反比例函数和二次函数的图像，理解函数表达式中的系数与函数图像的关系是解题的关键．A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】令0x =，求出两个函数图象在y 轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出0a >，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解． 【详解】解：0x =时，两个函数的函数值y b =，所以，两个函数图象与y 轴相交于同一点，故B 、D 选项错误； 由A 、C 选项可知，抛物线开口方向向上，所以，0a >，所以，一次函数y ax b =+经过第一三象限， 所以，A 选项错误，C 选项正确． 故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y ax b =+在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．A ． ． ． ．【答案】D【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y 轴交点位置判断a ，b ，c 的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴0a >，∵抛物线对称轴在y 轴左侧， ∴0b >， ∴0b −<∵抛物线与y 轴交点在x 轴下方， ∴0c <，∴直线y ax b =−经过第一，三，四象限，反比例函数cy x =图象分布在第二、四象限，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数图象与系数的关系．A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】由二次函数图象分别判断出,,a b c 的符号，然后根据正比例函数与反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：由二次函数图象可得： 开口向下， ∴a<0，对称轴在y 轴右边， ∴02b a −>，∴0b >，图象与y 轴交于正半轴， ∴0c >， ∴0b c +>，∴()y b c x =+图象过一三象限，ay x =图象过二四象限，故选：A ．【点睛】本题考查了函数图象的判断，相关知识点有：一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，熟悉函数的图象与性质是解题关键．A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象开口向上，得出0a >，与y 轴交点在y 轴的负半轴，得出0c <，利用对称轴02b x a −>＝，得出0b <，然后对照四个选项中的图象判定即可．【详解】解：因为二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，得出0a >，与y 轴交点在y 轴的负半轴，得出0c <，利用对称轴02b x a −>＝，得出0b <，所以一次函数y bx c =+经过二、三、四象限，反比例函数ay x =经过一、三象限．A. 一次函数y bx c =+经过一、三、四象限，反比例函数ay x =经过二、四象限，不符合题意； B. 一次函数y bx c =+经过一、二、三象限，反比例函数ay x =经过二、四象限，不符合题意； C. 一次函数y bx c =+经过二、三、四象限，反比例函数ay x =经过一、三象限，符合题意； D. 一次函数y bx c =+经过一、三、四象限，反比例函数ay x =经过一、三象限，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查的是由二次函数的图象判断各项系数的符号，一次函数与反比例函数的图象，熟记一次函数与反比例函数的图象的性质是解本题的关键．右图所示，则二次函数2y ax bx c =++的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据一次函数图象可得0,0a b ><，根据反比例函数可得0c <，据此即可求解． 【详解】解：∵一次函数y x b α=+的图象经过一、三、四象限， ∴0,0a b ><，∵反比例函数cy x =的图象在第二、四象限，∴0c <，∴抛物线的开口向上，对称轴在y y 轴交于负半轴， 故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断，熟练掌握以上函数图象的性质是解题的关键．【考点三 含字母参数的二次函数的图象和性质】例题：（2023·全国·九年级专题练习）已知二次函数2(31)3(0)y ax a x a =−++≠，下列说法正确的是( ) 【答案】C【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．【详解】解：∵2(31)3(0)y ax a x a =−++≠， 当1x =时：(31)322y a a a =−++=−， ∵0a ≠， ∴222a −≠，即：点(1,2)不在该函数的图象上，故A 选项错误； 当1a =时，()224321y x x x =−+=−−，∴抛物线的开口向上，对称轴为2x =， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵13x −≤≤，123222−−>−>−，∴当=1x −时，y 有最大值为()21218−−−=，当2x =时，y 有最小值为1−， ∴18y −≤≤，故B 选项错误； ∵[]()222(31)43961310a a a a a ∆=−+−⨯=−+=−≥，∴该函数的图象与x 轴一定有交点，故选项C 正确；当0a >时，抛物线的对称轴为：313132222a x a a +==+>， ∴该函数图象的对称轴一定在直线32x =的右侧，故选项D 错误； 故选C ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 【变式训练】A ．①②B ．②③C ．②D ．③④【答案】B【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐一分析即可．【详解】解：∵抛物线对称轴为21==022b a a a −−−>，1=02c >，∴二次函数图象必经过第一、二象限，又∵2=4=42b ac a ∆−−，∵0a >， ∴424a −<，当420a −<时，抛物线与x 轴无交点，二次函数图象只经过第一、二象限，当0424a <−<时，抛物线与x 轴有两个交点，二次函数图象经过第一、二、四象限， 故①错误；②正确；∵抛物线对称轴为21==022b a a a −−−>，0a >，∴抛物线开口向上， ∴当1x a <时，y 随x 的增大而减小，故③正确； ∴当1x a >时，y 随x 的增大而增大，故④错误，故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与各项系数符号之间的关系是解题的关键．2．（2023·江苏南京·校考三模）已知整式22M a a =−，下列关于整式M 的值的结论： ①M 的值可能为4；②当1a >时，M 的值随a 的增大而增大； ③当a 为小于0的实数时，M 的值大于0； ④不存在这样的实数a ，使得M 的值小于1−． 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①③ B ．①②④ C ．②③④ D ．①②③④【答案】D【分析】根据一元二次方程的知识，二次函数的图象和性质，依次判断，即可． 【详解】①当4M =，∴224M a a =−=，解得：11a =21a = ∴M 的值可能为4， ∴①正确；②设函数的解析式为：22M a a =−，如图1∴对称轴为：12b x a =−=，函数图象的开口向上，∴当1a >，函数M 随a 的增大而增大， ∴②正确；③同理，当1x <，函数M 随a 的增大而减小，∴当a<0时，函数M 在y 轴是上方，即0M >， ∴③正确；④设函数的解析式为：22M a a =−，如图1∴当1a =时，函数M 有最小值，最小值为：1− ∴无论a 取任何数，1M ≥− ∴④正确；综上所述：正确的为：①②③④ 故选：D ．【点睛】本题考查一元二次方程，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握解一元二次方程，二次函数图象和性质，实数的性质．3．（2023·湖北武汉·统考一模）已知函数()222(y kx k x k =−++为实数)，下列四个结论：①当0k =时，图象与坐标轴所夹的锐角为45︒； ②若0k <，则当1x >时，y 随着x 的增大而减小；③不论k 为何值，若将函数图象向左平移1个单位长度，则图象经过原点； ④当2k <−时，抛物线顶点在第一象限．其中正确的结论是 （填写序号） 【答案】②③④【分析】由一次函数22y x =−+即可判断①；根据二次函数的性质即可判断②；得到平移后的解析式即可判断③；求得顶点坐标即可判断④．【详解】解：①当0k =时，函数为一次函数22y x =−+，由于系数为2−，所以图象与坐标轴所夹的锐角不为45︒，故①错误；②若0k <，抛物线的对称轴为直线()2111222k x kk −+=−=+<，则当1x >时，y 随着x 的增大而减小，故②正确；③当函数图象向左平移1解析式为()()2(1)212y k x k x =+−+++，则其图象过原点，故③正确；④当2k <−时，对称轴直线()211022k x kk −+=−=+>，顶点纵坐标为228(2)(2)044k k k k k −+−=−>，故抛物线顶点在第一象限，故④正确； 故答案为：②③④．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数2(,,y ax bx c a b c =++是常数，0)a ≠与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．4．（2023春·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期末）对于二次函数()25144y ax a x a =−+++．有下列说法：①若1a <−，则二次函数的图象与y 轴的负半轴相交； ②若0a >，当12x ≤≤时，y 有最大值3；③若a 为整数，且二次函数的图象与x 轴的两个公共点都为整数点，则a 的值只能等于1； ④若0a <，且()()()1232,,3,,4,A y B y C y 为该函数图象上的三点，则123y y y >>． 其中正确的是 ．（只需填写序号） 【答案】①②④【分析】求出44a +的取值即可判断①；由对称轴方程可判断出当1x =时，函数在12x ≤≤时，y 有最大值3，故可判断②；根据二次函数的图象与x 轴的两个公共点都为整数点可知对称轴也是整数，可求出a ，进而判断③；分别求出A ，B ，C 三点对应的函数值，再进行比较即可判断④． 【详解】解：①对于()25144y ax a x a =−+++，令0x =，得44y a =+，由1a <−可得440y a =+<，即二次函数的图象与y 轴的负半轴相交，故①正确；②二次函数()25144y ax a x a =−+++对称轴方程为直线()512a x a−+=−512a a +=412a a a ++=122a a +=+， ∵0a >， ∴2,x >又抛物线的开口向上， ∴二次函数()25144y ax a x a =−+++的图象在12x ≤≤内，当1x =时，y 有最大值，最大值为：3；故②正确； ③∵二次函数()25144y ax a x a =−+++的图象与x 轴有两个交点，∴()()251444a a a ∆=−+−+⎡⎤⎣⎦22251011616a a a a =++−−2961a a =−+()231a =−， ∵a 为整数， ∴()2310a =−>V ，即a 为任意整数；又二次函数的图象与x 轴的两个公共点都为整数点， ∴对称轴122a x a +=+必为整数，此时a 的值不只能等于1，也可以是1−，故③错误；④∵()()()1232,,3,,4,A y B y C y 为函数()25144y ax a x a =−+++图象上的三点，∴当2x =时，22y a =−+； 当3x =时，21y a =−+；当4x =时，0y =； ∵a<0，∴22210a a −+>−+>，即123y y y >>．故④正确， 所以，正确的结论是①②④， 故答案为：①②④．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，利用数形结合，从开口方向、对称轴、与x 轴（y 轴）的交点进行判断是解题的关键．【考点四 二次函数的图象和性质与系数a ,b ,c 的问题】A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断y 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①函数的对称轴在y 轴右侧，则0ab <，抛物线与y 轴交于负半轴，则0c <，则0abc >，故①正确；②函数的对称轴为1x =，函数和x 轴的一个交点是()3,0，则另外一个交点为()1,0−，当=1x −时，0y a b c =−+=，故②错误；③函数的对称轴为12bx a =−=，即12a b =−，故③错误； ④由②③得，2b a =−，0a b c −+=，故30a c +=，而抛物线开口向上，则0a >，即50a >，故80a c +>，故选：B ．【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换是解题的关键． 【变式训练】1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）如图，二次函数()2<0y ax bx c a =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴为直线1x =，结合图象给出下列结论：①0abc >；②240ac b −<；③30a c +<；④方程221ax bx c k ++=−−的两根和为1；⑤若()1212,x x x x <是方程20ax bx c ++=的两根，则方程()()1230a x x x x −−+=的两根(),m n m n <满足()()120a m x n x −−>；其中正确结论有（ ）【答案】B【分析】综合二次函数图象与各项系数之间的关系，以及二次函数与方程之间的联系进行逐项分析． 【详解】解：由题意，a<0，对称轴为直线12b x a =−=，∴2b a =−，0b >，抛物线与y 轴相交于正半轴，则0c >， ∴<0abc ，故①错误；∵抛物线与x 轴有两个不同的交点，∴240b ac −>，即：240ac b −<，故②正确；∵由图象可得，当=1x −时，函数值0y <， ∴<0a b c −+，∴30a c +<，故③正确；对于方程221ax bx c k ++=−−，整理得：2210ax bx c k ++++=，∴其两根之和12b x x a +=−，∵2b a =−， ∴122x x +=∴方程221ax bx c k ++=−−的两根和为2，故④错误；∵()1212,x x x x <是方程20ax bx c ++=的两根，∴函数2y ax bx c =++图象与x 轴的两个交点的横坐标为()1212,x x x x <， ∵方程()()1230a x x x x −−+=的两根(),m n m n <，∴抛物线2y ax bx c =++与直线3y =−的交点横坐标为(),m n m n <，∵抛物线开口向下， ∴1m x <，2n x >，∴10m x −<，20n x −>，∵a<0， ∴()()120a m x n x −−>，故⑤正确；∴正确的有②③⑤， 故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的联系，掌握函数的基本性质，理解并熟练运用函数与方程之间的关系是解题关键．2．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠图像的一部分与x 轴的一个交点坐标为()3,0，对称轴为直线1x =，结合图像给出下列结论：①0abc >；②2b a =；③30a c +=；④关于x 的一元二次方程220(0)ax bx c k a +++=≠有两个不相等的实数根；⑤若点()1,m y ，()22,y m −+均在该二次函数图像上，则12y y =．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】根据抛物线的对称轴、开口方向、与y 轴的交点确定a 、b 、c 的正负，即可判定①和②；将点()3,0代入抛物线解析式并结合2b a =−即可判定③；运用根的判别式并结合a 、c 的正负，判定判别式是否大于零即可判定④；判定点()1,m y ，()22,y m −+的对称轴为1x =，然后根据抛物线的对称性即可判定⑤．【详解】解：抛物线开口向上，与y 轴交于负半轴， ∴00a c ><，，∵抛物线的对称轴为直线1x =， ∴12ba −=，即20b a =−<，即②错误； ∴0abc >，即①正确， 二次函数()20y ax bx c a =++≠图像的一部分与x 轴的一个交点坐标为()3,0930a b c ∴++=()9320a a c ∴+−+=，即30a c +=，故③正确；∵关于x 的一元二次方程220(0)ax bx c k a +++=≠，()2222444b a c k b ac ak ∆=−+=−−，00a c ><，，∴40ac −>，240ak −≤，∴无法判断2244b ac ak −−的正负，即无法确定关于x 的一元二次方程220(0)ax bx c k a +++=≠的根的情况，故④错误；∵()212m m +−+=∴点()1,m y ，()22,y m −+关于直线1x =对称 ∵点()1,m y ，()22,y m −+均在该二次函数图像上，∴12y y =，即⑤正确；综上，正确的为①③⑤，共3个 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的()20y ax bx c a =++≠的性质及图像与系数的关系，能够从图像中准确的获取信息是解题的关键．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据二次函数的图象和性质一一判断即可． 【详解】∵抛物线对称轴1x =−，经过点()10，，∴12ba −=−，0a b c ++=， ∴23b a c a ==−，， ∵a<0，∴00b c <>，，∴0ab >且0c >，故①错误，∵抛物线对称轴-1x =，经过()10，， ∴()3,0−和()10，关于对称轴对称，∴2x =-时，0y >，∴420a b c −+>，故②正确，∵抛物线与x 轴交于()3,0−，∴4x =-时，0y <，∴1640a b c −+<，∵2b a =，∴1680a a c −+<，即80a c +<，故③错误，∵336c a a a =−=−，2b a =，∴33c a b =−，故④正确，∵直线22y x =+与抛物线2y ax bx c =++两个交点的横坐标分别为12x x ，， ∴方程()2220ax b x c +−+−=的两个根分别为12x x ，， ∴122b x x a −+=−，122=c x x a −⋅ ， ∴1212x x x x ++=2222325b c a a a a a a −−−−−−+=−+=−，故⑤正确，正确的个数为3个． 故选：C ．【点睛】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【考点五 二次函数的图象与几何动点问题】例题：（2023·河南周口·河南省淮阳中学校考三模）如图，在Rt ABC △中，908A AC AB ∠=︒==，．动点D从点A 出发，沿线段AB 以1单位长度/秒的速度运动，当点D 与点B 重合时，整个运动停止．以AD 为一边向上作正方形ADEF ，若设运动时间为x 秒()08x <≤，正方形ADEF 与ABC 重合部分的面积为y ，则下列能大致反映y 与x 的函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据题目所给条件，分当04x ≤≤时和当48x <≤时，建立函数关系式，利用二次函数的性质，即可得到答案．【详解】解；当04x ≤≤时，正方形ADEF 与ABC 重合部分的面积为正方形ADEF 的面积，∴2y x =，∴当48x <≤时，设DE 与BC 相交于M ，EF 与BC 相交于N ，，此时正方形ADEF 与ABC 重合部分的面积为正方形ADEF 的面积减去三角形EMN 的面积，∵ABC 是等腰直角三角形，8AB AC ==，∴8DM DB FN FC x ====−，∴()828EM EN x x x ==−−=−，∴()222221282163216322MNE ADEF y S S x x x x x x x =−=−−=−+−=−+−正方形△，∵10−<，∴二次函数的图象为开口向下的抛物线，故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数的解析式与图象的关系，正确列出函数关系式和判断二次函数的开口方向是解题的关键．【变式训练】 1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在正方形ABCD 中，4AB =，动点M ，N 分别从点A ，B 同时出发，沿射线AB ，射线BC 的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接DM ，MN ，ND ．设点M 运动的路程为()04x x ≤≤，DMN 的面积为S ，下列图像中能反映S 与x 之间函数关系的是（ ）． ． ． ． 【答案】A【分析】先根据ADM DCN BMN ABCD S S S S S =−−−V V V 正方形，求出S 与x 之间函数关系式，再判断即可得出结论． 【详解】解：ADM DCN BMN ABCD S S S S S =−−−V V V 正方形，1114444(4)(4)222x x x x =⨯−⨯−⨯−−−，21282x x =−+， 21(2)62x =−+，故S 与x 之间函数关系为二次函数，图像开口向上，2x =时，函数有最小值6，故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的图像与性质，本题的关键是求出S 与x 之间函数关系式，再判断S 与x 之间函数类型． 2．（2023·安徽合肥·校考三模）如图，正方形ABCD 中，4cm AB =，动点,P Q 分别从,A D 同时出发，点P 以每秒2cm 的速度沿A B C →→运动，点Q 以每秒1cm 的速度沿→D C 运动，P 点到达点C 时运动停止．设P 点运动x （秒）时，APQ △的面积()2cm y ，则y 关于x 的函数图象大致为：（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】分两种情况：当点P 在AB 上，即02x ≤≤时，此时APQ y S =，利用三角形面积公式得到y 关于x 的函数关系；当点P 在BC 上，即24x <≤时，此时APQ ABP CPQ ADQABCD S S S S S =−−−△△△△正方形，利用正方形和三角形面积公式得到y 关于x 的函数关系．进而可得y 关于x 的分段函数，根据函数解析式即可判断函数图象．【详解】解：当点P 在AB 上，即02x ≤≤时，如图，此时，2AP x =cm ，211244(cm )22APQ y S AP BC x x ∴==⋅=⋅⋅=△；当点P 在BC 上，即24x <≤时，如图，此时，(24)cm BP x =−，DQ x =cm ，(82)cm CP x ∴=−，(4)cm CQ x =−，2111222APQ ABP CPQ ADQ ABCD S S S S S AB AB BP CP CQ AD DQ =−−−=−⋅−⋅−⋅△△△△正方形，22211144(24)(82)(4)428(cm )222y x x x x x x ∴=−⨯⋅−−−−−⨯⋅=−++；．综上，24(02)28(24)x x y x x x ≤≤⎧=⎨−++<≤⎩． 故选：B ．【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，学会利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解题关键． ，APQ 的面积为 ． ．C ． ． 【答案】D【分析】先找出运动轨迹几何运动的转折点，据此可分三段进行求解：①当点P 在AD 上运动，点Q 在AB 上运动，即04t ≤≤时；②当点P 在AD 上运动，点Q 在BC 上运动，即48t <≤时；③当点P 在CD 上运动，点Q 在BC 上运动，即812t <≤时．再根据三角形的面积公式分段求出y 关于t 的函数关系式，最后根据关系判断函数图像即可．【详解】解：①当点P 在AD 上运动，点Q 在AB 上运动，即04t ≤≤时，此时cm cm AP t AQ t ==，， ∴()22111cm 222APQ S AP AQ t t t =⋅=⋅=； ②如图：当点P 在AD 上运动，点Q 在BC 上运动，即48t <≤时，cm AP t =，∴()21142cm 22APQ S AP AB t t =⋅=⋅=； ③如图：当点P 在CD 上运动，点Q 在BC 上运动，即812t <≤时，∴()()()()8cm 4cm 12cm 12cm DP t BQ t CQ t CP t =−=−=−=−，，，， ∴APQ ABQ CPQ ADP ABCD S S S S S =−−−矩形1122AB AD CQ CP AD DP =⋅−⋅−⋅,()()()()1114844121288222t t t t =⨯−−⋅−−⋅−−⋅⋅− ＝2162t t ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭2cm ； 综上，()()221422(48)168122t x t y t t t t t ⎧<<⎪⎪=<<⎨⎪⎪−+<≤⎩．故选：D ．【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图像，理解题意、分段求出函数解析式是解题关键．。
