工程力学(天津大学)第10章答案要点
天津大学版工程力学习题答案
3-10求图示多跨梁支座 A 、C 处的约束力。
已知 M =8 kN - m q = 4kN/m , l =2m(b)习题3 - 10图解：（1）取梁BC 为研究对象。
其受力如图（b ）所示。
列平衡方程M B o,F c 21 q 31 色 029ql 9 4 2 F C18kN44（2）取整体为研究对象。
其受力如图（c ）所示。
列平衡方程 F y 0, F A F Cq 3l 0F AF C 3ql18 3 426kNM A 0,M A M F C 4l q 3l 3.5l 0M A MF C 4l 10.5ql 28 18 4 2 10.5 4 22 32kN m3- 11组合梁 AC 及CD 用铰链C 连接而成，受力情况如图（a ）所示。
设 F =50kN ,q = 25kN/m ，力偶矩 M = 50kN - m 求各支座的约束力。
U UnJl.1 rC F C1 ------ 1—2l _—亠(c) (a )qF AI IF CI~I I■* ------ 21 ------- ----------- 2L -------- l 亠2222FwiuiMab"""B'l" "" " L「BCD F D习题3- 11图解：(1)取梁 CD 为研究对象。
其受力如图 (c)所示。
列平衡方程M C 0, F D F D2q M2 25 5025kNM D 0, F C F C 6q4 25 5025kN(2)取梁AC 为研究对象。
其受力如图 (b)所示，其中 F 'c =F c =25kN 。
列平衡方程M B 0, 2 1 F C 2F AF 2q2F C50 2 25 2 2525kN()M A 0, F B3 F C 40 F B6q 4F C 50 6 25 4 25150kN6- 1作图示杆件的轴力图。
工程力学课后习题答案第10章题解g
( ) ∑ M B
= 0 ， FC
= − Me l
↓
77
CA 段
M
=
−
Me l
x1
⎜⎛ 0 ⎝
≤
x1
<
l 2
⎟⎞ ⎠
AB 段
M
=
−
Me l
x2
+
Me
⎜⎛ ⎝
l 2
<
x2
≤
l
⎟⎞ ⎠
CA
段 ⎜⎛ 0 ⎝
≤
x1
<
l 2
⎟⎞ ⎠
AB
段 ⎜⎛ ⎝
l 2
<
x2
≤
l ⎟⎞ ⎠
EIw1′′ =
−
Me l
x1
EIw1′
=
3d × (3d )3
12
=
81d 4 12
；设钢丝绳每股横截面为 d × d ，则 9 股钢丝绳的惯
性矩为 I 2
= 9× d ×d3 12
=
9d 4 12
=
1 9
I1
，故钢丝绳要柔软得多。
10-4 用叠加法求梁的位移时，应满足哪些条件？ 答 小变形。
10-5 提高梁的弯曲刚度的主要措施有哪些？与提高梁强度的措施有何不同？ 答 提高梁的弯曲刚度的主要措施有 （1）调整加载方式，改善结构设计； （2）减小梁的跨度，增加支承约束； （3）增大梁的弯曲刚度 EI。
)
=
3 8
qlx2
−
ql 2
⎜⎛ ⎝
x2
−
l 4
⎟⎞ ⎠
⎜⎛ ⎝
l 2
≤
x2
≤
l ⎟⎞ ⎠
工程力学第10章弯曲内力
例2、一外伸梁受力如图所示。试求D、B截面上的内力。
M 0 8KN.m
P=2KN
q=2KN/m
A D B
FBy
1m 2m 1m 1m
C
FAy
解：
1m
1、根据平衡条件求支座反力
M M
A
0 0
FBy 7 KN
FAy 3KN
B
2、求B、D截面上的内力?
