充分统计量和完备统计量27页PPT
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1.2 充分统计量与完备统计量
1− p
∑ 若取
T ( x1,
x2 ,",
xn ) =
1 n
n i =1
xi ,
h ( x1, x2 ,", xn ) =1,
g
(T (
x1 ,
x2 ,",
xn);
p)
=
(1
−
p)n( p 1−
) nT p
,
则有 P{ X1 = x1, X 2 = x2 ,", X n = xn } =h ( x1, x2 ,", xn ) g(T ( x1, x2 ,", xn ) ;p),
Pθ {g1(T ) = g2(T )} ＝1， ∀ θ ∈ Θ
⇒ Eθ ⎡⎣g1(T )⎤⎦ = Eθ ⎡⎣g2 (T )⎤⎦ ， ∀ θ ∈ Θ 但反之不一定成立，若 T 是完备统计量，即 T 的分布函
数族是完备分布函数族，则由定义 1.5 知，对于
Eθ ⎡⎣g1(T ) − g2(T )⎤⎦ ＝0， ∀ θ ∈ Θ
有关而与参数θ 无关，则称 f ( x,θ ) 为指数型分布族，对于
离散型总体，如果其样本的联合分布律可以表达成(1.8) 的形式，也同样称它为指数型分布族。
例 1（补充）正态分布族，二项分布族是指数型分布族。 例 2（补充）均匀分布族，二参数指数分布族（当位置参 数已知时）不是指数型分布族。
完备统计量的含义不如充分统计量那么明确，但由定
义可见它有如下特征：
Pθ {g1(T ) = g2(T )} ＝1， ∀ θ ∈ Θ
⇔ Eθ ⎡⎣g1(T )⎤⎦ = Eθ ⎡⎣g2(T )⎤⎦ ，｛F(x; θ ),θ ∈ Θ｝ ∀ θ ∈ Θ (1.7) 对于一般的统计量T = T ( X1, X2,", Xn ) ，总有
太原理工大学数理统计课件第1.2节 充分统计量与完备统计量教材
n
解 P { X1 x1 , X 2 x2 ,
1
n
, X n xn }
n
n
i
i 1
xi
x !
i 1 i
e n
x !
i 1 i
n
n
i 1
n
e
1
x !
i 1 i
n
nX e n
1 , g(T ( x1 ,
其中T ( x1 , x2 , x2 ,
例5(p9 例1.7) 设( X1 , X 2 ,
n
, X n )T 是来自正态总体 , Xn ) (X ,
N( , 2 )的一个样本，试证T(X 1 , X 2 ,
i 1
2 T 2 T X ) 是参数 =( , ) 的联合充分统计量. i
解 L( )
1
1 ( 2π )n
k P{ X1 x1 , X 2 x2 , , X n xn | X } n k P{ X1 x1 , X 2 x2 , , X n xn , X } n k P{ X } n P{ X1 x1 , X 2 x2 , , X n xn , nX k } P{nX k } n P{ X1 x1 , X 2 x2 , , X n xn , X i k } i 1 n P { X i k }
n i 2 i 1
( 2 π )n 1 1 n 2 exp{ ( x x x ) i n 2 ( 2π ) i 1 1 1 n n 2 2 exp{ ( x x ) ( x ) } i n 2 i 1 2 ( 2π )
1 n n 2 2 exp{ ( x x ) }exp{ ( x ) } i n 2 i 1 2 ( 2π ) 1
解 P { X1 x1 , X 2 x2 ,
1
n
, X n xn }
n
n
i
i 1
xi
x !
i 1 i
e n
x !
