3.2.2几种函数模型的应用举例

合集下载

3.2.2 函数模型的应用举例

3.2.2 函数模型的应用举例
教学目标
1 能够写出函数解析式，确定函数模型； 2 能利用数据表格、函数图像讨论模型 3 注意限制条件，选出正确的函数模型
教学重难点
1用函数思想解决实际问题 2确定函数模型及利用表格，图象等讨论函数模型
教学方法
自主求学式
问题
王老师今天从市中心到梅中上课，来的时候坐了出租车。我们知道无锡出租车的价格，凡上车起步价为8元，行程不超过3km者均按此价收费，行程超过3km，按1.8元/km收费。市中心到梅中的路程是 25公里，问王老师今天坐车用了多少钱？市中心到梅中的路程是 x公里，问王老师今天坐车会用多少钱？
例3.为保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地矩形 ABCD（如下图所示）上规划出一块矩形地面建造住宅区小公园 POCR（公园的两边分别落在BC和CD上），但不能超过文物保护三角形AEF的红线EF．问如何设计才能使公园占地面积最大？并求出最大面积．已知AB＝CD＝200m，BC＝AD＝160m， AE＝60m，AF＝40m． 120≤x≤160 解析：设PR＝x m，
0
A
时间
0
B
时间
0
C
时间
0
D
时间
c对应的参考事件：我出发后感到时间较紧，所以加速前进，后来发现时间还很充裕，于是放慢了速度。
例题讲解
例1
某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价/元日均销售量/桶
6 480
7
440
小结：
1.解题四步骤：设、列、解、答. 2.解题过程：从问题出发，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义做出回答. 即建立数学模型，并推理演算求出数学模型的解，再结合实际做出回答.

【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.2.2 函数模型的应用实例课件新人教A版必修1

当该顾客购买茶杯 40 个时，采用优惠办法 (1) 应付款 y1 ＝
5×40＋60＝260元；采用优惠办法(2)应付款y2＝4.6×40＋73.6 ＝257.6元，由于y2<y1，因此应选择优惠办法(2).
2
2
二次函数模型问题与函数的图象
西部山区的某种特产由于运输原因，长期只能
在当地销售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：每年投 1 入 x 万元，可获得利润 P＝－160(x－40)2＋100(万元)．当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年都投入 60 万元的销售投资，在未来 10 年的前 5 年中，每年都从 60 万元中拨出 30 万元用于修建一条公路，5 年修成，通车前该特产只能在当地销售；
●温故知新
旧知再现 1．常见的函数模型 kx k为常数，k≠0)； (1)正比例函数模型：f(x)＝____(
k (2)反比例函数模型：f(x)＝____( x k为常数，k≠0)；
(3)一次函数模型：f(x)＝________( kx＋b k，b为常数，k≠0)； ax2＋bx＋c a ， b ， c 为常数， (4) 二次函数模型： f(x) ＝ ____________(
(1)分别求出通话费y1、y2与通话时间x之间的函数关系式； (2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜．
[分析]
由题目可获取以下主要信息： (1)通过图象给出函
数关系， (2) 函数模型为直线型， (3) 比较两种函数的增长差异．解答本题可先用待定系数法求出解析式，然后再进行函数值大小的比较．
1 又由题设 P＝－160(x－40)2＋100 知，每年投入 30 万元时， 795 利润 P＝ 8 (万元)．前 5 年的利润和为 795 2 775 8 ×5－150＝ 8 (万元)．

