第四章最小拍及纯滞后补偿控制
纯滞后控制技术
1 e T / T 1 e T / T z 1
2、振铃现象及其消除 所谓振铃（Ringing）现象，是指数字控制器的输出u(k) 以1/2采样频率（2T采样周期） 大幅度上下摆动。振铃 现象对系统的输出几乎无影响，但会增加执行机构的磨 损，并影响多参数系统的稳定性。 例：被控对象传递函数为： G p ( s )
常规及复杂控制技术(三)
纯滞后控制技术
主要内容
1、施密斯（Smith）预估控制 2、达林（Dahin）算法
5.3.1 史密斯(Smith)预估控制
在实际生产过程中，大多数工业对象具有较大的纯滞后 时间。对象的纯滞后时间τ对控制系统的控制性能极为不利。 当对象的纯滞后时间τ与对象的时间常数Tc之比， 即τ／ Tc≥0.5时，采用常规的PID控制来克服大纯滞后是很难适应的， 而且还会使控制过程严重超调，稳定性变差。 长期以来，人们对纯滞后对象的控制作了大量的研究。 但在工程实践上有效的方法还是不多。比较有代表性的方法 有大林算法和史密斯预估算法。
给定(蓝)与系统响应(黑)
1.4
1.2
1
0.6 0.4 0.2 0
0.8
0.6
0.4
-0.2 -0.4 -0.6
0.2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
（1）振铃现象的分析
系统的输出Y(z)和数字控制器的输出U(z)间有下列关系： Y(z)=U(z)G(z) 系统的输出Y(z)和输入函数的R(z)之间有下列关系： Y(z)=Ф(z)R(z) 则数字控制器的输出U(z)与输入函数的R(z)之间的关系：
13最少拍无差系统设计
1
2
Tz ( 2 z z ) C ( z ) ( z ) R( z ) 1 2 (1 z )
2
Tz 1 ( 2 z 1 z 2 ) C ( z ) ( z ) R( z ) 1 2 (1 z )
C ( z ) 2Tz 3Tz 4Tz
Φ (z)
R(z) r(t) + e*(t) u*(t) G(z) C(z) c(t)
D(z)
E(z) U(z)
H(s)
GC(s)
D( z )G( z ) C(z) ( z ) 系统的误差传递函数Фe(z) R( z ) 1 D( z )G( z )
为：
E ( z ) R( z ) C ( z ) C(z) e (z) 1 1 ( z ) R( z ) R( z ) R( z )
1 z 1
0
e( ) lim 1 z
z 1
1
1 ( z )R( z ) 0
典型输入Z变换的一般形式为：
A( z ) R( z ) (1 z 1 )q
A( z ) 1 ( z ) 0 e( ) lim1 z 1 q z 1 (1 z )
制时，很难满足要求。 此时，往往从被控对象的特性出发，
直接根据采样系统理论设计控制器，
这种方法称为直接设计法。
直接设计法
假定对象本身是离散化模型或者用 离散化模型表示的连续对象，以采 样理论为基础，以Z变换为工具，在 Z域中直接设计出数字调节器D(z)。
数学工具：差分方程、Z变换
由于D(z)是依照稳定性、准确性和快
E( z) e (z) 1 ( z ) R( z )
计算机控制系统 第四章 最小拍控制与纯滞后补偿
Z
根据题意，输入信号为单位速度输入，即r (t ) = t ，则有：
Φ e ( z ) = (1 − z −1 ) 2
代入式（4-12）求出最小拍控制器为
5.435(1 − 0.5 z −1 )(1 − 0.368z −1 ) D( z ) = (1 − z −1 )(1 + 0.718z −1 )
s ( 0 .5 s + 1)
位速度输入时的最小拍控制器。 解：根据图4-1可求出系统广义被控对象脉冲传递函数
1 − e −Ts 2 ] G( z) = Z[ ⋅ s s (0.5s + 1) 4 = Z [(1 − e −Ts ) 2 ] s ( s + 2) 4 4e −Ts = Z[ 2 ] − Z[ 2 ] s ( s + 2) s ( s + 2) 2 1 1 2 1 1 = Z[ 2 − + ] − Z [e −Ts ( 2 − + )] s s s+2 s s s+2 e − 2T z −1 (1 − z −1 + e 2T z −1 ) = (1 − z −1 )(1 − e − 2T z −1 )
