黑龙江省大庆实验中学2021届高三上学期开学考试 理科数学(含答案)
2021年 大庆实验中学高三上学期第一次月考数学理模拟练习解析版配套精选卷
2021届黑龙江省大庆实验中学 高三上学期第一次月考数学〔理〕试题数学考前须知：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题1．集合和集合，那么等于 A ． B ． C ． D ． 2．“，〞的否认是 A ． ， B ． ，C ． ，D ． ， 3．平面向量, 且, 那么A ．B ．C ．D ． 4．角的终边经过点P (4，－3)，那么的值等于A ．B ．C ．D ． 5．A ．B ．C ．D ． 6．中的对边分别是其面积，那么中的大小是A ．B ．C ．D ．7．函数,那么在(1，3)上不单调的一个充分不必要条件是A ．B ．C ．D ． 8．的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角为120°，那么这个三角形的周长为A ． 15B ． 18C ． 21D ． 249．函数〔其中〕的图象关于点成中心对称，且与点相邻的一个最低点为，那么对于以下判断：①直线是函数图象的一条对称轴；②点是函数的一个对称中心；③函数与的图象的所有交点的横坐标之和为.其中正确的判断是此卷只装订不密封 姓名 准考证号 考场号 座位号A．①②B．①③C．②③D．①②③10．关于的不等式恒成立，那么实数的取值范围是A．B．C．D．11．在中，角的对边分别为，假设，那么A．B．C．D．12．直线与函数的图象恰有四个公共点，，，.其中，那么有A．B．C．D．二、填空题13．．14．假设，，那么___________.15．分别是的中线，假设，且、的夹角为，那么•=__________．16．分别为函数，上两点，那么两点的距离的最小值是__________．三、解答题17．，且〔1〕求的值；〔2〕求的值.18．为坐标原点，，，假设.〔1〕求函数的最小正周期和单调递减区间；〔2〕假设时，函数的最小值为2，求的值.19．如下图，中，．〔1〕求证：是等腰三角形；〔2〕求的值以及的面积．20．函数(1)当时,求的单调增区间;(2)假设在上是增函数,求的取值范围.21．在锐角中，角的对边分别为，.〔1〕求角的大小；〔2〕假设，求的取值范围.22．设函数，其中是实数，曲线与轴相切于坐标原点.〔1〕求常数的值；〔2〕当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；〔3〕求证：.2021届黑龙江省大庆实验中学高三上学期第一次月考数学〔理〕试题数学答案参考答案1．B【解析】【分析】化简集合A，B，求出二者的交集即可.【详解】∵集合，∴应选：B【点睛】此题考查交集的概念及运算，考查函数的定义域与值域，属于根底题.2．D【解析】由全称命题的否认是特称命题，可知“，〞的否认是，，应选D．3．D【解析】【分析】利用两个向量共线时，x1y2=x2y1求出m，得到的坐标，再利用向量的模的定义求出的值．【详解】由，m=﹣2×2=﹣4，那么，应选：D．【点睛】此题考查两个向量共线的性质，向量的模的求法,属于根底题．4．A【解析】【分析】根据角的终边过点，利用任意角三角函数的定义，求出和的值，然后求出的值. 【详解】因为角的终边过点，所以利用三角函数的定义，求得，，应选A.【点睛】此题主要考查三角函数的定义，意在考查对根底知识掌握的熟练程度，属于简单题. 5．A【解析】试题分析：考点：诱导公式与两角和差的正弦公式点评：此题用到的诱导公式有等，和差角公式6．C【解析】【分析】等式左边利用三角形面积公式化简，右边利用余弦定理化简，整理求出【详解】∵△ABC中，S=absinC，a2+b2﹣c2=2abcosC，且S=，∴absinC=abcosC，即tanC=1，那么C=45°．应选：C．【点睛】此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握余弦定理是解此题的关键．7．C【解析】【分析】求出函数的导数，问题转化为函数f〔x〕=ax2﹣4ax﹣lnx与x轴在〔1，3〕有交点，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质判断即可．【详解】f′〔x〕=2ax﹣4a﹣=，假设f〔x〕在〔1，3〕上不单调，令g〔x〕=2ax2﹣4ax﹣1，那么函数g〔x〕=2ax2﹣4ax﹣l与x轴在〔1，3〕有交点，a=0时，显然不成立，a≠0时，只需，解得：a＞，应选：C【点睛】此题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．8．A【解析】设的三边长分别为，由题意得，解得，∴三角形的周长为．选A．9．C【解析】【分析】根据条件确定函数的解析式，进一步利用整体思想确定函数的对称轴方程，对称中心及各个交点的特点，进一步确定答案．【详解】函数f〔x〕=Asin〔ωx+φ〕〔其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π〕的图象关于点M〔，0〕成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为〔，﹣3〕，那么：，所以：T=π，进一步解得：，A=3由于函数f〔x〕=Asin〔ωx+φ〕〔其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π〕的图象关于点M〔，0〕成中心对称，所以：〔k∈Z〕，解得：，由于0＜φ＜π，所以：当k=1时，．所以：f〔x〕=3．当x=时，f〔〕=﹣3sin=﹣，故错误．②当x=时，f〔〕=3sin0=0，，故正确．③由于：﹣≤x≤〕，那么：，所以函数f〔x〕的图象与y=1有6个交点．根据函数的交点设横坐标为x1、x2、x3、x4、x5、x6，根据函数的图象所有交点的横标和为7π．故正确．应选：C【点睛】此题考查的知识要点：正弦型函数的解析式的求法，主要确定A，ω、φ的值，三角函数诱导公式的变换，及相关性质得应用，属于根底题型．10．B【解析】【分析】不等式恒成立等价于即【详解】由题意易知：a，x>0∵∴即,又∴恒成立∴，即应选：B【点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种〞常用方法〔1〕别离参数法：将原不等式别离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.11．C【解析】在中，，由正弦定理得，，由余弦定理得，，，，，应选C.12．B【解析】【分析】依题意，在同一坐标系中作出直线与函数的图象，利用导数的几何意义可求得切线的斜率，从而将切点坐标代入直线方程〔即切线方程〕即可求得答案．【详解】∵直线与函数的图象恰有四个公共点，如图：当时，函数，依题意，切点坐标为，又切点处的导数值就是直线的斜率，即，，应选：B．【点睛】此题考查正弦函数的图象，着重考查导数的几何意义的应用，考查等价转化思想与数形结合思想的综合应用，考查作图能力与分析、运算能力，属于难题．13．【解析】试题分析：考点：定积分【方法点睛】1.求曲边图形面积的方法与步骤〔1〕画图，并将图形分割为假设干个曲边梯形；〔2〕对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；〔3〕确定被积函数；〔4〕求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．14．【解析】【分析】利用同角函数关系式求得，进而利用配角法求得.【详解】∵，，∴∴，故答案为：【点睛】三角函数式的化简要遵循“三看〞原那么:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差异与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.15．【解析】【分析】根据向量的加减的几何意义和数量积定义即可．【详解】∵AD=BE=2，且、的夹角为，∴•=||•||cos=2×2×〔﹣〕=﹣2，∵AD，BE分别是△ABC的中线，∴=〔+〕，=〔+〕=〔﹣﹣〕=﹣，∴=〔﹣〕，=〔2+〕，∴•=〔﹣〕〔2+〕=〔2﹣•﹣〕=〔8+2﹣4〕=，故答案为：．【点睛】此题考查了数量积定义及其平行四边形法那么、三角形法那么等根底知识与根本技能方法，属于中档题．16．0【解析】【分析】根据函数与函数互为反函数，可知P、Q两点间的最短距离为点P到直线y=x的最短距离d的2倍，利用导数求出d即可．【详解】∵函数与函数互为反函数，∴函数与函数的图象关于直线y=x对称，设，那么令,得x=ln2+，又为增函数∴在在单调递减，在在单调递增∴的最小值为即，使得即函数图象与直线y=x有交点，即函数与函数的图象有公共点在直线y=x上故的最小值是0故答案为：0．【点睛】此题考查反函数的概念，导数的几何意义，两个图象的位置关系，属于中档题．17．〔1〕；〔2〕.【解析】【分析】〔1〕利用平方，转化求解sinxcosx，通过sinx﹣cosx的符号，利用平方转化求解即可；〔2〕由，求出正弦函数以及余弦函数的值，然后求解即可．