中考数学倒计时30：二次函数压轴的十几种问题方法思路总结
中考数学倒计时30：二次函数压轴的十几种问题方法思路总结二次函数压轴题当中，同学们会遇到各种各样的解答问题，那么最常见的那些，今天就带同学们一块总结一下，方便大家记忆解题方法。
我们只说一下方法，过程就不再详细说了，在以前的题目中都有过程。
1.首先是最简单的一种问题，给定两个固定点，然后在对称轴或者抛物线上找一点，使得该点和两个固定点组成的两个线段之和最小，即线段和最小值问题，遇到该种问题，一般直接找某个固定点关于某直线的对称点，然后寻找三点共线时的动点；2.线段和基础上延续而来的三角形或四边形周长最小值问题，同样会出现固定的点，那么就会有固定的边长，所以只需要找到另外的边长之和最小，同样使用找对称点的方法；3.垂直于x轴的一条直线，被抛物线和直线截取的两端线段之间的关系，如最大差值，或者相等、2倍关系。
最大差值问题需要找到该垂线与抛物线和直线的两个交点的纵坐标，利用纵坐标表示的线段来进行线段差的计算，将会得到另一种二次函数，那么进行配方变顶点式，得到差值的最大值；而线段倍数关系则相对更简单，只需要表示出两线段的长度，利用倍数关系建立方程即可；（注意纵坐标的正负未知，所以表示出的线段加上绝对值符号，如此就能避免遗漏一些情况）4.动点和两固定点组成的三角形面积最大值问题，该问题一般会在一段局限的图像上找一点，和其他两个固定点组成三角形，求三角形面积最大，只需要对固定点所在的直线进行平移，使平移后的直线与抛物线只要一个交点，利用判别式=0求出平移距离，从而解出交点坐标；如果要求三角形面积，一般利用面积分割法进行计算，如果有一边在轴上就会更简单；5.四边形面积最大值问题：和三角形面积类似，一般会有三个已定的点，那么就有一个固定的三角形，所以只需要动点和其中相邻的两个定点组成的三角形面积最大即可，同样使用直线平移法求出点的坐标即可；而面积同样利用面积分割法求取；6.直角三角形的存在性：一个动点和两个定点的情况，可以直接利用勾股定理求出动点的坐标；如果是两个动点，一个定点，则可利用直线垂直法，注意利用三角函数去推；同时还要注意情况讨论，三个角可能有不同情况的直角；7.等腰三角形的存在性：和直角三角形类似，包含情况讨论，如果是两个定点和一个动点，那么利用线段长相等解得动点坐标即可；如果是两个动点和一个定点，利用底边中线和底边垂直的性质，使用直线垂直法解得；8.平行四边形存在性：平行四边形对边相等，这本就是一个有利条件，所以一般利用平行且相等的两个线段来寻找；如果是菱形，只需要在平行四边形基础上加上临边相等或者对角线垂直来求解；9.正方形的存在性：一般来说正方形就比较特殊了，所以相对的有利条件也比较多，所以求解会更容易些；10.整数坐标点的存在性：该问题并不是很常见，一般在较难的压轴题中才会出现，在一个范围内寻找符合条件的动点，但前提是坐标需要是整数，所以需要找到横纵坐标的范围，在范围内去求解；11.由动点形成的整数面积问题：例如一个动点和两个定点组成的三角形面积，要求面积为整数，需要先利用平移法找到最大面积的值，然后在范围内寻找面积取整时的动点位置或者个数有多少，需要注意的是只有最大面积时的动点是一个，若无限定条件，其他整数面积时的动点则会同时出现两个，所以同学们不要忽略了；12.全等、相似三角形问题：二次函数中的全等、相似问题有时候简单有时候较难，所以要看运气如何，如果给定了对应点则还好点，如果题中只是说让两个三角形全等或相似，并未给出△∽/≌△这种形式，那么就要考虑多种情况存在了，尤其是在相似问题中，情况讨论较多，所以寻找角是很重要的，但一般又不会出现度数，所以这个时候同学们千万不要忘记三角函数；13.特殊点的存在性：类似什么共谐点、好点，遇到这类问题，一般会直接让写出答案，所以同学们在草纸上可以利用各种技巧性方法进行计算，类似一些高中的可用知识“直线垂直”“点到直线的距离”“两直线的夹角”等，没事可以先看看这些知识点的用法，反正上了高中都要学，所以不如先提前看一下，在遇到直接写答案的题目时如果用上了绝对是优势；14.至于其他的，老师一下子也想不起来，常见的就是上面这十几个种类，如果大家需要分享其他类型可以在留言中给出，方便其他人能够看到。
2024年中考数学复习(全国版)压轴题01 二次函数图象性质与几何问题(解析版)
压轴题解题模板01二次函数图象性质与几何问题目录题型一二次函数与最值问题：题型二二次函数与图形面积问题题型三二次函数与图形判定问题类型1：与特殊三角形相关类型2：与特殊四边形相关二次函数图象性质与几何问题在中考中常常作为压轴题出现，多考查二次函数与几何图形的综合，一般要用到线段最值、图形面积、特殊三角形、特殊四边形、相似三角形等相关知识，以及转化与化归、数形结合、分类讨论等数学思想.此类题型常涉及以下问题：①求抛物线、直线的解析式；②求点的坐标、线段长度、图形面积；③探究几何图形的存在性问题或周长、面积的最值问题.下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的考查热度.题型一二次函数与最值问题解题模板：【例1】（2023•枣庄节选）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的表达式；（2）利用待定系数法可得直线AM的解析式为y＝2x+2，进而可得D（0，2），作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣2），连接D′M，D′H，MH+DH＝MH+D′H≥D′M，即MH+DH的最小值为D′M，利用两点间距离公式即可求得答案；【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，∴，解得：，∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点M（1，4），设直线AM的解析式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线AM的解析式为y＝2x+2，当x＝0时，y＝2，∴D（0，2），作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣2），连接D′M，D′H，如图，则DH＝D′H，∴MH+DH＝MH+D′H≥D′M，即MH+DH的最小值为D′M，∵D′M＝＝，∴MH+DH的最小值为；【点评】本题属于二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特征，运用分类讨论思想是解题的关键．【变式1-1】（2023•内蒙古节选）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的交点分别为A 和B（1，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），点P是直线AC上方抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，过点P做x轴平行线交AC于点E，过点P做y轴平行线交x轴于点D，求PE+PD的最大值及点P的坐标；（2）先求直线AC的解析式，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则D（t，0），E（﹣t2﹣2t，﹣t2﹣2t+3），可得PD+PE＝﹣2（t+）2+，当t＝﹣时，PD+PE取最大值，此时P（﹣，）；【解答】解：（1）把B（1，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）在y＝﹣x2﹣2x+3中，令y＝0得0＝﹣x2﹣2x+3，解得x＝﹣3或x＝1，∴A（﹣3，0），由A（﹣3，0），C（0，3）得直线AC解析式为y＝x+3，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则D（t，0），E（﹣t2﹣2t，﹣t2﹣2t+3），∴PD+PE＝﹣t2﹣2t+3+（﹣t2﹣2t）﹣t＝﹣2t2﹣5t+3＝﹣2（t+）2+，∵﹣2＜0，∴当t＝﹣时，PD+PE取最大值，此时P（﹣，）；【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的性质是解题的关键．【变式1-2】（2023•眉山）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的表达式；（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P 的坐标及的最大值；【分析】（1）运用待定系数法，将点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，即可求得抛物线的解析式；（2）运用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝x+3，过点P作PE∥x轴交直线AC于点E，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则E（﹣t2﹣2t，﹣t2﹣2t+3），可得PE＝﹣t2﹣2t﹣t＝﹣t2﹣3t，由PE∥x轴，得△EPD∽△ABD，进而得出＝＝＝﹣（t+）2+，再运用二次函数的性质即可求得答案；【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C （0，3），∴，解得：，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）设直线AC的解析式为y＝kx+n，则，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+3，过点P作PE∥x轴交直线AC于点E，如图，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则E（﹣t2﹣2t，﹣t2﹣2t+3），∴PE＝﹣t2﹣2t﹣t＝﹣t2﹣3t，∵A（﹣3，0），B（1，0），∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，∵PE∥x轴，∴△EPD∽△ABD，∴＝，∴＝＝﹣（t+）2+，∵﹣＜0，∴当t＝﹣时，的值最大，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）；【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，点坐标转换为线段长度，几何图形与二次函数结合的问题，相似三角形的判定和性质，翻折变换的性质等，最后一问推出PM＝CM为解题关键．【变式1-3】（2023•西宁）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，﹣6），抛物线经过点A，B，且对称轴是直线x＝1．（1）求直线l的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交直线1于点D，过点P 作PM⊥l，垂足为M．求PM的最大值及此时P点的坐标．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）根据抛物线的对称轴是直线x＝1，可设y＝a（x﹣1）2+k，利用待定系数法即可求得答案；（3）由∠PCA＝90°，∠OAB＝45°，可得∠PDM＝∠ADC＝45°，利用解直角三角形可得PM＝PD，设点P（t，t2﹣t﹣6），则D（t，t﹣6），可得PD＝t﹣6﹣（t2﹣t﹣6）＝﹣t2+t＝﹣（t﹣3）2+，利用二次函数的性质即可求得答案．【解答】解：（1）设直线l的解析式为y＝mx+n（m≠0），∵直线l与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，﹣6），∴，解得：，∴直线l的解析式为y＝x﹣6；（2）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），∵抛物线的对称轴是直线x＝1，∴y＝a（x﹣1）2+k，∵抛物线经过点A，B，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣；（3）∵A（6，0），B（0，﹣6），∴OA＝OB＝6，在△AOB中，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∵PC⊥x轴，PM⊥l，∴∠PCA＝∠PND＝90°，在Rt△ADC中，∵∠PCA＝90°，∠OAB＝45°，∴∠ADC＝45°，∴∠PDM＝∠ADC＝45°，在Rt△PMD中，∠PMD＝90°，∠PDM＝45°，∴sin45°＝，∴PM＝PD，∵y＝（x﹣1）2﹣＝x2﹣x﹣6，∴设点P（t，t2﹣t﹣6），∴D（t，t﹣6），∴PD＝t﹣6﹣（t2﹣t﹣6）＝﹣t2+t＝﹣（t﹣3）2+，∵﹣＜0，∴当t＝3时，PD有最大值是，此时PM最大，PM＝PD＝×＝，当t＝3时，t2﹣t﹣6＝×9﹣×3﹣6＝﹣，∴P（3，﹣），∴PM的最大值是，此时点P（3，﹣）．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，解直角三角形等，本题难度适中，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象和性质是解题关键．题型二二次函数与图形面积问题解题模板：技巧精讲：表示图形面积的方法【例2】（2023•娄底）如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0），交y轴于点C．（1）求b，c的值．（2）点P（x0，y0）（0＜x0＜5）是抛物线上的动点．当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC 面积的最大值；【分析】（1）由抛物线过点A，B，可直接得出抛物线的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5），展开即可得出结论；（2）过点P作PD⊥x轴，交线段BC于点D，则SPBC＝OB•PD，根据二次函数的性质可得结论；△（2）由题意可知PF⊥PE，若△PEF是等腰直角三角形，则PE＝PF，分别表达PE及PF，可求出x0的值，进而求出点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0），∴抛物线的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5）＝x2﹣4x﹣5，∴b＝﹣4，c＝﹣5；（2）由（1）得，抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x﹣5，令x＝0，则y＝﹣5；∴C（0，﹣5）∴直线BC的表达式为：y＝x﹣5，P（x0，﹣4x0﹣5），如图，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点D，则D（x0，x0﹣5），∴SPBC＝OB•PD＝×5×（x0﹣5﹣+4x0+5）△＝﹣+x0＝﹣（x0﹣2.5）2+，∴当x0＝2.5时，S的值取最大，最大值为；【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形的性质、图形的面积计算等，本题难度不大．【变式2-1】（2023•怀化）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；（2）点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC，连接PA、PC，求△PAC面积的最大值及此时点P 的坐标；【分析】（1）运用待定系数法，将A（﹣4，0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx﹣8，即可求得抛物线的函数表达式，再利用配方法或顶点坐标公式即可求得抛物线的顶点坐标；（2）运用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8，设P（t，t2+2t﹣8），过点P作PF∥y轴，交AC于点F，则F（t，﹣2t﹣8），进而可得SPAC＝S△PAF+S△PCF＝2（﹣t2﹣4t）＝﹣2（t+2）2+8，运△用二次函数的性质即可求得答案；【解答】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣8，∵y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣9）；（2）解：∵抛物线y＝x2+2x﹣8与y轴交于点C，∴C（0，﹣8），设直线AC的解析式为y＝mx+n，则，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8，设P（t，t2+2t﹣8），过点P作PF∥y轴，交AC于点F，如图，则F（t，﹣2t﹣8），∴PF＝﹣2t﹣8﹣（t2+2t﹣8）＝﹣t2﹣4t，∴SPAC＝S△PAF+S△PCF＝PF•（t+4）+PF•（﹣t）＝2PF＝2（﹣t2﹣4t）＝﹣2（t+2）2+8，△∵﹣2＜0，∴当t＝﹣2时，SPAC的最大值为8，此时点P（﹣2，﹣8）；△【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一元二次方程根与系数关系，圆的性质，圆周角定理等，解题关键是证得O′E＝MN，得出以MN为直径的⊙O′一定经过点E．【变式2-2】（2023•安徽）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（3，3），对称轴为直线x＝2．（1）求a，b的值；（2）已知点B，C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t+1．过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E．（i）当0＜t＜2时，求△OBD与△ACE的面积之和；（ii）在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B，C，D，E为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）由题意得B（t，﹣t2+4t），C（t+1，﹣t2+2t+3），利用待定系数法可得OA的解析式为y＝x，则D（t，t），E（t+1，t+1），（i）设BD与x轴交于点M，过点A作AN⊥CE，则M（t，0），N（t+1，3），利用SOBD+S△ACE＝BD△•OM+AN•CE即可求得答案；（ii）分两种情况：①当2＜t＜3时，②当t＞3时，分别画出图象，利用SDCEB＝（BD+CE）•DH，四边形建立方程求解即可得出答案．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（3，3），对称轴为直线x＝2，∴，解得：；（2）由（1）得：y＝﹣x2+4x，∴当x＝t时，y＝﹣t2+4t，当x＝t+1时，y＝﹣（t+1）2+4（t+1），即y＝﹣t2+2t+3，∴B（t，﹣t2+4t），C（t+1，﹣t2+2t+3），设OA的解析式为y＝kx，将A（3，3）代入，得：3＝3k，∴k＝1，∴OA的解析式为y＝x，∴D（t，t），E（t+1，t+1），（i）设BD与x轴交于点M，过点A作AN⊥CE，如图，则M（t，0），N（t+1，3），∴SOBD+S△ACE＝BD•OM+AN•CE＝（﹣t2+4t﹣t）•t+（﹣t2+2t+3﹣t﹣1）•（3﹣t﹣1）＝（﹣△t3+3t2）+（t3﹣3t2+4）＝﹣t3+t2+t3﹣t2+2＝2；（ii）①当2＜t＜3时，过点D作DH⊥CE于H，如图，则H（t+1，t），BD＝﹣t2+4t﹣t＝﹣t2+3t，CE＝t+1﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣t﹣2，DH＝t+1﹣t＝1，∴SDCEB＝（BD+CE）•DH，四边形即＝（﹣t2+3t+t2﹣t﹣2）×1，解得：t＝；②当t＞3时，如图，过点D作DH⊥CE于H，则BD＝t﹣（﹣t2+4t）＝t2﹣3t，CE＝t2﹣t﹣2，∴SDBCE＝（BD+CE）•DH，四边形即＝（t2﹣3t+t2﹣t﹣2）×1，解得：t 1＝+1（舍去），t 2＝﹣+1（舍去）；综上所述，t 的值为．(1)求这个二次函数的表达式．(2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线:AC y 点，求MCD △面积的最大值．【答案】(1)223y x x ；(2)98MCD S 最大△；于Q，作作MQ AC∠∵，AOC OA OC3，CAO ACO45MEQ AEF90抛物线的对称轴是直线：3132y x(1)求这个二次函数的表达式；(2)在二次函数图象上是否存在点P ，使得PAC S △【答案】(1)243y x x (2) 2,1P 或317717,22P 或3172P解得：43b c ∴抛物线解析式为243y x x ；（2）∵243y x x 221x ，顶点坐标为 2,1，当0y 时，2430x x 解得：121,3x x ∴ 3,0A ，则3OA ∵ 0,3C ，则3OC ∴AOC 是等腰直角三角形，∵PAC ABCS S △△∴P 到AC 的距离等于B 到AC 的距离，∵ 3,0A ， 0,3C ，设直线AC 的解析式为3y kx ∴330k 解得：1k ∴直线AC 的解析式为3y x ，如图所示，过点B 作AC 的平行线，交抛物线于点P ，设BP 的解析式为y x d ，将点 10B ,代入得，10d【点睛】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，角度问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．题型三二次函数与图形判定问题类型一与特殊三角形相关解题模板：技巧精讲：1：动点构成特殊三角形的作图方法2.动点构成特殊三角形的分类讨论方法（情景同上）【例3】（2023•随州节选）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C（0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；【分析】（1）由题得抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣2），将点C坐标代入求a，进而得到抛物线的解析式；设直线BC的解析式为y＝kx+t，将B、C两点坐标代入求解即可得到直线BC的解析式．（2）由题可得M坐标，分别求出OC，OM，CM，对等腰三角形OCM中相等的边界线分类讨论，进而列方程求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0），∴抛物线的表达式为y＝a（x+1）（x﹣2），将点C（0，2）代入得，2＝﹣2a，∴a＝﹣1，∴抛物线的表达式为y＝﹣（x+1）（x﹣2），即y＝﹣x2+x+2．设直线BC的表达式为y＝kx+t，将B（2，0），C（0，2）代入得，，解得，∴直线BC的表达式为y＝﹣x+2．（2）∵点M在直线BC上，且P（m，n），∴点M的坐标为（m，﹣m+2），∴OC＝2∴CM2＝（m﹣0）2+（﹣m+2﹣2）2＝2m2，OM2＝m2+（﹣m+2）2＝2m2﹣4m+4，当△OCM为等腰三角形时，①若CM＝OM，则CM2＝OM2，即2m2＝2m2﹣4m+4，解得m＝1；②若CM＝OC，则CM2＝OC2，即2m2＝4，解得或m＝﹣（舍去）；③若OM＝OC，则OM2＝OC2，即2m2﹣4m+4＝4，解得m＝2或m＝0（舍去）．综上，m＝1或m＝或m＝2．【点评】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等相关知识．【变式3-1】（2023•恩施州节选）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c 与y轴交于点A，抛物线的对称轴与x轴交于点B．（1）如图，若A（0，），抛物线的对称轴为x＝3．求抛物线的解析式，并直接写出y≥时x的取值范围；（2）在（1）的条件下，若P为y轴上的点，C为x轴上方抛物线上的点，当△PBC为等边三角形时，求点P，C的坐标；【分析】（1）把A点的坐标代入抛物线的解析式，可得c，由对称轴是，可求得b；当y＝时，结合图象求得x的范围；（2）连接AB，在对称轴上截取BD＝AB，分两种情况进行讨论，根据题意可得A、B、C、P四点共圆，先证A、D、C在同一直线上，根据等边三角形的性质，两点之间的距离公式，坐标系中的交点坐标特征等即可求解．（3））由抛物线过点D（m，2），E（n，2）可设设抛物线解析式为y＝，于是再将点F（1，﹣1）的坐标代入解析式中可得（m﹣1）（n﹣1）＝6，再利用m＜n，m，n为正整数求解即可．【解答】解：（1）∵A，抛物线的对称轴为x＝3．∴c＝，，解得：b＝3，∴抛物线解析式为y＝，当y＝时，＝，解得：x1＝0，x2＝6，∴x的取值范围是：0≤x≤6；（2）连接AB，在对称轴上截取BD＝AB，由已知可得：OA＝，OB＝3，在Rt△AOB中，tan∠OAB＝＝，∴∠OAB＝60°，∴∠PAB＝180°﹣∠OAB＝120°，∵△BCP是等边三角形，∴∠BCP＝60°，∴∠PAB+∠BCP＝180°，∴A、B、C、P四点共圆，∴∠BAC＝∠BPC＝60°，∵BD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∴∠BAD＝60°，∴点D在AC上，BD＝AB＝，∴D（3，），设AD的解析式为y＝kx+b，则有：，解得：，∴AC的解析式为：y＝，由＝，得：x1＝0，x2＝，当x＝时，y＝，∴C（，），设P（0，y），则有：，解得：y＝，∴P（0，）；当C与A重合时，∵∠OAB＝60°，∴点P与点A关于x轴对称，符合题意，此时，P（0，），C（0，）；∴C（，），P（0，）或P（0，），C（0，）；【点评】本题考查了二次函数的性质，根据特三角函数求角度，圆内接四边形对角互补，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【变式3-2】（2023•益阳）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝a（x+2）（a＞0）与x轴交于点A，与抛物线E：y＝ax2交于B，C两点（B在C的左边）．