3.2.2函数模型应用实例1

h (t )
1
(t 3 5 0 ) 1 0 0
2
,所以当
t 300
8 7 .5
综上,由 1 0 0 8 7 .5 可知, h ( t ) 在 [0, 3 0 0 ] 上可以取得最大值 100,此时 t =50,即二月一日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益最大.
中学数学网（群英学科）提供
3.2.2 函数模型的应用实例
第一课时
y kx b(k 0) 直 1.一次函数的解析式为__________________ , 其图像是一条 ____线，
当________时，一次函数在 ( ,) 上为增函数，当_______时，一次函数在 (,) 上为减函数。
2
y ax bx c(a 0) 2.二次函数的解析式为_______________________,
v
90 80 70
60 50 40 30 20 10
1 2 3 4 5
解(1)阴影部分的面积为 50 1 80 1 90 1 75 1 65 1 360
阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km (2)根据图形可得：
S
第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果。第四步：再转译为具体问题作出解答。
实际问题
抽象概括
数学模型推理演算
实际问题的解
还原说明
数学模型的解
布置作业 1 . (必做)课本第107页习题1,2
2.（选做）甲乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模（产量）进行调查，提供了两个方面的信息，如下图：
r6≈0.0223, r7≈0.0276, r8≈0.0222, r9≈0.0184. 可得,1951-1959年期间我国人口的平均增长率分为 r ( r1 r2 r9 ) 9 0 .0-1959年期间我国的人口增长模型为 0.0221 t y 55196 e , t N.

3.2.2函数模型的应用实例

教材：普通高中课程标准实验教科书数学必修① A版课题：3.2.2 函数模型的应用实例（第1课时）开课学校：福建省厦门市集美中学开课教师：浙江省桐乡市茅盾中学顾承坤开课时间：2007.11.3 4一、教学目标1．知识与技能目标：通过两个函数模型应用实例，让学生理解一次函数、二次函数、指数函数和分段函数等函数在社会生活中的广泛应用，提高学生的读图能力。

2．过程与方法目标：通过两个函数模型应用实例，让学生感受社会生活中的实际问题数学化的过程，运用数学思想和方法解决实际问题的过程，以及学会分析并正确处理实际问题与理论模型之间存在差距的原因；提高学生在数学的图形语言、文字语言和符号语言之间的转化能力和熟练程度，让学生掌握数学建模的一些基本方法。

3．情感、态度与价值观目标：在实际问题的解决中，使学生感受到数学与物理、社会和生活之间的密切联系，体会数学学习的重要性和实用性；对社会问题的进一步认识，提升学生对数学价值的认识和自身价值的认识。

二、重点与难点1．重点：分段函数和指数函数的应用。

2．难点：函数模型的检验。

三．教学过程1．引入2．例1 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如下图所示。

（1）请你说出汽车的行驶规律，并写出汽车速度v与时间t的关系式；（2）分别计算当0<t0≤1和1<t0≤2时，直线t=t0与纵轴之间围成封闭图形的面积，并说出面积的实际含义；（3）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶前的读数为2000km ，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s km 与时间t h 的函数解析式，并作出相应的图象。

3．练习（1）汽车在某段路程中的行驶状态如下图所示，请你说出汽车的行驶规律。

练习（2）季美同学早上一般用均匀的速率去学校读书，今天早上途中因故耽搁了一些时间，所以在其后的时间里，季美同学加快了去学校的速率，最后及时到达学校。

下面四个图能恰当表示出今天早上季美同学离学校之间的路程与时间的关系是( )4．例2 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题。

必修1课件3.2.2-2函数模型的应用实例(二)

1）根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高xcm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式．
2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？
选取自变量
建立函数式
确定定义域
求函数最值
回Байду номын сангаас实际问题
例4．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：（身高：cm；体重：kg）
身高
体重身高
60
6.13 120
70
7.90 130
80
9.99 140
90
100
110
12.15 15.02 17.50 150 160 170
体重 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
销售单价/元日均销售量/桶
6 480
7 440
8 400
9 360
10 320
11 280
12 240
思考1:你能看出表中的数据有什么变化规律？解：(1)由表中信息可知:销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶. 思考2:假设每桶水在进价的基础上增加x元,则日均销售量为多少？
12 240
思考5:这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
y (520 40 x ) x 200 40 x 520 x 200
2
40( x 6.5) 1490
2
x 6.5，ymax 1490