i 1 i
n
n
i 1
n
e
1
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i 1 i
n
nX e n
1 , g(T ( x1 ,
其中T ( x1 , x2 , x2 ,
例5(p9 例1.7) 设( X1 , X 2 ,
n
, X n )T 是来自正态总体 , Xn ) (X ,
N( , 2 )的一个样本，试证T(X 1 , X 2 ,
i 1
2 T 2 T X ) 是参数 =( , ) 的联合充分统计量. i
解 L( )
1
1 ( 2π )n
k P{ X1 x1 , X 2 x2 , , X n xn | X } n k P{ X1 x1 , X 2 x2 , , X n xn , X } n k P{ X } n P{ X1 x1 , X 2 x2 , , X n xn , nX k } P{nX k } n P{ X1 x1 , X 2 x2 , , X n xn , X i k } i 1 n P { X i k }
n i 2 i 1
( 2 π )n 1 1 n 2 exp{ ( x x x ) i n 2 ( 2π ) i 1 1 1 n n 2 2 exp{ ( x x ) ( x ) } i n 2 i 1 2 ( 2π )
1 n n 2 2 exp{ ( x x ) }exp{ ( x ) } i n 2 i 1 2 ( 2π ) 1
充分统计量与完备性
g ( x) p( x; )dx 0
对 有 { pg {g ( x)} 0} 1 or g ( x) 0(a.e. p ) 等 价 的 ， E [ g1 ( x)] Eg [ g 2 ( x)] 对
成立，可推出 p {g1 ( x) g 2 ( x)} 1
在 两 个 函 数 g (t , ) 和 h( X 1 , X 2 , , X n ) 使 得 对 任 意 的
和任意组观测值
X 1 , X 2 , , X n ，有 f ( X 1 , X 2 , , X n ; ) g (T ( X 1 , X 2 , , X n ), ) h( X 1 , X 2 , , X n ) ，
其中是通过统计量的取值而依赖于样本的. 证明： 一般性结果的证明超出本课程范围， 此处我们将给出离散型随机变量下的证明， 此时， f x1 , , xn ; P X 1 x1 , X n xn ; . 先证必要性.设 T 使充分统计量,则在 T t 下, P X 1 x1 , , X n xn T t 与 无关, 记为 h x1 , xn 或 h X ,令 A t X : T X t ,当 x A t 时有
则对 F 中的任意 n 个分布 F1 , , Fn ，必有
f ( X 1 , , X n )dF1 ( X 1 ) dFn ( X n ) 0 f ( X (1) , , X ( n ) )
定义（有界完全性） ：设变量 X 的样本空间为 ( x, x ) ，分布族为 { p , } ， t ( x) 为定义 于 X 取 值 于 ( f , f ) 的 统 计 量 ， 其 分 布 族 为 { p , } ， 若 对 任 何 满 足 条 件 ”
充分统计量与完备统计量概要28页PPT
就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
充分统计量与完备统计量
完备统计量的含义不如充分统计量那么明确，但由
定义可见它有如下特征：
P g1 (T ) g2 (T ) 1， E g1 (T ) E g2 (T )， 。
（1.7）
对于一般的统计T T ( X 1 , X 2 , , X n ) ，总有
对统计量 T，如果已知它的值以后，样本的条件分布 与 无关，就意味着样本的剩余部分中已不再包含关于 的信息， 也就是在 T 中已包含有关 的全部信息。 因此， 对 的统计推断只需要从 T 出发即可， 不再需要样本数据。
二、 因子分解定理
根据充分统计量的含义，在对总体未知参数进 行推断时，应在可能的情况下尽量找出关于未知参 数的充分统计量。 但从定义出发来判别一个统计量是否是充分统 计量是很麻烦的。 为此，需要一个简单的判别准则。下面给出一 个定理——因子分解定理，运用这个定理，判别甚 至寻找一个充分统计量有时会很方便。
n P ( X 1 x1 , X 2 x 2 , , X n x n ) , 如 果 x i k， P (n X k ) i 1 n 0, 如 果 x i k ， i 1 n n xi n xi n p i 1 (1 p ) i 1 , 如 果 xi k， k k nk C n p (1 p ) i 1 n 0 , 如 果 xi k， i 1 n 1 C k , 如果 xi k， i 1 n n 0, 如果 xi k， i 1
其中 h( x1 , x2 ,, xn ) 1 ，
而 g (T ( x1 , x2 , , xn ); ) 显 然 是 T ( x , xi2 ) 和 ( , 2 ) 的函数。 故由因子分解定理知 T ( X , x i2 ) 是 ( , 2 )
充分统计量_完备统计量_指数分布族
为T X 的函数,而另一个仅为 x 的函数,与参数 无关,则T X 是 的充分统计量.