（1）求A点的坐标；（2）如图1，若B点关于x轴的对称点为B′点，当以点A，B′，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a的值；【分析】（1）解方程a（x+2）＝0；（2）表示出点A，B′，C的坐标，利用勾股定理解方程求解，注意直角顶点不确定，需分类讨论；（3）直线l与抛物线E所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在y轴和直线x＝1上，各为13个，分别求出a的范围．【解答】解：（1）令y＝a（x+2）＝0，得x＝﹣2，A点的坐标为（﹣2，0）；（2）联立直线l：y＝a（x+2）与抛物线E：y＝ax2得：，∴x2﹣x﹣2＝0，∴x＝﹣1或x＝2，∴B（﹣1，a），C（2，4a），∵B点关于x轴的对称点为B′点，∴B'（﹣1，﹣a），∴AB'2＝（﹣2+1）2+（0+a）2＝a2+1，AC2＝（2+2）2+（4a﹣0）2＝16a2+16，B'C2＝（2+1）2+（4a+a）2＝25a2+9，若∠CAB'＝90°，则AB'2+AC2＝B'C2，即a2+1+16a2+16＝25a2+9，所以a＝1，若∠AB'C＝90°，则AB'2+B'C2＝AC2，即a2+1+25a2+9＝16a2+16，所以a＝，若∠ACB'＝90°，则AC2+B'C2＝AB'2，即16a2+16+25a2+9＝a2+1，此方程无解．∴a＝1或a＝．【点评】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，并与直角三角形和新定义结合，关键是弄清格点只能落在y轴和直线x＝1上，各为13个，并对点D、F进行定位．类型二与特殊四边形相关技巧精讲：1.动点构成特殊四边形的作图方法2.动点构成特殊四边形的分类讨论方法（情境同上）【例4】（2023•自贡）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+4与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线解析式及B，C两点坐标；（2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线的解析式，然后即可求出抛物线与x轴和y轴的交点坐标．（2）分三种情况，先确定四边形的对角线，找到对角线的中点，然后根据中点坐标公式即可求解．【解答】解：（1）把点A的坐标代入解析式得b＝，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4，∴点C的坐标为（0，4），点B的坐标为（1，0）．（2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：①若AC为对角线，设AC的中点为F，则根据中点坐标公式可得F的坐标为（﹣，2），设点D的坐标为（a，b），则有，解得a＝﹣4，b＝4，此时点D的坐标为（﹣4，4），②若以AB为对角线，设AB的中点为F，则F的坐标为（﹣1，0），设点D的坐标为（a，b），则有，解得a＝﹣2，b＝﹣4，此时点D的坐标为（﹣2，﹣4），③若以BC为对角线，设BC的中点为F，则点F的坐标为（，2），设点D的坐标为（a，b），则有，解得a＝4，b＝4，此时点D的坐标为（4，4），综上所述，点D的坐标为（﹣4，4）或（﹣2，﹣4）或（4，4）；【变式4-1】（2023•巴中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（0，3），其顶点的横坐标为1．（1）求抛物线的表达式．（2）若直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得AN+MN有最大值，并求出最大值．（3）若点P为抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q 为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点M，是否能与A、P、Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由．【分析】（1）由抛物线顶点横坐标，可得出抛物线的对称轴为直线x＝1，结合点A的坐标，可得出抛物线与x轴另一交点的坐标，结合点B的坐标，再利用待定系数法，即可求出抛物线的表达式；（2）由“直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M”，可得出点M，N的坐标，进而可得出AN，MN的值，代入AN+MN中，可得出AN+MN＝﹣（m﹣）2+，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；（3）利用平移的性质，可得出平移后抛物线的表达式为y＝﹣x2+4，利用二次函数图象上点的坐标特征，可求出点M的坐标，假设存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，设点P的坐标为（1，m），点Q 的坐标为（n，﹣n2+4），分AM为对角线、AP为对角线及AQ为对角线三种情况考虑，由平行四边形的对角线互相平分，可得出关于n的一元一次方程，解之可得出n值，再将其代入点Q的坐标中，即可得出结论．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点横坐标为1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1．∵点A的坐标为（﹣1，0），∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0）．将（﹣1，0），（3，0），（0，3）代入y＝ax2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，∴点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），点N的坐标为（m，0），∴MN＝﹣m2+2m+3，AN＝m+1，∴AN+MN＝m+1+（﹣m2+2m+3）＝﹣m2+3m+4＝﹣（m﹣）2+，∵﹣1＜0，且0＜m＜3，∴当m＝时，AN+MN有最大值，最大值为；（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线向左平移1个单位长度后的表达式为y＝﹣x2+4．当x＝时，y＝﹣（）2+2×+3＝，∴点M的坐标为（，）．假设存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，设点P的坐标为（1，m），点Q的坐标为（n，﹣n2+4）．①当AM为对角线时，对角线AM，PQ互相平分，∴＝，解得：n＝﹣，∴点Q的坐标为（﹣，）；②当AP为对角线时，对角线AP，MQ互相平分，∴＝，解得：n ＝﹣，∴点Q 的坐标为（﹣，）；③当AQ 为对角线时，对角线AQ ，PM 互相平分，∴＝，解得：n ＝，∴点Q 的坐标为（，﹣）．综上所述，存在以A ，P ，Q ，M 为顶点的平行四边形，点Q 的坐标为（﹣，）或（﹣，）或（，﹣）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质以及平行四边形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的表达式；（2）利用二次函数的性质，求出AN +MN 的最大值；（3）利用平行四边形的性质（对角线互相平分），找出关于n 的一元一次方程．【变式4-2】（2023•锦州）如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 交x 轴于点A （﹣1，0）和B ，交y 轴于点C （0，3），顶点为D ．（1）求抛物线的表达式；（2）若点E 在第一象限内对称轴右侧的抛物线上，四边形ODEB 的面积为7，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，若点F 是对称轴上一点，点H 是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G ，使以点E ，F ，G ，H 为顶点的四边形是菱形，且∠EFG ＝60°，如果存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）把点A（﹣1，0）和点C（0，3）代入求抛物线的表达式；（2）将四边形ODEB分割，SODEB＝S△ODM+S梯形DMNE+S△ENB，利用7建立方程求点E的坐标；四边形（3）对E，F，G，H四个点按顺时针和逆时针排成菱形，分别求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）和点C（0，3），∴，∴，∴抛物线的表达式y＝﹣x2+2x+3．（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，过点E作EN⊥x轴于点N，如图．设E（x，﹣x2+2x+3），∴BN＝3﹣x，MN＝x﹣1，∴SODEB＝S△ODM+S梯形DMNE+S△ENB＝×1×4+（4﹣x2+2x+3）（x﹣1）+（﹣四边形∵四边形ODEB的面积为7，∴﹣x2+4x+3＝7，∴x2﹣4x+4＝0，∴x1＝x2＝2，∴E（2，3）．（3）存在点G，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是菱形，且∠EFG＝60°，满足条件G的坐标为（，）或（，）．理由如下：如图，连接CG，DG，∵四边形EFGH是菱形，且∠EFG＝60°，∴△EFG是等边三角形，∴△DCE是等边三角形，∴△CEG≌△DEF，∴∠ECG＝∠EDF＝30°，∴直线CG的表达式为y＝﹣x+3，∴，∴G（，）；如图，连接CG、DG、CF，∵四边形EFGH是菱形，且∠EFG＝60°，∴△EFG是等边三角形，∴△DCE是等边三角形，∴△DGE≌△CFE，∴DG＝CF，∴CF＝FE，GE＝FE，∴DG＝GE，∴△CDG≌△CEG，∴∠DCG＝∠ECG＝30°，∴直线CG的表达式为y＝x+3，∴，∴G（，），综上，G（，）或（，）．【点评】本题考查了二次函数解析式的求法，与四边形面积和菱形结合，对于（2）关键是分割，对于（3）关键是找清分类标准．【变式4-3】（2022•黔西南州）如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4，0）的直线AB与y轴交于点B （0，4）．经过原点O的抛物线y＝﹣x2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥y轴且MN＝2时，求点M的坐标；（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A、O的坐标分别代入抛物线解析式，解方程即可；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，利用待定系数法求出解析式，再表示出MN，然后根据MN＝2解方程可得答案；（3）分AC为边和对角线两种情况进行讨论：根据平移的性质，三角形相似的性质和判定，两点的距离公式可得结论．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（4，0）和O（0，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x；（2）∵直线AB经过点A（4，0）和B（0，4），∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+4，∵MN∥y轴，设M（t，﹣t+4），N（t，﹣t2+4t），其中0≤t≤4，当M在N点的上方时，MN＝﹣t+4﹣（﹣t2+4t）＝t2﹣5t+4＝2，解得：t1＝，t2＝（舍），∴M1（，），当M在N点下方时，MN＝﹣t2+4t﹣（﹣t+4）＝﹣t2+5t﹣4＝2，解得：t1＝2，t2＝3，∴M2（2，2），M3（3，1），综上，满足条件的点M的坐标有三个（，）或（2，2）或（3，1）；（3）存在，①如图2，若AC是矩形的边，设抛物线的对称轴与直线AB交于点R，且R（2，2），过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点P1，P2，∵C（1，3），D（2，4），∴CD＝＝，同理得：CR＝，RD＝2，∴CD2+CR2＝DR2，∴∠RCD＝90°，∴点P1与点D重合，当CP1∥AQ1，CP1＝AQ1时，四边形ACP1Q1是矩形，∵C（1，3）向右平移1个单位，向上平移1个单位得到P1（2，4），∴A（4，0）向右平移1个单位，向上平移1个单位得到Q1（5，1），此时直线P1C的解析式为：y＝x+2，∵直线P2A与P1C平行且过点A（4，0），∴直线P2A的解析式为：y＝x﹣4，∵点P2是直线y＝x﹣4与抛物线y＝﹣x2+4x的交点，∴﹣x2+4x＝x﹣4，解得：x1＝﹣1，x2＝4（舍），∴P2（﹣1，﹣5），当AC∥P2Q2时，四边形ACQ2P2是矩形，∵A（4，0）向左平移3个单位，向上平移3个单位得到C（1，3），∴P2（﹣1，﹣5）向左平移3个单位，向上平移3个单位得到Q2（﹣4，﹣2）；②如图3，若AC是矩形的对角线，设P3（m，﹣m2+4m）当∠AP3C＝90°时，过点P3作P3H⊥x轴于H，过点C作CK⊥P3H于K，∴∠P3KC＝∠AHP3＝90°，∠P3CK＝∠AP3H，∴△P3CK∽△AP3H，∴＝，∴＝，∵点P不与点A，C重合，∴m≠1或m≠4，∴m2﹣3m+1＝0，∴m＝，∴如图4，满足条件的点P有两个，即P3（，），P4（，），当P 3C ∥AQ 3，P 3C ＝AQ 3时，四边形AP 3CQ 3是矩形，∵P 3（，）向左平移个单位，向下平移个单位得到C （1，3），∴A （4，0）向左平移个单位，向下平移个单位得到Q 3（，），当P 4C ∥AQ 4，P 4C ＝AQ 4时，四边形AP 4CQ 4是矩形，∵P 4（，）向右平移个单位，向上平移个单位得到C （1，3），∴A （4，0）向右平移个单位，向上平移个单位得到Q 4（，）；综上，点Q 的坐标为（5，1）或（﹣4，﹣2）或（，）或（，）．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平移的性质等知识，正确画图，并运用分类讨论的思想是解本题的关键．(1)求抛物线的解析式；(2)当△� 的周长是线段(3)当点P运动到抛物线顶点时，点交直线�于点M．当�【答案】(1)�=−43�2+由题意知∠ � =90°，∴∠ � +∠ � =90°∵∠ � +∠ �=90°，∴∠ �=∠ � ，又∵∠ �=∠� =90∴△� △≌ � AAS ∴ = �，� =(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，求△� 周长的最小值；(3)如图2，过动点D作 푃∥��交抛物线第一象限部分于点P，连接푃�,푃�，记△푃� 积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．【答案】(1)�=−12�2+2�+6（3）由已知点�−2,0，�6,0，�0,6设直线��的表达式为�=푘�+�，6푘将�6,0，�0,6代入�=푘�+�中，∴直线��的表达式为�=−�+6，同理可得：直线��的表达式为�=3�+∵푃 ∥��，�【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，周长最短问题及面积问题，理解题意，熟练掌握运用二次函数的综合性质是解题关键．3．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，已知抛物线与线�=−3�+3过抛物线的顶点푃．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线�=�−5<�①当 取得最大值时，求②当△ �是等腰三角形时，求点【答案】(1)�=−�2−4�②设直线�=�与x轴交于∴��=�+5，�∴��=� ，∴△�� 是等腰直角三角形，∴∠ �=∠� �∴ −3，8；如图3-2所示，当 =∴∠ =90°，即�∴点E的纵坐标为5，∴−�2−4�+5=5，解得�=−4或�=0（舍去）∴ −4，5如图3-3所示，当 =同理可证△� 是等腰直角三角形，∴ =� =−�，∴� =2� =−2�∴−�2−5�=−2�，【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判断，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．4．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与�轴交于点�，其中�(1)求该抛物线的表达式；(2)点푃是直线��下方抛物线上一动点，过点푃作푃(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以。
二次函数的实际应用六大压轴题型归纳总结(含答案)
二次函数的实际应用六大压轴题型归纳总结【题型1 利用二次函数解决几何图形问题】【例1】（2020春•萧山区月考）如图窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形，现在制作一个窗户边框的材料总长度为6米．（π取3）（1）若设扇形半径为x，请用含x的代数式表示出AB．并求出x的取值范围．（2）当x为何值时，窗户透光面积最大，最大面积为多少？（窗框厚度不予考虑）【解题思路】（1）根据2AB+7半径+弧长＝6列出代数式即可；（2）设面积为S，列出关于x的二次函数求得最大值即可．【解答过程】解：（1）根据题意得：2AB+7x+πx＝2AB+10x＝6，整理得：AB＝3﹣5x；根据3﹣5x＞0，所以x的取值范围是：0＜x＜3 5；（2）设面积为S，则S＝2x（3﹣5x）+32x2=−172x2+6x=−172（x−617）2+1817，当x=617时，S最大=1817．【变式1-1】（2020•安徽模拟）如图，某住宅小区有一块矩形场地ABCD，AB＝16m，BC＝12m，开发商准备对这块地进行绿化，分别设计了①②③④⑤五块地，其中①③两块形状大小相同的正方形地用来种花，②④两块形状大小相同的矩形地用来种植草坪，⑤为矩形地用来养殖观赏鱼．（1）设矩形观赏鱼用地LJHF的面积为ym2，AG长为xm，求y与x之间的函数关系式；（2）求矩形观赏鱼用地LJHF面积的最大值．【解题思路】（1）根据矩形的性质得到CD＝AB＝16，AD＝BC＝12，根据正方形AEFG和正方形JKCI 形状大小相同，矩形GHID和矩形EBKL形状大小相同，得到DG＝12﹣x，FL＝x﹣（12﹣x）＝2x﹣12，BE＝16﹣x，LI＝（16﹣x）﹣x＝16﹣2x，根据矩形的面积公式即可得到结论；（2）根据二次函数的性质即可得到结论．【解答过程】解：（1）在矩形ABCD中，CD＝AB＝16，AD＝BC＝12，∵正方形AEFG和正方形JKCI形状大小相同，矩形GHID和矩形EBKL形状形状大小相同，AG＝x，∴DG＝12﹣x，FL＝x﹣（12﹣x）＝2x﹣12，BE＝16﹣x，LI＝（16﹣x）﹣x＝16﹣2x，∵S矩形LJHF＝FL•LJ，∴y＝（2x﹣12）（16﹣2x）＝﹣4x2+56x﹣192；（2）由（1）得，y＝﹣4x2+56x﹣192＝﹣4（x﹣7）2+4，∵FL＝2x﹣12＞0，LJ＝16﹣2x＞0，∴6＜x＜8，∵a＝﹣4＜0，∴当x＝7时，y的最大值＝4；故矩形观赏鱼用地LJHF面积的最大值为4m2．【变式1-2】（2020•富顺县三模）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm，花园的面积为Sm2．（1）若花园的面积为192m2，求x的值；（2）写出花园面积S与x的函数关系式．x为何值时，花园面积S有最大值？最大值为多少？（3）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是a（14≤a≤22）和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），设花园面积S的最大值为y，直接写出y与a的关系式．【解题思路】（1）根据题意得出长×宽＝192，进而得出答案；（2）由题意可得出：S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，再利用二次函数增减性求得最值；（3）根据题意确定x的取值范围，利用二次函数增减性计算即可．【解答过程】解：（1）依题意得S＝x（28﹣x），当S＝192时，有S＝x（28﹣x）＝192，即x2﹣28x+192＝0，解得：x1＝12，x2＝16，答：花园的面积为192m2，x的值为12m或16m；（2）由题意可得出：S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，答：x为14m时，花园面积S有最大值，最大值为196m2；（3）依题意得：{28−x≥ax≥6，解得：6≤x≤28﹣a，S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，∵a＝﹣1＜0，当x≤14，y随x的增大而增大，又6≤x≤28﹣a，∴当x＝28﹣a时，函数有最大值，是y＝﹣（28﹣a﹣14）2+196＝﹣（14﹣a）2+196．【变式1-3】（2020•温州模拟）某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为a米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案： 方案甲中AD 的长不超过墙长；方案乙中AD 的长大于墙长． （1）若a ＝6．①按图甲的方案，要围成面积为25平方米的花圃，则AD 的长是多少米？ ②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？（2）若0＜a ＜6.5，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由．【解题思路】（1）①设AB 的长是x 米，根据矩形的面积公式列出方程； ②列出面积关于x 的函数关系式，再根据函数的性质解答；（2）设AB ＝x ，能围成的矩形花圃的面积为S ，根据题意列出S 关于x 的函数关系，再通过求最值方法解答．【解答过程】解：（1）①设AB 的长是x 米，则AD ＝20﹣3x ， 根据题意得，x （20﹣3x ）＝25， 解得：x 1＝5，x 2=53， 当x =53时，AD ＝15＞6， ∴x ＝5， ∴AD ＝5，答：AD 的长是5米；②设BC 的长是x 米，矩形花圃的最大面积是y 平方米，则AB =13[20﹣x ﹣（x ﹣6）]=263−23x ， 根据题意得，y ＝x （263−23x ）=−23x 2+263x =−23(x −132)2+1696（x ＞6）， ∴当x =132时，y 有最大值为1696．答：按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是1696平方米；（2）设BC ＝x ，能围成的矩形花圃的面积为S ，按图甲的方案，S ＝x ×20−x 3=−13x 2+203x =−13(x −10)2+1003， ∴在x ＝a ＜10时，S 的值随x 的增大而增大，∴当x ＝a 的最大值n 时，S 的值最大，为S =−13(n −10)2+1003；按图乙方案，S =13[20﹣x ﹣（x ﹣a ）]x =−23(x −a+204)2+(a+20)224，∴当x =a+204时，S 的值最大为S =(a+20)224，此时a 取最大值n 时，S 的值最大为S =(n+20)224； ∵(n+20)224−[−13（n ﹣10）2+1003]=9n 2−120n+40024＞0， ∴(n+20)224＞−13(n −10)2+1003，故第二种方案能围成面积最大的矩形花圃．【题型2 利用二次函数解决销售利润问题】【例2】2020年1月，全国爆发新型冠状病毒肺炎，2月某工厂购进某防护材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价但不高于成本价2倍，经试销，销售量y （千克）与销售单价x （元）的关系如图所示．（1）求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少元时，当天该工厂日利润最大，最大日利润为多少元？【解题思路】（1）直接利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）利用销量×每件利润＝总利润，进而结合二次函数增减性得出答案． 【解答过程】解：（1）设y 与x 的函数关系式为：y ＝kx +b （k ≠0），根据图象可得方程组{30k +b =14050k +b =100，解得：{k =−2b =200，∴y 与x 的函数关系式为：y ＝﹣2x +200，x 的取值范围是：30≤x ≤60； （2）设日利润为w ，则可以列出函数关系式为： w ＝（﹣2x +200）（x ﹣30）﹣450 ＝﹣2x 2+260x ﹣6450， 当x =−b2a=65， 又∵30≤x ≤60，∴当x ＝60时，w 取得最大值，w ＝1950，答：当销售单价为60元时，当天该工厂日利润最大，最大日利润为1950元．