二次函数abc组合的符号判断
二次函数图像与abc符号关系
例:已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为
10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这
个二次函数的解析试.
解：设所求的二次函数 为y ax2 bx c,由题意得：
｛a b c 10 abc 4
4a 2b c 7
待定系数法
解得，a 2,b 3, c 5
所求的二次函数是 y 2x2 3x 5
－1 O
3
A －1
x
－9
B
图13
解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代入 y ax2 4x c
得 1 a (1)2 4 (1) c, 解得 9 a 32 4 3 c.
ca
1, 6.
∴二次函数的表达式为． y x2 4x 6
x 2 （2）对称轴为
；顶点坐标为（2，-10）．
对称轴在y轴左侧
a、b同号
对称轴在y轴右侧
a、b异号
对称轴是y轴
b=0
（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定
与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴无交点
b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
如果y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点
为A(x1,0),B(x2,0);
范无围论. m为何值时， 0.
抛物线与x轴总有交点，且当＝0时，即m＝3时，
抛物线与x轴只有一个交点. (2)另一个交点坐标为(1，0) (3)当m＞-1且m≠3时,抛物线的顶点在第四象限
用待定系数法求二次函数解析式，要根据给定条件 的特点选择合适的方法来求解
一般地，在所给条件中已知顶点坐标时，可设顶点 式y=a(x-h)2+k，在所给条件中已知抛物线与x轴 两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标与对称 轴，可设交点式y=a(x-x1)(x-x2);在所给的三个条 件是任意三点时，可设一般式y=ax2+bx+c;然后 组成三元一次方程组来求解。
二次函数图像与abc符号关系课件
目 录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的图像分析 • 二次函数的abc符号变化对图像的影响 • 实际应用举例 • 总结与思考
01
二次函数的基本概念
二次函数的一般形式
总结词
二次函数的一般形式是$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a, b, c$是常数，且$a neq 0$。
于负半轴。
对二次函数图像与abc符号关系的深入思考
a符号与开口大小的关系
虽然a决定了开口方向，但a的绝对值大小也会影响开口的大小。当|a|越大，开口越宽； 当|a|越小，开口越窄。
b符号与对称性的关系
b的符号和大小决定了抛物线的对称性。当b=0时，抛物线关于y轴对称；当b≠0时，抛物 线关于x=−b/2a对称。
详细描述
在二次函数的一般形式$f(x) = ax^2 + bx + c$中，$a, b, c$分别被称为二次项系数、一次项系数和常数项。它 们的符号决定了函数的开口方向、顶点位置等性质。例如，当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$时，函 数图像开口向下。
二次函数的开口方向与abc符号的关系
04
实际应用举例
利用二次函数解决实际问题
总结词
通过理解二次函数的图像和abc符 号关系，可以解决一些实际问题 。
详细描述
二次函数图像的开口方向、顶点 位置和对称轴等特性，可以帮助 我们解决一些实际问题，例如最 值问题、面积问题等。
二次函数在数学建模中的应用
总结词
二次函数是数学建模中常用的函数之 一，可以用来描述一些实际问题中的 数量关系。
05
总结与思考
二次函数a.b.c的判断
1．如图所示的抛物线是二次函数2y ax bx c =++（a≠0）的图象，则下列结论：①abc ＞0；②b+2a=0；③抛物线与x 轴的另一个交点为（4，0）；④a+c ＞b ；⑤3a+c＜0．其中正确的结论有A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个2．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b 2﹣4ac ＞0 ②a ＞0 ③b ＞0 ④c ＞0 ⑤9a+3b+c ＜0，则其中结论正确的个数是（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个3．已知：二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc ＞0；②2a +b ＜0；③a +b ＜m （am +b ）（m ≠1的实数）；④（a +c ）2＜b 2；⑤a ＞1.其中正确的项是（ ）A ．①⑤B ．①②⑤C ．②⑤D ．①③④4．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③④C ．①②③⑤ D．①②③④⑤ 5．如图为二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象，则下列说法：①a ＞0②2a+b=0③a+b+c ＞0④当﹣1＜x ＜3时，y ＞0其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．二次函数c bx ax y ++=2的图像如图，正确的是（ ）A 、a ＞0B 、b ＜0C 、c ＜0D 、a+b+c ＜07．如图，二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其中对称轴为x=﹣1，且过（﹣3，0），下列说法：①abc ＜0，②2a ＜b ，③4a+2b+c=0，④若（﹣5，y 1），（5，y 2）是抛物线上的点，则y 1＜y 2，其中说法正确的有（）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个x8．