【详解】〔1〕∵，∴，，∵，∴sinx＜0，cosx＞0，∴sinx﹣cosx＜0，，∴；〔2〕由〔1〕知，，解得，，．【点睛】此题考查三角函数化简求值，考查了同角三角函数根本关系式的应用，考查计算能力，是中档题．18．(1)； (2).【解析】【分析】〔1〕通过向量的数量积，把，的坐标，代入函数解析式，利用向量积的运算求得函数解析式，进而得到函数的最小正周期和单调递减区间；〔2〕通过x∈[0，]，求出相位的范围，然后求出函数的最大值，利用最大值为2，直接求得a．【详解】(1)由题意是常数〕所以，∴的最小正周期为，令，得，所以的单调递减区间为.〔2〕当时，，∴当，即时，有最小值,所以 .【点睛】此题主要考查了三角函数的最值，二倍角的化简求值，平面向量的数量积的运算．考查了对三角函数根底知识的综合应用．19．〔1〕见解析〔2〕，【解析】试题分析：〔1〕在中，由正弦定理得，进而得，从而得，即可证得；〔2〕在中，由余弦定理：，得，从而得，利用求面积即可.试题解析：〔1〕在中，由正弦定理得，那么，∴，∴是等腰三角形；〔2〕由〔1〕知：，故，在中，由余弦定理：，即，整理得，解得〔舍去〕，，∴，故；∴．20．(1) ； (2).【解析】【分析】〔1〕求单调增区间，先求导，令导函数大于等于0即可；〔2〕f〔x〕在区间〔0，1〕上是增函数，即f′〔x〕≥0在区间〔0，1〕上恒成立，然后用别离参数求最值即可．【详解】〔1〕当时，，所以，由得，或，故所求的单调递增区间为.〔2〕由，∵在上是增函数，所以在上恒成立，即恒成立，∵〔当且仅当时取等号〕，所以，即.【点睛】此题考查利用导数研究函数的单调性和二次函数在定区间上的最值问题，表达了分类讨论和转化的思想方法，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力．21．(1)； (2).【解析】【分析】〔1〕利用两角和差的正弦公式进行化简即可，求角A的大小；〔2〕先求得 B+C=，根据B、C都是锐角求出B的范围，由正弦定理得到b=2sinB，c=2sinC，根据b2+c2=4+2sin〔2B﹣〕及B的范围，得＜sin〔2B﹣〕≤1，从而得到b2+c2的范围．【详解】〔1〕由=得sinAcosB+sinAcosC=cosAsinB+cosAsinC，即sin〔A﹣B〕=sin〔C﹣A〕，那么A﹣B = C﹣A，即2A=C+B，即A=．.〔2〕当a=时，∵B+C=，∴C=﹣B．由题意得，∴＜B＜．由 =2，得 b=2sinB，c=2sinC，∴b2+c2=4 〔sin2B+sin2C〕=4+2sin〔2B﹣〕．∵＜B＜，∴＜sin〔2B﹣〕≤1，∴1≤2sin〔2B﹣〕≤2．∴5＜b2+c2≤6．故的取值范围是.【点睛】此题考查三角函数的恒等变换，正弦定理的应用，其中判断sin〔2B﹣〕的取值范围是此题的难点．22．〔1〕；〔2〕；〔3〕证明见解析．【解析】试题分析：〔1〕由切线切于原点知及，可得；〔2〕不等式恒成立，即在上的最小值大于或等于0，因此要研究的单调性、极值，为此求得，，为了确定的正负，再求导，由二阶导数的正负确定一阶导数的单调性及正负，从而确定的单调性，最值．对分类：，，；〔3〕要证不等式，显然要与上面的结论有关，首先证明一个更一般的情形：对任意的正整数，不等式恒成立，等价变形为，相当于〔2〕中，的情形．由此可证．试题解析：〔1〕因为与轴相切于坐标原点那么〔2〕，，①当时，由于，有，于是在上单调递增，从而，因此在上单调递增，即而且仅有符合；②当时，由于，有，于是在上单调递减，从而，因此在上单调递减，即不符；③当时，令，当时，，于是在上单调递减，从而，因此在上单调递减，即而且仅有不符.综上可知，所求实数的取值范围是.〔3〕对要证明的不等式等价变形如下：对于任意的正整数，不等式恒成立，等价变形相当于〔2〕中，的情形，在上单调递减，即而且仅有；取，得：对于任意正整数都有成立；令得证.考点：导数的几何意义，不等式恒成立，导数与单调性、最值，不等式证明．【名师点睛】此题考查导数的综合运用，考查导数的几何意义．函数点处的切线方程，实际上两个条件：和．在求函数的最值时，一般要研究函数的单调性，这就要求研究导数的正负，象此题导数的正负也不易确定时，还必须研究导函数的单调性，从而又要对导函数再求导，得二阶导数，由的正负确定的单调性，从而确定的正负．这在导数的复杂应用中经常采用．此题第〔3〕小题考查同学们的观察能力、想象能力，类比推理能力，要在已证结论中取特殊值得到要证的不等式，要求较高，属于难题．。
2021届黑龙江省大庆实验中学高三上学期期初考试数学(理)试题Word版含解析
2021届黑龙江省大庆实验中学高三上学期期初考试数学（理）试题一、选择题1．已知{}{}{}6,2,4,1,3,4,6U x N x P Q =∈<==，则()U C P Q ⋂=（ ） A. {}3,4 B. {}3,6 C. {}1,3 D. {}1,4 【答案】C【解析】解答：∵U ={x ∈N |x <6}={0,1,2,3,4,5}， P ={2,4},Q ={1,3,4,6}， ∴C U P ={0,1,3,5}， ∴(∁U P )∩Q ={1,3}. 故选：C.2．已知i 为虚数单位，复数z 满足()1i 1i z -=+，则z 的共轭复数是（ ） A. 1 B. 1- C. i D. i - 【答案】D【解析】由题意得， ()1111iz i i z i i+-=+⇒==-，则z 的共轭复数是i -，故选D. 3．命题“3,30x R x x ∀∈->”的否定为（ ） A. 330x R x x ∀∈-≤， B. 330x R x x ∀∈-<， C. 330x R x x ∃∈-≤， D. 330x R x x ∃∈->， 【答案】C【解析】依题意，全称命题的否定是特称命题，故选C . 4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位），这个问题中，甲所得为 A.53钱 B. 32钱 C. 43钱 D. 54钱 【答案】C【解析】甲、乙、丙、丁、戊五人依次设为等差数列的12345,,,,a a a a a ， 1234552a a a a a +=++=，即11522{ 5392a d a d +=+= ，解得： 143{ 16a d ==-，甲所得为43钱，故选C.5．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）A.323B. 643C. 16D. 32【答案】A【解析】几何体为一个三棱锥，高为4，底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4，所以体积是2113244323⨯⨯⨯=，选A. 6．4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（ ）A. 24种B. 36种C. 48种D. 60种 【答案】D【解析】试题分析：每家企业至少录用一名大学生的情况有两种：一种是一家企业录用一名， 334324C A =种；一种是其中有一家企业录用两名大学生， 234336C A =种，∴一共有3323434360C A C A +=种，故选D【考点】排列组合问题.7．阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为（ ）A. 3k ≤B. 4k ≤C. 5k ≤D. 6k ≤ 【答案】B【解析】试题分析：第一次循环， 211,2S k ===；第二次循环， 22126,3S k =⨯+==；第三次循环，226321,4S k =⨯+==；第四次循环， 2221458,5S k =⨯+==,最后输出的数据为58,所以判断框中应填入4k ≤,选B. 【考点】程序框图.8．已知函数()cos (0)6f x x ωπωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则函数()f x 的图象（ ） A. 可由函数()cos2g x x =的图象向左平移3π个单位而得 B. 可由函数()cos2g x x =的图象向右平移3π个单位而得C. 可由函数()cos2g x x =的图象向左平移6π个单位而得D. 可由函数()cos2g x x =的图象向右平移6π个单位而得【答案】D【解析】由已知得， 22πωπ==则()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象可由函数()cos2g x x =的图象向右平移6π个单位而得，故选D. 9．已知三棱锥A BCD -的四个顶点,,,A B C D 都在球O 的表面上， ,BC CD AC ⊥⊥平面BCD ，且2AC BC CD ===，则球O 的表面积为 （ ）A. 4πB. 8πC. 16πD.【答案】C【解析】由题意可知CA ,CB ,CD 两两垂直，所以补形为长方形，三棱锥与长方体共球，()(222222216R =++=，求的外接球的表面积2416S R ππ==，选C【点睛】求共点三条侧棱两两垂直的三棱锥外接球相关问题，我们常用的方法为补形成长方体，转化为求长方体的外接球问题。
2021届黑龙江省大庆实验中学高三上学期第一次月考数学(理)试题
15．在 展开式中， 的偶数次幂项的系数之和为8，则 ______.