求D左、D右、B左、B右截面上的内力。
NB
对称弯曲
F1
q
F2
M
纵向对称面
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都 在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴上且过弯曲中 心）。 变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条 平面曲线。
10.2
静定梁的分类（三种基本形式）
q(x) — 分布力
1、悬臂梁： L 2、简支梁： L 3、外伸梁： q — 均布力 F — 集中力 M — 集中力偶
P=2KN
A D
1m 1m 2m
B
C
1m 1m
FBy
FAy
D右截面： FQD右 Fy (右侧) FAy 3KN
M D右 M D (右侧) FAy 1 M o 3 8 5KN m
左
B左截面： FQB Fy (左侧) FAy q 3 3KN
M B右 M B左 FBy 0 M B左 5KN.m
亦可取梁的右侧的外力简化，但必须注意外力的符号变化。
0.8kN 1
A 1.5m 1.5m RA
2
1.2kN/m 例3、梁1-1、2-2截面处的内力。 解：（1）确定支座反力 B Fy 0, RA RB 0.8 1.2 3 0
工程力学课后习题答案
工程力学课后习题答案工程力学练习册学校学院专业学号教师姓名第一章静力学基础1-1 画出下列各图中物体A，构件AB，BC 或ABC的受力图，未标重力的物体的重量不计，所有接触处均为光滑接触。
（a）（b）（c）（d）（e）（f）（g）1-2 试画出图示各题中AC杆（带销钉）和BC杆的受力图（a）（b）（c）（a）1-3 画出图中指定物体的受力图。
所有摩擦均不计，各物自重除图中已画出的外均不计。
（a）（b）（c）（d）（e）（f）（g）第一章静力学基础 9第二章平面力系2-1 电动机重P=5000N，放在水平梁AC 的中央，如图所示。
梁的A端以铰链固定，另一端以撑杆BC支持，撑杆与水平梁的夹角为30 0。
如忽略撑杆与梁的重量，求绞支座A、B处的约束反力。
题2-1图∑∑=︒+︒==︒-︒=PF F F F F FB A y A B x 30sin 30sin ,0030cos 30cos ,0 解得: N P F F B A 5000===2-2 物体重P=20kN ，用绳子挂在支架的滑轮B 上，绳子的另一端接在绞车D 上，如图所示。
转动绞车，物体便能升起。
设滑轮的大小及轴承的摩擦略去不计，杆重不计，A 、B 、C三处均为铰链连接。
当物体处于平衡状态时，求拉杆AB 和支杆BC 所受的力。
题2-2图∑∑=-︒-︒-==︒-︒--=030cos 30sin ,0030sin 30cos ,0P P F F P F F FBC y BC AB x解得:P F P F AB BC 732.2732.3=-=2-3 如图所示，输电线ACB 架在两电线杆之间，形成一下垂线，下垂距离CD =f =1m ，两电线杆间距离AB =40m 。
电线ACB 段重P=400N ，可近视认为沿AB 直线均匀分布，求电线的中点和两端的拉力。
题2-3图以AC 段电线为研究对象，三力汇交N F NF F F F F F FC A GA y C A x 200020110/1tan sin ,0,cos ,0=======∑∑解得：ααα2-4 图示为一拔桩装置。
工程力学 第10章 应力状态分析
（a） （b）
对于法线为 y′ 的方向面，也可以写出类似的关于σ y′和τy′x′ 的方程。于是，从这些方程 中消去 dA 后，得到关于相互垂直的、任意方向面上正应力和切应力的公式： σ x′＝σ x cos2 θ＋σ ysin 2 θ－τxycos θsin θ －τyx sin θcos θ σ y′＝σ x sin 2 θ＋σ ycos2 θ＋τxycos θsin θ ＋τyx sin θcos θ τx′y′＝σ xcos θsin θ－σ ysin θcos θ＋τxycos2 θ－τyx sin 2 θ τy′x′＝－σ xcos θsin θ＋σ ysin θcos θ＋τxysin 2 θ－τyx cos 2 θ （10－1） （10－2） （10－3） （10－4）
图 10－3 正负号规则
n θ角－从 x 正方向反时针转至 x′正方向者为正；反之为负。 n 正应力—拉为正；压为负。 n 切应力—使微元或其局部产生顺时针方向转动趋势者为正；反之为负。
图 10－3 中所示的θ角及正应力和切应力τxy 均为正；τyx 为负。
10－2－2 微元的局部平衡
为确定平面应力状态中任意方向面(法线为 x′ ，方向角为 θ)上的应力，将微元从任意方 向面处截为两部分。考察其中任意部分，其受力如图 10－3b 所示，假定任意方向面上的正 应力σ x′和切应力τx′y′ 均为正方向。 于是，根据力的平衡方程 ∑ Fx′＝0 和 ∑ F y′＝0 , 可以写出：
图 10－4 不同坐标系中应力状态的表达形式
或者说从一种坐标系 Oxy 变换到另一坐标系 Ox′ y′ 。例如图 10－4a、b 中所示的两种微元， 若二者的应力满足式（10－1）－（10－4） ，则二者表示了同一点的应力状态。由于坐标系 Ox′ y′ 是任意的，因此，同一点的应力状态可以有无穷多种表达形式。在无穷多种表达形式 中有没有一种简单的、 但又能反映一点应力状态本质内涵的表达形式？为了回答这一问题需 要引入主应力的的概念。