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，对于下列结论：①a ＜0；②b ＜0；③c ＞0；④b+2a=0；⑤a+b+c ＜0．其中正确的个数是【 】A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点B 坐标（﹣1，0），下面的四个结论：①OA=3；②a+b+c ＜0；③ac ＞0；④b 2﹣4ac ＞0．其中正确的结论是【 】A ．①④B ．①③C ．②④D ．①②10的图象如图所示，则下列结论：①abc ＞0； ②2=++c b a ；④b ＞1.其中正确的结论是 （ ）A. ①② C.③④ D.②④11．小强从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）0a <；（2）1c >；（3）0b >；（4）0a b c ++>；（5）0a b c -+>. 你认为其中正确信息的个数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个12．如图所示是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过A 点(3，0)，二次函数图象对称轴为直线x=1，给出五个结论：①bc>0；②a+b+c<0；③方程ax 2+bx+c=0的根为x 1= -1，x 2=3；④当x<1时，y 随着x 的增大而增大；⑤4a-2b+c>0其中正确结论是（）A.①②③B ．①③④C ．②③④D.③④⑤ 13．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示．下列结论： ①0abc >；②20a b -<；③420a b c -+<；④22()a c b +<，其中正确的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．414．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（－1，0），下列结论：①ab<0，②b 2>4a ，③0<a ＋b ＋c<2，④0<b<1，⑤当x>－1时，y>0．其中正确结论的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个15．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图像如图，则下列结论中正确的是（ ）A ．a ＞0B ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大C ．c ＜0D ．3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根160<abc ；②a b 20-<<；③( ) A ．1个 B ．4个17．如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点（0，﹣2），与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，且﹣1＜x 1＜0，1＜x 2＜2，下列结论正确的是（ ）A ．a ＜0B ．a ﹣b+c ．4ac ﹣b 2＜﹣8a 18x=1，图象经过（3，0），下列结论中，正确的一项是（ ）A ．abc ＜0B ．2a+b ＜0C ．a ﹣b+c ＜0D ．24ac b 0﹣＜19．如图所示，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，王刚同学观察得出了下面四条信息：（1）b 2﹣4ac ＞0；（2）c ＞1；（3）2a ﹣b ＜0；（4）a+b+c ＜0，其中错误的有A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个20．如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，3，0）．下列说法：①abc ＜0；②2a ﹣b=0；③4a+2b+c ＜0；④若（﹣5，y 1），y 2）是抛物线上两点，则y 1＞y 2．其中说法正确的是【 】A ．①②B ．②③C ．①②④D ．②③④21．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象如图所示，下列结论：①c ＜0，②b ＞0，③4a ＋2b ＋c ＞0，④（a ＋c ）2＜b 2，其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个22．已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象开口向上，与 x 轴的交点坐标是（1,0），对称轴x=-1．下列结论中，错误的是A ．abc ＜0B ．b=2aC ．a+b+c=0D ．20=+b a23．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如下图，以下结论正确的是A.0abc> B.方程ax2+bx+c=0有两个实数根分别为-2和6C.a b c-+< D.当4y=时，x的取值只能为024．已知二次函数2y ax bx c=++（0a≠）的图象如图所示，对称轴为直线12x=-，有下列结论：①abc＜0；②2b c+＜0；③4a c+＜2b．（A）0 （B）1 （C）2 （D）325．已知二次函数2(0)y ax bx c a=++≠的图象如图所示，则下列结论：①方程20ax bx c++=的两根之和大于1；②0<+ba；③y随x的增大而增大；④0<+-cba.其中正确的个数（）A．4个B．3个C．2个D．1个26．如图，二次函数2y ax bx c=++（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x=1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b=0；②4a－2b＋c＜0；③ac＞0；④当y＜0时，x＜－1或x＞2．