电动力学静电场答案

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第1章 静电场

1. 证明均匀介质内部的极化电荷体密度p ρ,总等于自由电荷体密度f ρ的 －(1－

ε

ε0

)倍。

f ρ=⋅∇D

E])[(E)(P 00εεεχρ-⋅-∇=⋅-∇=⋅-∇=e P

f P ρε

εεεερ)(D])[(0

01--=-⋅-∇=

2、 有一内外半径分别为21和r r 的空心介质球,介质的介电常数为ε,使介质内均匀带静止自由电荷f ρ,求 (1)空间各点的电场;

(2)极化体电荷与极化面电荷分布。 解 1)

由电荷分布的对称性可知:电场分布也就是对称的。电场方向沿径向 故:1r r

<时

040

2

==⎰dV r r f

V ερπ)E( 或 0=)E(r

21r r r <<时 球壳体内:

dr r r D r ds r

r f ⎰

⎰⎰==⋅12

244πρπ)(n D

])([)(3113r r r

r D f -=

ρ ])([)()(310013r

r r

r D r E f -==ερε 在2r r

>的球形外:

)()(21220

2023441

42

1

r r dr r r E r r r

f -=

=

⎰ρεπ

πρεπ )()(21222

03r r r

r E -=

ερ

式中 r εεε0= 写在一起

⎪⎪⎪⎩⎪⎪

⎪⎨⎧>-<<-<=)

(r )()(r

])([)(E 2212230

21310

13130r r r r r r r r r r r r f ερερ

2) r ])([)

(E D P 310013r

r

f --=-=ερεεε f p ρε

εερ0

--

=⋅-∇=P (与第一题相符) 内表面:

013031

10101

1

=-=--⋅-=-⋅-===])([]E )[(n )p (p n 12r r r f r

r r r p ερεεσ 外表面:

222

210001302

2

r r r r

r r r p )()(E])([n )p (p n 12--=--⋅-=-⋅-===ερεεεεσ

3、 证明:当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时,电场线的偏折 满足:

1

2

12tan tan εεθθ= 式中1ε与2ε分别为两介质的介电常数,1θ与2θ分别为界面两侧电场线与法线

的夹角。

证明:绝缘介质分界面上自由电荷密度0=f σ,故边值关系为:

t t E E 12=,n n D D 12= (012=-⨯)E (E n ,f σ=-⋅)D (D n 12)

若两种介质都就是线性均匀的,即111E D ε=,222E D ε= ; 上边两式为:1122θθsin sin E E =,111222θεθεcos cos E E = 于就是得:

1

2

12tan tan εεθθ= 4、 试用边值关系证明:在绝缘介质与导体的分界面上,在静电情况下,导体外的电场线总就是垂直于导体表面。 证明:设介质1为导体,介质2为绝缘体。

静电情况下:0=1E ,0=1D

由边值关系:012=-⨯)E (E n ,f σ=-⋅)D (D n 12 可得:t t E E 12=,f n n D D σ=-12 即,02=t E ,f n D σ=2

对于各向同性线性介质E D ε= 所以,n E ε

σf

=

即导体外的电场线垂直于导体表面

5、 如图1,有一厚度为a 2,电荷密度为0ρ的均匀带电无限大平板,试用分离变量法求空间电势的分布。

解:以O 原点建立如图坐标系,为根据问题的对称性, 电势分布仅与x 有关,即一维问题。容易写出定解问题:

1 导体

2 绝缘体

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=)()

(a x dx d a x dx d i i 01

2

2

00

22ϕρεϕ

a x =时 e i ϕϕ= x

x e

i ∂∂=

∂∂ϕϕ 0=x 时 0=)(x i ϕ

直接求解得

2

02x i ερϕ-

= )(a x a e --

=220

ερϕ 6、 内半径a ,外半径为b 的两个同心导体球壳,令内球接地,外球带电量Q ,试用分离变量法求空间电势分布。

解、根据球对称性,空间电势分布ϕ仅与r 有关,定结问题为:

⎩⎨⎧>=∇<<=∇)

()

(b r b r a 0

022

12ϕϕ

01==a r ϕ

r=b 时 21ϕϕ=

Q ds r

r =∂∂-∂∂⎰)(2010

ϕ

εϕε 02=∞→r ϕ

求解得

)(r a

b Q -

=

1401πεϕ )(b

a r

Q -

=

1401πεϕ 7、 均匀外电场中0E ,置入半径为0R 的导体球。求以下两种情况的电势分布。