等差数列单元测试题+答案百度文库
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一、等差数列选择题1.已知数列{}n a 的前项和221n S n =+,n *∈N ,则5a =( )A .20B .17C .18D .192.中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤,长五尺,一头粗一头细.在粗的一端截下一尺,重四斤;在细的一端截下一尺,重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,中间三尺的重量为( ) A .3斤B .6斤C .9斤D .12斤3.设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+. 则8a 的值为( ).A .65B .16C .15D .14 4.在等差数列{a n }中,a 3+a 7=4,则必有( )A .a 5=4B .a 6=4C .a 5=2D .a 6=25.等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ,若231n n a n b n =+,则2121S T 的值为( )A .1315B .2335C .1117 D .496.等差数列{}n a 中,12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列的前20项和等于( ) A .160B .180C .200D .2207.《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作,它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数,日月之法,十九岁为一章,四章为一部,部七十六岁,二十部为一遂,遂千百五二十岁”.现恰有30人,他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520),其中年长者年龄介于90至100,其余29人的年龄依次相差一岁,则最年轻者的年龄为( ) A .32B .33C .34D .358.已知数列{}n a 为等差数列,2628a a +=,5943a a +=,则10a =( ) A .29B .38C .40D .589.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足212n n n a a a ++=-,534a a =-,则7S =( ) A .7B .12C .14D .2110.《张丘建算经》卷上第22题为:“今有女善织,日益功疾(注:从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布),第一天织5尺布,现一月(按30天计)共织390尺”,则从第2天起每天比前一天多织( ) A .12尺布 B .518尺布 C .1631尺布 D .1629尺布 11.已知数列{}n a 中,11a =,22a =,对*n N ∀∈都有333122n n n a a a ++=+,则10a 等于( )A .10 BC .64D .412.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知58a =,36S =,则107S S -的值是( ) A .48B .60C .72D .2413.冬春季节是流感多发期,某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{}n a ,已知11a =,22a=,且满足()211+-=+-nn n a a (n *∈N ),则该医院30天入院治疗流感的共有( )人A .225B .255C .365D .46514.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2n S n =.定义数列{}n b 如下:()*1m m b m m+∈N 是使不等式()*n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值,则13519 b b b b ++++=( )A .25B .50C .75D .10015.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列{} n a ,则5a =( ) A .103B .107C .109D .10516.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且132a a +=,422a a -=,则5S =( ) A .21B .15C .10D .617.在等差数列{}n a 的中,若131,5a a ==,则5a 等于( ) A .25B .11C .10D .918.在数列{}n a 中,11a =,且11nn na a na +=+,则其通项公式为n a =( ) A .211n n -+B .212n n -+C .221n n -+D .222n n -+19.若数列{}n a 满足121()2n n a a n N *++=∈,且11a =,则2021a =( ) A .1010 B .1011 C .2020D .202120.已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列,且1109a a a +=,则12910a a a a ++⋅⋅⋅+=( )A .278B .52C .3D .4二、多选题21.(多选)在数列{}n a 中,若221(2,,n n a a p n n N p *--=≥∈为常数),则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( ) A .若{}n a 是等差数列,则{}n a 是等方差数列 B .(){}1n- 是等方差数列C .{}2n是等方差数列.D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列22.题目文件丢失!23.已知数列{}n a 满足0n a >,121n n n a na a n +=+-(N n *∈),数列{}n a 的前n 项和为n S ,则( )A .11a =B .121a a =C .201920202019S a =D .201920202019S a >24.若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩,135a =,则数列{}n a 中的项的值可能为( ) A .15B .25C .45D .6525.已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15110,20,a a a 则( )A .80a <B .当且仅当n = 7时,n S 取得最大值C .49S S =D .满足0n S >的n 的最大值为1226.无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,若a 1>0,d <0,则下列结论正确的是( ) A .数列{}n a 单调递减 B .数列{}n a 有最大值 C .数列{}n S 单调递减D .数列{}n S 有最大值27.等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ,若10a >,717S S =,则( ) A .0d < B .120a > C .13n S S ≤D .当且仅当0nS <时,26n ≥28.已知数列{}n a 为等差数列,则下列说法正确的是( )A .1n n a a d +=+(d 为常数)B .数列{}n a -是等差数列C .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 D .1n a +是n a 与2n a +的等差中项29.已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,67S S <,且78S S >,则( ) A .在数列{}n a 中,1a 最大 B .在数列{}n a 中,3a 或4a 最大 C .310S S =D .当8n ≥时,0n a <30.设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1718S S =,则下列各式的值为0的是( ) A .17aB .35SC .1719a a -D .1916S S -【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.C 【分析】根据题中条件,由554a S S =-,即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a 的前项和2*21,n S n n N =+∈, 所以22554(251)(241)18a S S =-=⨯+-⨯+=. 故选:C . 2.C 【分析】根据题意转化成等差数列问题,再根据等差数列下标的性质求234a a a ++. 【详解】由题意可知金锤每尺的重量成等差数列,设细的一端的重量为1a ,粗的一端的重量为5a ,可知12a =,54a =,根据等差数列的性质可知1533263a a a a +==⇒=, 中间三尺为234339a a a a ++==. 故选:C 【点睛】本题考查数列新文化,等差数列的性质,重点考查理解题意,属于基础题型. 3.C 【分析】利用()12n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的通项公差,然后求解8a . 【详解】由21n S n =+得,12a =,()2111n S n -=-+,所以()221121n n n a S S n n n -=-=--=-, 所以2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩,故828115a =⨯-=.故选:C. 【点睛】本题考查数列的通项公式求解,较简单,利用()12n n n a S S n -=-≥求解即可. 4.C 【分析】利用等差数列的性质直接计算求解 【详解】因为a 3+a 7=2a 5=4,所以a 5=2. 故选:C 5.C 【分析】利用等差数列的求和公式,化简求解即可 【详解】2121S T =12112121()21()22a ab b ++÷=121121a a b b ++=1111a b =2113111⨯⨯+=1117.故选C 6.B 【分析】把已知的两式相加得到12018a a +=,再求20S 得解. 【详解】由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=, 所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020()10181802S a a =+=⨯=. 故选:B 7.D 【分析】设年纪最小者年龄为n ,年纪最大者为m ,由他们年龄依次相差一岁得出(1)(2)(28)1520n n n n m ++++++++=,结合等差数列的求和公式得出111429m n =-,再由[]90,100m ∈求出n 的值.【详解】根据题意可知,这30个老人年龄之和为1520,设年纪最小者年龄为n ,年纪最大者为m ,[]90,100m ∈,则有(1)(2)(28)294061520n n n n m n m ++++++++=++=则有291114n m +=,则111429m n =-,所以90111429100m ≤-≤ 解得34.96635.31n ≤≤,因为年龄为整数,所以35n =. 故选:D 8.A 【分析】根据等差中项的性质,求出414a =,再求10a ; 【详解】因为{}n a 为等差数列,所以264228a a a +==, ∴414a =.由59410a a a a +=+43=,得1029a =, 故选:A. 9.C 【分析】判断出{}n a 是等差数列,然后结合等差数列的性质求得7S . 【详解】∵212n n n a a a ++=-,∴211n n n n a a a a +++-=-,∴数列{}n a 为等差数列. ∵534a a =-,∴354a a +=,∴173577()7()1422a a a a S ++===. 故选:C 10.D 【分析】设该女子第()N n n *∈尺布,前()N n n *∈天工织布n S 尺,则数列{}n a 为等差数列,设其公差为d ,根据15a =,30390S =可求得d 的值. 【详解】设该女子第()N n n *∈尺布,前()N n n *∈天工织布n S 尺,则数列{}n a 为等差数列,设其公差为d ,由题意可得30130293015015293902S a d d ⨯=+=+⨯=,解得1629d =.故选:D. 11.D 【分析】利用等差中项法可知,数列{}3n a 为等差数列,根据11a =,22a =可求得数列{}3n a 的公差,可求得310a 的值,进而可求得10a 的值. 【详解】对*n N ∀∈都有333122n n n a a a ++=+,由等差中项法可知,数列{}3n a 为等差数列,由于11a =,22a =,则数列{}3n a 的公差为33217d a a =-=,所以,33101919764a a d =+=+⨯=,因此,104a .故选:D. 12.A 【分析】根据条件列方程组,求首项和公差,再根据107891093S S a a a a -=++=,代入求值. 【详解】由条件可知114832362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得:102a d =⎧⎨=⎩, ()10789109133848S S a a a a a d -=++==+=.故选:A 13.B 【分析】直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式,进一步利用分组法求出数列的和 【详解】解:当n 为奇数时,2n n a a +=, 当n 为偶数时,22n n a a +-=, 所以13291a a a ==⋅⋅⋅==,2430,,,a a a ⋅⋅⋅是以2为首项,2为公差的等差数列,所以30132924301514()()1515222552S a a a a a a ⨯=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+⨯+⨯=, 故选:B 14.B 【分析】先求得21n a n =-,根据n a m ≥,求得12m n +≥,进而得到21212k k b --=,结合等差数列的求和公式,即可求解. 【详解】由题意,等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2n S n =,可得21n a n =-,因为n a m ≥,即21n m -≥,解得12m n +≥, 当21m k =-,(*k N ∈)时,1m m b k m +=,即()()11212m m m mk m b m m +===++,即21212k k b --=, 从而()13519113519502b b b b ++++=++++=.故选:B. 15.B 【分析】根据题意可知正整数能被21整除余2,即可写出通项,求出答案. 【详解】根据题意可知正整数能被21整除余2,21+2n a n ∴=, 5215+2107a ∴=⨯=.故选:B. 16.C 【分析】根据已知条件得到关于首项1a 和公差d 的方程组,求解出1,a d 的值,再根据等差数列前n 项和的计算公式求解出5S 的值. 【详解】因为134222a a a a +=⎧⎨-=⎩,所以122222a d d +=⎧⎨=⎩,所以101a d =⎧⎨=⎩,所以5154550101102S a d ⨯=+=⨯+⨯=, 故选:C. 17.D 【分析】利用等差数列的性质直接求解. 【详解】 因为131,5a a ==,315529a a a a =+∴=,故选:D . 18.D 【分析】先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=,再由累加法计算出2122n n n a -+=,进而求出n a .【详解】 解:11nn na a na +=+, ()11n n n a na a ++=∴,化简得:11n n n n a a a a n ++=+, 两边同时除以1n n a a +并整理得:111n nn a a +-=, 即21111a a -=,32112a a -=,43113a a -=,…,1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈, 将上述1n -个式子相加得:213243111111+a a a a a a --+-+ (111)123n n a a -+-=+++…1n +-, 即111(1)2n n n a a --=, 2111(1)(1)2=1(2,)222n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈, 又111a =也满足上式, 212()2n n n n z a -+∴=∈, 22()2n a n z n n ∴=∈-+.故选:D. 【点睛】 易错点点睛:利用累加法求数列通项时,如果出现1n -,要注意检验首项是否符合. 19.B 【分析】根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解. 【详解】 由121()2n n a a n N *++=∈,则11()2n n a a n N *+=+∈, 即112n n a a +-=, 所以数列{}n a 是以1为首项,12为公差的等差数列, 所以()()11111122n n a a n d n +=+-=+-⨯=, 所以2021a =2021110112+=. 故选:B 20.A【分析】根据数列{}n a 是等差数列,且1109a a a +=,求出首项和公差的关系,代入式子求解. 【详解】因为1109a a a +=, 所以11298a d a d +=+, 即1a d =-,所以()11295101019927278849a a a a a d a a d d a d ++⋅⋅⋅+====++. 故选:A二、多选题21.BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义,结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ,若{}n a 是等差数列,如n a n =,则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数,故{}na 不是等方差数列,故A 错误;对于B ,数列(){}1n-中,222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数,{(1)}n ∴-是等方差数列,故B 正确; 对于C ,数列{}2n中,()()22221112234nn n n n a a ----=-=⨯不是常数,{}2n∴不是等方差数列,故C 错误; 对于D ,{}n a 是等差数列,1n n a a d -∴-=,则设n a dn m =+,{}n a 是等方差数列,()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数,故220d =,故0d =,所以(2)0m d d +=,2210n n a a --=是常数,故D 正确.故选:BD. 【点睛】关键点睛:本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义,解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义,利用定义进行判断.22.无23.BC 【分析】根据递推公式,得到11n n nn n a a a +-=-,令1n =,得到121a a =,可判断A 错,B 正确;根据求和公式,得到1n n n S a +=,求出201920202019S a =,可得C 正确,D 错. 【详解】 由121n n n a n a a n +=+-可知2111n n n n na n n n a a a a ++--==+,即11n n n n n a a a +-=-, 当1n =时,则121a a =,即得到121a a =,故选项B 正确;1a 无法计算,故A 错; 1221321111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以1n n S a n +=,则201920202019S a =,故选项C 正确,选项D 错误.故选:BC.【点睛】方法点睛:由递推公式求通项公式的常用方法:(1)累加法,形如()1n n a a f n +=+的数列,求通项时,常用累加法求解; (2)累乘法,形如()1n na f n a +=的数列,求通项时,常用累乘法求解; (3)构造法,形如1n n a pa q +=+(0p ≠且1p ≠,0q ≠,n ∈+N )的数列,求通项时,常需要构造成等比数列求解;(4)已知n a 与n S 的关系求通项时,一般可根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解. 24.ABC【分析】利用数列{}n a 满足的递推关系及135a =,依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ,能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列,得项的所有可能值,判断选项即得结果.【详解】数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩,135a =,依次取1,2,3,4,...n =代入计算得, 211215a a =-=,32225a a ==,43425a a ==,5413215a a a =-==,因此继续下去会循环,数列{}n a 是周期为4的周期数列,所有可能取值为:1234,,,5555. 故选:ABC.本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列,属于基础题.25.ACD【分析】由题可得16a d =-,0d <,21322n d d S n n =-,求出80a d =<可判断A ;利用二次函数的性质可判断B ;求出49,S S 可判断C ;令213022n d d S n n =->,解出即可判断D. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则()5111122+4++100a a a d a d +==,解得16a d =-, 10a >,0d ∴<,且()21113+222n n n d d S na d n n -==-, 对于A ,81+7670a a d d d d ==-+=<,故A 正确;对于B ,21322n d d S n n =-的对称轴为132n =,开口向下,故6n =或7时,n S 取得最大值,故B 错误; 对于C ,4131648261822d d S d d d =⨯-⨯=-=-,9138191822d d S d =⨯-⨯=-,故49S S =,故C 正确;对于D ,令213022n d d S n n =->,解得013n <<,故n 的最大值为12,故D 正确. 故选:ACD.【点睛】方法点睛:由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数,当1a 与d 异号时,n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值;当1a 与d 同号时,n S 在1n =取最值.26.ABD【分析】由10n n a a d +-=<可判断AB ,再由a 1>0,d <0,可知等差数列数列{}n a 先正后负,可判断CD.【详解】根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<,所以数列{}n a 单调递减,A 正确; 由数列{}n a 单调递减,可知数列{}n a 有最大值a 1,故B 正确;由a 1>0,d <0,可知等差数列数列{}n a 先正后负,所以数列{}n S 先增再减,有最大值,C 不正确,D 正确.27.AB【分析】根据等差数列的性质及717S S =可分析出结果.【详解】因为等差数列中717S S =,所以89161712135()0a a a a a a ++++=+=, 又10a >,所以12130,0a a ><,所以0d <,12n S S ≤,故AB 正确,C 错误; 因为125251325()2502a a S a +==<,故D 错误, 故选:AB【点睛】关键点睛:本题突破口在于由717S S =得到12130a a +=,结合10a >,进而得到12130,0a a ><,考查学生逻辑推理能力.28.ABD【分析】由等差数列的性质直接判断AD 选项,根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项.【详解】A.因为数列{}n a 是等差数列,所以1n n a a d +-=,即1n n a a d +=+,所以A 正确;B. 因为数列{}n a 是等差数列,所以1n n a a d +-=,那么()()()11n n n n a a a a d ++---=--=-,所以数列{}n a -是等差数列,故B 正确; C.111111n n n n n n n n a a d a a a a a a ++++---==,不是常数,所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是等差数列,故C 不正确;D.根据等差数列的性质可知122n n n a a a ++=+,所以1n a +是n a 与2n a +的等差中项,故D 正确.故选:ABD【点睛】本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列,属于基础题型.29.AD【分析】由已知得到780,0a a ><,进而得到0d <,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为160a d +=,可知不一定成立,从而判定C 错误.由已知得:780,0a a ><,结合等差数列的性质可知,0d <,该等差数列是单调递减的数列, ∴A 正确,B 错误,D 正确,310S S =,等价于1030S S -=,即45100a a a ++⋯+=,等价于4100a a +=,即160a d +=, 这在已知条件中是没有的,故C 错误.故选:AD.【点睛】本题考查等差数列的性质和前n 项和,属基础题,关键在于掌握和与项的关系. 30.BD【分析】由1718S S =得180a =,利用17180a a d d =-=-≠可知A 不正确;;根据351835S a =可知 B 正确;根据171920a a d -=-≠可知C 不正确;根据19161830S S a -==可知D 正确.【详解】因为1718S S =,所以18170S S -=,所以180a =,因为公差0d ≠,所以17180a a d d =-=-≠,故A 不正确;135********()35235022a a a S a +⨯====,故B 正确; 171920a a d -=-≠,故C 不正确;19161718191830S S a a a a -=++==,故D 正确.故选:BD.【点睛】本题考查了等差数列的求和公式,考查了等差数列的下标性质,属于基础题.。
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2019年高中数学单元测试试题 数列专题(含答案)学校:__________ 姓名:__________ 班级:__________ 考号:__________第I 卷(选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1.等差数列{}n a 的前三项为1,1,23x x x -++,则这个数列的通项公式为_______ 2.已知等差数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,2a+3,则此数列的第n 项an 等于 A.2n-5 B.2n-3 C.2n-1D.2n+13.某大楼有20层,有19人在第一层上了电梯,他们分别要去第2层到20层,每层一人,而电梯只允许停一次,可只使一人满意,其余18人都要上楼或下楼。
假设乘客每向下走一层不满意度为1,每向上走一层不满意度为2。
所有人不满意之和为S ,为使S 最小,电梯应停在第( )层。
A,15 B,14 C,13 D,12第II 卷(非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题4. 已知数列{}n a ,{}n b 满足11a =,22a =,12b =,且对任意的正整数,,,i j k l ,当i j k l +=+时,都有i j k l a b a b +=+,则201011()2010i i i a b =+∑的值是 ▲ .5.1、各校(园):请各单位对照本单位实际,按马校长的要求做好校园安全工作。
马校长强调:近期安全要关注之处1、学生上下学安全,和家长定接送安全责任状,上学的时候有人值班校干带班。
2、校内各个区域的安全值班,重要的是有人带班和检查一下值班情况。
3、食堂食品和学生饮用水情况。
4、传达室的物品摆放情况和值班情况,不可以让人员随意进出学校。
5、进行特异体质学生调查,统计,跟踪分析一下。
6、对学生的安全教育情况,7、带领全体职工学习安全职责。
8、学校的线路情况如何。
9、楼梯口的安全值班情况。
10、保安的管理情况,不可以有超过七十岁的安保人员。
《数列》单元测试题(含答案解析)

