角平分线性质导学案
角平分线的性质(1)导学案
角平分线的性质【学习目标】：1．要求学生掌握角平分线的性质定理,会用这个定理解决一些简单问题。
3．能够作已知角的角平分线，并会熟练地写出已知、求作和作法，可以说明为什么所作的直线是角平分线。
3．会用全等知识证明角平分线的性质定理【学习重难点】：用全等知识证明角平分线性质定理。
【自学指导】：一、阅读P56---P57并回答下列问题：1)作已知角的平分线的方法是什么？在作法的第二步中，去掉“大于12MN的长”这个条件行吗？2)作∠AOP的平分线，要求保留作图痕迹并能说出作法。
3)点到直线的距离是什么？（点到直线的垂线段的长叫点到直线的距离）4)角平分线的性质：。
5)利用图（2）证明这个性质定理。
6)结合图（2）用几何语言表示这个定理：∵OP平分∠，AP⊥，BP⊥，∴PA= .7)由6）可知角平分线定理的作用是什么？应用该定理必须具备什么样的前提条件？二、自学检测：1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E，BC=8，BD=5，求DE的长。
2.如图：在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；求证：CF=EB三、学会小结：1.定理的应用： 应用角平分线的性质定理所具备的前提条件是：有角的，有垂直 ;②若图中有角平分线,,可尝试添加辅助线的方法:向角的两边引 .2、该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，•我们可以直接利用性质解决问题．四、课堂作业△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F。
求证：EB＝FC。
1.4 角平分线 导学案
1.4角平分线（一）一、学习准备：角平分线的定义：_______________________ ______ 。
二、学习目标：1、掌握角平分线的性质及判定定理和它们的证明，2、能熟练地运用定理解决实际问题。
三、学习提示：阅读P28~29完成下列任务：1，自主探究： 还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？你能证明它吗？已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E 。
求证：PD=PE得到定理： 。
练习：如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，∠B=90°，DF ⊥AC ，垂足为F ，DE=DC ，求证：BE=CF[分析]要证BE=CF ，只需证△BDE ≌△FDC2. 合作探究：问题2：你能写出这个定理的逆命题？它是真命题吗？如果是，你作证明它？已知：如图，点P 在射线OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，且PD=PE 。
求证：OC 是∠AOB 的角平分线得到定理 。
OD A PECODA PEBC3、自学：P29例14、练习：1、P29随堂练习1、2 四、学习小结：你有哪些收获 五、夯实基础1、在RT △ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，DE 是是斜边AB 的垂直平分线，且DE=1CM ，则AC=_________.2、如图所示，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，垂足为E ，DF ⊥AC ，垂足为F ，则下列结论不正确的是（ ）A 、△AEG ≌△AFGB 、△AED ≌△AFDC 、△DEG ≌△DFGD 、△BDE ≌△CDF3、△ABC 中, ∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点O ，连结AO ，若∠OBC=25°，∠OCB=30°，则∠OAC=_____________° 4、∠AOB 的平分线上一点M ，M 到OA 的距离为2CM ，则M 到OB 的距离为____________。
角平分线判定定理2导学案
课题：角平分线的性质和判定应用主备人：备课组签字：审核：学习目标：1、掌握角平分线的性质和判定．能够应用性质和判定解决简单实际问题；2、在动手操作过程中，培养动手操作能力与探索精神．一、新知探究活动一：剪一个三角形纸片，折叠出每个角的平分线，观察你发现了什么？三角形的三条角平分线交于。
例：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等证明：过点P作的平分线上吗？为什么？思考回答！想一想：点P在A三角形的三条角平分线交于。
并且这一点到三边的距离。
二、拓展延伸1、如图：已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F到三边AC、BC、CA的距离相等2、已知，如图，BP 是△ABC 的外角平分线，点P 在∠BAC 的角平分线上．求证：CP 是△ABC 的外角平分线．3、要在S 区建立一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建立于何处？答：应建立在 ，并且离角顶点 处思考：如果不要求建立在S 区，这个集贸市场还可以建在哪？三、达标检测1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）A ．三条边上的高的交点B ．三个内角平分线的交点C ．三边上的中线的交点D ．以上结论都不对2．下列说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；•②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；④△ABC 中三条角平分线的交点到三角形的三边的距离相等，其中正确的（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3． 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）Ａ．1处Ｂ．2处Ｃ．3处Ｄ．4处五、总结：本节课你学到了什么？掌握了什么内容？还有什么疑问？。
角平分线的性质导学案
12.3 角的平分线的性质导学案学习目标：1、会用尺规作已知角的平分线，知道作法的合理性；2、探索并证明角的平分线的性质定理；3、能用角的平分线的性质解决简单问题。
学习重点：探索并证明角的平分线的性质定理。
学习难点：角平分线性质定理的应用。
学习过程：一、情境导入问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路。
问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？P二、自学指导让学生先阅读课本48-49页内容，思考下面的问题：1、平分角的仪器怎么使用？2、用尺规如何平分已知角？3、角平分线的性质是4、角平分线的性质怎么证明？5、证明几何命题的一般步骤是：（1）；（2）；（3）。
三、自主探究合作展示探究（一）：角平分仪平分角的道理：1、为什么角平分仪能平分一个角？（小组讨论回答）。
探究（二）如何作尺规作出一个角的平分线呢？1、分析角平分仪原理，你能利用圆规和直尺作角的平分线吗？（小组讨论）2、师生共同用尺规作角的平分线。
已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．（2）分别以M、N为圆心，大于1MN的长为半径作弧．两弧在2∠AOB内部交于点C．（3）作射线OC。
射线OC 即为所求．3、让学生回答为什么射线OC 是∠AOB 的平分线。
4、在上面作法的第二步中，去掉“大于12MN 的长”这个条件行吗？探究（三）、探究角平分线的性质：如图4，OA 是∠BAC 的平分线，点O 是射线AM 上的任意一点. 操作测量：取点O 的三个不同的位置，分别过点O 作OE ⊥AB ，OD ⊥AC,点D 、E 为垂足，测量OD 、OE 的长.将三次数据填入下表：根据测量结果，猜想线段OD 与OE 的大小关系，猜想角平分线的性质结论是： 。