3.2.2函数模型应用实例

60266
61456
62828
64563
65994
67207
y y0e
n (1)如果以各年人口增长平均值l作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符;
解：设1951~1959年的人口增长率分别为 r1 ,r 2 ,......,r 9 . 由
y 其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数， r表示人口的年平均增长率。
0
y y0e
n
表3是1950～1959年我国的人口数据资料：
年份
1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数／万人55196 Nhomakorabea56300
57482
58796
3.2.2 函数模型的应用实例
一辆汽车在某段路中的行驶速率与时间的关系如图1所示，
（1）求图1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行行驶这段路程前的读数为 2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象。
由图4可以看出,所得模型与 1950~1959年的实际人口数据基本吻合.
（2）如果按表3的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？
将y=130000代入 y 55196e0.0221t .t N.
由计算可得
t 38.76
所以,如果按表3的增长趋势,那么大约在1950 年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到 13亿.由此可以看到,如果不实行计划生育,而是让人口自然增长,今天我国将面临难以承受的人口压力.

3.2.2_函数模型的应用举例(1)

[精解详析] (1)当 0<x≤100 时，P＝60；
当 100<x≤500 时，P＝60－0.02(x－100)，所以 P＝f(x)＝62－5x0， 100<x≤500， (x∈N*)．
(6 分)
(2)设销售商一次订购量为 x 件时，工厂获得的利润为 L 元则，
返回
该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品，但不知投资A、B两种商品各多少才最合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润．(结果保留两个有效数字)
[思路点拨] 先画出投资额与获利的图像，再选择函数模型．
返回
[精解详析] 设投资额为x万元时，获得的利润为y万元．在直角坐标系中画出散点图并依次连接各点，如图所示，观察散点图可知图像接近直线和抛物线，因此可考虑用二次函数描述投资A种商品的利润y万元与投资额x万元之间的函数关系；用一次函数描述投资 B种商品的利润y万元与投资额x万元之间的函数关系．
解析：(1)由图象可知，当 t≤3 时，电话费都是 3.6 元． (2)由图象可知，当 t＝5 时，y＝6，需付电话费 6 元． (3)当 t≥3 时，y 关于 x 的图象是一条直线，且经过(3,3.6) 和(5,6)两点，故设函数关系式为 y＝kt＋b，则35kk＋＋bb＝＝36.，6，解得kb＝＝10..2，故 y 关于 t 的函数关系式为 y＝1.2t(t≥3)
1.如图所示，这是某电信局规定的打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空： (1)通话2分钟，需要付电话费__________元； (2)通话5分钟，需要付电话费________元； (3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为____________．

3.2.2_函数模型的应用实例(二)

3.2.2 函数模型的应用实例（二）1、今有一组数据，如表所示：)A．指数函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数2、某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林( )A．14400亩 B．172800亩 C．17280亩D．20736亩3、某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格相比，变化情况是( )A．增加7.84% B．减少7.84% C．减少9.5% D．不增不减4、据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( )A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2000) B．y＝0.3x＋1600(0≤x≤2000)C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2000) D．y＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000)5、如图，△ABC为等腰直角三角形，直线l与AB相交且l⊥AB，直线l截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y，点A到直线l的距离为x，则y＝f(x)的图象大致为四个选项中的( )6、小蜥蜴体长15 cm，体重15 g，问：当小蜥蜴长到体长为20 cm时，它的体重大约是( )A．20 g B．25 g C．35 g D．40 g7、现测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1；乙：y＝3x－1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为拟合模型较好．8、一根弹簧，挂重100 N的重物时，伸长20 cm，当挂重150 N的重物时，弹簧伸长________．9、某工厂8年来某产品年产量y与时间t年的函数关系如图，则：①前3年总产量增长速度越来越快；②前3年中总产量增长速度越来越慢；③第3年后，这种产品停止生产；④第3年后，这种产品年产量保持不变．以上说法中正确的是________．10、已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%.（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？（2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2003年世界人口还没有达到72亿.你对同样的模型得出的两个结果有何看法？11、某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双.由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量.厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人.假如你是厂长，就月份x，产量y给出四种函数模型：y=ax+b，y=ax2+bx+c，12=+,y=ab x+c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？y ax b。