《数列》单元练习试题一、选择题1.已知数列}{n a 的通项公式432--=n n a n (∈n N *),则4a 等于( )(A )1 (B )2 (C )3 (D )02.一个等差数列的第5项等于10,前3项的和等于3,那么( )(A )它的首项是2-,公差是3 (B )它的首项是2,公差是3- (C )它的首项是3-,公差是2 (D )它的首项是3,公差是2- 3.设等比数列}{n a 的公比2=q ,前n 项和为n S ,则=24a S ( ) (A )2 (B )4 (C )215 (D )2174.设数列{}n a 是等差数列,且62-=a ,68=a ,n S 是数列{}n a 的前n 项和,则( )(A )54S S < (B )54S S = (C )56S S < (D )56S S = 5.已知数列}{n a 满足01=a ,1331+-=+n n n a a a (∈n N *),则=20a ( )(A )0 (B )3- (C )3 (D )236.等差数列{}n a 的前m 项和为30,前m 2项和为100,则它的前m 3项和为( )(A )130 (B )170 (C )210 (D )2607.已知1a ,2a ,…,8a 为各项都大于零的等比数列,公比1≠q ,则( )(A )5481a a a a +>+ (B )5481a a a a +<+(C )5481a a a a +=+ (D )81a a +和54a a +的大小关系不能由已知条件确定 8.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有( )(A )13项 (B )12项 (C )11项 (D )10项9.设}{n a 是由正数组成的等比数列,公比2=q ,且30303212=⋅⋅⋅⋅a a a a ,那么30963a a a a ⋅⋅⋅⋅ 等于( )(A )210(B )220(C )216(D )21510.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,比如:他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )二、填空题11.已知等差数列}{n a 的公差0≠d ,且1a ,3a ,9a 成等比数列,则1042931a a a a a a ++++的值是.12.等比数列}{n a 的公比0>q .已知12=a ,n n n a a a 612=+++,则}{n a 的前4项和=4S . 13.在通常情况下,从地面到10km 高空,高度每增加1km ,气温就下降某一固定值.如果1km 高度的气温是8.5℃,5km 高度的气温是-17.5℃,那么3km 高度的气温是℃. 14.设21=a ,121+=+n n a a ,21n n n a b a +=-,∈n N *,则数列}{n b 的通项公式=n b . 15.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,则4S ,48S S -,812S S -,1216S S -成等差数列.类比以上结论有:设等比数列}{n b 的前n 项积为n T ,则4T ,,,1216T T 成等比数列. 三、解答题16.已知}{n a 是一个等差数列,且12=a ,55-=a .(Ⅰ)求}{n a 的通项n a ;(Ⅱ)求}{n a 的前n 项和n S 的最大值.17.等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,已知1S ,3S ,2S 成等差数列.(Ⅰ)求}{n a 的公比q ; (Ⅱ)若331=-a a ,求n S .18.甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动.甲第1分钟走2m ,以后每分钟比前1分钟多走1m ,乙每分钟走5m .(Ⅰ)甲、乙开始运动后几分钟相遇?(Ⅱ)如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前1分钟多走1m ,乙继续每分钟走5m ,那么开始运动几分钟后第二次相遇?19.设数列}{n a 满足333313221n a a a a n n =++++- ,∈n N *. (Ⅰ)求数列}{n a 的通项;(Ⅱ)设nn a nb =,求数列}{n b 的前n 项和n S .20.设数列}{n a 的前n 项和为n S ,已知11=a ,241+=+n n a S .(Ⅰ)设n n n a a b 21-=+,证明数列}{n b 是等比数列; (Ⅱ)求数列}{n a 的通项公式.21.已知数列{}n a 中,12a =,23a =,其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+(2n ≥,*n ∈N ).(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设n an n n b 2)1(41⋅-+=-λ(λ为非零整数,*n ∈N ),试确定λ的值,使得对任意*n ∈N ,都有n n b b >+1成立.数列测试题一、选择题(每小题5分,共60分)1.等差数列{a n }中,若a 2+a 8=16,a 4=6,则公差d 的值是( )A .1B .2C .-1D .-22.在等比数列{a n }中,已知a 3=2,a 15=8,则a 9等于( )A .±4B .4C .-4D .163.数列{a n }中,对所有的正整数n 都有a 1·a 2·a 3…a n =n 2,则a 3+a 5=( )A.6116B.259C.2519D.31154.已知-9,a 1,a 2,-1四个实数成等差数列,-9,b 1,b 2,b 3,-1五个实数成等比数列,则b 2(a 2-a 1)=( )A .8B .-8C .±8D.985.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2+a 7+a 12=30,则S 13的值是( )A .130B .65C .70D .756.设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1=-11,a 4+a 6=-6,则当S n 取最小值时,n 等于( )A .6B .7C .8D .97.已知{a n }为等差数列,其公差为-2,且a 7是a 3与a 9的等比中项,S n 为{a n }的前n 项和,n ∈N +,则S 10的值为( )8.等比数列{a n }是递减数列,前n 项的积为T n ,若T 13=4T 9,则a 8a 15=( )A .±2B .±4 C.2D .49.首项为-24的等差数列,从第10项开始为正数,则公差d 的取值围是( ) A .d >83 B .d <3C.83≤d <3D.83<d ≤3 10.等比数列{}n a 中,首项为1a ,公比为 q ,则下列条件中,使{}n a 一定为递减数列的条件是( ) A .1q < B 、10,1a q >< C 、10,01a q ><<或10,1a q <> D 、1q >11. 已知等差数列{}n a 共有21n +项,所有奇数项之和为130,所有偶数项之和为120,则n 等于( )A.9B.10C.11D.12 12.设函数f (x )满足f (n +1)=2)(2nn f + (n ∈N +),且f (1)=2,则f (20)为( ) A .95B .97C .105D .192二、填空题(每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知等差数列{a n }满足:a 1=2,a 3=6.若将a 1,a 4,a 5都加上同一个数,所得的三个数依次成等比数列,则所加的这个数为________. 14.已知数列{a n } 中,a 1=1且31111+=+n n a a (n ∈ N +),则a 10= 15.在数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,且满足)2)(1(31≥-=+-n n a a n n ,则数列{a n }的通项公式为=n a 16.已知数列满足:a 1=1,a n +1=a na n +2,(n ∈N *),若b n +1=(n -λ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n +1,b 1=-λ,且数列{b n }是单调递增数列,则实数λ的取值围为三、解答题(本大题共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)在数列{a n }中,a 1=8,a 4=2,且满足a n +2-2a n +1+a n =0(n ∈N +). (1)求数列{a n }的通项公式;(2)求数列{a n }的前20项和为S 20.18.(12分)已知数列}{n a 前n 项和n n S n 272-=,(1)求|}{|n a 的前11项和11T ;(2) 求|}{|n a 的前22项和22T ;19.(12分)已知数列}{n a 各项均为正数,前n 项和为S n ,且满足2S n =2n a + n -4(n ∈N +). (1)求证:数列}{n a 为等差数列;(2)求数列}{n a 的前n 项和S n .20.(12分)数列{}n a 的前n 项和记为n S ,()111,211n n a a S n +==+≥. (1)求{}n a 的通项公式;(2)等差数列{}n b 的各项为正,其前n 项和为n T ,且315T =,又112233,,a b a b a b +++成等比数列,求n T .21.(12分)已知数列{a n },{b n }满足a 1=2,2a n =1+a n a n +1,b n =a n -1(b n ≠0). (1)求证数列{1b n}是等差数列;(2)令11+=n n a c ,求数列{n c }的通项公式.22.(12分)在等差数列{}n a 中,已知公差2d =,2a 是1a 与4a 的等比中项. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设(1)2n n n b a +=,记1234(1)nn n T b b b b b =-+-+-+-…,求n T .《数列》单元测试题 参考答案 一、选择题1.D 2.A 3.C 4.B5.B 6.C 7.A 8.A 9.B 10.C 二、填空题11.1613 12.21513.-4.5 14.12+n 15.48T T ,812T T 三、解答题16.(Ⅰ)设}{n a 的公差为d ,则⎩⎨⎧-=+=+.54,111d a d a 解得⎩⎨⎧-==.2,31d a ∴52)2()1(3+-=-⨯-+=n n a n .(Ⅱ)4)2(4)2(2)1(322+--=+-=-⨯-+=n n n n n n S n .∴当2=n 时,n S 取得最大值4.17.(Ⅰ)依题意,有3212S S S =+,∴)(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++,由于01≠a ,故022=+q q ,又0≠q ,从而21-=q . (Ⅱ)由已知,得3)21(211=--a a ,故41=a ,从而])21(1[38)21(1])21(1[4n n n S --=----⨯=.18.(Ⅰ)设n 分钟后第1次相遇,依题意,有7052)1(2=+-+n n n n , 整理,得0140132=-+n n ,解得7=n ,20-=n (舍去). 第1次相遇是在开始运动后7分钟. (Ⅱ)设n 分钟后第2次相遇,依题意,有70352)1(2⨯=+-+n n n n , 整理,得0420132=-+n n ,解得15=n ,28-=n (舍去). 第2次相遇是在开始运动后15分钟.19.(Ⅰ)∵333313221na a a a n n =++++- ,① ∴当2≥n 时,31333123221-=++++--n a a a a n n . ② 由①-②,得3131=-n n a ,n n a 31=.在①中,令1=n ,得311=a .∴n n a 31=,∈n N *. (Ⅱ)∵nn a n b =,∴n n n b 3⋅=,∴nn n S 33332332⋅++⨯+⨯+= ,③ ∴14323333233+⋅++⨯+⨯+=n n n S . ④即31)31(3321---⋅=+n n n n S ,∴4343)12(1+-=+n n n S . 20.(Ⅰ)由11=a ,241+=+n n a S ,有24121+=+a a a ,∴52312=+=a a ,∴32121=-=a a b .∵241+=+n n a S ,①∴241+=-n n a S (2≥n ), ②由①-②,得1144-+-=n n n a a a ,∴)2(2211-+-=-n n n n a a a a ,∵n n n a a b 21-=+,∴12-=n n b b ,∴数列}{n b 是首项为3,公比为2的等比数列.(Ⅱ)由(Ⅰ),得11232-+⋅=-=n n n n a a b ,∴432211=-++n n n n a a , ∴数列}2{nn a 是首项为21,公差为43的等差数列, ∴414343)1(212-=⨯-+=n n a nn ,∴22)13(-⋅-=n n n a . 21.(Ⅰ)由已知,得()()111n n n n S S S S +----=(2n ≥,*n ∈N ),即11n n a a +-=(2n ≥,*n ∈N ),且211a a -=,∴数列{}n a 是以12a =为首项,1为公差的等差数列,∴1n a n =+.(Ⅱ)∵1n a n =+,∴114(1)2n n n n b λ-+=+-⋅,要使n n b b >+1恒成立,∴()()112114412120n n n n n n n n b b λλ-++++-=-+-⋅--⋅>恒成立, ∴()11343120n nn λ-+⋅-⋅->恒成立,∴()1112n n λ---<恒成立.(ⅰ)当n 为奇数时,即12n λ-<恒成立,当且仅当1n =时,12n -有最小值为1,∴1λ<.(ⅱ)当n 为偶数时,即12n λ->-恒成立,当且仅当2n =时,12n --有最大值2-,∴2λ>-.∴21λ-<<,又λ为非零整数,则1λ=-.综上所述,存在1λ=-,使得对任意*n ∈N ,都有1n n b b +>.数列试题答案1---12:BBAB AAD C DCDB13---16:-11,41,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=)(223)(213为偶数为奇数n n n n a n ,λ<2 17.解:(1)∵数列{a n }满足a n +2-2a n +1+a n =0,∴数列{a n }为等差数列,设公差为d .∴a 4=a 1+3d ,d 2-8=-2.∴a =a +(n -1)d =8-2(n -1)=10-2n .(2) S =)9(n n -得S = -22018.解:n n S n 272-=282-=∴n a n ∴当14<n 时,0<n a 14≥n 时0≥n a(1)||||||112111a a a T +++= 176)(11111=-=++-=S a a (2)|)||(|)||||(|2214132122a a a a a T ++++++=2215141321)(a a a a a a +++++++-= 132213S S S -+-=25421322=-=S S19.(1)证明:当n=1时,有2a 1=+1-4,即-2a 1-3=0,解得a 1=3(a 1=-1舍去). 当n ≥2时,有2S n-1=+n-5,又2S n =+n-4,两式相减得2a n =-+1,即-2a n +1=,也即(a n -1)2=,因此a n -1=a n-1或a n -1=-a n-1.若a n -1=-a n-1,则a n +a n-1=1.而a 1=3,所以a 2=-2,这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾, 所以a n -1=a n-1,即a n -a n-1=1,因此数列{a n }为等差数列.(2)解:由(1)知a 1=3,d=1,所以数列{a n }的通项公式a n =3+(n-1)×1=n+2,即a n =n+2.得252nn S n +=21.(1)证明:∵b n =a n -1,∴a n =b n +1.又∵2a n =1+a n a n +1,∴2(b n +1)=1+(b n +1)(b n +1+1).化简得:b n -b n +1=b n b n +1.∵b n ≠0,∴b n b n b n +1-b n +1b n b n +1=1.即1b n +1-1b n=1(n ∈N +). 又1b 1=1a 1-1=12-1=1,∴{1b n }是以1为首项,1为公差的等差数列. (2)∴1b n =1+(n -1)×1=n .∴b n =1n .∴a n =1n +1=n +1n.∴1211+=+=n na c n n。
中职数列单元测试题及答案

中职数列单元测试题及答案一、选择题(每题2分,共10分)1. 等差数列的通项公式是:A. \( a_n = a_1 + (n-1)d \)B. \( a_n = a_1 + nd \)C. \( a_n = a_1 + (n-1) \times 2d \)D. \( a_n = a_1 + n \times 2d \)2. 等比数列的前n项和公式是:A. \( S_n = a_1 \times \frac{1 - r^n}{1 - r} \)B. \( S_n = a_1 \times \frac{1 - r^n}{r - 1} \)C. \( S_n = a_1 \times \frac{1 - r^n}{1 + r} \)D. \( S_n = a_1 \times \frac{1 - r^n}{r + 1} \)3. 已知等差数列的第3项为6,第5项为10,求第1项a1和公差d:A. \( a_1 = 2, d = 2 \)B. \( a_1 = 4, d = 1 \)C. \( a_1 = 2, d = 1 \)D. \( a_1 = 4, d = 2 \)4. 等比数列中,若第3项为8,第5项为32,则该数列的公比r为:A. 2B. 4C. 8D. 165. 一个数列的前5项分别为1, 3, 6, 10, 15,这个数列是:A. 等差数列B. 等比数列C. 既不是等差数列也不是等比数列D. 无法确定答案:1-5 A B A B C二、填空题(每题2分,共10分)6. 等差数列中,若第4项为-1,第7项为6,则第10项为________。
7. 等比数列中,若首项为2,公比为3,第5项为__________。
8. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1,求第6项a6的值为________。
9. 等差数列的前n项和公式为Sn = n(a1 + an)/2,若S5 = 40,a1 = 4,求第5项a5的值为________。
等差数列练习题(有答案)