让学生用学过的知识证明此结论：教师引导学生分析这个文字命题的条件和结论，并找出结论中的隐含条件，最后让学生画出图形，用符号语言写出已知和求证，图4ODOE 第一次 第二次第三次BOAM并独立完成证明过程。
角平分线的性质导学案
1.4角的平分线的性质（1）学习目标：1、通过探究理解角平分线的性质并会运用2、掌握尺规作图作角平分线 学习重点：角平分线的性质及尺规作图【学习过程】 一、预习导学：基本定理的学习：（阅读课文P22-25的内容）角的平分线性质定理和判定定理： 二、讨论展示：（1）知识回顾： 如图，已知AB ＝AD ，BC ＝DC ，求证：AC 是∠DAB 的平分线（2）学习新知：1、 如图，已知∠BAC ，用尺规作图的方法作出∠BAC 的角平分线AD ，写出作法，并说明这种作法的依据。
2、OC 是∠AOB 的平分线，点P 是射线OC 上的任意一点，操作测量：取点P 的三个不同的位置，分别过点P 作PD ⊥OA ，PE ⊥OB,点D 、E 为垂足，测量PD 、PE 的长.将三次数据填入下表：观察测量结果,猜想线段3、你能用所学知识证明以上你发现的结论吗？ 已知：AD 平分∠BAC ，P 为AD 上的一点，PM ⊥AB ，PN ⊥AC 求证： 证明：4、 反过来，如图，若P 为∠BAC 内的一点，且点P 到边AB 、AC 的距离相等，即PM=PN ，你认为经过点P 的射线AD 平分∠BAC 吗？为什么？5、 小结：通过以上探索和证明，我们得出了角平分线的性质是：（1） ； （2） 。
仔细比较分析，以上两条定理有什么关系：一般情况下，我们要证明一个几何中的命题时，会按照类似的步骤进行，即：（1） ；（2） ；（3） 。
三、新知应用：（1）如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，且D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， 求证：BE=CFA B D C A B C C A B CN M P D A B C N M P D。
北师大版八年级数学下册《角平分线》第二课时导学案
角平分线（二）学习目标：1、能够证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理。
2、进一步发展学生的推理证明意识和能力。
学习过程：一、前置准备：三角形角平分线性质定理和判定定理的内容是什么？作用呢？二、自主学习：如图：设△ABC的角平分线BM、CN交于P，求证：P点在∠BAC的平分线上定理：三角形的三条角平分线交于点，并且这一点到三条边的距离。
引申：三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为m，三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S= 。
对应练习：1、已知：△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且交于P,若P到边AB的距离为3cm，△ABC的周长为18cm，则△ABC的面积为。
2、到三角形三边距离相等的点是（）A、三条中线的交点；B、三条高的交点；C、三条角平分线的交点；D、不能确定三、合作交流；例：△ABC中，AC=BC, ∠C=900,AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E。
（1）已知：CD=4cm,求AC长（2）求证：AB=AC+CD四、归纳总结：1、我的收获？2、我不明白的问题？五、当堂训练：1、到一个角的两边距离相等的点在。
2、△ABC中，∠C=900,∠A的平分线交BC于D,BC=21cm,BD:DC=4:3,则D到AB的距离为.3、Rt△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，AB=8cm，则DE+DC= cm。
4、△ABC中，∠ABC和∠BCA的平分线交于O,则∠BAO和∠CAO的大小关系为。
5 、Rt△ABC中，∠C=900，BD平分∠ABC，CD=n，AB=m，则△ABD的面积是。
6、已知：OP是∠MON内的一条射线，AC⊥OM,AD⊥ON,BE⊥OM,BF⊥ON,垂足分别为C、D、E、F，且AC=AD求证：BE=BF课下训练：P39 习题1、2、3中考真题：三条公路围成了一个三角形区域，今要在这个三角形区域内建一果品批发市场到这三条公路的距离相等，试找出批发市场的位置。
角平分线的性质导学案
1.4 角平分线的性质与判定导学案（一）【导学目标】1、掌握角平分线的性质定理及判定定理；2、理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
【导学重点】掌握角平分线的性质定理及判定定理；【导学难点】掌握角平分线的性质定理及判定定理；【强基导学】1、判定三角形全等的方法有哪些？判定直角三角形全等的方法呢？2、斜边、直角边定理的内容是什么？3、什么是角平分线？4、点到直线的距离的定义，完成任务1：【自主探学】阅读教材P22【任务1】如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA ，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，试问PD与PE相等吗？请写出证明过程。
【归纳】角平分线的性质定理：角平分线上的点到。
几何语言描述角平分线的性质定理：∵∴，完成任务2：【带问自学】阅读教材P23【任务2】如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E. 若PD= PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗？请说明理由。
【归纳】角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点 。
用几何语言描述角平分线的判定定理：∵∴【互动帮学】例1 如图，∠BAD =∠BCD = 90°，∠1=∠2. （1）求证：点B 在∠ADC 的平分线上； （2）求证：BD 是∠ABC 的平分线.【知识梳理】1、角平分线的性质定理是 。
2、角平分线的判定定理是 。
【达标评学】1． 如图，在△ABC 中，∠B =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，BC =10cm ，CD =6cm ，则点D 到AC 的 距离是： 。
2、如图，在Rt △ABC 中，AC =4，BC =3，AB =5， 点D 是三角形内角平分线的交点，则点D 到AB 的 距离是： 。
A3、如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE⊥AB于E，且DC＝DE，∠CBD:∠A＝2:1，则∠A的度数为。
【布置作业】教材P26A组1、2题BEADC第3题图。
角的平分线的性质
“角的平分线的性质”导学案（第一课时）姓名：_____课时目标：1.掌握角平分线的画法2.理解并掌握角平分线的性质3.了解证明几何命题的一般步骤自学目标：1.动手画任意已知角的平分线2.填空，如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，求证：PD=PE.证明：∵PD⊥OAPE⊥OB∴_____=_____=90°在△PBO和△PEO中∠PDO=∠PEO________=_________OP=OP∴△PDO≌△PEO（_________）∴PD=PE用语言描述以上的结论为：角的平分线的性质：________________________________________________.3.如图，点P、D、E分别在OC、OA、OB上，判断下列推理：A①∵OC平分∠AOB∴PD=PE( ) D C②∵OC平分∠AOBPD⊥OAPE⊥OB∴PD=PE( ) P③∵PD⊥OAPE⊥OB∴PD=PE( )O E B4.证明几何命题的一般步骤是怎样的？①明确几何命题中的__________________;②根据题意，画出图形，并用符号表示_________________;③写出____________。