工程力学第10章 弯曲变形与简单超静定梁
简支梁。 根据原超静定梁A端横截面转角θA=0这一变形条件, 即可进而建立补 充方程以求解MeA。 建议读者按此自行算出全部结果。 以上解题的方法步骤也适用于解二次超静定梁。 此时可建立两个变形几何方程, 因而补充方程也就有两个。 这样, 解多余约束力时就需解二元一次联立方程组。 对于三次以上的超静定梁若仍用上述方法求解, 则将不够简便, 此时就宜采用其 他方法。
但弹性模量E值则是比较接近的。 2.调整跨度 梁的转角和挠度与梁的跨度的n次方成正比, 跨度减小时, 转角和挠度就会有更 大程度的减小。 例如均布载荷作用下的简支梁, 其最大挠度与跨度的四次方成 正比, 当其跨度减小为原跨度的1/2时, 则最大挠度将减小为原挠度的1/16。 故减小跨度是提高梁的刚度的一种有效措施。 在有些情况下, 可以增设梁的中 间支座, 以减小梁的跨度, 从而可显著地减小梁的挠度。 但这样就使梁成为超 静定梁。 图10-10a、 b分别画出了均布载荷作用下的简支梁与三支点的超静 定梁的挠曲线大致形状, 可以看出后者的挠度远较前者为小。 在有可能时, 还 可将简支梁改为两端外伸的梁。 这样, 既减小了跨度, 而且外伸端的自重与两 支座间向下的载荷将分别使轴线上每一点产生相反方向的挠度(图10-11a、 b), 从而相互抵消一部分。 这也就提高了梁的刚度。 例如桥式起重机的桁架钢梁 就常采用这种结构形式(图10-11c), 以达到上述效果。
下述关系
因为挠曲线为一平坦的曲线, θ值很小, 故有 tanθ≈θ(c) 由式(b)、式(c)两式可见, 梁横截面的转角应为
式(d)表明转角θ可以足够精确地从挠曲线方程(a)对x求一次导数得到。 它表 示梁横截面位置的x与该截面的转角θ之间的关系, 通常称为转角方程。 在图10-2所示的坐标系统中, 挠度w以向上为正, 向下为负; 转角θ则以逆时针 转向为正, 顺时针转向为负。
上篇 工程力学部分 第10章 组合变形
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第二节
斜 弯 曲
外力F的作用线只通过横截面的形心而不 与截面的对称轴重合，梁弯曲后的挠曲线不再 位于梁的纵向对称平面内，这类弯曲称为斜弯 斜弯 曲。斜弯曲是两个平面弯曲的组合，下面将讨 论斜弯曲时的正应力及其强度计算。
一、正应力计算
斜弯曲时，梁的横截面上同时存在正应力和剪应力，但因剪应 力值很小，一般不予考虑。 斜弯曲梁的正应力计算的思路可以归纳为“先分后合”，具体 计算过程如下： 1．外力的分解：由图10-3（a）可知：Fy=Fcosφ，Fz=Fsinφ 2．内力的计算 距右端为l1的横截面上由Fy、Fz引起的弯矩分别是： Mz=Fya=Facosφ My=Fza=Fasinφ 3．正应力的计算 由Mz和My在该截面引起K点正应力分别为σ’=±Mzy/Iz ， σ’’=±Myz/Iy Mz和My共同作用下K点的正应力为
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二、双向偏心压缩（拉伸）时的 双向偏心压缩（拉伸） 正应力计算
图10-7(a)所示的偏心受拉杆，平行于轴线的拉力 的作用点不在截面的任何一个对称轴上，与z轴、y轴 的距离分别为ey和ez，此变形称为双向偏心拉伸 双向偏心拉伸，当F 双向偏心拉伸 为压力时，称为双向偏心压缩 双向偏心压缩。 双向偏心压缩 双向偏心压缩（拉伸）实际上是轴向压缩（拉伸） 与两个平面弯曲的组合变形。任一点的正应力由三部 分组成，计算这类杆件任一点正应力的方法，与单向 偏心压缩（拉伸）类似。 三者共同作用下，横截面上ABCD上任意点K的总 正应力为以上三部分叠加，即 F Mz y M yz / // /// (10-6) σ = σ +σ +σ = ± ± A Iz Iy
Mz FN (b) _ h (a) +
《工程力学》课后习题答案全集
工程力学习题答案第一章 静力学基础知识思考题：1. ×;2. √;3. √;4. √;5. ×;6. ×;7. √;8. √习题一1．根据三力汇交定理，画出下面各图中A 点的约束反力方向。
解：（a ）杆AB 在A 、B 、C 三处受力作用。
由于力和的作用线交于点O 。
如图（a ）所示，根据三力平衡汇交定理， 可以判断支座A 点的约束反力必沿 通过A 、O 两点的连线。
（b ）同上。
由于力和的作用线 交于O 点，根据三力平衡汇交定理， 可判断A 点的约束反力方向如 下图（b ）所示。
2．不计杆重，画出下列各图中AB 杆的受力图。
解：（a ）取杆AB 为研究对象，杆除受力外，在B 处受绳索作用的拉力，在A 和E 两处还受光滑接触面约束。
约束力和的方向分别沿其接触表面的公法线，并指向杆。
其中力与杆垂直，力通过半圆槽的圆心O 。
AB 杆受力图见下图（a ）。
(b)由于不计杆重，曲杆BC 只在两端受铰销B 和C 对它作用的约束力和，故曲杆BC 是二力构件或二力体，此两力的作用线必须通过B 、C 两点的连线，且=。
研究杆AB ，杆在A 、B 两点受到约束反力和，以及力偶m 的作用而平衡。
