北师大版《等差数列前n项和》教学设计

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2022年高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修5 2.2等差数列的前n项和》

?等差数列的前n项和公式?教学设计教学目标：1、知识与技能〔1〕掌握等差数列前n项和公式,理解公式的推导方法；〔2〕能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。

2、过程与方法经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，3、情感、态度与价值观通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自教学重点、难点：1、等差数列前n项和公式是重点。

2、获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。

教学过程：(一)创设问题情境故事引入：德国伟大的数学家高斯“神述求和〞的故事。

高斯在上小学四年级时，高斯的方法：首项与末项的和：1100=101第2项与倒数第2项的和：299=101第3项与倒数第3项的和：398=101……第50项与倒数第50项的和：5051=101∴前100个正整数的和为：101×50=5050〔二〕等差数列求和公式一般地，称为等差数列的前n项的和，用表示，即1、思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？思考后知道，也可由此得到等差数列的前n项和的公式对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前2、除此之外，等差数列还有其他方法吗？当然，对于等差数列求和公式的推导，这两个公式是可以相互转化的。

把代入中，就可以得到引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第〔三〕公式运用，变式训练见课后习题第一题〔四〕例题分析例1 假设等差数列{an}满足以下条件，求前n项和Sn：〔1〕a1=5，an=95，n=10；〔2〕a1=100，d=-2，n=50；〔3〕a1=12，a8=26，n=2021〔4〕假设a8=5，你能求出S15吗？例2等差数列{an}中，首项为a1，公差为d，项数n=15，第n项an=-10,前n项和为Sn （五）随堂练习1、见课本2、高考题〔六〕反思与评价1．用倒序相加法推导等差数列前n项和公式2．用推导的两个公式灵活解题。

数列第2节等差数列及其前n项和教案北师大版

等差数列及其前n 项和[考试要求]1.理解等差数列的概念. n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．1．等差数列(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *)，d 为常数．(2)等差中项：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫作a 与b 的等差中项，即A ＝a ＋b2.2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系(1)当d ≠0时，等差数列{a n }的通项公式a n ＝dn ＋(a 1－d )是关于d 的一次函数． (2)当d ≠0时，等差数列{a n }的前n 项和S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数． 4．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．[常用结论]等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(m ∈N *)也是等差数列，公差为m 2d .(5)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差是{a n }的公差的12.(6)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1.(7)若{a n }，{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ，T n ，则.(8)若等差数列{a n }的项数为奇数2n ＋1，则 ①S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；②S 奇S 偶＝n ＋1n .一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的. ( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋ a n ＋2.( )(4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×二、教材习题衍生1．等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝10，a 10＝6，则公差d 等于( ) A ．14 B ．12 C ．2 D ．－12A [∵a 4＋a 8＝2a 6＝10，∴a 6＝5，又a 10＝6，∴公差d ＝a 10－a 610－6＝6－54＝14.故选A.]2．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( )A ．31B ．32C ．33D ．34B [设数列{a n }的公差为d ，法一：由S 5＝5a 3＝30得a 3＝6，又a 6＝2，∴S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(a 3＋a 6)2＝8(6＋2)2＝32.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋5×42d ＝30，得⎩⎨⎧a 1＝263，d ＝－43.∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝8×263－28×43＝32.]3．已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的第100项为________． 487 [依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a 100＝－8＋99×5＝487.] 4．某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为________．820 [设第n 排的座位数为a n (n ∈N *)，数列{a n }为等差数列，其公差d ＝2，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a 1＋2(n －1)．由已知a 20＝60，得60＝a 1＋2×(20－1)，解得a 1＝22，则剧场总共的座位数为20(a 1＋a 20)2＝20×(22＋60)2＝820.]考点一等差数列基本量的运算解决等差数列运算问题的思想方法1．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( )A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2nA [设首项为a 1，公差为d . 由题知，⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝4a 1＋d 2×4×3＝0，a 5＝a 1＋4d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2，∴a n ＝2n －5，S n ＝n 2－4n ，故选A.]2．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5等于( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12 B [设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a 1＋3×(3－1)2×d ＝2a 1＋2×(2－1)2×d ＋4a 1＋4×(4－1)2×d ，将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.]3．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为a n ，则a 1＝( )A ．23B ．32C ．35D ．38C [由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为－3，则9a 1＋9×82×(－3)＝207，解得a 1＝35，故选C.]点评：涉及等差数列基本量的运算问题其关键是建立首项a 1和公差d 的等量关系．考点二等差数列的判定与证明等差数列的判定与证明的方法方法解读适合题型定义法若a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)为同一常数⇔{a n }是等差数列解答题中证明问题等差中项法 2a n ＝a n ＋1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)成立⇔{a n }是等差数列通项公式法 a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列选择、填空题中的判定问题前n 项和公式法验证S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列[典例1] 若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)证明：当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，因为S n ≠0，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)由(1)可得1S n ＝2n ，所以S n ＝12n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－12n (n －1).当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.点评：证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列的关键是1S n －1S n －1为与n 无关的常数，同时注意求数列{a n }的通项公式时务必检验其通项公式是否包含n ＝1的情形．[跟进训练]已知数列{a n }满足a 1＝1，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n . (1)求a 2，a 3；(2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求{a n }的通项公式．[解] (1)由已知，得a 2－2a 1＝4，则a 2＝2a 1＋4，又a 1＝1，所以a 2＝6. 由2a 3－3a 2＝12，得2a 3＝12＋3a 2，所以a 3＝15. (2)由已知na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n (n ＋1)，得na n ＋1－(n ＋1)a n n (n ＋1)＝2，即a n ＋1n ＋1－a nn＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项a 11＝1，公差d ＝2的等差数列．则a nn ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝2n 2－n . 考点三等差数列性质的应用利用等差数列的性质解题的两个关注点(1)两项和的转换是最常用的性质，利用2a m ＝a m －n ＋a m ＋n 可实现项的合并与拆分，在S n＝n(a1＋a n)2中，S n与a1＋a n可相互转化．(2)利用S m，S2m－S m，S3m－S2m成等差数列，可求S2m或S3m.等差数列项的性质[典例2－1](1)已知数列{a n}是等差数列，若a9＝4，a5＋a6＋a7＝6，则S14＝() A．84 B．70C．49 D．42(2)已知在等差数列{a n}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝()A．10 B．20C．40 D．2＋log25(3)设数列{a n}，{b n}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于()A．0 B．37C．100 D．－37(1)D(2)B(3)C[(1)因为a5＋a6＋a7＝3a6＝6，所以a6＝2，又a9＝4，所以S14＝14×(a1＋a14)2＝7(a6＋a9)＝42.故选D.(2)log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log22a1＋log22a2＋…＋log22a10＝a1＋a2＋…＋a10＝5(a5＋a6)＝5×4＝20.故选B.(3)设{a n}，{b n}的公差分别为d1，d2，则(a n＋1＋b n＋1)－(a n＋b n)＝(a n＋1－a n)＋(b n＋1－b n)＝d1＋d2，所以{a n＋b n}为等差数列．又a1＋b1＝a2＋b2＝100，所以{a n＋b n}为常数列，所以a37＋b37＝100.]点评：一般地a m＋a n≠a m＋n，等号左右两边必须是两项相加，当然也可以是a m－n＋a m＋n ＝2a m.等差数列前n项和的性质[典例2－2](1)已知等差数列{a n}的前n项和为S n.若S5＝7，S10＝21，则S15等于() A．35 B．42C．49 D．63(2)已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1＝－2 018，S2 0202 020－S2 0142 014＝6，则S2 021＝________.(1)B (2)4 042 [(1)由题意知，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等差数列，即7,14，S 15－21成等差数列， ∴S 15－21＋7＝28， ∴S 15＝42，故选B.(2)由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列，设其公差为d ，则S 2 0202 020－S 2 0142 014＝6d ＝6，∴d ＝1，∴S 2 0212 021＝S 11＋2 020d ＝－2 018＋2 020＝2， ∴S 2 021＝4 042.]点评：本例(2)，也可以根据条件先求出a 1，d ，再求结果，但运算量大，易出错． [跟进训练]1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m ＞1，且a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0，S 2m －1＝39，则m 等于( )A ．39B ．20C ．19D ．10B [数列{a n }为等差数列，则a m －1＋a m ＋1＝2a m ，则a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0可化为2a m－a 2m －1＝0，解得a m ＝1.又S 2m －1＝(2m －1)a m ＝39，则m ＝20.故选B.]2．等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值是( ) A ．20 B ．22 C ．24D ．8C [因为a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，所以a 8＝24，所以2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24.]3．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n ∈N *，都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 2b 3＋b 13＋a 14b 5＋b 11的值为( ) A.2945B.1329C.919D.1930C [由题意可知b 3＋b 13＝b 5＋b 11＝b 1＋b 15＝2b 8，∴a 2b 3＋b 13＋a 14b 5＋b 11＝a 2＋a 142b 8＝a 8b 8＝S 15T 15＝2×15－34×15－3＝2757＝919.故选C.]考点四等差数列的前n 项和及其最值求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[典例3] 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8C [法一：(邻项变号法)由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0.根据首项等于13可推知这个数列为递减数列，从而得到a 7>0，a 8<0，故n ＝7时S n 最大．法二：(函数法)由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n .根据二次函数的性质，知当n ＝7时S n 最大．法三：(图像法)根据a 1＝13，S 3＝S 11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和是先递增后递减．根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图像的对称性，可得只有当n ＝3＋112＝7时，S n 取得最大值．][母题变迁]将本例中“a 1＝13，S 3＝S 11”改为“a 1＝20，S 10＝S 15”，则S n 最大时，n 为何值？ [解] 因为a 1＝20，S 10＝S 15，所以10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，所以d ＝－53.法一：由a n ＝20＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－53＝－53n ＋653，得a 13＝0. 即当n ≤12时，a n >0，当n ≥14时，a n <0. 所以当n ＝12或n ＝13时，S n 取得最大值．法二：S n ＝20n ＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－53 ＝－56n 2＋1256n＝－56⎝⎛⎭⎫n －2522＋3 12524. 因为n ∈N *，所以当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值．法三：由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. 所以5a 13＝0，即a 13＝0.所以当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值．点评：本例用了三种不同的方法，其中方法一是从项的角度分析函数最值的变化；方法二、三是借助二次函数的图像及性质给予解答，三种方法各有优点，灵活运用是解答此类问题的关键．[跟进训练]1．设数列{a n }是公差d ＜0的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n 的值为( )A ．5B ．6C ．5或6D ．11C [由题意得S 6＝6a 1＋15d ＝5a 1＋10d ，化简得a 1＝－5d ，所以a 6＝0，故当n ＝5或6时，S n 最大．]2．(2019·北京高考)设{a n }是等差数列，a 1＝－10，且a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值．[解] (1)∵{a n }是等差数列，a 1＝－10，且a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列． ∴(a 3＋8)2＝(a 2＋10)(a 4＋6)，∴(－2＋2d )2＝d (－4＋3d )，解得d ＝2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－10＋2n －2＝2n －12.(2)法一：(函数法)由a 1＝－10，d ＝2，得S n ＝－10n ＋n (n －1)2×2＝n 2－11n ＝⎝⎛⎭⎫n －1122－1214， ∴n ＝5或n ＝6时，S n 取最小值－30.法二：(邻项变号法)由(1)知，a n ＝2n －12. 所以，当n ≥7时，a n ＞0；当n ≤6时，a n ≤0. 所以S n 的最小值为S 5＝S 6＝－30.。