对最小拍控制系统设计的要求是： （1）调节时间最短，即系统跟踪输入信号所需的采样周期数 最少； （2）在采样点处无静差，即对特定的参考输入信号，在达到 稳态后，系统在采样点能精确实现对输入信号的跟踪； （3）设计出来的数字控制器必须是物理上可以实现的； （4）闭环系统必须是稳定的。
一、最小拍闭环脉冲传递函数的确定 首先根据对控制系统性能指标的要求和其他约束条件， Φ (z 构造系统的闭环脉冲传递函数 。) 最小拍控制系统的设计要求是对特定的参考输入信号， 在系统达到稳态后，系统在采样点处静差为零。根据此约束条 件可以构造出系统的误差脉冲传递函数 Φ e (z )。典型计算机控制 系统结构图如图4-1所示。
纯滞后控制技术
史密斯预估控制原理
r(t)
+ -
e(t)
u(t)
y(t)
D(s)
G p ( s )e s
图5.3.1 带纯滞后环节的控制系统 D(s) 表示调节器(控制器)的传递函数； Gp(s) e-τs 表示被控对象的传递函数； Gp(s) 为被控对象中不包含纯滞后部分的传递函数； e -τs 为被控对象纯滞后部分的传递函数。
其中：C
1
1
1 1 (T1e T / T2 T2 e 1 / T1 ) (T1e T / T1 T2 e T / T2 ) C 2 e T (1 / T1 1 / T2 ) T2 T1 T2 T1
N 1
( z) z
可以得到达林算法的数字控制器为：
(4)计算控制器的输出 u(k) 当控制器采用 PID 控制算法时，则
u(k ) u(k 1) u(k )
其中
u(k ) K P [e2 (k ) e2 (k 1)] K I e2 (k ) K D [e2 (k ) 2e2 (k 1) e2 (k 2)]
1 e T / T 1 e T / T z 1
2、振铃现象及其消除 所谓振铃（Ringing）现象，是指数字控制器的输出u(k) 以1/2采样频率（2T采样周期） 大幅度上下摆动。振铃 现象对系统的输出几乎无影响，但会增加执行机构的磨 损，并影响多参数系统的稳定性。 例：被控对象传递函数为： G p ( s )
（2）二阶惯性环节的达林算法 当被控对象为带纯滞后的二阶惯性环节时
Ke s G p (s) (1 T1 s )(1 T2 s )
1 e Ts Ke s Kz N 1 (C1 C 2 z 1 ) G( z) Z s (1 T1 s )(1 T2 s ) (1 e T / T1 z 1 )(1 e T / T2 z 1 )
纯滞后控制实验报告
一、实验目的1. 理解纯滞后控制系统的概念及其在工业控制系统中的应用。
2. 掌握大林算法在纯滞后控制系统中的应用原理。
3. 通过实验验证大林算法在纯滞后控制系统中的控制效果。
二、实验原理1. 纯滞后控制系统：纯滞后控制系统是指被控对象具有纯滞后特性，即输入信号到输出信号的传递过程中存在一定的时间延迟。
这种时间延迟会使得控制作用不及时，从而影响系统的稳定性和动态性能。
2. 大林算法：大林算法是一种针对纯滞后控制系统的控制策略，其基本思想是在设计闭环控制系统时，采用一阶惯性环节代替最少拍多项式，并在闭环控制系统中引入与被控对象相同的纯滞后环节，以补偿系统的滞后特性。
三、实验设备1. MATLAB 6.5软件一套2. 个人PC机一台四、实验步骤1. 设计实验模型：根据实验要求，设计一个具有纯滞后特性的被控对象模型，并确定其参数。
2. 构建大林算法控制器：根据大林算法的原理，设计一个大林算法控制器，并确定其参数。
3. 进行仿真实验：在MATLAB软件中搭建实验平台，将设计的被控对象模型和大林算法控制器进行联接，进行仿真实验。
4. 分析实验结果：观察实验过程中系统的动态性能，分析大林算法在纯滞后控制系统中的应用效果。
五、实验结果与分析1. 实验结果（1）无控制策略：在无控制策略的情况下，被控对象的输出信号存在较大的超调和振荡，系统稳定性较差。