根据力偶的性质，和必组成一力偶。
(d)由于不计杆重，杆AB 在A 、C 两处受绳索作用的拉力和，在B 点受到支座反力。
和相交于O 点，根据三力平衡汇交定理，可以判断必沿通过pB RpB Rp B T A N E N E N A N B N C N BN CN A N B N A N B N A T C T B N A T C TB NB、O两点的连线。
见图(d).第二章 力系的简化与平衡思考题：1. √;2. ×;3. ×;4. ×;5. √;6. ×;7. ×;8. ×;9. √.1． 平面力系由三个力和两个力偶组成，它们的大小和作用位置如图示，长度单位为cm ，求此力系向O 点简化的结果，并确定其合力位置。
工程力学课后习题答案
6-7空心圆截面轴，外径 ，内径 ，扭矩 ，试计算距轴心 处的扭转切应力，以及横截面上的最大与最小扭转切应力。
2-24平面桁架的支座和载荷如图所示，求杆1，2和3的内力。（提示：先截断AD、3、2杆，用截面法分析；再取C节点）
2-25两根相同的均质杆AB和BC，在端点B用光滑铰链连接，A，C端放在不光滑的水平面上，如图所示。当ABC成等边三角形时，系统在铅直面内处于平衡状态。求杆端与水平面间的摩擦因数。
题2-25图
题5-9图
题5-9图
5-10图示外伸梁，承受集度为 的均布载荷作用。试问当 为何值时梁内的最大弯矩之值（即 ）最小。
题5-10图
为保证梁的最大弯矩值最小，即最大正弯矩等于最大负弯矩
第六章杆件的应力
6-1图示的杆件，若该杆的横截面面积 ，试计算杆内的最大拉应力与最大压应力。
题6-1图
6-2图示阶梯形圆截面杆，承受轴向载荷 与 作用， 与 段的直径分别为 与 ，如欲使 与 段横截面上的正应力相同，试求载荷 之值。
4-3材料力学的基本假设是什么？均匀性假设与各向同性假设有何区别？能否说“均匀性材料一定是各向同性材料”？
4-4杆件的轴线与横截面之间有何关系?
4-5试列举五种以上不是各向同性的固体。
4-6杆件的基本变形形式有几种？请举出相应变形的工程实例。
第五章杆件的内力
5-1试求图示各杆1-1、2-2、3-3截面上的轴力，并作轴力图。
5-5某传动轴，转速 ，轮1为主动轮，输入功率 ，轮2、轮3与轮4为从动轮，输出功率分别为 ， 。
（1）试画轴的扭矩图，并求轴的最大扭矩；
（2）若将轮1和轮3的位置对调，轴的最大扭矩变为何值，对轴的受力是否有利。
工程力学 第10章 位移分析 习题及解析
习题10-1图(a) 习题10-2图(a)工程力学（工程静力学与材料力学）习题与解答第10章 杆件横截面的位移分析10－1 直径d = 36mm 的钢杆ABC 与铜杆CD 在C 处连接，杆受力如图所示。
若不考虑杆的自重，试： 1．求C 、D 二截面的铅垂位移；2．令F P1 = 0，设AC 段长度为l 1，杆全长为l ，杆的总伸长EA lF l 2P =∆，写出E 的表达式。
知识点：拉压杆件的变形与位移 难度：一般 解答：（1）4π)(4π)(2sN 2sN d E l F d E l F u u BC BC AB AB A C ++=947.236π41020030001010020001015002333=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+=mm286.536π101054250010100947.24π)(2332cN =⨯⨯⨯⨯⨯⨯+=+=d E l F u u CD CD C D mm（2）AE l lF A E l F l l l EA l F CD AC c 12P s 12P 2P )(-+=∆+∆=∆=cs 11E E E ηη-+= sc sc )1(E E E E E ηη-+= 令l l 1=η10－2 承受自重和集中载荷作用的柱如图所示，其横截面积沿高度方向按P0e)(0F xA A x A ρ=变化，其中ρ为材料的比重。
试作下列量的变化曲线： 1．轴力)(N x F x ； 2．应力)(x x σ； 3．位移)(x u 。
知识点：拉压杆件的变形与位移 难度：一般 解答：（1）0=∑ξ，0d )()d (N N N =-++F A F F ξξρ习题10-3图 N F(a) x x (b) ξρξξρξρd ed )(d P00N F A A A F -=-=ξρξρd ed P0N P0)(-N F A xx F F A F ⎰⎰-=P0P0e)e()(P P P P N F xA F xA F F F F x F ρρ-=---=（2）0P 0P N P0P 0e e )()()(A FA F x A x F x F xA F xA -=-==ρρσ （3）⎰⎰⎰⎰-=-==P 0P N P0P0ee )(d )(d EAdxF dx EA F x EA xx F u F xA F xA ρρC EA x F u +-=0P ，当0|==l x u 。
工程力学（天津大学）第10章答案教学内容
⼯程⼒学（天津⼤学）第10章答案教学内容⼯程⼒学（天津⼤学）第10 章答案习题10-1—⼯字型钢梁，在跨中作⽤集中⼒F，已知l = 6m, F = 20kN，⼯字钢的型号为20a,求梁中的最⼤正应⼒解：梁内的最⼤弯矩发⽣在跨中M max 30kN.m3查表知20a⼯字钢W z 237cm则3max M max 30 106126.6 106Pa 126.6MPaW z 237 10 610- 2⼀矩形截⾯简⽀梁，受均布荷载作⽤，梁的长度为l，截⾯⾼度为h,宽度为b,材料的弹性模量为E，试求梁下边缘的总伸长。