§3.2.2 函数模型的应用举例

第三章函数的应用3.2 函数模型及其应用§3.2.2 函数模型的应用举例【学习目标】1.能够运用函数性质，解决某些简单的实际问题。

2.能够根据实际问题构建适当的函数模型，体会函数模型的广泛应用。

【预习提纲】1.函数模型的分类及其建立与应用根据实际应用问题提供的两个变量的数量关系是否确定，可把构建的函数模型分为两大类：第一类是确定函数模型，这类应用题提供的变量关系是确定的，是以现实生活为原型设计的；第二类是近似函数模型，或称拟合函数模型，这类应用题提供的变量关系是不确定的，只是给出了两个变量的几组对应值（是搜集或用实验方法测定的）.根据函数自身的种类，常见函数模型可分为一次函数模型、、、、、等.2.解答应用问题的程序概括为以下几点：（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符合语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原：将数学结论还原为实际问题的意义.【例题精讲】例1．如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1小时，骑摩托车者用了2小时，根据这个函数图象，推出关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者．其中正确信息的序号是( )A．①②③B．①③C．②③D．①②例2. 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示。

（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数关系式，并作出相应的图象。

h例3.一种药在病人血液中得量保持在1500 mg 以上，才有疗效；而低于500mg ，病人就有危险。

3-2-2 函数模型的应用实例

探究：已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是何种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答．解决此类型函数应用题的基本步骤是：
第三章
3.2
3.2.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
第一步，阅读理解，审清题意；读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景．在此基础上，分析出已知是什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．第二步，根据所给模型，列出函数关系式；根据问题已知条件和数量关系，建立函数关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题．第三步，利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果；
第三章
3.2
3.2.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
如果所建数学模型是函数问题，就成了函数模型，函数模型是数学模型的一个重要组成，是一类广泛的应用．总结：实际问题→表示模型→模型的解→实际问题．问题 2：我们如何来应用函数模型解决实际问题呢？
第三章
3.2
3.2.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
第三章
3.2
3.2.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
命题方向 2 二次函数模型问题与函数的图象
由函数的图象求出函数解析式，这是最基本的题型． [例 2] 甲、乙两人连续 6 年对某县农村甲鱼养殖业的规
模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息如下图．甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年 1 万只甲鱼上升到第 6 年 2 万只．
商店出售茶壶与茶杯，茶壶每个定价 20 元，茶杯每个 5 元，该商店推出两种优惠办法： ①买一个茶壶送一个茶杯， ②按购买总价的 92%付款．某顾客购买茶壶 4 个，茶杯若干个(不少于 4 个)，若购买茶杯数 x 个，付款为 y(元)，试分别建立两种优惠办法中，y 与 x 的函数关系式，并指出如果该顾客需要购买茶杯 40 个，应选择哪种优惠办法？

人教A版必修一3.2.2函数模型的应用实例

类型一：难题，需要55的接受能力以及13 min时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？. 思路点拨：利用所给函数关系式解决有关问题
规律方法：本题是常数函数、一次函数、二次函数混合在一起的分段函数，自变量的取值不同函数解析式可能不一样，这一点要特别注意.另外，函数的最值也是通过先求每一段的最值，然后再作比较而求得. 变式训练1－1：某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件.为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数或指数型函数，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.
思路点拨：解答本题可首先根据表中数据作出散点图，然后通过观察图象判断问题所适用的函数模型.
这样，我们得到一个函数模型：y=2.2+1.8x.作出函数图象如图（乙），可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映积雪深度与灌溉面积的关系. （3）由y=2.2+1.8×25，求得y=47.2，即当积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.2公顷. 规律方法：对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题. 函数拟合与预测的一般步骤是：
类型二：自建函数模型解应用题【例2】某市原来民用电价为0.52元/kW·h.换装分时电表后，峰时段（早上八点到晚上九点）的电价为0.55元/kW·h，谷时段（晚上九点到次日早上八点）的电价为0.35元 /kW·h.对于一个平均每月用电量为200 kW·h的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的 10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为多少kW·h？