16．函数 满足 ，当 时，方程 恰有两个不等的实根，则实数 的取值范围为_______．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.（本题10分）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
D．对于任意向量 ，必有
7．若 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
8．函数 图象大致为( )
A． B．
C． D．
9．若把单词“error"的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为（ ）
A．17B．18C．19D．20
10．已知函数 ， ， ，若 的最小值 ，且 的图象关于点 对称，则函数 的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为（ ）
（1）写出直线 的普通方程和曲线 的参数方程：
（2）P为曲线 上任一点，Q为直线 上任一点，且直线PQ与 所成角为30°，求 的最大值与最小值.
18．（本题12分）已知向量 ， ，函数 .
（1）求 的最小正周期；
（2）求 的单调递增区间.
19．（本题12分）从某小组的5名女生和n名男生中任选3人去参加速滑比赛.
产品的性能指数在 的适合托班幼儿使用（简称A类产品），在 的适合小班和中班幼儿使用（简称B类产品），在 的适合大班幼儿使用（简称C类产品），A，B，C，三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）.以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率.
（1）求每件产品的平均销售利润；
2021届大庆市实验中学高三数学(理)上学期第一周周测试卷附答案
2021届大庆市实验中学高三数学（理）上学期第一周周测试卷（2020.08.10）一、单选题1．320-︒化为弧度是（）A ．43π-B ．169π-C ．76π-D ．56π-2．sin1050= （）A ．12B ．12-C ．32D ．32-3．终边在直线y=x 上的角α的集合是()．A ．{α|α=k•360°+45°，k∈Z}B ．{α|α=k•360°+225°，k∈Z}C ．{α|α=k•180°+45°，k∈Z}D ．{α|α=k•180°-45°，k∈Z}4．已知()12sin πα+=-，那么32cos πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．12-B ．12C ．32-D ．325．当[0,2]x πÎ时，满足3cos 22x π⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭的x 的取值范围是（）A ．40,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．450,,233πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦D ．45,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．记cos80k ︒=，那么tan100︒=（）A ．21k k -B ．21k k --C ．21k k -D ．21k k --7．对于下列四个命题：①sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②2517cos cos 44ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；③tan138tan143︒>︒；④tan 40sin 40︒>︒.其中正确命题的序号是（）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④8．在()02π，内，使sin cos x x >的x 的取值范围是（）A．π3π,44⎛⎫ ⎪⎝⎭B．ππ5π3π,,4242⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ C．ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D．5π7π,44⎛⎫ ⎪⎝⎭9．已知()ln 3e 2ln51,,e 35a b c +===，则（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c>>10．函数的定义域是（）A ．B ．C ．D ．11．若函数()x f x xe a =-有两个零点，则实数a 的取值范围为()A ．e a -<<0B ．1a e>-C ．10a e-<<D ．0a e <<12．若函数()ln f x ax x =-在区间(]0,e 上的最小值为3，则实数a 的值为（）A ．2eB ．2eC ．2eD ．1e 二、填空题13．已知函数()22ln 1f x x x =-+，则()f x 的单调减区间为__________.14．已知角α终边上有一点()12P ，，则sin(2)sin()23cos()cos()2ππααπαπα---=++-____________.15．若3cos()45πα-=，则sin 2α=_________________16．若存在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式22ln 30x x x mx +-+≥成立，则实数m 的最大值为________．三、解答题17．已知函数3sin()cos()tan(2)22()tan()sin()f ππααπαααπαπ-+-=++.（1）化简()f α；（2）若1()()28f f παα⋅+=-，且5342ππα≤≤，求()()2f f παα++的值；（3）若()2()2f f παα+=，求()()2f f παα⋅+的值1-12.BBCBCBBAAD CA 13.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭14.-315.725-16.132e e+-17.（1）cos α-（2）32-（3）25。
2021届黑龙江大庆实验中学高三上学期周测数学(理)试题(有答案)
大庆实验中学2021届高三上学期周测数学（理）试题一、单选题1．320-︒化为弧度是（ ）A ．43π-B ．169π-C ．76π-D ．56π-2．sin1050=（ ）A ．12B ．12-C 3D ．3 3．终边在直线y=x 上的角α的集合是( )． A ．{α|α=k•360°+45°，k∈Z} B ．{α|α=k•360°+225°，k∈Z} C ．{α|α=k•180°+45°，k∈Z}D ．{α|α=k•180°-45°，k∈Z}4．已知()12sin πα+=-，那么32cos πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．12-B ．12C ．32-D ．325．当[0,2]x π时，满足3cos 2x π⎛⎫-≥⎪⎝⎭x 的取值范围是（ ） A ．40,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．450,,233πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦D ．45,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．记cos80k ︒=，那么tan100︒=（ ）A 21k - B ．21k - C 21k-D ．21k-7．对于下列四个命题：①sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ②2517cos cos 44ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ③tan138tan143︒>︒； ④tan 40sin 40︒>︒.其中正确命题的序号是（ ） A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④8．在()02π，内，使sin cos x x >的x 的取值范围是（ ） A ．π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭ B ．ππ5π3π,,4242⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ C ．ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．5π7π,44⎛⎫ ⎪⎝⎭9．已知()ln 3e 2ln51,,e 35a b c +===，则（ ） A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >>10．函数的定义域是（ ） A ． B ． C ．D ．11．若函数()x f x xe a =-有两个零点，则实数a 的取值范围为 ( )A ．e a -<<0B ．1a e>-C ．10a e-<< D ．0a e <<12．若函数()ln f x ax x =-在区间(]0,e 上的最小值为3，则实数a 的值为（ ）A ．2eB ．2eC ．2e D ．1e二、填空题13．已知函数()22ln 1f x x x =-+，则()f x 的单调减区间为__________.14．已知角α终边上有一点()12P ，，则sin(2)sin()23cos()cos()2ππααπαπα---=++-____________. 15．若3cos()45πα-=，则sin 2α=_________________ 16．若存在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式22ln 30x x x mx +-+≥成立，则实数m 的最大值为________． 三、解答题17．已知函数3sin()cos()tan(2)22()tan()sin()f ππααπαααπαπ-+-=++. （1）化简()f α；（2）若1()()28f f παα⋅+=-，且5342ππα≤≤，求()()2f f παα++的值； （3）若()2()2f f παα+=，求()()2f f παα⋅+的值参考答案1-12.BBCBC BBAAD CA13.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 14.-3 15.725-16.132e e+- 17.（1）cos α-（2）3（3）25。
黑龙江省大庆实验中学2021届高三上学期期中考试 数学(理)答案