解读目标：1.运用角平分线性质定理的条件及要注意的问题；2.条件中已知角平分线时常见辅助线的作法。
巩固目标：1.如图，OP平分∠MON，P A⊥ON于点A，点Q是射线OM上一动点，若P A=2，则PQ的最小值为_________2.如图，∠A=90°，BD平分∠ABC，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是________3.如图，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，BC=8cm，AC=6cm，AB=10cm，则△BDE的周长=______. M CPDO A N（第1题图）（第2题图）（第3题图）4.如图，已知OA平分∠BAC，OB=OC，求证AB=AC. AOB C提升目标：△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，AC=10，∠BAC、∠ACB的平分线交于点O，OD⊥AC于D①求OD②求AD、CD的长ADOB C回顾目标：1、掌握角平分线的画法2、理解并掌握角平分线的性质3、了解证明几何命题的一般步骤作业：长江学案P34 1~7。
角平分线的性质-导学案
【MeiWei 81重点借鉴文档】12.3 角平分线的性质（1）导学案、学习目标1、 能用三角形全等的知识，解释角平分线的原理;2、 会用尺规作已知角的平分线.二、 温故知新如图1，在/ AOB 的两边 0A 和0B 上分别取 OM=ONMC L OA NCL OB MC 与NC 交于C 点. 求证：（1） Rt △ MO © Rt △ NOC（2） / MOC M NOC三、 自主探究 合作展示探究（一）1、 依据上题我们应怎样平分一个角呢？2、 思考：把上面的方法改为“在已知/ AOB 的两边上分别截取 OM=QN 使MC=NC 连接OC 则OC 即为/ AOB 的平分线。
”结论是否仍然成立呢?件行吗?OA 是/ BAC 的平分线，点 O 是射线 取点 O 的三个不同的位置，分别过点 AM 上的任意一点. O 作OE 1 AB, OD 丄AC,点D E 为垂足，测四、学习反思请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。
【MeiWei 81重点借鉴文档】 3、受上题的启示，我们可以制作一个如图 2所示的平分角的仪器： 其中AB=AD BC=DC 将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE AE 就是角平分线•你能说明它的道理吗？ 探究 思考 已知 求作 作法 二）如何作出一个角的平分线呢？/ AOB / AOB 勺平分线.（1 ）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 OA OB 于 M N 1 M N 为圆心，大于 MN 的长为半径作弧.两弧在 2（2）分别以 C. OC 射线OC 即为所求./ AOB 内部交于点 （3）作射线 请同学们依据以上作法画出图形。
议一议: 在上面作法的第二步中，去掉“大于 1 丄MN 的长”这个条 2 E1 第二步中所作的两弧交点一定在/ AOB 的内部吗?探究（三）如图 操作测量： 量OD OE 的长.将三次数据填入下表： 3,ODOE第次 卜面用我们学过勺 知:女第二次 AO 平 寸知识证明发现： 乙分 / RAC OEI A B ODI AC 'H ♦丿'口 1 ' 1 1 ：图1观察测量结果，猜想线段 OD 与OE 的大小关系，写出结论:。
11.3-2角平分线的性质2 导学案
PNMCBA《11.3角的平分线的性质2》导学案 班级_______姓名 _____小组____ 小组评价_____教师评价 使用说明：学生利用自习先预习课本第21页8分钟，然后30分钟独立做完学案。
正课由小组讨论交流10分钟，25分钟展示点评，10分钟整理落实，对于有疑问的题目教师点拨、拓展。
【学习目标】 1、会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”． 2、能应用这两个性质解决一些简单的实际问题． 3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。
学习重点：角平分线的性质及其应用学习难点: 灵活应用两个性质解决问题。
【学习过程】 一、自主学习 1、复习思考 （1）、画出三角形三个内角的平分线你发现了什么特点吗？ （2）、如图，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ，求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等。
2、求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
（提示：先画图，并写出已知、求证，再加以证明）3、要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５00米，应建在何处？（比例尺 1：20 000） 二、合作探究 1、比较角平分线的性质与判定2、如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，BE ，CD 相交于点O ，OB ＝OC ，求证∠1＝∠2三、能力提高(*)8．已知：AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ， BD ＝CD ，求证：∠B ＝∠C.9．如图，已知在△ABC 中，90C ∠=，点D 是斜边AB 的中点，2AB BC =，DE AB ⊥ 交AC 于E ．求证：BE 平分ABC ∠．5．如图24-79，△ABC 中，AB ＝AC ，M 是BC 的中点，MD ⊥AB ，ME ⊥AC ，D 、E 是垂足。
求证：MD ＝ME 。
12．如图，△ABC 中，P 是角平分线AD ，BE 的交点．求证：点P 在∠C 的平分线上．6．如图24-80，BP 、CP 分别是△ABC 的外角∠CBD 、∠BCE 的平分线。
《作角平分线》 导学案
《作角平分线》导学案一、学习目标1、理解角平分线的定义和性质。
2、掌握用尺规作角平分线的方法。
3、能够运用角平分线的性质解决简单的几何问题。
二、学习重难点1、重点（1）角平分线的性质。
（2）用尺规作角平分线。
2、难点（1）角平分线性质的证明。
（2）运用角平分线的性质进行推理和计算。
三、知识回顾1、什么是角？角由什么组成？2、我们已经学过的与角相关的知识有哪些？四、新课导入在生活中，我们经常会遇到需要将一个角平均分成两份的情况。
比如，在制作风筝时，为了使风筝的左右两边对称，就需要将某个角平分。
那么，如何准确地作出一个角的平分线呢？这就是我们今天要学习的内容。
五、探究活动（一）角平分线的定义1、观察下面的角，思考什么是角平分线？2、给出角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。
（二）角平分线的性质1、我们已经知道了角平分线的定义，那么角平分线有什么性质呢？2、动手操作：（1）在纸上任意画一个角∠AOB，用折纸的方法作出∠AOB 的平分线 OC。
（2）在 OC 上任取一点 P，分别过点 P 作 PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E。
（3）测量 PD 和 PE 的长度，你发现了什么？3、猜想：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
4、证明猜想：已知：OC 是∠AOB 的平分线，点 P 是 OC 上一点，PD⊥OA 于点D，PE⊥OB 于点 E。
求证：PD ＝ PE。