其中正确的个数是A．1 B．2 C．3 D．427．如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b＞2a；③方程ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；④a-2b+c＞0．其中正确的命题的个数是A.1个B.2个C.3个D.4个28．小明从如图所示的二次函数2y ax bx c=++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c<；②0<abc；③0a b c-+>；④230a b-=；⑤420a b c++>．你认为其中正确的是（）A．①②④B．①③⑤C．②③⑤D．①③④⑤29．二次函数()20y ax bx c a=++≠）图象如图所示，现有下列结论：①b2－4a c＞0②a＞0 ③b＞0 ④c＞0 ⑤4a+2b+c＜0，则其中结论正确的个数是（）A、2个B、3个C、4个D、5个30．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0其中正确结论的有（）xyO 1A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④31．已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，②b2-4ac＜0，③a-b+c＞0，④4a-2b+c＜0，其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.432．已知抛物线20y ax bx c a=++≠（）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A．0a＜ B．b＞0 C．0a b c++= D．420a b c+﹣＞33．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c=0；④a：b：c=﹣1：2：3．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．434．二次函数cbxaxy2++=的图像如图所示，则关于此二次函数的下列四个结论①a<0 ②a>0 ③ac4-b2>0 ④ab<0中，正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个35．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b2﹣4ac ＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．336．如图，二次函数2y ax bx c=++的图像与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①0ac＜；②0a b+=；③244ac b a-=；④0a b c++＜．其中正确结论的个数是（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 437．二次函数cbxaxy++=2（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线1=x，其图象一部分如图所示，对于下列说法：①0abc >；②0<+-c b a ；③03<+c a ；④当23x -<<时，0>y 其中正确的是（ ）A ①②B ①④C ②③D ②③④38．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图像的一部分，其对称轴是直线x=－1，且过点(－3,0)，下列说法：①abc ＞0；②2a －b=0；③4a+2b+c ＜0；④若(－5,y 1)，(2.5,y 2)是抛物在线两点，则y 1＞y 2，其中正确的是（）A ．② B．②③ C．②④ D．①②39．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，给出下列说法：①ac ＞0；②b a +2=0；③0=++c b a ；④当1x >时，函数y 随x 的增大而增大；⑤当0y >时，13x -<<．其中，正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）40．如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点A （3，0），且对称轴为1x =，给出下列四个结论：①；②0bc <；③20a b +=；④0a b c ++=，其中正确结论的序号是___________.（把你认为正确的序号都写上）参考答案1．B。
二次函数a.b.c等的符号的确定
-1 o 1 x
（5）△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况：
① △＞0 ② △＝0
抛物线与x轴有两个交点； 抛物线与x轴有唯一的公共点；
③ △＜0 抛物线与x轴无交点。
y ox
y ox
y ox
勇攀高峰
1. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：
①abc＞0；② a+b+c＜0 ③ a-b+c＞0 ；
o1 特殊值法
x
y aabb cc 0 0
y=ax2+bx+c 当x 1时 y=a-b+c
y aabbcc0 0 y
y aabbcc00
-1 o
x
y aabbcc00
x=-1
比拼速度
二次函数y ax2 bx c的图象如图，用(< , >或 =)填空: a< 0，b < 0，c > 0，a+b+c< 0，a-b+c> 0， Nhomakorabeay
开口向下
a＜0
数形结合法
x
⑵c决定抛物线与y轴交点（0，c）的位置：
① 图象与y轴交点在y轴正半轴；
c＞0
② 图象过原点
c=0
③ 图象与y轴交点在y轴负半轴
c＜0
y
指出下列二次函数与y轴交点的坐标.