大庆实验中学2020-2021学年度上学期期中考试高三理科数学答案1．C 2．C 3.D 4.A 5.C 6.B 7.A 8.B 9. A 10.D 11. B 12.A 13.)3,1(- 14.3 15.52π 16．2317.（Ⅰ）3A π=（Ⅱ）33解：（Ⅰ）由2tan tan tan B bA B c=+及正弦定理可知， sin 2sin cos sin sin sin cos cos BB B A BC A B∴=+()2sin cos cos sin cos sin sin B A B B B A B C⋅∴⋅=+，所以2cos 1A =，又()0,A π∈，所以3A π=（Ⅱ）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得21393c c =+-，所以2340c c --=，即()()410c c -+=，所以4c =，从而113sin 343322ABCSbc A ==⨯⨯⨯= 18.(1)证明见解析；(2)60°.解析:（1）连结PD （P A=PB （PD AB （//DE BC （BCAB （DE AB （又PD DE D ⋂=（AB 平面PDE （PE ⊂平面PDE （∴AB PE （（2）法一（平面P AB 平面ABC，平面P AB 平面ABC=AB，PD AB，PD 平面ABC （ 则DE PD,又ED AB，PD 平面AB=D （DE 平面P AB,过D 做DF 垂直PB 与F ，连接EF ，则EF PB （∠DFE 为所求二面角的平面角（DE=32（DF =32，则3DE tan DFE DF∠==，故二面角的A PB E --大小为60︒法二：平面P AB 平面ABC，平面P AB 平面ABC=AB，PD AB，PD平面ABC （如图，以D 为原点建立空间直角坐标系（ B (1（0（0)（P (0（0（)（E (0（32（0)（ PB =(1（0（3-)（PE =(0（32（3-（（ 设平面PBE 的法向量()1,,n x y z =（30,330,2x z y z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩令3z =，得()13,2,3n =（DE ⊥平面P AB （∴平面P AB 的法向量为()20,1,0n =（ 设二面角的A PB E --大小为，由图知，1212121,2n n cos cos n n n n θ⋅===⋅（ 所以60,θ=︒即二面角的A PB E --大小为60︒. 19.（1）70.5分；（2）634人；（3）0.499 （1）由题意知： 中间值 45 55 65 75 85 95 概率0.10.150.20.30.150.1∴450.1550.15650.2750.3x =⨯+⨯+⨯+⨯ 850.15950.170.5+⨯+⨯=， ∴4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分. （2）依题意z 服从正态分布()2,N μσ，其中70.5x μ==，2204.75D σξ==，14.31σ=，∴z 服从正态分布()()22,70.5,14.31N N μσ=，而()(56.1984.81)0.6826P z P z μσμσ-<<+=<<=，∴()10.682684.810.15872P z -≥==.∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.158********.8⨯=人634≈人.（3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413-=.而()4,0.8413B ξ~，∴()()44431410.8413P P C ξξ≤=-==-⋅ 10.5010.499=-=. 20.（1）证明见解析，21nn a =-；（2）11202.（1）证明：因为n ，n a ，n S 成等差数列，所以2n n S n a +=，① 所以()1112n n S n a --+-=()2n ≥.②①－②，得1122n n n a a a -+=-，所以()1121n n a a -+=+()2n ≥. 又当1n =时，1112S a +=，所以11a =，所以112a +=， 故数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列，所以11222n n n a -+=⋅=，即21nn a =-.（2）根据（1）求解知，()22log 121121nn b n =+--=-，11b =，所以12nnb b ，所以数列{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列.又因为11a =，23a =，37a =，415a =，531a =，663a =，7127a =，8255a =，64127b =，106211b =，107213b =，所以()()1210012107127c c c b b b a a a +++=+++-+++()()7127212107(1213)107214222772212-⨯+⨯⎡⎤=-+++-=-+⎣⎦-281072911202=-+=.21．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.1k解析（（I（()()21ln '1xx f x x e x -=++（ 易知()'f x 在()0e ，上为正，因此()f x 在区间()01，上为增函数，又1210ee ef e e-⎛⎫=< ⎪⎝⎭（0f I e =>（）因此10f f I e ⎛⎫< ⎪⎝⎭（），即()f x 在区间()01，上恰有一个零点（由题可知()0f x >在()1+∞，上恒成立，即在()1+∞，上无零点， 则()f x 在()0+∞，上存在唯一零点（ （II（设()f x 的零点为0x ，即0000ln 0x x x e x +=（原不等式可化为ln 1x xe x k x--≥（令()ln 1x xe x g x x--=（则()ln 'x x xe x g x x+=（由（I（可知()g x 在()00x ，上单调递减， 在()0x ，+∞上单调递增（故只求()0g x （，设00x x e t =（下面分析0000ln 0x x x e x +=（设00x x e t =，则ln x t x =-（ 可得0000lnx tx lnx x lnt =-⎧⎨+=⎩，即()01ln x t t -=若1t >，等式左负右正不相等，若1t <（等式左正右负不相等（只能1t =（因此()0000000ln 1ln 1x x e x xg x x x --==-=，即1k 求所求（ 22. （1）S 的普通方程为：)040(0422≥≤<=-+y x x y x ，或)0,0(≥>y x 或)0,0(≥≠y x方程写标准式也可S 的极坐标方程为：)20(cos 4πθθρ<≤=（不写范围扣2分）（2）]3,0[πα∈23.（1）见证明；（2）35[,]22-. 【详解】解：（1）由柯西不等式得22222)11x x ⎡⎤⎛⎡⎤+≥⋅ ⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝+． ∴()22243()3x yx y +⨯≥+，当且仅当3x y =时取等号． ∴22334x y +≥；（2）1111()224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 要使得不等式11|2||1|a a x y+≥-++恒成立，即可转化为|2||1|4a a -++≤， 当2a ≥时，421a -≤，可得522a ≤≤， 当1a 2-<<时，34≤，可得1a 2-<<，当1a ≤-时，214a -+≤，可得312a -≤≤-，∴a 的取值范围为：35[,]22-．。
黑龙江省大庆实验中学高三数学上学期开学考试试题 理
大庆实验中学2015—2016高三上半学年数学（理）开学考试第Ⅰ卷(选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．42.若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R，则复数x ＋y i 的模是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．53.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π4.如图，若依次输入的x 分别为5π6、π6，相应输出的y 分别为y 1、y 2，则y 1、y 2的大小关系是( )A ．y 1＝y 2B ．y 1>y 2C ．y 1<y 2D ．无法确定5.已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n，则a 7a 3＝( )A ．2B ．4C ．5D.526．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，则a <b 的概率为( )A.45B.35C.25D.157.若函数f (x )＝sinx ＋φ3(φ∈)是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3 C.3π2D.5π38. 若函数2()log (2)(0,1)a f x x x a a =+>≠在区间1(0,)2内恒有()0,f x >则()f x 的单调增区间为（ ） A.B.C.D.9.双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为45的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A ．2BC1D．210.函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是（ ）1(,)2-∞-11. 已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得几何体的体积为( )A.2π3＋12B.4π3＋16C.2π6＋16D.2π3＋1212. 已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλ+=++, R λ∈, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心第Ⅰ卷(非选择题 共90分）二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.） 13. 圆心在直线32=-y x 上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________.14. 设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值 ．15. 若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列．记数列{1x n}为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝________.2006(,,,_____.x x S x S ==16.在的二项展开式中含的奇次幂的项之和为当三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.) 17.（本小题满分12分）已知ABC △1，且sin sin A B C +=． （1）求边AB 的长；（2）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．18. （本小题满分12分）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中任取3所学校做进一步数据分析，①求取出的3所学校中没有小学的概率；②设取出的小学个数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望.19. （本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA＝AB ＝12PD .(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ；(2)求二面角Q －BP －C 的余弦值．20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0 的圆心．(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在点P ，P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12的直线l 1，l 2，且直线l 1，l 2都与圆C 相切.若存在，求P 的坐标，若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分）函数1()ln ,x e f x x-=数列{}n a 满足111,()n n a a f a +==. （1）试求()f x 的单调区间；（2）求证：数列{}n a 为递减数列，且0n a >恒成立.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
黑龙江省大庆实验中学2021届高三数学上学期开学考试试题理(含参考答案)
黑龙江省大庆实验中学2021届高三数学上学期开学考试试题 理第I 卷（选择题)一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分1.“2->a ”是“函数||)(a x x f -=在]1,(-∞上单调递减”的( )。