证明：∵OC 是∠AOB 的平分线∴∠AOC ＝∠BOC∵PD⊥OA，PE⊥OB∴∠PDO ＝∠PEO ＝ 90°在△PDO 和△PEO 中∠AOC ＝∠BOC∠PDO ＝∠PEOOP ＝ OP∴△PDO ≌△PEO（AAS）∴PD ＝ PE5、得出角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
（三）用尺规作角平分线1、思考：如何用尺规作一个角的平分线？2、以已知角∠AOB 为例，步骤如下：（1）以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA、OB 于点 M、N。
角平分线(1)
10.5.角平分线（1）导学案教学目标：1．经历角平分线的性质的证明过程，掌握角平分线的性质定理及逆定理2．能运用角平分线的性质定理及逆定理解决有关问题。
学习策略1.角平分线性质定理的应用.2.利用角平分线的有关定理解答实际问题.学习过程一.复习回顾：1、若等腰三角形的一个角是50°，则这个等腰三角形的底角为_____________．2、若等腰三角形的一个外角是120°，则这个等腰三角形的底角为_____________．3、若等腰三角形的两边长分别为xcm和（2x－6）cm，且周长为17cm，则第三边的长为________．二.新课学习：1.角平分线的性质定理：已知：OP平分∠AOB,PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D,E求证：PD=PE证明：【归纳：】角平分线性质定理:文字语言：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
图形语言：符号语言：2.角平分线的判定定理：已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D,E，且PD=PE 求证：点P在∠AOB的角平分线上（即OP平分∠AOB）证明：【归纳：】角平分线判定定理:文字语言：在一个角的内部，并且到角两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
图形语言：符号语言：例1 如图10-29，在△ABC中,∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E,F，且DE=DF，求DE的长.三.尝试应用：1.∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为2CM，则M到OB的距离为_______；2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若BC=16，BD=10，则D 到AB的距离是________。
3.OM平分∠BOA，P是OM上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，下列结论中错误的是（）A、PD=PEB、OD=OEC、∠DPO=∠EPOD、PD=OD四.自主总结：1.角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
人教版八年级数学上册第十二章《角的平分线的性质》第1-3课时学习任务单(公开课导学案)及作业设计
人教版八年级数学上册第十二章《角的平分线的性质》学习任务单及作业设计（共3课时）第一课时【学习目标】1.探究作角平分线的方法，掌握角平分线的尺规作图方法并加以证明.2.探究角平分线的性质并加以证明．【课前学习任务】1.准备直尺，圆规，三角形纸片，剪刀等工具．2.回顾自初中以来的各种基本尺规作图及其步骤．3.熟悉近期学过的全等三角形的性质和判定．【课上学习任务】学习任务一：掌握角平分线的尺规作图方法及其证明学习任务二：探究角的平分线的性质画图，猜想，证明角的平分线的性质：符号语言书写：学习任务三：定理的运用例题：如图，点P 是∠AOB 平分线OC 上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，求点P到边OA 的距离．【学习资源】阅读课本第48 至49 页相关内容，并在教科书上圈画出本节课的主要知识点．【作业设计】1. 用三角尺可按下面方法画角平分线，在已知的∠AOB 的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N 作OA，OB 的垂线，交点为P，画射线OP，则OP 平分∠AOB，为什么？2. 如图所示，在△ABC 中：（1）下列操作中，作∠ABC 的平分线的正确顺序是（将序号按正确的顺序写在横线上）．①分别以点M，N 为圆心，大于1/2MN 的长为半径作圆弧，在∠ABC 内，两弧交于点P；②以点B 为圆心，适当长为半径作圆弧，交AB 于点M，交BC 于N 点；③画射线BP，交AC 于点D．（2）能说明∠ABD＝∠CBD 的依据是（填序号）．①SSS．②ASA．③AAS．④角平分线上的点到角两边的距离相等．（3）若AB＝18，BC＝12，S△ABC＝120，过点D 作DE⊥AB 于点E，求DE 的长．【参考答案】1．由Rt△OMP≌Rt△ONP(HL)，得∠MOP=∠NOP，即OP 平分∠AOB．2．解：(1)②①③；(2)由△MBP≌△NBP(SSS)，得∠ABD=∠CBD；(3) 过点D 作DF⊥BC 于点F，由角平分线的性质，得DE=DF．解得DE=8．第二课时【学习目标】运用角平分线的性质的解决问题，进一步培养自己逻辑推理的能力.【课前学习任务】1.准备直尺，铅笔，圆规等工具．2.熟悉角的平分线的性质第一课时中提到的尺规作图与证明，掌握角的平分线的性质的定理内容与书写．3.熟悉近期学过的全等三角形的性质和判定．【课上学习任务】学习任务一：例1：如图，△ABC 中，∠B =∠C，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F．求证：EB=FC．学习任务二：例2：如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于 P．求证：点P到三边 AB，BC，CA 的距离相等．例3：如图，△ABC的∠ABC 外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P．求证：点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等．学习任务三：例4：如图，已知 AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB，交 AB 的延长线于点 E，DF⊥AC，交 AC的延长线于点 F．求证：DE＝DF．学习任务四：练习．如图，OP 平分∠AOB，点D，E分别在 OA，OB上，且PD＝PE，图中与∠PDA 相等的角是，并证明你的结论．学习任务五：小结：【学习资源】阅读课本第 49 至 50 页相关内容，并在教科书上圈画出本节课的主要知识点．【作业设计】1．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线．求证：S△ABD:S△ACD＝AB:AC．2．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M，N．试说明：PM＝PN．【参考答案】第三课时【学习目标】1.学习并使用新的定理——角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上（交换角的平分线的性质定理的条件和结论，并附加条件）．2.掌握新的定理的内容、证明，注意其与角的平分线的性质的区别和联系，并会进行推理与书写．【课前学习任务】1.准备直尺，铅笔，圆规等工具．2.熟悉角的平分线的性质，关注其条件和结论.3.回顾分析与书写方法，常见辅助线的作法．4.熟悉近期学过的全等三角形的性质和判定．【课上学习任务】学习任务一：交换角的平分线的性质中的题设和结论，你能得到什么新命题？这个新命题正确吗？结论：书写：学习任务二：例1：如图所示，AM⊥BM于M，AN⊥BN 于 N，AM＝AN，求证：∠BAM＝∠BAN （要求不用全等的知识证明）．