一、等差数列选择题1.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足:21<<m m m S S S ++,若0n S >,则n 的最大值为( ) A .2mB .21m +C .22m +D .23m +2.等差数列{}n a 中,22a =,公差2d =,则10S =( ) A .200B .100C .90D .803.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差1d =,且6210S S ,则34a a +=( )A .2B .3C .4D .54.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则下列判断错误的是( ) A .S 5,S 10-S 5,S 15-S 10必成等差数列 B .S 2,S 4-S 2,S 6-S 4必成等差数列 C .S 5,S 10,S 15+S 10有可能是等差数列D .S 2,S 4+S 2,S 6+S 4必成等差数列5.等差数列{}n a 中,12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列的前20项和等于( ) A .160B .180C .200D .2206.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,10a <且11101921a a =,则当n S 取最小值时,n 的值为( ) A .21B .20C .19D .19或207.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若12a =,315S =,则8a =( ) A .11B .12C .23D .248.设a ,0b ≠,数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n nn S a b n =---⨯+,*n N ∈,则存在数列{}n b 和{}n c 使得( )A .n n n a b c =+,其中{}n b 和{}n c 都为等比数列B .n n n a b c =+,其中{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列C .·n n n a b c =,其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D .·n n n a b c =,其中{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列 9.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=,数列{}n b 是等比数列,且77b a =,则3810b b b =( )A .1B .8C .4D .210.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若936S S =,则612SS =( ) A .177B .83 C .143D .10311.已知等差数列{}n a ,且()()35710133248a a a a a ++++=,则数列{}n a 的前13项之和为( ) A .24B .39C .104D .5212.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且71124a a -=,则5S =( ) A .15B .20C .25D .3013.冬春季节是流感多发期,某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{}n a ,已知11a =,22a=,且满足()211+-=+-nn n a a (n *∈N ),则该医院30天入院治疗流感的共有( )人A .225B .255C .365D .46514.在等差数列{}n a 中,()()3589133224a a a a a ++++=,则此数列前13项的和是( ) A .13 B .26 C .52 D .56 15.若等差数列{a n }满足a 2=20,a 5=8,则a 1=( )A .24B .23C .17D .1616.在数列{}n a 中,11a =,且11nn na a na +=+,则其通项公式为n a =( ) A .211n n -+ B .212n n -+C .221n n -+D .222n n -+17.已知数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n N =∈,则{}na 的通项公式为( )A .2n a n =B .21n a n =-C .32n a n =-D .1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩18.在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列,则这五个数为( ) A .3、8、13、18、23 B .4、8、12、16、20 C .5、9、13、17、21D .6、10、14、18、2219.在等差数列{}n a 中,520164a a +=,S ,是数列{}n a 的前n 项和,则S 2020=( ) A .2019B .4040C .2020D .403820.已知等差数列{}n a 中,5470,0a a a >+<,则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为( ) A .4SB .5SC . 6SD . 7S二、多选题21.题目文件丢失!22.设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并且满足条件11a >,667711,01a a a a -><-,则下列结论正确的是( )A .01q <<B .681a a >C .n S 的最大值为7SD .n T 的最大值为6T23.已知数列{}n a 满足112a =-,111n n a a +=-,则下列各数是{}n a 的项的有( )A .2-B .23C .32D .324.已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,57S S =,则( ) A .60a > B .6S 最大 C .130S >D .110S >25.设{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项的和,且56S S <,678S S S =>,则下列结论正确的是( ) A .0d > B .70a =C .95S S >D .6S 与7S 均为n S 的最大值26.等差数列{}n a 的首项10a >,设其前n 项和为{}n S ,且611S S =,则( ) A .0d > B .0d <C .80a =D .n S 的最大值是8S 或者9S27.(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若10a >,公差0d ≠,则下列命题正确的是( )A .若59S S =,则必有14S =0B .若59S S =,则必有7S 是n S 中最大的项C .若67S S >,则必有78S S >D .若67S S >,则必有56S S >28.首项为正数,公差不为0的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,现有下列4个命题中正确的有( )A .若100S =,则280S S +=;B .若412S S =,则使0n S >的最大的n 为15C .若150S >,160S <,则{}n S 中8S 最大D .若78S S <,则89S S <29.在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是( )A .n a kn b =+(k ,b 为常数,*n N ∈);B .2n n a a d +-=(d 为常数,*n N ∈);C .()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ;D .{}n a 的前n 项和21n S n n =++(*n N ∈).30.已知{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,且13623a a S +=,则以下结论正确的是( ). A .10a =0B .10S 最小C .712S S =D .190S =【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.C 【分析】首先根据数列的通项n a 与n S 的关系,得到10m a +>,2<0m a +,12+>0m m a a ++,再根据选项,代入前n 项和公式,计算结果. 【详解】由21<<m m m S S S ++得,10m a +>,2<0m a +,12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++==+,()()()1232322323<02m m m m a a S m a +++++==+, ()()()()1222212211>02m m m m m a a S m a a ++++++==++.故选:C.【点睛】关键点睛:本题的第一个关键是根据公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩,判断数列的项的正负,第二个关键能利用等差数列的性质和公式,将判断和的正负转化为项的正负. 2.C 【分析】先求得1a ,然后求得10S . 【详解】依题意120a a d =-=,所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选:C 3.B 【分析】根据等差数列的性质,由题中条件,可直接得出结果.【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,公差1d =,6210S S ,所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=, 解得343a a +=. 故选:B. 4.D 【分析】根据等差数列的性质,可判定A 、B 正确;当首项与公差均为0时,可判定C 正确;当首项为1与公差1时,可判定D 错误. 【详解】由题意,数列{}n a 为等差数列,n S 为前n 项和,根据等差数列的性质,可得而51051510,,S S S S S --,和24264,,S S S S S --构成等差数列,所以,所以A ,B 正确;当首项与公差均为0时,5101510,,S S S S +是等差数列,所以C 正确;当首项为1与公差1时,此时2426102,31,86S S S S S =+=+=,此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列,所以D 错误. 故选:D. 5.B 【分析】把已知的两式相加得到12018a a +=,再求20S 得解. 【详解】由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=, 所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020()10181802S a a =+=⨯=. 故选:B 6.B 【分析】 由题得出1392a d =-,则2202n dS n dn =-,利用二次函数的性质即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d , 由11101921a a =得11102119a a =,则()()112110199a d a d +=+, 解得1392a d =-,10a <,0d ∴>,()211+2022n n n dS na d n dn -∴==-,对称轴为20n =,开口向上, ∴当20n =时,n S 最小.故选:B. 【点睛】方法点睛:求等差数列前n 项和最值,由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数,当1a 与d 异号时,n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值;当1a 与d 同号时,n S 在1n =取最值. 7.C 【分析】由题设求得等差数列{}n a 的公差d ,即可求得结果. 【详解】32153S a ==,25a ∴=, 12a =,∴公差213d a a =-=, 81727323a a d ∴=+=+⨯=,故选:C. 8.D 【分析】由题设求出数列{}n a 的通项公式,再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征,逐项判断,即可得出正确选项. 【详解】 解:(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---⨯+=+-⋅-+,∴当1n =时,有110S a a ==≠;当2n ≥时,有11()2n n n n a S S a bn b --=-=-+⋅, 又当1n =时,01()2a a b b a =-+⋅=也适合上式,1()2n n a a bn b -∴=-+⋅,令n b a b bn =+-,12n n c -=,则数列{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列,故n n n a b c =,其中数列{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列;故C 错,D 正确;因为11()22n n n a a b bn --+=-⋅⋅,0b ≠,所以{}12n bn -⋅即不是等差数列,也不是等比数列,故AB 错. 故选:D. 【点睛】 方法点睛:由数列前n 项和求通项公式时,一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解,考查学生的计算能力. 9.B 【分析】根据等差数列的性质,由题中条件,求出72a =,再由等比数列的性质,即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=,所以27720a a -=,解得72a =或70a =(舍);又数列{}n b 是等比数列,且772b a ==,所以33810371178b b b b b b b ===.故选:B. 10.D 【分析】由等差数列前n 项和性质得3S ,63S S -,96S S -,129S S -构成等差数列,结合已知条件得633S S =和31210S S =计算得结果. 【详解】已知等差数列{}n a 的前项和为n S ,∴3S ,63S S -,96S S -,129S S -构成等差数列,所以()()633962S S S S S ⋅-=+-,且936S S =,化简解得633S S =.又()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-,∴31210S S =,从而126103S S =. 故选:D 【点睛】 思路点睛:(1)利用等差数列前n 项和性质得3S ,63S S -,96S S -,129S S -构成等差数列,(2)()()633962S S S S S ⋅-=+-,且936S S =,化简解得633S S =, (3)()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-,化简解得31210S S =. 11.D 【分析】根据等差数列的性质计算求解. 【详解】由题意()()357101341041073232236()1248a a a a a a a a a a ++++=⨯+⨯=+==,74a =,∴11313713()13134522a a S a +===⨯=. 故选:D . 12.B 【分析】设出数列{}n a 的公差,利用等差数列的通项公式及已知条件,得到124a d +=,然后代入求和公式即可求解 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则由已知可得()()111261024a d a d a d +-+=+=, 所以()5115455254202S a d a d ⨯=+=+=⨯= 故选:B 13.B 【分析】直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式,进一步利用分组法求出数列的和 【详解】解:当n 为奇数时,2n n a a +=, 当n 为偶数时,22n n a a +-=, 所以13291a a a ==⋅⋅⋅==,2430,,,a a a ⋅⋅⋅是以2为首项,2为公差的等差数列,所以30132924301514()()1515222552S a a a a a a ⨯=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+⨯+⨯=, 故选:B 14.B 【分析】利用等差数列的下标性质,结合等差数列的求和公式即可得结果. 【详解】由等差数列的性质,可得3542a a a +=,891371013103a a a a a a a ++=++=, 因为()()3589133224a a a a a ++++=, 可得410322324a a ⨯+⨯=,即4104a a +=, 故数列的前13项之和()()11341013131313426222a a a a S ++⨯====. 故选:B. 15.A 【分析】 由题意可得5282045252a a d --===---,再由220a =可求出1a 的值【详解】 解:根据题意,5282045252a a d --===---,则1220(4)24a a d =-=--=, 故选:A. 16.D 【分析】先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=,再由累加法计算出2122n n n a -+=,进而求出n a .【详解】 解:11nn na a na +=+, ()11n n n a na a ++=∴,化简得:11n n n n a a a a n ++=+, 两边同时除以1n n a a +并整理得:111n nn a a +-=, 即21111a a -=,32112a a -=,43113a a -=,…,1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈, 将上述1n -个式子相加得:213243111111+a a a a a a --+-+ (111)123n n a a -+-=+++…1n +-, 即111(1)2n n n a a --=, 2111(1)(1)2=1(2,)222n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈, 又111a =也满足上式, 212()2n n n n z a -+∴=∈, 22()2n a n z n n ∴=∈-+. 故选:D. 【点睛】 易错点点睛:利用累加法求数列通项时,如果出现1n -,要注意检验首项是否符合. 17.B 【分析】利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式,然后验证1a 的值是否适合,最后写出n a 的式子即可. 【详解】2n S n =,∴当2n ≥时,221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-,当1n =时,111a S ==,上式也成立,()*21n a n n N ∴=-∈,故选:B. 【点睛】易错点睛:本题考查数列通项公式的求解,涉及到的知识点有数列的项与和的关系,即11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,算出之后一定要判断1n =时对应的式子是否成立,最后求得结果,考查学生的分类思想与运算求解能力,属于基础题. 18.C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差,再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列,则171,25a a ==,则712514716a a d --===-, 则这5个数依次是5,9,13,17,21. 故选:C 19.B 【分析】由等差数列的性质可得52012016024a a a a +==+,则()15202020202016202010102a a a a S +=⨯=⨯+可得答案. 【详解】 等差数列{}n a 中, 52012016024a a a a +==+()12020202052016202010104101040402a a a a S +===⨯=+⨯⨯ 故选:B 20.B 【分析】根据已知条件判断0n a >时对应的n 的范围,由此求得n S 的最大值. 【详解】依题意556475600000a a a a a a a d >⎧>⎧⎪⇒<⎨⎨+=+<⎩⎪<⎩,所以015n a n >⇒≤≤, 所以{}n a 的前n 项和n S 的最大值为5S .二、多选题21.无22.AD【分析】分类讨论67,a a 大于1的情况,得出符合题意的一项.【详解】①671,1a a >>, 与题设67101a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意.③671,1,a a <<与题设67101a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.得671,1,01a a q ><<<,则n T 的最大值为6T .∴B ,C ,错误.故选:AD.【点睛】考查等比数列的性质及概念. 补充:等比数列的通项公式:()1*1n n a a qn N -=∈. 23.BD【分析】根据递推关系式找出规律,可得数列是周期为3的周期数列,从而可求解结论.【详解】 因为数列{}n a 满足112a =-,111n n a a +=-, 212131()2a ∴==--;32131a a ==-; 4131112a a a ==-=-;∴数列{}n a 是周期为3的数列,且前3项为12-,23,3; 故选:BD .【点睛】 本题主要考查数列递推关系式的应用,考查数列的周期性,解题的关键在于求出数列的规律,属于基础题.24.ABD【分析】转化条件为670a a +=,进而可得60a >,70a <,再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解.【详解】因为57S S =,所以750S S -=,即670a a +=,因为数列{}n a 递减,所以67a a >,则60a >,70a <,故A 正确;所以6S 最大,故B 正确;所以()113137131302a a S a +⨯==<,故C 错误; 所以()111116111102a a S a +⨯==>,故D 正确. 故选:ABD.25.BD【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,依次分析选项即可求解.【详解】根据题意,设等差数列{}n a 的公差为d ,依次分析选项:{}n a 是等差数列,若67S S =,则7670S S a -==,故B 正确;又由56S S <得6560S S a -=>,则有760d a a =-<,故A 错误;而C 选项,95S S >,即67890a a a a +++>,可得()7820a a +>,又由70a =且0d <,则80a <,必有780a a +<,显然C 选项是错误的.∵56S S <,678S S S =>,∴6S 与7S 均为n S 的最大值,故D 正确;故选:BD.【点睛】本题考查了等差数列以及前n 项和的性质,需熟记公式,属于基础题.26.BD【分析】由6111160S S S S =⇒-=,即950a =,进而可得答案.【详解】解:1167891011950S S a a a a a a -=++++==,因为10a >所以90a =,0d <,89S S =最大,故选:BD .【点睛】本题考查等差数列的性质,解题关键是等差数列性质的应用,属于中档题.27.ABC【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案.【详解】解:对于A.,若59S S =,则67890a a a a +++=,所以781140a a a a +=+=,所以()114141402a a S +==,故A 选项正确; 对于B 选项,若59S S =,则780+=a a ,由于10a >,公差0d ≠,故0d <,故780,0a a ><,所以7S 是n S 中最大的项;故B 选项正确;C. 若67S S >,则70a <,由于10a >,公差0d ≠,故0d <,故80a <,6a 的符号不定,故必有78S S >,56S S >无法确定;故C 正确,D 错误.故选:ABC .【点睛】本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质,是中档题.28.BC【分析】根据等差数列的性质,以及等差数列的求和公式,逐项判断,即可得答案.【详解】A 选项,若1011091002S a d ⨯=+=,则1290a d +=, 那么()()2811128281029160S S a d a d a d d +=+++=+=-≠.故A 不正确; B 选项,若412S S =,则()5611128940a a a a a a ++++=+=,又因为10a >,所以前8项为正,从第9项开始为负,因为()()116168916802a a S a a +==+=, 所以使0n S >的最大的n 为15.故B 正确;C 选项,若()115158151502a a S a +==>,()()116168916802a a S a a +==+<, 则80a >,90a <,则{}n S 中8S 最大.故C 正确;D 选项,若78S S <,则80a >,而989S S a -=,不能判断9a 正负情况.故D 不正确. 故选:BC .【点睛】本题考查等差数列性质的应用,涉及等差数列的求和公式,属于常考题型.29.AC【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列.【详解】A 选项中n a kn b =+(k ,b 为常数,*n N ∈),数列{}n a 的关系式符合一次函数的形式,所以是等差数列,故正确,B 选项中2n n a a d +-=(d 为常数,*n N ∈),不符合从第二项起,相邻项的差为同一个常数,故错误;C 选项中()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ,对于数列{}n a 符合等差中项的形式,所以是等差数列,故正确;D 选项{}n a 的前n 项和21n S n n =++(*n N ∈),不符合2n S An Bn =+,所以{}n a 不为等差数列.故错误.故选:AC【点睛】本题主要考查了等差数列的定义的应用,如何去判断数列为等差数列,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.30.ACD【分析】由13623a a S +=得100a =,故A 正确;当0d <时,根据二次函数知识可知n S 无最小值,故B 错误;根据等差数列的性质计算可知127S S =,故C 正确;根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可得190S =,故D 正确.【详解】因为13623a a S +=,所以111236615a a d a d ++=+,所以190a d +=,即100a =,故A 正确;当0d <时,1(1)(1)922n n n n n S na d dn d --=+=-+2(19)2d n n =-无最小值,故B 错误;因为127891*********S S a a a a a a -=++++==,所以127S S =,故C 正确; 因为()1191910191902a a S a +⨯===,故D 正确.故选:ACD.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式,考查了等差数列的性质,属于中档题.。
等差数列练习题附答案

等差数列练习题附答案一、选择题1、已知等差数列{an}中,S10=120,那么a1+a10=()A.12B.24C.36D.482、已知等差数列{an},an=2n-19,那么这个数列的前n项和Sn()A.有最小值且是整数B.有最小值且是分数C.有最大值且是整数 D.有最大值且是分数3、已知等差数列{an}的公差d=1/80,a2+a4+⋯+a100=80,那么S100=()A.135B.160C.120D.1954、已知等差数列{an}中,a2+a5+a9+a12=60,那么S13=()A.390B.195C.180D.1205、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和,其差为()A.90B.180C.3606、等差数列{an}的前m项的和为30,前2m项的和为100,则它的前3m项的和为()A.130B.170C.210D.2607、在等差数列{an}中,a2=-6,a8=6,若数列{an}的前n 项和为Sn,则()A.S4<S5B.S4=S5C.S6<S5D.S6=S58、一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,所有项和为390,则这个数列的项数为()A.13B.12C.11D.109、已知某数列前n项之和n,且前n个偶数项的和为n(4n+3),则前n个奇数项的和为()A.-3n(n+1)B.n(4n-3)C.-3nD.2n/310、若一个凸多边形的内角度数成等差数列,最小角为100°,最大角为140°,这个凸多边形的边比为()A.6B.8C.10D.12二、填空题1、等差数列{an}中,若a6=a3+a8,则S9=.2、等差数列{an}中,若Sn=3n+2n,则公差d=.3、在小于100的正整数中,被3除余2的数的和是.4、已知等差数列{an}的公差是正整数,且a3⋅a7=-12,a4+a6=-4,则前10项的和S10=.5、一个等差数列共有10项,其中奇数项的和为项是.6、两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,则XXX=.一、选择题1、已知等差数列{an}中,S10=120,则a1+a10=()A.12B.24C.36D.482、已知等差数列{an},an=2n-19,则这个数列的前n项和Sn()A.有最小值且是整数B.有最小值且是分数C.有最大值且是整数 D.有最大值且是分数3、已知等差数列{an}的公差d=1/80,a2+a4+⋯+a100=80,那么S100=()A.135B.160C.120D.1954、已知等差数列{an}中,a2+a5+a9+a12=60,则S13=()A.390B.195C.180D.1205、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和,其差为()A.90B.180C.3606、等差数列{an}的前m项的和为30,前2m项的和为100,则它的前3m项的和为()A.130B.170C.210D.2607、在等差数列{an}中,a2=-6,a8=6,若数列{an}的前n 项和为Sn,则()A.S4<S5B.S4=S5C.S6<S5D.S6=S58、一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,所有项和为390,则这个数列的项数为()A.13B.12C.11D.109、已知某数列前n项之和n,且前n个偶数项的和为n(4n+3),则前n个奇数项的和为()A.-3n(n+1)B.n(4n-3)C.-3nD.2n/310、若一个凸多边形的内角度数成等差数列,最小角为100°,最大角为140°,这个凸多边形的边比为()A.6B.8C.10D.12二、填空题1、等差数列{an}中,若a6=a3+a8,则S9=.2、等差数列{an}中,若Sn=3n+2n,则公差d=.3、在小于100的正整数中,被3除余2的数的和是.4、已知等差数列{an}的公差是正整数,且a3⋅a7=-12,a4+a6=-4,则前10项的和S10=.5、一个等差数列共有10项,其中奇数项的和为项是.6、两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,则XXX=.1.在等差数列{an}中,已知a4=0.8,a11=2.2,求a51+a52的值。
等差数列练习题及答案详解