必修一3-2-2函数模型的应用实例

课堂讲练互动
活页规范训练
名师点睛 1．利用确定函数模型求解实际问题这类应用题提供的变量关系是确定的，是以现实生活为原型设计的，其目的在于考查学生对数学语言的阅读、理解、表达与转化能力．求解时一般按以下几步进行： (1)阅读理解，认真审题，就是读懂题中的文字叙述，关键是找准题目中确定的相等关系，特别是隐含的相等关系；
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
2．利用拟合函数模型(近似函数模型)解决实际过程． (1)这类应用题提供的变量关系是不确定的，只是给出了两个变量的几组对应值(是搜集或用实验方法测定的)．为了降低难度，有时采用限定函数模型范围的方法．求解这种函数模型的一般步骤为：画散点图→选择函数模型→用待定系数法求函数模型 →检验，若符合实际，可用此函数模型解释实际问题，若不符合实际，则继续选择函数模型，重复操作过程．利用所得函数模型可解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
3．拟合函数模型的应用题求解步骤
想一想：数据拟合时，得到的函数为什么需要检验？提示因为根据已给的数据，作出散点图，根据散点图，一般是从我们比较熟悉的、最简单的函数作模拟，但所估计的函数有时可能误差较大或不切合客观实际，此时就要再改选其他函数模型．
课前训练
(2)引进数学符号，建立函数模型，把第一步分析得出的相等关系翻译成含有 x，y 的等式，即所谓建立了函数模型，这个函数模型可能含有一些待定的系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法确定； (3)利用函数知识，如单调性、最值等，对函数模型予以解答，即所谓解答函数模型； (4)翻译成具体问题作答．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练

3.2.2函数模型的应用实例2

ab(1 m 1 x m x2) 10 100
7. 依法纳税是每个公民应尽义务. 国家征收个人工薪所得税是分段计税的. 总收入不超过1600元的免征个人工薪所得税. 设全月纳税的所得额(指工薪中应纳税部分)为x, x = 全月总收入-1600. 税率如右：
级别全月纳税的所得额不超过500元部分税率 5%
2 y f (x) 52 ) (0.5 0.25x) (5 5 2 (x 5)
9. 某厂生产某种零件, 每个零件的成本为40元, 出厂单价定为60元, 该厂为鼓励销售商订购, 决定当一次订购量超过100个时, 每多订购一个, 订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元, 但实际出厂单价不能低于 51元. (1) 当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价 60 - 0.02(x-100) = 51 恰降为51元？ (2) 设一次订购量为x个, 零件的实际出厂单价为P元, 写出函数P=f(x)的表达式；
y 1 4 4 5 5
x x
4 1 x > 10 10 5
x
11. 某工厂产值连续三年持续增长, 这三年的年增长率分别为x1, x2, x3, 这三年的年平均增长率为P, 则( ) x1 x2 x3 x1 x2 x3 (B) P (A) P = 3 3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 (C) P (D) P与的大小不定 3 3 该年产值 = 前一年产值 · (1+x%)
(2) 为使公司今年按新价让利后的获利总额不低于5万元, 则该公司在今年至少应销售多少台这种电脑？
y 3000 2880 1 25% n 50000
3. 甲、乙两个粮库要向A、B两地调运大米, 已知甲库可调出100吨大米, 乙库可调出80吨. A地需70吨, B地需110吨, 两库到两地的路程及运费如下表：