【变式2-1】某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y （个）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如表： 销售单价x （元） 85 95 105 115 日销售量y （个） 175 125 75 m 日销售利润w （元）87518751875875（注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价））（1）求y 关于x 的函数解析式（不要求写出x 的取值范围）及m 的值； （2）根据以上信息，填空：该产品的成本单价是 元，当销售单价x ＝ 元时，日销售利润w 最大，最大值是 元； （3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？【解题思路】（1）根据题意和表格中的数据可以求得y 关于x 的函数解析式； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得生产成本和w 的最大值； （3）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以取得科技创新后的成本． 【解答过程】解；（1）设y 关于x 的函数解析式为y ＝kx +b ， {85k +b =17595k +b =125，得{k =−5b =600，即y关于x的函数解析式是y＝﹣5x+600，当x＝115时，y＝﹣5×115+600＝25，即m的值是25；（2）设成本为a元/个，当x＝85时，875＝175×（85﹣a），得a＝80，w＝（﹣5x+600）（x﹣80）＝﹣5x2+1000x﹣48000＝﹣5（x﹣100）2+2000，∴当x＝100时，w取得最大值，此时w＝2000，故答案为：80，100，2000；（3）设科技创新后成本为b元，当x＝90时，（﹣5×90+600）（90﹣b）≥3750，解得，b≤65，答：该产品的成本单价应不超过65元．【变式2-2】（2020•安徽二模）某市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．（毛利润＝销售额﹣生产费用）（1）请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；（2）求w与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？【解题思路】（1）利用待定系数法可求出y与x以及z与x之间的函数关系式；（2）根据（1）的表达式及毛利润＝销售额﹣生产费用，可得出w与x之间的函数关系式，再利用配方法求函数最值即可；（3）首先求出x的取值范围，再利用二次函数增减性得出答案即可．【解答过程】解：（1）图①可得函数经过点（100，1000），设抛物线的解析式为y＝ax2（a≠0），将点（100，1000）代入得：1000＝10000a，解得：a=1 10，故y与x之间的关系式为y=110x2．图②可得：函数经过点（0，30）、（100，20），设z＝kx+b，则{100k+b=20 b=30，解得：{k=−110 b=30，故z与x之间的关系式为z=−110x+30；（2）W＝zx﹣y=−110x2+30x−110x2=−15x2+30x=−15（x2﹣150x）=−15（x﹣75）2+1125，∵−15＜0，∴当x＝75时，W有最大值1125，∴年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元；（3）令y＝360，得110x2＝360，解得：x＝±60（负值舍去），由图象可知，当0＜y≤360时，0＜x≤60，由W=−15（x﹣75）2+1125的性质可知，当0＜x≤60时，W随x的增大而增大，故当x＝60时，W有最大值1080，答：今年最多可获得毛利润1080万元．【变式2-3】（2020•邢台二模）一家经营打印耗材的门店经销各种打印耗材，其中某一品牌硒鼓的进价为a 元/个，售价为x元/个（a≤x≤48）．下面是门店在销售一段时间后销售情况的反馈：①若每个硒鼓按定价30元的8折出售，可获20%的利润；②如果硒鼓按30元/个的价格出售，每月可售出500个，在此基础上，售价每增加5元，月销售量就减少50个．（1）求a的值，并写出该品牌硒鼓每月的销售量y（个）与售价x（元/个）之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）求该耗材店销售这种硒鼓每月获得的利润W（元）与售价x（元/个）之间的函数关系式，并求每月获得的最大利润；（3）在新冠肺炎流行期间，这种硒鼓的进价降低为n元/个，售价为x元/个（n≤x≤48）．耗材店在2月份仍然按照销售量与售价关系不变的方式销售，并决定将当月销售这种硒鼓获得的利润全部捐赠给火神山医院，支援武汉抗击新冠肺炎．若要使这个月销售这种硒鼓获得的利润G（元）随售价x（元/个）的增大而增大，请直接写出n的取值范围．【解题思路】（1）根据实际售价﹣进价＝进价×利润率建立关于a的方程，解之可得a的值；用原销售量﹣因价格上涨而减少的销售量可得答案．（2）根据“总利润＝每个硒鼓利润×销售量”列出关于x的函数，配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解可得；（3）根据以上相等关系，并结合新进价列出关于x的二次函数，找到其对称轴，利用二次函数的增减性求解可得．【解答过程】解：（1）30×0.8﹣a＝20%a，解得a＝20．y＝500﹣10（x﹣30），即y＝﹣10x+800（20≤x≤48）．（2）根据题意，得W＝（x﹣20）（﹣10x+800）＝﹣10（x﹣50）2+9000．∵﹣10＜0，销售单价不能超过48元/个，即当20≤x≤48时，W随x的增大而增大，∴当x＝48时，W有最大值，最大值为8960．答：当售价为48元/个时，每月获得的利润最大，最大利润为8960元．（3）根据题意，得G＝（x﹣n）（﹣10x+800）＝﹣10x2+（800+10n）x﹣800n，对称轴x=80+n 2．∵a＝﹣10＜0，∵当n ≤x ≤48时，该商品利润G 随x 的增大而增大， ∴80+n 2≥48，解得n ≥16． ∵进价是降低的，∴n 的取值范围是16≤n ＜20．【题型3 利用二次函数解决抛物线形轨迹问题】【例3】（2020秋•渑池县期末）如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O 点打出一球向球洞A 点飞去，球的路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球移动的水平距离为9米时，球达到最大高度12米．已知山坡OA 与水平方向OC 的夹角为30o ，O 、A 两点相距8√3米． （1）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；（2）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O 点直接打入球洞A 点，并说明理由．【解题思路】（1）分析题意可知，抛物线的顶点坐标为（9，12），经过原点（0，0），设顶点式可求抛物线的解析式；（2）OA 与水平方向OC 的夹角为30°，OA ＝8√3米，解直角三角形可求点A 的坐标，把点A 的横坐标x ＝12代入抛物线解析式，看函数值与点A 的纵坐标是否相符． 【解答过程】解：（1）∵顶点B 的坐标是（9，12）， ∴设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣9）2+12， ∵点O 的坐标是（0，0）∴把点O 的坐标代入得：0＝a （0﹣9）2+12， 解得a =−427，∴抛物线的解析式为y =−427（x ﹣9）2+12 即y =−427x 2+83x ；（2）在Rt△AOC中，∵∠AOC＝30°，OA＝8√3，∴AC＝OA•sin30°＝8√3×12=4√3，OC＝OA•cos30°＝8√3×√32=12．∴点A的坐标为（12，4√3），∵当x＝12时，y=323≠4√3，∴小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．【变式3-1】如图，运动员甲在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式．（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？（3）运动员乙跳离地面时，最高能摸到3.3m，问：在（2）的条件下，运动员乙在运动员甲与篮板之间的什么范围内能在空中截住球？【解题思路】（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值．（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则可得h+2.05＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5．（3）当y＝3.3m，进而代入函数解析式，求出x的值，即可得出答案．【解答过程】解：（1）∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，∴抛物线的顶点坐标为（0，3.5），∴设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5．由图知图象过以下点：（1.5，3.05）．∴2.25a+3.5＝3.05，解得：a＝﹣0.2，∴抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+3.5．（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，因为（1）中求得y＝﹣0.2x2+3.5，则球出手时，球的高度为h+1.8+0.25＝（h+2.05）m，∴h+2.05＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5，∴h＝0.2（m）．答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m．（3）由题意可得出：y＝3.3，则3.3＝﹣0.2x2+3.5解得：x1＝1，x2＝﹣1，∴2.5﹣1＝1.5（m），1.5﹣1＝0.5（m）∴乙在距离甲1.5米以内或离篮板0.5米以内能在空中截住球．【变式3-2】（2021•嘉善县一模）已知，足球球门高2.44米，宽7.32米（如图1）在射门训练中，一球员接传球后射门，击球点A距离地面0.4米，即AB＝0.4米，球的运动路线是抛物线的一部分，当球的水平移动距离BC为6米时，球恰好到达最高点D，即CD＝4.4米．以直线BC为x轴，以直线AB为y轴建立平面直角坐标系（如图2）．（1）求该抛物线的表达式；（2）若足球恰好击中球门横梁，求该足球运动的水平距离；（3）若要使球直接落在球门内，则该球员应后退m米后接球射门，击球点为A'（如图3），请直接写出m的取值范围．【解题思路】（1）根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（6，4.4），利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）求出当y＝2.44时，x的值，取正；（3）先求出y＝0时，x的值，取正，减去恰好击中球门横梁时，足球的水平距离．【解答过程】解：（1）抛物线的顶点坐标是（6，4.4），设抛物线的解析式是：y＝a（x﹣6）2+4.4，把（0，0.4）代入得36a+4.4＝0.4，解得a=−1 9，则抛物线是y=−19（x﹣6）2+4.4；（2）∵球门高为2.44米，即y＝2.44，则有2.44=−19（x﹣6）2+4.4，解得：x1＝10.2，x2＝1.8，从题干图2中，发现球门在CD右边，∴x＝10.2，即足球运动的水平距离是10.2米；（3）不后退时，刚好击中横梁，∴往后退，则球可以进入球门，而当球落地时，球刚好在门口，是一个临界值，当y＝0时，有0=−19（x﹣6）2+4.4，解得：x1＝6+35√110，x2＝6−35√110，取正值，x＝6+35√110，∴后退的距离需小于6+35√110−10.2＝（35√110−4.2）米故0＜m＜35√110−4.2．【变式3-3】（2020•绍兴）如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m，即BA＝2.88m，这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：√2取1.4）【解题思路】（1）求出抛物线表达式；再确定x＝9和x＝18时，对应函数的值即可求解；（2）当y＝0时，y=−150（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），求出PQ＝6√2=8.4，即可求解．【解答过程】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣7）2+2.88，将x＝0，y＝1.9代入上式并解得：a=−1 50，故抛物线的表达式为：y=−150（x﹣7）2+2.88；当x＝9时，y=−150（x﹣7）2+2.88＝2.8＞2.24，当x＝18时，y=−150（x﹣7）2+2.88＝0.46＞0，故这次发球过网，但是出界了；（2）如图，分别过点O，P作边线的平行线交于点Q，在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17，当y＝0时，−150（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），∴OP＝19，而OQ＝17，故PQ＝6√2=8.4，∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1，∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处．【题型4 利用二次函数解决车过隧道问题】【例4】（2020秋•海淀区校级月考）小宇遇到了这样一个问题：如图是一个单向隧道的断面，隧道顶MCN是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度MN为4m，最高处到地面的距离CO为4m，两侧墙高AM和BN均为3m，今有宽2.4m的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于0.6m，那么卡车载物后的限高应是多少米？（精确到0.1m）为解决这个问题，小宇以AB中点O为原点，建立了如图所示的平面直角坐标系，根据上述信息，设抛物线的表达式为y＝ax2+c．（1）写出M、C、N、F四个点的坐标；（2）求出抛物的表达式；（3）利用求出的表达式，帮助小宇解决这个问题．【解题思路】（1）根据题中信息直接写出M、C、N、F四个点的坐标即可；（2）将点M、C点的坐标代入抛物线的表达式为y＝ax2+c，利用待定系数法求解即；（3）在y=−14x2+4中，令x＝1.2，求得相应的y值，从而可得点D的坐标，结合卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于0.6m，可得卡车载物最高点距地面的距离，然后精确到0.1m，即可得出答案．【解答过程】解：（1）由题意得：M（﹣2，3）、C（0，4）、N（2，3）、F（1.2，0）；（2）将M（﹣2，3）、C（0，4）代入y＝ax2+c，得：{4a+c=3c=4，解得：{a=−14 c=4，∴抛物的表达式为y =−14x 2+4；（3）在y =−14x 2+4中，令x ＝1.2，得：y =−14×1.22+4＝3.64，∴点D 的坐标为（1.2，3.64），即点D 与地面的距离为3.64m ，∵卡车载物后的最高点E 到隧道顶面对应的点D 的距离应不小于0.6m ，∴点E 离地面的距离不超过3.04m ，∴卡车载物后的限高应是3.0m ．【变式4-1】（2021•海城市模拟）如图，隧道的横截面由抛物线形和矩形OABC 构成．矩形一边OA 的长是12m ，另一边OC 的长是1m ．抛物线上的最高点D 到地面OA 的距离为7m ．以OA 所在直线为x 轴，以OC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．（1）求该抛物线所对应的函数表达式．（2）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度为5m ，求两排灯之间的水平距离．（3）隧道内车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于13m 的空隙．现有一辆货运汽车，在隧道内距离道路边缘2m 处行驶，求这辆货运汽车载物后的最大高度．【解题思路】（1）设抛物线所对应的函数表达式为y ＝a （x ﹣6）2+7，将点C （0，1）代入所设解析式求出a 的值即可得出函数解析式；（2）将y ＝5代入解析式求出x 的值，将所求x 的值相减可得答案；（3）求出x ＝2时y 的值，再减去13可得答案． 【解答过程】解：（1）由题意设抛物线所对应的函数表达式为y ＝a （x ﹣6）2+7，将点C （0，1）代入上式，36a +7＝1，解得a =−16，∴该抛物线所对应的函数表达式为y =−16(x −6)2+7．（2）把y＝5代入y=−16(x−6)2+7中，−16(x−6)2+7=5，解得x1=6+2√3，x2=6−2√3，6+2√3−(6−2√3)=4√3，所以两排灯之间的水平距离为4√3m；（3）把x＝2代入y=−16(x−6)2+7中，y=−16(2−6)2+7=133，13 3−13=4，所以这辆货运汽车载物后的最大高度为4m．【变式4-2】（2020•武汉模拟）某坦克部队需要经过一个拱桥（如图所示），拱桥的轮廓是抛物线形，拱高OC＝6m，跨度AB＝20m，有5根支柱：AG、MN、CD、EF、BH，相邻两支柱的距离均为5m．（1）以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，支柱CD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；（2）若支柱每米造价为2万元，求5根支柱的总造价；（3）拱桥下面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道是坦克的行进方向，现每辆坦克长4m，宽2m，高3m，行驶速度为24km/h，坦克允许并排行驶，坦克前后左右距离忽略不计，试问120辆该型号坦克从刚开始进入到全部通过这座长1000m的拱桥隧道所需最短时间为多少分钟？【解题思路】（1）根据题目可知A，B，C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解．（2）把x＝5代入可求出支柱的长度，然后算出总造价即可．（3）先求出坦克方队的长，然后算出速度，从而求得通过隧道的时间即可．【解答过程】【解】（1）设y＝ax2+c，把C（0，6）、B（10，0）代入，得a=−350，c＝6．∴y=−350x2+6．（2）当x＝5时，y=−350×52+6=92，∴EF＝10−92=112，CD＝10﹣6＝4，支柱的总造价为2（2×112+2×10+4）＝70（万元）． （3）∵坦克的高为3米，令y ＝3时，−350x 2+6＝3，解得：x ＝±5√2，∵7＜5√2＜8，坦克宽为2米，∴可以并排3辆坦克行驶，此时坦克方阵的长为120÷3×4＝160（米），坦克的行驶速度为24km /h ＝400米/分，∴通过隧道的最短时间为1000+160400=2.9（分）．【变式4-3】（2020秋•海州区校级期末）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为8米，宽度OM 为16米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图1所示）．（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB ，使A ．D 点在抛物线上．B 、C 点在地面OM 线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．【解题思路】（1）抛物线的顶点坐标为（8，8），则其表达式为：y ＝a （x ﹣8）2+8，将点O （0，0）代入上式，即可求解；（2）双向行车道，正中间是一条宽1米的隔离带，则每个车道宽为7.5米，车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿的x ＝7.5﹣3.5＝4，即可求解；（3）点A 、D 关于函数对称轴对称，则设AD ＝2m ，则AB ＝y =−18（x ﹣8）2+8＝8−18m 2，w ＝AB +AD +DC ＝2m +2AB =−14m 2+2m +16，即可求解．【解答过程】解：（1）抛物线的顶点坐标为（8，8），则其表达式为：y ＝a （x ﹣8）2+8，将点O （0，0）代入上式得：0＝64a +8，解得：a =−18，故函数的表达式为：y =−18（x ﹣8）2+8，即y =−18x 2+2x （0≤x ≤16）；（2）双向行车道，正中间是一条宽1米的隔离带，则每个车道宽为7.5米，车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿的x ＝7.5﹣3.5＝4，当x ＝4时，y ＝6，即允许的最大高度为6米，5.8＜6，故该车辆能通行；（3）设点B （m ，0），则点A （m ，−18m 2+2m ），由抛物线的表达式知，其对称轴为x ＝8，则BC ＝2（8﹣m ）＝16﹣2m ＝AD ，则AB =−18m 2+2m ，则设：w ＝AB +AD +DC ＝2m +2AB =−14m 2+2m +16，∵−14＜0，故w 有最大值，当m ＝4时，w 的最大值为20，故AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是20．【题型5 利用二次函数解决拱桥形问题】【例5】（2020秋•渝水区校级月考）某河上有抛物线形拱桥，当水面离拱顶5m 时，水面宽8m ．一木船宽4m ，高2m ，载货后，木船露出水面的部分为34m ．以拱顶O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，A 、B 为抛物线与水面的交点．（1）B 点的坐标为 ；（2）求抛物线解析式；（3）当水面离拱顶1.8米时，木船能否通过拱桥？【解题思路】（1）当水面距拱顶5m 时，水面宽8m ，则B （4，﹣5）；（2）设抛物线的解析式为y ＝ax 2，将点B 的坐标代入上式即可求解；（3）将x ＝2代入上式，得y =−516x 2=−54，则54+34=2，而1.8＜2，即可求解．【解答过程】解：（1）当水面距拱顶5m 时，水面宽8m ，则点B （4，﹣5），故答案为（4，﹣5）；（2）设抛物线的解析式为y ＝ax 2，将点B 的坐标代入上式得﹣5＝a ×42，解得a =−516，∴该抛物线的解析式为y =−516x 2； （3）将x ＝2代入上式，得y =−516x 2=−54， ∵54+34=2，而1.8＜2，当水面离拱顶1.8米时，木船不能通过拱桥．【变式5-1】（2020秋•泗阳县期末）河上有一座抛物线形的石拱桥，水面宽6m 时，水面离桥拱顶部3m ．（1）如图建立平面直角坐标系，试求抛物线的解析式；（2）一艘装满货物的小船，露出水面部分的高为0.5m ，宽为4m ．现因暴雨河水水位上升了1m ，这艘小船能从这座石拱桥下通过吗？请说明理由．【解题思路】（1）根据题意可以知道A 、B 的坐标，在利用点C 得坐标从而求出抛物线的解析式．（2）代入x ＝2求出y 的值，用其减去1求出可通过船的做最高高度，与0.5比较大小从而得出答案．【解答过程】解：（1）设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．A （﹣3，0），B （3，0），C （0，3）．y ＝a （x +3）（x ﹣3）．在将点C （0，3）带入y ＝a （x +3）（x ﹣3）中的得a =−13，所以抛物线的解析式为y =−13x 2+3，（2）小船可以通过，理由：当x ＝2时，y =−13×22+3=53，∵53−1=23＞0.5，∴暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过．【变式5-2】（2021•衢州）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB 与桥长CD 均为24m ，在距离D 点6米的E 处，测得桥面到桥拱的距离EF 为1.5m ，以桥拱顶点O 为原点，桥面为x 轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱顶部O 离水面的距离．（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m 的支柱CG ，OH ，DI ，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m ．①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．【解题思路】根据题意设出适当的二次函数表达式，利用待定系数法求出表达式，再结合图形进行求解即可；【解答过程】解：（1）根据题意可知点F 的坐标为（6，﹣1.5），可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：y 1═a 1x 2．将F （6，﹣1.5）代入y 1═a 1x 2有：﹣1.5═36a 1，求得a 1═−124，∴y 1═−124x 2，当x ═12时，y 1═−124×122═﹣6，∴桥拱顶部离水面高度为6m ．（2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其表达式为y 2═a 2（x ﹣6）2+1， 将H （0，4）代入其表达式有：4═a 2（0﹣6）2+1，求得a 2═112， ∴右边钢缆所在抛物线表达式为：y 2═112（x ﹣6）2+1，左边钢缆所在抛物线表达式为：y 3═112（x +6）2+1 ②设彩带的长度为Lm ，则L ═y 2﹣y 1═112（x ﹣6）2+1﹣（−124x 2）═18x 2−x +4═18(x −4)2+2， ∴当x ═4时，L 最小值═2，答：彩带长度的最小值是2m ．【变式5-3】（2021•贵阳）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA 可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA ＝8m ，桥拱顶点B 到水面的距离是4m ．（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为1.2m 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O 点0.4m 时，桥下水位刚好在OA 处，有一名身高1.68m 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），该抛物线在x 轴下方部分与桥拱OBA 在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m （m ＞0）个单位长度，平移后的函数图象在8≤x ≤9时，y 的值随x 值的增大而减小，结合函数图象，求m 的取值范围．【解题思路】（1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点B （4，4），先设抛物线的顶点式y ＝a （x ﹣4）2+4，再根据图象过原点，求出a 的值即可；（2）先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出y 的值，然后和1.68比较即可；（3）根据倒影与桥对称，先求出倒影的解析式，再平移m 各单位，根据二次函数的性质求出m 的取值范围．【解答过程】解：（1）如图②，由题意得：水面宽OA 是8m ，桥拱顶点B 到水面的距离是4m ，。