等差数列一、选择题1、等差数列{}n a 中,10120S =,那么110a a +=()A.12B.24C.36D.482、已知等差数列{}n a ,219n a n =-,那么这个数列的前n 项和n s ()A.有最小值且是整数B.有最小值且是分数C.有最大值且是整数D.有最大值且是分数3、已知等差数列{}n a 的公差12d =,8010042=+++a a a ,那么=100S A .80 B .120 C .135 D .160.4、已知等差数列{}n a 中,6012952=+++a a a a ,那么=13SA .390B .195C .180D .1205、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和,其差为()A.0B.90C.180D.3606、等差数列{}n a 的前m 项的和为30,前2m 项的和为100,则它的前3m 项的和为()A.130B.170C.210D.2607、在等差数列{}n a 中,62-=a ,68=a ,若数列{}n a 的前n 项和为n S ,则()A.54S S <B.54S S =C.56S S <D.56S S =8、一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,所有项和为390,则这个数列的项数为()A.13B.12C.11D.109、已知某数列前n 项之和3n 为,且前n 个偶数项的和为)34(2+n n ,则前n 个奇数项的和为()A .)1(32+-n nB .)34(2-n nC .23n -D .321n 10若一个凸多边形的内角度数成等差数列,最小角为100°,最大角为140°,这个凸多边形的边比为()A .6B .8C .10D .121、等差数列{}n a 中,若638a a a =+,则9s =.2、等差数列{}n a 中,若232n S n n =+,则公差d =.3、在小于100的正整数中,被3除余2的数的和是.4、已知等差数列{}n a 的公差是正整数,且a 4,126473-=+-=⋅a a a ,则前10项的和S 10=5、一个等差数列共有10项,其中奇数项的和为252,偶数项的和为15,则这个数列的第6项是*6、两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ,若337++=n n T S n n ,则88a b =. 三.解答题1、在等差数列{}n a 中,40.8a =,11 2.2a =,求515280a a a +++.2、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知312a =,12S >0,13S <0,①求公差d 的取值范围;②1212,,,S S S 中哪一个值最大?并说明理由.3、己知}{n a 为等差数列,122,3a a ==,若在每相邻两项之间插入三个数,使它和原数列的数构成一个新的等差数列,求:(1)原数列的第12项是新数列的第几项?(2)新数列的第29项是原数列的第几项?4、设等差数列}{n a 的前n项的和为S n ,且S 4=-62,S 6=-75,求:(1)}{n a 的通项公式a n 及前n项的和S n ;(2)|a 1|+|a 2|+|a 3|+……+|a 14|.5、某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船,第一年各种费用12万元,以后每年都增加4万元,每年捕鱼收益50万元,(Ⅰ)问第几年开始获利?(Ⅱ)若干年后,有两种处理方案:(1)年平均获利最大时,以26万元出售该渔船;(2)总纯收入获利最大时,以8万元出售该渔船.问哪种方案合算.参考答案一、选择题1-5BACBC6-10CBABA二、填空题1、02、63、16504、-105、36、6三.解答题1、n a n 2.0=,393805251=+++a a a .2、①∵121126767713113712()6()002130()1302S a a a a a a a S a a a ⎧=+=+>⎪+>⎧⎪⇔⎨⎨<⎩⎪=+=<⎪⎩,∴111211060212a d a d a d +>⎧⎪+<⎨⎪+=⎩解得,2437d -<<-,②由67700a a a +>⎧⎨<⎩6700a a >⎧⇒⎨<⎩,又∵2437d -<<-∴{}n a 是递减数列, ∴1212,,,S S S 中6S 最大.3、解:设新数列为 即3=2+4d ,∴14d =,∴172(1)44n n b n +=+-⨯= 1(43)7(1)114n n a a n n -+=+-⨯=+=又,∴43n n a b -= 即原数列的第n 项为新数列的第4n -3项. (1)当n=12时,4n -3=4×12-3=45,故原数列的第12项为新数列的第45项;(2)由4n -3=29,得n=8,故新数列的第29项是原数列的第8项。
等差数列测试题(带答案)

等差数列测试题(带答案)1.已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d=2,则a4等于()A.5B.6C.7D.9答案:C2.在数列{an}中,若a1=1,an+1=an+2(n≥1),则该数列的通项公式an=()A.2n+1B.2n-1C.2nD.2(n-1)答案:B3.△ABC三个内角A、B、C成等差数列,则B=__________.解析:∵A、B、C成等差数列,∴2B=A+C.又A+B+C=180°,∴3B=180°,∴B=60°.答案:60°4.在等差数列{an}中,(1)已知a5=-1,a8=2,求a1与d;(2)已知a1+a6=12,a4=7,求a9.解:(1)由题意,知a1+-=-1,a1+-=2.解得a1=-5,d=1.(2)由题意,知a1+a1+-=12,a1+-=7.解得a1=1,d=2.∴a9=a1+(9-1)d=1+8×2=17.一、选择题1.在等差数列{an}中,a1=21,a7=18,则公差d=()A.12B.13C.-12D.-13解析:选C.∵a7=a1+(7-1)d=21+6d=18,∴d=-12.2.在等差数列{an}中,a2=5,a6=17,则a14=()A.45B.41C.39D.37解析:选B.a6=a2+(6-2)d=5+4d=17,解得d=3.所以a14=a2+(14-2)d=5+12×3=41.3.已知数列{an}对任意的n∈N*,点Pn(n,an)都在直线y=2x+1上,则{an}为()A.公差为2的等差数列B.公差为1的等差数列C.公差为-2的等差数列D.非等差数列解析:选A.an=2n+1,∴an+1-an=2,应选A.4.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n 的等差中项是()A.2B.3C.6D.9解析:选B.由题意得m+2n=82m+n=10,∴m+n=6,∴m、n的等差中项为3.5.下面数列中,是等差数列的有()①4,5,6,7,8,…②3,0,-3,0,-6,…③0,0,0,0,…④110,210,310,410,…A.1个B.2个C.3个D.4个解析:选C.利用等差数列的定义验证可知①、③、④是等差数列.6.数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,数列{bn}是首项为-2,公差为4的等差数列.若an=bn,则n的值为()A.4B.5C.6D.7解析:选B.an=2+(n-1)×3=3n-1,bn=-2+(n-1)×4=4n-6,令an=bn得3n-1=4n-6,∴n=5.二、填空题7.已知等差数列{an},an=4n-3,则首项a1为__________,公差d 为__________.解析:由an=4n-3,知a1=4×1-3=1,d=a2-a1=(4×2-3)-1=4,所以等差数列{an}的首项a1=1,公差d=4.答案:148.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则a6=__________.解析:设等差数列的公差为d,首项为a1,则a3=a1+2d=7;a5-a2=3d=6.∴d=2,a1=3.∴a6=a1+5d=13.答案:139.已知数列{an}满足a2n+1=a2n+4,且a1=1,an>0,则an=________.解析:根据已知条件a2n+1=a2n+4,即a2n+1-a2n=4,∴数列{a2n}是公差为4的等差数列,∴a2n=a21+(n-1)•4=4n-3.∵an>0,∴an=4n-3.答案:4n-3三、解答题10.在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,求它的通项公式.解:由an=a1+(n-1)d得10=a1+4d31=a1+11d,解得a1=-2d=3.∴等差数列的通项公式为an=3n-5.11.已知等差数列{an}中,a1<a2<a3<…<an且a3,a6为方程x2-10x+16=0的两个实根.(1)求此数列{an}的通项公式;(2)268是不是此数列中的项?若是,是第多少项?若不是,说明理由.解:(1)由已知条件得a3=2,a6=8.又∵{an}为等差数列,设首项为a1,公差为d,∴a1+2d=2a1+5d=8,解得a1=-2d=2.∴an=-2+(n-1)×2=2n-4(n∈N*).∴数列{an}的通项公式为an=2n-4.(2)令268=2n-4(n∈N*),解得n=136.∴268是此数列的第136项.12.已知(1,1),(3,5)是等差数列{an}图象上的两点.(1)求这个数列的通项公式;(2)画出这个数列的图象;(3)判断这个数列的单调性.解:(1)由于(1,1),(3,5)是等差数列{an}图象上的两点,所以a1=1,a3=5,由于a3=a1+2d=1+2d=5,解得d=2,于是an=2n-1.(2)图象是直线y=2x-1上一些等间隔的点(如图).(3)因为一次函数y=2x-1是增函数,所以数列{an}是递增数列.。
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A.13 项 B.14 项 C.15 项 D.16 项
3.已知等差数列的通项公式为an 3n a, a为常数,则公差 d=( )
4.首项为24 的等差数列从第10 项起开始为正数,则公差d 的取值范围是( )
A. d 8 3
B. d 3
C. 8 d 3 3
D. 8 d 3 3
A.第 22 项 B.第 21 项 C.第 20 项 D.第 19 项 6. 已知数列a,-15,b,c,45 是等差数列,则 a+b+c 的值是( )
4.在等差数列{an}中,若 a4 a6 a8 a10 a12 120 ,则 2a10 a12
.
5.在首项为 31,公差为-4 的等差数列中,与零最接近的项是
6. 如果等差数列 an的第 5 项为 5 ,第 10 项为 5 ,则此数列的第 1个负数项
是第项.
7.已知{an }是等差数列,且 a4 a7 a10 57, a4 a5 a6 a14 77, 若ak 13, 则 k=
2 4 8 16
( 6) 1 1 1 ,,
1 ,
,
1
…….
3 8 15 24 35
2. 成等差数列的四个数的和为 26 ,第二数与第三数之积为 40 ,求这四个数。
3. 已知等差数列{ an }中, a3 a7 16, a4 a6 0, 求{ an }的 通项公式
4. 数列通项公式为 an=n2-5n+4,问(1)数列中有多少项是负数?(2)n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值.
5.
在等差数列a
中,公差 d
n
1 ,前100 项的和 S 2
100
45Βιβλιοθήκη ,则 a1a3a
等差数列练习题(有答案)百度文库

一、等差数列选择题1.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若5620a a +=,11132S =,则{}n a 的公差为( ) A .2B .43C .4D .4-2.为了参加学校的长跑比赛,省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3600米,最后三天共跑了10800米,则这15天小李同学总共跑的路程为( ) A .34000米 B .36000米 C .38000米 D .40000米 3.在等差数列{a n }中,a 3+a 7=4,则必有( ) A .a 5=4 B .a 6=4 C .a 5=2 D .a 6=24.数列{}n a 为等差数列,11a =,34a =,则通项公式是( ) A .32n -B .322n - C .3122n - D .3122n + 5.等差数列{}n a 中,12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列的前20项和等于( ) A .160B .180C .200D .2206.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若12a =,315S =,则8a =( ) A .11B .12C .23D .247.设a ,0b ≠,数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n nn S a b n =---⨯+,*n N ∈,则存在数列{}n b 和{}n c 使得( )A .n n n a b c =+,其中{}n b 和{}n c 都为等比数列B .n n n a b c =+,其中{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列C .·n n n a b c =,其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D .·n n n a b c =,其中{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列 8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若936S S =,则612SS =( ) A .177B .83 C .143D .1039.题目文件丢失!10.已知等差数列{}n a 满足48a =,6711a a +=,则2a =( ) A .10B .9C .8D .711.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若7916+=a a ,则15S =( )A .60B .120C .160D .24012.《周碑算经》有一题这样叙述:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸,前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸,则后五个节气日影长之和为( )(注:一丈=十尺,一尺=十寸) A .一丈七尺五寸 B .一丈八尺五寸 C .二丈一尺五寸D .二丈二尺五寸13.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著,约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快,且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺,20日共织布232尺,则该女子织布每日增加( )尺 A .47B .1629C .815D .4514.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知58a =,36S =,则107S S -的值是( ) A .48B .60C .72D .2415.设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ,已知10100S =,则47a a +=( ) A .12B .20C .40D .10016.在等差数列{}n a 中,已知前21项和2163S =,则25820a a a a ++++的值为( )A .7B .9C .21D .4217.设等差数列{}n a 的前n 和为n S ,若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈,则必有( )A .0m S <且10m S +>B .0m S >且10m S +>C .0m S <且10m S +<D .0m S >且10m S +<18.已知数列{}n a 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列,其前n 项和为n S .若p m n q <<<且()*,,,p q m n p q m n N +=+∈,则下列判断正确的是( )A .22p p S p a =⋅B .p q m n a a a a >C .1111p q m n a a a a +<+D .1111p q m nS S S S +>+ 19.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且310179a a a ++=,则19S =( ) A .51B .57C .54D .7220.若两个等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ,且3221n n S n T n +=+,则1215a b =( ) A .32B .7059C .7159D .85二、多选题21.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,….,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .68a =B .733S =C .135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D .22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 22.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,前n 项和为n S ,若612S S =,则下列结论中正确的有( ) A .1:17:2a d =-B .180S =C .当0d >时,6140a a +>D .当0d <时,614a a >23.题目文件丢失!24.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若30S =,46a =,则( ) A .23n S n n =- B .2392-=n n nSC .36n a n =-D .2n a n =25.已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15110,20,a a a 则( )A .80a <B .当且仅当n = 7时,n S 取得最大值C .49S S =D .满足0n S >的n 的最大值为1226.(多选题)在数列{}n a 中,若221n n a a p --=,(2n ≥,*n N ∈,p 为常数),则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( )A .若{}n a 是等差数列,则{}2n a 是等方差数列B .(){}1n-是等方差数列C .若{}n a 是等方差数列,则{}kn a (*k N ∈,k 为常数)也是等方差数列D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列 27.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,且3201911111a a e e +≤++,则( ) A .当数列{}n a 为等差数列时,20210S ≥ B .当数列{}n a 为等差数列时,20210S ≤ C .当数列{}n a 为等比数列时,20210T > D .当数列{}n a 为等比数列时,20210T <28.已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 25,n S n n =-则下列说法正确的是( )A .{}n a 为等差数列B .0n a >C .n S 最小值为214-D .{}n a 为单调递增数列29.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ()*n N ∈,公差0d ≠,690S=,7a 是3a 与9a 的等比中项,则下列选项正确的是( ) A .2d =-B .120a =-C .当且仅当10n =时,n S 取最大值D .当0nS <时,n 的最小值为2230.(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若10a >,公差0d ≠,则下列命题正确的是( )A .若59S S =,则必有14S =0B .若59S S =,则必有7S 是n S 中最大的项C .若67S S >,则必有78S S >D .若67S S >,则必有56S S >【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.C 【分析】由等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可求得6a ,再由等差数列的公式即可求得公差. 【详解】 解:()11111611111322a a S a+⨯===,612a ∴=,又5620a a +=,58a ∴=,654d a a ∴=-=.故选:C . 2.B 【分析】利用等差数列性质得到21200a =,143600a =,再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】根据题意:小李同学每天跑步距离为等差数列,设为n a ,则123233600a a a a ++==,故21200a =,13141514310800a a a a ++==,故143600a =,则()()11521411151********n S a a a a =+⨯=+⨯=. 故选:B. 3.C 【分析】利用等差数列的性质直接计算求解 【详解】因为a 3+a 7=2a 5=4,所以a 5=2. 故选:C 4.C 【分析】根据题中条件,求出等差数列的公差,进而可得其通项公式. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列,11a =,34a =, 则公差为31322a a d -==, 因此通项公式为()33111222n a n n =+-=-. 故选:C. 5.B 【分析】把已知的两式相加得到12018a a +=,再求20S 得解. 【详解】由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=, 所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020()10181802S a a =+=⨯=. 故选:B 6.C 【分析】由题设求得等差数列{}n a 的公差d ,即可求得结果. 【详解】32153S a ==,25a ∴=, 12a =,∴公差213d a a =-=, 81727323a a d ∴=+=+⨯=,故选:C. 7.D 【分析】由题设求出数列{}n a 的通项公式,再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征,逐项判断,即可得出正确选项. 【详解】 解:(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---⨯+=+-⋅-+,∴当1n =时,有110S a a ==≠;当2n ≥时,有11()2n n n n a S S a bn b --=-=-+⋅, 又当1n =时,01()2a a b b a =-+⋅=也适合上式,1()2n n a a bn b -∴=-+⋅,令n b a b bn =+-,12n n c -=,则数列{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列,故n n n a b c =,其中数列{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列;故C 错,D 正确;因为11()22n n n a a b bn --+=-⋅⋅,0b ≠,所以{}12n bn -⋅即不是等差数列,也不是等比数列,故AB 错. 故选:D. 【点睛】 方法点睛:由数列前n 项和求通项公式时,一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解,考查学生的计算能力. 8.D 【分析】由等差数列前n 项和性质得3S ,63S S -,96S S -,129S S -构成等差数列,结合已知条件得633S S =和31210S S =计算得结果. 【详解】已知等差数列{}n a 的前项和为n S ,∴3S ,63S S -,96S S -,129S S -构成等差数列, 所以()()633962S S S S S ⋅-=+-,且936S S =,化简解得633S S =.又()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-,∴31210S S =,从而126103S S =.故选:D 【点睛】 思路点睛:(1)利用等差数列前n 项和性质得3S ,63S S -,96S S -,129S S -构成等差数列, (2)()()633962S S S S S ⋅-=+-,且936S S =,化简解得633S S =, (3)()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-,化简解得31210S S =.9.无10.A 【分析】利用等差数列的性质结合已知解得d ,进一步求得2a . 【详解】在等差数列{}n a 中,设公差为d ,由467811a a a =⎧⇒⎨+=⎩444812311a d a d a d =⎧⇒=-⎨+++=⎩,24210a a d ∴=-=. 故选:A 11.B 【分析】利用等差数列的性质,由7916+=a a ,得到88a =,然后由15815S a =求解. 【详解】因为7916+=a a ,所以由等差数列的性质得978216a a a +==, 解得88a =, 所以()11515815151581202a a S a +===⨯=. 故选:B 12.D 【分析】由题知各节气日影长依次成等差数列,设为{}n a ,n S 是其前n 项和,已知条件为985.5S =,14731.5a a a ++=,由等差数列性质即得5a ,4a ,由此可解得d ,再由等差数列性质求得后5项和. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列,设为{}n a ,n S 是其前n 项和,则()19959985.52a a S a +===(尺),所以59.5a =(尺),由题知1474331.5a a a a ++==(尺),所以410.5a =(尺),所以公差541d a a =-=-, 则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=(尺). 故选:D . 13.D 【分析】设该妇子织布每天增加d 尺,由等差数列的前n 项和公式即可求出结果 【详解】设该妇子织布每天增加d 尺, 由题意知2020192042322S d ⨯=⨯+=, 解得45d =. 故该女子织布每天增加45尺. 故选:D 14.A 【分析】根据条件列方程组,求首项和公差,再根据107891093S S a a a a -=++=,代入求值. 【详解】由条件可知114832362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得:102a d =⎧⎨=⎩, ()10789109133848S S a a a a a d -=++==+=.故选:A 15.B 【分析】由等差数列的通项公式可得47129a a a d +=+,再由1011045100S a d =+=,从而可得结果. 【详解】 解:1011045100S a d =+=,12920a d ∴+=, 4712920a a a d ∴+=+=.故选:B. 16.C【分析】利用等差数列的前n 项和公式可得1216a a +=,即可得113a =,再利用等差数列的性质即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则()1212121632a a S +==, 所以1216a a +=,即1126a =,所以113a =, 所以()()()2582022051781411a a a a a a a a a a a ++++=++++++111111111122277321a a a a a =+++==⨯=,故选:C 【点睛】关键点点睛:本题的关键点是求出1216a a +=,进而得出113a =,()()()2582022051781411117a a a a a a a a a a a a ++++=++++++=即可求解.17.D 【分析】由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意,1110,0m m a a a a ++>+<, 所以1()02m m m a a S +=>,111(1)()02m m m a a S ++++=<. 故选:D. 18.D 【分析】利用等差数列的求和公式可判断A 选项的正误;利用作差法结合等差数列的通项公式可判断B 选项的正误;利用p q m n a a a a <结合不等式的基本性质可判断C 选项的正误;利用等差数列的求和公式结合不等式的基本性质可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项,由于()()1221222p pp p p p a a Sp a a pa ++==+≠,故选项A 错误;对于B 选项,由于m p q n -=-,则()()p q m n m n m n a a a a a p m d a q n d a a ⋅-⋅=+-⋅+--⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()22m n m n m n a q n d a q n d a a q n a a d q n d =--⋅+--=----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()2220q n n m d q n d =-----<,故选项B 错误;对于C 选项,由于1111p q m n m n p q p q p q m n m na a a a a a a a a a a a a a a a ++++==>=+⋅⋅⋅,故选项C 错误;对于D 选项,设0x q n m p =-=->,则()()()20pq mn m x n x mn x n m x -=-+-=---<,从而pq mn <,由于222222p q m n p q pq m n mn +=+⇔++=++,故2222p q m n +>+.()()()()()()111111p q pq p q mn m n m n --=-++<-++=--,故()()22221122p q m n p q p q m n m nS S p q a d m n a d S S +--+--+=++>++=+.()()()()()221111112112224p q p p q q pq p q pq p q S S pa d qa d pqa a d d--+---⎡⎤⎡⎤⋅=+⋅+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()221121124mn m n mn p q mna a d d+---<++()()()221121124m n mn m n mn m n mna a d d S S +---<++=,由此1111p q m n p q p q m n m nS S S S S S S S S S S S +++=>=+,故选项D 正确. 故选:D. 【点睛】关键点点睛:本题考查等差数列中不等式关系的判断,在解题过程中充分利用基本量来表示n a 、n S ,并结合作差法、不等式的基本性质来进行判断. 19.B 【分析】根据等差数列的性质求出103a =,再由求和公式得出答案. 【详解】317102a a a += 1039a ∴=,即103a =()1191019191921935722a a a S +⨯∴===⨯= 故选:B 20.C 【分析】可设(32)n S kn n =+,(21)n T kn n =+,进而求得n a 与n b 的关系式,即可求得结果. 【详解】因为{}n a ,{}n b 是等差数列,且3221n n S n T n +=+, 所以可设(32)n S kn n =+,(21)n T kn n =+,又当2n 时,有1(61)n n n a S S k n -=-=-,1(41)n n n b T T k n -=-=-,∴1215(6121)71(4151)59a kb k ⨯-==⨯-, 故选:C .二、多选题21.ABCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥,对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ,写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8,故A 正确; 对B ,71123581333S =++++++=,故B 正确;对C ,由12a a =,342a a a =-,564a a a =-,……,201920202018a a a =-, 可得:135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项.对D ,斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+,则2121a a a =,()222312321a a a a a a a a =-=-,()233423423a a a a a a a a =-=-,……,()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-,220192019202020192018a a a a a =-2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=,故D 正确;故选:ABCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景,考查数列的递推关系及性质,考查方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意递推关系的灵活转换. 22.ABC 【分析】因为{}n a 是等差数列,由612S S =可得9100a a +=,利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ;利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ;利用等差数列的性质961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ;由0d <可得6140a a d +=<且60a >,140a <即可判断选项D ,进而得出正确选项.【详解】因为{}n a 是等差数列,前n 项和为n S ,由612S S =得:1267891011120S S a a a a a a -=+++++=,即()91030a a +=,即9100a a +=,对于选项A :由9100a a +=得12170a d +=,可得1:17:2a d =-,故选项A 正确;对于选项B :()()118910181818022a a a a S ++===,故选项B 正确;对于选项C :911691014a a a a a a d d =+=++=+,若0d >,则6140a a d +=>,故选项C 正确;对于选项D :当0d <时,6140a a d +=<,则614a a <-,因为0d <,所以60a >,140a <,所以614a a <,故选项D 不正确, 故选:ABC 【点睛】关键点点睛:本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=,熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式,灵活运用等差数列的性质即可.23.无24.BC 【分析】由已知条件列方程组,求出公差和首项,从而可求出通项公式和前n 项和公式 【详解】解:设等差数列{}n a 的公差为d , 因为30S =,46a =,所以113230236a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,解得133a d =-⎧⎨=⎩, 所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-,21(1)3(1)393222n n n n n n nS na d n ---=+=-+=, 故选:BC 25.ACD 【分析】由题可得16a d =-,0d <,21322n d d S n n =-,求出80a d =<可判断A ;利用二次函数的性质可判断B ;求出49,S S 可判断C ;令213022n d dS n n =->,解出即可判断D. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则()5111122+4++100a a a d a d +==,解得16a d =-,10a >,0d ∴<,且()21113+222n n n d d S na d n n -==-,对于A ,81+7670a a d d d d ==-+=<,故A 正确;对于B ,21322n d d S n n =-的对称轴为132n =,开口向下,故6n =或7时,n S 取得最大值,故B 错误;对于C ,4131648261822d d S d d d =⨯-⨯=-=-,9138191822d d S d =⨯-⨯=-,故49S S =,故C 正确;对于D ,令213022n d dS n n =->,解得013n <<,故n 的最大值为12,故D 正确. 故选:ACD. 【点睛】方法点睛:由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数,当1a 与d 异号时,n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值;当1a 与d 同号时,n S 在1n =取最值. 26.BCD 【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】对于A 选项,取n a n =,则()()()422444221111n n a a n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-=+-=+-⋅++⎣⎦⎣⎦()()221221n n n =+++不是常数,则{}2n a 不是等方差数列,A 选项中的结论错误; 对于B 选项,()()22111110n n +⎡⎤⎡⎤---=-=⎣⎦⎣⎦为常数,则(){}1n-是等方差数列,B 选项中的结论正确;对于C 选项,若{}n a 是等方差数列,则存在常数p R ∈,使得221n n a a p +-=,则数列{}2na 为等差数列,所以()221kn k n a a kp +-=,则数列{}kn a (*k N ∈,k 为常数)也是等方差数列,C 选项中的结论正确;对于D 选项,若数列{}n a 为等差数列,设其公差为d ,则存在m R ∈,使得n a dn m =+,则()()()()2221112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++,由于数列{}n a 也为等方差数列,所以,存在实数p ,使得221n n a a p +-=,则()222d n m d d p ++=对任意的n *∈N 恒成立,则()2202d m d d p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩,得0p d ==,此时,数列{}n a 为常数列,D 选项正确.故选BCD. 【点睛】本题考查数列中的新定义,解题时要充分利用题中的定义进行判断,也可以结合特殊数列来判断命题不成立,考查逻辑推理能力,属于中等题. 27.AC 【分析】 将3201911111a a e e +≤++变形为32019111101212a a e e -+-≤++,构造函数()1112x f x e =-+,利用函数单调性可得320190a a +≥,再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项 【详解】 由3201911111a a e e +≤++,可得32019111101212a a e e -+-≤++,令()1112x f x e =-+, ()()1111101111x x x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++,所以()1112xf x e =-+是奇函数,且在R 上单调递减,所以320190a a +≥, 所以当数列{}n a 为等差数列时,()320192*********a a S +=≥;当数列{}n a 为等比数列时,且3a ,1011a ,2019a 同号,所以3a ,1011a ,2019a 均大于零, 故()2021202110110T a =>.故选:AC 【点睛】本题考查等差数列与等比数列,考查逻辑推理能力,转化与化归的数学思想,属于中档题 28.AD 【分析】利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列的通项公式,可对A ,B ,D 进行判断,对25,n S n n =-进行配方可对C 进行判断【详解】解:当1n =时,11154a S ==-=-,当2n ≥时,2215[(1)5(1)]26n n n a S S n n n n n -=-=-----=-,当1n =时,14a =-满足上式, 所以26n a n =-,由于()122n n a a n --=≥,所以数列{}n a 为首项为4-,公差为2的等差数列,因为公差大于零,所以{}n a 为单调递增数列,所以A ,D 正确,B 错误, 由于225255()24n S n n n =-=--,而n ∈+N ,所以当2n =或3n =时,n S 取最小值,且最小值为6-,所以C 错误, 故选:AD 【点睛】此题考查,n n a S 的关系,考查由递推式求通项并判断等差数列,考查等差数列的单调性和前n 项和的最值问题,属于基础题 29.AD 【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式,解方程可得首项和公差,可判断A ,B ;由二次函数的配方法,结合n 为正整数,可判断C ;由0n S <解不等式可判断D .【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差0d ≠,由690S =,可得161590a d +=,即12530a d +=,①由7a 是3a 与9a 的等比中项,得2739a a a =,即()()()2111628a d a d a d +=++,化为1100a d +=,②由①②解得120a =,2d =-,则202(1)222n a n n =--=-,21(20222)212n S n n n n =+-=-,由22144124n S n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,可得10n =或11时,n S 取得最大值110; 由2102n S n n -<=,解得21n >,则n 的最小值为22.故选:AD 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式,以及等比中项的性质,二次函数的最值求法,考查方程思想和运算能力,属于中档题. 30.ABC 【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案. 【详解】解:对于A.,若59S S =,则67890a a a a +++=,所以781140a a a a +=+=,所以()114141402a a S +==,故A 选项正确;对于B 选项,若59S S =,则780+=a a ,由于10a >,公差0d ≠,故0d <,故780,0a a ><,所以7S 是n S 中最大的项;故B 选项正确;C. 若67S S >,则70a <,由于10a >,公差0d ≠,故0d <,故80a <,6a 的符号不定,故必有78S S >,56S S >无法确定;故C 正确,D 错误. 故选:ABC . 【点睛】本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质,是中档题.。
(完整版)等差数列练习题有答案