学习任务三：例2：（教材58页习题12.3 第3题）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为 D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，连AO，求证：∠1＝∠2．学习任务四：例3：如图，在△ABC 中，∠C＝36°，∠ABC＝110°，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝DF．求∠ADB 的度数．学习任务五：例4：如图，D，E，F分别是△ABC的三条边上的点，BE＝CF，△DBE和△DCF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．学习任务六：例5：如图，OP 为∠AOB 内一条射线，C，D分别为OA，OB上两点，且∠PCO+∠PDO＝180°，PC＝PD．求证：OP平分∠A0B．学习任务七：小结：【学习资源】阅读课本第 49 至 50 页相关内容，并在教科书上圈画出本节课的主要知识点．【作业设计】1．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线 OB，另一把直尺压住射线 OA 并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线 OP 就是∠BOA 的角平分线．”他这样做的依据是（）．A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确2．如图所示，在△ABC中，D 是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，且BE＝CF，求证：AD 是△ABC 的角平分线．【参考答案】1．A．。
角平分线的性质(1)
“角平分线的性质（1）”导学案糯良中学 查文鸿一、学习目标1．掌握作已知角的平分线的方法； 2．掌握角平分线的性质及实际应用。
二、学习重难点1．学习重点：角平分线的性质；2．学习难点：角平分线的性质的实际应用。
三、学习工具圆规、直尺、铅笔、纸片、剪刀等。
四、学习过程（一）复习引入1．什么是角平分线？。
2．点到直线距离的定义？。
（二）探索新知1. 思考1 （教材P 48）右图是一个平分角的仪器，其中AB=AD,BC=DC ，将点A 放在角的 顶点,AB 和AD 沿着角的两边放下,沿AC 画一条射线AE,AE 就是角平分 线。
你能说明它的道理吗？。
2．尺规作图角平分线方法步骤：。
3．思考2 （教材P 48）如图，任意作一个角： ∠AOB ，作出∠AOB 的平分线OC.在OC上任取一点P ，过点P 画出OA ，OB 的垂线，分别记垂足为D ，E ，测量PD ，PE 并作比较，你得到什么结论？在OC 上再取几个点试一试。
通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？ 。
4．动手验证 将∠AOB 对折，再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边)，然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？。
DCB E A ED CO AB P A B O5．结论角平分线的性质：。
定理应用所具备的条件：。
定理的作用：。
应用定理的书写格式：。
6．定理证明已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.求证：PD=PE.证明：∵OC平分∠AOB∴∠1=∠2又∵PD⊥OA,PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO=90°∴在ΔOPD和ΔOPE中∠1=∠2（已证），∠PDO=∠PEO（已证），OP=OP(公共边).∴ΔOPD≌ΔOPE(AAS)∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）五、课堂练习PPT演示。
六、课堂小结1．如何画一个已知角的角平分线？画法：①量角器；②平分角的仪器；③尺规作图。
角平分线定理和逆定理__学案
《角平分线的性质定理及逆定理》导学案一、学习目标：1．掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用。
2．回顾用尺规作角平分线的过程，并能说明其作法的依据；3．能够熟练的按照证明的格式和步骤对一些命题进行证明。
二、重点及难点：角平分线的性质定理及其逆定理的灵活运用。
三、预习并思考一下两个问题：1．角平分线的性质定理的内容是什么？2．角平分线的性质定理的逆定理的内容是什么？四、探索并证明角平分线的性质定理及逆定理：1、角平分线的性质定理：。
几何语言表述为：∵__________________________∴____________________________ 根据定理的内容，画出图形，并结合图形，写出已知、求证，并给出证明。
注：在实际应用中，角平分线性质定理是用来证明线段相等2、写出角平分线性质定理的逆定理。
几何语言表述为：∵_______________________∴____________________________根据定理的内容，画出图形，并结合图形，写出已知、求证，并给出证明。
注：角平分线性质定理的逆定理用来证明角相等或证明点在一个角的平分线上3、角平分线的尺规作图法，作∠AOB的角平分线OP思考：这种画法的依据是：。
五、检测练习1、如图所示，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，DF ⊥AC ，垂足为F ，且BD =DC ，求证：BE =CF 。
2、已知：AC=BC ， CA ⊥OA 于A ，BC ⊥OB 于B（试用多种方法证明）3、已知：如图，∠B=∠C=900，DM 平分∠ADC ， AM 平分∠DAB 求证： M B=MC4、已知：如图，四边形ABCD ，E 是AC 上一点，ED⊥CD 于D ，EB ⊥BC 于B ，CA 平分∠BCD 。
求证：AD=AB 。
B A。
角平分线的性质 导学案
第五章 生活中的轴对称角平分线的性质 导学案一、预习：（认真看书125—127）1、点到线的距离：2、作图：表示出点A 到直线l 距离ｌＡｌＡ3、过点P 做OA ，OB 的距离4、角平分线的对称轴是 5填空：角 平分线 上的点 到角 的两边 的距离 相等 几何语言： 二、新课1．已知：△ABC 中，∠B =90°， ∠A 、∠C 的平分线交于点O ，则∠AOC 的度数为 .2．角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．3．∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距离为_________. 4．如图，∠AOB =60°，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，且CD =CE ，则∠DOC =_________. 5．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，则BC =_____cm .6．如图，CD 为Rt △ABC 斜边上的高，∠BAC 的平分线分别交CD 、CB 于点E 、F ，FG ⊥AB ，垂足为G ，则CF ______FG ，CE ________CF .7．如图，已知AB 、CD 相交于点E ，∠AEC 及∠AED 的平分线所在的直线为PQ 与MN ，则直线MN 与PQ 的关系是_________.8．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等． 9．点O 是△ABC 内一点，且点O 到三边的距离相等，∠A =60°，则∠BOC 的度数为_____________．10．在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC =32，且BD ∶CD =9∶7，则D 到AB 的距离为 . 11．