北师大版数学高二-必修5教案 1.2《等差数列的前n项和》

1.2《等差数列的前n 项和》教学设计【学习目标】1.掌握数列的前n 项和的概念，会根据前n 项和求通项．理解并掌握等差数列的前n 项和公式，掌握公式的推证方法——倒序相加法，掌握等差数列前n 项和公式的简单应用；2.会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题.【学习新课】1.复习回顾经过前面的学习，我们知道，在等差数列中：（1）a n －a n －1＝d (n ≥1)，d 为常数.（2）若a ，A ，b 为等差数列，则A ＝a ＋b2（3)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .（其中m ，n ，p ，q 均为正整数） 2. 问题情境导入：例：如图，一个堆放铅笔的V 形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V 形架上共放着多少支铅笔?这是一堆放铅笔的V 形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个V 形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题.新课学习阶段1.等差数列的前n 项和的推导：首先，我们来看这样一个问题：1＋2＋3＋…＋100＝？对于这个问题，著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果，你知道他是怎么算的吗？高斯的算法是：首项与末项的和：1＋100＝101，第2项与倒数第2项的和：2＋99＝101，第3项与倒数第3项的和：3＋98＝101，……第50项与倒数第50项的和：，于是所求的和是这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的问题，它可以看成是求等差数列1，2，3，…，n,…的前100项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示，且任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前n项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解.2.等差数列的前n项和的具体推导：有了此公式，我们就不难解决最开始我们遇到的问题，下面我们看具体该如何解决？分析题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自上而下各层的铅笔成等差数列，可记为{a n}，其中a1＝1，a120＝120，n＝120.解：例1等差数列－10，－6，－2，2，…前多少项的和是54?分析：解：例2 在等差数列{a n}中，（1）已知a2＋a5＋a12＋a15＝36，求S16（2）已知a6＝20，求S11.分析：（1）由于本题只给了一个等式，不能直接利用条件求出a1，a16，d，但由等差数列的性质，可以直接利用条件求出a1＋a16的和，于是问题得以解决.（2）要求S11只需知道a1＋a11即可，而a1与a11的等差中项恰好是a6，从而问题获解.解：例3有一项数为2n＋1的等差数列，求它的奇数项之和与偶数项之和的比.例4 若两个等差数列的前n项和之比是（7n＋1）∶(4n＋27)，试求它们的第11项之比.课堂小结通过本节学习，要熟练掌握等差数列前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2 ＝na 1＋n （n －1）2d 及其获取思路. 作业见同步练习部分拓展提升1.设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝（ )A.310B.13C.18D.192.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，6636,324,144(6)n n S S S n -===>，则n 等于（）A. 15B. 16C. 17D. 183.在等差数列{}n a 中，10110,0a a <>，且1110||a a >，则n a 中最大的负数为（） A. 17S B. 18S C. 19S D. 20S4.数列{}n a 中，492-=n a n ，当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值时，=n .5.已知等差数列{}n a 共有10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则其公差是 .6.设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a = .7.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，100,7,141===n S a a ，则=n . 8.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，10,10010010==S S ，求110S .9．已知数列{}n a 满足()1111,32n n n a a a n --==+≥.（Ⅰ）求23,a a ；（Ⅱ）证明：312n n a -=.10.⑴已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，求n ； ⑵若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数n .11.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，31=a ，)2(21≥=-n a S S n n n . ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵数列{}n a 中是否存在正整数k ，使得不等式1+>k k a a 对任意不小于k 的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k ，若不存在，说明理由.12.已知等差数列{}n a 中，21920,28a a a =-+=- ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵若数列{}n b 满足2log n n a b =，设12n n T b b b =，且1n T =，求n 的值.13.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，.16,2541==a a ⑴当n 为何值时，n S 取得最大值；⑵求208642a a a a a +++++ 的值； ⑶求数列{}n a 的前n 项和.n T参考答案新授课阶段1.等差数列的前n 项和的推导： 50＋51＝101； 101×1002＝5050.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n①把项的次序反过来，S n 又可写成S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1②①＋②⇒2S n ＝(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a n ＋a 1) 又∵a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3＝…＝a n ＋a 1 ∴2S n ＝n (a 1＋a n ) 即：S n ＝n （a 1＋a n ）2若根据等差数列{a n }的通项公式，S n 可写为：S n =a 1+(a 1+d )+…+①,把项的次序反过来，S n 又可写为：S n =a n +(a n －d )+…+,把①、②两边分别相加，得2S n ＝个n n n n a a a a a a )()()(111++⋅⋅⋅++++＝n (a 1＋a n )即：S n ＝n （a 1＋a n ）2.由此可得等差数列{a n }的前n 项和的公式S n ＝n （a 1＋a n ）2.也就是说，等差数列的前n 项和等于首末两项的和与项数乘积的一半. 用这个公式来计算1＋2＋3＋…＋100＝？我们有S 100＝100（1＋100）2＝5050.又∵a n ＝a 1+(n －1)d ,∴S n ＝n （a 1＋a n ）2 ＝n [a 1＋a 1＋（n －1）d ）]2 ＝na 1＋n （n －1）2 d∴S n ＝n （a 1＋a n ）2 或S n ＝na 1＋n （n －1）2d有了此公式，我们就不难解决最开始我们遇到的问题，下面我们看具体该如何解决？分析题意可知，这个V 形架上共放着120层铅笔，且自上而下各层的铅笔成等差数列，可记为{a n }，其中a 1＝1，a 120＝120，n ＝120.解：设自上而下各层的铅笔成等差数列{a n }，其中n ＝120，a 1＝1，a 120＝120. 则：S 120＝120（1＋120）2 ＝7260答案：这个V 形架上共放着7260支铅笔. 例1分析：先根据等差数列所给出项求出此数列的首项，公差，然后根据等差数列的求和公式求解.解：设题中的等差数列为{a n }，前n 项为的S n ，由题意可知：a 1＝－10，d ＝(－6)－(－10)＝4，S n ＝54由等差数列前n 项求和公式可得：－10n ＋n （n －1）2 ×4＝54解之得：n 1＝9，n 2＝－3(舍去)答案：等差数列－10，－6，－2，2，…前9项的和是54. 例2分析：（1）由于本题只给了一个等式，不能直接利用条件求出a 1，a 16，d ，但由等差数列的性质，可以直接利用条件求出a 1＋a 16的和，于是问题得以解决.（2）要求S 11只需知道a 1＋a 11即可，而a 1与a 11的等差中项恰好是a 6，从而问题获解. 解：（1）∵a 2＋a 15＝a 5＋a 12＝a 1＋a 16＝18 ∴S 16＝16（a 1＋a 16）2 ＝8×18＝144.（2）∵a 1＋a 11＝2a 6∴S 11＝11（a 1＋a 11）2 ＝11a 6＝11×20＝220.例3分析一：利用S n ＝na 1＋n （n －1）2d 解题.解法一：设该数列的首项为a 1，公差为d ，奇数项为a 1，a 1＋2d ，…其和为S 1，共n ＋1项；偶数项为a 1＋d ，a 1＋3d ，a 1＋5d ，…，其和为S 2，共n 项.∴S 1S 2 ＝（n ＋1）a 1＋12 （n ＋1）[（n ＋1）－1]2dn （a 1＋d ）＋12 n （n －1）2d＝n ＋1n. 分析二：利用S n ＝n （a 1＋a n ）2解题.解法二：由解法一知：S 1＝（n ＋1）（a 1＋a 2n ＋1）2 ，S 2＝n （a 2＋a 2n ）2例4分析一：利用性质m ＋n ＝p ＋q ⇒a m ＋a n ＝a p ＋a q 解题.解法一：设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的前n 项和为T n . 则：a 11＝a 1＋a 212 ，b 11＝b 1＋b 212,∴a 11b 11 ＝a 1＋a 212 b 1＋b 212 ＝a 1＋a 212 ·21b 1＋b 212 ·21 ＝S 21T 21 ＝7×21＋14×21＋27 ＝43分析二：利用等差数列前n 项和S n ＝An 2+Bn 解题. 解法二：由题设，令S n ＝(7n ＋1)·nk ，T n ＝(4n ＋27)·nk 由a n ＝S n －S n －1＝k (14n －6)，得a 11＝148k ，n ≥2 b n ＝T n －T n －1＝k (8n －23)，得b 11＝111k ，n ≥2, ∴a 11b 11 ＝148k 111k ＝43. 评述：对本例，一般性的结论有：已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，则：（1）a n b n ＝S 2n －1T 2n －1 ；(2) a m b n ＝2n －12m －1 ·S 2m －1T 2n －1 .拓展提升1.A 【解析】根据等差数列的性质232,,m m m m m S S S S S --……成等差数列，即可得解.2.D 【解析】由6324,144n n S S -==得12345180n n n n n n a a a a a a -----+++++=，再由161()326,36,324,182n n n n a a S a a S n +=∴+=∴==∴= 3.C 【解析】1910201011190,10()0S a S a a =<=+>.4.24【解析】由492-=n a n 知{}n a 是等差数列，.250>⇒>n a n ∴.24=n5.4【解析】已知两式相减，得.4205=⇒=d d6.1)1(21++n n 【解析】利用迭加法（或迭代法），也可以用归纳—猜想—证明的方法.7.解：设等差数列的公差为d ，则23171414=-=--=a a d101002)1(21=⇒=⨯-+=n n n n S n . 8.解：方法1：设等差数列的公差为d ，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+=+100109950111049501001004510111d a d a d a ∴110109110211101110-=⨯⨯+=d a S ；方法2： 2902)(90100111001110100-=+⇒-=+=-a a a a S S∴1102)(1102)(110100*********-=+=+=a a a a S .9.解：（Ⅰ）解：∵11,a =∴223314,3413a a =+==+=. （Ⅱ）证明：由已知113n n n a a ---=，故112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+123331n n --=++++312n -=，∴ 312n n a -=10. 分析：⑴利用等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=求出1a 及d ，代入n S 可求项数n ；⑵利用等差数列的前4项和及后4项和求出n a a +1，代入n S 可求项数n . 解：⑴设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则3,186893111-==⇒⎩⎨⎧-=+=+d a d a d a∴7,663)1(231821==⇒=--=n n n n n S n ⑵ 124,363214321=+++=+++---n n n n a a a a a a a a3423121---+=+=+=+n n n n a a a a a a a a ∴40160)(411=+⇒=+n n a a a a ∴39780207802)(1=⇒=⇒=+=n n a a n S n n 11.解：⑴当2≥n 时，)(22111----=⇒=n n n n n n n S S S S a S S∴21111-=--n n S S ，且3111=S ，∴{}n a 是以21-为公差的等差数列，其首项为31 .∴nS n n S S n n 356635)1(21111-=⇒-=--= ∴当2≥n 时，)53)(83(18211--==-n n S S a n n n 当1=n 时，11018)53)(83(18a ≠=--，∴⎪⎩⎪⎨⎧≥--=)2()53)(83(18)1(3n n n n ；⑵0)23)(53)(83(181>---=-+k k k a a k k ，得3532<<k 或38>k ，∴当3≥k 时，1+>k k a a 恒成立，所求最小的正整数.3=k12.解：⑴设数列{}n a 的公差为d ，则2,22288220111=-=⇒⎩⎨⎧-=+-=+d a d a d a ∴242)1(222-=-+-=n n a n⑵ 242log 2-=n b n ，∴2422-=n n b∴n n n n n n n b b b b T 24)1(24)321(232122-+-++++===令(1)240n n n +-=，得23=n ∴当23n =时，.1=n T 13.解：⑴ 等差数列{}n a 中，.16,2541==a a ∴公差31414-=--=a a d ∴283+-=n a n ，令90283≤⇒>+-=n n a n∴当9≤n 时，0>n a ；当9>n 时，0<n a .∴当9=n 时，n S 取得最大值；⑵ 数列{}n a 是等差数列∴208642a a a a a +++++ 20)9325(10102)(1011202-=⨯-==+=a a a ；⑶由⑴得，当9≤n 时，0>n a ；当9>n 时，0<n a∴n n n S S a a a a a a T -=+++-+++=911109212)(印刷版高中数学 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⨯-⨯=)1(2325)336259(2n n n 234253232+-=n n。

《等差数列的前n项和》教案

《等差数列的前n项和》教案阜阳师范学校顾文同一、教材分析：（一）教材的地位与作用本节课是《北师大版普通高中课程标准实验教科书·数学·必修5》的〈第一章§2.2 等差数列的前n项和〉的第一课时：等差数列的前n项和公式的推导和简单应用问题。

本节对“等差数列前n 项和”的推导，是在学生学习了等差数列通项公式的基础上进一步研究等差数列，其学习平台是学生已掌握等差数列的性质以及高斯求和法等相关知识。

对本节的研究，为以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法——倒序相加求和法，具有承上启下的重要作用。

（二）教学目标依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以学情分析，我制定了如下教学目标：知识与技能：(1)掌握等差数列前n项和公式;(2)掌握等差数列前n项和公式的推导过程;(3)会简单运用等差数列的前n项和公式。

过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。

体会模仿与创新的重要性（三）重点难点1、重点：等差数列n项和公式的推导及简单应用2、难点：等差数列前n项和公式的推导过程中渗透倒序相加的思想方法。

（四）课程资源的开发与信息技术的整合本节复习课以课本例题、习题为切入点，充分利用课本资源，加强例题和习题挖掘，既达到复习重点概念和基本方法的目的，又指导和改进学生的学习方式、方法。

在课堂教学中充分利用信息技术的优势，使课堂教学直观、生动，启发学生开启智慧之门，激发学生的学习兴趣。

二、学情分析知识基础：我班学生已掌握了函数，数列等有关基础知识，并且在初中已了解特殊的数列求和。

认知水平与能力：学生已初步具有抽象逻辑思维能力，能在教师的引导下独立地解决问题。

但处理抽象问题的能力还有待进一步提高。

北师大版高中必修52.2等差数列的前n项和教学设计

北师大版高中必修5 2.2等差数列的前n项和教学设计一、教学目标1.知道等差数列的概念与性质，会判断一个数列是否为等差数列。

2.熟练掌握等差数列的通项公式、前n项和公式和其简单应用。

3.能使用前n项和公式解决等差数列实际问题。

二、教学重难点1.等差数列前n项和公式的理解与应用;2.等差数列的真正意义以及其在实际生活中的应用。

三、教学内容1. 等差数列的概念与性质1.1 等差数列的定义等差数列是指从第二项开始，每项与其前一项的差相等的一种数列，这个差叫做等差数列的公差。

1.2 等差数列的性质•通项公式：a n=a1+(n−1)d•前n项和公式：$S_n=\\frac{(a_1+a_n)n}{2}=\\frac{2a_1+(n-1)d}{2}×n$•等差中项：$a_m=\\frac{a_n+a_1}{2}$2. 等差数列的前n项和公式的应用以数列 $\\{4,7,10,...\\}$ 为例，在确定其为等差数列后，我们可以用前n项和公式计算前10项的和:$S_{10}=\\frac{(4+31)×10}{2}=175$3. 等差数列的实际应用等差数列在实际中的很多场景中都有应用，特别是在数理金融、经济策略等领域。

