高二数学必修5-不等关系与不等式(1)-ppt1
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高中数学必修五课件：3.1-1《不等关系与不等式》(人教A版必修5)
8
§3.1 不等关系与不等式
9
第1课时 不等关系与比较大小
10
11
1．含有不等号“≠”“>”“<”“≥”或“≤”
的式子
叫不等式．若；aa，≤bb是即a>b两为或a实＝b数，. 那么aa<≥b或ba即＝b为
2．数轴上的任意两点中，右边点对应的实
数比大左边点对应的实数
．
12
3．若a，b∈R，则在a＝b，a>b，a<b有三且仅种
解：列不等式组，涉及到“至”、“至多”问题，要用到“≥”
或“≤”，那么在处理“＝”问题时要注意“＝”成立的条件，
据题意可得2y≤z≤3x (x，y，z∈N＋)． y＋z≥55
22
[例 2] 比较 3＋ 5与 4 的大小． [分析] 要比较 3＋ 5与 4 的大小，直接作差后很难判定 差的符号，如果把两数平方后作差，差式中仍含一无理式，可 第二次平方相减判断符号． [解] ∵( 3＋ 5)2－42＝3＋5＋2 15－16＝2( 15－4)， 又( 15)2－42＝－1<0， ∴2( 15－4)<0，则 3＋ 5<4.
27
(2)p－q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝logaaa32＋＋11， 当 a>1 时，a3＋1>a2＋1， ∴aa32＋ ＋11>1.∴logaaa32＋ ＋11>0； 当 0<a<1 时，a3＋1<a2＋1， ∴aa32＋ ＋11<1.∴logaaa32＋ ＋11>0. 综上可得 p－q>0，∴p>q.
2
事实上，要解决上述问题，需要用到本章 的知识．本章共分为四节：
第一节是不等关系与不等式，教材首先通 过具体问题情境，使我们感受到现实世界 和日常生活中存在着大量的不等关系，然 后提出如何用不等式研究及表示不等关系， 最后给出了不等式的九条基本的性质；
§3.1 不等关系与不等式
9
第1课时 不等关系与比较大小
10
11
1．含有不等号“≠”“>”“<”“≥”或“≤”
的式子
叫不等式．若；aa，≤bb是即a>b两为或a实＝b数，. 那么aa<≥b或ba即＝b为
2．数轴上的任意两点中，右边点对应的实
数比大左边点对应的实数
．
12
3．若a，b∈R，则在a＝b，a>b，a<b有三且仅种
解：列不等式组，涉及到“至”、“至多”问题，要用到“≥”
或“≤”，那么在处理“＝”问题时要注意“＝”成立的条件，
据题意可得2y≤z≤3x (x，y，z∈N＋)． y＋z≥55
22
[例 2] 比较 3＋ 5与 4 的大小． [分析] 要比较 3＋ 5与 4 的大小，直接作差后很难判定 差的符号，如果把两数平方后作差，差式中仍含一无理式，可 第二次平方相减判断符号． [解] ∵( 3＋ 5)2－42＝3＋5＋2 15－16＝2( 15－4)， 又( 15)2－42＝－1<0， ∴2( 15－4)<0，则 3＋ 5<4.
27
(2)p－q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝logaaa32＋＋11， 当 a>1 时，a3＋1>a2＋1， ∴aa32＋ ＋11>1.∴logaaa32＋ ＋11>0； 当 0<a<1 时，a3＋1<a2＋1， ∴aa32＋ ＋11<1.∴logaaa32＋ ＋11>0. 综上可得 p－q>0，∴p>q.
2
事实上，要解决上述问题，需要用到本章 的知识．本章共分为四节：
第一节是不等关系与不等式，教材首先通 过具体问题情境，使我们感受到现实世界 和日常生活中存在着大量的不等关系，然 后提出如何用不等式研究及表示不等关系， 最后给出了不等式的九条基本的性质；
高中数学必修5《不等式基本性质》PPT
不等式的性质：
性质 1 a b b a
（对称性）
证明：(1) a b a b 0
由正数的相反数是负数 ，得
(a b) 0， 即 b a 0，
ba (2) b a b a 0
由负数的相反数是正数 ，得
(b a) 0， 即 a b 0，
ab
故 a b b a
当 c 0 时，(a b)c 0，即 ac bc .
性质5：a b且c d a c b d （同向可加性）
证明： a b，
acbc.
(1)
cd，
bcbd .