三角形中到三边距离相等的点是（ ）A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 、三条中线的交点D 、三条角平分线的交点12．如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ）A 、PD ＝PEB 、OD ＝OEC 、∠DPO ＝∠EPOD 、PD ＝OD 13．如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A 、1处 B 、2处 C 、3处 D 、4处14．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（ ）A 、4㎝ B 、6㎝ C 、10㎝第4题第5题第6题第7题D 、不能确定21DAPOEBl 2l 1l 3DCEB第12题 第13题 第14题15．如图，MP ⊥NP ，MQ 为△MNP 的角平分线，MT ＝MP ，连接TQ ，则下列结论中不正确的是（ ）A 、TQ ＝PQB 、∠MQT ＝∠MQPC 、∠QTN ＝90°D 、∠NQT ＝∠MQTNTQPMEDCBAEDC BAF第15题 第16题 第17题 16．如图在△ABC 中，∠ACB =90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于D ，如果AC =3 cm ，那么AE +DE 等于( )A ．2 cmB ．3 cmC ．4 cmD ．5 cm17．如图，已知AB =AC ，AE =AF ，BE 与CF 交于点D ，则对于下列结论：①△ABE ≌△ACF ；②△BDF ≌△CDE ；③D 在∠BAC 的平分线上．其中正确的是（ ）A ．①B ．②C ．①和②D ．①②③18．如图，AB =AD ，CB =CD ，AC 、BD 相交于点O ，则下列结论正确的是（ ）A ．OA =OCB ．点O 到AB 、CD 的距离相等C ．∠BDA =∠BDCD ．点O 到CB 、CD 的距离相等19．△ABC 中，∠C =90°，点O 为△ABC 三条角平分线的交点，OD ⊥BC 于D ，OE ⊥AC 于E ，OF ⊥AB 于F ，且AB =10cm ，BC =8cm ，AC =6cm ，则点O 到三边AB 、AC 、BC 的距离为（ ）A ．2cm ，2cm ，2cm ； B ． 3cm ，3cm ，3cm ； C ． 4cm ，4cm ，4cm ； D ． 2cm ，3cm ，5cm 20．两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（ ）A ．两个三角形全等B ．如果还有一角相等，两三角形就全等DCAO 第18题C．两个三角形一定不全等D．如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等已知：Ａ＇ＡＢ为正三角形，ＡＢＣ为等腰三角形，∠ＢＡＣ＝１２０° ∠ＤＣＥ＝６０°，求证：ＤＥ＝ＤＢ＋ＥＡB A。
新人教版数学八年级上册第12章第8课时角平分线的性质(教师版)
新人教版八年级数学上册角平分线的性质导学案一、学习目标了解角平分线的定义，会用尺规作一个角的平分线；掌握角平分线的性质和判定；会利用角平分线的性质与判定证明简单的线段相等、角相等问题，并能解决简单的实际问题．二、知识回顾1．从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平分线；2．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；3．如图，已知AB＝AD，BC＝DC，利用全等的方法证明AC是∠DAB的平分线．证明：∵AB＝AD，BC＝DC（已知），AC=AC（公共边），∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC，∴AC是∠DAB的平分线．三、新知讲解1．角平分线的性质定理文字描述：在角平分线上的点到角的两边的距离相等．符号语言：∵∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．图示：2．角平分线性质定理的逆定理（角平分线的判定定理）文字描述：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．符号语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上（OP是∠AOB的平分线）．图示：3．作已知角的平分线已知∠AOB，求作∠AOB的平分线．作法：（1）如图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；（2）分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；（3）画射线OC，射线OC即为所求．四、典例探究扫一扫，有惊喜哦！1．角平分线的性质定理【例1】（2014秋•青海校级期中）在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE、DF分别垂直AB、AC，垂足为E、F，求证：EB=FC．总结：1．角平分线性质定理中的“距离”是指“点到直线的距离”；2．利用角平分线的性质时，如果条件中具备两个垂直（即角平分线上的点到直线的距离），证明过程中应直接运用性质定理，而不要去寻找全等三角形，否则就是重新证明了一次结论；3．当出现角平分线而没有角平分线上的点到角两边的垂线时，通常先过角平分线上的点向角的两边作垂线段，再利用角平分线的性质解题．练1．（2015•茂名校级一模）如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10，BD=6，则点D 到AB的距离是（）A．4 B．5 C．6 D．7练2．（2015春•启东市校级月考）如图，已知在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P 在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN．2．角平分线的判定定理【例2】（2014秋•赤峰校级期中）如图所示，∠B=∠C，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC．求证：AD平分∠BAC．总结：1．角平分线的性质定理是证明线段相等的一种方法，条件是已知角的平分线，而角平分线的判定定理是证明角相等的一种方法，条件是到已知角的两边的距离相等；2．证明某点在角平分线上的常用方法是证明这个点到角的两边的距离相等，这样就把证明“点在线上”的问题转化为“线段相等”的问题，体现了“化难为易，化陌生为熟悉”的转化思想．练3．（2013秋•兴化市校级期中）如图，PB，PC分别是△ABC的外角平分线且相交于P．求证：P 在∠A的平分线上．3．角平分线性质的实际应用【例3】有三条交叉公路如图所示，要在三角形区域内建一个加油站，使加油站P到三条公路的距离相等，应建在什么位置？请用尺规作图标出加油站P的位置．总结：1.因为三角形的三条角平分线相交于一点，又角平分线的点到角两边的距离相等，所以三角形角平分线的交点到三边的距离相等．2.要画三角形三条角平分线的交点，只需要画三角形的两条角平分线即可.3.注意：三角形外角平分线上的点到外角两边的距离也相等，所以三角形外还有3个点到三角形三边所在的直线的距离相等，它们都是两条外角平分线和一条内角平分线的交点.练4．如图，直线l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（）A．一处B．二处C．三处D．四处五、课后小测一、选择题1．（2014秋•荣昌县期末）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2014春•栖霞市期末）在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（）A．3.8cm B．7.6cm C．11.4cm D．11.2cm3．