A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件2．如果消息A 发生的概率为()P A ，那么消息A 所含的信息量为21()log ()I A P A =，若王教授正在一个有4排8列座位的小型报告厅里听报告，则发布的以下4条消息中，信息量最大的是（ ） A ．王教授在第4排 B ．王教授在第4排第5列 C ．王教授在第5列 D ．王教授在某一排 3．为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( )A ．7班、14班、15班B ．14班、7班、15班C ．14班、15班、7班D ．15班、14班、7班 4．我们从这个商标中抽象出一个图像如图，其对应的函数可能是( )A.()211f x x =- B ．()211f x x =+C ．()11f x x =- D ．()11f x x =-5．千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在地区A 的100天日落和夜晚天气，得到如下22⨯列联表：并计算得到219.05K ≈，下列小波对地区A 天气判断不正确的是（ ） A ．夜晚下雨的概率约为12B ．未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为514C ．有99.9%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关D ．出现“日落云里走”，有99.9%的把握认为夜晚会下雨6．2020年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A ＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B ＝“小组甲独自去一个国家”，则P （A |B ）＝（ ） A ．29B ．13C ．49D ．597．函数)22,0)((cos )(πϕπωϕω<<->+=x A x f ，的部分图像如图所示，图中圆C 与)(x f 的图像交于M,N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法正确的是（ ） A.函数)(x f 的最小正周期为π2B.函数)(x f 的图像关于点)0,35(π对称 C.函数)(x f 在的最小正周期为)12,125(ππ-单调递增D.将函数)(x f 的图像像左平移3π后关于轴y 对称8．电梯有6位乘客，在5层楼房的每一层停留，如果有两位乘客从同一层出去，另两位在同一层出去，最后两人各从不同的楼层出去，则不同的下楼方法的种类数是( ) A.1600 B.2700 C.5400 D.108009．若 47270127(1)(2)(2)(2),x x a a x a x a x ++=+++++++则3a =( )A ．8-B ．35C ．43-D ．2710．已知函数1()0x e x f x kxx ⎧-≥=⎨<⎩ 若存在非零实数0x ，使得00()()f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是( )A ．(),1-∞-B ．(],1-∞C ．()1,0-D ．[)1,0-11．若存在0a >，使得函数2()6ln f x a x =与2()4g x x ax b =--的图象在这两个函数图象的夜晚天气,日落云里走下雨 未下雨 出现 25 5 未出现2545P（20K k ≥）0.100.05 0.010 0.001 0k2.7063.8416.63510.828公共点处的切线相同，则b 的最大值为（ ） A ．213e -B ．216e -C ．216e D ．213e12．设函数a x x x x f x-++++=2532)(，若曲线x y cos =上存在点),(00y x ，使得00))((y y f f =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--23,513 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2523， C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31423， D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡31425， 第II 卷（非选择题 共90分)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知()f x 是定义在R 上的周期为3的奇函数，且(2)2(8)1f f -=+，则(2020)f 的值_____. 14．设负数1z ，2z 满足12122,3z z z z i ==+=+，则=-21z z 。
黑龙江省大庆实验中学2020-2021学年度高三第一次线上教学质量检测数学理科试题参考答案
因为 (x) = x + ln x −1在 (0, +) 上是单调增函数，且(1) = 0 ，所以 x1 1 ， 由（1）可知， f (x) = xex 在 (1, +) 是单调递增，
所以 a
=
x1e x1
e .又 1 e
x1
，
F
1 e
=
1
1
ee
e
−
a
∴ sin ( B + C ) = 2sinAcosA ，
∴ sinA = 2sinAcosA .
∵ A(0, ) ，∴ sinA 0 ，
∴ cosA = 1 ，∴ A = .
2
3
（2）∵ a = 2 ， sinBsinC = sin2 A ，∴ bc = a2 = 4 .由 a2 = b2 + c2 − 2bccosA ，得 4 = b2 + c2 − 4 ，
∴ P ( X 90) = P ( X + 2 ) = 1 (1− 0.9544) = 0.0228
2 ∴估计笔试成绩不低于 90 分的人数为 0.02285000 = 114 人
（2） Y 的取值分别为 0，3，5，8，10，13，则
P (Y = 0) = (1− 3) (1− 2)2 = 1
x2
3) ( kx1x2 + 1−
) ( =
3 kx1x2 + 1+
)3 x2 )，
3 x1
其中 kx1x2
=
−
8k 4k 2 +
3
=
x1
+
x2
，
实验三部第一次线上教学质量检测答案 第 3 页共 5 页
2021届黑龙江省大庆实验中学高三上学期期中考试数学(理)试题
大庆实验中学2020-2021学年度上学期期中考试高三数学（理科）试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每道小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设命题p ：x R ∀∈，2320x x -+≤，则p ⌝为（ ） A ．0x R ∃∈，200320x x -+≤ B ．x R ∀∈，320x x -+> C ．0x R ∃∈，200320x x -+>D ．x R ∀∈，320x x -+≥2．若{}0,1,2A =，{}2,a B x x a A ==∈，则A B ⋃=（ ） A ．{}0,1,2B ．{}0,1,2,3C ．{}0,1,2,4D ．{}1,2,43．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为()1,2-，则下列结论正确的是（ ） A ．2z i i ⋅=-B ．复数z 的共轭复数是12i -C ．5z =D ．13122z i i =++ 4．已知3a i j =+，2b i =，其中i ，j 是互相垂直的单位向量，则3a b -=（ ）A ．B ．C ．28D ．245．已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()2E X =，()43D X =，则p =（ ） A ．34B ．23C ．13D ．146．在等差数列{}n a 中，首项10a =，公差0d ≠，n S 是其前n 项和，若6k a S =，则k =（ ） A ．15B ．16C ．17D ．187．若()cos cos2f x x =，则()sin15f ︒=（ ）A ．B ．12-C ．12D8．已知函数()()31,0,0x x f x g x x ⎧+>⎪=⎨<⎪⎩是奇函数，则()()1g f -的值为（ ）A ．10-B ．9-C ．7-D ．19．为得到函数sin 2y x =-的图象，可将函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象（ ） A ．向右平移3π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位D ．向右平移23π个单位 10．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生 A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多11．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 在线段1BC （含端点）上运动，则下列判断不正确的是（ ）A ．11A PB D ⊥B ．三棱锥1D APC -的体积不变，为83C ．1//A P 平面1ACDD ．1A P 与1D C 所成角的范围是0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．已知函数()ln 1f x x =+，若存在互不相等的实数1x ，2x ，3x ，4x ，满足()()()()1234f x f x f x f x ===，则411i if x =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知点A 的极坐标为22,3π⎛⎫⎪⎝⎭，则它的直角坐标为______． 14．若x ，y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最小值为______．15．已知三棱锥S ABC -中，SA ⊥面ABC ，且6SA =，4AB =，23BC =，30ABC ∠=︒，则该三棱锥的外接球的表面积为______．16．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n N ∈满足()()2411n n S a +=+，则361111kk kk k kaa a a =++-=-∑______．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足2tan tan tan B bA B c=+（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若13a =，3b =，求ABC △的面积18．如图，在三棱锥P ABC -中，2PA PB AB ===，3BC =，90ABC ∠=︒，平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点．（1）求证：AB PE ⊥；（2）求二面角A PB E --的大小．19．在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参考成绩统计如图所示．（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点作代表）；（2）由直方图可认为考生竞赛成绩z 服正态分布()2,N μσ，其中μ，2σ分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差2s ，那么该区4000名考生成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？ （3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名学生，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求()3P ξ≤（精确到0.001）附：①2204.75s =204.7514.31=；②()2~,z N μσ，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，()220.9544P z μσμσ-<<+=；③40.84130.501=20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n 、n a 、n S 成等差数列，()22log 11n n b a =+-． （1）证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 中去掉数列{}n a 的项后余下的项按与按原顺序组成数列{}n c ，求12100c c c +++的值．21．