二次函数的图象信息题压轴题五种模型全攻略—2023-2024学年九年级数学上册(浙教版)解析版
二次函数中线段最值的三种考法类型一、单线段转化为二次函数最值问题例．如图，已知二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为()3,0-，与y 轴交于点C ，点()2,3D −−在抛物线上；(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得PAD 周长最小，若存在，求出P 点的坐标及PAD 周长的最小值；(3)若点M 是直线AC 下方的抛物线上的一动点，过M 作y 轴的平行线与线段AC 交于点N ，求线段MN 的最大值．【答案】(1)223y x x =+−(2)()1,2P −−(3)94【分析】（1）将点A 、D 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接PD 交函数对称轴于点P ，则点P 为所求点，求出直线BD 的表达式，进一步即可求解；（3）先求出直线AC 解析式，设N 横坐标为x ，用含x 的代数式表示线段MN ，再利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：将点()3,0A -、()2,3D −−代入抛物线表达式得：093342b cb c =−+⎧⎨−=−+⎩， 解得：23b c =⎧⎨=−⎩，抛物线的表达式为：223y x x =+−；（2）223y x x =+−，令0y =，则2023x x =+−,解得3x =−或1x =，令0x =，则=3y −， 故点B 、C 的坐标分别为：()1,0、()0,3−；函数的对称轴为直线1312x −==−，点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接BD 交函数对称轴于点P ，则点P 为所求点， 设直线BD 的表达式为y kx m =+，将点D 、B 的坐标代入一次函数表达式y kx m =+得：023k m k m =+⎧⎨−+=−⎩，解得：11k m =⎧⎨=−⎩， 故BD 的函数表达式为1y x =−， 当=1x −时，112y =−−=−，即点()1,2P −−，此时PAD周长的最小值PA PD AD BD AD =++=+=； （3）如图，设直线AC 的解析式是y nx p =+，把点()3,0A -，()0,3C −代入y nx p =+中033n p p =−+⎧⎨−=⎩，解得13n p =−⎧⎨=−⎩， ∴直线AC 解析式为3y x =−−． 设N 横坐标为x ，则3N y x =−−，223M y x x =+−，∴()222393233()24MN x x x x x x =−−−+−=−−=−++， ∵10−<，∴抛物线开口向下， ∴当32x =−时，MN 的最大值为94．【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到抛物线和直线的待定系数法求解析式，轴对称-最短问题，二次函数的最值等，解题关键是熟练掌握待定系数法求抛物线解析式．【变式训练1】如图，已知抛物线1F ：25y x =−+，抛物线2F 与1F 关于点()10，中心对称，1F 与2F 相交于A ，B 两点，点M 在抛物线1F 上，且位于点A 和点B 之间；点N 在抛物线2F 上，也位于点A 和点B 之间，且MN x ⊥轴．(1)求抛物线2F 的表达式； (2)求线段MN 长度的最大值．【答案】(1)2(2)5y x =−−；(2)8【分析】（1）先求出抛物线1F ：25y x =−+的顶点坐标为()05，，然后求出点()05，关于()10，对称后的点坐标为()25−，，再抛物线2F 的解析式为：2(2)5y x =−−； （2）先求出A 、B 两点横坐标分别为1−和3，设2(,5)M a a −+，2,(2)5N a a ⎡⎤−−⎣⎦其中13a −<<，则MN =()2218a −−+，求出最大值即可．【详解】（1）解：抛物线1F ：25y x =−+的顶点坐标为()05，，点()05，关于()10，对称后的点坐标为()25−，，∵抛物线2F 与抛物线1F 关于()10，成中心对称，∴抛物线2F 的解析式为：2(2)5y x =−−．（2）解：∵抛物线1F ：25y x =−+与2F ：2(2)5y x =−−交于A 、B ，∴令()22525x x −+=−−，解得：=1x −或3x =，则A 、B 两点横坐标分别为1−和3，设2(,5)M a a −+，2,(2)5N a a ⎡⎤−−⎣⎦，其中13a −<<， 则2225[(2)5]246MN a a a a =−+−−−=−++22(1)8a =−−+，∴当1a =时，MN 最大为8．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，中点坐标公式，二次函数的最值，解题的关键是数形结合，利用对称的特征，再根据顶点情况求解析式以及根据二次函数解析式求最大值．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 为直线AC 上方的抛物线上的一点，过点的最大值；(3)当PQ 取最大值时，求△【答案】(1)2242y x x =−++；(2)1；(3)2【分析】（1）先求出A 、C 的坐标，再根据二次函数的对称性求出点B 的坐标 ，再利用待定系数法求解即可；（2）设211242P m m m ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭，，则122Q m m ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，，则()21214PQ m =−−+，由二次函数的性质求解即可； （3）根据1PQ =，APC OPC OPAS S S =+△△△进行求解即可．【详解】（1）解：在122y x =−+中，令0x =，则2y =，令0y =，则4x =，∴()()4002A C ，，，，∵抛物线2y ax bx c =++关于直线1x =对称，且经过x 轴上的两点A 、B 与y 轴交于点C ， ∴()20B −，，∴可设抛物线解析式为()()24y a x x =+−，把()02C ，代入()()24y a x x =+−中得()()20204a =+−，∴14a =−，∴抛物线解析式为()()2111242442y x x x x =−+−=−++；（2）解：设211242P m m m ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭，，则122Q m m ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，， ∴211122422PQ m m m ⎛⎫=−++−−+ ⎪⎝⎭ 211122422m m m =−+++−214m m =−+()21214m =−−+， ∵104−<，∴当2m =时，PQ 最大，最大值为1；（3）解：由（2）得当PQ 最大时，1PQ =， ∴APC OPCOPA S S S =+△△△ ()12A C OP x x =⋅−1142=⨯⨯2=．【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，求二次函数解析式等等；灵活运用所学知识是解题的关键．类型二、将军饮马型最值问题(1)求抛物线与直线BD 的解析式；(2)点P 为直线BC 上方抛物线上一动点，当(3)在（2）的条件下，当BPC △有一动点N ，且MN BD ⊥，求【答案】(1)抛物线的解析式为212133y x x =−++，直线BD 的解析式为13y x =−；(2)点P 的坐标为(32，54)；(3)PM MN +的最小值为；【分析】（1）抛物线213y x bx c=−++与x 轴交于(1A −，0)、(3B ，0)两点，由两点式即可得到抛物线的解析式，求得点D 的坐标，利用待定系数法即可求得直线BD 的解析式； （2）过点P 作PF x ⊥轴于点F ，交直线BD 于点E ，求得直线BD 的解析式为y =13−1x +，设点P 的坐标为(m ，212133m m −++)，则点E 的坐标为(m ，13−1)m +，求得PE 关于m 的二次函数，利用二次函数的性质即可求解；（3）作点P 关于直线1x =的对称点P '，求得点P '的坐标为(12，54)，过点P '作直线BD 的垂线P N '，垂足为N ，交直线1x =于点M ，则PM MN +的最小值为P N '的长，证明RtP GN 'Rt BDO ∽，利用相似三角形的性质即可求解；【详解】（1）解：抛物线213y x bx c=−++与x 轴交于(1A −，0)、(3B ，0)两点，∴抛物线的解析式为2112(1)(3)1333y x x x x =−+−=−++，令0x =，则1y =， ∴点(0C ，1)，点D 是点C 关于x 轴的对称点， ∴点(0D ，1)−，设直线BD 的解析式为1y kx =−，031k ∴=−，k ∴=13，∴直线BD 的解析式为y =131x −；（2）解：过点P 作PE x ⊥轴于点F ，交直线BD 于点E ，BPC 的面积=12PE OB ⨯=32PE ，当PE 取得最大值时，BPC 的面积有最大值， 同理求得直线BD 的解析式为y =13−1x +，设点P 的坐标为(m ，212133m m −++)，则点E 的坐标为(m ，13−1)m +， PE ∴=22212113311()33321334m m m m m m −+++−=−+=−−+， 13−0<，∴当m =32时，PE 有最大值，BPC 的面积有最大值， 此时点P 的坐标为(32，54)；（3）解：抛物线1(1)(3)3y x x =−+−的对称轴为直线x =312−1=，作点P 关于直线1x =的对称点P '， 点P 的坐标为(32，54)， ∴点P '的坐标为(12，54)，过点P '作直线BD 的垂线P N '，垂足为N ，交直线1x =于点M ，此时PM MN +=P M 'MN +，根据垂线段最短知PM MN +的最小值为P N '的长， 过点P '作P G '∥y 轴交直线BD 于点G ，则点G 的坐标为(12，56−)， ∴P G '=54(−56−25)12=， (3B ，0)，(0D ，1)−，3OB ∴=，1OD =，BD ∴=P G '∥y 轴，∴∠P GN 'ODB =∠，Rt ∴P GN 'Rt BDO ∽，∴P G P N BD OB ''=253P N'=， ∴P N '=，PM MN ∴+的最小值为．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，平移的性质，熟练掌握所学知识并能够灵活运用是解题的关键．证明：ABC 为直角三角形；求抛物线的顶点【答案】(1)()4,0B ，()0,2C −，2222y x x =−−(2)证明见解析(3)325,28D ⎛⎫− ⎪⎝⎭，354 (4)35,24⎛⎫− ⎪⎝⎭【分析】（1）先由直线122y x =−与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C 求得B ，C 的坐标，再将其代入232y ax x c=−+列方程组求出a 、c 的值，即可求解；（2）先求得A 的坐标，根据勾股定理的逆定理证明ABC 是直角三角形； （3）连接OD ，根据AOC DOC BODACDB S S S S =++△△△四边形进行求解即可；（4）因为AC 的长为定值，所以当PA PC +的值最小时，则ACP △的周长最小，当点P 与点E 重合时，PA PC +的值最小，求出点E 的坐标即可． 【详解】（1）解：在直线122y x =−中，当0y =时，4x =，当0x =时，=2y −，∴()4,0B ，()0,2C −，∵抛物线232y ax x c =−+经过点()4,0B 和点()0,2C −，∴16602a c c −+=⎧⎨=−⎩，解得122a c ⎧=⎪⎨⎪=−⎩， ∴抛物线的解析式为213222y x x =−−．（2）证明：在213222y x x =−−中，当0y =时，则2132022x x −−=，解得11x =−，24x =，∴()10A −，．∵()40B ，，()02C −，，∴1OA =，4OB =，2OC =，∴5AB =，即225AB =．∵90AOC BOC ∠=∠=︒，∴22222125AC OA OC =+=+=，222224220BC OB OC =+=+=， ∴2225AC BC +=，∴222AC BC AB +=，∴ABC 是直角三角形；（3）解：∵抛物线解析式为22131325222228y x x x ⎛⎫=−−=−−⎪⎝⎭， ∴抛物线的顶点D 的坐标是325,28⎛⎫− ⎪⎝⎭； 如图1，连接OD ，∴113125352124222284AOC DOC BOD ACDB S S S S =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=△△△四边形， ∴四边形ACDB 的面积是354．（4）解：∵抛物线解析式为22131325222228y x x x ⎛⎫=−−=−−⎪⎝⎭， ∴抛物线的对称轴为32x =．如图，设抛物线的对称轴DE ：32x =与直线BC 交于点E ，点P 是直线32x =上的点，连接PB AE ，．∵DE 垂直平分AB ， ∴AE BE =，PA PB =，∴PA PC PB PC +=+． ∵AC 为定值，∴当PA PC +的值最小时，ACP △的周长最小． ∵PB PC BC +≥，∴当点P 与点E 重合时，PA PC PB PC EA EC EB EC BC +=+=+=+=， ∴此时PA PC +最小． ∵直线122y x =−，当32x =时，1352224y =⨯−=−， ∴3524E ⎛⎫− ⎪⎝⎭，， ∴当ACP △的周长最小时，点P 的坐标为3254⎛−⎫⎪⎝⎭，． 【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数关系式、勾股定理及其逆定理的应用、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．【答案】(1)245y x x =−++ (2)1258(3)D 的坐标为()0,1−或100,3⎛⎫− ⎪⎝⎭ (4)11017M ,⎛⎫ ⎪⎝⎭，110,5N æö÷ç÷ç÷çèø【分析】（1）把()1,0A −，()5,0B 分别代入25y ax bx =++，利用待定系数法求解；（2）过点P 作PH OB ⊥交BC 于点H ，根据12PBCSOB PH =⋅得到PBCS关于点P 的横坐标的二次函数关系式，进而求出二次函数的最值即可；（3）由45OBC OCB ∠=∠=︒可知：要使BCD △与ABC 相似，则有AB BC BC CD =或AB CDBC BC =，分别求解即可；（4）作点E 关于y 轴的对称点E '，作点()3,F a 关于x 轴的对称点F '，由轴对称的性质可得四边形EFMN 的周长MN NE MF EF MN NE MF EF ''=+++=+++，可知当E '，F '，M ，N 在一条直线上时，四边形EFMN 的周长取最小值，直线E F ''与x 轴、y 轴的交点即为点M 、N ，由此可解． 【详解】（1）解：把()1,0A −，()5,0B 分别代入25y ax bx =++得：0=502555a b a b −+⎧⎨=++⎩ ，解得14a b =−⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为245y x x =−++．（2）解：如图，过点P 作PH OB ⊥交BC 于点H ，令0x =，得5y =，∴()0,5C ，∴设直线BC 的表达式为：y kx b =+， 将()0,5C ，()5,0B 代入y kx b =+，得505b k b =⎧⎨=+⎩，解得15k b =−⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的表达式为5y x =−+， 设()2,45P m m m −++，则()5H m,m −+，∴224555PH m m m m m =−+++−=−+，∴()2211551255522228PBCSOB PH m m m ⎛⎫=⋅=⨯⨯−+=−−+ ⎪⎝⎭，∴当52m =时，PBC S 取最大值，最大值为1258，即BPC △面积的最大值为1258；（3）解：如图，∵()0,5C ，()5,0B ，()1,0A −，∴5OC OB ==，()516AB =−−=，∴45OBC OCB ∠=∠=︒，BC要使BCD △与ABC 相似，则有AB BC BC CD =或AB CDBC BC =，①当AB BC BC CD ==， 解得253CD =，则103OD CD OC =−=，∴100,3D ⎛⎫− ⎪⎝⎭； ② 当AB CD BC BC =时，6CD AB ==，则651OD CD OC =−=−=， ∴()0,1D −，即D 的坐标为()0,1−或100,3⎛⎫− ⎪⎝⎭； （4）解：()224529y x x x =−++=−−+，∵E 为抛物线的顶点， ∴()29E ，，∵()3,F a 在抛物线上，∴234358a =−+⨯+=，∴()3,8F ，如图，作点E 关于y 轴的对称点()29E '−，，作点F 关于x 轴的对称点()3,8F '−，由轴对称的性质可知E N EN '=，F M FM '=，∴四边形EFMN 的周长MN NE MF EF MN NE MF EF ''=+++=+++， ∴当E '，F '，M ，N 在一条直线上时，四边形EFMN 的周长取最小值， 因此，直线E F ''与x 轴、y 轴的交点即为点M 、N ， 设直线E F ''的解析式为：y mx n =+，将()29E '−，，()3,8F '−代入，得9283m nm n =−+⎧⎨−=+⎩，解得175115m n ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线E F ''的解析式为：171155y x =−+，当0x =时，115y =；当171155y x =−+=时，1117x =， ∴11017M ,⎛⎫ ⎪⎝⎭，110,5N æö÷ç÷ç÷çèø．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查一次函数、二次函数、轴对称、相似三角形等知识点，综合性较强，难度较大，解题的关键是综合运用上述知识点，第四问的关键是利用轴对称的性质找出点M 和点N 的位置．类型三、胡不归最值问题(1)直接写出点B 的坐标；(2)在对称轴上找一点P ，使PA PC +的值最小．求点P 的坐标和(3)第一象限内的抛物线上有一动点M ，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为点Q ．依题意补全图形，当2MQ CQ +的值最大时，求点M 的坐标．【答案】(1)()3,0(2)点()1,2P ，PA PC +的最小值为(3)57,24M ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可；（2）根据抛物线的对称性，得到PA PC PB PC BC +=+≥，得到当,,P B C 三点共线时，PA PC +的值最小，为BC 的长，求出直线BC 的解析式，解析式与对称轴的交点即为点P 的坐标，两点间的距离公式求出BC 的长，即为PA PC +的最小值； （3）根据题意，补全图形，设()2,23M m m m −++，得到(),0N m ，(),3Q m m −+，将MQ 的最大值转化为二次函数求最值，即可得解．【详解】（1）解：∵点()1,0A −关于对称轴的对称点为点B ，对称轴为直线1x =，∴点B 为()3,0；（2）当0x =时，3y =，∴()0,3C ，连接BC ，∵()3,0B ，∴BC ==∵点A 关于对称轴的对称点为点B ，∴PA PC PB PC BC +=+≥， ∴当,,P B C 三点共线时，PA PC +的值最小，为BC 的长，设直线BC 的解析式为：y kx n =+，则：330n k n =⎧⎨+=⎩，解得：31n k =⎧⎨=−⎩，∴3y x =−+， ∵点P 在抛物线的对称轴上，∴()1,2P ；∴点()1,2P ，PA PC +的最小值为（3）过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，连接BC 交MN 于点Q ，如图所示，∵()()1,0,3,0A B −，设抛物线的解析式为：()()13y a x x =+−，∵()0,3C ，∴33a =−，∴1a =−，∴()()21323y x x x x =−+−=−++，设()2,23M m m m −++，则：(),0N m ，由（2）知：直线BC ：3y x =−+，∴(),3Q m m −+，∴222333MQ m m m m m =−+++−=−+，∵()()0,3,3,0C B ，∴3OC OB ==，3BN m =−，∴45OBC OCB ∠=∠=︒，∴45NQB OBC ∠=∠=︒，∴)3BQ m =−，∴CQ BC BQ =−==，∴2225253524MQ m m m m m ⎛⎫=−++=−+=−−+⎪⎝⎭， ∴当52m =时，MQ +有最大值，此时57,24M ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以及数形结合的思想进行求解，是解题的关键．(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点E ，F 为平面内两点，若以E 、F 、B 、C 为顶点的四边形是正方形，且点E 在点F 的左侧．这样的E ，F 两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E 的坐标：如果不存在，请说明理由．【答案】(1)21462y x x =++，36y x =+(2)满足条件的E 、F 两点存在，1(8,2)E −，2(4,2)E −，3(4,4)E −(3)当133m =时，12CD PD+的最大值为24【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）①当BC 为正方形的边长时，分别过B 点C 点作12E E BC ⊥，12F F BC ⊥，使12E B E B BC ==，12CF CF BC ==，连接11E F 、22E F ，证明11(AAS)BE H CBO △≌△，得出112E H BO ==，16H B OC ==，则1(8,2)E −同理可得，2(4,2)E −；②以BC 为正方形的对角线时，过BC 的中点G 作33E F BC⊥，使33E F 与BC 互相平分且相等，则四边形33E BF C为正方形，过点3E 作3E N y ⊥轴于点N ，过点B 作3BM E N⊥于点M ，证明33(AAS)CE N E BM △≌△，得出3E B =，在3Rt E NC △中，22233E C CN E N =+，解得2CN =或4，进而即可求解；（3）得出CON 是等腰直角三角形，HPD是等腰直角三角形，则HD DP ==，点P 在抛物线2y 上，且横坐标为m ，得出(,6)H m m −+，进而可得22132242HD DP m m m m ⎫==−+=−+⎪⎝⎭，则12CD PD +2133m ⎫=−⎪⎝⎭，根据二次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：把(6,0)A −，(2,0)B −，(0,6)C 代入21y ax bx c =++得36604206a b c a b c c −+=⎧⎪−+=⎨⎪=⎩ 解得1246a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ ∴211462y x x =++把(2,0)B −代入6y kx =+得3k =∴36y x =+（2）满足条件的E 、F 两点存在，1(8,2)E −，2(4,2)E −，3(4,4)E −解：①当BC 为正方形的边长时，分别过B 点C 点作12E E BC ⊥，12F F BC ⊥，使12E B E B BC ==，12CF CF BC ==，连接11E F 、22E F .