2．完备性
1）定义： F { p(x; ), }，设 g(x) 是定义在样本空间 上的一个实函数，一般来
说，积分（如果存在） E[g(x)] g(x) p(x; )dx （ ），因此上述积分（数学
}
exp{
x2 2 2
x 2}
其中 c(, )
1 2
exp{
2 2 2
},
c1
(
,
)
2
, c2 (,
)
1 2
2
h(x) 1,T1(x) x,T2 (x) x2
伽玛分布族：
p ,
(x)
( )
x 1ex
exp{ x ( 1) ln x} ( )
c( , ) exp{c1( , )x c2 ( , ) ln x}, x 0
计 量 T T (X1, X2,, Xn ) 称 为 的 充 分 统 计 量 ， 如 果 在 给 定 T 的 取 值 后 ，
X1, X 2 ,, X n 的条件与 无关.
即不包含关于参数的信息
2）定理 5.5.1（因子分解定理 Factorization Theorem）：设总体概率函数为 f (x; ) ，
P
X
x
T
X
t
P
X P
x,T
T X
X t
t
P P T t
0.
也与 无关.因此,条件分布 f x t f x t 与无关,即T X 是的充分统计量.
必要性 设 T X 是 的充分统计量,由充分统计量的定义, P X x T X t 与
参数 无关,它是 x 的函数,记为 h x. 于是,对任意固定的 t ,当 x At 时,T x t
第1.2节 充分统计量与完备统计量
T 维 )统计量，当给定T = t时，若样本（X 1 , X 2 ,L , X n）的
条件 分 布 (离 散 总体 为 条 件概 率 ， 连续 总 体 为条 件 密 度) 与 参 数θ 无关 ， 则 称T 为 θ 的充 分 统 计量 .
3. 充分统计量的意义 如果知道了统计量T的观察值以后， 如果知道了统计量 的观察值以后，样本的条 的观察值以后 件分布与θ无关， 件分布与θ无关，也就是样本的剩余部分不再包含 关于θ的信息，换言之， 关于θ的信息，换言之，在T中包含了关于θ的全部 中包含了关于 信息，因此要做关于θ的统计推断，只需用统计量T 信息， 的统计推断， 就足够啦. 就足够啦. 1.3) 例1(p6 例1.3 设总体X 服从两点分布B(1, p),即
例4(p9 例1.6) 设( X1 , X 2 ,L , X n )T 是来自正态总体 1.6
1 n ,1)的 N(µ ,1)的一个样本，试证X = ∑ X i 是参数µ的充 n i =1 分统计量. 1 −{ ∑ ( x − µ ) } 1 2 解 L( µ ) = e
n 2 i i =1
( 2 π )n 1 1 n exp{ − ∑ ( x i − x + x − µ ) 2 = 2 i =1 ( 2 π )n 1 1 n n 2 exp{ − ∑ ( x i − x ) − ( µ − x ) 2 } = 2 i =1 2 ( 2 π )n
= h( x1 , x2 ,L , xn ) g( f −1 ( f (T ( x1 , x2 ,L , xn ))), θ ) = h( x1 , x2 ,L , xn )q( f ( x1 , x2 ,L , xn ), θ )
i =1
由因子分解定理可知，f ( x1 , x2 ,L , xn )是θ的充分统 计 量 ， 因 而 充分 统 计 量 不 唯 一 .
条件 分 布 (离 散 总体 为 条 件概 率 ， 连续 总 体 为条 件 密 度) 与 参 数θ 无关 ， 则 称T 为 θ 的充 分 统 计量 .