已知函数()ln x xf x xe x=+． （Ⅰ）求证：函数()f x 有唯一零点；（Ⅱ）若对任意的()0,x ∈+∞，ln 1xxe x kx -≥+恒成立，求实数k 的取值范围请考生在第22、23两题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()23,0P -，其倾斜角为α，设曲线S 的参数方程为141x k k y k ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩（k 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=（1）求曲线S 的普通方程和极坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围 23．选修4-5：不等式选讲 已知x ，y R ∈，且1x y +=． （1）求证：22334x y +≥； （2）当0xy >时，不等式1121a a x y+≥-++恒成立，求a 的取值范围．大庆实验中学2020-2021学年度上学期期中考试高三理科数学答案 1．C 2．C 3．D4．A5．C6．B 7．A8．B9．A10．D11．B12．A13．(3-14．315．52π162317．（Ⅰ）3A π=（Ⅱ）33解：（Ⅰ）由2tan tan tan B bA B c =+及正弦定理可知，∴sin 2sin cos sin sin cos cos cos B B B A B C A B=+∴()2sin cos cos sin cos sin sin B A B B B A B C⋅⋅=+， 所以2cos 1A =，又()0,A π∈，所以3A π=（Ⅱ）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得21393c c =+-，所以2340c c --=，即()()410c c -+=，所以4c =，从而11sin 3422ABC S ab A ==⨯⨯=△18．（1）证明见解析；（2）60°解析：（1）连结PD ，∵PA PB =，∴PD AB ⊥，∵//DE BC ，BC AB ⊥，DE AB ⊥ 又∵PD DE D ⋂=，∴AB ⊥平面PDE ，∵PE ⊂平面PDE ，∴AB PE ⊥ （2）法一：∵平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PD AB ⊥，PD ⊥平面ABC 则DE PD ⊥，又ED AB ⊥，PD ⋂平面AB D =，DE ⊥平面PAB过D 做DF 垂直PB 与F ，连接EF ，则EF PB ⊥，DFE ∠为所求二面角的平面角，32DE =，DF =，则tan DE DFE DF∠==A PB E --大小为60° 法二：∵平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PD AB ⊥，PD ⊥平面ABC 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系， ∴()1,0,0B，(P ，30,,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴(1,0,PB =，30,,2PE ⎛= ⎝设平面PBE 的法向量()1,,z n x y =，∴0,30,2x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩令z =(13,n = ∵DE ⊥平面PAB ，∴平面PAB 的法向量为()20,1,0n = 设二面角A PB E --大小为θ，由图知，1212121cos cos ,2n n n n n n θ⋅===⋅， 所以60θ=︒，即二面角的A PB E --大小为60°19．（1）70.5分；（2）634人；（3）0.499 （1）由题意知： 中间值 45 55 65 75 85 95 概率0.10.150.20.30.150.1∴450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， ∴4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分（2）依题意z 服从正态分布()2N μσ，，其中=70.5x μ=，2204.75D σξ==，14.31σ=，∴z 服从正态分布()()2270.5,14.31N N μσ=，，而()()56.1984.810.6826P z P z μσμσ-<<+=<<=， ∴()10.682684.810.15872P z -≥==， ∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.158********.8⨯=人634≈人（3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413-=，而()~4,0.8413B ξ，∴()()44431410.841310.5010.499P P C ξξ≤=-==-⋅=-=20．（1）证明见解析，21nn a =-；（2）11202（1）证明：因为n ，n a ，n S 成等差数列，所以2n n S n a +=，① 所以()()11122n n S n a n --+-=≥．②①-②，得1122n n n a a a -+=-，所以()()11212n n a a n -+=+≥． 又当1n =时，1112S a +=，所以11a =，所以112a +=， 故数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列，所以11222n n n a -+=⋅=，即21n n a =-（2）根据（1）求解知，()22log 12121n n b n =+-=-，11b =，所以12n n b b +-=， 所以数列{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列又因为11a =，23a =，37a =，531a =，663a =，7127a =，8255a =，64127b =，106211b =，107213b =，所以()()1210012107127c c c b b b a a a +++=+++-+++()()127107121322272⨯+⎡⎤=-+++-⎣⎦()72121072147212-⨯=-+- 281072911202=-+=21．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）k ，，1 解析：（Ⅰ）()()21ln 1x xf x x e x+'=++， 易知()f x '在()0,e 上为正，因此()f x 在区间()0,1上为增函数，又1210xe ef e e -⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()0f I e =>因此()10f f I e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()f x 在区间()0,1上恰有一个零点， 由题可知()0f x >在()1,+∞上恒成立，即在()1,+∞上无零点， 则()f x 在()1,+∞上存在唯一零点（Ⅱ）设()f x 的零点为0x ，即000ln 0x x x e x +=，原不等式可化为ln 1x xe x k x--≥， 令()ln 1xxe x g x x--=，则()ln x xxe x g x x+'=，由（Ⅰ）可知()g x 在()00,x 上单调递减，在(),x +∞上单调递增，00x x et =故只求()0g x ，设00x x e t =，下面分析0000ln 0xx x e x +=，设00xx e t =，则00ln x t x =-， 可得0000ln ln ln x tx x x t =-⎧⎨+=⎩，即()01ln x t t -=若1t >，等式左负右正不相等，若1t <，等式左右负不相等，只能1t =因此()0000000ln 1ln 1x x e x x g x x x --==-=，即k ，，1求所求22．（1）S 的普通方程为：2240x y x +-=()04,0x y ≤≤≥或()0,0x y >≥或()0,0x y ≠≥方程写标准式也可S 的极坐标方程为：4cos 02πρθθ⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭（不写范围扣2分） （2）0,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦23．（1）见证明；（2）35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【详解】解：（1）由柯西不等式得)2222211x x ⎡⎤⎛⎡⎤++≥⋅+⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦⎝⎢⎥⎣⎦ ∴()()222433x y x y +⨯≥+，当且仅当3x y =时取等号． ∴22334x y +≥；（2）()1111224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 要使得不等式1121a a x y+≥-++恒成立，即可转化为214a a -++≤， 当2a ≥时，214a -≤，可得522a ≤≤， 当12a -<<，34≤，可得12a -<<， 当1a ≤-时，214a -+≤，可得312a -≤≤-， ∴a 的取值范围为：35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。
数学(理)丨黑龙江省大庆市大庆实验中学2021届高三上学期12月月考数学(理)试卷及答案
大庆实验中学2020—2021学年度上学期第二次月考高三数学（理科）试题注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每道小题答案后，用B 2铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设{|5}A x Z x =∈，{}|1B x R x =∈>，则AB =（）A.{}1,2,3,4,5B.{}2,3,4,5C.{}25x x ≤≤D.{}15x x <≤ 2．设(),αππ∈-，且1cos 2α=-，则α=（） A ．23π-或23πB ．3π-或3πC ．3π-或23πD ．23π-或3π3．算盘是中国传统的计算工具，是一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才.”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨2粒下珠，算盘表示的数为质数（除了1和本身没有其它的约数）的概率是（） A ．13B ．12C ．23D ．164.下列说法正确的是（ ）A ．为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民，对其该天的阅读时间进行统计分析.在这个问题中，5000名居民的阅读时间是总体容量B ．频率分布直方图的纵坐标是频率C ．汽车的重量和汽车每消耗1L 汽油所行驶的平均路程成负相关D ．系统抽样由于可能要剔除一些数据，所以总体中每个个体抽到的机会可能不相等 5．若x >1，则121x x +-的最小值为（）A ．222+B ．22-C ．222-+D ．226．若圆22()()4x a y a -+-=上有且仅有两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围为（） A ．(220)-，B ．(220)(022)-⋃，，C ．(221)(122)--⋃，，D ．(022)，7.已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“465+2S S S >”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8．某医学团队研制出预防新冠病毒的新药服用x 小时后血液中的残留量为y 毫克，如图所示为函数()y f x =的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为（） A ．上午10：00 B ．中午12：00 C ．下午4：00 D ．下午6：009.已知双曲线2221(0)12x y a a -=>的一条渐近线方程为30x y -=，左焦点为F ，当点M 在双曲线右支上，点N 在圆22(3)1x y +-=上运动时，则MN MF +的最小值为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．