(1) y=x2-8x+7 (2) y=-2x2+9x-17
x
⑶a，b决定抛物线对称轴的位置: 对称轴是直线x =
转化 + 特殊值
根据抛物线y=ax2+bx+c图象位置，你 会判断那些字母或代数式的符号？
二次函数中的abc
课题由二次函数y=ax2+bx+c的图像判断a、b、c的符号授课类型微课教材分析二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数,a≠0）的系数a,b,c的符号和它的图像之间有着相辅相成的关系.由二次函数的图像位置可以得到a,b,c（或者含有的a,b,c的代数式）的符号;反之,由a,b,c（或者含有的a,b,c的代数式）的符号也可以确定图像的位置.这是一种由形到数、由数到形的转换,是数形结合思想的很好的诠释.也是一种等价、同一的关系。
学情分析学生已经学习了二次函数的概念图像和简单性质，能够简单运用函数知识解决方程和不等式问题。
从中考命题要求和课程标准的角度来看，关于二次函数的a、b、c的试题主要包括：简单结论型、结论综合型、结论组合导出型。
要学好二次函数内容、从容应对二次函数中考题，熟悉二次函数的a、b、c与图像的关系，必须深刻领会数形结合思想，能够用函数的观点看方程与不等式（组）。
教学目标知识与技能1.会根据二次函数的图像判断a,b,c的符号以及与a,b,c有关的代数式的符号；2.能够根据a,b,c的符号，判断二次函数的图像.过程与方法1.利用几何画板演示，让学生感受函数图像与系数a,b,c的关系，体会数形结合的思想方法.情感态度与价值 1.在学习过程中，培养学生的探究精神，合作能力.教学重点探究二次函数的图像与系数a,b,c的关系.教学难点根据二次函数的图像判断与a,b,c有关的代数式的符号.教学方法几何画板演示教学法、引导分析法、合作探究法.教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图（一）问题引入教师提出思考问题已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则a 0 ， b 0 ， c 0（填>、<、=）.学生思考问题.通过问题提出，引发学生思考，进入学习状态.。
二次函数符号abc的判定练习
二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定方法一、知识点二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．（4）b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0．（5）当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=-1时，可确定a-b+c的符号．（6）由对称轴公式x=，可确定2a+b的符号．二、基础练习1、已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A、a＞0B、b＜0C、c＜0D、a+b+c＞02、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（）A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤3、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（ 1/2，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、44、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（）A、ac＞0B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3C、2a-b=0D、当x＞0时，y随x的增大而减小5、已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，②b2-4ac＜0，③a-b+c＞0，④4a-2b+c＜0，其中正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、46、如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，下面四条信息：（1）b2-4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a-b＜0；（4）a+b+c＜0．错误的有（）A、2个B、3个C、4个D、1个7、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A、b2-4ac＜0B、abc＜0C、 -b/2a＜-1D、a-b+c＜08、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b2-4ac＞0 ②abc＞0 ③8a+c＞0 ④9a+3b+c＜0，则其中结论正确的个数是（）A、2个 B、3个 C、4个 D、5个9、已知二次函数y=ax2的图象开口向上，则直线y=ax-1经过的象限是（）A、第一、二、三象限B、第二、三、四象限C 、第一、二、四象限D 、第一、三、四象限10、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图示，则下列结论正确的是（ ）A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＞0B 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＜0C 、a ＜0，b ＞0，c ＜0，b 2-4ac ＞0D 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，b 2-4ac ＞011、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（ ）A 、ac ＜0B 、a-b+c ＞0C 、b=-4aD 、关于x 的方程ax 2+bx+c=0的根是x 1=-1，x 2=512、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a ，b ，c 满足（ ）A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＞0B 、a ＜0，b ＜0，c ＜0，b 2-4ac ＞0C 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，b 2-4ac ＜0D 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＞013、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论， 其中正确的结论是（ ）A 、abc ＞0B 、b ＞a+cC 、2a-b=0D 、b 2-4ac ＜014、（已知二次函数y=y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：①ac ＞0；②a-b+c ＜0；③当x ＜0时，y ＜0；④方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个大于-1的实数根．