理论力学三大类问题的基本求解方法

理论力学三大类问题的基本求解方法

2009-12

1 求解静力平衡问题的基本方法（平面问题为重点）

（1）选取研究对象，进行受力分析，并画受力图。

一般针对所求，先对整体进行初步的受力分析，若所求未知量小于或等于独立平衡方程的个数，则只研究整体即可；反之，若所求未知量个数大于独立平衡方程的个数，则必须取分离体进行受力分析。可以采取整体＋分离体的解决方案，也可采取分离体＋分离体的解决方案；另外，若所求的未知量有系统内力，也必须取分离体研究，以暴露出所要求的内力；画受力图注意将各力画在原始的作用点处，分布力原样画出，待列方程计算时，再作简化处理。再有，注意二力杆的判别，及摩擦力方向的判定。

（2）列平衡方程求解。

首先根据受力图，判断是何种力系的平衡问题。再针对所求用尽可能少的平衡方程得出所求。

（3）结果校核——利用多余的平衡方程校核所得的结果。对用符号表示的结果，可采用量纲分析的方法进行校核。

2 求解运动学问题的基本方法（以平面运动为重点）

首先正确判断问题类型，尤其注意正确区分点的合成运动问题与刚体平面运动问题。判断的依据是，点的合成运动的问题中，运动机构的不同构件之间有相对滑动。而刚体平面运动理论用来分析同一平面运动刚体上两个不同点间的速度和加速度的关系。此时，运动机构的不同构件之间有相对转动，却无相对滑动。另外，注意点的合成运动与刚体平面运动的综合问题。

2．1 点的运动学问题——注意在一般位置建立点的运动方程；

2．2 点的合成运动问题

（1）首先是机构中各构件的运动分析；

（2）再针对所求，正确选择动点、动系和定系。注意动点相对于动系和定系都要有相对运动，即动点、动系、定系要分属于不同的构件。同时，尽可能使动点的相对轨迹清楚易判断；求解加速度时，尽量将动系固连在平动的物体上，避免求科氏加速度；

（3）分析三种运动及其相应的三种速度和加速度，正确画出速度矢量图或加速度矢量图。注意速度合成的平行四边形关系；

（4）利用速度或加速度合成定理进行求解。注意速度和加速度是矢量，除计算大小外，还要标明方向。而平面问题中，角速度和角加速度是标量，除大小外，还需注明转向。另外，进行加速度合成时，当点的运动轨迹是已知曲线时，一般将加速度沿切线和法线方向分解；而当点的运动轨迹是未知曲线时，亦可将加速度沿x和y轴方向分解；

2．3 刚体平面运动问题

（1）首先是机构中各构件的运动分析（平动、转动或平面运动）；

（2）选定速度或加速度大小及方向已知的点为基点，应用基点法画出速度或加速度合成矢量图；求解平面运动的速度问题，亦可采用速度投影定理或速度瞬心法；注意速度合成的平行四边形关系；

（3）应用基点法公式或速度投影定理或速度瞬心法进行求解。注意速度和加速度是矢量，除计算大小外，还要标明方向。而平面问题中，角速度和角加速度是标量，除大小外，还需注明注明转向。另外，进行加速度合成时，当点的运动轨迹是已知曲线时，一般将加速度沿切线和法线方向分解；而当点的运动轨迹是未知曲线时，亦可将加速度沿x和y轴方向分解；

2．4 点的合成运动与刚体平面运动综合题

将2.2与2.3综合应用。

3动力学普遍定理及其综合应用

动力学普遍定理包括——动能定理、动量定理、动量矩定理，及质点系动量守恒定律、质心运动定理、质心运动守恒定理、刚体绕定轴转动微分方程、质点系动量矩守恒定律、刚体平面运动微分方程等。

动力学普遍定理的综合应用

（1）质点动力学普遍定理表示了整个质点系运动特征的量（如动能、动量、动量矩等）与力系对质点系作用效果的量（如力系的功、主矢、主矩等）之间的关系。这些关系表述为动力学普遍定理——动能定理、动量定理、动量矩定理等； 由于各定理都有本身的特点，有关物理量都有鲜明的物理意义，故在应用其求解动力学问题时，首先要根据问题的已知条件和待求量恰当地选择定理。 （2）已知主动力求质点系的运动。对于理想约束，选用动能定理为宜。若约束反力与转轴平行或相交，也可用动量矩定理。若未知约束反力与某轴垂直，也可用动量定理或质心运动定理在该轴上的投影式。对于转动问题宜用动量矩定理，对于移动问题宜用动量定理或质心运动定理。另外，还需充分利用守恒条件（动量守恒、质心运动守恒、动量矩守恒）直接建立运动元素之间的关系，求得速度和运动规律；

（3）已知质点的运动求未知力。通常可选用质心运动定理、动量矩定理和刚体平面运动微分方程。对于做功的未知力，亦可选用动能定理求解；

（4）动量定理、动量矩定理为矢量形式，须注意各矢量的大小和方向，在应用投影式进行计算时，还要注意各矢量投影的正负。而动能定理为标量式，计算简便，但无法由动能定理判断有关运动量方向的问题，也无法求不做功的力。应用这些定理时，方程中的位移、速度（角速度）、加速度（角加速度）均为绝对位移、速度、加速度；

（5）在较复杂的动力学问题中，如同时需要求运动和力，或求多自由度系统的运动，可综合应用上述动力学普遍定理，或动力学普遍定理＋动静法。同时注意充分利用问题中的附加条件，如运动学关系、库仑摩擦定律等补充方程。