510．四棱锥P ABCD -的顶点都在球O 的球面上，ABCD 是边长为32的正方形，若四棱锥P ABCD -体积的最大值为54，则球O 的表面积为（） A ．36π B ．64π C ．100πD ．144π11．点P 在函数y ＝e x 的图象上．若满足到直线y ＝x +a 的距离为2的点P 有且仅有3个，则实数a 的值为（ ） A ．22B ．23C ．3D ．412．已知数列{}n a 满足()*1111,1n n a a a n N n +=->∈+，则一定成立的是（） A ．100ln102a >B ．99ln100a >C ．99ln100a <D ．100ln 99a <第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题.第22题、第23题为选考题.二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若复数z 满足i 1i z ⋅=-+，则复数z 的虚部为________ 14．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门APP ，该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习板块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块，某人在学习过程中，“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有______种.15.设I 为ABC ∆的内心，5,6,AB AC BC AI mAB nBC ====+，则+m n 为.16．已知正四面体A BCD -的棱长为2，点E 是AD 的中点，点F 在线段BC 上，则下面四个命题中：①F BC ∃∈，//EF AC ②F BC ∀∈，3EF ≤③F BC ∃∈，EF 与AD 不垂直 ④F BC ∀∈，直线EF 与平面BCD 夹角正弦的最大值为33.所有不正确的命题序号为_______. 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知函数2()sin 12sin 62x f x x π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭ （1）求()f x 的单调递增区间；（2）记ABC 的内角A ､B ､C 的对边长分别为a ，b ，c ，若()3,1,3f B b a ===，求c. 18．在疫情这一特殊时期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学生在线学习.复课后进行了摸底考试，我校数学教师为了调查高三学生这次摸底考试的数学成绩与在线学习数学时长之间的相关关系，对在校高三学生随机抽取45名进行调查.知道其中有25人每天在线学习数学的时长是不超过1小时的，得到了右侧的等高条形图：（1）将频率视为概率，求学习时长不超过1小时但考试成绩超过120分的概率； （2）依题意，完成以下22⨯列联表（直接填写表格即可）：在线时长数学成绩 不超过120分 超过120分 合计 不超过1小时 25 超过1小时 20 合计202545是否有99%的把握认为“高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关”.()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P K k ≥0.050 0.010 0.001 0k3.841 6.635 10.82819．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA AD ⊥，13,2AD BC ==，5PC =，//AD BC ，AB AC =，150BAD ∠=，30PDA ∠=． （1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）在线段PD 上是否存在一点F ，使直线CF 与平面PBC 所成角的正弦值等于14？若存在，求出点F 的位置；若不存在，请说明理由． 20．已知椭圆2222 : 1(0)x y C a b a b +=>>的离心为32，且经过点(2,1)P .（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(1,0)Q 的直线l 与椭圆交于,A B 两点(均异于点P )，直线AP 与BP 分别交直线8x =于M 点和N 点，求证：QM QN k k ⋅为定值. 21. 已知函数ln ()()xx xf x ax a R e+=-∈ (1) 当1a e=时，求函数()f x 的单调区间；(2) 若函数()f x 只有1个零点，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23两题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为5cos ,5sin x a y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l 的参数方程为2,2,x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），设原点O 在圆C 的内部，直线l 与圆C 交于M 、N 两点；以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l 和圆C 的极坐标方程，并求a 的取值范围；（2）求证：22OMON +为定值.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()211f x x x =-++. （1）解不等式()6f x ≤；（2）记函数()()1g x f x x =++的最小值为m ，若,,a b c ∈R ，且230a b c m ++-=，求222a b c ++的最小值.高三数学（理科）第二次月考参考答案一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项BAACABCCACCB二、填空题13. 1 14. 432 15. 151616. ①③ 三、解答题 17.（1）3133()sin cos cos sin cos 3sin 22223f x x x x x x x π⎛⎫=++=+=+ ⎪⎝⎭， 利用正弦函数的单调增区间易得()f x 的单调增区间为52,2()66k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦， （2）()3sin 33f B B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以sin 13B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为角B 是ABC 的内角，所以6B π= 由余弦定理知：2222313cos 2223a c b c B ac c+-+-===，解得1c =或2c =. 18.（1）从等高条形图中看出，学习时长不超过1小时， 但考试成绩超过120分的人数为225105⨯=人，∴其概率为102459=； （2）依题意，得22⨯列联表：数学成绩120≤分120>分合计在线学习时长1≤小时15 10 25 1>小时5 15 20 合计202545∵245(1515510)441 5.5125 6.6352025252080k ⨯-⨯===<⨯⨯⨯，∴没有99%的把握认为“高三学生的这次摸底成绩与其在线学习时长有关”. 19.（1）证明：取线段BC 中点E ，连结AE ．因为3AD =，30PDA ∠=︒，所以1PA =．因为//AD BC ，150=︒∠BAD 所以30B ∠=︒．又因为AB AC =，所以AE BC ⊥，而23BC =， 所以2cos30BEAC AB ===︒．因为5PC =，所以222PC PA AC =+，即PA AC ⊥．因为PA AD ⊥，且AD ，AC ⊂平面ABCD ，ADAC A =，所以PA ⊥平面ABCD ．（2）解：以A 为坐标原点，以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系如图所示，则(0P ，0，1)，(1,3,0)B ，3,0)C ，3,0)D ．设1(F x ，1y ，1)z ，因为点F 在线段PD 上，设PF PD λ=，则11103(01)1x y z λλλ=⎧⎪=<⎨⎪=-⎩．即3,1)F λλ-，所以(1,33,1)FC λλ=-．设平面PBC 的法向量为(,,)u x y z =，则0,0u PB BC u ⋅=⋅=，所以0x z ⎧--=⎪⎨=⎪⎩，所以(1,0,1)u =．因为直线CF 与平面PBC 成角正弦值等于14，所以14FC u FC u ⋅=⨯． 14=，即12λ=．所以点F 是线段PD 的中点． 20.（1）根据题意可得22222411c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得2282a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为22182x y +=.（2）首先计算当直线AB 斜率为0时，QM QN k k ⋅的值为27-当直线斜率不为0时，设直线AB 的方程为()()11221,,,,x ty A x y B x y =+.联立得22481x y x ty ⎧+=⎨=+⎩，整理得()224270t y ty ++-=，所以12122227,44t y y y y t t -+==++. 因为1112AE y k x -=-，所以直线AP 的方程为1111(2)2y y x x --=--， 令8x =，得()111116168122M y x y y x x -+-=+=--，所以111688,2x y M x ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭，同理222688,2x y N x ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭.则()1111168(6)72717QM x y t y k x ty +-+-==--， ()2222268(6)72717QN x y t y k x ty +-+-==--，则()()2121221212(6)7(6)49491QM QN t y y t y y k k t y y t y y +-+++⋅=⎡⎤-++⎣⎦22222272(6)7(6)49447249144tt t t t t t t t t --+⋅-+⋅+++=--⎡⎤⋅-⋅+⎢⎥++⎣⎦22222212362127287724t t t t t t t t ---++++=⎡⎤-+++⎣⎦ ()228827744t t -==---.所以QM QNk k ⋅为定值，且该定值为27-. 21.（1）单调增区间为()1+∞，，单调增区间为()0,1 （2）a 的取值范围是10,a a a e ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭或22.解（1）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得y x =，所以直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈；将圆C 的参数方程化为直角坐标方程，得()225x a y -+=， 所以圆C 的极坐标方程为()222cos 50a a ρθρ-+-=.由原点O 在圆C 的内部，得()22005a -+<，解得a <<，故a的取值范围是(. （2）将4πθ=代入()222cos 50a a ρθρ-+-=，得2250a ρρ+-=.则12ρρ+=，2125a ρρ=-，所以()222221212122OM ON ρρρρρρ+=+=+-)()222510a =--=，故22OMON +为定值.23．解：（1）()161216x f x x x ≤-⎧≤⇔⎨---≤⎩或1121216x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-++≤⎩或122116x x x ⎧≥⎪⎨⎪-++≤⎩， 解得22x -≤≤，即不等式()6f x ≤的解集为{}22x x -≤≤.（2）()()1212221223g x f x x x x x x =++=-++≥---=，当且仅当()()21220x x -+≤时取等号，∴3m =.故233a b c ++=.由柯西不等式()()()2222222123239a b c a b c ++++≥++=，整理得222914a b c ++≥，当且仅当123a b c ==，即314a =，614b =，914c =时等号成立.所以222a b c ++的最小值为914.。