例如，假设你每个月存款1000元，而存款利息每年15%的情况下，求10年后本金和利息的总和。

数字小说以等差数列 $\\{12000,12600,13200,...\\}$ 来表示10年后每年的本息总和。

因此，我们可以使用前n项和公式来计算该数列的和：$S_{10}=\\frac{(24000+37200)×10}{2}=306000$四、教学过程1. 复习让学生们回顾等差数列的定义和通项公式，在黑板上让学生们做一些简单的题目。

2. 教学1.介绍等差数列的前n项和公式，并给出一个实例来说明该公式的应用；2.引入等差数列的实际场景，并尝试将其转化为等差数列；3.让学生尝试使用前n项和公式来计算等差数列的总和并解决实际问题。

北师大版《等差数列前n项和》教学设计

《等差数列的前n 项和》教学设计一、概念的提出与逆项相加原理设}{n a 是等差数列，n S 为}{n a 前n 项的和，则n n a a a S +++=...21.这就是我们这节课要学习的内容，即等差数列前n 项的求和问题.下面我们来认识一个因为高斯而著名的例题，并给出高斯算法.例1 }{n a 的通项公式为,n a n =求100S .高斯算法：10099984321100+++++++=...S123979899100100+++++++=...S因为这两项上下对应项的和均为101，所以101001011011012100100=+++= 个...S所以， 5050.210100S 100== 这里运用了一种原理，叫作逆项相加原理。

我们就以这种方法去获取等差数列前n 项和的公式.二、等差数列前n 项求和公式的推导设n S 是等差数列}{n a 前n 项和，即n n a a a S +++=...21.根据等差数列}{n a 的通项公式，上式可以写成])([...)()(d n a d a d a a S n 121111-+++++++=再把项的次序倒过来，可以写成])([...)()(d n a d a d a a S n n n n n 12--++-+-+=把两式等号两边分别相加，得个n n n n n a a a a a a S )(...)()(++++++=1112 )(n a a n +=1于是，首项为1a ，末项为n a ，项数为n 的等差数列的前n 项和21)(n n a a n S += )(* 这个公式表明，等差数列的前n 项和等于首末项的和与项数乘积的一半.例2 联系例1中的等差数列，求（1）;...99321++++ (2);...99531++++(3);...97741++++ (4)....80222120++++三、进一步拓展（1）将d n a a n )(11-+=代入)(*得d n n n a S n 211)(-+=. (2)利用等差数列的如下性质”则“若q p n m a a a a q p n m +=++=+,，可得 11121a a a a a a a a n m n m n n +==+==+=++--......进而有 .,)(n m a a n S m n m n ≤≤+=+-121 （3）几种常见数列的前n 项和公式)a 正整数列,...},...,,,{n 321：.)(21+=n n S n )b 奇数列：2n S n =)c 正偶数列：)(1+=n n S n 例3 已知等差数列}{n a 的首项.,,101S 45求==d a例4 在等差数列中，已知40153=+a a ，求.17S三、公式的运用：用方程的思想由已知的几个量求另外几个量。

北师大版高中数学必修五教学案等差数列的前n项和

A．5880B．5684C．4877D．4566
3.已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n项和为286，则项数n为（）
A. 24 B. 26 C. 27 D. 28
4.在等差数列中，，，则 .
5.在等差数列中，，，则 .
6.下列数列是等差数列的是（）.
A. B.
C. D.
7.等差数列{ }中，已知，那么（）.
例2已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？
等差数列中，已知，，，求n.
等差数列{ }中，＝－15，公差d＝3，求 .
三巩固练习
1.在等差数列中，，那么（）.
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
2.在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（）.
教案、学案用纸
年级高二
学科数学
课题
等差数列的前n项和
授课时间
撰写人
学习重点
等差数列前n项和公式
学习难点
等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.
学习目标
1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；
2.会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.
教学过程
一自主学习
数列的前n项的和：
一般地，称为数列的前n项的和，用表示，即
根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的前n项和 .
⑴
⑵ .
1.用，必须具备三个条件：.
2.用，必须已知三个条件：.
二师生互动
例12000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？

北师大版高中数学必修五等差数列前n项和教案

1.2.2等差数列前n项和教学目标1.掌握等差数列前项和的公式，并能运用公式解决简单的问题.（1）了解等差数列前项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等差数列前项和公式推导的过程，记忆公式的两种形式；（2）用方程思想认识等差数列前项和的公式，利用公式求；等差数列通项公式与前项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值；（3）会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究的最值.2.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法.3.通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.4.通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题.教学重点:等差数列的前项和公式的推导和应用，难点:获得推导公式的思路.教学方法:讲授法.教学建议（1）知识结构本节内容是等差数列前项和公式的推导和应用，首先通过具体的例子给出了求等差数列前项和的思路，而后导出了一般的公式，并加以应用；再与等差数列通项公式组成方程组，共同运用，解决有关问题．（2）重点、难点分析高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思，对一般学生来说有很大难度，但大多数学生都听说过这个故事，所以难点在于一般等差数列求和的思路上．（3）教法建议①本节内容分为两课时，一节为公式推导及简单应用，一节侧重于通项公式与前项和公式综合运用.②前项和公式的推导，建议由具体问题引入，使学生体会问题源于生活.③强调从特殊到一般，再从一般到特殊的思考方法与研究方法.④补充等差数列前项和的最大值、最小值问题.⑤用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式.教学过程:一.新课引入提出问题：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？问题就是（板书）“”这是小学时就知道的一个故事，高斯的算法非常高明，回忆他是怎样算的.（由一名学生回答，再由学生讨论其高明之处）高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.我们希望求一般的等差数列的和，高斯算法对我们有何启发？二.讲解新课:（板书）等差数列前项和公式1.公式推导（板书）问题：设等差数列的首项为，公差为，由学生讨论，研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.思路一：运用基本量思想，将各项用和表示，得，有以下等式，问题是一共有多少个，似乎与的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.思路二：上面的等式其实就是，为回避个数问题，做一个改写，，两式左右分别相加，得:，于是有：.这就是倒序相加法.思路三：受思路二的启发，重新调整思路一，可得，于是.于是得到了两个公式：和.2.公式记忆:用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前项和的两个公式.3.公式的应用:公式中含有四个量，运用方程的思想，知三求一.例1.求和：（1）；（2）（结果用表示）解题的关键是数清项数，小结数项数的方法.例2.等差数列中前多少项的和是9900？本题实质是反用公式，解一个关于的一元二次函数，注意得到的项数必须是正整数.三.小结:1.推导等差数列前项和公式的思路；2.公式的应用中的数学思想.四.练习:P17练习 1、2、3 P18 1、2、3作业：P19 习题1——2第11、12题P19 习题1——2第13题。

《等差数列前 n 项和》教学设计

《等差数列前n项和》教学设计一、教材分析本节内容是北师大版必修5第一章第二节第二小节“等差数列前n项和”的第一课时，主要内容是等差数列前n项和的推导过程和简单应用。

本节对“等差数列前n项和”的推导，是在学生学习了等差数列通项公式的基础上进一步研究等差数列，其学习平台是学生已掌握等差数列的概念与性质等相关知识。

对本节的研究，为以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法一倒序相加求和法，具有承上启下的重要作用。

二、学情分析该部分的学习是建立在学生对数列知识的有效认识的基础上，学生在具体的学习实践中已经掌握等差数列基本性质以及相关基础知识，本节课在此基础上，通过利用兴趣激励法，在激发学生的探索兴趣的基础上，引导学生展开积极的学习实践，使学生在积极的学习实践中，引发学生对其本质的探索的兴趣，引导学生根据所学知识，通过具体的自主观察、合作交流、探索等实践，在充分调动学生的积极性的基础上,引导学生形成对学习内容的形象生动的掌握过程。