（2）大林算法控制：在采用大林算法控制的情况下，被控对象的输出信号超调量明显减小，振荡幅度减小，系统稳定性得到提高。
2. 分析（1）无控制策略：由于被控对象具有纯滞后特性，系统动态性能较差，导致输出信号存在较大超调和振荡。
（2）大林算法控制：大林算法通过引入与被控对象相同的纯滞后环节，有效补偿了系统的滞后特性，使得控制作用更加及时，从而提高了系统的动态性能和稳定性。
六、实验结论1. 纯滞后控制系统在实际工业生产中普遍存在，对系统的稳定性、动态性能和抗干扰能力具有较大影响。
计算机控制技术清华出版社第四章纯滞后控制
（2）施密斯预估控制原理是：与D(s)并接一补偿环节，用来
补偿被控制对象中的纯滞后部分。这个补偿环节称为预估器，
其传递函数为
G P ( s，)(τ1为 纯e 滞s )后时间。
图4-23 带施密斯预估器的控制系统
由施密斯预估器和调节器D(s)组成的补偿回路称为纯滞后补
偿器，其传递函数为
D
'
(s)
1
D
0.221z 3
G(z) Z
s
4s 1 1 e1/4 z1 1 0.779z1
(z)
Z
1 eTs
s
e s T s
1
z2 (1 e1/ 2τ )z1 1 e1/ 2 z1
1
0.393z 3 0.607z1
D(z)
(1
e1
(1 e1 2 )(1 e1 4 z1) 4 ) 1 e1 2 z1 (1 e1
u(k ) u(k 1) u(k )
u(k 1) K P e2 (k ) e2 (k 1) K I e2 (k ) K D e2 (k ) 2e2 (k 1) e2 (k 2)
4.4.2 达林(Dahlin)算法
对于具有纯滞后的控制系统，比如热工或化工 过程，由于滞后的存在，容易引起系统超调和持续 震荡。对这些系统的调节，快速性是次要的，而对 稳定性、不产生超调的要求却是主要的。本节介绍 能满足这些性能指标的一种直接设计数字控制器的 方法—达林算法。
U(z) 中含有单位圆内靠近 z = -1 处的极点（称 为振铃极点），且该极点越靠近 z=-1 ，振幅就越 大。
U(z) (z) R(z) G(z)
U (z) u(z)R(z)
u(z)
(z) G(z)
最小拍控制详解
例3 对于一阶对象（T＝1）
0.5z 1 G(z) 1 0.5z1
讨论按速度输入设计的最少拍系统对不同输入的响应。 解 若选择单位速度输入的最少拍控制器，得数字控制器为
经采样（T=l）和零阶保持，试求其对于单位阶跃输入的最
少拍控制器。
解：（1）广义被控对象 G(z)
G(z)
1 eTs
Z
s
2.1
s
2
(
s
1.252)
0.265z1(1 2.78z1 )(1 0.2z1 ) (1 z1 )2 (1 0.286z 1 )
广义被控对象零极点的分布：
圆外极点 无 ，
2020/12/31
6
取 M p ，则一定能保证
e
lim(
z1
z
1)e
(
z
)
R(
z
)
lim(1 z1
z1 )(1
z1 )M
F ( z ) A( z )
(1
z1 ) p
0
其中：F(z) a0 a1z1 a2z2 aqzq
✓ 系统的快速性 要求系统的误差函数应在最短时间内趋近于零。
(z)
z (r1) (b1z 1 b2z 2 bp z e (z) (1 z1 ) p F2 (z)
p
)F1 ( z )
•对不稳定的广义被控对象 G(z)
(z)
z(r1) (b1z1 b2z2 bp z p )(1 1 )(1 2 )(1 e (z) (1 z1 ) p (1 1 )(1 2 )(1 i )F2(z)
统闭环脉冲传递函数（或误差脉冲传递函数）的结构。
2020/12/31
3
1.闭环脉冲传递函数的结构设计
计算机控制系统作业参考答案
《计算机控制系统》作业参考答案作业一第一章1.1什么是计算机控制系统？画出典型计算机控制系统的方框图。
答：计算机控制系统又称数字控制系统,是指计算机参与控制的自动控制系统,既:用算机代替模拟控制装置,对被控对象进行调节和控制. 控制系统中的计算机是由硬件和软件两部分组成的.硬件部分: 计算机控制系统的硬件主要是由主机、外部设备、过程输入输出设备组成; 软件部分: 软件是各种程序的统称，通常分为系统软件和应用软件。