(2)
由 (1)、(2) 得 a c b d
说明： 此推论可以推广到有限个同向不等式两边分别相加 .
即说，两个或更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式 与原不等式同向。
性质 3 a b a c b c
证明： (a c) (b c) a b 而 ab ab0
即 (a c) (b c) 0
（同加性）
acbc
想一想： a b a c b c ?
根据性质1，得 a b a c b c
说明： 由性质3可以得出：
abc acb.
性质 2 a b且b c a c 或 c b且b a c a
证明： a b，b c ，
a b 0，b c 0 .
由两个正数的和仍是正 数，得
（传递性）
(a b) (b c) 0，
即 a c 0，
ac.
根据性质1，性质2还可以表示为：
c b且b a c a .
即说，不等式中任何一项改变符号后，
可以把它从一边移到另一边。
性质4 a b且c 0 ac bc a b且c 0 ac bc
高二数学苏教版必修五第三章3.1不等式与不等关系课件(共37张PPT)
请同学们尝试用数学符号将下面的原理补充完整.
（1）：如果两个实数的差是正数，那么这两个
实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学
语言描述这个原理？ a－b＞0 a＞b
（2）：如果两个实数的差等于零，那么这两个实
数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语
言描述这个原理？ a－b = 0 a = b
600mm
(1)截得两种钢管的总长度 不能超4000mm；
500x 600y 4000
(2)截得600mm钢管的数量 不能超500mm的钢管数
y 3x
量的3倍；
x0
(3)截得两种钢管的数量
都不能为负.
y 0
考虑到实际问题的意义呢？
高 二数学 苏教版 必修五 第三章3 .1不等 式与不 等关系 课件（ 共37张 PPT）
2021/5/1
高 二数学 苏教版 必修五 第三章3 .1不等 式与不 等关系 课件（ 共37张 PPT）
12/40
不等关系与不等式之间 高二数学苏教版必修五第三章3.1不等式与不等关系课件（共37张PPT） 是什么关系？
2021/5/1
高 二数学 苏教版 必修五 第三章3 .1不等 式与不 等关系 课件（ 共37张 PPT）
巨 人
3.1 不等关系与不等式
高 二数学 苏教版 必修五 第三章3 .1不等 式与不 等关系 课件（ 共37张 PPT）
1.什么是不等关系？
2.什么是不等式？
3.不等关系与不等式之间 是什么关系？
2021/5/1
高 二数学 苏教版 必修五 第三章3 .1不等 式与不 等关系 课件（ 共37张 PPT）
高 二数学 苏教版 必修五 第三章3 .1不等 式与不 等关系 课件（ 共37张 PPT）
（1）：如果两个实数的差是正数，那么这两个
实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学
语言描述这个原理？ a－b＞0 a＞b
（2）：如果两个实数的差等于零，那么这两个实
数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语
言描述这个原理？ a－b = 0 a = b
600mm
(1)截得两种钢管的总长度 不能超4000mm；
500x 600y 4000
(2)截得600mm钢管的数量 不能超500mm的钢管数
y 3x
量的3倍；
x0
(3)截得两种钢管的数量
都不能为负.
y 0
考虑到实际问题的意义呢？
高 二数学 苏教版 必修五 第三章3 .1不等 式与不 等关系 课件（ 共37张 PPT）
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高 二数学 苏教版 必修五 第三章3 .1不等 式与不 等关系 课件（ 共37张 PPT）
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不等关系与不等式之间 高二数学苏教版必修五第三章3.1不等式与不等关系课件（共37张PPT） 是什么关系？
2021/5/1
高 二数学 苏教版 必修五 第三章3 .1不等 式与不 等关系 课件（ 共37张 PPT）
巨 人
3.1 不等关系与不等式
高 二数学 苏教版 必修五 第三章3 .1不等 式与不 等关系 课件（ 共37张 PPT）
1.什么是不等关系？
2.什么是不等式？
3.不等关系与不等式之间 是什么关系？
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高 二数学 苏教版 必修五 第三章3 .1不等 式与不 等关系 课件（ 共37张 PPT）
高 二数学 苏教版 必修五 第三章3 .1不等 式与不 等关系 课件（ 共37张 PPT）
人教B版高中数学必修五课件3.1不等关系与不等式.pptx
利用不等式基本性质和 两正数和仍是正数来证 明 :
a b
b c
a b
b c
0 0
(a
b)
(b
c)
0
a
c
0
a
c.