解：梁的弯矩⽅程为Mx -qlx -qx22 21则曲率⽅程为M x 1 1qlx12qxx EI z EI z 22梁下边缘的线应变xh 2h1qlx1 2 qxx2EI Z22下边缘伸长为llx dxql3002El z222Ebh2解：各种截⾯梁横截⾯上的正应⼒都是沿⾼度线性分布的。
中性轴侧产⽣拉应⼒，另⼀侧产⽣压应⼒。
10 3已知梁在外⼒作⽤下发⽣平⾯弯曲，当截⾯为下列形状时，试分别画出正应⼒沿横截⾯⾼度的分布规律。
M II I I HIi■■10-4 —对称T形截⾯的外伸梁，梁上作⽤均布荷载，梁的尺⼨如图所⽰，已知qmill m⼁i II HL__L J ___ JI =1.5m, q = 8KN/m，求梁中横截⾯上的最⼤拉应⼒和最⼤压应⼒。
A解:1、设截⾯的形⼼到下边缘距离为y1则有y1 4 8 4 10 4 107.33cm4 8 10 4则形⼼到上边缘距离y2 12 7.33于是截⾯对中性轴的惯性距为I z ⾍4 812 3.3322、作梁的弯矩图C4.67cm10 43121010cm「4cmJ—k-4cm4 2.6728cm864.0cm4设最⼤正弯矩所在截⾯为D,最⼤负弯矩所在截⾯为E，则在D截⾯M Dt,maxy1IzM Dc,maxIz在E截⾯上t,maxc,maxM EL864.01081.778 103 4.67 10 2864.01081.0103 4.671021864.010811.0103 7.33102’9.61y21.778 103 7.33 102864.0 1015.08 106Pa106Pa所以梁内t,max15.08MPa9.61MPa5.40 106Pa 5.40MPa15.08MPa，c,max 9.61MPa106Pa 8.48MPa10- 5 ⼀矩形截⾯简⽀梁，跨中作⽤集中⼒F ，已知l=4m ，的许⽤应⼒［(J=10Mpa ，求梁能承受的最⼤荷载 F max 。
工程力学课后答案第10章[11页]
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第10章力法习题：1.【解】（1）几何常变体系；3次。
（2）3次（3）21次（4）6次（5）1次（6）7次（7）a）图5次，b）图6次2.略3.略4.【解】：习题4图5.【解】习题5图6.【解】习题6图7.【解】当q=10kN/m，l=4m，EI为常数时，可得习题7图8.【解】习题8图9.【解】当P=10kN，l=6m时，可得习题9图10.【解】习题10图11.【解】习题11图12.【解】当q=10kN/m，l=6m时，可得习题12图13.【解】当P=10kN，l=6m时，可得习题13图14.【解】习题14图15.【解】当q=10kN/m，l=6m时，可得习题15图16.【解】当q=10kN/m，a=6m时，可得习题16图17.【解】当q=10kN/m，l=6m时，可得习题17图18.【解】当l=6m，P=10kN时，可得习题18图19.【解】习题19图20.【解】当P=10kN时，可得习题20图21.【解】习题21图22.【解】当l=6m，P=10kN时，可得习题22图23.略24.【解】当l=6m，P=10kN时，可得习题24图25.【解】当m=100kN·m，l=6m时，可得习题25图26.【解】当l=6m，P=10kN时，可得习题26图27.【解】习题27图28.略29.【解】当a=6m，P=10kN时，可得习题29图30.【解】当a=6m，P=10kN时，可得习题30图31.【解】当d=6m，P=10kN时，可得习题31图32.【解】当P=10kN时，可得习题32图33.【解】M AB不产生弯矩。
只在各链杆产生轴力。
当a=6m，P=10kN时，可得习题33图34.【解】当a=3m，P=10kN时，可得习题34图35.【解】当l=6m，P=10kN时，可得习题35图36.略37.略38.略39.略40.略41.略42.略。
工程力学 第四版 第10章 扭转与剪切变形
结论：
1.扭转变形时，横截面的大小、形状及轴向间距不 变，说明圆筒纵向与横向均无变形，线应变为零，由胡 克定律可得横截面上正应力为零。
2.扭转变形时，相邻横截面间相对转动，截面上各 点相对错动，发生剪切变形，故横截面上有切应力，其 方向沿各点相对错动的方向，即与半径垂直。
圆筒表面上每个格子的直角也都改变了相同的角度
1 10
r0
（r0：为平均半径）
加力偶前： 在圆筒表面刻上一系列的纵向线和圆周线，从而形成
一系列的矩形格子。
扭转后：
1.各圆周线绕轴线发生了相对转动，但形状、大小 及相互之间的距离均无变化，且仍在原来的平面内。
2.所有的纵向线倾斜了同一微小角度 ，变为平行 的螺旋线。在小变形时，纵向线仍看作为直线。
D 2 16
空心圆轴
(D4 d 4 ) D4 (1 4 )
32D
32
IP (D4 d 4 ) D3 (1 4 )
D 2 16D
16
10.3.3 斜截面上的应力
y x
两相互垂直平面上的切应力数 值相等，且均指向(或背离)这两 平面的交线，称为切应力互等定 理。