3. 充分统计量的意义 如果知道了统计量T的观察值以后， 如果知道了统计量 的观察值以后，样本的条 的观察值以后 件分布与θ无关， 件分布与θ无关，也就是样本的剩余部分不再包含 关于θ的信息，换言之， 关于θ的信息，换言之，在T中包含了关于θ的全部 中包含了关于 信息，因此要做关于θ的统计推断，只需用统计量T 信息， 的统计推断， 就足够啦. 就足够啦. 1.3) 例1(p6 例1.3 设总体X 服从两点分布B(1, p),即
例4(p9 例1.6) 设( X1 , X 2 ,L , X n )T 是来自正态总体 1.6
1 n ,1)的 N(µ ,1)的一个样本，试证X = ∑ X i 是参数µ的充 n i =1 分统计量. 1 −{ ∑ ( x − µ ) } 1 2 解 L( µ ) = e
n 2 i i =1
( 2 π )n 1 1 n exp{ − ∑ ( x i − x + x − µ ) 2 = 2 i =1 ( 2 π )n 1 1 n n 2 exp{ − ∑ ( x i − x ) − ( µ − x ) 2 } = 2 i =1 2 ( 2 π )n
= h( x1 , x2 ,L , xn ) g( f −1 ( f (T ( x1 , x2 ,L , xn ))), θ ) = h( x1 , x2 ,L , xn )q( f ( x1 , x2 ,L , xn ), θ )
i =1
由因子分解定理可知，f ( x1 , x2 ,L , xn )是θ的充分统 计 量 ， 因 而 充分 统 计 量 不 唯 一 .
充分完备统计量
(X1, …, Xn )为一个样本，则 T=T(X1,… Xn) 为充分统
计量的充分必要条件是：样本的联合分布密度函数 可以分解为 f(x1, x2,…, xn; ) =g(T(x1,x2,…,xn); )h(x1,x2,…,xn) 其中g(t, )是通过统计量 T 的取值而依赖于样本的。
例 设x1, x2, …, xn是取自总体U(0, )的样本，即总
第二种信息对了解该运动员的命中率是没有什 么帮助的。一般地，设我们对该运动员进行n 次观
测，得到 x1, x2,…, xn，每个xj 取值非0即1，命中为
1，不命中为0。令 T = x1+…+xn ，T为观测到的命 中次数。在这种场合仅仅记录使用T 不会丢失任何 与命中率 有关的信息，统计上将这种“样本加 工不损失信息”称为“充分性”。
本(X1, X2,…, Xn )的条件分布与参数 无关.
对于统计量 T 在已知它的值后，样本的条件分
布与参数 无关，就意味着样本的剩余部分中不包
含 的信息；换言之，在T 中包含了 的全部信息。 因此，要做关于则 在统计学中有一个基本原则--在充分 统计量存在的场合，任何统计推断都可以基于充 分统计量进行，这可以简化统计推断的程序。 定理 设总体 X 概率具有分布密度函数为 f(x ; )，
是一一对应的，这说明在正态总体场合
常用的 ( x , s2 ) 是充分统计量。
§1.3 充分与完备统计量
一.充分统计量 引例： 为研究某个运动员的打靶命中率，我们 对该运动员进行测试，观测其10次，发现除第三、
六次未命中外，其余8次都命中。这样的观测结果
包含了两种信息： (1) 打靶10次命中8次； (2) 2次不命中分别出现在第3次和第6次打靶 上。
充分统计量与完备统计量PPT课件
1
2
m
T (T ( X , X ,, X ),T ( X , X ,, X ),T ( X , X ,, X ))
1
1
2
n
2
1
2
n
m
1
2
n
是参数 (1 ,2 ,,m )的充分完备统计量。
第22页/共27页
例 1.9 设总体 X 服从泊松分布P( ), X1, X2 ,, Xn为
其样本，样本的联合分布律为
这即是说在统计量T 的取值为 t 的情况下
样本 x 的条件分布F(x|T=t) 已不含 的信息，
这正是统计量具有充分性的含义。
第3页/共27页
例. 设总体 X 服从两点分布 B(1, p) ,即
P(X=x)= px (1 p)1x ,x=0,1,
其中 0<p<1, （ X , X ,, X ）为来自总体 X 一个样本,
例 为研究某个运动员的打靶命中率，我们对该 运动员进行测试，观测其10次，发现除第三、六 次未命中外，其余8次都命中。这样的观测结果包 含了两种信息：
(1)打靶10次命中8次； (2)2次不命中分别出现在第3次和第6次打靶上。
第二种信息对了解该运动员的命中率是没 有什么帮助的。
第1页/共27页
一般地，设我们对该运动员进行n 次观测， 得到 x1, x2,…, xn，每个xj 取值非0即1，命
第8页/共27页
定理 1.3 （因子分解定理）
（1）连续型情况：设总体 X 具有分布密度
f ( x; ),( X1 , X2 ,, Xn )是一样本，T ( X1 , X2 ,, Xn )是一个统 计量，则T 为 的充分统计量的充要条件是：样本的联合分布
5-5充分统计量ppt课件
和任一组观测值x1, , xn ,有
p(x1,..., xn; ) g[T (x1, , xn ), ] h(x1, , xn )
其中g( t,θ)是通过统计量T 的取值而依赖于样本的， 而h(x1,…,xn)不依赖于θ.