其中错误的结论有（ ）A 、②③ B 、②④ C 、①③ D 、①④15、如图所示为二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象，在下列选项中错误的是（ ）A 、ac ＜0B 、x ＞1时，y 随x 的增大而增大C 、a+b+c ＞0D 、方程ax 2+bx+c=0的根是x 1=-1，x 2=316、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）A 、ab ＜0B 、ac ＜0C 、当x ＜2时，函数值随x 增大而增大；当x ＞2时，函数值随x 增大而减小D 、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交点的横坐标就是方程ax 2+bx+c=0的根17、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A 、a ＞0B 、c ＜0C 、b 2-4ac ＜0D 、a+b+c ＞018、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图示，下列结论①a ，b 异号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=4时，x 的取值只能为0，结论正确的个数有（ ）个． A 、1 B 、2 C 、3 D 、419、二次函数y=-x 2+bx+c 的图象如图所示，下列几个结论：①对称轴为x=2；②当y ≤0时，x ＜0或x ＞4；③函数解析式为y=-x （x-4）；④当x ≤0时， y 随x 的增大而增大．其中正确的结论有（ ）A 、①②③④B 、①②③C 、①③④D 、①③三、能力练习1.已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②b ＜a+c ；③2a+b=0；④a+b ＞m （am+b ）（m ≠1的实数）．其中正确的结论有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2.如图，抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是x=1，下列结论：①b ＜0；②（a+c ）2＞b 2；③2a+b-c ＞0；④3b ＜2c ．其中正确的结论有( )（填上正确结论的序号）．3、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则①20a b +>. .C A y x O 图2 O xy-1 1 y 0 11 x-1 图1 ②20a b +<③02b a-< ④20a b -<⑤20a b ->中正确的有( )4、如图，是二次函数 y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b ＞2a ③ax 2+bx+c=0的两根分别为-3和1；④a-2b+c ＞0． 其中正确的命题是（ ）5、如图7是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断 ① c ＞0；② a +b +c ＜0； ③ 2a －b ＜0；④ b 2+8a ＞4a c 中正确的是（填写序号） ．6、抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图，OA=OC ，则（ ）（A ） ac+1=b; （B ） ab+1=c; （C ）bc+1=a; （D ）以上都不是7、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示，那么下列判断不正确的是（ ）(A)abc ＞0； （B ）ac b 42-＞0；(C)2a+b ＞0； （D ）c b a +-24＜08、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则 abc ，ac b 42-，b a +2，c b a ++这四个式子中，值为正数的有（ ）A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个9、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1所示，则下列结论中，正确的个数是（ ） ①0<++c b a ；②0>+-c b a ；③0>abc ；④a b 2=A.4B.3C.2D.1图7。
二次函数abc判定
合用标准文案3. 〔 2021? 山东威海，第 11 题 3 分〕二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如图，那么以下说法：2①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当 x=1时， y=2a；④ am+bm+a＞0〔 m≠﹣1〕．其中正确的个数是〔〕A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．解析：由抛物线与y 轴的交点判断 c 与0的关系，尔后依照对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：抛物线与y 轴交于原点， c=0，故①正确；该抛物线的对称轴是：，直线 x=﹣1，故②正确；当 x=1时， y=2a+b+c，∵对称轴是直线 x=﹣1，∴， b=2a，又∵ c=0，∴y=4a，故③错误；2x=m对应的函数值为y=am+bm+c，∵b=2a，2∴am+bm+a＞0〔 m≠﹣1〕．故④正确．应选： C．谈论：此题观察了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕系数符号由抛物线张口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定．5. 〔 2021? 山东烟台，第 11 题 3 分〕二次函数y=ax2+bx+c〔a≠ 0〕的局部图象如图，图象过点〔﹣ 1， 0〕，对称轴为直线x=2，以下结论：①4a+b=0；② 9a+c＞3b；③ 8a+7b+2c＞ 0；④当x＞﹣ 1 时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有〔〕A．1 个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数的图象与性质．