高中数学3.2.2.2 指数型、对数型函数模型的应用举例

x12 3 4 5 y 3 5 6.99 9.01 11
下列函数模型中,最接近地表示这组数据满足的规律的一个是
()
A.指数函数
B.反比例函数
C.一次函数
D.二次函数
2.(2014·大连高一检测)某工厂今年1月,2月,3月生产某产品分别为1万件,1.2万件,1.3万件,为了预测以后每个月的产量, 以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x的关系,模拟函数可选用二次函数或指数型函数y=mnx +p(其中m,n,p为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件,请问选择以上哪个函数作为模型较好?并说明理由.
11%gx，x 4 000.
如果稿费为4 000元应纳税为448元,现知某人共纳税420元,所
以稿费应在800～4 000元之间,
所以(x-800)×14%=420,所以x=3 800.故选C.
2.(1)当0<x≤10时，
f(x)=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9，
【拓展延伸】解答应用问题的程序概括为“四步八字”,即 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型. (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型. (3)求模:求解数学模型,得出数学结论. (4)还原:将数学结论还原为实际问题的结论.
【规律总结】数据拟合问题的三种求解策略 (1)直接法:若由题中条件能明显确定需要用的数学模型,或题中直接给出了需要用的数学模型,则可直接代入表中的数据,问题即可获解. (2)列式比较法:若题所涉及的是最优化方案问题,则可根据表格中的数据先列式,然后进行比较.

高中数学3.2.2.1一次函数、二次函数、幂函数模型的应用举例

营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系
是
.
【解题指南】1.分析题意,明确各个量之间的关系,建立峰时段用电量与总电量之间的关系式,弄清利润=(售价-进价)×件数,本题数学模型为一次函数.
【自主解答】1.选D.①原来电费y1=0.52×200=104(元). ②设峰时段用电量为xkW·h,总电费为y, 则y=0.55x+(200-x)×0.35=0.2x+70, 由题意知0.2x+70≤(1-10%)y1,所以x≤118. 所以这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为118kW·h.
3.2.2 函数模型的应用实例
第1课时一次函数、二次函数、幂函数模型的应用举例
类型一一次函数模型的应用实例
1.某市原来民用电价为0.52元/kW·h.换装分时电表后,峰时段
(早上八点到晚上九点)的电价为0.55元/kW·h,谷时段(晚上九
点到次日早上八点)的电价为0.35元/kW·h.对于一个平均每月
【拓展延伸】解函数应用问题的基本步骤第一步:阅读理解,审清题意. 读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,在此基础上, 分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题. 第二步:引进数学符号,建立数学模型. 一般地,设自变量为x,函数为y,必要时引入其他相关辅助变量, 并用x,y和辅助变量表示各相关量,然后根据问题已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式, 将实际问题转化为函数问题,即所谓建立数学模型.
件不变的条件下,每裁员一人,则留岗员工每人每年可多创收
0.01万,但每年需付给每位下岗工人0.4万元的生活费,并且企
业正常运转所需人数不得少于现有员工的 3 ,设该企业裁员x

必修1课件3.2.2-1函数模型的应用实例(一)

年份人数/ 万人 1950 55196 1951 56300 1952 57482 1953 1954 1955 61456 1956 62828 1957 64563 1958 65994 1959 67207 58796 60266
年份人数/ 万人
1950 55196
1951 56300
1952 57482
年份人数/ 万人
1950 55196
1951 56300
1952 57482
1953 58796
1954 60266
1955 61456
1956 62828
1957 64563
1958 65994
1959 67207
思考3:用马尔萨斯人口增长模型，我国在1950～1959 年期间的人口增长模型是什么？解：(3)令y0=55196，则我国在1950～1959年期间的人口增长模型为：
( x 5) 5 x f ( x) ( x＞5) 25 3( x 5)
从中可以知道，函数与现实世界有着紧密的联系，有着广泛应用的，那么我们能否通过更多的实例来感受它们的应用呢？若能的话，那么如何在实际问题中建立函数模型呢？
例1.一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图3.2-7所示。 v (km/h) (1) 求图3.2-7中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；解：(1)阴影部分的面积为
例2.人口问题是当年世界各国普通关注的问题。认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型： y
y0e
rt
其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率。表3-8是1950～1959年我国的人口数据资料：