例4 设x1 , x2……, xn是取自总体N(μ,1) 的样本，
证：
p(
x;
)
1 /
0
, ,
0
x else
p(x1; )
p(
xn
;
)
(1
/
0
)n
，0 ，
min{xi
} max{xi else
}
(1/
) I I n {x( n) } {x(1) 0}
取T x(n) , 并令g(t, ) (1/ )n I{t}, h(x1, , xn ) I{x(1) 0} 由因子分解定理可知,T=x (n)是θ的充分统计量。
3：若样本容量为n, （在上例中）则T1=x1+x2不是充分统 计量. 显然,它浪费了n-2个样品的信息.
T和θ可以是向量,
定义:
维数不一定相同
设x1, x2, , xn是总体分布函数为F (x; )的样本，
统计量T T (x1, , xn )称为的充分统计量(也称为
该分布的充分统计量),如果在(任意)给定T 值后,
,
xn ;
)
(2
2
n
)
2
exp{
1
2
2
n
( xi )2}
i 1
(2
n
)2
p(x1,..., xn; ) g[T (x1, , xn ), ] h(x1, , xn )
其中g( t,θ)是通过统计量T 的取值而依赖于样本的， 而h(x1,…,xn)不依赖于θ.
例4 设x1 , x2……, xn是取自总体N(μ,1) 的样本，
证：
p(
x;
)
1 /
0
, ,
0
x else
p(x1; )
p(
xn
;
)
(1
/
0
)n
，0 ，
min{xi
} max{xi else
}
(1/
) I I n {x( n) } {x(1) 0}
取T x(n) , 并令g(t, ) (1/ )n I{t}, h(x1, , xn ) I{x(1) 0} 由因子分解定理可知,T=x (n)是θ的充分统计量。
3：若样本容量为n, （在上例中）则T1=x1+x2不是充分统 计量. 显然,它浪费了n-2个样品的信息.
T和θ可以是向量,
定义:
维数不一定相同
设x1, x2, , xn是总体分布函数为F (x; )的样本，
统计量T T (x1, , xn )称为的充分统计量(也称为
该分布的充分统计量),如果在(任意)给定T 值后,
,
xn ;
)
(2
2
n
)
2
exp{
1
2
2
n
( xi )2}
i 1
(2
n
)2
高等统计3
例：设样本 X1 , X 2 L, X n i.i.d. ，服从密度为
1 − p ( x , θ) = e θ θ
x
x>0
n
的指数分布， 其中 θ (>0)为未知参数， 则可证明 T = ∑ X i 为 θ
i =1
的充分统计量。
例：设 X=( X 1 , X 2 , L, X n )是来自两参数指数分布的一个样 本，其总体的密度为:
词的含义。为了进一步说明这个道理，我们先看一个例子。 例：设 X1 , X 2 ,L, X n 是来自两点分布 b (10,
T = ∑ X i ，试说明 T 是 θ 的充分统计量。
i =1 n
θ
)的样本，且
因子分解定理： 根据充分统计量的定义及其解释，在对总体未知参数进 行推断时，应在可能的情况下尽量找出关于未知参数的充分 统计量。但是直接根据定义来验证一个统计量是否是充分的 是不太方便的，为此需要一个简单的判别准则。下面介绍一 个判断统计量是否是充分的非常重要而且使用方便的准则。 为简化记号，用 X 记样本。 定理（因子分解定理）设样本 X 的概率函数或密度函数为 p (x,
(m)
; θ ∈ Θ}是 R mn 中的随机向量 X=
（ X1 , X 2 ,L, X m ）的分布族，且 PX ( x; θ) 是 X 密度（概率） 函数，则
PX ( x; θ) = PX ( x 1 , x 2 , L, x m ; θ) = ∏ PXi ( x i ; θ)