三、教学目标1.知识上，掌握等差数列前n项和公式，能够简单运用公式解决问题;通过公式的推导，体会从特殊到一般的研究方法，认识倒序相加法。

2.过程与方法上，经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法,学会观察、归纳、反思。

3.情感上，获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。

四、学习重难点重点是掌握等差数列前n项和公式，能够简单运用公式解决问题;难点是等差数列前n项和公式推导过程中渗透倒序相加的思想方法。

五、教学方法情境教学法、启发式教学等。

六、教学过程（一）情境引入，激发兴趣给出一个三角形点阵，让同学们数一数点阵中点的个数；再给出一个更大的三角形点阵，请同学们数一数其中点的个数。

同学们发现大的点阵不容易数清楚，由此提出将三角形点阵“倒过来”将两个完全相同的三角形点阵拼成一个平行四边形点阵，此时点阵中每一行的点数是相同的，这就很容易数清楚了。

《等差数列的前 n 项和》教学设计

《等差数列的前 n 项和》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标（1）学生能够理解等差数列前 n 项和公式的推导过程。

（2）熟练掌握等差数列前 n 项和公式，并能运用公式解决相关问题。

2、过程与方法目标（1）通过对等差数列前 n 项和公式的推导，培养学生的逻辑推理能力和创新思维能力。

（2）在运用公式解决问题的过程中，提高学生的数学运算能力和分析问题、解决问题的能力。

3、情感态度与价值观目标（1）让学生在自主探索和合作交流中，感受数学的魅力，激发学生学习数学的兴趣。

（2）通过数学史的介绍，培养学生的数学文化素养和民族自豪感。

二、教学重难点1、教学重点等差数列前 n 项和公式的推导和应用。

2、教学难点等差数列前 n 项和公式的推导过程中数学思想方法的渗透。

三、教学方法讲授法、讨论法、探究法相结合四、教学过程1、导入新课（1）复习等差数列的通项公式：＼（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\）（2）提出问题：如何求等差数列\（＼｛a_n\｝＼）的前 n 项和\（S_n ＝ a_1 ＋ a_2 ＋ a_3 ＋＼cdots ＋ a_n\）？2、公式推导方法一：倒序相加法设等差数列\（＼｛a_n\｝＼）的首项为\（a_1\），公差为\（d\），前\（n\）项和为\（S_n\）。

＼（S_n ＝ a_1 ＋ a_2 ＋ a_3 ＋＼cdots ＋ a_n\）①＼（S_n ＝ a_n ＋ a_{n 1} ＋ a_{n 2} ＋＼cdots ＋ a_1\）②①＋②得：＼＼begin{align}2S_n&＝（a_1 ＋ a_n) ＋（a_2 ＋ a_{n 1}）＋（a_3 ＋ a_{n 2}）＋＼cdots ＋（a_n ＋ a_1)＼＼＆＝n(a_1 ＋ a_n)＼end{align}＼所以\（S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＼）又因为\（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\），所以\（S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋a_1 ＋（n 1)d)｝｛2} ＝＼frac{n(2a_1 ＋（n 1)d)｝｛2}＼）方法二：通项公式法＼（S_n ＝ a_1 ＋（a_1 ＋ d) ＋（a_1 ＋ 2d) ＋＼cdots ＋ a_1 ＋（n 1)d\）＼＼begin{align}S_n&＝na_1 ＋ d(1 ＋ 2 ＋ 3 ＋＼cdots ＋（n 1)）＼＼＆＝na_1 ＋＼frac{n(n 1)d}｛2}＼＼＆＝＼frac{n(2a_1 ＋（n 1)d)｝｛2}＼end{align}3、公式理解（1）分析公式\（S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＼）中各项的意义，强调\（a_1\）为首项，＼（a_n\）为第\（n\）项。

《等差数列的前n项和》示范公开课教学设计【高中数学必修5(北师大版)】

《等差数列的前n项和》教学设计◆教学目标【知识与能力目标】掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题．【过程与方法目标】通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，提高学生的思维水平.【情感态度价值观目标】通过公式的推导过程，展现数学中的对称美.体会模仿与创新的重要性.使学生获得发现的成就感，优化思维品质，提高数学的推理能力．◆教学重难点【教学重点】掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题．【教学难点】通过公式的推导过程，展现数学中的对称美.体会模仿与创新的重要性.使学生获得发现的成就感，优化思维品质，提高数学的推理能力．◆教学过程引入新课高斯上小学时，有一次数学老师给同学们出了一道题：计算从1到100的自然数之和.那个老师认为，这些孩子算这道题目需要很长时间，所以他一写完题目，就坐到一边看书去了.谁知，他刚坐下，马上就有一个学生举手说:“老师，我做完了.”老师大吃一惊，原来是班上年纪最小的高斯.老师走到他身边，只见他在笔记本上写着5050，老师看了，不由得暗自称赞.为了鼓励他，老师买了一本数学书送给他.思考：现在如果要你算，你能否用简便的方法来算出它的值呢？计算：1+2+3+4+····+99+100探究：等差数列的前n 项和公式有200根相同的圆木料，要把它们堆成正三角形垛，并使剩余的圆木料尽可能少，那么将剩余多少根圆木料？根据题意，各层圆木料数比上一层多一根，故其构成等差数列：1,2,3，…设共摆放了n 层，能构成正三角形垛的圆木料数为Sn,则这是一个等差数列的求和问题，如何计算该等差数列的和呢？而高斯计算的就是当n=100时的和.可见日常生活中经常会遇到这样的求和问题，你能从高斯解决这个问题的过程中悟出求一般等差数列前n 项和的方法吗？抽象概括设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，即根据等差数列{an}的通项公式，上式可以写成再把项的次序反过来，Sn 又可以写成把①， ②等号两边分别相加，得于是，首项为a1,末项为an,项数为n 的等差数列的前n 项和.2)(1n n a a n S += 这个公式表明：等差数列前n 项的和等于首末两项的和与项数乘积的一半，参见下图..50502)1001(10010099321=+⨯=+++++ ,321n S n ++++= .321n n a a a a S ++++= ],)1([)2()(1111d n a d a d a a S n -+++++++= ],)1([)2()(d n a d a d a a S n n n n n --++-+-+= )()()(2111n n n n a a a a a a S ++++++= ).(1n a a n +=将an=a1+(n-1)d 代入③式，得112().n n n S na d -=+对于本节开头的问题，即转化为求满足的最大自然数n.易知当n=19时，Sn=190;n=20时，Sn=210.所以n 的最大值为19.此时，将堆垛19层，剩余10根圆木料.例7: 求前n 个正奇数的和.解由等差数列前n 项和公式，得个连续正整数的和时，特别地，当n d a 1,11==.2)1(321+=++++=n n n S n 2002)1(≤+=n n S n例8 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈.请问：（1）第9圈共有多少块石板？（2）前9圈一共有多少块石板？解（1）设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{an},由题意可知{an}是等差数列，其中a1=9，d=9,n=9.由等差数列的通项公式，得第9圈有石板（2）由等差数列的前n 项和公式，得前9圈一共有石板答第9圈有81块石板，前9圈一共有405块石板.例9 在新城大道一侧A 处，运来20棵新树苗.一名工人从A 处起沿大道一侧路边每隔10m 栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵.要栽完这20棵树苗，并返回A 处.植树工人共走了多少路程?解植树工人每种一棵树并返回A 处所要走的路程（单位：m)组成了一个数列 0,20,40,60， (380)这是首项为0，公差为20，项数为20的等差数列，其和答植树工人共走了3 800m 路程.例10 九江抗洪指挥部接到预报，24h 后有一洪峰到达.为确保安全，指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，需调用20台同型号翻斗车，平均每辆工作24h 后方可筑成第二道防线.但目前只有一辆车投入施工，其余的需从昌九高速公路沿线抽调，每隔20min 能有一辆车到达，指挥部最多可调集25辆车，那么在24h 内能否构筑成第二道防线？.2)121(125312n n n n =-+=-++++）（ .819)19(91)(919（块）=⨯-+=-+=d a a ).(4059289992)19(9919块=⨯⨯+⨯=-+=d aS解从第一辆车投入工作算起，各车工作时间（单位：h)依次设为：这是一个等差数列，a1=24，公差d=-1/325辆车可以完成的工作量为：需要完成的工作量为 24×20=480.因此，在24h 内能构筑成第二道防线.课堂小结：1.回顾从特殊到一般的研究方法;2.倒序相加的算法及数形结合的数学思想;3.掌握等差数列的两个求和公式及简单应用，及函数与方程的思想.略,,,,2521a a a .500)31(2242524252521=-⨯⨯+⨯=+++a a a ◆教学反思。