数列A 、等差数列知识点及例题一、数列由与的关系求n a n S na 由求时,要分n=1和n≥2两种情况讨论,然后验证两种情况可否用统一的解析式表示,若不能,则用分段函数的n S n a 形式表示为。
11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩〖例〗根据下列条件,确定数列的通项公式。
{}na 分析:(1)可用构造等比数列法求解;(2)可转化后利用累乘法求解;(3)将无理问题有理化,而后利用与的关系求解。
n a n S 解答:(1)(2)……累乘可得,故(3)二、等差数列及其前n 项和(一)等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法:第一种是利用定义,,第二种是利用等差中项,即。
1()(2)n n a a d n --=≥常数112(2)n n n a a a n +-=+≥2、解选择题、填空题时,亦可用通项或前n 项和直接判断。
(1)通项法:若数列{}的通项公式为n 的一次函数,即=An+B,则{}是等差数列;n a n a n a (2)前n 项和法:若数列{}的前n 项和是的形式(A ,B 是常数),则{}是等差数列。
n a n S 2n S An Bn =+n a 注:若判断一个数列不是等差数列,则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。
〖例〗已知数列{}的前n 项和为,且满足n a n S 111120(2),2n n n n S S S S n a ---+=≥=A (1)求证:{}是等差数列;1nS (2)求的表达式。
n a 分析:(1)与的关系结论;1120n n n n S S S S ---+=A →1n S 11n S -→(2)由的关系式的关系式1nS →n S →n a 解答:(1)等式两边同除以得-+2=0,即-=2(n≥2).∴{}是以==2为首1n n S S -A 11n S -1n S 1n S 11n S -1n S 11S 11a 项,以2为公差的等差数列。
等差数列测试题含答案

等差数列测试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、单选题1.等差数列1+x ,2x +2,5x +1,…的第四项等于( ) A .10B .6C .8D .122.在等差数列{}n a 中,若2810a a +=.,则()24652a a a +-=( ) A .100B .90C .95D .203.已知数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 分别满足下列各式,其中数列{}n b 必为等差数列的是( ) A .||n n b a =B .2n n b a =C .1n nb a =D .2nn a b =-4.在等差数列{}n a 中,11a =,513a =,则数列{}n a 的前5项和为( ) A .13B .16C .32D .355.在等差数列{}n a 中,若39717,9a a a +==,则5a =( ) A .6B .7C .8D .96.在等差数列{}n a 中,124a a +=,7828a a +=,则数列的通项公式n a 为( ) A .2nB .21nC .21n -D .22n +7.已知数列{}n a 是等差数列,71320a a +=,则91011a a a ++= ( ) A .36B .30C .24D .18.已知数列{}n a 是首项为2,公差为4的等差数列,若2022n a =,则n = ( ) A .504B .505C .506D .5079.已知数列{}n a 满足13n n a a +=-,127a =,*n ∈N ,则5a 的值为( ) A .12B .15C .39D .4210.已知等差数列{}n a 满足3456790a a a a a ++++=,则28a a +等于( ) A .18B .30C .36D .4511.在等差数列{}n a 中,143,24a a ==,则7a = A .32B .45C .64D .9612.设数列{}n a 是公差为d 的等差数列,若244,6a a ==,则d = ( )A .4B .3C .2D .113.在等差数列{}n a 中,若3712a a +=,则5a =( ) A .4B .6C .8D .1014.在等差数列{}n a 中,若3691215120a a a a a ++++=,则12183a a -的值为( ) A .24B .36C .48D .6015.在等差数列{}n a 中,51340a a +=,则8910a a a ++=( ) A .72B .60C .48D .3616.已知数列{}n a 是等差数列,且66a =,108a =,则公差d =( ) A .12B .23C .1D .2二、填空题17.在数列{}n a 中,12a =,13n n a a +-=则数列{}n a 的通项公式为________________. 18.已知数列{}n a 中,12a =,25a =,212n n n a a a +++=,则100a =________ 19.在等差数列{}n a 中,47a =,2818a a +=,则公差d =__________.20.己知等差数列{}n a 满足:10a =,54a =,则公差d =______;24a a +=_______. 21.已知数列{}n a 对任意的,m n N +∈有mn m n a a a ++=,若12a =,则2019a =_______.参考答案1.C 【解析】 【分析】根据等差中项的性质求出x ,进而求出公差,得出答案. 【详解】解:由题意可得,(1+x )+(5x +1)=2(2x +2) 解得x =1∴这个数列为2,4,6,8,… 故选C. 【点睛】本题考查了等差数列及等差中项的性质. 2.B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质,即下标和相等对应项的和相等,得到28465210a a a a a +=+==. 【详解】数列{}n a 为等差数列,28465210a a a a a +=+==,∴()24652a a a +-=2101090-=.【点睛】考查等差数列的性质、等差中项,考查基本量法求数列问题. 3.D 【解析】 【分析】对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】设数列{}n a 的公差为d ,选项A,B,C,都不满足1n n b b --=同一常数,所以三个选项都是错误的;对于选项D ,1112222n n n n n n a a a a d b b -----=-+==-, 所以数列{}n b 必为等差数列. 故选:D 【点睛】本题主要考查等差数列的判定和性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题. 4.D 【解析】 【分析】直接利用等差数列的前n 项和公式求解. 【详解】数列{}n a 的前5项和为1555)(113)3522a a +=+=(. 故选:D 【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和的计算,意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题. 5.C 【解析】 【分析】通过等差数列的性质可得答案. 【详解】因为3917a a +=,79a =,所以51798a =-=. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质,难度不大. 6.C 【解析】 【分析】直接利用等差数列公式解方程组得到答案.【详解】121424a a a d +=⇒+= 7812821328a a a d +=⇒+= 1211,2n n a d a ==⇒-=故答案选C 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式,属于基础题型. 7.B 【解析】 【分析】通过等差中项的性质即可得到答案. 【详解】由于71310220a a a +==,故9101110330a a a a ++==,故选B. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质,难度较小. 8.C 【解析】 【分析】本题首先可根据首项为2以及公差为4求出数列{}n a 的通项公式,然后根据2022n a =以及数列{}n a 的通项公式即可求出答案。
数列单元测试题及答案解析

数列单元测试题及答案解析一、选择题1. 已知等差数列的首项为a1=3,公差为d=2,求第10项的值。
A. 23B. 25C. 27D. 292. 等比数列的首项为a1=2,公比为r=3,求第5项的值。
A. 162B. 243B. 324D. 4863. 一个数列的前5项为1, 3, 6, 10, 15,这个数列是:A. 等差数列B. 等比数列C. 既不是等差数列也不是等比数列D. 无法判断二、填空题4. 等差数列的前n项和公式为:S_n = _______。
5. 等比数列的前n项和公式为:S_n = _______。
三、解答题6. 已知等差数列的前10项和为S10=185,求公差d。
7. 已知等比数列的前3项和为S3=28,首项a1=2,求公比r。
四、证明题8. 证明:等差数列中,任意两项的等差中项等于它们的算术平均数。
答案解析:一、选择题1. 答案:A。
解析:根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d,代入n=10,得a10 = 3 + 9*2 = 21。
2. 答案:B。
解析:根据等比数列的通项公式an = a1 * r^(n-1),代入n=5,得a5 = 2 * 3^4 = 243。
3. 答案:C。
解析:数列1, 3, 6, 10, 15不是等差也不是等比数列,因为相邻两项的差和比值都不是常数。
二、填空题4. 答案:S_n = n/2 * (2a1 + (n-1)d)。
解析:等差数列前n项和的公式。
5. 答案:S_n = a1 * (1 - r^n) / (1 - r),当r≠1时。
解析:等比数列前n项和的公式。
三、解答题6. 解:根据等差数列前n项和的公式,S10 = 10/2 * (2*3 + 9d) = 185,解得d = 3。
7. 解:根据等比数列前n项和的公式,S3 = a1 * (1 - r^3) / (1 - r) = 28,代入a1=2,解得r = 3。
四、证明题8. 证明:设等差数列中任意两项为an和am,它们的等差中项为a,即a = (an + am) / 2。
等差数列练习题及答案精选全文