BC段 CA段 AD段
T1 M2 7.16kN m
T2 M2 M3 14.32kN m T3 M4 9.55kN m
(3) 做扭矩图 由扭矩图可知，Tmax 发生在CA段内，其值为14.32kN.m。
10.3 圆轴扭矩时的应力与强度条件
10.3.1 薄壁圆筒的扭转应力
薄壁圆筒：壁厚
作用在传动轴上的外力偶往往有多个，因此，不同轴段上 的扭矩也各不相同。为了表明沿杆轴线各横截面上的扭矩的变 化情况，从而确定最大扭矩及其所在截面的位置，常需画出扭 矩随截面位置变化的函数图像，这种图像称为扭矩图。
天津大学版工程力学习题答案(部分)
3-10 求图示多跨梁支座A 、C 处的约束力。
已知M =8kN·m ，q =4kN/m ，l =2m 。
解：（1）取梁BC 为研究对象。
其受力如图(b)所示。
列平衡方程 （2）取整体为研究对象。
其受力如图(c)所示。
列平衡方程3-11 组合梁 AC 及CD 用铰链C 连接而成，受力情况如图(a)所示。
设F =50kN ，q =25kN/m ，力偶矩M =50kN·m 。
求各支座的约束力。
FkN1842494902332,0=⨯⨯===⨯⨯-⨯=∑ql F ll q l F M C C B kN624318303,0=⨯⨯+-=+-==⨯-+=∑ql F F l q F F F C A C A ymkN 32245.10241885.10405.334,022⋅=⨯⨯+⨯⨯-=+⨯-==⨯⨯-⨯+-=∑ql l F M M l l q l F M M MC A C A A解：（1）取梁CD 为研究对象。
其受力如图(c)所示。
列平衡方程（2）取梁AC 为研究对象。
其受力如图(b)所示，其中F ′C =F C =25kN 。
列平衡方程F(b)一(c)一´CkN 25450252420124,0=+⨯=+==-⨯⨯-⨯=∑M q F M q F MD D CkN 25450256460324,0=-⨯=-==-⨯⨯+⨯-=∑M q F M q F MC C D)kN(25225225250222021212,0↓-=⨯-⨯-='--==⨯'-⨯⨯-⨯+⨯-=∑CA C A BF q F F F q F F MkN150225425650246043212,0=⨯+⨯+='++==⨯'-⨯⨯-⨯-⨯=∑CB CB AF q F F F q F F M6−1作图示杆件的轴力图。
解：在求AB 段内任一截面上的轴力时，在任一截面1−1处截断，取左段为脱离体（图c ），并设轴力F N1为拉力。
工程力学第1-10章简答练习
工程力学第一章简答练习本卷共分为3大题10小题，总分100 分。
本卷得分:100一、简答题(本大题共2小题，共20分)∙1[简答题,10分]一质点在铅垂平面内作圆周运动，当质点恰好转过一周时，其重力的功为零，对吗?为什么?您的答案:高度差的乘积|零|重力的功.本题得分：10o收藏本题o展开解析∙2[简答题,10分]平面图形在什么情况下作瞬时平动?瞬时平动的特征是什么?您的答案:速度相同|角速度|加速度.本题得分：10o收藏本题o展开解析二、名词解释题(本大题共3小题，共30分)∙3[名词解释题,10分]刚体您的答案:任意两点|距离|保持不变本题得分：10o收藏本题o展开解析∙4[名词解释题,10分]加减平衡力系原理您的答案:平衡力系|刚体本题得分：10o收藏本题o展开解析∙5[名词解释题,10分]二力平衡公理您的答案:保持平衡|充分条件|大小相等本题得分：10o收藏本题o展开解析三、填空题(本大题共5小题，共50分)∙6[填空题,10分]物体的平衡是指物体相对于地面__________或作________运动的状态您的答案:保持静止|匀速直线本题得分：10o收藏本题o展开解析∙7[填空题,10分]刚体在作平动过程中，其上各点的__________相同，每一瞬时，各点具有__________的速度和加速度您的答案:轨迹形状|相同本题得分：10o收藏本题o展开解析∙8[填空题,10分] AB杆质量为m，长为L，曲柄O1A、O2B质量不计，且O1A=O2B=R，O1O2=L，当υ=60°时，O1A杆绕O1轴转动，角速度ω为常量，则该瞬时AB杆应加的惯性力大小为__________，方向为__________您的答案:Fgh=mRω2|过质心C平行O1A指向向下本题得分：10o收藏本题o展开解析∙9[填空题,10分]平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：_____。
该力系中各力构成的力多边形____您的答案:该力系的合力为零|自行封闭本题得分：10o收藏本题o展开解析∙10[填空题,10分]一物块重600N，放在不光滑的平面上，摩擦系数f=0.3，在左侧有一推力150N，物块有向右滑动的趋势Fmax=__________,所以此物块处于静止状态，而其F=__________。
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习题10−1 一工字型钢梁，在跨中作用集中力F ，已知l =6m ，F =20kN ，工字钢的型号为20a ，求梁中的最大正应力。