高中数学新北师大版精品教案《2.2等差数列的前n项和》

等差数列的前n项和（第一课时）教学设计焦作市第十一中学李国磊“等差数列的前n项和”（第一课时），本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用．等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题．同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法．教学目标分析一、知识与技能1、借助几何图形，通过直观感知，能自觉获得等差数列的前n项和公式的推导思路；理解公式的推导过程，再次感受数形结合的思想。

2、理解公式，能用公式解决简单的问题；通过公式运用进一步体会方程的思想；让学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法；进一步加深对等差数列的认识。

二、过程与方法1、启发式教学。

从三角形图案入手，以高斯算法引入，设计了很多“想一想”、“试一试”、“探究”，就是为了启发、诱导学生，让学生主动发现问题，得到公式推导的思路，并能自觉地得到解决办法；指导学生合情推理，加深认识，正确运用。

2、探究式学习。

从高斯算法到倒序相加法，从特殊数列到一般数列求和，从公式的认识到运用，都是以学生探究为主，老师适当指导，总结。

三、情感态度与价值观1、结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣,并通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化。

2、让学生亲身经历数学研究的过程，体验创造的激情，享受成功的喜悦，感受数学的魅力。

教学重点、难点分析重点：探索等差数列的前n项和公式的推导并获得思路；掌握公式，学会用公式解决简单的问题；体会等差数列的性质、公式与方程的联系。

难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得。

解决办法:本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略。

以三角图案入手，利用数形结合的思想，得到高斯算法的启发，设计一个“试一试”，借助几何图形的变化得到“倒”的思路，层层深入，通过学生自主探究、分析、整理出推导公式的思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。

等差数列前n项和优秀教学设计

他在《张丘建算经》中给出等差数列求和问题：例如：今有女子不善织布，整体的把
握，让学
归每天所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，共织三十日，问共生充分参与
纳
总织几何？原书的解法是：“并初、末日织布数，半之再乘以织日数，即
课堂的每一
结得。”
个环节。
2. 教师引导学生归纳总结本节课所学习的主要内容．
-4-
新课讲授
2．公式的变形和记忆
问题（1）：此公式中有哪些变量，已知哪些量可求另外公式的推导过程，并引导学生思考能否用首项、公差及项数来表示，推导出另一个公式。培养学生的创造性思维。
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学生活动：观察公式，找出变量。活动预设：此公式中，共有四个变量，可知三求一。问题（2）：此公式还可进行怎样的变形？
例 3：已知一个等差数列｛ an ｝的前 10 项的和是 310，前 20 项的和是 1220，由这些条件能确定这个等差数列的前 n 项和的公式吗？
-3-
让学生对主
要知识进行
回顾，使学
1.对求和史的了解
生对本节内
容有更深层
我国数列求和的概念起源很早，在北朝时，张丘建始创等差数列求和解法。次的认识和
教师活动：引导学生从 an 下手对公式进行变形，投影学生的变形过
程。学生活动：尝试对公式进行变形。由于等差数列的通项公式
an a1 (n 1)d ,对于公差为 d 的等差数列，让学生自己尝试代入上面
得到的式子。
活动预设：公式二、问题 3：观察、对比公式一、二，两个求和公式有何异同点？
（1）让学生学会在旧知与新知之间搭建桥梁，运用旧知巩固新知，利用旧知得出新知；（2）体会知识之间的整体性和关联性，感受运用旧知推导新知的成功和喜悦。

北师大版《等差数列前n项和》教学设计

《等差数列的前n项和》教学设计一、概念的提出与逆项相加原理设｛a n ｝是等差数列，S n为｛a n｝前n项的和，贝S n = a i • a2 - ... - a n .这就是我们这节课要学习的内容，即等差数列前n项的求和问题.下面我们来认识一个因为高斯而著名的例题，并给出高斯算法例1 ｛a n｝的通项公式为a n二n,求S^.高斯算法：S100 =1 2 3 4 ... 98 99 100S100=100 99 98 97 - ... 3 2 1因为这两项上下对应项的和均为101，所以2S100=101 101 ... 101=10100100个10 100所以，S100 5 0 5 0.2这里运用了一种原理，叫作逆项相加原理。

我们就以这种方法去获取等差数列前n项和的公式.二、等差数列前n项求和公式的推导设S n是等差数列｛a n｝前n项和，即S n =玄1 a2 ... a n.根据等差数列｛a n｝的通项公式，上式可以写成S^ a1(a1 d) (a1 2d) ... [a1(n -1)d]再把项的次序倒过来，可以写成S n =a n (a n -d ) (a n - 2d ) ... [a n - (n -1)d ]把两式等号两边分别相加，得2S n =(a「a n) (a「a.) ... (a「a“)-- ------------------------- ==V= -------------------------- ----n个=n (a1 a n)于是，首项为a1，末项为a n,项数为n的等差数列的前n项和这个公式表明，等差数列的前n项和等于首末项的和与项数乘积的一半例2联系例1中的等差数列，求(1) 1 2 3 ... 99; (2)1 3 5 ... - 99;⑶ 1 4 7 ... 97; （4）20 21 22 ... 80.三、进一步拓展（1 ）将a n二站•（n 一1）d代入（）得. n （n -1）dS a nS n — a〔n d .2⑵利用等差数列的如下性质“若m • n = p q,则a m■ a^ ap ■ a q"，可得ai ■a n = a2 a n J ~ ... = a m a n _m 1 ~ ... = a n ' a i进而有S n二唾也」，1岂m乞n.2（3）几种常见数列的前n项和公式n（n 十1）a）正整数列｛1,2,3,..., n,...｝: S n .2b）奇数列：S n二nc）正偶数列：S n二n（n 1）例3已知等差数列｛a n｝的首项印=5,d =4,求S10.例4在等差数列中，已知a3 - a15=40，求S17.三、公式的运用：用方程的思想由已知的几个量求另外几个量。