图1.3-2 典型的数字控制系统1.2.计算机控制系统有哪几种典型的类型？各有什么特点。
答：计算机控制系统系统一般可分为四种类型：①数据处理、操作指导控制系统；计算机对被控对象不起直接控制作用,计算机对传感器产生的参数巡回检测、处理、分析、记录和越限报警，由此可以预报控制对象的运行趋势。
②直接数字控制系统；一台计算机可以代替多台模拟调节器的功能，除了能实现PID调节规律外, 还能实现多回路串级控制、前馈控制、纯滞后补偿控制、多变量解藕控制，以及自适应、自学习,最优控制等复杂的控制。
③监督计算机控制系统；它是由两级计算机控制系统：第一级DDC计算机, 完成直接数字控制功能；第二级SCC计算机根据生产过程提供的数据和数学模型进行必要的运算，给DDC计算机提供最佳给定值和最优控制量等。
④分布式计算机控制系统。
以微处理机为核心的基本控制单元，经高速数据通道与上一级监督计算机和CRT操作站相连。
1.3.计算机控制系统与连续控制系统主要区别是什么？计算机控制系统有哪些优点？答：计算机控制系统与连续控制系统主要区别：计算机控制系统又称数字控制系统,是指计算机参与控制的自动控制系统,既:用计算机代替模拟控制装置,对被控对象进行调节和控制。
与采用模拟调节器组成的控制系统相比较，计算机控制系统具有以下的优点：(1)控制规律灵活，可以在线修改。
(2)可以实现复杂的控制规律，提高系统的性能指标.(3)抗干扰能力强，稳定性好。
5纯滞后补偿控制资料
(5-4)
Y (S ) F(S)
1
GC
Gf (S) (S)GO (S)Gh (S)eS
(5-5)
系统的闭环特征方程为：
1 GC (S)GO (S)Gh (S)eS 0 （5-6）
设开环传递函数为：
G
L
s
K c e s 10s 1
•
0.1 ，则交界频率
T
CK 1.63
第5章 纯滞后补偿控制系统
从广义角度来说，所有的工业过程控
制对象都是具有纯滞后(时滞)的对象。
衡量过程具有纯滞后的大小通常采用
过程纯滞后和过程惯性时间常数之 /T
比 /T 。 0.3
时，称生产 /过T 程 0是.3 具有一般
纯滞后的过程。当
时，称为
具有大纯滞后的过程。
5.1纯滞后对控制质量的影响
3. 实例分析考虑典型的一阶加纯滞后过程，其
模型参数为Kpm=Tpm, m =6
在模型准确时双控制器系统跟踪响应曲线与
Smith预估补偿器相同，而双控制器系统的扰
动响应略显迟钝一些。
Smith预估补偿器在 <4.3或
>7.5
时成为不稳定，而双控制器系统却在
0< <15范围内仍保持稳定，说明本方法鲁
棒性强。
5.4 观测补偿器控制方案
1 方案一
R Gc(s)
F G0(s) GK(s) GM(s)
Y YM
图5-13 观测补偿控制方案一
可以求得输出Y与设定值R、干扰F的传递函数 是：
Y(S)
GC (S)GO (S)
R(S)
1
GC
纯滞后控制技术
φu(z)极点距离 z = -1越近,振铃现象越严重。假设φu(z)含有 1/(z-a)因子(a<0),即φu(z)有z=a极点。则输出序列u(k)必有分 量:
u (k )
Z
1
z
1
a
Z
1
z
1
z
z
a
a k 1
因为a<0,当k-1为奇数时,u(k)为负,使控制作用减弱;当 k-1为 偶数时,u(k)为正,使控制作用加强。这就就是输出得控制量 两倍采样周期振荡得原因。也说明振零现象产生得原因就是 φu(z)有负实轴上接近z =-1得极点。
在控制系统设计中,对这类纯滞后对象得控制,快速性就是次 要得,主要要求系统没有超调或很少得超调。
达林(Dahlin)算法就是专门针对工业生产过程中含有纯滞后 控制对象得控制算法。
达林算法得设计目标就是:设计控制器使系统期望得闭环传 递函数等价于纯滞后环节与一阶惯性环节得串联。
1、数字控制器D(z)得形式 系统期望得闭环传递函数Ф(s)为:
T2 e 1/ T1 )
(z)
z
N
1
1
1 e
e T / T z T / T
1
可以得到达林算法得数字控制器为:
D(z)
(z) G ( z)(1 ( z))