过点1E 作11E H x ⊥轴于1H .∵1111,90BE CB BOC E H B E BC =∠=∠=︒=∠， 又111190BE H E BH CBO ∠=︒−∠=∠， ∴11(AAS)BE H CBO △≌△，∴112E H BO ==，16H B OC ==∴1(8,2)E − 同理可得，2(4,2)E −②以BC 为正方形的对角线时，过BC 的中点G 作33E F BC⊥，使33E F 与BC 互相平分且相等，则四边形33E BF C为正方形，过点3E 作3E N y⊥轴于点N ，过点B 作3BM E N⊥于点M∵3333,90CE BE CNE E MB =∠=∠=︒，又33390BE M CE N E CN ∠=︒−∠=∠ ∴33(AAS)CE N E BM △≌△ ∴3CN E M =，3BM E N =∵BC =∴3E G BG ==∴3E B =在3Rt E NC △中，22233E C CN E N =+∴222(6)CN CN =+−解得2CN =或4当4CN =时，3(2,2)E ，此时点E 在点F 右侧故舍去； 当2CN =时，3(4,4)E −.综上所述：1(8,2)E −，2(4,2)E −，3(4,4)E − （3）∵211462y x x =++向右平移8个单位长度得到抛物线()()22184862y x x =−+−+当20y =，即()()21848602x x −+−+=，解得：122,6x x ==∴(2,0)M ，(6,0)N ∵2y 过M ，N ，C 三点 ∴221462y x x =−+在直线NC 下方的抛物线2y 上任取一点P ，作PH x ⊥轴交NC 于点H ，过点H 作HG y ⊥轴于点.G∵(6,0)N ，(0,6)C ∴ON OC =∴CON 是等腰直角三角形 ∵45CHG ∠=︒，90GHP ∠=︒ ∴45PHD ∠=︒ 又PD CN ⊥∴HPD 是等腰直角三角形∴2HD DP HP ==∵点P 在抛物线2y 上，且横坐标为m∴CG GH m ==∴CH ∵6CN y x =−+ ∴(,6)H m m −+∴2211646322HP m m m m m⎛⎫=−+−−+=−+ ⎪⎝⎭∴22132HD DP m m ⎫=−+=+⎪⎝⎭∴211332222CD PD CH HD PD CH PD ⎛⎫+=++=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭2133m ⎫=−⎪⎝⎭∴当133m =时，12CD PD+的最大值为．【点睛】本题考查了二次函数综合运用，正方形的性质，二次函数的性质，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【变式训练2】已知抛物线2y ax bx c ++＝与x 轴交于()()1,030A B −，，两点，与y 轴交于点()0,3C −，抛物线的顶点为D ．(1)求抛物线的解析式与顶点D 的坐标；12BEPABESS：＝：【答案】(1)2=23y x x −−，1,4D −(2)点E 的坐标为：()1,2-或18,33⎛⎫− ⎪⎝⎭(3)【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由12BEPABESS=：：，则12EP EA =：：，由PEHAEC ，得到12EP EA PH AN ==：：：，进而求解；（3）过点B 作BH AD ⊥于点H ，则sin MH MD ADN DM =∠=，则此时BM BH =为最小，进而求解．【详解】（1）∵抛物线2=y ax bx c ++与x 轴交于()()1,030A B −，，两点，∴设抛物线的解析式为()()()21323y a x x a x x =+−=−−，把点()0,3C −代入得，33a −=−，解得，1a =故抛物线的表达式为：2=23y x x −−；（2）连接BP , ∵12BEPABESS=：：，则12EP EA =：：， 过点A 作AN y ∥轴交BC 于点N ，过点P 作PH y ∥轴交BC 于点H ，则PEHAEN ，则12EP EA PH AN ==：：：， 设直线BC 的表达式为y kx b =+，把()()0,330C B −，，代入得：330b k b =−⎧⎨+=⎩，解得，13k b =⎧⎨=−⎩， ∴直线BC 的表达式为：3y x =−， 当=1x −时，34y x =−=−，4AN =， 则2PH =，设点(3)H x x −，，则点()223P x x x −−，，则()()23232PH x x x =−−−−=，解得：1x =或2， 即点4(1)P −，或(23)−，， 同理，由点A 、P 的坐标得，直线AP 的表达式为：22y x =−−或=1y x −−， 联立22y x =−−和3y x =−得：223x x −−=−，解得：13x =，则点1833E ⎛⎫− ⎪⎝⎭，； 联立=1y x −−和3y x =−得：130++−=x x ， 解得：1x =，则点(12)E −，， 即点E 的坐标为：(1)2−，或133 ⎛ ⎝，； （3）连接BD AD 、，由点D 的坐标(1)4−，知，24AN DN ==，， 则1tan 2ADN ∠=，则sin ADN AD ∠=过点B 作BH AD ⊥于点H ，则sin MH MD ADN =∠=，则此时BM BH =为最小，则1122ABDSAB DN AD BH =⨯⨯=⨯⋅，则44BH ⨯=，则BH =，即BM +的最小值为．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏下方的一动点，当PBC 面积最大时，求点【答案】(1)解析式为43y x x =−+，顶点D 的坐标为2,1D −(2)点P 的坐标为33,24P ⎛⎫− ⎪⎝⎭(3)最小值为【分析】（1）根据题意设抛物线的交点式，然后代入点C 的坐标，求解即可； （2）作PM y ∥轴，交BC 于点M ，通过设P 和M 的坐标，利用“割补法”表示出PBCS ，从而利用二次函数的性质求解最值即可；（3）将直线CQ 绕着Q 点逆时针旋转30︒，并过点C 作其垂线，垂足为N ，分别连接AQ ，QN ，CN ，构造出含30︒角的直角三角形，然后转换为求AQ NQ +得最小值，继而确定当A 、Q 、N 三点共线时，满足AQ NQ +取得最小值，此时利用含30︒角的直角三角形的性质分段求解再相加即可得出结论．【详解】（1）解：由题意，设抛物线解析式为()()13y a x x =−−，其中0a ≠，∵3OC =，∴点C 的坐标为()03C ，，将()03C ，代入()()13y a x x =−−，解得：1a =，∴()()21343y x x x x =−−=−+，∴抛物线的解析式为243y x x =−+， ∵对称轴为直线422x -=-=，∴将2x =代入243y x x =−+，得：1y =−， ∴顶点D 的坐标为()2,1D −；（2）解：∵()30B ，，()03C ，，∴直线BC 的解析式为：3y x =−+，∵点P 在抛物线上，且位于直线BC 下方，∴设()2,43P p p p −+，其中，03p <<，如图所示，作PM y ∥轴，交BC 于点M ，∴(),3M p p −+，∴23M P PM y y p p =−=−+，∵PBCPMBPMCS S S=+，()12PMBB P SPM x x =−，()12PMCP C S PM x x =−，∴()()()111222PBCB P PC B C S PM x x PM x x PM x x =−+−=−， ∴()()2113232PBCB C Sp PM x x p −−+==⨯， 整理可得：28323272PBCSp ⎛⎫=−+⎪⎝−⎭，其中03p <<，∵302−<，∴当32p =时，PBCS 取得最大值，将32p =代入243y x x =−+，得：34y =−，∴此时点P 的坐标为33,24P ⎛⎫− ⎪⎝⎭；（3）解：存在最小值，理由如下：如下图所示，将直线CQ 绕着Q 点逆时针旋转30︒，并过点C 作其垂线，垂足为N ， 分别连接AQ ，QN ，CN ，则30CQN ∠=︒，90CNQ ∠=︒，∴在Rt CNQ △中，cos cos30NQ CQN CQ ∠=︒=，∴随着Q 点的运动，总有NQ =，∴AQ AQ NQ =+，要使得AQ +取得最小值，即要使得AQ NQ +取得最小值，如下图，当A 、Q 、N 三点共线时，满足AQ NQ +取得最小值，此时，90CNQ AOQ ∠=∠=︒，30CQN AQO ∠=∠=︒， ∵1OA =，∴2AQ =，OQ =∴3CQ OC OQ =−=∴(cos303NQ CQ =︒==，∴2AQ NQ =+=，∴AQ +存在最小值，最小值为．【点睛】本题考查求二次函数解析式，二次函数综合面积问题，以及利用“胡不归”模型构造三角形求线段和最值问题，掌握二次函数的基本性质，熟练运用函数思想解决图形面积问题是解题关键．课后训练(1)求该抛物线的函数解析式；(2)点P 是该抛物线上的动点，设点P 的横坐标为t （04t <<）． ①当1t =时，求此时四边形OCPB 的面积；②如图2，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，作PE y ⊥轴于点E ，当2PD PE =时，求t 的值； ③如图3，连接BC ，过点P 作PD BC ⊥于点D ，求线段PD 的长的最大值，并求出点P 的坐标． 【答案】(1)2222y x x =−−(2)①7②t =③，()2,3P −【分析】（1）根据抛物线与x 轴的两个交点坐标，直接利用两点式写出函数解析式即可； （2）①先求出点P 的坐标，利用四边形OCPB 的面积OCPOBPS S=+，进行求解即可；②根据题意，可得此时P 点坐标为(),2t t −，代入抛物线解析式，进行求解即可；③过点P 作PE x⊥轴，交BC 于点F ，推出cos PD PF OBC =⋅∠，进而得到当PF 最大时，PD 的值最大，进行求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线212y x bx c =++与x 轴交于点()()1,0,4,0A B −，则：抛物线的解析式为：()()1142y x x =+−，即：213222y x x =−−；（2）①∵213222y x x =−−，当1x =时，323212y −−==−，当0x =时，=2y −，∴当1t =时，P 点坐标为()1,3−，()0,2C −，∴2OC =， ∵()4,0B ，∴4OB =， 连接OP ，则：四边形OCPB 的面积OCP OBPSS=+11214322=⨯⨯+⨯⨯7=； ②∵PD x ⊥轴于点D ，PE y ⊥轴于点E ， ∴PE t =， ∵2PD PE =，∴2PD t =， ∴(),2P t t −，∴2321222t t t −−−=，解得：t =（负值已舍掉），∴t =；③设直线BC 的解析式为y kx n =+， 则：240n k n =−⎧⎨+=⎩，解得：212n k =−⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴122y x =−；∵4,2OB OC ==， ∴BC =∴cos OBC ∠=，过点P 作PE x ⊥轴，交BC 于点F ，∵213,222P t t t ⎛⎫−− ⎪⎝⎭， ∴1,22F t t ⎛⎫− ⎪⎝⎭， ∴()222113112222222222PF t t t t t t =−−++=−+=−−+，∵102−<， ∴当2t =时，PF 的值最大为2，此时()2,3P −，∵PD BC ⊥，PE x ⊥轴， ∴90PDF FEB ∠=∠=︒， 又DFP BFE ∠=∠， ∴DPF OBC ∠=∠， 在Rt PDF中，cos cos PD PF DPF PF OBC =⋅∠=⋅∠=，∴当PF 最大时，PD 值最大， ∵PF 的最大值为2，∴PD值最大为2=，此时()2,3P −． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．属于中考常考压轴题．(1)填空：=a _________，k =_________，t =_________；(2)如图1，连接AC ，AP ，PC ，若APC △是以CP 为斜边的直角三角形，求点(3)如图2，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，过点P 作PQ ⊥的最大值．【答案】(1)4−，4，3；(2)710,2P ⎛⎫− ⎪⎝⎭ (3)16916【分析】（1）分别把()8,0B 代入抛物线解析式和一次函数的解析式，即可求解；（2）作PM x ⊥轴于点M ，根据题意可得2111,644P m m m ⎛⎫−+− ⎪⎝⎭，从而得到2111644PM m m =−+，3AM m =−，再根据COA AMP ∽△△，可求出m ，即可求解；（3）作PN x ⊥轴交BC 于点N ，过点N 作NE y ⊥轴于点E ，则22111316624444PN m m m m m ⎛⎫=−+−−−=−+ ⎪⎝⎭，再根据PQN BOC ∽△△，可得35NQ PN =，45PQ PN =，然后根据CNE CBO ∽△△，可得54CN m =，从而得到1122CQ PQ CN NQ PQ CN PN +=++=+，在根据二次函数的性质，即可求解．【详解】（1）解：∵()8,0B 在抛物线21164y ax x =+−上， ∴11648604a +⨯−=， ∴14a =−，∴抛物线解析式为2111644y x x =−+−， 当0y =时，21116044t t −+−=，∴13t =，28t =（舍），∴3t =．∵()8,0B 在直线6y kx =−上，∴860k −=， ∴34k =，∴一次函数解析式为364y x =−． 故答案为：14−，34，3；（2）如图，作PM x ⊥轴于点M ，对于2111644y x x =−+−，令x=0，则y=-6， ∴点()0,6C −，即6OC =， ∵()3,0A ， ∴3OA =，∵点P 的横坐标为m ． ∴2111,644P m m m ⎛⎫−+− ⎪⎝⎭， ∴2111644PM m m =−+，3AM m =−，∵90CAP ∠=︒，∴90OAC PAM ∠+∠=︒，∵90APM PAM ∠+∠=︒，∴OAC APM ∠=∠，∵90AOC AMP ∠=∠=︒，∴COA AMP ∽△△， ∴OA OC PM MA =， ∴OA MA OC PM ⋅=⋅，即21113(3)6644m m m ⎛⎫−=⋅−+ ⎪⎝⎭， ∴13m =（舍），210m =，∴10m =，∴点710,2P ⎛⎫− ⎪⎝⎭． （3）如图，作PN x ⊥轴交BC 于点N ，过点N 作NE y ⊥轴于点E ，∵2111,644P m m m ⎛⎫−+− ⎪⎝⎭， ∴点3,64N m m ⎛⎫− ⎪⎝⎭， ∴22111316624444PN m m m m m ⎛⎫=−+−−−=−+ ⎪⎝⎭，∵PN x ⊥轴，∴PN y ∥轴，∴PNQ OCB ∠=∠，∵90PQN BOC ∠=∠=︒，∴PQN BOC ∽△△， ∴PN NQ PQ BC OC OB ==， ∵8OB =，6OC =，∴10BC =， ∴35NQ PN =，45PQ PN =，∵EN y ⊥轴，∴EN x ∥轴，∴CNE CBO ∽△△， ∴CN EN BC OB =，即108CN m = ∴54CN m =， ∴1131422525CQ PQ CN NQ PQ CN PN PN CN PN +=++=++⨯=+， ∴2221511131131692244444216CQ PQ m m m m m m ⎛⎫+=−+=−+=−−+ ⎪⎝⎭，∴当132m =时，12CQ PQ +的最大值是16916．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键，是中考的压轴题． 3．如图，在平面直角坐标系中，AOC 绕原点O 逆时针旋转90得到DOB ，其中点A 的坐标为()102CD −=，，．(1)写出C 点的坐标______，B 点的坐标______；(2)若二次函数20y ax bx c a =++≠（）经过A ，B ，C 三点，求该二次函数的解析式；(3)在（2）条件下，在二次函数的对称轴l 上是否存在一点P ，使得PA PC +最小？若P 点存在，求出P 点坐标；若P 点不存在，请说明理由．【答案】(1)(0,3)−；(3,0)(2)2=23y x x −−(3)()12−，【分析】（1）根据旋转的性质结合点A 的坐标、CD 的长度，即可找出OC OB 、的值，进而即可得出点B 、C 的坐标；（2）根据点A 、B 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；（3）根据抛物线的对称性可得知：连接BC 交对称轴于点P ，点P 是所求的点．利用二次函数的性质可找出抛物线对称轴为直线1x =，根据点B 、C 的坐标，利用待定系数法可求出直线BC 的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标．【详解】（1）解：∵AOC 绕原点O 逆时针旋转90︒得到DOB ，点A 的坐标为()102CD −=，，，∴1OD OA ==，∴3OC OB ==，∴点C 的坐标为(0,3)−，点B 的坐标为(3,0)．故答案为：(0,3)−；(3,0)．（2）将),,,(10)(03(0,),3A C B −−代入2y ax bx c =++，得：09303a b c a b c c −+=⎧⎪++=⎨⎪=−⎩，解得：123a b c =⎧⎪=−⎨⎪=−⎩，∴该二次函数的解析式为2=23y x x −−．（3）由抛物线的对称性可以得出点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC 交对称轴于点P ，则点P 是所求的点．∵()222314y x x x =−−=−−，∴对称轴为直线1x =，∴P 点的横坐标为1．设直线BC 的解析式为(0)y mx n m =+≠，将()()3003B C −，、，代入y mx n =+，得：303m n n +=⎧⎨=−⎩，解得：13m n =⎧⎨=−⎩，∴直线BC 的解析式为3y x =−，∴当1x =时，32y x =−=−，∴点P 的坐标为()12−，．【点睛】本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、旋转的性质以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是：（1）根据旋转的性质求出OB OC 、的值；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（3）利用两点之间线段最短，确定点P 的位置．。
二次函数十大解题模型汇总(模型+例题+练习题)
角线 a 的关系．
2、已知：一等腰直角三角形的面积为 S，请写出 S 与其斜边长 a 的关系表达式，并分别求出 a=1，a= 2 ，
a=2 时三角形的面积．
1 3、在物理学内容中，如果某一物体质量为 m，它运动时的能量 E 与它的运动速度 v 之间的关系是 E= 2 mv2
（m 为定值）．（1）若物体质量为 1，填表表示物体在 v 取下列值时，E 的取值：
例 2、如果人民币一年定期储蓄的年利率是 x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存， 到期支取时，银行将扣除利息的 20%作为利息税．请你写出两年后支付时的本息和 y（元）与年利率 x 的 函数表达式．
例 3、某商场将进价为 40 元的某种服装按 50 元售出时，每天可以售出 300 套．据市场调查发现，这种服 装每提高 1 元售价，销量就减少 5 套，如果商场将售价定为 x，请你得出每天销售利润 y 与售价的函数表 达式．
二次函数十大解题模型汇总（模型+例题+练习题）
模型 1：根据二次函数的定义求字母的值
例 1：函数 y=（m＋2）x m2−2 ＋2x－1 是二次函数，则 m=
．
对象：y=（m＋2）x m2−2 ＋2x－1 角度：二次函数的稀疏，次数
专题02 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质压轴题八种模型全攻略(解析版)
专题02二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质压轴题八种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一把y=ax²+bx+c化成顶点式】 (1)【考点二画二次函数y=ax²+bx+c的图象】 (3)【考点三二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质】 (8)【考点四求二次函数与x轴的交点坐标】 (12)【考点五求二次函数与y轴的交点坐标】 (13)【考点六已知二次函数上对称的两点求对称轴】 (14)【考点七二次函数的平移】 (16)【考点八根据二次函数的增减性求最值】 (17)【过关检测】 (21)【典型例题】【考点一把y=ax²+bx+c化成顶点式】故答案为：()2211y x =--，1x =，()1,1-．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解答的关键是熟练掌握二次函数2()y a x h k =-+的性质：顶点坐标为(),h k ，对称轴为直线x h =．【变式训练】【分析】等式的右边先提取二次项系数，再利用配方法加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【详解】解：2361y x x =-+-23(211)1x x =--+--23(1)2x =--+．故答案为：23(1)2y x =--+．【点睛】本题考查了二次函数的解析式的三种形式，能够正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键，注意二次函数的性质要熟练掌握．【考点二画二次函数y =ax ²+bx +c 的图象】(3)当12x -<<时，观察图像，直接写出函数值【答案】(1)()214y x =--+，对称轴为直线(2)见解析(3)04y <≤【分析】（1）利用配方法将二次函数解析式化为顶点式即可得到答案；（2）先列表，然后描点，最后连线即可；（3）根据函数图象求解即可．（3）解：由函数图象可知，当-【点睛】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，画二次函数图象，图象法求函数值的取值范围等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．【变式训练】1．（2023·全国·九年级假期作业）已知抛物线(1)该抛物线的对称轴是_______，顶点坐标(2)选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；x……y……(3)若该抛物线上两点11(,)A x y ，22(,)B x y 【答案】(1)2x =-，(2,3)-(2)填表见解析，画图见详解(3)12y y <（3）解：由（2）可知，当<2x -时，函数值随自变量的增大而增大，∴横坐标满足122x x <<-时，两点11(,)A x y ，22(,)B x y 中，∴当122x x <<-时，12y y <．【点睛】本题主要考查二次函数的综合知识，掌握二次函数中对称轴的计算方法，顶点的计算方法，绘图的方法，二次函数图像的性质是解题的关键．2．（2023·上海松江·统考一模）已知二次函数2241y x x =--．(1)用配方法求这个二次函数的顶点坐标；(2)在所给的平面直角坐标系xOy 中（如图），画出这个二次函数的图像；(3)请描述这个二次函数图像的变化趋势．【答案】(1)顶点坐标()1,3-(2)见解析(3)这个二次函数图像在对称轴直线1x =左侧部分是下降的，右侧部分是上升的【分析】（1）将函数解析式化为顶点式，即可得出答案；（2）先求出几个特殊的点，然后描点连线即可；（3）根据（2）函数图像，即可得出结果．（3）解：这个二次函数图像在对称轴直线【点睛】本题主要考查二次函数的基本性质及作图方法，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．3．（2023秋·九年级统考期末）小明用描点法画抛物线(1)请帮小明完成下面的表格，并根据表中数据在所给的平面直角坐标系中描点，连线从而画出此抛物线；x…1-0--…8-2y x x=+43(2)直接写出抛物线的对称轴，顶点坐标．（2）解：由图象得，【考点三二次函数y =ax ²+bx +c 的图象和性质】例题：（2023·全国·九年级假期作业）对于二次函数223y x x =-+的图象，下列说法正确的是（）A ．开口向下B ．顶点坐标是(1,2)C ．对称轴是直线=1x -D ．当=1x -时，y 有最大值是2【答案】B【分析】将二次函数的一般式转化为二次函数的顶点式，再根据二次函数的性质即可解答．【详解】解：∵2223(1)2y x x x =-+=-+，∴由10a =>知抛物线开口向上，故A选项错误；∵顶点坐标是(1,2)，故B选项正确；x=，∵对称轴是直线1故C选项错误；x=时，y取得最小值2，无最大值，∵当1故D选项错误；故选：B．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，学会将二次函数的一般式转化为二次函数的顶点式是解题的关键．【变式训练】【考点四求二次函数与x轴的交点坐标】【变式训练】【考点五求二次函数与y 轴的交点坐标】例题：（2023·上海·一模）抛物线233y x x =--+与y 轴交点的坐标为____．【答案】(0,3)【分析】把0x =代入抛物线233y x x =--+，即得抛物线233y x x =--+与y 轴的交点．【详解】解： 当0x =时，抛物线233y x x =--+与y 轴相交，∴把0x =代入233y x x =--+，求得3y =，∴抛物线233y x x =-+-与y 轴的交点坐标为(0,3)．