解：梁内的最大弯矩发生在跨中 kN.m 30max =M查表知20a 工字钢 3cm 237=z W 则 MPa 6.126Pa 106.126102371030663max max=⨯=⨯⨯==-z W M σ 10−2 一矩形截面简支梁，受均布荷载作用，梁的长度为l ，截面高度为h ，宽度为b ，材料的弹性模量为E ，试求梁下边缘的总伸长。
解：梁的弯矩方程为 ()22121qx qlx x M -=则曲率方程为()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2212111qx qlx EI EI x M x z z ρ 梁下边缘的线应变 ()()⎪⎭⎫⎝⎛-==2212122qx qlx EI h x h x z ρε 下边缘伸长为 ()23020221212Ebh ql dx qx qlx EI h dx x l lz l=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∆⎰⎰ε 10−3 已知梁在外力作用下发生平面弯曲，当截面为下列形状时，试分别画出正应力沿横截面高度的分布规律。
解：各种截面梁横截面上的正应力都是沿高度线性分布的。
中性轴侧产生拉应力，另一侧产生压应力。
10−4 一对称T 形截面的外伸梁，梁上作用均布荷载，梁的尺寸如图所示，已知l =1.5m ,q =8KN/m ，求梁中横截面上的最大拉应力和最大压应力。
bh2解：1、设截面的形心到下边缘距离为y 1 则有cm 33.741084104104841=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=y则形心到上边缘距离cm 67.433.7122=-=y于是截面对中性轴的惯性距为42323cm 0.86467.24101241033.3841284=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯=z I 2、作梁的弯矩图设最大正弯矩所在截面为D ，最大负弯矩所在截面为E ，则在D 截面MPa 08.15Pa 1008.15100.8641033.710778.168231max t,=⨯=⨯⨯⨯⨯==--y I M z D σ MPa 61.9Pa 1061.9100.8641067.410778.168232max c,=⨯=⨯⨯⨯⨯==--y I M z D σ 在E 截面上MPa 40.5Pa 1040.5100.8641067.4100.168232max t,=⨯=⨯⨯⨯⨯==--y I M z E σ MPa 48.8Pa 1048.8100.8641033.7100.168231max c,=⨯=⨯⨯⨯⨯==--y I M z E σ 所以梁内MPa 08.15max t,=σ，MPa 61.9max c,=σ10−5 一矩形截面简支梁，跨中作用集中力F ，已知l =4m ，b =120mm ，h =180mm ，弯曲时材料的许用应力[σ]=10Mpa ，求梁能承受的最大荷载F max 。
C3解：梁内的最大弯矩发生在跨中 4maxFl M =矩形截面梁 62bh W z =则由 []σσ≤=zW M max max得 []642bh Fl σ≤即 []N 64804318.012.021*******2=⨯⨯⨯⨯⨯=≤l bh F σ 10−6 由两个28a 号槽钢组成的简支梁，如图所示，已知该梁材料为Q235钢，其许用弯曲正应力[σ]=170Mpa ，求梁的许可荷载[F ]。
解：作弯矩图梁内的最大弯矩发生在跨中 F M 4max=矩形截面梁 3'max'max cm 656.6802====z z z z W y I y I W则由 []σσ≤=zW M maxmax得 []z W F σ≤4 即 []N 28927410656.68010170466=⨯⨯⨯=≤-zW F σ10−7 圆形截面木梁，梁上荷载如图所示，已知l =3m ，F =3kN ，q =3kN/m ，弯曲时木材的许用应力[σ]=10MPa ，试选择圆木的直径d 。
bh4解：作弯矩图则由 []σσ≤=zW M max max得 []σmaxMW z ≥即633101010332⨯⨯≤d π，得145mmm 145.0=≥d10−8 起重机连同配重等重P =50kN ，行走于两根工字钢所组成的简支梁上，如图所示。
起重机的起重量F =10kN ，梁材料的许用弯曲应力[σ]=170Mpa ，试选择工字钢的型号。
设全部荷载平均分配在两根梁上。
解：设起重机左轮距A 端为x ，则有 2650x M C-=，803862++-=x x M D从而确定出 kN.m 2.104max=C M ，kN.m 2.140max =D M即梁内出现的最大弯矩为kN.m 2.140则由 []σσ≤=z W M max max 得 []3463max m 1025.810170102.140-⨯=⨯⨯=≥σM W z 又对于本题 'max'max 2z z z z W y I y I W ===所以3344'cm 5.412m 10125.421025.82=⨯=⨯==--z zW W 查表选 25b 号工字钢。
510−9 两个矩形截面的简支木梁，其跨度、荷载及截面面积都相同，一个是整体，另一个是由两根方木叠置而成，试分别计算二梁中的最大正应力。