可编辑修改精选全文完整版等差数列练习题一、选择题1、等差数列{}n a 中,10120S =,那么110a a +=( )A. 12B. 24C. 36D. 482、已知等差数列{}n a ,219n a n =-,那么这个数列的前n 项和n s ( ) A.有最小值且是整数 B. 有最小值且是分数 C. 有最大值且是整数 D. 有最大值且是分数3、已知等差数列{}n a 的公差12d =,8010042=+++a a a ,那么=100S A .80 B .120C .135D .160.4、已知等差数列{}n a 中,6012952=+++a a a a ,那么=13S A .390 B .195 C .180 D .1205、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和,其差为( )A. 0B. 90C. 180D. 360 6、等差数列{}n a 的前m 项的和为30,前2m 项的和为100,则它的前3m 项的和为( )A. 130B. 170C. 210D. 2607、在等差数列{}n a 中,62-=a ,68=a ,若数列{}n a 的前n 项和为n S ,则( )A.54S S <B.54S S =C. 56S S <D. 56S S =8、一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,所有项和为390,则这个数列的项数为( )A. 13B. 12C. 11D. 109、记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若4562448a a S +==,,则{}n a 的公差为()A .1B .2C .4D .810.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1+a 3+a 5=3,则S 5=( )A .B .5C .7D .9二.填空题1、等差数列{}n a 中,若638a a a =+,则9s = .2、等差数列{}n a 中,若232n S n n =+,则公差d = .3、在小于100的正整数中,被3除余2的数的和是4、已知等差数列{}n a 的公差是正整数,且a 4,126473-=+-=⋅a a a ,则前10项的和S 10=5、一个等差数列共有10项,其中奇数项的和为252,偶数项的和为15,则这个数列的第6项是6、两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ,若337++=n n T S n n ,则88a b = .7.设n S 是数列{}n a 的前n 项和,且11a =-,11n n n a S S ++=,则n S =________.三.解答题1、 在等差数列{}n a 中,40.8a =,11 2.2a =,求515280a a a +++.2、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知312a =,12S >0,13S <0, ①求公差d 的取值范围; ②1212,,,S S S 中哪一个值最大?并说明理由.3、己知}{n a 为等差数列,122,3a a ==,若在每相邻两项之间插入三个数,使它和原数列的数构成一个新的等差数列,求: (1)原数列的第12项是新数列的第几项?(2)新数列的第29项是原数列的第几项?4、设等差数列}{n a 的前n项的和为S n ,且S 4 =-62, S 6 =-75,求:(1)}{n a 的通项公式a n 及前n项的和S n ; (2)|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+……+|a 14 |.5、n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a >0,2n n a a +n a 2=错误!未找到引用源。
等差数列练习题及答案

等差数列练习题及答案一、选择题1. 下列哪个数列不是等差数列?A. 2,4,6,8B. 3,8,13,18C. 5,10,15,20D. 1,3,5,8答案:D2. 若一个等差数列的公差为2,首项为3,则第5项为多少?A. 11B. 13C. 15D. 17答案:C3. 若等差数列的前两项是a,b,且公差为d,那么第n项可以表示为多少?A. a + (n-1)dB. a + ndC. a - ndD. a + (n+1)d答案:A4. 若一个等差数列的首项为7,公差为-3,则第8项为多少?A. 19B. 16C. 13D. 10答案:B5. 若一个等差数列的首项为3,末项为16,则公差为多少?A. 3B. 4C. 5D. 6答案:B二、填空题1. 求等差数列6,11,16,21的第10项。
答案:512. 求等差数列9,7,5,3的前20项和。
答案:-803. 若等差数列的首项为3,公差为-2,则第15项为多少?答案:-274. 若等差数列的首项为-4,末项为22,公差为3,则该数列的项数为多少?答案:95. 若等差数列的第7项为31,公差为6,则首项为多少?答案:-1三、解答题1. 求等差数列5,9,13,17,...的第15项。
解答:首项a1=5,公差d=9-5=4,根据等差数列通项公式an=a1+(n-1)d,代入a1=5,d=4,n=15计算得到a15=5+(15-1)4=61。
2. 求等差数列1,4,7,10,...的前10项和。
解答:首项为a1=1,公差d=4-1=3,前10项和可以通过求和公式Sn=n/2(a1+an)来计算,代入n=10,a1=1,an=a1+(n-1)d=1+(10-1)3=28,计算得Sn=10/2(1+28)=145。
3. 若等差数列的前五项和为35,公差为2,求首项和项数。
解答:设首项为a1,项数为n,则根据求和公式Sn=n/2(a1+an),代入Sn=35,公差d=2,an=a1+(n-1)d,可以得到35=n/2(a1+a1+(n-1)d)=n/2(2a1+(n-1)d),化简得到35=n(2a1+(n-1)d)/2,进一步化简得到70=2na1+n(n-1)d。
等差数列单元测试题+答案 百度文库

一、等差数列选择题1.在数列{}n a 中,129a =-,()*13n n a a n +=+∈N ,则1220a a a +++=( )A .10B .145C .300D .320 2.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,S 3=12,则a 6等于( )A .8B .10C .12D .143.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,15a =,且满足122527n na a n n +-=--,若p ,*q ∈N ,p q >,则p q S S -的最小值为( )A .6-B .2-C .1-D .04.定义12nnp p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”,若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为12n ,又2n n a b =,则1223910111b b b b b b +++=( ) A .817 B .1021C .1123 D .9195.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且3944a a a +=+,则15S =( ) A .45 B .50 C .60 D .80 6.在等差数列{a n }中,a 3+a 7=4,则必有( )A .a 5=4B .a 6=4C .a 5=2D .a 6=27.已知数列{}n a 为等差数列,2628a a +=,5943a a +=,则10a =( ) A .29B .38C .40D .588.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若936S S =,则612SS =( ) A .177B .83C .143D .1039.题目文件丢失!10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,31567a a a +=+,则23S =( ) A .121B .161C .141D .15111.已知{}n a 为等差数列,n S 是其前n 项和,且100S =,下列式子正确的是( ) A .450a a +=B .560a a +=C .670a a +=D .890a a +=12.已知等差数列{}n a 的公差d 为正数,()()111,211,n n n a a a tn a t +=+=+为常数,则n a =( )A .21n -B .43n -C .54n -D .n 13.在等差数列{a n }中,已知a 5=3,a 9=6,则a 13=( )A .9B .12C .15D .1814.已知{}n a 是公差为2的等差数列,前5项和525S =,若215m a =,则m =( ) A .4B .6C .7D .815.设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ,已知10100S =,则47a a +=( ) A .12B .20C .40D .10016.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2n S n =.定义数列{}n b 如下:()*1m m b m m+∈N 是使不等式()*n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值,则13519 b b b b ++++=( )A .25B .50C .75D .10017.已知数列{}n a 满足25111,,25a a a ==且*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ,则*n N ∈时,使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是( ) A .19B .20C .21D .2218.在等差数列{}n a 的中,若131,5a a ==,则5a 等于( ) A .25B .11C .10D .919.已知数列{x n }满足x 1=1,x 2=23,且11112n n nx x x -++=(n ≥2),则x n 等于( ) A .(23)n -1B .(23)n C .21n + D .12n + 20.若两个等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ,且3221n n S n T n +=+,则1215a b =( ) A .32B .7059C .7159D .85二、多选题21.斐波那契数列,又称黄金分割数列、兔子数列,是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……,此数列从第3项开始,每一项都等于前两项之和,记该数列为(){}F n ,则(){}F n 的通项公式为( )A .(1)1()2n n F n -+=B .()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==C .()1122n nF n ⎡⎤⎛⎛+-⎥=- ⎥⎝⎭⎝⎭⎦ D .()1122n n F n ⎡⎤⎛⎛⎥=+ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦22.已知数列{}n a 满足:12a =,当2n ≥时,)212n a =-,则关于数列{}n a 的说法正确的是 ( )A .27a =B .数列{}n a 为递增数列C .221n a n n =+-D .数列{}n a 为周期数列23.题目文件丢失!24.题目文件丢失!25.已知数列{}n a 的前4项为2,0,2,0,则该数列的通项公式可能为( )A .0,2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B .1(1)1n n a -=-+C .2sin2n n a π= D .cos(1)1n a n π=-+26.若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩,135a =,则数列{}n a 中的项的值可能为( ) A .15B .25C .45D .6527.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,若对于任意的m ,*n N ∈,都有m n m n a a a +=+,则下列结论正确的是( )A .11285a a a a +=+B .56110a a a a <C .若该数列的前三项依次为x ,1x -,3x ,则10103a = D .数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 28.等差数列{}n a 的首项10a >,设其前n 项和为{}n S ,且611S S =,则( ) A .0d >B .0d <C .80a =D .n S 的最大值是8S或者9S29.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =,411a =,则( ) A .45n a n =-B .23n a n =+C .223n S n n =-D .24n S n n =+30.下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题,其中的真命题为( ). A .数列{}n a 是递增数列 B .数列{}n na 是递增数列 C .数列{}na n是递增数列 D .数列{}3n a nd +是递增数列【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.C 【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-,结合分组求和法即可得解。
等差数列经典试题(含答案)

一、等差数列选择题1.数列{}n a 为等差数列,11a =,34a =,则通项公式是( ) A .32n -B .322n - C .3122n - D .3122n + 2.数列{}n a 是项数为偶数的等差数列,它的奇数项的和是24,偶数项的和为30,若它的末项比首项大212,则该数列的项数是( ) A .8B .4C .12D .163.等差数列{}n a 中,22a =,公差2d =,则10S =( ) A .200B .100C .90D .804.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足212n n n a a a ++=-,534a a =-,则7S =( ) A .7 B .12 C .14 D .21 5.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,S 3=12,则a 6等于( ) A .8B .10C .12D .146.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=,则7S =( ) A .10-B .8C .12D .147.在等差数列{}n a 中,3914a a +=,23a =,则10a =( ) A .11B .10C .6D .38.已知数列{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S ,若454a a +=,则8S =( ) A .16 B .-16C .4D .-49.题目文件丢失!10.在等差数列{a n }中,a 3+a 7=4,则必有( ) A .a 5=4B .a 6=4C .a 5=2D .a 6=211.在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列,则这五个数为( )A .3、8、13、18、23B .4、8、12、16、20C .5、9、13、17、21D .6、10、14、18、2212.已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列,且1109a a a +=,则12910a a a a ++⋅⋅⋅+=( ) A .278B .52C .3D .413.在数列{}n a 中,129a =-,()*13n n a a n +=+∈N ,则1220a a a +++=( )A .10B .145C .300D .32014.在等差数列{}n a 中,若n S 为其前n 项和,65a =,则11S 的值是( ) A .60B .11C .50D .5515.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知58a =,36S =,则107S S -的值是( ) A .48B .60C .72D .24 16.设等差数列{}n a 的公差d ≠0,前n 项和为n S ,若425S a =,则99S a =( ) A .9B .5C .1D .5917.已知数列{}n a 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列,其前n 项和为n S .若p m n q <<<且()*,,,p q m n p q m n N +=+∈,则下列判断正确的是( )A .22p p S p a =⋅B .p q m n a a a a >C .1111p q m n a a a a +<+ D .1111p q m nS S S S +>+ 18.已知等差数列{}n a 中,7916+=a a ,41a =,则12a 的值是( ) A .15B .30C .3D .6419.已知数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n N =∈,则{}na 的通项公式为( )A .2n a n =B .21n a n =-C .32n a n =-D .1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩20.设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+. 则8a 的值为( ).A .65B .16C .15D .14二、多选题21.已知S n 是等差数列{}n a (n ∈N *)的前n 项和,且S 5>S 6>S 4,以下有四个命题,其中正确的有( )A .数列{}n a 的公差d <0B .数列{}n a 中S n 的最大项为S 10C .S 10>0D .S 11>022.题目文件丢失!23.已知数列{}n a 中,11a =,1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈,不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立,则实数a 可能为( ) A .-4 B .-2C .0D .224.若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立,则实数a 的可能取值为( )A .2-B .1-C .1D .225.已知数列{}n a 满足112a =-,111n n a a +=-,则下列各数是{}n a 的项的有( )A .2-B .23C .32D .326.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==,则( ) A .25n a n =-B .310na nC .228n S n n =-D .24n S n n =-27.设{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项的和,且56S S <,678S S S =>,则下列结论正确的是( ) A .0d > B .70a =C .95S S >D .6S 与7S 均为n S 的最大值28.下列命题正确的是( )A .给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B .若等差数列{}n a 的公差0d >,则{}n a 是递增数列C .若a ,b ,c 成等差数列,则111,,a b c可能成等差数列 D .若数列{}n a 是等差数列,则数列{}12++n n a a 也是等差数列29.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差为d ,且满足10a >,1118S S =,则对n S 描述正确的有( ) A .14S 是唯一最小值 B .15S 是最小值 C .290S =D .15S 是最大值 30.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若90a <,100a >,则下列结论正确的是( ) A .109S S >B .170S <C .1819S S >D .190S >【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.C 【分析】根据题中条件,求出等差数列的公差,进而可得其通项公式. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列,11a =,34a =,则公差为31322a a d -==, 因此通项公式为()33111222n a n n =+-=-. 故选:C. 2.A 【分析】设项数为2n ,由题意可得()21212n d -⋅=,及6S S nd -==奇偶可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的项数为2n , 末项比首项大212, ()212121;2n a a n d ∴-=-⋅=① 24S =奇,30S =偶,30246S S nd ∴-=-==奇偶②.由①②,可得32d =,4n =, 即项数是8, 故选:A. 3.C 【分析】先求得1a ,然后求得10S . 【详解】依题意120a a d =-=,所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选:C 4.C 【分析】判断出{}n a 是等差数列,然后结合等差数列的性质求得7S . 【详解】∵212n n n a a a ++=-,∴211n n n n a a a a +++-=-,∴数列{}n a 为等差数列. ∵534a a =-,∴354a a +=,∴173577()7()1422a a a a S ++===. 故选:C 5.C 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】 {a n }为等差数列,S 3=12,即1232312a a a a ++==,解得24a =. 由12a =,所以数列的公差21422d a a =-=-=, 所以()()112212n a a n d n n =+-=+-=, 所以62612a =⨯=. 故选:C 6.D 【分析】利用等差数列下标性质求得4a ,再利用求和公式求解即可 【详解】147446=32a a a a a ++=∴=,则()177477142a a S a +=== 故选:D 7.A 【分析】利用等差数列的通项公式求解1,a d ,代入即可得出结论. 【详解】由3914a a +=,23a =, 又{}n a 为等差数列, 得39121014a a a d +=+=,213a a d =+=,解得12,1a d ==, 则101+92911a a d ==+=; 故选:A. 8.A 【详解】 由()()18458884816222a a a a S +⨯+⨯⨯====.故选A.9.无10.C 【分析】利用等差数列的性质直接计算求解 【详解】因为a 3+a 7=2a 5=4,所以a 5=2. 故选:C 11.C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差,再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列,则171,25a a ==,则712514716a a d --===-, 则这5个数依次是5,9,13,17,21. 故选:C 12.A 【分析】根据数列{}n a 是等差数列,且1109a a a +=,求出首项和公差的关系,代入式子求解. 【详解】因为1109a a a +=, 所以11298a d a d +=+, 即1a d =-, 所以()11295101019927278849a a a a a d a a d d a d ++⋅⋅⋅+====++.故选:A 13.C 【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-,结合分组求和法即可得解。
等差数列练习题(有答案)