必修1-3.2.1-2几种不同增长的函数模型

教
堂
师
互动
∴f(2 012)>g(2 012)>g(6)>f(6)．
பைடு நூலகம்备课
探
资
究
源
菜单
新课标 ·数学必修1
教
思
学
想
教
方
法
法
分
技
析
巧
教学方案设计
1. 解答此类问题的关键是明确“指数爆炸”、“对数增长”等函数增长差异，需注意幂函数的增长是介于两者之间
当堂双基达标
课的．
前自主
课
自
时
主
导学
【答案】 D
作业
课
教
堂
师
互
备
动
课
探
资
究
源
菜单
当堂双基达标
课前
用(
)
课
自
主导
A．一次函数
B．二次函数
时作业
学
C．指数型函数
D．对数型函数
课
教
堂
师
互
备
动
课
探
资
究
源
菜单
新课标 ·数学必修1
教
思
学
想
教
方
法
法
分
技
析
巧
教学方案设计
当堂双基
【解析】结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可达标
课前
知，只有 D 选项对数型函数符合题设条件，故选 D.
标
课
前自
和建立数学模型．
课时
主导学

专题3.2.2 函数模型的应用实例-

跟踪知识梳理1、根据散点图设想比较接近的可能的函数模型： ①一次函数模型：()(0);f x kx b k =+≠ ②二次函数模型：2()(0);g x ax bx c a =++≠③指数函数模型：()x f x a b c =+g（0,a b ≠＞0，1b ≠） ④对数函数模型：()log a f x m x b =+g （0,m ≠01a a >≠且） ⑤幂函数模型：12()(0);h x ax b a =+≠ 2、一般函数模型应用题的求解方法步骤：1）阅读理解，审清题意：逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解题中所反映的实际问题，明白已知什么，所求什么，从中提炼出相应的数学问题。