新课讲解
3.1 不等关系与不等式
不等式的性质3:
如果a b, 那么a c ___ b c; a b c _a____c___b_ .
利用不等式基本性质来 证明 :
移项法
则
又因为c 0, 得： c c . ba
ab 即 1 1.
ba
即 c c. ab
练习：已知，a b，问：1 与 1 的大小？ ab
小结 小结
3.1 不等关系与不等式
不等式的性质
内容
对称性
a b b a;
abba
传递性
a b,b c a c
加法性质 a b a c b c; a b,c d a c b d
a b 0 an ___ bn.
a b 0 an bn它是不等式乘法性质的推论.
不等式的性质8:
a b 0 n a ___ n b.(n N ,且n 1)
证明 : 假设n a不大于n b , 则n a n b或n a n b . 当0 n a n b时,由"0 b a bn an"得a b,
(2)截得600mm钢管的数量不能超过 500mm钢管数量
的3倍;
以上不等关系用不等式组表示为
(3)截得两种钢管
500x 600 y 4000
的数量都不能为负.
3x y x0
考虑到实际问题的 意义，y 还 0应有x,y∈N
新课引入
3.1 不等关系与不等式
3-1《不等式与不等关系》课件(共29张PPT)
判断两个实数大小的依据是：
abab0 a b ab 0 abab0
作差比较法
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质Байду номын сангаас基础.
作差比较法其一般步骤是:
作差→变形→判断符号→确定大小.
因式分解、配方、 通分等手段
比较两个数(式)的大小的方法:
例2．比较x2－x与x－2的大小.
am a
am a
作差
变形 定符号 确定大小
问题探究（三）不等式的性质的应用
性质１:对称性
a<b
b>a
性质２:传递性
a b，b c a c
性质３:可加性
a b ac bc
性质４:同正可乘性
a b，c 0 ac bc a b，c 0 ac bc
性质５:加法法则 (同向不等式可相加)
故选A．
变式 5、给出下列结论： ①若 ac>bc，则 a>b； ②若 a<b，则 ac2<bc2； ③若1a<1b<0，则 a>b； ④若 a>b，c>d，则 a－c>b－d； ⑤若 a>b，c>d，则 ac>bd. 其中正确结论的序号是________．
[答案] ③
问题探究（四）利用不等式的性质求取值范围
例 6、已知－6<a<8,2<b<3，分别求 2a＋b，a－b，ab的取值范围．
分析:欲求 a－b 的取值范围，应先求－b 的取值范围，欲求 ab的取值范围，应先求1b的取值范围．
解析:∵－6<a<8，∴－12<2a<16， 又∵2<b<3，∴－10<2a＋b<19. ∵2<b<3，∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6. ∵2<b<3，∴13<1b<12， ∵－6<a<8，∴－2<ab<4.
abab0 a b ab 0 abab0
作差比较法
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质Байду номын сангаас基础.
作差比较法其一般步骤是:
作差→变形→判断符号→确定大小.
因式分解、配方、 通分等手段
比较两个数(式)的大小的方法:
例2．比较x2－x与x－2的大小.
am a
am a
作差
变形 定符号 确定大小
问题探究（三）不等式的性质的应用
性质１:对称性
a<b
b>a
性质２:传递性
a b，b c a c
性质３:可加性
a b ac bc
性质４:同正可乘性
a b，c 0 ac bc a b，c 0 ac bc
性质５:加法法则 (同向不等式可相加)
故选A．
变式 5、给出下列结论： ①若 ac>bc，则 a>b； ②若 a<b，则 ac2<bc2； ③若1a<1b<0，则 a>b； ④若 a>b，c>d，则 a－c>b－d； ⑤若 a>b，c>d，则 ac>bd. 其中正确结论的序号是________．
[答案] ③
问题探究（四）利用不等式的性质求取值范围
例 6、已知－6<a<8,2<b<3，分别求 2a＋b，a－b，ab的取值范围．
分析:欲求 a－b 的取值范围，应先求－b 的取值范围，欲求 ab的取值范围，应先求1b的取值范围．
解析:∵－6<a<8，∴－12<2a<16， 又∵2<b<3，∴－10<2a＋b<19. ∵2<b<3，∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6. ∵2<b<3，∴13<1b<12， ∵－6<a<8，∴－2<ab<4.
高中数学必修五：3.1不等关系与不等式课件(共18张PPT)
33
3
还有其它 解法吗?