故答案为：(0,3)．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较简单，掌握y 轴上点的横坐标为0是解题的关键．【变式训练】【考点六已知二次函数上对称的两点求对称轴】例题：（2023春·江苏盐城·八年级校考期中）已知抛物线2y x bx c =++经过点()0,6A 、()4,6B ，那么此抛物线的对称轴是______．【答案】2x =【分析】先根据抛物线上两点的纵坐标相等可知两点关于对称轴对称，再根据中点坐标公式求出这两点横【变式训练】【考点七二次函数的平移】例题：（2023·广东江门·统考模拟预测）把函数2y x =的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度平移后图象的函数解析式为___________．【答案】2(2)3y x =--【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可．【详解】2y x =的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得2(2)3y x =--．故答案为：2(2)3y x =--．【点睛】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．掌握此规律解题是本题的关键．【变式训练】1．（2023·广东佛山·校考三模）将抛物线22y x =-先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是______．【答案】2245y x x =---【分析】根据“左加右减、上加下减”的平移原则进行解答即可．【详解】解：抛物线22y x =-向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为()22213245y x x x =-+-=---故答案为：2245y x x =---．【点睛】本题考查了二次函数的平移，掌握函数平移规律是解题的关键．2．（2023·黑龙江牡丹江·统考二模）将二次函数221y x x =++的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的新图象与y 轴交点的纵坐标为_______．【答案】12【分析】先根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减得出平移后的抛物线的解析式，再求解新函数与y 轴交点的纵坐标即可．【详解】解：∵()22211y x x x =++=+，∴将此二次函数向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的新二次函数为()233y x =++，当0x =时，12y =；∴新函数图象与y 轴交点的纵坐标为12；故答案为：12．【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，熟知抛物线的平移规律是解题的关键．3．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）把抛物线22(3)7y x =--+先向左移动2个单位，在向下移动4个单位，所得到的新的抛物线的顶点坐标为____________．【答案】(1,3)【分析】根据上加下减，左加右减的规律即可求解．【详解】解：抛物线平移后解析式为()223274y x =--++-，即()2213y x =--+，所以新的抛物线的顶点坐标为()1,3，故答案为：()1,3．【点睛】本题考查了抛物线的平移与求顶点坐标，需掌握以下两点：1.抛物线的平移规律是上加下减，左加右减；2.抛物线的顶点式解析式为()()20y a x h k a =-+≠，其中顶点为(),h k ．【考点八根据二次函数的增减性求最值】例题：（2023春·浙江杭州·九年级杭州市杭州中学校考阶段练习）二次函数245(30)y x x x =++-≤≤的最大值是___________，最小值是___________．【答案】51【分析】先把解析式配成顶点式得到()221y x =++，由于30x -≤≤，根据二次函数的性质得0x =时，y 的值最大；当2x =-时，y 有最小值，然后分别计算对应的函数值．【详解】解：()224521y x x x =++=++，当2x =-时，y 有最小值1，∵30x -≤≤，∴0x =时，y 的值最大，最大值为5；当2x =-时，y 有最小值1，故答案为：5；1．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性，根据顶点式求出最小值．【变式训练】【过关检测】一、单选题∴抛物线开口向下，故选项A 错误，不合题意；当时0x =时，1y =，即抛物线与y 轴的交点为(0,1)，即抛物线与y 轴交于正半轴，故选项B 错误，不合题意；∵该函数图像开口向下，对称轴为1x =，∴当1x >时，y 随x 的增大而减小，选项C 正确，符合题意；根据二次函数图像的对称性质可知，当3x =时，5y =-，可知方程20ax bx c ++=的正根在2与3之间，故选项D 错误，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的图像与性质解答．二、填空题当该抛物线经过点(4,0)-时，恰好有8个整点，此时可有20(4)2(4)1m m m =⨯-+⨯-++，三、解答题13．（2023秋·湖北荆州·九年级校联考阶段练习）已知函数2=+43y x x --．(1)该函数图象的开口方向是______；(2)求出函数图象的对称轴和顶点坐标；(3)当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？【答案】(1)向下(2)函数图象的对称轴是2x =，顶点坐标是()2,1(3)当2x <时，y 随x 的增大而增大【分析】（1）根据二次项系数小于0，即可得出抛物线开口向下；(1)抛物线的对称轴是___________(2)列表、描点画这条抛物线．【答案】(1)直线2x =-；(2,1-(2)见详解【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数对称轴、顶点以及如何画抛物线的图象是解题的关键．15．（2023秋·吉林长春·九年级吉林大学附属中学校考阶段练习）已知抛物线B 两点，与y 轴交于C 点．(1)A 点坐标为，B 点坐标为(2)点P 是抛物线上第一象限内的一点，若【答案】(1)()1,0-；(5,0(2)()3,8P【点睛】本题考查了二次函数的应用，是解题的关键．16．（2023秋·北京·九年级北京八十中校考阶段练习）已知二次函数(1)该二次函数化为顶点式为________(2)该二次函数图像与x 轴的交点坐标为(3)在所给平面直角坐标系xOy 中，画出该二次函数的图像；(4)结合函数图像，直接写出：当0y ＞时，x 的取值范围为________当12x -≤≤时，y 的取值范围为1（4）根据函数图像，得当0y ＞时，x 的取值范围为x 3＞故答案为：x 3＞或1x -＜；∵对称轴1x =在12x -≤≤中，函数的最小值为∴当12x -≤≤时，y 的取值范围为故答案为：20-≤≤y ．(1)点A的坐标为___________(2)在对称轴上是否存在一点(3)在直线CB下方的抛物线上是否存在点在，说明理由．（提示：连接∵抛物线的解析式为：y ∴抛物线的对称轴为：x ∵()()3,00,3B C -、∴设直线BC 的解析式为如上图，过CB 下方的抛物线上的点从而使得BCD △的面积最大．设过点D 的直线的解析式为设直线OQ 的解析式为y =将()2,2Q 代入y kx =，∴1k =，∴直线OQ 的解析式为y =()∵抛物线为()2221y ax ax c a x c a =-+=-+-，而2c =，则()222212y ax ax a x a =-+=-+-，∴平移后的抛物线()2112y a x a =++-()1,12A a ∴--，()0,1B a -，如图，作B 点关于1x =的对称点()2,1B a '-，作A 点关于=5y -的对称点()1,211A a '--，连接A B ''交1x =、=5y -于点M N 、，此时四边形ABMN 的周长最小，设直线AB 的解析式为y kx b =+，将()1,12A a --，()0,1B a -代入可得121a k b a b -=-+⎧⎨-=⎩，解得1k a b a =⎧⎨=-⎩，∴直线AB 的解析式为1y ax a =+-，设直线A B ''的解析式为y k x b ''=+，将()1,211A a '--，()2,1B a '-代入可得21112a k b a k b '-=-+⎧⎨-'+'=⎩'，解得47k a b a =-⎧⎨=-''⎩，∴直线A B ''的解析式为()()47y a x a =-+-，AB MN ∥ ，4a a ∴=-，解得2a =．【点睛】本题为二次函数综合题目，考查了二次函数的性质，二次函数的平移，熟练画出大概图形并作出四边形ABMN 周长最小时的图形是解题的关键．。
二次函数常见题型及解题策略(压轴题)
二次函数常见题型及解题策略(压轴题)二次函数常见题型及解题策略1、两点间的距离公式：、中点坐标：线段AB的中点C的坐标为：3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：① 用和参数的其他要求确定参数的取值范围；② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。
例：关于x的一元二次方程x2－＝0有两个整数根，m＜5且m为整数，求m的值。
4、二次函数与x轴的交点为整数点问题。
（方法同上）例：若抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式。
5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。
举例如下：已知关于x的方程（m为实数），求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根。
解：当时，；当时，，，、； m2m综上所述：无论m为何值，方程总有一个固定的根是1。
6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线（m是常数），求证：不论m为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。
解：把原解析式变形为关于m的方程；，解得：；∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。
（题目要求等价于：关于m的方程不论m为何值，方程恒成立） 2小结：关于x的方程有无数解．．第 1 页共 4 页7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）（1）如图，直线l1、l2，点A在l2上，分别在l1、l2上确定两点M、N，使得之和最小。
（2）如图，直线l1、l2相交，两个固定点A、B，分别在l1、l2上确定两点M、N，使得之和最小。
（3）如图，A、B是直线l同旁的两个定点，线段a，在直线l上确定两点E、F（E在F的左侧），使得四边形AEFB的周长最小。
8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法9、函数的交点问题：二次函数（y＝ax＋bx＋c）与一次函数（y＝kx＋h）2＝ax2＋bx＋c（1）解方程组可求出两个图象交点的坐标。
专题06 难点探究专题：利用二次函数求面积、周长最值问题压轴题四种模型全攻略(解析版)
专题06难点探究专题：利用二次函数求面积、周长最值问题压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一利用二次函数求面积最大值问题】 (1)【考点二利用二次函数求面积最小值问题】 (11)【考点三利用二次函数求周长最大值问题】 (17)【考点四利用二次函数求周长最小值问题】 (27)【典型例题】【考点一利用二次函数求面积最大值问题】(1)求抛物线的表达式；(2)若点P 是第四象限内抛物线上一动点，连接(3)当21a x a -≤≤+时，抛物线有最小值【答案】(1)223y x x =--(2)278当0x =时，3y =-,∴点()0,3C -,设直线BC 的表达式为y mx n =+，把()3,0和()0,3-代入得：303m n n +=⎧⎨=-⎩，解得13m n =⎧⎨=-⎩【变式训练】1．（2023春·河北沧州·九年级校考期中）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为()4,0，与y 轴交于()0,4C -点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积．【答案】(1)234y x x =--(2)P 点的坐标为：()2,6-，四边形ABPC 的面积的最大值为18【分析】（1）将B 、C 的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；（2）由于ABC 的面积为定值，当四边形ABPC 的面积最大时，BPC △的面积最大；过P 作y 轴的平行线，交直线BC 于Q ，交x 轴于F ，求得直线BC 的解析式，可设出P 点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC 的解析式求出Q 、P 的纵坐标，即可得到PQ 的长，以PQ 为底，B 点横坐标的绝对值为高即可求得BPC △的面积，由此可得到关于四边形ACPB 的面积与P 点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC 的最大面积及对应的P 点坐标．【详解】（1）解：将B 、C 两点的坐标代入得，16404b c c ++=⎧⎨=-⎩，解得：34b c =-⎧⎨=-⎩，所以二次函数的表达式为：234y x x =--；（2）解：如图，过点P 作y 轴的平行线与BC 交于点Q ，与OB 交于点F ，()2,34P x x x --，设直线BC 的解析式为：y kx d =+，则440d k d =-⎧⎨+=⎩，解得：14k d =⎧⎨=-⎩，∴直线BC 的解析式为：4y x =-，则Q 点的坐标为(),4x x -；当2034x x =--，(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 位于第一象限时，连接BP ，CP ，得到(3)当点P 位于第四象限时，连接AC ，BC 【答案】(1)223y x x =-++315设直线BC 的解析式为303k b b +=⎧⎨=⎩，解得：13k b =-⎧⎨=⎩，由（1）及题意可得：解得：121,3x x =-=，∴BOC 为等腰直角三角形，即∴EFB △为等腰直角三角形，∴EF BF =，(1)求该抛物线的解析式；(2)当点P 在第四象限时，求BCP 的最大面积；(3)当点P 在第一象限，且PCB ABC ∠=∠时，求出点【答案】(1)213222y x x =--(2)BCP S 最大值为4令0y =，则2132022x x --=解得11x =-，24x =，∴()4,0B 设BC 的解析式为y kx b =+，把(0,C -解得122k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，，∵PCB ABC ∠=∠，∴CH BH =，∵222CH OC OH =+，∴()2222BH CH OC OB BH ==+-=解得52BH =，∴53422OH OB BH =-=-=，【考点二利用二次函数求面积最小值问题】(1)运动开始后第几秒时(2)设五边形APQCD【答案】(1)2秒或(2)2672=-+S t t【分析】（1）设运动开始后第【变式训练】(1)求b，c的值；=-(2)已知P为抛物线y x求点P的坐标；(3)在（2）的条件下，平移抛物线△面积的最小值．QBP'∵52QBP PQ S '=△，∴当P Q '取最小值时，S △∵()542P Q b c '=---+=2292424b b b b ⎛⎫=+--+=+ ⎪⎝⎭(1)b=，c=；(2)在P，Q运动的过程中，当t为何值时，四边形(3)已知点M是该抛物线对称轴上一点，当点M的坐标．【答案】(1)2，3(2)当=2t时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为(3)21,3 M⎛⎫⎪⎝⎭∴22t AH PH t ===，即(3,0H t -∴ABC APQBCPQ S S S =-四边形 1122OC AB AQ PH =⨯⨯-⨯⨯()1134422t t =⨯⨯-⨯-⨯()21242t =-+，∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，且∵()2,1P ，()1,0B -，∴利用待定系数法可得直线BP 的解析式为：当1x =时，23y =．即点M 的坐标为21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，轴对称最值问题，用方程的思想解决问题是解本题的关键．【考点三利用二次函数求周长最大值问题】(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t 为何值时，矩形ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持2t =时的矩形ABCD 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点线GH 平分矩形ABCD 的面积时，求抛物线平移的距离．∵直线GH 平分矩形ABCD 的面积，∴直线GH 过点P ．．由平移的性质可知，四边形OCHG ∴PQ CH =．【变式训练】1．（2023春·湖南长沙·八年级校考期末）已知抛物线()()221274y a x a x a =-+-+-（a 为常数，0a >）的图象经过原点，点A 在抛物线上运动．(1)求a 的值．(1)求直线AB 和抛物线的解析式；(2)点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点连接PO ，设点P 的横坐标为m ①若点P 在x 轴上方，当m 为何值时，②若点P 在x 轴下方，设POC △大，最大值是多少？【答案】(1)34y x =，218y x =(2)①当44103m +=时，POC △(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；(3)当矩形MNHG的周长最大时，在二次函数图象上是否存在点916若存在，直接写出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．223=-++y x x则(),3E n n -+，∴223PD n n DE =-++，∴23PE PD DE n =-=-+∵PNC PNE PCE S S S =+=【考点四利用二次函数求周长最小值问题】(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴上有一动点【答案】(1)2=2y x x --(2)1032+【分析】（1）由1OA =【点睛】本题主要考查了待定系数法、抛物线图像的对称性、最短距离问题等知识点，利用抛物线的对称性处理最短距离问题是解本题的关键．【变式训练】1．（2023秋·云南临沧·九年级统考期末）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴为直线2x =，点B 坐标为()3,0，D 为抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式．(2)P 为该抛物线对称轴上一动点，当ACP △的周长最小时，求点P 的坐标．(3)当函数2y x bx c =++的自变量x 满足2m x m ≤≤+时，函数y 的最小值为3，求m 的值．【答案】(1)243y x x =-+(2)当ACP △的周长最小时，点P 的坐标为()2,1(3)满足条件的m 的值为2-或4【分析】（1）根据点()3,0B 和抛物线的对称轴求出点A 的坐标，再把A ，B 两点的坐标代入2y x bx c =++求解即可；（2）连接BC 交直线2x =于点P ，此时ACP △的周长最小，根据B ，C 两点求出直线BC 的解析式，再把2x =代入求解，即可得出点P 的坐标；（3）分三种情况：①当22m +≤时；②当2m ≥时；③当02m <<时；分别进行求解即可．【详解】（1）∵点()3,0B 与点A 关于直线2x =对称，∴点A 的坐标为()1,0，把点()1,0A ，()3,0B 代入2y x bx c =++，得10930b c b c ++=⎧⎨++=⎩，解得43b c =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为243y x x =-+；（2）∵点A ，B 关于直线2x =对称，∴如图，连接BC 交直线2x =于点P ，此时ACP △的周长最小，令0x =，得3y =，∴()0,3C ，设直线BC 的解析式为y kx n =+，代入()3,0B ，()0,3C ，得303k n n +=⎧⎨=⎩，解得13k n =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为3y x =-+，当2x =时，231y =-+=，∴()2,1P ，∴当ACP △的周长最小时，点P 的坐标为()2,1；（3）①当22m +≤时，即0m ≤，此时y 随着x 的增大而减小，当2x m =+时，y 有最小值，即()()224233m m +-++=，解得2m =-或2m =（舍去）；②当2m ≥时，此时y 随着x 的增大而增大，此时当x m =时，y 有最小值，即2433m m -+=，解得4m =或0m =（舍去）；③当02m <<时，此时当2x =时，y 有最小值为224231-⨯+=-，不符合题意，舍去．综上所述，满足条件的m 的值为2-或4．【点睛】本题考查了二次函数的综合，熟练掌握数形结合的解题方法是解题的关键．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）综合与探究如图，经过()3,0B ，()0,3C -两点的抛物线2y x bx c =-+与x 轴的另一个交点为A ．(1)求抛物线的解析式；(2)点D 在抛物线的对称轴上，当(3)已知点M 在抛物线上，求(4)已知()2,3E -，请直接写出能以点设直线BC 的解析式为y mx =303m n n +=⎧⎨=-⎩，解得13m n =⎧⎨=-⎩，∴直线BC 为3y x =-，当1x =时，=2y -，∴点D 的坐标为()1,2-．此时AE 、BP 的中点重合，123030s t -+=+⎧∴⎨-=+⎩，解得，23s t =-⎧⎨=-⎩，()23P ∴--，；②当AP 、BE 为对角线，如图：132003s t -=+⎧∴⎨+=-⎩，解得，63s t =⎧⎨=-⎩，()63P ∴-，；③当AB 、PE 为对角线，如图：(1)求二次函数的表达式；△周长的最小值；(2)如图1，求AOD(3)如图2，过动点D作DP AC∥交抛物线第一象限部分于点P，连接为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．1（3）由已知点()2,0A -，()6,0B 设直线BC 的表达式为y kx b =+，(1)求抛物线及直线AC 的函数关系式；(2)在对称轴上是否存在一点M ，使ANM 的周长最小．若存在，请求出值；若不存在，请说明理由．(3)若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求APC △【答案】(1)223y x x =--+，1y x =-+(2)在对称轴上存在一点2()1,M -，ANM 周长的最小值为327的坐标为115(,)24-∵点C ，N 关于抛物线的对称轴对称，∴MN CM =，∴AM MN AM MC +=+∴此时ANM 周长取最小值，当=1x -时，1y x =-+=∴此时点M 的坐标为(1,-设点P 的坐标为2(,x x -∴223PE x x =--+，EF ∴2PF PE EF x =-=-∵点(2,3)C -，∴点(2,0)Q -，。
中考数学中二次函数压轴题分类总结