2）根据所给模型，列出函数表达式：合理选取变量，建立实际问题中的变量之间的函数关系，而将实际问题转化为函数模型问题。

3）运用所学知识和数学方法，将得到的函数问题予以解答，求得结果。

4）将所解得函数问题的解，翻译成实际问题的解答。

在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观性，研究两变量间的联系. 抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制.核心能力必练一、选择题1．张先生从家到公司相距150千米，张先生开汽车以60千米/小时的速度从家到公司，在公司停留1小时后再以50千米/小时的速度返回家，把汽车离开家的距离x （千米）表示为时间t （小时）的函数表达式是（）A ．x =60tB ．x =60t +50tC ．()()600 2.515050 3.5t t x t t ≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩ D ．()()()()600 2.51502.5 3.515050 3.5 3.5 6.5t t x t t t ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪--<≤⎩【解析】根据题意可得从家到达公司共需要2.5小时，所以0 2.5t ≤≤时，60x t =，因为在公司停留1小时，所以当2.5 3.5t <≤时，150x =，因为以50千米/小时的速度返回A 地，共需要3小时，所以3.5 6.5t <≤时，()15050 3.5x t =--，故选D.2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10%），仍可获利10% （相对进货价），则该家具的进货价是（） A ．108元 B ．105元 C ．106元 D ．118元【-=-=-=答案=-=-=-】A【解析】设该家具的进货价为x 元，由题意，得1329.01.1⨯=x ，解得108=x ，即该家具的进货价是108元．3．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积与天数t 的关系式为e kt Va -=⋅，已知新丸经过50天后，体积变为49a .若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为（）A ．75天B ．100天C ．125天D ．150天【-=-=-=答案=-=-=-】A4．某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林（） A. 14 400亩 B. 172 800亩 C. 17 280亩 D. 20 736亩【-=-=-=答案=-=-=-】C【解析】根据题意得()31000010.217280+=（亩），故选C.5．牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度的关系为指数型函数y ＝ka x，若牛奶在0℃的冰箱中，保鲜时间约为100 h ，在5℃的冰箱中，保鲜时间约为80 h ，那么在10℃的冰箱中，保鲜时间约为 ( )A ．49 hB ．56 hC ．64 hD ．72 h【解析】由题意得05100,80,ka ka ⎧=⎪⎨=⎪⎩得k ＝100，a 5＝45，所以在10℃冰箱中，保鲜时间为100·a 10＝()2410064h 5⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，故选C.6．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，则每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件，如果使得每天所赚的利润最大，那么他应将每件的销售价定为（） A ．11元 B ．12元 C ．13元 D ．14元【-=-=-=答案=-=-=-】D7．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为2121L x x =-+和22L x =，其中x 为销售量（单位：辆）.若该公司这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为（） A ．120.25万元 B ．120万元 C. 90.25万元 D ．132万元【-=-=-=答案=-=-=-】B【解析】设该公司在甲地销售x 辆车，在两地共获得的利润为y 万元，则在乙地销售15x -辆车，由题意可得()22219212151930120.252y x x x x x x ⎛⎫=-++-=-++=--+ ⎪⎝⎭，当9x =或10时，能获得最大利润120万元，故选B.8．已知某一种物质每100年其质量就减少10%．设该物质原来的质量为m ，则过x 年后，该物质的质量y 与x 的函数关系式为（）A.1000.9xy m = B.1000.9x y m = C.10010.1xm ⎛⎫- ⎪⎝⎭D.()10010.1x y m =-【-=-=-=答案=-=-=-】B【解析】这种物质第一年质量减少后为m ⋅10019.0，第二年减少后为m ⋅10029.0，…，第x 年质量减少后为m x ⋅1009.0，所以函数关系式为m y x ⋅=1009.0．二、填空题9．一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为40 cm 、60 cm ，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是________cm 2. 【-=-=-=答案=-=-=-】60010．用清水洗衣服，每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗次．【-=-=-=答案=-=-=-】4【解析】由题意可知，洗x 次后存留的污垢为314x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令3114100x⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，解得13.32lg 2x ≥≈，因此至少要洗4次． 11．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 o 1C θ，空气的温度是 o0C θ，min t 后物体的温度 oC θ可由公式()0.24010e tθθθθ-=+-求得．把温度是 o100C 的物体，放在o10C 的空气中冷却mint 后，物体的温度是o40C ，那么t 的值约于．（保留三位有效数字，参考数据：ln 3取1.099，ln 2取0.693）【-=-=-=答案=-=-=-】4.58【解析】将401010001===θθθ，，代入公式()0.24010e t θθθθ-=+-可得，0.241e 3t -=，解得584243..ln≈=t．三、解答题12．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为()x x*∈N件．当20x≤时，年销售总收入为()233x x-万元；当20x>时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，（1）求y（万元）关于x（件）的函数关系式；（2）该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？并求出最大值．（年利润＝年销售总收入−年总投资）【-=-=-=答案=-=-=-】（1）()232100,020,160,20x x xy xx x*⎧-+-<≤=∈⎨->⎩N（2）16件，156万元13．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A万元，则超出部分按2log5（A＋1）进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励．记奖金总额为y（单位：万元），销售利润为x（单位：万元）．（1）写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；（2）如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？【-=-=-=答案=-=-=-】（1）50.1,0151.52log(14),15x xyx x<≤⎧=⎨+->⎩（2）他的销售利润是39万元【解析】（1）由题意，得50.1,015,1.52log(14),15.x xyx x<≤⎧=⎨+->⎩（2）∵(]0,15x∈时，0.1 1.5x≤，又5.5 1.5>，∴15x>，令51.52log (14) 5.5x +-=，解得39x =．答：老张的销售利润是39万元．14．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资A 类产品的收益与投资额成正比，投资B 类产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时，B A ,两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．（1）分别写出B A ,两类产品的收益与投资额的函数关系式；（2）该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？【-=-=-=答案=-=-=-】（1）()()108f x x x =≥，()()0xg x x =≥ （2）投资A 类为16万元，投资B类为4万元，最大收益为3万元【解析】（1）设B A ,两类产品的收益与投资额的函数式分别为()1f x k x =，()2g x k x =．由已知得()1118f k ==，()2112g k ==，所以()()108f x x x =≥， ()()0xg x x =≥．。