两式相加得－1≤f(3) ≤20.
提示:整体构造 f (3) f (1) f (2) 利用对应系数相等
求的与 ,从而求其范围.
注意:本题中a与c是一个有联系的有机整体,不要割 断它们之间的联系
小结
不等式的性质
内
容
对称性
a b b a; a b b a
传递性 加法性质
所以 (a b) 0, 即b a 0, 所以b a.
性质1表明，把不等式的左边和右边交 换位置，所得不等式与原不等式异向，我 们把这种性质称为不等式的对称性。
性质2：如果a>b，b>c，那么a>（c. 传递性）
证明：a b，b c a b 0，b c 0
(a b) (b c) 0
3.1.2
不等关系与不等式
1. 用不等式或不等式组表示不等关系.
2. a b a b 0 a bab0 a b a b 0
3.比较两个代数式的大小——作差比较法
作差 →变形→判断符号 →得出结论
性质1：如果a>b，那么b<a；如果b<a， 那么a>b.
证明： 因为a b,所以a b 0，
b2
真
注:（1）运用不等式的性质时，应注意不等式成立的条件。
（2）一般地，要判断一个命题为真命题，必须严格加以证 明，要判断一个命题为假命题，可举反例，或者由题中条 件推出与结论相反的结果。
例1.已知 a > b >0, c <0, 求证
c
c ＞.
ab
证明：因为a > b >0, 所以 ab >0, 1 >0.
得a+c>b+d.
高中数学第三章不等式3.1不等式关系与不等式课件新人教A版必修5
为函数 y＝1x在(－∞，0)上单调递减，a<b<0，所以1a>1b，
故 D 正确．
答案：D
5．若 x＞1，y＞2，则： (1)2x＋y＞________； (2)xy＞________． 解析：(1)x＞1⇒2x＞2，2x＋y＞2＋2＝4；(2)xy＞2. 答案：(1)4 (2)2
类型 1 用不等式(组)表示不等关系 [典例 1] 分别写出满足下列条件的不等式： (1)一个两位数的个位数字 y 比十位数字 x 大，且这 个两位数小于 30； (2)某电脑用户计划用不超过 500 元的资金购买单价 分别为 60 元的单片软件 x 片和 70 元的盒装磁盘 y 盒．根 据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒． 解：(1)y＞x＞0，30＞10x＋y＞9，且 x，y∈N*； (2)x≥3，y≥2，60x＋70y≤500，且 x，y∈N*.
同向 5
可加性
ac>>db⇒a＋c⑫>b＋d
同向同正 6
可乘性
ac>>db>>00⇒ac⑬>bd
7
可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)
8
可开方性
nn
a>b>0⇒ a> b(n∈N，n≥2)
[思考尝试·夯基] 1．思考义是指 x 不小于 2.( ) (2)若 a＜b 或 a＝b 之中有一个正确，则 a≤b 正 确．( ) (3)若 a＞b，则 ac＞bc 一定成立．( ) (4)若 a＋c＞b＋d，则 a＞b，c＞d.( )
解析：(1)正确．不等式 x≥2 表示 x＞2 或 x＝2，即 x 不小于 2，故此说法是正确的．(2)正确．不等式 a≤b 表示 a＜b 或 a＝b.故若 a＜b 或 a＝b 中有一个正确，则 a ≤b 一定正确．(3)错误．由不等式的可乘性知，当不等式 两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此由 a＞b， 则 ac＞bc，不一定成立，故此说法是错误的．(4)错误．取 a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满足 a＋c＞b＋d，但不满足 a ＞b，故此说法错误．
高二数学必修5不等关系与不等式ppt课件.ppt
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
下课啦！！
Class is over, Thank you for your cooperation,goodbye
感谢各位领导的指导， 请多提宝贵意见！
定符号 确定大小
∴bm b 0∴bm b
am a
am a
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
回顾反思
(1)解决实际问题的常规步骤
实际问题
抽象、概括 刻画
数学问题
(2)本堂课建立的模型主要是
不等关系
，不等式的 证明方法 （作差法）
这个数学问题怎么解决?
分析:起初糖水的浓度为 b ,加入 m 克糖后的糖 a
水浓度为 b m ,只要证明 b m b 即可,怎么
am
am a
证呢?