黑龙江省大庆市第十中学2021届高三数学上学期开学考试试题理[含答案]
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黑龙江省大庆市第十中学2021届高三数学上学期开学考试试题 理一、单选题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．若＝(2x ，1，3)，＝(1, -2y ，9)，如果与为共线向量，则a b a bA ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝，y ＝-1212C ．x ＝，y ＝－D ．x ＝－，y ＝163216322．在空间直角坐标系中，若A （0，2，5），B （-1，3，3），则|AB |=（ ）AB ．3CD3．已知向量，则与的夹角为（ ）()()0,2,1,1,1,2a b ==--a b A ．0B ．C ．D ．4π2ππ4．已知向量与的夹角为，，，则（ ）a b120︒3a = ||ab += ||b = A ．1B ．3C ．4D ．55．长方体中，为的中点，则异面直线1111ABCD A B C D -12,1ABAA AD ===E 1CC 与所成角的余弦值为（ ）1BCAE A BCD6．平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,向量两两的夹角均为60°,且1AB,AD,AA||=1,||=2,||=3,则||等于( )AB AD1AA 1AC A ．5B ．6C ．4D ．87．三棱锥ABCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则等于( )AB CD ⋅A ．－2B ．2C ．D．-8．如图，是的重心，，则（ ）G ABC ∆,,OA a OB b OC c === OG =A ．B ．122333a b c ++ 221333a b c ++C ．D ．222333a b c++ 111333a b c++ 9．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.31210．已知向量，则以为邻边的平行四边形的面积为（ ）(2,1,2),(2,2,1)a b =-=,ab A ．BC ．D ．48811．已知正方体（如图），则（ ）ABCD EFGH -A ．直线CF 与GD 所成的角与向量所成的角相等,CF GD →→<>B ．向量是平面ACH 的法向量FD →C ．直线CE 与平面ACH 所成角的正弦值与的平方和等于1cos ,CE FD →→<>D ．二面角的余弦值等于A FH C --1212．如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论：P 1111ABCD A B C D -1BC 三棱锥的体积不变；①1A D PC -平面；1//A P ②1ACD ；1DP BC ⊥③④11ACDPDB 平面平面⊥其中正确的结论的个数是 ()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有，则1133OM xOA OB OC=++x ＝________.14．如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、l αβ--120︒A B l AC BD α内，，，且，则的长等于______．βAC l ⊥BD l ⊥1AB AC BD ===CD15．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.16．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．三、解答题(本大题共6小题，共70分；其中17题10分，其他每题12分)17．已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：（θ为参数），224cos 4sin x y θθ⎧=⎨=⎩，C 2：（t 为参数）.1,1x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.18．如图，四棱锥中，平面底面ABCD ，是等边三角形，底面P ABCD -PDC ⊥PDC ABCD 为梯形，且，，．60DAB∠=//AB CD 22DC AD AB ===Ⅰ证明：；()BD PC ⊥Ⅱ求A 到平面PBD 的距离．()19．在如图所示的几何体中，，平面，，，DE AC AC ⊥BCD 24AC DE ==2BC =，.1DC =60BCD ∠=︒（1）证明：平面；BD ⊥ACDE （2）求平面与平面所成二面角的正弦值.BCD BAE 20．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。
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13．已知 f (x) 是定义在 R 上的周期为 3 的奇函数，且 f (2) 2 f (8) 1 ，则 f (2020) 的值_____.
14．设负数 z1 ， z2 满足 z1 z2 2, z1 z2 3 i ，则 z1 z2
。
15．在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C : (x 1)2 ( y 1)2 1，以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为
f (x0 ) 成立，则实数 k 的
取值范围是(
A． , 1
)
B． ,1
C． 1, 0
D．1, 0
11．若存在 a 0 ，使得函数 f (x) 6a2 ln x 与 g(x) x2 4ax b 的图象在这两个函数图象的公
共点处的切线相同，则 b 的最大值为（ ）
1 A． 3e2
1 B． 6e2
A.1600
B. 2700
C. 5400
D.10800
9．若 x4 (x 1)7 a0 a1(x 2) a2 (x 2)2 a7 (x 2)7 , 则 a3 (
)
A． 8
B． 35
C． 43
D． 27
10．已知函数
f
(x)
ex
1
kx
x0 x0
若存在非零实数 x0 ，使得
f (x0 )
2．如果消息
A
发生的概率为
P( A)
，那么消息
A
所含的信息量为
I ( A)
log2
1 P( A)
，若王教授正在
一个有 4 排 8 列座位的小型报告厅里听报告，则发布的以下 4 条消息中，信息量最大的是（ ）
A．王教授在第 4 排 B．王教授在第 4 排第 5 列 C．王教授在第 5 列 D．王教授在某一排
2 A． 9
1 B． 3
4 C． 9
5 D． 9
7．函数 f (x) Acos(x )( 0, ) ，的部分图像如图所示，图中圆 C 与 f (x) 的图
2
2
像交于 M,N 两点，且 M 在 y 轴上，则下列说法正确的是
（
）
A.函数 f (x) 的最小正周期为 2
B.函数 f (x) 的图像关于点 (5 ,0) 对称 3
并计算得到 K 2 19.05 ，下列小波对地区 A 天气判断不正确的是（ ）
1 A．夜晚下雨的概率约为 2
5 B．未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为 14
C．有 99.9% 的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关 D．出现“日落云里走”，有 99.9% 的把握认为夜晚会下雨
极轴，直线 l
的极坐标方程为
(0
2
)
，直线 l
交圆 C
于
A,
B
两点，
P
为
A,
B
中点.若
| AB | | OP | 3 ，则 = __________ .
16.已知定义在 (0, ) 上的函数
f
(x)
的导函数
f
(x) 满足
x2
f
( x)
xf
(x)
ln
x,
f
(e)
1 e
，则不
f (x) e x 1
1 C． 6e2
1 D． 3e2
12．设函数
f
(x)
2x
3x 5 x2
x
a
，若曲线
y
cos
x 上存在点 (x0 ,
y0 ) ，使得
f
(
f
( y0 ))
y0
，则实数 a 的取值范围为（
）
A．
13 5
,
3 2
B．
3 2
，5 2
ห้องสมุดไป่ตู้C．
3 2
，14 3
D．
5 2
，14 3
第 II 卷（非选择题 共 90 分) 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
C.函数 f (x) 在的最小正周期为 ( 5 , ) 单调递增 12 12
D.将函数 f (x) 的图像像左平移 后关于轴 y 对称
3 8．电梯有 6 位乘客，在 5 层楼房的每一层停留，如果有两位乘客从同一层出去，另两位在同一层出
去，最后两人各从不同的楼层出去，则不同的下楼方法的种类数是(
)
P K
k
6．2020 年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由 医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有 4 个需要援助的 国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件 A＝“4 个医疗小组去的国家各不相同”，事件 B＝“小组甲独自去一个国家”，则 P（A|B）＝（ ）
大庆实验中学 2021 届高三数学（理）上学期开学考试试题
第 I 卷（选择题)
一、单选题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分
1.“ a 2 ”是“函数 f (x) | x a | 在 (,1] 上单调递减”的( )。
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件
D、既不充分也不必要条件
x t cos
（2）若点
M
(0,1)
，直线
l
的参数方程为
y
1
t
sin
等式
e 的解集是____.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分
17．以直角坐标系 xoy 的原点为极坐标系的极点， x 轴的正半轴为极轴.已知曲线 C1 的极坐标方程
为 4 cos 8sin ， P 是 C1 上一动点， OP 2OQ ， Q 的轨迹为 C2 .
（1）求曲线 C2 的极坐标方程，并化为直角坐标方程，
3．为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了
预测，于是有了以下对话：老师甲：“7 班男生比较壮，7 班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得 14
班比 15 班强，14 班名次会比 15 班靠前”．老师丙：“我觉得 7 班能赢 15 班”．
最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人
C．
x 1
f x 1
x 1
D．
5．千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总 结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日 落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在地区 A 的 100 天日落和夜晚天气，得到如下 2 2 列联表：
中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为(
)
A．7 班、14 班、15 班 B．14 班、7 班、15 班 C．14 班、15 班、7 班 D．15 班、14 班、7 班
( 4．我们从这个商标 中抽象出一个图像如图，其对应的函数可能是 )
A.
f
x
1 x2 1
B．
f
x
1 x2 1
f x 1