i =1
n
= ∏ exp[c(θ)T( x i ) + d (θ)] + S( x i )]I A ( x i )
i =1 n
2 + 例：正态分布族 {N (0, σ ), σ ∈ R } 是不完备的。
充分统计量ppt课件
ln xi
都是θ的充分统
常见分布的充分统计量
分布
两点分布b(1, p) Poisson分布P(λ) 几何分布Ge(θ) 均匀分布U(0, θ) 均匀分布U(θ1, θ2) 均匀分布U(θ, 2θ) 正态分布N(μ,σ 2) 指数分布Exp(λ) 伽玛分布Ga(α ,λ)
参数 p
λ θ θ (θ1,θ2) θ (μ,σ 2) λ (α ,λ)
i 1
(2
2
)
n
2
exp{
n 2 2 2
}exp{
1
2
2
(t2
2t1)}
h(x1, , xn ) 1 即可.
注：若θ是参数向量，T是随机向量，且满足因子分 解定理的条件，则T是θ的充分统计量. 但不能由T 关于θ是充分的, 推出T 的第i 个分量关于θ的第i 个 分量也是充分的.
和任一组观测值x1, , xn ,有
p(x1,..., xn; ) g[T (x1, , xn ), ] h(x1, , xn )
其中g( t,θ)是通过统计量T 的取值而依赖于样本的， 而h(x1,…,xn)不依赖于θ.
例4 设x1 , x2……, xn是取自总体N(μ,1) 的样本，
,
xn ;
)
(2
2
n
)
2
exp{
1
2
2
n
( xi )2}
i 1
(2
n
)2
2 2
}
exp{
1
2
2
(
n i 1
xi 2
2
n i 1
xi )}
充分统计量与完备统计量
例5
设( X 1 , X 2 , , X n )T 是来自正态总体N( , 2 )
n i 1
的一个样本，试证T(X 1 , X 2 , , X n ) ( X , X i2 )T 是参数 =( , 2 )T的联合充分统计量.
解 L( )
1
1 ( 2π )n
{
证明涉及测度论，从略 说明：
如果参数为向量时，统计量T也是随机向量，例如
( , ), 则相应的统计向量可以为T ( X , S ).
2 2 n
以下将通过几个例子来说明判别法则的应用
例2 根据因子分解定理证明例2.3 解
P{ X1 x1 , X 2 x2 , , X n xn }
x !
i 1 i
n
g (T ( x1 , x2 , , xn ), ) nT e n ,因而，X 是充分统计量.
例4 设( X 1 , X 2 , , X n )T 是来自正态总体N( ,1)的
1 n 一个样本，试证X X i 是参数的充分统计量. n i 1
k k 证 由于P{ X } P{nX k }＝C n p k (1 p)n k ,因而 n n
k k p k 即对任意的0 p 1, g ( )C n ( n 1 p ) 0，而此式 k 0 p 是关于 的多项式，因而每项系数只能为0，则 1 p k k g( ） 0，因而满足Pp { g( ） 0} 1, 所以X 是完备 n n 统计量.
§2.3 充分统计量与完备统计量
一、充分统计量
二、因子分解定理
三、完备统计量 四、指数型分布族
一、充分统计量
1. 问题的引出
充分统计量_完备统计量_指数分布族
i 1
i 1
3）常见指数分布族 二项分布族：
p
(x)
n x
x (1 )nx
n x
(1
)n
e
x
ln
1
c( ) exp{c1( )x}h(x), x 0,1,, n
其中
c(
)
(1
)n ,
c1 (
)
x
ln
1
,
h(x)
n x
二元正态分布族：
pu, (x)
1 2
exp{
2 2 2
h x1,, xn h y1,yn :T y1,yn t
y1, yn
,
该分布与 无关,这证明了充分性.