这是一个不等式的证明问题
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
请大家欣赏下面的照片，说说你的感受？
横看成岭侧成峰，远近高低各不同
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
一.问题情境
实际生活中
长短
大小
轻重 高矮
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
人教A版数学必修五《不等关系与不等式》宽屏课件
②展示开始时非展示同学可
继续小声讨论，或翻阅 学案、课本，进一步思 考； ③展示快结束时，迅速浏览
展示内容，认真比对， 准备点评、补充、 质疑 、追问。
人教A版数学必修五《不等关系与不等 式》宽 屏课件
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例2.当p，q都是正数且p+q=1时，试比较代数式 (px+qy)2与px2+qy2的大小.
自主小结：
（1）用不等式（组）表示不等关系： （2）比较大小的方法：
人教A版数学必修五《不等关系与不等 式》宽 屏课件
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当堂检测： 1.一辆汽车原来每天行驶 xkm，如果它每天多 行驶 19km，那么在 8 天内它的行程 s 就超过 2200km；如果它每天比原来少行驶 12km，那么 行驶同样的路程 s 所学时间就超过 9 天。列出 未知数 x 所满足的不等式（或不等式组）。
高中数学人教版必修5第三章第一节
3.1.1不等关系与不等式
3.1.1 不等关系与不等式
B
A
远横 近看 高成 低岭 各侧 不成 同峰
，
在现实世界和日常生活中，既有相等关系， 又存在着大量的不等关系
长短
高矮
轻重
大小
你能举出我们数学中的一些不等关系吗？
那么在数学中我们是用什么来表示不等 关系的呢？
2.比较 x3 与 x2 x 1的大小。（提示：根据 x 取
值范围的不同，分类讨论）
人教A版数学必修五《不等关系与不等 式》宽 屏课件
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作业：1.学案课后拓展1----6题
2.自主学习3.1.2不等式的性质学案
继续小声讨论，或翻阅 学案、课本，进一步思 考； ③展示快结束时，迅速浏览
展示内容，认真比对， 准备点评、补充、 质疑 、追问。
人教A版数学必修五《不等关系与不等 式》宽 屏课件
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例2.当p，q都是正数且p+q=1时，试比较代数式 (px+qy)2与px2+qy2的大小.
自主小结：
（1）用不等式（组）表示不等关系： （2）比较大小的方法：
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当堂检测： 1.一辆汽车原来每天行驶 xkm，如果它每天多 行驶 19km，那么在 8 天内它的行程 s 就超过 2200km；如果它每天比原来少行驶 12km，那么 行驶同样的路程 s 所学时间就超过 9 天。列出 未知数 x 所满足的不等式（或不等式组）。
高中数学人教版必修5第三章第一节
3.1.1不等关系与不等式
3.1.1 不等关系与不等式
B
A
远横 近看 高成 低岭 各侧 不成 同峰
，
在现实世界和日常生活中，既有相等关系， 又存在着大量的不等关系
长短
高矮
轻重
大小
你能举出我们数学中的一些不等关系吗？
那么在数学中我们是用什么来表示不等 关系的呢？
2.比较 x3 与 x2 x 1的大小。（提示：根据 x 取
值范围的不同，分类讨论）
人教A版数学必修五《不等关系与不等 式》宽 屏课件
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作业：1.学案课后拓展1----6题
2.自主学习3.1.2不等式的性质学案
高中数学人教版必修五：基本不等式(共23张PPT)
基本不等式：
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
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作差
x4 2x2 1 (x4 x2 1) x2
∵ xR, ∴ x2 0
变形 定符号
∴ (x2 1)2 (x4 x2 1) (当x=0时取“＝”）
确定大小
对于" "或" "的问题,既要防止" "的遗漏,又
! 要说明何时取到" ".
例 3 已知 a 、b 、m 都是正数,且 a b ,求证: b m b am a
判断两个实数大小的依据是： abab0 a b ab 0 abab0
作差比较法
作业：P75－A组：2T、4T，B组：1T
x
≥
0
y ≥ 0
这是一个二元一次不等式组的问题
不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式． 说明： (1)不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠． (2)解析式是指：代数式和超越式(包括指数式、对数式和三角式等) (3)不等式研究的范围是实数集 R．
那么不等式是否与等式有类似的性质呢?
对于不等式在初中我们已经接触过,知道不等式的基本性 质与等式的基本性质是有所不同的,为什么会这样呢?
这一章主要从实数的基本性质及不等式的基本概念出发, 一步步系统认识不等式,掌握一些不等式,从而为以后进一步学 习数学和其它学科运用不等式打好基础.
