北师大版《等差数列前n项和》教学设计

《等差数列的前n 项和》教学设计

一、概念的提出与逆项相加原理

设}{n a 是等差数列，n S 为}{n a 前n 项的和，则n n a a a S +++=...21.这就是我们这节课要学习的内容，即等差数列前n 项的求和问题.

下面我们来认识一个因为高斯而著名的例题，并给出高斯算法.

例1 }{n a 的通项公式为,n a n =求100S .

高斯算法：10099984321100+++++++=...S

123979899100100+++++++=...S

因为这两项上下对应项的和均为101，所以

101001011011012100100=+++= 个

...S

所以， 5050.2

10100S 100== 这里运用了一种原理，叫作逆项相加原理。我们就以这种方法去获取等差数列前n 项和的公式.

二、等差数列前n 项求和公式的推导

设n S 是等差数列}{n a 前n 项和，即

n n a a a S +++=...21.

根据等差数列}{n a 的通项公式，上式可以写成

])([...)()(d n a d a d a a S n 121111-+++++++=

再把项的次序倒过来，可以写成

])([...)()(d n a d a d a a S n n n n n 12--++-+-+=

把两式等号两边分别相加，得

个

n n n n n a a a a a a S )(...)()(++++++=1112 )(n a a n +=1

于是，首项为1a ，末项为n a ，项数为n 的等差数列的前n 项和

2

1)(n n a a n S += )(* 这个公式表明，等差数列的前n 项和等于首末项的和与项数乘积的一半.

例2 联系例1中的等差数列，求

（1）;...99321++++ (2);...99531++++

(3);...97741++++ (4)....80222120++++

三、进一步拓展

（1）将d n a a n )(11-+=代入)(*得

d n n n a S n 2

11)(-+=. (2)利用等差数列的如下性质

”则“若q p n m a a a a q p n m +=++=+,，可得 11121a a a a a a a a n m n m n n +==+==+=++--......

进而有 .,)(n m a a n S m n m n ≤≤+=+-12

1 （3）几种常见数列的前n 项和公式

)a 正整数列,...},...,,,{n 321：.)(2

1+=

n n S n )b 奇数列：2n S n =

)c 正偶数列：)(1+=n n S n 例3 已知等差数列}{n a 的首项.,,101S 45求==d a

例4 在等差数列中，已知40153=+a a ，求.17S

三、公式的运用：用方程的思想由已知的几个量求另外几个量。

例5 设}{n a 为等差数列，

（1） 已知,,15685==a a 求;12S

（2） 已知,,51066==S a 求1a 和;d

（3） 已知,,16848128==S S 求.n a

课时小结 （1）提出了等差数列前n 项和的概念；

（2）通过观察和体会，获得高斯算法中的逆项相加原理，并用以推导等差数列前n 项的求和公式。

（3）对)(*及其文字描述作了一个探究，指出在一个情境中可能有若干个等差数列，要善于发现这些数列并作出处理。

（4）对等差数列前n 项的求和公式作了一些拓展。

（5）尝试了用方程的思想去运用今天所学的知识。

作业 ;221题第,P .1022题第,P