北师大版数学高二教案等差数列的前n项和

1.2.2等差数列的前n项和教学目标1．通过经历等差数列求和公式的发现、探究过程，掌握等差数列前n项和公式的推导及应用，会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究S n的最值．2．学会常用的数学方法和体现出的数学思想，促进学生的思维水平的发展．通过例题及其变式例题的训练，进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式．3．通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受到数学来源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并用数学知识解决问题．教学重点：掌握等差数列的前n项和公式；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题，能用多种方法解决数列求和问题．教学难点：对等差数列求和公式的深刻理解及其灵活应用．教学过程导入新课思路1.(情境导入)我们在日常生活中常常遇到这样的事情：(可利用多媒体课件或幻灯片)有一堆钢管放置如图1，请你帮助管理人员算一算一共有多少根钢管？求图2共有多少朵小花？当然一根根地数钢管或一朵朵地数小花能算出来，若让你求出第100层的钢管数或让你求出第100个圆圈上的小花的朵数，那么你怎样求呢？有没有更好的方法？这实际上就是等差数列的求和问题，由此展开新课．图1 图2思路2.(事例导入)关于“加薪的学问”有一报道如下：在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两个加工资的方案，一是每年年末加1 000元；二是每半年结束时加300元．请选一种，一般不擅长数学的，很容易选择前者．因为一年加1 000元总比两个半年共加600元要多．其实，由于加工资是累计的，时间稍长，往往第二种方案更有利．例如，在第二年的年末，依第一种方案可以加得1 000＋2 000＝3 000(元)；而第二种方案在第一年加得(300＋600)元，第二年加得900＋1200＝2 100(元)，总数也是3 000元．但到第三年，第一种方案可得1 000＋2 000＋3 000＝6 000(元)，第二种方案则为300＋600＋900＋1 200＋1 500＋1 800＝6 300(元)，比第一种方案多了300元．第四年、第五年会更多．因此，你若在该公司干三年以上，则应选择第二种方案．以上材料的正确解答恰是我们要研究的数列求和问题，由此导入新课．推进新课①教师出示幻灯片投影1.印度泰姬陵(如图3)是世界七大建筑奇迹之一，所在地是阿格拉市．泰姬陵是印度古代建筑史上的经典之作，这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是印度伊斯兰教文化的象征．图3陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝．传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(如图4)，奢华之程度，可见一斑．你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗？(该问题赋予了课堂人文历史的气息，缩短了数学与现实之间的距离，引领学生步入探讨高斯算法的阶段)图4②教师出示幻灯片投影2.高斯是伟大的数学家、天文学家，高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说：“现在给大家出一道题目：1＋2＋…＋100＝？”图5过了两分钟，正当大家在：1＋2＝3；3＋3＝6；4＋6＝10；…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1＋2＋3＋…＋100＝5 050.”你知道高斯是如何算出答案的吗？③根据问题①②，你能探究出等差数列的求和公式吗？④等差数列的前n项和公式有什么结构特征？⑤怎样运用这两个公式解决数列求和问题？活动：教师引导学生探究以上两个著名的历史问题，一方面展示了历史文化奇迹，如问题①，另一方面切身感受一下历史名人的成长足迹，激发学生的探究兴趣．高斯是18世纪德国著名的数学家，被称为历史上最伟大的三位数学家之一，他与阿基米德、牛顿齐名，是数学史上一颗光芒四射的巨星.10岁的小高斯能迅速写出1＋2＋3＋…＋99＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋(3＋98)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5 050，将加法问题转化为乘法运算，迅速准确地得到了结果，的确思维非凡．可见作为“数学王子”的高斯从小就善于观察，敢于思考，因此能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西．今天我们重温这段历史，是想让学生从中感悟学习的真谛，站在巨人的肩膀上去学习．实际上，高斯用的是首尾配对相加的方法，也就是：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝50＋51＝101，有50个101，所以1＋2＋3＋…＋100＝50×101＝5 050.高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101,50个101就等于5 050了．高斯的这种算法，就是等差数列求和的方法，也就是我们将要探究的等差数列的前n 项和问题．现在，我们再来探究前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案，在图中我们取下第1层到第21层，得到图6，则图6中第1层到第21层一共有多少颗宝石呢？这是求“1＋2＋3＋…＋21”奇数个项的和的问题，高斯的方法不能用了．要是偶数项的数求和就正好首尾配成对了．图6高斯的这种“首尾配对”的算法适用于项数是偶数的数列，我们是否有简单的方法来解决上面这个问题呢？我们发现用几何的方法，将这个全等三角形倒置，与原图补成平行四边形．平行四边形中的每行宝石的颗数均为22，共21行，则三角形中的宝石颗数就是1＋21×212.这种思想方法用图形来说明就更清楚．在图6上拼一个倒过来的图形(如图7)，就成为各行有相同个数的平行四边形，计算这个平行四边形图案中宝石的颗数就很容易了．图7这种方法不需分项数为奇数、偶数的情况就可以求和，很有创意，用数学式子表示就是： 1＋2＋3＋ (21)21＋20＋19＋ (1)将上述两式对齐相加(其中第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序)．这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”．探究了以上两个实际问题的求和，学生对数列求和问题有了一定的认识，比较以上两种探究过程，学生自然会思考能否把“倒序相加法”推广到任意一个等差数列呢？这种类比的联想就是思维智慧的体现．为了降低难度，教师可先与学生一起探究1＋2＋3＋…＋n 的问题，得到如下算式：1＋ 2 ＋ 3 ＋ … ＋ n －1 ＋ n n ＋ n －1 ＋ n －2 ＋ … ＋ 2 ＋ 1————————————————————————————————(n ＋1) ＋ (n ＋1)＋ (n ＋1) ＋ … ＋ (n ＋1) ＋ (n ＋1)可知1＋2＋3＋…＋n ＝n ＋1×n 2. 再进一步探究，等差数列{a n }的前n 项和的问题，让学生明白S n 就表示{a n }的前n 项和，即S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，根据倒序相加法可得如下算式：S n ＝ a 1 ＋ a 2＋ a 3 ＋ … ＋ a n ， S n ＝ a n ＋ a n －1＋ a n －2 ＋ … ＋ a 1， ——————————————————————————————————2S n ＝ (a 1＋a n ) ＋ (a 2＋a n －1) ＋ (a 3＋a n －2) ＋ … ＋ (a n ＋a 1).根据上节课等差数列的性质有：a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…＝a n ＋a 1.所以2S n ＝n (a 1＋a n )．由此可得等差数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝n a 1＋a n 2(1)这个公式表明：等差数列前n 项的和等于首末两项的和与项数乘积的一半．(如图8)图8将等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 代入上式，可得等差数列{a n }的前n 项和的另一个公式：S n ＝na 1＋n n －12d (2) 特别地，当a 1＝1，d ＝1时，n 个连续正整数的和S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12. 以上两种推导过程都很精彩，一是用“倒序相加法”，二是用基本量转化，利用我们前面求得的结论，并且我们得到了等差数列前n 项求和的两种不同的公式．这两种求和公式都很重要，都称为等差数列的前n 项和公式．其中公式(1)是基本的，我们可以发现，它可与梯形的面积公式“(上底＋下底)×高÷2”相类比，这里的上底是等差数列的首项a 1，下底是第n 项a n ，高是项数n ，有利于我们的记忆．对于公式(2)，我们还可以这样来求：因为S n ＝a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋3d )＋…＋[a 1＋(n －1)d ]，所以S n ＝na 1＋[1＋2＋3＋…＋(n －1)]d ＝na 1＋n n －12d ，即S n ＝na 1＋n n －12d . 从以上探究我们可以看出这两个公式是可以相互转化的．