(1 e T /T )(1 e T /T1 z 1 )(1 e T /T2 z 1 ) K (C1 C 2 z 1 )[1 e T /T z 1 (1 e T /T ) z N 1 ]
2、振铃现象及其消除 所谓振铃(Ringing)现象,就是指数字控制器得输出u(k)以 1/2采样频率(2T采样周期) 大幅度上下摆动。振铃现象对 系统得输出几乎无影响,但会增加执行机构得磨损,并影响 多参数系统得稳定性。
第四章最小拍与纯滞后补偿控制解析
这里F (z)为z1的有限多项式，系数待定，即
F(z) 1 f1z1 f2z2 fnzn
（4-19）
由最小拍控制系统的时间最短约束条件来确定F (z)的形式。 当取 F(z) 1 时，不仅可以简化数字控制器，降低控制器阶数，而 且还可以使 E(z)的项数最少，调节时间最短。
因此，由式（4-18）和式（4-19）得 e (z)为 e (z) (1 z1)q
1 eTs s
Gp (s)
T y(t)
最少拍控制系统的误差脉冲传递函数 e(z)为
图4-11 典型计算机控制系统结构图
e(z) E(z) R(z) Y (z) 1 (z)
1
R(z) R(z)
1 D(z)G(z)
（4-13）
系统输出的偏差为 E(z) e (z)R(z)
对于一般控制系统的三种典型输入函数：
e (z) 1 z1 (z) z1
D(z)
(z) e (z)G(z)
0.272(1 0.368z1) 1 0.718z1
Y (z) (z)R(z) z1 z2 z3
下面利用修正z变换求采样点之间的系统输出，取 0.5
第4章 计算机控制系统的常规控制策略
G(z,
)
10(1
z
1
)[
k为常系数
误差的脉冲传递函数为
v
e (z) (1 z1)q (1 aj z1)F1(z) j 1
其中 F1(z) 1 d1z1
D(z)e (z) 为关于
z 1
的有限多项式。
纹波产生的原因是 U(z) 渡 过 程 不 结 束 ， 从 R而(z使)
D(z)e
输 出y*
(z)
(t)
微机控制技术复习题(部分参考答案)
一、 填空题：1、8位D/A 转换器的分辩率是 满刻度值/2^8 。
2、数字调节器与模拟调节器相比更能实现 复杂 控制规律。
3、计算机具有 分时 控制能力，可实现多回路控制。
4、为了实现最少拍有波纹控制，闭环脉冲传递函数)(Z Φ中应包含)(Z G 的 所有单位圆上和单位圆外 零点，为了实现最少拍无波纹控制， 闭环脉冲传递函数)(Z Φ中应包含)(Z G 的 所有 零点。
5、按最少拍原则设计的系统是 时间 最优系统。
6、最少拍无波纹与最少拍有波纹系统相比其闭环脉冲传递函数)(Z Φ中1-Z的阶次要 高一些，调整时间要 长 一些。
7、大林把这种控制量以 1/2 的采样频率振荡的现象称为“ 振铃 ”。
8、分析结果表明：)(Z U 与)(Z R 间的脉冲传递函数表达式中，包含有Z 平面单位圆内 接近-1 的负实数极点，则会产生 振铃现象 。
9、如果按大林提出的简单修正算法来防止振铃现象，则对系统的稳态输出 无 影响，但对系统的动态性能 有 影响。
10、数字控制器的模拟化设计法是在采样周期 必须足够小，除必须满足采样定例外采样周期的变化对系统性能影响不大 的条件下使用的。
11、数字量输出保持一般有两种方案，一种是 输出通路设置一个D/A 转换器的结构形式（数字量保持方案） ，一种是 多个输出通路公用一个D/A 转换器的结构式（模拟量保持方案） ，前者与后者相比D/A 转换器 使用数量多 。
12、常用的A/D 转换器有 计数器式 ， 双积分式 ， 逐次逼近式 。
13、为了消除稳态误差，)(Z e Φ的表达式中须含有因式 (1-z^-1)^q 。
补充填空题：1、常用的I/O 控制方式是 程序控制方式 ， 中断控制方式 ，直接存储器存取方式 。
2、微型计算机控制系统中解决中断优先级的办法是 软件查询方式 ， 雏菊链法 ， 专用硬件方式 。
3、满足实时控制要求的使用条件是 所有外围设备的服务时间的总和必须小于或等于任意外围设备的最短响应时间 。
第4章--控制算法(3)史密斯预估器和大林算法
① 振铃现象的分析
R(z) +