3）充分性判别法则
定理 4.1 设样本分布密度函数族（连续或离散）为 F f x, : ,T T X
为统计量.则：T 为充分统计量的充分必要条件为：存在关于 t 的可测函数 g t 与关 于 x 的非负可测函数 h x ，使得
-4-
X (1) ,, X (n) 是完全的（对任何自然数 n）.
引理 ：设分布族满足上面的条件（a）， f ( X1,, X n ) 为 Bore（可测得对称函数），满足条
件
f
( X1,,
X n )dF ( X1)dF ( X n )
0f
( X (1) ,,
X(n) )
，对任何
F
f
，
则对 F 中的任意 n 个分布 F1,, Fn ，必有
x f (x)dp (x) 0 , 对 一 切 ” 的 有 界 x 可 测 函 数 f (x) ， 必 有
p {X f (x) 0} 0 ，对一切 ，则称分布族 { p , } 为有界完全的.若
55 充分统计量【精选】
(1) 打靶10次命中8次； (2) 2次不命中分别出现在第3次和第6次
打靶上。
23 September 2019
第五章 统计量及其分布
第3页
第二种信息对了解该运动员的命中率是没有什么帮
助的。一般地，设我们对该运动员进行n 次观测， 得到 x1, x2,…, xn，每个xj 取值非0即1，命中为1，不 命中为0。令 T = x1+…+xn ，T为观测到的命中次数。
说明：参数θ和充分统计量 T = T(x1, x2, …, xn)并不 一定是一维的。
这一点我们在后面的例5.5.5中就能看到。
23 September 2019
第五章 统计量及其分布
第6页
例5.5.2 （P279）
设总体X服从0-1分布 b(1,θ)， x1, x2, …, xn 是来自
该总体的容量为n的样本，则统计量样本均值 T x
当 n 3 时，不存在任何低于n维的充分统计量。
23 September 2019
第五章 统计量及其分布
注意理解充分统计量的概念和作用， 并掌握因子分解定理
第16页
充分统计量总是针对我们所关 心的总体的具体参数而言的
充分统计量并不是唯一的
作业：习题5.5
23 September 2019
1，5
在这种场合仅仅记录使用T 不会丢失任何与命中率
有关的信息，统计上将这种“样本加工不损失信息”
称为“充分性”。
样本 x=(x1,x2,…,xn) 有一个样本分布F (x)，
这个分布包含了样本中一切有关的信息。
23 September 2019
第五章 统计量及其分布
第4页
统计量T =T (x1,x2,…,xn) 也有一个抽样分布 FT(t) ，当我们期望用统计量T 代替原始样
打靶上。
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第五章 统计量及其分布
第3页
第二种信息对了解该运动员的命中率是没有什么帮
助的。一般地，设我们对该运动员进行n 次观测， 得到 x1, x2,…, xn，每个xj 取值非0即1，命中为1，不 命中为0。令 T = x1+…+xn ，T为观测到的命中次数。
说明：参数θ和充分统计量 T = T(x1, x2, …, xn)并不 一定是一维的。
这一点我们在后面的例5.5.5中就能看到。
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第6页
例5.5.2 （P279）
设总体X服从0-1分布 b(1,θ)， x1, x2, …, xn 是来自
该总体的容量为n的样本，则统计量样本均值 T x
当 n 3 时，不存在任何低于n维的充分统计量。
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第五章 统计量及其分布
注意理解充分统计量的概念和作用， 并掌握因子分解定理
第16页
充分统计量总是针对我们所关 心的总体的具体参数而言的
充分统计量并不是唯一的
作业：习题5.5
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1，5
在这种场合仅仅记录使用T 不会丢失任何与命中率
有关的信息，统计上将这种“样本加工不损失信息”
称为“充分性”。
样本 x=(x1,x2,…,xn) 有一个样本分布F (x)，
这个分布包含了样本中一切有关的信息。
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第五章 统计量及其分布
第4页
统计量T =T (x1,x2,…,xn) 也有一个抽样分布 FT(t) ，当我们期望用统计量T 代替原始样
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