首先从实数大小比较说起……
对于任意两个实数 a、b，在 a＞b，a = b，a＜b 三种关系中有且仅有一种成立．
一、新课引入
现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在 着大量的不等关系．如：两点之间线段最短；三 角形两边之和大于第三边；两边之差小于第三边 ；长与短、高与矮、轻与重、大与小、不超过或 不少于等，都描述了客观事物在数量上存在的不 等关系．
相等只是相对的，不等才是绝对的！
二、新课讲解
40
实例1.限速40km/ h的路标,指示司机在前方路段行
证明: ∵ b m b (b m)a (a m)b
am a
(a m)a
作差
ab ma ab bm (a m)a
变形
m(a b) (a m)a
∵ a 、b 、m 都是正数,且 a b ∴ m 0, m a 0, a 0, a b 0
∴bm b 0∴bm b
分析:假设截得 500mm 的钢管 x 根，截得 600mm 的钢管 y 根.
根据题意，应有如下的不等关系：
⑴解得两种钢管的总长度不能超过 4000mm；
⑵截得 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管数量的 3 倍；
⑶解得两钟钢管的数量都不能为负。
500x 600 y ≤ 4000
由以上不等关系，可得不等式组： 3x ≥ y
驶时,应使汽车的速度v不超过40km/ h.
实例2.某品牌酸奶的质量检查规定, 酸奶中脂肪的
含量f应不少于2.5%, 蛋白质的含量p应不少于2.3%
. 思考 :
(1)以上两个不等关系中的不等词？
不超过， 小于、大于、不少
(2)将以上两个不等关系用不等式(组)表示?
判断两个实数大小的依据是：
abab0 a b ab 0
作差比较法
abab0 这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是
推导不等式的性质的基础.
作差比较法其一般步骤是:
作差
变形
判断
结论
因式分解、配方、 通分等手段
例 1 比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．
解: ∵ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
若再加 m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?
这个数学问题怎么解决?
分析:起初糖水的浓度为 b ,加入 m 克糖后的糖 a
水浓度为 b m ,只要证明 b m b 即可,怎么
am
am a
证呢?
这是一个不等式的证明问题
问题 2: 某杂志以每本 2 元的价格发行时，发行量为 10 万 册．经过调查，若价格每提高 0.2 元，发行量就减少 5000 册．要使杂志社的销售收入大于 22.4 万元，每本杂志的价 格应定在怎样的范围内？
am a
am a
定符号 确定大小
课堂练习: 在下列各题的横线中填入适当的不等号.
⑴ ( 3 2)2 __<___ 6 2 6;
< ⑵ ( 3 2)2 ____( 6 1)2;
⑶ 1 __<____ 1 ;
52
6 5
> ⑷若0 a b ， log1a ____ log1 b.
2
2
小结：
不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式． 说明： (1)不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠． (2)解析式是指：代数式和超越式(包括指数式、对数式和三角式等) (3)不等式研究的范围是实数集 R．
v 40
f 2.5%
p
2.3%
二、新课讲解
例1.某市政府准备投资1800万元兴办一所中学.经调 查, 班级数量以20至30个为宜, 每个初高中班硬件配 置分别为28万元与58万元, 该学校的规模(初高中班 级数量)所满足的条件是什么? 设该校有初中班x个，高中班y个，则有
20 x y 30 28x 58y 1800
练1.用不等式表示下面的不等关系:
(1)a与b的和是非负数;
(2)某公路立交桥对通过车辆的高度h"限高4m";
二、新课讲解
(3)如图, 在一个面积为350m2的矩形地基上建造一 个仓库,四周是绿地.仓库的长L大于宽W的4倍.
问题 1: 生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢?
转化为数学问题：a 克糖水中含有 b 克糖(a>b>0)，
作差
(a2 2a 15) (a2 2a 8) 变形
7
∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) <0 定符号
∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) 确定大小
例 2.比较 (x2 1)2 与 x4 x2 1的大小．
解: ∵ (x2 1)2 (x4 x2 1)
这个数学问题又怎么解决?
分析:若杂志的定价为 x 元，则销售的总收入为
10
x2 0.2
0.5
x
万元。那么不等关系“销售的
总收入 大于 22.4 万元”可以表示为不等式
10
x2 0.2
0.5
x
>22.4
这是一个解不等式的问题
问题 3: 某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种，按照生产的要求，600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍。应怎样截更好?