E(z)
D(z)
U(z) G(z)
Y(z)
-
系统的输出Y(z)和数字控制器的输出U(z)间有以下关系
Y (z) G(z)U (z)
系统的输出Y(z)和输入函数R(z)之间有以下关系
Y (z) (z)R(z)
由上面两式得到数字控制器的输出U(z)与输入函数的R(z)之间的 关系为
(4.97)
C1
1
T2
1 T1
(T1eT /T1
T2eT /T2
)
C2
eT (1/T1 1/T2 )
T2
1 T1
(T1eT /T2
T2eT /T1 )
(4.98)
11
③ 闭环传递函数的离散化
前面已介绍过，大林算法的目的，是使闭环传函成为一个具有 纯滞后特性的一阶环惯性环节
(s) 1 es T s 1
1
1 eT /T z1 (1 eT /T )z(N 1)
1 eT /T z1
1 G(z)
z(N 1) (1 eT /T )
1
1 eT /T z1 (1 eT /T ) z(N 1) G(z)
所以，只要知道了被控对象，就可以由上式确定控制器，使 闭环系统满足我们的要求。
14
① 被控对象为带纯滞后的一阶惯性系统
极点
z eT /T
它总是大于0——没有振铃现象
28
带纯滞后的二阶惯性环节，将公式〔4.104〕写成一般形式
(1 eT /T )(1 eT /T1 z1)(1 eT /T2 z1)
u (z)
K
C1(1 eT /T1
z 1 )(1
最小拍 纯滞后
最小拍：
最小拍设计，是指系统在典型输入信号，（如阶跃信号、速度信号、加速度信号等）作用下，经过最小拍使系统输出的系统稳态误差为0。
因此，最小拍控制系统也称最小拍无差系统或最小拍随动系统，它实际上是时间最优控制系统，系统的性能指标就是系统的调节时间最短 或尽可能短，即对闭环z 传递函数要求快速性和准确性。
被控对象的脉冲传递函数：
)
122.11)(110(46
.1)(++=
s s s G
)](1[)(s G s
e Z z G Ts
--==])089.0)(1.0(013.0[
)1(1++--s s s Z z 取T=1得
8277
.082.1005737.000611.0)(2
+-+=
z z z z z G 在单位阶跃信号作用下1
11
)(--=z
z R 005737
.0000373.000611.08277
.082.1)())(1()()(22--+-=Φ-Φ=z z z z z G z z z D
纯滞后环节：
加入纯滞后环节后会发现：随着延时时间逐渐增大，响应的超调量增大，振荡加剧，甚至变得不稳定。
加入延时后，PID的控制作用会发生变化，被控对象的输入量在延时期间为0等价于系统不存在控制作用，系统的输出完全由被控对象决定反馈量的变化也达不到预期效果。
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最小拍控制器设计
Smith纯滞后补偿控制算法 Dahlin算法 本章小结
第4章 计算机控制系统的常规控制策略
4.1
数字控制器的直接设计方法
最小拍控制系统设计的要求是：
1．最小拍控制系统设计
1）调节时间最短，即系统跟随输入信号所需的采样周期数最少； 2）在采样点处无静差，即特定的参考输入信号，在达到稳态后，
e
D( s)
u * (t )
T U ( z)
E( z)
1 e Ts s
最少拍控制系统的误差脉冲传递函数 ( z)为
e( z )
图4-11 典型计算机控制系统结构图
E ( z ) R( z ) Y ( z ) 1 1 ( z ) R( z ) R( z ) 1 D( z )G( z )
（4-17）
1 q 由于A(z)不包含的 (1 z 1 ) 因子，因此稳态误差为零的条件是 e ( z)含有 (1 z ) 则 e ( z) 可为下列形式： e ( z) (1 z 1 )q F ( z) （4-18）
第4章 计算机控制系统的常规控制策略 这里 F ( z )为 z 1的有限多项式，系数待定，即
( z ) D( z )G ( z ) 1 D( z )G ( z )
（4-22）
由此可以得到最少拍数字控制器为