从结构特征看，公式(1)反映了等差数列任意的第k 项与倒数第k 项的和等于首项与末项的和这个内在性质；公式(2)反映了等差数列的前n 项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n 的“二次函数”，可以与二次函数进行比较．两个公式从不同角度反映了等差数列的性质．两个公式的共同点是需要知道a 1和n ，不同点是前者还需知道a n ，后者还需要知道d .从方程角度看，两公式共涉及5个元素：a 1，d ，n ，a n ，S n ，教师要点拨学生注意这5个元素，其中a 1，d 称为基本元素．因为已知等差数列的首项a 1，公差d ，则此数列完全确定．因此等差数列中不少问题都可转化为求基本元素a 1和d 的问题，这往往要根据已知条件列出关于a 1，d 的方程组，再解这个方程组求出a 1，d . 应用示例例1 计算：(1)1＋2＋3＋…＋n ；(2)1＋3＋5＋…＋(2n －1)；(3)2＋4＋6＋…＋2n ；(4)1－2＋3－4＋5－6＋…＋(2n －1)－2n .活动：对于刚学完公式的学生来讲，先补充这样一个直接运用公式的题目，目的是让学生迅速熟悉公式，用基本量观点认识公式，教学时可让学生自己去解答完成，只是对(4)需做必要的点拨：本小题数列共有几项？是否为等差数列？能否直接运用公式求解？若不能，应如何解答？引导学生观察，本小题中的数列共有2n 项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等差数列，所以原式＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]－(2＋4＋6＋…＋2n )＝n 2－n (n ＋1)＝－n .有的学生可能观察得更快，本小题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为－1，故可得另一解法：原式＝(－1)＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)＝－n .解：(1)1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12； (2)1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 1＋2n －12＝n 2； (3)2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2n ＋22＝n (n ＋1)； (4)见活动内容．点评：本例(1)～(3)小题直接利用等差数列求和公式，其中第(2)小题还可用图9给出示意，让学生更直观地给出答案．第(4)小题给我们这样的启示：在解题时，我们应仔细观察，寻找规律，往往会寻找到巧妙的方法．注意在运用求和公式时，要看清等差数列的项数，否则会引起失误.图9变式训练在等差数列{a n }中， (1)已知a 1＝5，a n ＝95，n ＝10，求S n ，(2)已知a 1＝100，d ＝－2，n ＝50，求S n .【答案】 (1)500；(2)2 550.例2 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图11)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈．请问：图11 (1)第9圈共有多少块石板？(2)前9圈一共有多少块石板？活动：教师在引导学生探究本题时可就题发挥，介绍中国传统文化中的“九”．北京天坛圆丘地面问题是中国传统文化与数学的完美结合．“九”是中华民族崇尚的数字，在阴阳学中，奇数为阳，偶数为阴，九是阳数的最大者，故成为极阳数．因此古人称天为“九天”．屈原《九歌》中“九”的含义为天体宇宙，而将地划分为“九州”．皇帝贵为天子，所属之地称为“九重”，宗庙则称为“九庙”，道路谓之“九陌”．山有“九巅”，水曰“九河”，地下尚有“九泉”．以致棋手也分“九段”，《易经》视“九”为吉祥数．中国古代皇家建筑中到处都有“九”：故宫四个角的结构是九梁十八柱，皇家院门上的钉数是纵九横九，冬至以后开始数九，共有九个九，最后一个九已是春意暖暖，成为“九九艳阳天”了．接下来可让学生根据应用题的解题方法，建立数列模型，自己独立探究完成本例．解：(1)设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{a n }，由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝9，d ＝9，n ＝9.由等差数列的通项公式，得第9圈有石板a 9＝a 1＋(9－1)d ＝9＋(9－1)×9＝81(块)．(2)由等差数列前n 项和公式，得前9圈一共有石板S 9＝9a 1＋99－12d ＝9×9＋9×82×9＝405(块)．答：第9圈有81块石板，前9圈一共有405块石板．点评：本例属数列应用题，但又不同于一般的应用题，教师应周密设计，充分发挥本例的教育功能．例3 在数列{a n }中，a n ＝2n ＋3，求这个数列自第100项到第200项之和S 的值．活动：这是本课时教材上安排的第一个例题，教师与学生一起探究．本例中没有说明数列{a n }是等差数列，但从已知条件可以看出该数列为等差数列．因此需先证明{a n }是等差数列，然后用求和公式解之．解：由于a n ＋1－a n ＝[2(n ＋1)＋3]－(2n ＋3)＝2，所以，数列{a n }是公差为2的等差数列，此数列自第100项到第200项仍是等差数列，共有101项，所求和为S ＝a 100＋a 2002×101 ＝2×100＋3＋2×200＋32×101＝30 603. 点评：学生解完本例后，对出现的a n －a n －1＝2，教师应点拨学生注明n ≥2.例4 在新城大道一侧A 处，运来20棵新树苗．一名工人从A 处起沿大道一侧路边每隔10 m 栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵．要栽完这20棵树苗，并返回A 处，植树工人共走了多少路程？活动：这是一个人人都熟悉的实际问题，教师引导学生建立数列模型．点拨学生分清数列模型中的首项和公差，这是成功解决本例的关键．解：植树工人每种一棵树并返回A 处所要走的路程(单位：m)组成了一个数列0,20,40,60， (380)这是首项为0，公差为20，项数为20的等差数列，其和S ＝20×20－12×20＝3 800(m)．答：植树工人共走了3 800 m 的路程．点评：解答数列应用题，一般要经历“设—列—解—答”四个环节.变式训练如图12所示，有一块菜地共有20畦，每畦长12米，宽1.5米，离菜地18米处有一个池塘，浇水的人从池塘挑一担水，绕着第1畦菜地走一圈，浇完第1畦菜，然后他返回池塘边，再挑一担水，绕着第2畦菜地走一圈，浇完第2畦菜，以后照此办法，直至浇完整块菜地，问他一共走了多少路？图12解：设浇完第n (1≤n ≤20)畦菜地后，再回到池塘边时浇水人所走的路程为a n ，由题意，数列{a n }是等差数列，其中a 1＝2×18＋2×(12＋1.5)＝63，a 20＝2×18＋2×(12＋1.5)＋19×2×1.5＝120.∴S 20＝20a 1＋a 202＝2063＋1202＝1 830(米)． ∵要计算的路程到浇完第20畦为止，∴所求路程为s ＝S 20－(18＋19×1.5)＝1 830－46.5＝1 783.5(米)．答：他一共走了1 783.5米.例5 九江抗洪指挥部接到预报，24 h 后有一洪峰到达．为确保安全，指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，需调用20台同型号翻斗车，平均每辆工作24 h后方可筑成第二道防线．但目前只有一辆车投入施工，其余的需从昌九高速公路沿线抽调，每隔20 min 能有一辆车到达，指挥部最多可调集25辆车，那么在24 h 内能否构筑成第二道防线？解：从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：h)依次设为a 1，a 2，…，a 25，这是一个等差数列，a 1＝24，公差d ＝－13. 25辆车可以完成的工作量为a 1＋a 2＋…＋a 25＝25×24＋25×242×⎝⎛⎭⎫－13＝500. 需要完成的工作量为24×20＝480.因此，在24 h 内能构筑成第二道防线．点评：本例的实际背景是江西九江抗洪抢险的动人场面，教师可借题发挥，深挖本例的教育功能，让学生感到数学的应用无处不在．变式训练一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺瓦片21块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了19层，共铺瓦片多少块？解：由题意，所铺瓦片数成等差数列．设所成等差数列为{a n }，则a 1＝21，d ＝1，n ＝19. 由等差数列前n 项和公式，知共铺瓦片S 19＝19×21＋19×182×1＝570(块)．答：共铺瓦片570块.知能训练课本本节练习1,2,3.课堂小结1．本节的小结由学生来完成，首先回顾总结本节都学习了哪些数学内容？(两个重要的等差数列求和公式)通过等差数列的前n 项和公式的推导，你都从中学到了哪些数学思想方法？(数列倒序相加法)对你今后的学习有什么启发指导？2．你是怎样从方程的角度来理解等差数列求和公式的？又是怎样从等差数列的性质来理解等差数列的求和公式的？上节学习的等差数列的通项与本节学习的等差数列的求和公式有什么联系？本节的重要题型是什么？作业课本习题1—2 A 组11,12,13，14，B 组3. 4,5.课堂小结1．本课的小结由学生来完成．首先回顾总结本节探究了哪些重要结论？通过本节几个例题及变式训练的探讨，你对等差数列前n 项和公式的应用又拓展了多少？你都从中体会到了哪些数学思想方法？对你今后的进一步学习有什么启发指导？你将本节所学知识纳入已有的知识系统中了吗？2．你是怎样从方程思想的角度来理解等差数列的求和公式的？又是怎样从等差数列的性质来理解等差数列的求和公式的？你是怎样从二次函数的角度来更加深刻地认识等差数列求和公式的？它是怎样与函数、不等式、方程等内容交汇的？重要的是你今天有什么独创呢？。