解：1、第一种情况梁内的最大弯矩发生在跨中 82max ql M =矩形截面梁 32632a bh W z == 则 3332max max 163283a ql a ql W M z =⨯⨯==σ 2、第二种情况梁内的最大弯矩发生在跨中 162max ql M =矩形截面梁 6632a bh W z ==则 3332max max 83166aql a ql W M z =⨯⨯==σ 10−10 直径d =0.6mm 的钢丝绕在直径D =600mm 的圆筒上，已知钢丝的弹性模量E =2×105MPa ，试求钢丝中的最大正应力。
解： 由zEI M =ρ1得N.m 1024115.4103.03.064106.01023312411---⨯=⨯+⨯⨯⨯⨯==πρzEI M200MPa Pa 1020032106.01024115.43269333max=⨯=⨯⨯⨯===--ππσd M W M z 或 200MPa Pa 10200103.03.0103.010263311maxmax=⨯=⨯+⨯⨯⨯==--ρσEy 10−11 一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。
已知F =5kN ，a =1.5m ，[σ]=10Mpa 。
试确定弯曲截面6系数最大时矩形截面的高宽比h :b ，以及梁所需木料的最小直径d 。
解：()66222b d b bh W z -==由06322=-=b d db dW z 得 d b 33=，又022<-=b db W d z 所以 d b 33=时 z W 取极大值，所以弯曲截面系数最大时，d b33=，d h 36=，即 1:2:=b h梁内的最大弯矩 kN.m 5.7max==Fa M矩形截面梁 322736d bh W z ==则由 []σσ≤=zW M max max 得 []σmaxMW z ≥即[]σmax3273M d ≥[]227mm m 227.01010105.739393633max==⨯⨯⨯=≥σM d 10−12 一铸铁梁如图所示。
已知材料的拉伸强度极限σb =150Mpa ，压缩强度极限σbc =630Mpa ，试求梁的安全因数。
解：1、设截面形心距离下边缘为y 1 则有mm 33.532160104016021201601020401601=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=y则形心到上边缘距离 mm 67.14633.532002=-=y7于是截面对中性轴的惯性距为42323mm 4.29013333267.6616010121601033.33401601240160=⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯=z I 2、作梁的弯矩图C 截面MPa 057.22Pa 10057.22104.290133331033.531012612331max t,=⨯=⨯⨯⨯⨯==--y I M z C σ MPa 663.60Pa 10663.60104.290133331067.1461012612332max c,=⨯=⨯⨯⨯⨯==--y I M z C σ B 截面上MPa 442.40Pa 10442.40104.290133331067.146108612332max t,=⨯=⨯⨯⨯⨯==--y I M z B σ MPa 705.14Pa 10705.14104.290133331033.53108612331max c,=⨯=⨯⨯⨯⨯==--y I M z B σ 所以有 709.3442.40150t==n ， t c 385.10663.60630n n >== ，取安全系数为3.709。
10−13 一简支工字型钢梁，工字钢的型号为28a ，梁上荷载如图所示，已知l =6m ，F 1=60kN ，F 2=40kN ，q =8kN/m ，钢材的许用应力[σ]=170Mpa ，[τ]=100Mpa ，试校核梁的强度。
解：作内力图67.3kN8则有 MPa 8.170Pa 108.1701015.508108.86663max max=⨯=⨯⨯==-z W M σ 而[][]%5%47.01701708.170max <=-=-σσσ][MPa 56.38Pa 1056.380085.01062.24107.80623max,max S,max ττ<=⨯=⨯⨯⨯==-bI S F z z 10−14 一简支工字型钢梁，梁上荷载如图所示，已知l =6m ，q =6kN/m ，F =20kN ，钢材的许用应力[σ]=170Mpa ，[τ]=100Mpa ，试选择工字钢的型号。
解：作内力图 由 []σσ≤=z W M max max得 []33463max cm 3.335m 10353.3101701057=⨯=⨯⨯=≥-σM W z 查表选25a （考虑5%误差可以选则22b ） 。
对于所选型号，梁内出现的最大切应力为][MPa 21.16Pa 1021.16008.01058.211028623max,max S,max ττ<=⨯=⨯⨯⨯==-bI S F z z （如为22b ，[]ττ<=MPa 8.15max ）28kN57kN.m28kN9所以工字钢型号为25a （或22b ）。