D( z ) ( z ) G ( z )[1 ( z )]
（4-23） （4-24）
或
D( z )
1 e ( z) G ( z ) e ( z )
将 G ( z ) 、 e ( z) 和 ( z ) 代入式（4-23）或式（4-24）中即可求出 最小拍控制器 D ( z ) 。对于三种典型输入信号，最小拍控制系统的 ( z) e 和最小拍控制器D ( z )汇总于表4-3中。
第4章 计算机控制系统的常规控制策略
采样周期 T 0.5s ，试设计在单位速度输入时的最小拍控制器 D ( z ) 解：根据图4-11可求出系统的广义被控对象脉冲传递函数
1 eTs 2 2 G( z) Z [ ] (1 z 1 ) Z [ 2 ] s s(0.5s 1) s (0.5s 1) e2T z 1 (1 z 1 e2T z 1 ) 0.368 z 1 (1 0.718z 1 ) 1 2T 1 (1 z )(1 e z ) (1 z 1 )(1 0.368 z 1 )
第4章 计算机控制系统的常规控制策略
它们都可以表示为
R( z )
A( z ) (1 z 1 )q
（4-15）
式中， A( z )是不包括 (1 z 1 ) 的 z 1 多项式； q 为正整数 ，对于不同的输入函数，只是 q 不同而已，一般只讨论 q 1, 2,3 的情况。 将式（4-15）代入式（4-14），得
，
根据题意，输入信号为单位速度输入，即
r (t ) t
，则有 e ( z) (1 z 1 )2
e ( z) (1 z 1 )q
那么期望的闭环脉冲传递函数 ( z ) 为
（4-20）
( z) 1 e ( z) 1 (1 z 1 )q
（4-21）
第4章 计算机控制系统的常规控制策略
2） 最小拍控制器的确定
由式（4-13）求出图4-11所示的计算机控制系统的闭环脉冲传递函数为
第4章 计算机控制系统的常规控制策略
表4-3 三种典型输入信号的最小拍控制器
输入信号
单位阶跃
单位速度
单位加速度
r (k )
偏差脉冲传递函数
e ( z )
闭环脉冲传递函数
1 z 1
2 （ 1 z 1 ）
3 （ 1 z 1 ）
( z )
最小拍控制器
z 1
2 z 1 z 2
（4-13）
系统输出的偏差为
E( z) e ( z) R( z)
（4-14）
对于一般控制系统的三种典型输入函数：
1 T 2 z 1 (1 z 1 ) 单位阶跃输入： r (t ) t 2, R( z ) 2 2(1 z 1 )3 1 单位速度输入： r (t ) 1, R( z ) 1 z 1 1 Tz 单位加速度输入： r (t ) t , R( z ) (1 z 1 )2
A( z ) E ( z) e ( z) (1 z 1 ) q
根据z变换的终值定理，可以求出系统的稳态误差为
（4-16）
e() lim e(k ) lim(1 z 1 ) E ( z ) lim(1 z 1 ) e ( z)
z 1 z 1 z 1
A( z ) (1 z 1 )q
系统在采样点能精确地实现对输入信号的跟踪；
3）设计出来的数字控制器必须是物理可实现的； 4）闭环系统必须是稳定的。
第4章 计算机控制系统的常规控制策略
1．最小拍控制系统设计
r (t )
( z) G( z) R( z ) e* (t )
T
Y (z) G p ( s)
T y (t )
1） 最小拍闭环脉冲传递函数
3z 1 3z 2 z 3
D( z )
1 2 3 1 2 z 1 3 z 3 z z 2z z (1 z 1 )G( z ) (1 z 1 ) 2 G ( z ) (1 z 1 )3 G( z )
2 G ( s ) 【例4-1】 设最小拍控制系统如图4-11所示，被控对象的传递函数 s (0.5s 1)
F ( z) 1 f1z 1 f2 z 2
f n z n
（4-19）
由最小拍控制系统的时间最短约束条件来确定F ( z )的形式。 当取 F ( z ) 1 时，不仅可以简化数字控制器，降低控制器阶数，而 且还可以使 E ( z )的项数最少，调节时间最短。 因此，由式（4-18）和式（4-19）得 e ( z) 为