《等差数列前n项和》教案

《等差数列前n项和》教案（高一年级第一册·第三章第三节）一、教材分析●教学内容《等差数列前n项和》北师大版高中教材第三章第三节“等差数列前n项和”的第一课时，主要内容是等差数列前n项和的推导过程和简单应用●地位与作用高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。

本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应用。

在推导等差数列前n项和公式的过程中，采用了：1.从特殊到一般的研究方法；2.逆序相加求和。

不仅得出了等差数列前n项和公式，而且对以后推导等比数列前n项和公式有一定的启发，也是一种常用的数学思想方法。

等差数列前n项和是学习极限、微积分的基础，与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系。

二、学情分析●知识基础：高一年级学生已掌握了函数，数列等有关基础知识，并且在初中已了解特殊的数列求和。

●认知水平与能力：高一学生已初步具有抽象逻辑思维能力，能在教师的引导下独立地解决问题。

●任教班级学生特点：我所任教的班级是普通班级，学生基础知识不是很扎实，处理抽象问题的能力还有待进一步提高.三、目标分析1、教学目标依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标．●知识与技能目标掌握等差数列前n项和公式，能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。

●过程与方法目标经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思。

●情感、态度与价值观目标获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。

2、教学重点、难点根据教学内容和本校学生特点，我确定本节课的教学重点为：●重点等差数列前n项和公式的推导和应用.●难点等差数列前n项和公式的推导过程中渗透倒序相加的思想方法。

● 重、难点解决的方法策略本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点．四、过程设计现实模型： ① 图片欣赏 ② 生活实例}1 na=中，。

高中数学新北师大版精品教案《2.2等差数列的前n项和》

§2.2等差数列的前n项和【三维目标】1．知识与与技能（1）掌握等差数列前n项和公式，掌握“倒序相加的求和”方法。

能用等差数列的前n项和公式解决简单的相关的问题。

（2）掌握从函数与方程的思想多角度的认识与理解等差数列的前n项和公式。

2．过程与方法（1）通过对小高斯求和的方法分析，引导学生从特殊的等差数列求和到一般等差数列求和，启发学生归纳公式的推导方法，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、类比、归纳、分析、推理的能力。

（2）通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，强化方程思想在解决等差数列中的作用，提高学生分析问题和解决问题的能力。

3．情感态度与价值观（1）通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。

（2）公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶。

【重点难点】教学重点：等差数列n项和公式的理解、推导及应用。

教学难点：应用等差数列前n项公式解决有关问题。

【教学过程】（一）以境激情,提出问题[导入]问题1：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？问题就是求“1+2+3+4+…+100=？”据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：（1＋100）＋（2＋99）＋…＋（50＋51）＝101×50＝5050.师生共同分析高斯算法的巧妙之处：把不同数的求和问题转化成相同数的求和问题师：这个故事告诉我们什么信息？高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？生：高斯用的是首尾配对相加的方法.也就是：1+100=2+99=3+98=…=50+51=101，有50个101，所以1+2+3+…+100=50×101=5 050.师：对，高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5 050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西.师：数列1，2，3，…，100是什么数列？而求这一百个数的和1+2+3+…+100相当于什么？生：这个数列是等差数列，1+2+3+…+100这个式子实质上是求这数列的前100项的和.问题2：若把问题变成求：1+2+3+4+‥‥+99=？可以用哪些方法求出来呢？问题3:如果将上述问题中的100换成n，那么又该怎样去求呢？求:1+2+3+4+…+n=?问题4：现在把问题推广到更一般的情形：等差数列{a n} 的首项为a1，公差为d，如何求等差数列的前n项和Sn= a1 +a2+a3+…+a n?分析高斯的求和中的思想，是让学生归纳出求等差数列前n项和的重要的思想方法，改进后，总结为“倒序相加”法。

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