两点求直线方程

注意：两点式不能表示平行于坐标轴或与坐
标轴重合的直线．
若点P1 (x1 , y1 ),P2( x2 , y2)中有x1 ＝x2,或 y1= y2,此时过这两点的直线方程是什么?
当x1 ＝x2 时方程为： x ＝x１ 当 y1= y2时方程为： y = y１
四、直线的截距式方程
例2:已知直线 l 与x轴的交点为A(a,0),与y轴的 交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求直线l 的方程． 解:将两点A(a,0), B(0,b)的坐标代入两点式, 得:
解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为：
y2 x0 3 2 3 0
整理得：5x+3y-6=0
这就是BC边所在直线的方程.
BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连 线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为：
y0 10

x5 35
2
2
M
即
3 2
,

1 2

二、直线两点式方程的推导
设P(x,y)为直线上不同于P1 , P2的动点, 与P1(1,3)P2(2,4)在同一直线上,根据斜率相 等可得：
k k pp1
p1 p2
即：y 3 4 3
x1 21
得: y=x+2
推广
已知两点P1 ( x1 , y1 ),P2(x2 , y2),求通过这 两点的直线方程．
注意：
①不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线 ②截距可是正数,负数和零
举例
例3: ⑴ 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距 相等的直线有几条?
解: ⑴ 两条
设:直线的方程为: x y 1
aa
把(1,2)代入得：1 2 1
aa
a=3
所以直线方程为：x+y-3=0 那还有一条呢？y=2x (与x轴和y轴的截距都为0)
解：设点P(x,y)是直线上不同于P1 , P2的点．
k k ∵
= PP1
P1P2
∴ y y1 y2 y1
x x1 x2 x1
可得直线的两点式方程： y y1 y2 y1
x x1 x2 x1
记忆特点： 1.左边全为y，右边全为x
2.两边的分母全为常数
3.分子，分母中的减数相同
(2) 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝 对值相等的直线有几条?
解：三条
x y 1
设Biblioteka Baidu
a b ab

解得：a=b=3或a=-b=-1 直线方程为：y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x
五、直线方程的应用 例4:已知角形的三个顶点是A(－5，0)，
B(3，－3)，C(0，2)，求BC边所在的直线 方程，以及该边上中线的直线方程.
三、两点式方程的适应范围 是不是已知任一直线中的两点就能用两
点式 y y1 y2 y1 写出直线方程呢？
x x1 x2 x1
不是!
当x1 ＝x2或y1= y2时,直线P1 P2没有两点式程.(因 为x1 ＝x2或y1= y2时,两点式的分母为零,没有意义)
那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢?
y0 xa, b0 0a
即 x y 1.
ab
所以直线l 的方程为：x y 1. ab
截距式直线方程:
x a

y b

1.
直线与 x 轴的交点(o,a)的横坐标 a 叫做 直线在 x 轴上的截距
直线与 y 轴的交点(b,0)的纵坐标 b 叫做 直线在 y 轴上的截距
是不是任意一条直线都有其截距式方程呢?
由已知得：43

kb 2k b
解方程组得： k1 b2
方程思想
所以:直线方程为: y=x+2
还有其他做法吗？
由斜率公式得到斜率k 4 3 21
再由直线的点斜式方程y 3 4 3 ( x 1) 21
化简可得x y 2 0
为什么可以这样做，这样做的 根据是什么？
直线的 两点式方程
一、复习、引入
1). 直线的点斜式方程：
y- y0 =k(x- x0 )
k为斜率， P0(x0 ,y0)为经过直线的点 2). 直线的斜截式方程：
y=kx+b
k为斜率，b为截距
举例
例1.已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直 线的方程．
一般做法：
解：设直线方程为：y=kx+b
2
y y1 y2
2
∵B(3,-3),C(0,2)
∴M
y0 10

x 3

5 5
2
2
小结
1)直线的两点式方程
y y1 y2 y1 x x1 x2 x1
2)两点式直线方程的适应范围
3)中点坐标： x x1 x2 2 y y1 y2 2
过A(-5,0),M

3 2
,
1 2

的直线方程
y0 1 0

x5 35
整理得：x+13y+5=0
2
2
这就是BC边上中线所在的直线的方程.
中点坐标公式：
若P1 ，P2坐标分别为( x1 ，y1 ), (x2 ，y2) 且中点M的坐标为(x, y).
x x1 x2
则