二次函数的压轴题分类复习一、抛物线关于三角形面积问题例题 二次函数k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐标为M(1，4-). （1）求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ∆∆=45,若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.练习：1. 如图．平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（－2，2），点B 的坐标为（6，6），抛物线经过A 、O 、B 三点，线段AB 交y 轴与点E ． （1）求点E 的坐标； （2）求抛物线的函数解析式；（3）点F 为线段OB 上的一个动点（不与O 、B 重合），直线EF 与抛物线交与M 、N 两点（点N 在y 轴右侧），连结ON 、BN ，当点F 在线段OB 上运动时，求∆BON 的面积的最大值，并求出此时点N 的坐标；yBAMEF2. 如图，已知抛物线4212++-=x x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式；（2）设),(y x P （0>x ）是直线x y =上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作正方形PEQF ．若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值．二、抛物线中线段长度最小问题例题 如图，对称轴为直线x ＝－1的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（－3，0）． （1）求点B 的坐标；（2）已知a =1，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且S △POC ＝4S △BOC ，求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴，QD 交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．OABP EQFxyEN MDCBAOyx练习：1. 如图， Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线223y x bx c =++经过B 点，且顶点在直线52x =上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．三、抛物线与线段和最小的问题例题 如图，已知抛物线()()()120y x x a a a=-+>与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．（1）若抛物线过点M （﹣2，﹣2），求实数a 的值； （2）在（1）的条件下，解答下列问题； ①求出△BCE 的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H ，使CH+EH 的值最小，直接写出点H 的坐标．练习：1. 如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点A （-1， 0）和点B （0，-5）． （1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P ，使得△ABP2. 如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出H 的坐标；（3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时，△EFK 的面积最大？并求出最大面积．四、抛物线与等腰三角形例题：已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．练习：1. .如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3）它的对称轴是直线12 x=-（1）求抛物线的解析式；（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．2. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．3. 如图，已知抛物线于x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形，若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由：（3）若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。
初中二次函数压轴题题型归纳及方法
初中二次函数压轴题题型归纳及方法一、题型归纳初中二次函数压轴题主要包括以下几种类型：1. 求解二次方程，确定函数的零点2. 求解顶点坐标、对称轴及最值3. 判断函数的单调性和定义域、值域4. 与其他函数进行比较，确定大小关系5. 给定函数图像或部分信息，确定函数的表达式二、方法详解1. 求解二次方程，确定函数的零点求解二次方程可以使用因式分解法、配方法和公式法。
其中，因式分解法适用于形如x^2+bx+c=0的方程；配方法适用于形如ax^2+bx+c=0且a≠0的方程；公式法适用于所有形如ax^2+bx+c=0的方程。
求得二次方程的根后，即可得到函数的零点。
若根为实数，则该实数即为零点；若根为复数，则该函数无实零点。
2. 求解顶点坐标、对称轴及最值对于一般形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的二次函数，其顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中f(x)=ax^2+bx+c。
对称轴为x=-b/2a，最值为f(-b/2a)。
若函数为y=a(x-h)^2+k的形式，则顶点坐标为(h,k)，对称轴为x=h，最值为k。
3. 判断函数的单调性和定义域、值域对于一般形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的二次函数，当a>0时，函数在顶点左侧单调递减，在顶点右侧单调递增；当a<0时，函数在顶点左侧单调递增，在顶点右侧单调递减。
定义域为实数集R，值域取决于a的符号。
4. 与其他函数进行比较，确定大小关系与线性函数比较：当x趋近正无穷时，二次函数增长速度大于线性函数；当x趋近负无穷时，二次函数增长速度小于线性函数。
因此，在x 轴正半轴上，二次函数与线性函数相交一次，并在该点处取得最小值（或最大值）；在x轴负半轴上，则无交点。
与指数函数比较：当x趋近正无穷时，指数函数增长速度大于二次函数；当x趋近负无穷时，指数函数增长速度小于二次函数。
因此，在x 轴正半轴上，指数函数与二次函数相交一次，并在该点处取得最小值（或最大值）；在x轴负半轴上，则无交点。
二次函数压轴题题型总结有答案
二次函数压轴题解题思路一、基本知识1会求解析式以及一些关键点的坐标如函数图像与坐标轴的交点、两函数图像的交点等;2.会利用函数性质和图像3.相关知识：如一次函数、反比例函数、点的坐标、方程;图形中的三角形、四边形、圆及平行线、垂直;一些方法：如相似、三角函数、解方程;一些转换：如轴对称、平移、旋转;二、典型例题：一、求解析式可参考一下部分试题的第一问;二、二次函数的相关应用第一类：面积问题例题. 2012莱芜如图,顶点坐标为2,﹣1的抛物线y=ax2+bx+ca≠0与y轴交于点C0,3,与x轴交于A、B两点．1求抛物线的表达式；抛物线的解析式：y=x﹣22﹣1=x2﹣4x+3．2设抛物线的对称轴与直线BC交于点D,连接AC、AD,求△ACD的面积；练习：1. 2014兰州如图,抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A﹣1,0,C0,2． 1求抛物线的表达式；2在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形如果存在,直接写出P点的坐标；如果不存在,请说明理由；3点E时线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．第二类：.构造问题1构造线段2014枣庄如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x 轴交于A、B两点,与y轴交于点C,连接BC,点D为抛物线的顶点,点P是第四象限的抛物线上的一个动点不与点D重合．1求∠OBC的度数；2连接CD、BD、DP,延长DP交x轴正半轴于点E,且S△OCE =S四边形OCDB,求此时P点的坐标；3过点P作PF⊥x轴交BC于点F,求线段PF长度的最大值．2构造相似三角形2013莱芜如图,抛物线y=ax2+bx+ca≠0经过点A﹣3,0、B1,0、C﹣2,1,交y轴于点M．1求抛物线的表达式；2D为抛物线在第二象限部分上的一点,作DE垂直x轴于点E,交线段AM于点F,求线段DF长度的最大值,并求此时点D的坐标；3抛物线上是否存在一点P,作PN垂直x轴于点N,使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似若存在,求点P的坐标；若不存在,请说明理由．3构造平行四边形2014莱芜如图,过A1,0、B3,0作x轴的垂线,分别交直线y=4﹣x 于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点． 1求抛物线的表达式；2点M为直线OD上的一个动点,过M作x轴的垂线交抛物线于点N,问是否存在这样的点M,使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形若存在,求此时点M的横坐标；若不存在,请说明理由；3若△AOC沿CD方向平移点C在线段CD上,且不与点D重合,在平移的过程中△AOC 与△OBD重叠部分的面积记为S,试求S的最大值．x2+bx+c与y轴交于点C0,-4,与x轴4构造等腰三角形2013泰安如图,抛物线y=12交于点A,B,且B点的坐标为2,0 1求该抛物线的解析式．2若点P是AB上的一动点,过点P作PE∥AC,交BC于E,连接CP,求△PCE面积的最大值．3若点D为OA的中点,点M是线段AC上一点,且△OMD为等腰三角形,求M点的坐标．5构造直角三角形2014四川内江如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A﹣、C0,4,点B在抛物线上,CB∥x轴,且AB平分∠CAO．1求抛物线的解析式；2线段AB上有一动点P,过点P作y轴的平行线,交抛物线于点Q,求线段PQ的最大值；3抛物线的对称轴上是否存在点M,使△ABM是以AB为直角边的直角三角形如果存在,求出点M的坐标；如果不存在,说明理由．6构造角相等2014娄底如图,抛物线y=x2+mx+m﹣1与x轴交于点Ax1,0,Bx2,0,x1＜x2,与y轴交于点C0,c,且满足x12+x22+x1x2=7．1求抛物线的解析式；2在抛物线上能不能找到一点P,使∠POC=∠PCO若能,请求出点P 的坐标；若不能,请说明理由．7构造菱形2013枣庄如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为3,0,与y轴交于C0,-3点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点．1求这个二次函数的表达式．2连接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POP′C,那么是否存在点P,使四边形POP′C为菱形若存在,请求出此时点P的坐标；若不存在,请说明理由．3当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．8构造对称点11莱芜如图,在平面直角坐标系中,已知点A－2,－4,OB＝2,抛物线y ＝ax2＋bx＋c经过点A、O、B三点．1求抛物线的函数表达式；2若点M是抛物线对称轴上一点,试求AM＋OM的最小值；3在此抛物线上,是否存在点P ,使得以点P 与点O 、A 、B 为顶点的四边形是梯形．若存在,求点P 的坐标；若不存在,请说明理由．9构造平行线：2014山东烟台如图,在平面直角坐标系中,Rt △ABC 的顶点A ,C 分别在y 轴,x 轴上,∠ACB =90°,OA =,抛物线y =ax 2﹣ax ﹣a 经过点B 2,,与y 轴交于点D ．1求抛物线的表达式；2点B 关于直线AC 的对称点是否在抛物线上请说明理由； 3延长BA 交抛物线于点E ,连接ED ,试说明ED ∥AC 的理由．10构造垂直：2014宜宾市如图,已知抛物线y = x 2+bx +c 的顶点坐标为M 0,–1,与x 轴交于A 、B 两点. 1求抛物线的解析式； 2判断△MAB 的形状,并说明理由； 3过原点的任意直线不与y 轴重合交抛物线于C 、D 两点,连结MC 、MD ,试判断MC 、MD 是否垂直,并说明理由．11构造圆2014年淄博如图,点A 与点B 的坐标分别是1,0,5,0,点P 是该直角坐标系内的一个动点．1使∠APB=30°的点P 有 个；2若点P 在y 轴上,且∠APB=30°,求满足条件的点P 的坐标；yxO MDCBA3当点P在y轴上移动时,∠APB是否有最大值若有,求点P的坐标,并说明此时∠APB 最大的理由；若没有,也请说明理由．参考答案：一、求解析式二、二次函数的相关应用第一类：面积问题2012莱芜解：1y=x﹣22﹣1=x2﹣4x+3．2S△ACD=ADCD=××2=2．32+,1﹣、2﹣,1+、1,2或4,﹣1．2014兰州解1y=﹣x2+x+2；2y=﹣x﹣2+,P 1,4,P2,,P3,﹣；3S四边形CDBF =S△BCD+S△CEF+S△BEF=﹣a﹣22+∴a=2时,S四边形CDBF的面积最大=,∴E2,19．第二类：.构造问题1构造线段2014枣庄1△OBC 为等腰直角三角形∠OBC=45°． 2P2,﹣3．3线段PF 长度=﹣x P 2+3x P =﹣x P ﹣2+,1＜x P ≤3,当x P =时,线段PF 长度最大为．2构造相似三角形2013莱芜 1y=．2DF 的最大值为．此时D 的坐标为．3存在点P,使得以点P 、A 、N 为顶点的三角形与△MAO 相似．设Pm,．在Rt△MAO 中,AO=3MO,要使两个三角形相似,由题意可知,点P 不可能在第一象限．①设点P 在第二象限时,∵点P 不可能在直线MN 上,∴只能PN=3NM,故此时满足条件的点不存在．②当点P 在第三象限时,∵点P 不可能在直线MN 上,∴只能PN=3NM, P 的坐标为﹣8,﹣15． ③当点P 在第四象限时,若AN=3PN 时,此时点P 的坐标为2,﹣．若PN=3NA,此时点P 的坐标为10,﹣39．综上所述,满足条件的点P 的坐标为﹣8,﹣15、2,﹣、10,﹣39．3构造平行四边形 2014莱芜解：1y=﹣x 2+x ．2存在． 或或．3∴S=S △OFQ ﹣S △OEP =OFFQ ﹣OEPG=1+t +t ﹣t t=﹣t ﹣12+当t=1时,S 有最大值为．∴S的最大值为．4构造等腰三角形PBE ABCSS=PBE S 12=x×4-1323x+835构造直角三角形2014四川内江 1y=﹣x 2+x+4．2当t=1时,PQ 取到最大值,最大值为． 3①当∠BAM=90°时,MH=11．M ,﹣11． ②当∠ABM=90°时,M ,9．综上所述：符合要求的点M 的坐标为,9和,﹣11．6构造角相等2014娄底解1依题意：x 1+x 2=﹣m,x 1x 2=m ﹣1,∵x 1+x 2+x 1x 2=7,∴x 1+x 22﹣x 1x 2=7,∴﹣m 2﹣m ﹣1=7,即m 2﹣m ﹣6=0,解得m 1=﹣2,m 2=3,∵c=m ﹣1＜0,∴m=3不合题意∴m=﹣2抛物线的解析式是y=x 2﹣2x ﹣3；2能如图,设p 是抛物线上的一点,连接PO,PC,过点P 作y 轴的垂线,垂足为D ．若∠POC=∠PCO 则PD 应是线段OC 的垂直平分线∵C 的坐标为0,﹣3∴D 的坐标为0,﹣∴P 的纵坐标应是﹣令x 2﹣2x ﹣3=,解得,x 1=,x 2=因此所求点P 的坐标是,﹣,,﹣7构造菱形2013枣庄 解：1.2此时P 点的坐标为,. 3 S 四边形ABPC =++==. 易知,当x=时,四边形ABPC 的面积最大．此时P 点坐标为,,四边形ABPC 的最大面积为. 8构造对称点11莱芜1212y x x =-+;2MO+MA 的最小值为42;3①若OB ∥AP P4,－4,则得梯形OAPB;②若OA ∥BP,点P 412--，,则得梯形OAPB;③若AB ∥OP,此时点P 不存在;综上所述,存在两点P4,－4或P 412--，使得以点P 与点O 、A 、B 为顶点的四边形是梯形;2=23y x x --2232-AOC S ∆POB S ∆POC S ∆239622x x -++23375()228x --+3232154-7589构造平行线：2014山东烟台解： y=x2﹣x﹣．2连接CD,过点B作BF⊥x轴于点F,则∠BCF+∠CBF=90°∵∠ACB=90°,∴∠ACO+∠BCF=90°,∴∠ACO=∠CBF,∵∠AOC=∠CFB=90°,∴△AOC∽△CFB,∴=,设OC=m,则CF=2﹣m,则有=,解得m=m=1,∴OC=OF=1,当x=0时y=﹣,∴OD=,∴BF=OD,∵∠DOC=∠BFC=90°,∴△OCD∽△FCB,∴DC=CB,∠OCD=∠FCB,∴点B、C、D在同一直线上,∴点B与点D关于直线AC对称,∴点B关于直线AC的对称点在抛物线上．3过点E作EG⊥y轴于点G,设直线AB的表达式为y=kx+b,则,解得k=﹣,∴y=﹣x+,代入抛物线的表达式﹣x+=x2﹣x﹣．解得x=2或x=﹣2,当x=﹣2时y=﹣x+=﹣×﹣2+=,∴点E的坐标为﹣2,,∵tan∠EDG===,∴∠EDG=30°∵tan∠OAC===,∴∠OAC=30°,∴∠OAC=∠EDG,∴ED∥AC．10构造垂直：2014宜宾市解：1y=x 2﹣1．2OA=OB=OC=1,∴AM=BM,∴△MAB 是等腰直角三角形．3=,即=解得m=﹣,∵==﹣n,==,∴=,∵∠CGM=∠MHD=90°,∴△CGM∽△MHD,∴∠CMG=∠MDH,∵∠MDH+∠DMH=90°∴∠CMG+∠DMH=90°,∴∠CMD=90°,即MC⊥MF． 11构造圆2014年淄博解：1∵抛物线y=﹣x 2+mx+n 经过A ﹣1,0,C0,2．解得：,∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2+x+2；2∵y=﹣x 2+x+2,∴y=﹣x ﹣2+,∴抛物线的对称轴是x=．∴OD=．∵C0,2,∴OC=2．在Rt △OCD 中,由勾股定理,得CD=．∵△CDP 是以CD 为腰的等腰三角形, ∴CP 1=CP 2=CP 3=CD ．作CH ⊥x 轴于H,∴HP 1=HD=2,∴DP 1=4．∴P 1,4,P 2,,P 3,﹣；3当y=0时,0=﹣x 2+x+2∴x 1=﹣1,x 2=4,∴B4,0．设直线BC 的解析式为y=kx+b,由图象,得,解得：,∴直线BC 的解析式为：y=﹣x+2．如图2,过点C 作CM ⊥EF 于M,设Ea,﹣a+2,Fa,﹣a 2+a+2,∴EF=﹣a 2+a+2﹣﹣a+2=﹣a 2+2a0≤x≤4．∵S 四边形CDBF =S △BCD +S △CEF +S △BEF =BDOC+EFCM+EFBN,=+a ﹣a 2+2a+4﹣a ﹣a 2+2a,=﹣a 2+4a+0≤x≤4．=﹣a ﹣22+∴a=2时,S 四边形CDBF 的面积最大=,∴E2,1．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y
y
x=-1
A
OB
C D
x
A
OB
x
M
C N
25
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
问题22：在对称轴上有一点M，在抛物线上有一点N，若以A、B、M、N为顶点 的四边形为平行四边形，求M、N的坐标
y
y
y
A
OB
x
C D
A
OB
x
C
D
A
OB
x
C D
问题14：抛物线上是否存在点H，使得S△BCH= S△ABC,若存在，求出点H的坐标；
若不存在，请说明理由
H
y y
A
OB
x
C D
A
OB
x
DC
18
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
问题15：抛物线上是否存在点Q，使得S△AOQ= S△COQ,若存在，求出点Q的坐标；
问题23：点E是抛物线上一动点，点F在抛物线的对称轴上，若以C、D、E、F为顶 点的四边形为菱形，求点E的坐标
y
y
x=-1
A
B
x
A
OB
x
C D
O C
D
28
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
问题24：在线段AC上是否存在点M，使得三角形AOM与△ABC相似？若存在， 求出点M的坐标，若不能，请说明理由
A
OB
x
C D
30
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
问题26：在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO?若能，求出点P的坐标， 若不能，请说明理由
y
y
A
OB
x
C D
A
OB
x
C D
31
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
若不存在，请说明理由
y y
A
OB
x
C D
Q2
A
OB
x
Q1 C
D
19
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D 问题16：抛物线上是否存在点E，使得BE平分△ABC的面积，若存在，求出E点坐标， 若不存在，请说明理由
y
y
A
OB
x
C D
A
OB
x
F E
y
A（-3,0）
B（1,0）
O
x
C（0，-3）
E
F
D（-1，-4）
13
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
问题11：在AC下方的抛物线上有一动点N，使得三角形CAN的面积最大？若存在， 请求出△CAN的最大面积及点N的坐标。
y
y
A
OB
x
A
C
B
D
D
A
C B
D
A C
B
m
m
m
S=（m×AD）÷2
S=（m×BD）÷2
S=（m×CD）÷2
注：一般来讲：过动点（设横表纵）做y轴的平行线与其对边或延长线相交！
15
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
问题12：在AC下方的抛物线上有一动点N，使得四边形ABCN的面积最大？若存在， 请求出四边形ABCN的最大面积。
x
C D
34
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D 问题30：将AD所在的直线绕点A逆时针旋转45°，所得直线与抛物线交于点M,求M点坐标。
y
y
A
OB
x
C D
A
OB
x
C D
35
题号 形定问题 线段问题 最值问题
面积问题
特殊图形
角度问题 旋转问题
y
y
A
OB
x
C D
E
A
F
OB
x
N
C
D
16
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
问题13：抛物线上是否存在点N，使得S△ABN= S△ABC,若存在，求出点N的坐标； 若不存在，请说明理由
y
y
N2
N3
A
OB
x
C D
A
OB
x
N1
C
D
17
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
y y
A
OB
x
C
A
OB
x
C D
y
A
OB
x
C
29
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
问题25：P是抛物线上一个动点，作PH⊥x轴于H，是否存在一点P,使得△PAH与 △BOC相似？若存在，求出点P的坐标，若不能，请说明理由
y
y
A
OB
x
C D
问题18：抛物线上找一点P，作PM⊥x轴，交线段AC于点N，使AC分△APM的面 积为2:1两部分？
y
y
A
OB
x
C D
MO
A N
B
x
P
C
D
22
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
问题19：在y轴上是否存在一点E，使得△ADE是直角三角形？若存在，求出点E的
y
B（1,0）
O
x
C（0，-3）
5
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D 问题4：抛物线上有一动点P，过点P作PM⊥x轴于点M,交直线AC与点N，在线段PM、 MN中，若其中一条线段是另一条线段的2倍，求点P的坐标。
y
A
OB
x
C D
6
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
19-直角三角形 、20-等腰三角形 、21-平行四边形1 22-平行四边形2 、23-菱形 、 24-相似三角形1 25-相似三角形2
26-角相等 、27-倍半角、28-和差角
29-形旋转 、30-线旋转
……
坐标；若不存在，请说明理由
y
y
y
y
A
OB
C D
E1
A(-3,0)
A(-3,0)
O
x
O
A(-3,0)
x
O
E3
x
x
E2
E4
D(-1,-4)
D(-1,-4)
D(-1,-4)
23
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
问题20：在y轴上是否存在一点F，使得△ADF是等腰三角形？若存在，求出点F的坐
26
平行四边形的存在性
预备知识：①中点坐标公式；②三平三交定三点；③两对角线端点的横、纵坐标 之和分别相等（秒杀必备）；④横平竖直接做辅助。
分类
三定一动：用②③即可秒杀（本质还是中点坐标公式）
两定两动
两点之间线 段是一条边
两点之间线 段是对角线
利用①②③ ④综合解决
27
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
标；若不存在，请说明理由
y
y
y
A
OB
x
C D
F1
A(-3,0)
F3
O
F5
F2
D(-1,-4)
A(-3,0) O
x
x
F5
D(-1,-4)
F4
24
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
问题21：作垂直于x轴的直线x=-1交直线AC于点M，交抛物线于点N，以A、M、 N、E为顶点作平行四边形，求第四个顶点E的坐标
问题5：直线AC下方的抛物线上有一动点P，过点P作PH⊥AC于H，求线段PH的 最大值及此时点P的坐标
y
y
y
A
OB
x
H
P
C
D
E
A
F
OB
x
H
P
C
D
E
A
F
OB
x
H
P
C
D
7
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
问题6：直线AC下方的抛物线上有一动点P，过点P作PH⊥AC于H，PG∥y轴交AC 于G，PH为邻边作矩形PEGH，求矩形PEGH周长的最大值。
y
y
A
OB
x
C D
A
G
OB
x
H
E
P
C
D
8
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D 问题7：在对称轴上找一点P，使得△BCP的周长最小，求出P点坐标及△BCP的周长