一、等差数列选择题1.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知58a =,36S =,则107S S -的值是( )A .48B .60C .72D .242.南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中,提出垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差不相等,但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别1,7,15,27,45,71,107,则该数列的第8项为( ) A .161B .155C .141D .1393.定义12nnp p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”,若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为12n,又2n n a b =,则1223910111b b b b b b +++=( ) A .817 B .1021C .1123 D .9194.已知数列{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S ,若454a a +=,则8S =( ) A .16 B .-16 C .4D .-45.等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ,若231n n a n b n =+,则2121S T 的值为( )A .1315B .2335C .1117 D .496.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且110a =,56S S ≥,下列四个命题:①公差d 的最大值为2-;②70S <;③记n S 的最大值为M ,则M 的最大值为30;④20192020a a >.其真命题的个数是( ) A .4个B .3个C .2个D .1个 7.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若12a =,315S =,则8a =( ) A .11B .12C .23D .248.已知数列{}n a 中,132a =,且满足()*1112,22n n n a a n n N -=+≥∈,若对于任意*n N ∈,都有n a nλ≥成立,则实数λ的最小值是( ) A .2 B .4C .8D .169.题目文件丢失!10.在等差数列{a n }中,已知a 5=3,a 9=6,则a 13=( )A .9B .12C .15D .1811.在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ,若数列{}n x 是等比数列,数列{}n y 是等差数列,则函数()y f x =的解析式可能是( ) A .3(4)f x x =+B .2()4f x x =C .3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D .4()log f x x =12.已知{}n a 是公差为2的等差数列,前5项和525S =,若215m a =,则m =( ) A .4 B .6 C .7 D .8 13.若等差数列{a n }满足a 2=20,a 5=8,则a 1=( )A .24B .23C .17D .1614.在等差数列{}n a 中,25812a a a ++=,则{}n a 的前9项和9S =( ) A .36B .48C .56D .7215.若数列{}n a 满足121()2n n a a n N *++=∈,且11a =,则2021a =( ) A .1010 B .1011 C .2020D .202116.已知等差数列{}n a 中,7916+=a a ,41a =,则12a 的值是( ) A .15B .30C .3D .6417.已知数列{x n }满足x 1=1,x 2=23,且11112n n nx x x -++=(n ≥2),则x n 等于( ) A .(23)n -1B .(23)n C .21n + D .12n + 18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()11213n n n n S S a n +++=+-+,现有如下说法:①541a a =;②222121n n a a n ++=-;③401220S =. 则正确的个数为( ) A .0B .1C .2D .319.在等差数列{}n a 中,520164a a +=,S ,是数列{}n a 的前n 项和,则S 2020=( ) A .2019B .4040C .2020D .403820.设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237n n S n T n =+,则63a b 的值为( ) A .511B .38C .1D .2二、多选题21.已知数列{}n a 满足:12a =,当2n ≥时,)212n a =-,则关于数列{}n a 的说法正确的是 ( )A .27a =B .数列{}n a 为递增数列C .221n a n n =+-D .数列{}n a 为周期数列22.题目文件丢失!23.无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,若a 1>0,d <0,则下列结论正确的是( ) A .数列{}n a 单调递减 B .数列{}n a 有最大值 C .数列{}n S 单调递减D .数列{}n S 有最大值24.设{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项的和,且56S S <,678S S S =>,则下列结论正确的是( ) A .0d > B .70a =C .95S S >D .6S 与7S 均为n S 的最大值25.在数列{}n a 中,若22*1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数),则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( ) A .若{}n a 是等差数列,则{}n a 是等方差数列 B .{(1)}n -是等方差数列C .若{}n a 是等方差数列,则{}()*,kn a k Nk ∈为常数)也是等方差数列D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列26.已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 25,n S n n =-则下列说法正确的是( )A .{}n a 为等差数列B .0n a >C .n S 最小值为214-D .{}n a 为单调递增数列27.下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题,其中的真命题为( ). A .数列{}n a 是递增数列 B .数列{}n na 是递增数列 C .数列{}na n是递增数列 D .数列{}3n a nd +是递增数列28.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,公差为d .已知a 3=12,S 12>0,a 7<0,则( ) A .a 6>0 B .2437d -<<- C .S n <0时,n 的最小值为13D .数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 29.公差为d 的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,110S >,120S <,下列说法正确的有( ) A .0d <B .70a >C .{}n S 中5S 最大D .49a a <30.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差为d ,且满足10a >,1118S S =,则对n S 描述正确的有( ) A .14S 是唯一最小值 B .15S 是最小值 C .290S =D .15S 是最大值【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.A 【分析】根据条件列方程组,求首项和公差,再根据107891093S S a a a a -=++=,代入求值. 【详解】由条件可知114832362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得:102a d =⎧⎨=⎩, ()10789109133848S S a a a a a d -=++==+=.故选:A 2.B 【分析】画出图形分析即可列出式子求解. 【详解】所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x ,根据所给定义:用数列的后一项减去前一项得到一个新数列,得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列,即得到了一个等差数列,如图:由图可得:3612107y x y -=⎧⎨-=⎩ ,解得15548x y =⎧⎨=⎩.故选:B. 3.D 【分析】由题意结合新定义的概念求得数列的前n 项和,然后利用前n 项和求解通项公式,最后裂项求和即可求得最终结果. 【详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ,由题意可得:12n n S n=,则:22n S n =, 当1n =时,112a S ==,当2n ≥时,142n n n a S S n -=-=-, 且14122a =⨯-=,据此可得 42n a n =-, 故212nn a b n ==-,()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭, 据此有:12239101111111111233517191.21891919b b b b b b +++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⨯= 故选:D 4.A 【详解】 由()()18458884816222a a a a S +⨯+⨯⨯====.故选A.5.C 【分析】利用等差数列的求和公式,化简求解即可 【详解】2121S T =12112121()21()22a ab b ++÷=121121a a b b ++=1111a b =2113111⨯⨯+=1117.故选C 6.B 【分析】设公差为d ,利用等差数列的前n 项和公式,56S S ≥,得2d ≤-,由前n 项和公式,得728S ≤,同时可得n S 的最大值,2d =-,5n =或6n =时取得,结合递减数列判断D . 【详解】设公差为d ,由已知110a =,56S S ≥,得5101061015d d ⨯+≥⨯+,所以2d ≤-,A 正确;所以7710217022128S d =⨯+≤-⨯=,B 错误;1(1)10(1)0n a a n d n d =+-=+-≥,解得101n d≤-+,11100n a a nd nd +=+=+≤,解得10n d≥-, 所以10101n d d-≤≤-+,当2d =-时,56n ≤≤, 当5n =时,有最大值,此时51010(2)30M =⨯+⨯-=,当6n =时,有最大值,此时61015(2)30M =⨯+⨯-=,C 正确. 又该数列为递减数列,所以20192020a a >,D 正确. 故选:B . 【点睛】关键点点睛:本题考查等差数列的前n 项和,掌握等差数列的前n 和公式与性质是解题关键.等差数列前n 项和n S 的最大值除可利用二次函数性质求解外还可由10n n a a +≥⎧⎨≤⎩求得.7.C 【分析】由题设求得等差数列{}n a 的公差d ,即可求得结果. 【详解】32153S a ==,25a ∴=, 12a =,∴公差213d a a =-=, 81727323a a d ∴=+=+⨯=,故选:C. 8.A 【分析】 将11122n n n a a -=+变形为11221n n n n a a --=+,由等差数列的定义得出22n n n a +=,从而得出()22n n n λ+≥,求出()max22nn n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值,即可得出答案. 【详解】因为2n ≥时,11122n n n a a -=+,所以11221n n n n a a --=+,而1123a = 所以数列{}2nn a 是首项为3公差为1的等差数列,故22nn a n =+,从而22n nn a +=. 又因为n a n λ≥恒成立,即()22n n n λ+≥恒成立,所以()max 22nn n λ+⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦. 由()()()()()()()1*121322,221122n n nn n n n n n n n n n n +-⎧+++≥⎪⎪∈≥⎨+-+⎪≥⎪⎩N 得2n = 所以()()2max2222222n n n +⨯+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦,所以2λ≥,即实数λ的最小值是2 故选:A9.无10.A 【分析】在等差数列{a n }中,利用等差中项由95132a a a =+求解. 【详解】在等差数列{a n }中,a 5=3,a 9=6, 所以95132a a a =+,所以139522639a a a =-=⨯-=, 故选:A 11.D 【分析】把点列代入函数解析式,根据{x n }是等比数列,可知1n nx x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数,可判断出{y n }是等差数列. 【详解】对于A ,函数3(4)f x x =+上的点列{x n ,y n },有y n =43n x +,由于{x n }是等比数列,所以1n nx x +为常数, 因此1n n y y +-=()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数,故{y n }不是等差数列;对于B ,函数2()4f x x =上的点列{x n ,y n },有y n =24n x ,由于{x n }是等比数列,所以1n nx x +为常数,因此1n n y y +-=()222214441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数,故{y n }不是等差数列;对于C ,函数3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ,y n },有y n =3()4n x ,由于{x n }是等比数列,所以1n nx x +为常数, 因此1n n y y +-=133()()44n nx x +-=33()()144n q x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,这是一个与n 有关的数,故{y n }不是等差数列;对于D ,函数4()log f x x =上的点列{x n ,y n },有y n =4log n x,由于{x n }是等比数列,所以1n nx x +为常数, 因此1n n y y +-=114444log log log log n n n nx x x x q ++-==为常数,故{y n }是等差数列;故选:D . 【点睛】 方法点睛:判断数列是不是等差数列的方法:定义法,等差中项法. 12.A 【分析】由525S =求出1a ,从而可求出数列的通项公式,进而可求出m 的值 【详解】 解:由题意得15452252a ⨯+⨯=,解得11a =, 所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-, 因为215m a =,所以22115m ⋅-=,解得4m =, 故选:A 13.A 【分析】 由题意可得5282045252a a d --===---,再由220a =可求出1a 的值 【详解】 解:根据题意,5282045252a a d --===---,则1220(4)24a a d =-=--=, 故选:A. 14.A 【分析】根据等差数列的性质,由题中条件,得出54a =,再由等差数列前n 项和公式,即可得出结果. 【详解】因为{}n a 为等差数列,25812a a a ++=, 所以5312a =,即54a =, 所以()1999983622a a S +⨯===. 故选:A . 【点睛】熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键. 15.B 【分析】根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解. 【详解】 由121()2n n a a n N *++=∈,则11()2n n a a n N *+=+∈, 即112n n a a +-=, 所以数列{}n a 是以1为首项,12为公差的等差数列, 所以()()11111122n n a a n d n +=+-=+-⨯=, 所以2021a =2021110112+=. 故选:B 16.A 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据等差数列的通项公式列方程组,求出1a 和d 的值,12111a a d =+,即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则111681631a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩,即117831a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得:174174d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以12117760111115444a a d =+=-+⨯==, 所以12a 的值是15,故选:A 17.C 【分析】 由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,求出数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式,进而得出答案. 【详解】由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,且121131,2x x ==,故公差12d = 则()1111122n n n x +=+-⨯=,故21n x n =+故选:C 18.D 【分析】由()11213n n n n S S a n +++=+-+得到()11132n n n a a n ++=-+-,再分n 为奇数和偶数得到21262k k a a k +=-+-,22165k k a a k -=+-,然后再联立递推逐项判断. 【详解】因为()11213n n n n S S a n +++=+-+,所以()11132n n n a a n ++=-+-,所以()212621k k a a k +=-+-,()221652k k a a k -=+-, 联立得:()212133k k a a +-+=, 所以()232134k k a a +++=, 故2321k k a a +-=,从而15941a a a a ===⋅⋅⋅=,22162k k a a k ++=-,222161k k a a k ++=++,则222121k k a a k ++=-,故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++,()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++,()()201411820622k k =+⨯=-==∑1220,故①②③正确. 故选:D 19.B 【分析】由等差数列的性质可得52012016024a a a a +==+,则()15202020202016202010102a a a a S +=⨯=⨯+可得答案. 【详解】 等差数列{}n a 中, 52012016024a a a a +==+()12020202052016202010104101040402a a a a S +===⨯=+⨯⨯ 故选:B 20.C 【分析】 令22n S n λ=,()37n T n n λ=+,求出n a ,n b ,进而求出6a ,3b ,则63a b 可得. 【详解】令22n S n λ=,()37n T n n λ=+,可得当2n ≥时,()()221221221n n n a S S n n n λλλ-=-=--=-,()()()()137134232n n n b T T n n n n n λλλ-=-=+--+=+,当1n =,()11112,3710a S b T λλλ====+=,符合()221n a n λ=-,()232n b n λ=+故622a λ=,322b λ=, 故631a b =. 【点睛】由n S 求n a 时,11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中,若不符合要单独列出,一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解.二、多选题21.ABC 【分析】由)212n a =-1=,再利用等差数列的定义求得n a ,然后逐项判断. 【详解】 当2n ≥时,由)212n a =-,得)221n a +=,1=,又12a =,所以是以2为首项,以1为公差的等差数列,2(1)11n n =+-⨯=+,即221n a n n =+-,故C 正确;所以27a =,故A 正确;()212n a n =+-,所以{}n a 为递增数列,故正确;数列{}n a 不具有周期性,故D 错误; 故选:ABC22.无23.ABD 【分析】由10n n a a d +-=<可判断AB ,再由a 1>0,d <0,可知等差数列数列{}n a 先正后负,可判断CD. 【详解】根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<,所以数列{}n a 单调递减,A 正确; 由数列{}n a 单调递减,可知数列{}n a 有最大值a 1,故B 正确;由a 1>0,d <0,可知等差数列数列{}n a 先正后负,所以数列{}n S 先增再减,有最大值,C 不正确,D 正确. 故选:ABD. 24.BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,依次分析选项即可求解. 【详解】根据题意,设等差数列{}n a 的公差为d ,依次分析选项:{}n a 是等差数列,若67S S =,则7670S S a -==,故B 正确;又由56S S <得6560S S a -=>,则有760d a a =-<,故A 错误; 而C 选项,95S S >,即67890a a a a +++>,可得()7820a a +>, 又由70a =且0d <,则80a <,必有780a a +<,显然C 选项是错误的. ∵56S S <,678S S S =>,∴6S 与7S 均为n S 的最大值,故D 正确; 故选:BD. 【点睛】本题考查了等差数列以及前n 项和的性质,需熟记公式,属于基础题. 25.BCD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义,结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ,若{}n a 是等差数列,如n a n =,则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数,故{}n a 不是等方差数列,故A 错误;对于B ,数列(){}1n-中,222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数,{(1)}n ∴-是等方差数列,故B 正确;对于C ,数列{}n a 中的项列举出来是,1a ,2a ,,k a ,,2k a ,数列{}kn a 中的项列举出来是,k a ,2k a ,3k a ,,()()()()2222222212132221k k k k k k k k aa a a a a a a p +++++--=-=-==-=,将这k 个式子累加得()()()()2222222212132221k kk k k k k k aa a a a a a a kp +++++--+-+-++-=,222k k a a kp ∴-=,()221kn kn a a kp +∴-=,{}*(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列,故C 正确;对于D ,{}n a 是等差数列,1n n a a d -∴-=,则设n a dn m =+{}n a 是等方差数列,()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数,故220d =,故0d =,所以(2)0m d d +=,2210n n a a --=是常数,故D 正确.故选:BCD. 【点睛】本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义,属于中档题. 26.AD 【分析】 利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列的通项公式,可对A ,B ,D 进行判断,对25,n S n n =-进行配方可对C 进行判断【详解】解:当1n =时,11154a S ==-=-,当2n ≥时,2215[(1)5(1)]26n n n a S S n n n n n -=-=-----=-,当1n =时,14a =-满足上式, 所以26n a n =-,由于()122n n a a n --=≥,所以数列{}n a 为首项为4-,公差为2的等差数列,因为公差大于零,所以{}n a 为单调递增数列,所以A ,D 正确,B 错误, 由于225255()24n S n n n =-=--,而n ∈+N ,所以当2n =或3n =时,n S 取最小值,且最小值为6-,所以C 错误, 故选:AD 【点睛】此题考查,n n a S 的关系,考查由递推式求通项并判断等差数列,考查等差数列的单调性和前n 项和的最值问题,属于基础题 27.AD 【分析】根据等差数列的性质,对四个选项逐一判断,即可得正确选项. 【详解】0d >,10n n a a d +-=> ,所以{}n a 是递增数列,故①正确,()()2111n na n a n d dn a d n =+-=+-⎡⎤⎣⎦,当12d a n d -<时,数列{}n na 不是递增数列,故②不正确, 1n a a d d n n -=+,当10a d -<时,{}n a n 不是递增数列,故③不正确, 134n a nd nd a d +=+-,因为0d >,所以{}3n a nd +是递增数列,故④正确,故选:AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质,属于基础题. 28.ABCD 【分析】S 12>0,a 7<0,利用等差数列的求和公式及其性质可得:a 6+a 7>0,a 6>0.再利用a 3=a 1+2d =12,可得247-<d <﹣3.a 1>0.利用S 13=13a 7<0.可得S n <0时,n 的最小值为13.数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中,n ≤6时,n n S a >0.7≤n ≤12时,n n S a <0.n ≥13时,n n S a >0.进而判断出D 是否正确. 【详解】∵S 12>0,a 7<0,∴()67122a a +>0,a 1+6d <0.∴a 6+a 7>0,a 6>0.∴2a 1+11d >0,a 1+5d >0, 又∵a 3=a 1+2d =12,∴247-<d <﹣3.a 1>0. S 13=()113132a a +=13a 7<0.∴S n <0时,n 的最小值为13.数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中,n ≤6时,n n S a >0,7≤n ≤12时,n n S a <0,n ≥13时,n n S a >0.对于:7≤n ≤12时,nnS a <0.S n >0,但是随着n 的增大而减小;a n <0, 但是随着n 的增大而减小,可得:nn S a <0,但是随着n 的增大而增大.∴n =7时,nnS a 取得最小值.综上可得:ABCD 都正确. 故选:ABCD . 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 29.AD 【分析】先根据题意得1110a a +>,1120a a +<,再结合等差数列的性质得60a >,70a <,0d <,{}n S 中6S 最大,49a a <-,即:49a a <.进而得答案.【详解】解:根据等差数列前n 项和公式得:()111111102a a S +=>,()112121202a a S +=<所以1110a a +>,1120a a +<, 由于11162a a a +=,11267a a a a +=+, 所以60a >,760a a <-<, 所以0d <,{}n S 中6S 最大, 由于11267490a a a a a a +=+=+<, 所以49a a <-,即:49a a <. 故AD 正确,BC 错误. 故选:AD. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式与等差数列的性质,是中档题. 30.CD 【分析】根据等差数列中1118S S =可得数列的公差0d <,再根据二次函数的性质可知15S 是最大值,同时可得150a =,进而得到290S =,即可得答案;【详解】1118S S =,∴0d <,设2n S An Bn =+,则点(,)n n S 在抛物线2y Ax Bx =+上,抛物线的开口向下,对称轴为14.5x =,∴1514S S =且为n S 的最大值,1118S S =12131815070a a a a ⇒+++=⇒=,∴129291529()2902a a S a +===, 故选:CD. 【点睛】本题考查利用二次函数的性质研究等差数列的前n 项和的性质,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.。
等差数列练习题(带解析)