如图，a、b、c三条公路的位置相交成三角形，现决定在三条公路之间建一购物超市，使超市到三条公路的距离相等，则超市应建在（）A．三角形两边高线的交点处B．三角形两边中线的交点处C．∠α的平分线上D．∠α和∠β的平分线的交点处二、填空题4．（2013秋•太康县期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6，BD=4，则点D 到AB的距离是．5．（2014秋•惠安县期末）如图，OC平分∠AOB，点P是OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点，若PM=5，则PN的最小值为．6．（2014秋•临沭县校级月考）如图，△ABC的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40、其中三条角平分线交于点0，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于．三、解答题7．（2014秋•利津县校级月考）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于E，BD=DF，求证：CF=EB．8．（2013秋•黄山校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB 于E．若△DBE的周长为15cm，求AB的长．9．（2014秋•陇西县期末）如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足为C，D．求证：（1）OC=OD；（2）DF=CF．10．（2013秋•临沭县期末）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．求证：AD是△ABC的角平分线．11．（2014秋•门头沟区期末）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°．请在线段BC上作一点D，使点D 到边AC、AB的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．12．（2014秋•厦门期中）如图，△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角的平分线交于P点，PD⊥AC 于D，PH⊥BA于H，（1）若点P到直线BA的距离是5cm，求点P到直线BC的距离；（2）求证：点P在∠HAC的平分线上．13．（2013秋•淮北期末）已知点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC （1）如图1，若点O在BC上，求证：AB=AC．（2）如图2，若点O在△ABC内部，求证：AB=AC．（3）猜想，若O点在△ABC的外部，AB=AC成立吗？典例探究答案：【例1】【解析】依题意知DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，AD 平分∠BAC ，由角平分线性质得DE=DF ，已知BD=DC ，利用“HL”证明△BDE ≌△CDF 即可．证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，AD 平分∠BAC ，∴DE=DF.在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，DE DF BD DC=⎧⎨=⎩， ∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ），∴EB=FC ．点评：本题考查了角平分线性质的运用，三角形全等的判定和性质．关键是寻找证明三角形全等的条件．练1．【解析】由角平分线的性质可得点D 到AB 的距离等于CD ，根据已知求得CD 即可． 解：∵∠C=90°，AD 平分∠BAC ，∴点D 到AB 的距离等于CD ，∵BC=10，BD=6，∴CD=BC ﹣BD=10﹣6=4，∴点D 到AB 的距离是4．故选A ．点评：此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．练2．【解析】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD ，然后利用“边角边”证明△ABD 和△CBD 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB ，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．证明：∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠CBD ，在△ABD 和△CBD 中，AB BC ABD CBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△CBD （SAS ），∴∠ADB=∠CDB ，∵点P 在BD 上，PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，∴PM=PN ．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB 是解题的关键．【例2】【解析】由条件可证明△BDE ≌△CDF ，可得到DE=DF ，可证得结论．证明：∵D 是BC 的中点，∴BD=CD.∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠DEB=∠DFC.在△BDE 和△CDF 中，B C DEB DFC BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE ≌△CDF （AAS ），∴DE=DF ，∴D 在∠BAC 的平分线上，即AD 平分∠BAC ．点评：本题主要考查角平分线的判定，掌握在角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．练3．【解析】过P 点作PE ，PH ，PG 分别垂直AB ，BC ，AC ，要证P 在∠A 的平分线上，则需证PE=PG ，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等就可证明PE=PG ． 证明：过P 点作PE ，PH ，PG 分别垂直AB ，BC ，AC ．∵PB，PC分别是△ABC的外角平分线，∴PE=PH，PH=PG，∴PE=PG．∴P点在∠A的平分线上．点评：本题主要考查角平分线性质的逆定理．准确作出辅助线是解决本题的关键．【例3】【解析】分别作∠ABC与∠ACB的平分线，两条角平分线交于点P，则点P即为所求点．解：∵加油站P到三条公路的距离相等，∴P点是△ABC的内心，∴加油站P应该建在三角形内角平分线的交点处．如图所示：①以点B为圆心，以任意长为半径画圆，分别交AB、BC于点D、E；②分别以点DE为圆心，以大于12DE为半径画圆，两圆相交于点F．连接BF，则BF即为∠ABC的平分线；同理作出∠ACB的平分线，两条角平分线交于点P，则点P即为所求点．点评：熟知角平分线上的点到角两边距离相等的性质是解答此题的关键．练4．【解析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．故选D．点评：此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握角平分线的定理的应用是关键．课后小测答案：一、选择题1．【解析】∵垂线段最短，∴当PQ⊥OM时，PQ有最小值，又∵OP平分∠MON，PA⊥ON，∴PQ=PA=2，故选B．2．【解析】∵∠C=90°，∠CAB=60°，∴∠B=30°，在Rt△BDE中，BD=2DE=7.6，又∵AD平分∠CAB，∴DC=DE=3.8，∴BC=BD+DC=7.6+3.8=11.4．故选C．3．【解析】∵如图，要建一超市到a、b、c三条公路的距离相等，∴该超市是△ABC的内心，∴超市应该建在∠α和∠β的平分线的交点处．故选D．二、填空题4．