等差数列练习题一、单选题(共10题;共0分)1.数列前项和为,,,,若,则=()A. B. C. D.2.在数列中,,则的值为()A.−2B.C.D.3.数列,,,,的第14项是A. B. C. D.4.已知数列的前n项和为,且,则数列的通项公式为A. B. C. D.5.已知数列{a n}满足a1=1,,则254是该数列的()A.第14项B.第12项C.第10项D.第8项6.等比数列{a n}的前n项和为S n,己知S2=3,S4=15,则S3=( )A.7B.-9C.7或-9D.7.等差数列的前项和为,若,则()A. B. C. D.8.《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作,书中系统的介绍了等差数列,同类结果在三百多年后的印度才首次出现.书中有这样一个问题,大意为:某女子善于织布,后一天比前一天织的快,而且每天增加的数量相同,已知第一天织布5尺,一个月(按30天计算)总共织布585尺,问每天增加的数量为多少尺?该问题的答案为()A.尺B.尺C.尺D.尺9.将正整数按如图所示的规律排列下去,且用表示位于从上到下第行,从左到右n列的数,比如,若,则有()A. B.C. D.10.世界上最古老的数学著作《莱茵德纸草书》中有一道这样的题目:把磅面包分给个人,使每人所得成等差数列,且使较大的两份之和的是较小的三份之和,则最小的份为()A.磅B.磅C.磅D.磅二、填空题(共10题;共0分)11.观察如图中各多边形图案,每个图案均由若干个全等的正六边形组成,记第个图案中正六边形的个数是.由,,,…,可推出________.12.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图中的实心点个数1,5,12,22,…,被称为五角形数,其中第1个五角形数记作,第2个五角形数记作,第3个五角形数记作,第4个五角形数记作,……,若按此规律继续下去,若,则________.13.某种平面分形图如图所示,一级分形图是由一点出发的三条线段,长度相等,两两夹角为120°;二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来的线段,且这两条线段与原线段两两夹角为120°,……,依此规律得到n级分形图.则n级分形图中共有________条线段.14.已知圆的有条弦,且任意两条弦都彼此相交,任意三条弦不共点,这条弦将圆分成了个区域,(例如:如图所示,圆的一条弦将圆分成了2(即)个区域,圆的两条弦将圆分成了4(即)个区域,圆的3条弦将圆分成了7(即)个区域),以此类推,那么与之间的递推式关系为:________.15.如图,数表满足:第n行首尾两数均为n;(2)表中递推关系类似杨辉三角,记第n(n>1)行第2个数为a(n).根据表中上下两行数据关系,可以求得当n≥2时,a(n)=________.16.数列由,确定,则________.17.已知数列满足,,,则 ________.18.已知等比数列中,则其前3项的和的取值范围是________.19.(2018•北京)设是等差数列,且a1=3, a2+a5= 36,则的通项公式为________20.数列满足, ,数列的前项和为=________.三、解答题(共4题;共0分)21.已知等差数列的首项,公差,前项和为,.(1)求数列的通项公式;(2)设数列前项和为,求.22.在数列中,,.(1)求证:数列是等差数列;(2)求数列的前n项和.23.在数列中,,,设.(1)证明:数列是等比数列,并求的通项公式;(2)求的前项和.24.设正项数列的前项和为,且满足,,.(1)求数列的通项公式;(2)若正项等比数列满足,,且,数列的前项和为,求证.等差数列练习题答案部分第 1 题:【答案】C【解析】【解答】由题意有:当时,,两式作差可得:,由于,故,即数列的奇数项、偶数项分别构成一个公差为3的等差数列,,据此可得,则数列的通项公式为:,,,加2后能被3整除,则.故答案为:C.【分析】本题利用对n进行分类讨论,再利用S求a的方法求出第k项,从而求出k的值。
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一、等差数列选择题1.已知数列{}n a 的前项和221n S n =+,n *∈N ,则5a =( )A .20B .17C .18D .192.已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,若S 2=8,38522a a a +=+,则a 1等于( ) A .1B .2C .3D .43.在等差数列{}n a 中,3914a a +=,23a =,则10a =( ) A .11B .10C .6D .34.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且3944a a a +=+,则15S =( ) A .45B .50C .60D .805.设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+. 则8a 的值为( ).A .65B .16C .15D .146.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()12n n n S +=,则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项的和为( ) A .89B .910C .1011D .11127.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,10a <且11101921a a =,则当n S 取最小值时,n 的值为( ) A .21B .20C .19D .19或208.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,112a =,2n ≥且*n ∈N ,满足120n n n a S S -+=,数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,则下列说法中错误的是( ) A .214a =-B .648211S S S =+ C .数列{}12n n n S S S +++-的最大项为712D .1121n n n n nT T T n n +-=++ 9.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=,数列{}n b 是等比数列,且77b a =,则3810b b b =( )A .1B .8C .4D .210.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著,约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快,且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺,20日共织布232尺,则该女子织布每日增加( )尺A .47B .1629C .815D .4511.已知正项数列{}n a 满足11a =,1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,数列{}n b 满足1111n n nb a a +=+,记{}n b 的前n 项和为n T ,则20T 的值为( ) A .1B .2C .3D .412.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列{} n a ,则5a =( ) A .103B .107C .109D .10513.在数列{}n a 中,11a =,且11nn na a na +=+,则其通项公式为n a =( ) A .211n n -+ B .212n n -+C .221n n -+D .222n n -+14.在等差数列{}n a 中,25812a a a ++=,则{}n a 的前9项和9S =( ) A .36B .48C .56D .7215.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若718a a a -<<-,则必定有( ) A .70S >,且80S < B .70S <,且80S > C .70S >,且80S >D .70S <,且80S <16.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若542S S =,248a a +=,则5a 等于( ) A .6B .7C .8D .1017.已知等差数列{}n a 中,7916+=a a ,41a =,则12a 的值是( ) A .15B .30C .3D .6418.已知数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n N =∈,则{}na 的通项公式为( )A .2n a n =B .21n a n =-C .32n a n =-D .1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩19.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中,戊所得为( )A .54钱 B .43钱 C .23钱 D .53钱 20.《周碑算经》有一题这样叙述:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸,前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸,则后五个节气日影长之和为( )(注:一丈=十尺,一尺=十寸) A .一丈七尺五寸 B .一丈八尺五寸 C .二丈一尺五寸D .二丈二尺五寸二、多选题21.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,….,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .68a =B .733S =C .135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D .22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=22.题目文件丢失!23.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若30S =,46a =,则( ) A .23n S n n =- B .2392-=n n nSC .36n a n =-D .2n a n =24.首项为正数,公差不为0的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,则下列4个命题中正确的有( )A .若100S =,则50a >,60a <;B .若412S S =,则使0n S >的最大的n 为15;C .若150S >,160S <,则{}n S 中7S 最大;D .若89S S <,则78S S <. 25.定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优值”2nn H =,前n 项和为n S ,则( )A .数列{}n a 为等差数列B .数列{}n a 为等比数列C .2020202320202S = D .2S ,4S ,6S 成等差数列26.等差数列{}n a 的首项10a >,设其前n 项和为{}n S ,且611S S =,则( )A .0d >B .0d <C .80a =D .n S 的最大值是8S 或者9S27.下列命题正确的是( )A .给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B .若等差数列{}n a 的公差0d >,则{}n a 是递增数列C .若a ,b ,c 成等差数列,则111,,a b c可能成等差数列 D .若数列{}n a 是等差数列,则数列{}12++n n a a 也是等差数列28.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差为d .已知312a =,120S >,70a <则( ) A .60a > B .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列C .0nS <时,n 的最小值为13D .数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 29.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若39S =,47a =,则( )A .2n S n =B .223n S n n =-C .21n a n =-D .35n a n =-30.公差为d 的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,110S >,120S <,下列说法正确的有( ) A .0d <B .70a >C .{}n S 中5S 最大D .49a a <【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.C 【分析】根据题中条件,由554a S S =-,即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a 的前项和2*21,n S n n N =+∈, 所以22554(251)(241)18a S S =-=⨯+-⨯+=. 故选:C . 2.C 【分析】利用等差数列的下标和性质以及基本量运算,可求出1a . 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则3856522a a a a a +=+=+,解得652d a a =-=,212112228S a a a d a =+=+=+=,解得13a =故选:C 3.A 【分析】利用等差数列的通项公式求解1,a d ,代入即可得出结论. 【详解】由3914a a +=,23a =, 又{}n a 为等差数列, 得39121014a a a d +=+=,213a a d =+=,解得12,1a d ==, 则101+92911a a d ==+=; 故选:A. 4.C 【分析】利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解 【详解】{}n a 是等差数列,3944a a a +=+,4844a a a ∴+=+,84a =1158158()15215156022a a a S a +⨯⨯====故选:C 【点睛】本题考查等差数列性质及前n 项和公式,属于基础题 5.C 【分析】利用()12n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的通项公差,然后求解8a . 【详解】由21n S n =+得,12a =,()2111n S n -=-+,所以()221121n n n a S S n n n -=-=--=-,所以2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩,故828115a =⨯-=.故选:C. 【点睛】本题考查数列的通项公式求解,较简单,利用()12n n n a S S n -=-≥求解即可. 6.C 【分析】首先根据()12n n n S +=得到n a n =,设11111n n n b a a n n +==-+,再利用裂项求和即可得到答案. 【详解】当1n =时,111a S ==, 当2n ≥时,()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=. 检验111a S ==,所以n a n =. 设()1111111n n n b a a n n n n +===-++,前n 项和为n T , 则10111111101122310111111T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…. 故选:C 7.B 【分析】 由题得出1392a d =-,则2202n dS n dn =-,利用二次函数的性质即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d , 由11101921a a =得11102119a a =,则()()112110199a d a d +=+, 解得1392a d =-,10a <,0d ∴>,()211+2022n n n dS na d n dn -∴==-,对称轴为20n =,开口向上, ∴当20n =时,n S 最小.故选:B. 【点睛】方法点睛:求等差数列前n 项和最值,由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数,当1a 与d 异号时,n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值;当1a 与d 同号时,n S 在1n =取最值. 8.D 【分析】当2n ≥且*n ∈N 时,由1n n n a S S -=-代入120n n n a S S -+=可推导出数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,确定该数列的首项和公差,可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式,由221a S S =-可判断A 选项的正误;利用n S 的表达式可判断BC 选项的正误;求出n T ,可判断D 选项的正误. 【详解】当2n ≥且*n ∈N 时,由1n n n a S S -=-, 由120n n n a S S -+=可得111112020n n n n n nS S S S S S ----+=⇒-+=, 整理得1112n n S S --=(2n ≥且n +∈N ). 则1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以2为首项,以2为公差的等差数列()12122n n n S ⇒=+-⋅=,12n S n ∴=. A 中,当2n =时,221111424a S S =-=-=-,A 选项正确; B 中,1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,显然有648211S S S =+,B 选项正确; C 中,记()()1212211221n n n n b S S n n n S ++=+-=+-++, ()()()1123111212223n n n n b S S S n n n ++++=+-=+-+++,()()()1111602223223n n n b b n n n n n n ++∴-=--=-<++++,故{}n b 为递减数列, ()1123max 111724612n b b S S S ∴==+-=+-=,C 选项正确; D 中,12n n S =,()()2212n n n T n n +∴==+,()()112n T n n +∴=++. ()()()()()()11112112111n n n n T T n n n n n n n n n n n n n n +-=⋅++⋅++=+--+++++222122212n n n n n n T =-++=+-≠,D 选项错误.故选:D . 【点睛】关键点点睛:利用n S 与n a 的关系求通项,一般利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求解,在变形过程中要注意1a 是否适用,当利用作差法求解不方便时,应利用1n n n a S S -=-将递推关系转化为有关n S 的递推数列来求解. 9.B 【分析】根据等差数列的性质,由题中条件,求出72a =,再由等比数列的性质,即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=,所以27720a a -=,解得72a =或70a =(舍);又数列{}n b 是等比数列,且772b a ==,所以33810371178b b b b b b b ===.故选:B. 10.D 【分析】设该妇子织布每天增加d 尺,由等差数列的前n 项和公式即可求出结果 【详解】设该妇子织布每天增加d 尺, 由题意知2020192042322S d ⨯=⨯+=, 解得45d =. 故该女子织布每天增加45尺. 故选:D 11.B 【分析】 由题意可得221114n na a +-=,运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-,求得14n b =,然后利用裂项相消求和法可求得结果【详解】解:由11a =,1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,得221114n n a a +-=,所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差,以1为首项的等差数列, 所以2114(1)43n n n a =+-=-, 因为0n a >,所以n a =,所以1111n n nb a a +=+=所以14n b ==,所以201220T b b b =++⋅⋅⋅+111339(91)244=++⋅⋅⋅+=⨯-=, 故选:B 【点睛】关键点点睛:此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和,解题的关键是由已知条件得221114n n a a +-=,从而数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差,以1为首项的等差数列,进而可求n a =,14nb ==,然后利用裂项相消法可求得结果,考查计算能力和转化思想,属于中档题 12.B 【分析】根据题意可知正整数能被21整除余2,即可写出通项,求出答案. 【详解】根据题意可知正整数能被21整除余2,21+2n a n ∴=, 5215+2107a ∴=⨯=.故选:B. 13.D 【分析】先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=,再由累加法计算出2122n n n a -+=,进而求出n a .【详解】 解:11nn na a na +=+,()11n n n a na a ++=∴,化简得:11n n n n a a a a n ++=+, 两边同时除以1n n a a +并整理得:111n nn a a +-=, 即21111a a -=,32112a a -=,43113a a -=,…,1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈, 将上述1n -个式子相加得:213243111111+a a a a a a --+-+ (1)11123n n a a -+-=+++…1n +-, 即111(1)2n n n a a --=, 2111(1)(1)2=1(2,)222n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈, 又111a =也满足上式, 212()2n n n n z a -+∴=∈, 22()2n a n z n n ∴=∈-+.故选:D. 【点睛】 易错点点睛:利用累加法求数列通项时,如果出现1n -,要注意检验首项是否符合. 14.A 【分析】根据等差数列的性质,由题中条件,得出54a =,再由等差数列前n 项和公式,即可得出结果. 【详解】因为{}n a 为等差数列,25812a a a ++=, 所以5312a =,即54a =, 所以()1999983622a a S +⨯===. 故选:A . 【点睛】熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键. 15.A【分析】根据已知条件,结合等差数列前n 项和公式,即可容易判断. 【详解】依题意,有170a a +>,180a a +< 则()177702a a S +⋅=>()()188188402a a S a a +⋅==+<故选:A . 16.D 【分析】由等差数列的通项公式及前n 项和公式求出1a 和d ,即可求得5a . 【详解】解:设数列{}n a 的首项为1a ,公差为d , 则由542S S =,248a a +=,得:111154435242238a d a d a d a d ⨯⨯⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭+++=⎧⎪⎨⎪⎩,即{1132024a d a d +-+=, 解得:{123a d =-=,51424310a a d ∴=+=-+⨯=.故选:D. 17.A 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据等差数列的通项公式列方程组,求出1a 和d 的值,12111a a d =+,即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则111681631a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩,即117831a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得:174174d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以12117760111115444a a d =+=-+⨯==, 所以12a 的值是15, 故选:A18.B 【分析】利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式,然后验证1a 的值是否适合,最后写出n a 的式子即可. 【详解】2n S n =,∴当2n ≥时,221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-,当1n =时,111a S ==,上式也成立,()*21n a n n N ∴=-∈,故选:B. 【点睛】易错点睛:本题考查数列通项公式的求解,涉及到的知识点有数列的项与和的关系,即11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,算出之后一定要判断1n =时对应的式子是否成立,最后求得结果,考查学生的分类思想与运算求解能力,属于基础题. 19.C 【分析】根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -,a d -,a ,a d +,2a d +,然后再由五人钱之和为5,甲、乙的钱与与丙、丁、戊的钱相同求解. 【详解】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -,a d -,a ,a d +,2a d +,则根据题意有(2)()()(2)5(2)()()(2)a d a d a a d a d a d a d a a d a d -+-+++++=⎧⎨-+-=++++⎩,解得116a d =⎧⎪⎨=-⎪⎩,所以戊所得为223a d +=, 故选:C . 20.D 【分析】由题知各节气日影长依次成等差数列,设为{}n a ,n S 是其前n 项和,已知条件为985.5S =,14731.5a a a ++=,由等差数列性质即得5a ,4a ,由此可解得d ,再由等差数列性质求得后5项和. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列,设为{}n a ,n S 是其前n 项和,则()19959985.52a a S a +===(尺),所以59.5a =(尺),由题知1474331.5a a a a ++==(尺),所以410.5a =(尺),所以公差541d a a =-=-, 则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=(尺). 故选:D .二、多选题21.ABCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥,对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ,写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8,故A 正确; 对B ,71123581333S =++++++=,故B 正确;对C ,由12a a =,342a a a =-,564a a a =-,……,201920202018a a a =-, 可得:135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项.对D ,斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+,则2121a a a =,()222312321a a a a a a a a =-=-,()233423423a a a a a a a a =-=-,……,()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-,220192019202020192018a a a a a =-2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=,故D 正确;故选:ABCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景,考查数列的递推关系及性质,考查方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意递推关系的灵活转换.22.无23.BC 【分析】由已知条件列方程组,求出公差和首项,从而可求出通项公式和前n 项和公式 【详解】解:设等差数列{}n a 的公差为d , 因为30S =,46a =,所以113230236a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,解得133a d =-⎧⎨=⎩, 所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-,21(1)3(1)393222n n n n n n nS na d n ---=+=-+=, 故选:BC 24.ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质,逐一检验选项,即可得答案. 【详解】对于A :因为正数,公差不为0,且100S =,所以公差0d <, 所以1101010()02a a S +==,即1100a a +=, 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=,又0d <, 所以50a >,60a <,故A 正确; 对于B :因为412S S =,则1240S S -=,所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=,又10a >, 所以890,0a a ><, 所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>,116891616()16()022a a a a S ++===, 所以使0n S >的最大的n 为15,故B 正确; 对于C :因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>,则80a >, 116891616()16()022a a a a S ++===,则890a a +=,即90a <, 所以则{}n S 中8S 最大,故C 错误;对于D :因为89S S <,则9980S a S =->,又10a >, 所以8870a S S =->,即87S S >,故D 正确, 故选:ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负,再根据等差数列的性质,对求和公式进行变形,求得项的正负,再分析和判断,考查等差数列性质的灵活应用,属中档题. 25.AC 【分析】由题意可知112222n n nn a a a H n-+++==,即112222n n n a a a n -+++=⋅,则2n ≥时,()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅,可求解出1n a n =+,易知{}n a 是等差数列,则A 正确,然后利用等差数列的前n 项和公式求出n S ,判断C ,D 的正误. 【详解】 解:由112222n n nn a a a H n-+++==,得112222n n n a a a n -+++=⋅,①所以2n ≥时,()211212212n n n a a a n ---+++=-⋅,②得2n ≥时,()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅,即2n ≥时,1n a n =+,当1n =时,由①知12a =,满足1n a n =+.所以数列{}n a 是首项为2,公差为1的等差数列,故A 正确,B 错, 所以()32n n n S +=,所以2020202320202S =,故C 正确.25S =,414S =,627S =,故D 错,故选:AC . 【点睛】本题考查数列的新定义问题,考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解,难度一般. 26.BD 【分析】由6111160S S S S =⇒-=,即950a =,进而可得答案. 【详解】解:1167891011950S S a a a a a a -=++++==, 因为10a >所以90a =,0d <,89S S =最大, 故选:BD . 【点睛】本题考查等差数列的性质,解题关键是等差数列性质的应用,属于中档题. 27.BCD 【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】A 选项:给出数列的有限项不一定可以确定通项公式;B 选项:由等差数列性质知0d >,{}n a 必是递增数列;C 选项:1a b c ===时,1111a b c===是等差数列,而a = 1,b = 2,c = 3时不成立; D 选项:数列{}n a 是等差数列公差为d ,所以11112(1)223(31)n n a a a n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列;故选:BCD 【点睛】本题考查了等差数列,利用等差数列的性质判断选项的正误,属于基础题. 28.ACD 【分析】 由已知得()()612112712+12+220a a a a S ==>,又70a <,所以6>0a ,可判断A ;由已知得出2437d -<<-,且()12+3n a n d =-,得出[]1,6n ∈时,>0n a ,7n ≥时,0n a <,又()1112+3n a n d =-,可得出1n a 在1,6n n N上单调递增,1na 在7nn N ,上单调递增,可判断B ;由()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=,可判断C ;判断 n a ,n S 的符号, n a 的单调性可判断D ; 【详解】由已知得311+212,122d a a a d ===-,()()612112712+12+220a a a a S ==>,又70a <,所以6>0a ,故A 正确;由7161671+612+40+512+3>0+2+1124+7>0a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪==⎨⎪==⎩,解得2437d -<<-,又()()3+312+3n a n d n d a =-=-,当[]1,6n ∈时,>0n a ,7n ≥时,0n a <,又()1112+3n a n d=-,所以[]1,6n ∈时,1>0na ,7n ≥时,10n a <,所以1na 在1,6n n N上单调递增,1na 在7n n N ,上单调递增,所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是递增数列,故B 不正确;由于()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=,而120S >,所以0n S <时,n 的最小值为13,故C 选项正确 ;当[]1,6n ∈时,>0n a ,7n ≥时,0n a <,当[]1,12n ∈时,>0n S ,13n ≥时,0nS <,所以当[]7,12n ∈时,0n a <,>0n S ,0nnS a <,[]712n ∈,时,n a 为递增数列,n S 为正数且为递减数列,所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项,故D 正确;【点睛】本题考查等差数列的公差,项的符号,数列的单调性,数列的最值项,属于较难题. 29.AC 【分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组,求出11a =,2d =,由此能求出n a 与n S . 【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S .39S =,47a =,∴31413239237S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩, 解得11a =,2d =,1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=.()21212n n n S n +-==故选:AC . 【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 30.AD 【分析】先根据题意得1110a a +>,1120a a +<,再结合等差数列的性质得60a >,70a <,0d <,{}n S 中6S 最大,49a a <-,即:49a a <.进而得答案.【详解】解:根据等差数列前n 项和公式得:()111111102a a S +=>,()112121202a a S +=< 所以1110a a +>,1120a a +<,由于11162a a a +=,11267a a a a +=+, 所以60a >,760a a <-<, 所以0d <,{}n S 中6S 最大, 由于11267490a a a a a a +=+=+<, 所以49a a <-,即:49a a <. 故AD 正确,BC 错误. 故选:AD. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式与等差数列的性质,是中档题.。