【解析】∵BC=6，BD=4∴CD=2∵∠C=90°，AD平分∠CAB∴点D到AB的距离=CD=2．故填2．5．【解析】当PN⊥OA时，PN的值最小，∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，∴PM=PN，∵PM=5，∴PN的最小值为5．故答案为：5．6．【解析】过O分别作OE⊥CB，FO⊥AB，OD⊥AC，∵BO是∠ABC平分线，∴EO=FO，∵CO是∠ACB平分线，∴EO=DO，∴EO=DO=FO，∵S△ABO=AB•FO，S△BCO=CB•EO，S△CAO=AC•DO，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=20：30：40=2：3：4．故答案为：2：3：4．三、解答题7．【解析】∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于E，∴DE=DC．在△CDF与△EDB中，DF DB DC DE=⎧⎨=⎩， ∴Rt △CDF ≌Rt △EDB （HL ），∴CF=EB ．8．【解析】∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，∠C=90°，∴△ACD ≌△AED ，∴CD=DE ，AE=AC ，∴△DBE 的周长=BD+EB+DE=BD+EB+CD=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB=15cm ， ∴AB=15cm ．9．【解析】证明：（1）∵E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ， ∴EC=DE ，∠ECO=∠EDO=90°，在Rt △COE 和Rt △DOE 中，EC ED OE OE =⎧⎨=⎩， ∴Rt △COE ≌Rt △DOE （HL ），∴CO=DO ；（2）∵EO 平分∠AOB ，∴∠AOE=∠BOE ，在△COF 和△DOF 中，CO DO AOE BOE OE OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COF ≌△DOF （SAS ），∴FC=FD ．10．【解析】证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴Rt △BDE 和Rt △DCF 是直角三角形．BD DC BE CF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BDE ≌Rt △DCF （HL ），∴DE=DF ，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是角平分线．11．【解析】如图所示：点D为所求；12．【解析】（1）过P作PF⊥BE于F，如图，∵BP平分∠ABC，PH⊥BA于H，PF⊥BE于F，∴PH=PF=5cm，∴点P到直线BC的距离为5cm；（2）证明：∵CP平分∠ACE，PD⊥AC于D，PF⊥BE于F，∴PF=PD，∴PD=PH，∴AP平分∠HAD．13．【解析】证明：（1）过点O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，则OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，在Rt△BOD和Rt△COE中，∵OD OE OB OC=⎧⎨=⎩，∴∠B=∠C，∴AB=AC；（2）过点O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，在Rt△BOD和Rt△COE中，∵OD OE OB OC=⎧⎨=⎩，∴Rt△BOD≌Rt△COE（HL），∴∠DBO=∠ECO，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC；（3）不一定成立．证明：如图3，过点O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC的延长线于点E，则OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，在Rt△BOD和Rt△COE中，∵OD OE OB OC=⎧⎨=⎩，∴∠DBO=∠ECO，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠DBC=∠ECB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC．如图4，可知AB≠A C．。
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12.3 角平分线性质导学案
温馨寄语：朝霞般美好的理想，在向你们召唤,你们是一滴一滴的水，全将活跃在祖国的大海里.
一．学习目标：
1.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。
2.能够利用三角形全等，证明角平分线的性质。
3.能对角平分线的性质进行简单推理，解决一些实际问题。
二．重点与难点：
1.角平分线的性质。
2.表达文字几何命题的证明过程。
三、学习过程
知识链接
角平分线：从一个的顶点引出一条，把这个角分成两个的角，这条叫做这个角的角平分线。
合作探究
活动1：在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，如何确定角的平分线？
动2：如图，在∠BAC中，若AE=AF，EG=FG。
AD是∠BAC的平分线吗？你能说明它的道理吗?
活动3：如何用尺规作角的平分线？P48
探究验证
在∠AOB的平分线OC上任取一点P，然后，作点P到∠AOB两边的垂线段PD、 PE，画一画，量一量，从中你有什么新发现？你能说明其中的道理吗？
性质：。
用符号语言描述：如图，OC是∠AOB的平分线，
∵
∴PD=PE
验证性质：
已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB
求证：PD=PE
证明：
四、自能训练
1.知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E,且DE=3cm,则点D到AC的距离是( )
A.2cm
B.3cm
C.4cm
D.6cm
2 .已知如图，BD平分∠ABC，若要证明AD=DC,则可以添加的一个条件是______．
3. 如图四边形ABCD中，∠A=90º，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积是_______．
4.如图，Rt△ABC中，∠C=90º，AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=8，则△BED的周长是_______．
5、如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2.则△ABD的面积是_______．
6、如图，△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E 、F 为垂足，在以下结论中：①△ADE ≌△ADF ；②△BDE ≌△CDF ；③△ABD ≌△ACD ；④AE =AF ；⑤BE =CF ； ⑥BD =CD ．其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
四、能力提升 1、如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB,垂足为E ，DF ⊥AC 垂足为E ，且BD=CD. 求证：BE=CF
2、如图，OC 是∠AOB 的平分线，AC ⊥OB 于D ，BC ⊥
OA 于E.
求证：AC=BC
3、如图5、AB ∥CD ，∠B ＝90°，AE 平分∠DAB 。
DE 平分∠ADC ， 求证：E 是BC 的中点。
F D E C B A
五、收获体会：本节课学习了什么？有何收获？。