解答：依照抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，那么有 4a+b=0；观察函数图象获适合x=﹣3时，函数值小于0，那么 9a﹣ 3b+c＜ 0，即 9a+c＜ 3b；由于x=﹣ 1 时，y=0，那么a﹣b+c=0，易得c=﹣5a ，所以 8 +7 +2 =8 ﹣28 ﹣10a=﹣30，再依照抛物线张口向下得＜ 0，于是有 8 +7 +2a b c a a a a a b c＞0；由于对称轴为直线x=2，依照二次函数的性质获适合x＞2时， y 随 x 的增大而减小．解答：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，∴ b=﹣4a，即4a+b=0，所以①正确；∵当 x=﹣3时， y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；∵抛物线与x 轴的一个交点为〔﹣1， 0〕，∴a﹣b+c=0，而 b=﹣4a，∴ a+4a+c=0，即 c=﹣5a，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵抛物线张口向下，∴ a＜0，∴8a+7b+2c＞0，所以③正确；∵对称轴为直线x=2，∴当﹣ 1＜x＜ 2 时，y的值随x值的增大而增大，当x＞2时， y 随 x 的增大而减小，所以④错误．应选B．谈论：此题观察了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c〔 a≠0〕，二次项系数a 决定抛物线的张口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上张口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的地址，当 a 与 b 同号时〔即ab＞0〕，对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时〔即 ab＜0〕，对称轴在 y 轴右；常数项c 决定抛物线与 y 轴交点．抛物线与 y 轴交于〔0，c〕；抛物线与 x 轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0 时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与 x 轴有1个交点；△=b2﹣4ac ＜0 时，抛物线与x 轴没有交点．27. 〔2021? 山东聊城，第 12 题，3 分〕如图是二次函数y=ax +bx+c〔 a≠ 0〕图象的一局部，x=﹣ 1 是对称轴，有以下判断：①b﹣ 2a=0；② 4a﹣ 2b+c＜ 0；③ a﹣ b+c=﹣ 9a；④假设〔﹣ 3， y1〕，〔， y2〕是抛物线上两点，那么 y1＞y2，其中正确的选项是〔〕A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④考点：二次函数图象与系数的关系．解析：利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要依照图形，逐一判断．解答：解：∵抛物线的对称轴是直线x=﹣ 1，∴﹣=﹣ 1，b=2a，∴b﹣ 2a=0，∴①正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，和 x 轴的一个交点是〔2， 0〕，∴抛物线和x 轴的另一个交点是〔﹣4， 0〕，∴把 x=﹣ 2 代入得： y=4a﹣ 2b+c＞ 0，∴②错误；∵图象过点〔 2， 0〕，代入抛物线的解析式得：4a+2b+c=0，又∵ b=2a，∴c= ﹣ 4a﹣2b=﹣ 8a，∴a﹣ b+c=a﹣ 2a﹣ 8a=﹣ 9a，∴③正确；∵抛物线和x 轴的交点坐标是〔2， 0〕和〔﹣ 4， 0〕，抛物线的对称轴是直线x=﹣ 1，∴点〔﹣ 3， y1〕关于对称轴的对称点的坐标是〔〔1，y1〕，∵〔， y2〕， 1＜，∴y1＞ y2，∴④正确；即正确的有①③④，应选 B．谈论：此题主要观察了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特别点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程2的ax +bx+c=09. (2021年贵州黔东南9．〔 4 分〕 ) 如图，二次函数y=ax2+bx+c〔 a≠ 0〕的图象如图所示，以下 4 个结论：①a bc ＜ 0；② b＜ a+c；③ 4a+2b+c＞ 0；④ b2﹣ 4ac ＞ 0其中正确结论的有〔〕A．①②③ B．①②④C．①③④D．②③④考点：二次函数图象与系数的关系．解析：由抛物线的张口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点得出 c 的值，尔后依照抛物线与 x 轴交点的个数及x=﹣ 1 时，x=2 时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：由二次函数的图象张口向上可得a＞0，依照二次函数的图象与y 轴交于正半轴知： c＞ 0，由对称轴直线 x=2，可得出 b 与 a 异号，即 b＜0，那么 abc＜ 0，故①正确；把 x=﹣ 1代入 y=ax 2+bx+c 得： y=a﹣ b+c，由函数图象可以看出当x=﹣ 1 时，二次函数的值为正，即 a+b+c＞ 0，那么 b＜ a+c，故②选项正确；把 x=2 代入 y=ax 2+bx+c 得：y=4a+2b+c，由函数图象可以看出当x=2 时，二次函数的值为负，即 4a+2b+c＜ 0，故③选项错误；由抛物线与 x 轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=0 的根的鉴识式 b2﹣ 4ac ＞0，故④ D选项正确；应选 B．谈论：此题观察二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的变换，根的鉴识式的熟练运用．会利用特别值代入法求得特其他式子，如：y=a+b+c， y=4a+2b+c，尔后依照图象判断其值．16．〔 2021? 四川南充，第10 题， 3 分〕二次函数y=ax2+bx+c〔 a≠0〕图象如图，以下结论：①abc ＞0；② 2 +=0；③当≠1 时，+ ＞2+ ；④﹣ + ＞0；⑤假设ax12+bx1=ax22+2，a b m a b am bm a b c bx且 x1≠ x2， x1+x2=2．其中正确的有〔〕A．①②③B．②④C．②⑤D．②③⑤解析：依照抛物线张口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x=﹣=1，获取b=﹣ 2a＞ 0，即 2a+b=0，由抛物线与y 轴的交点地址获取c＞0，所以 abc＜0；依照二次函数的性质适合x=1时，函数有最大值22a+b+c，那么当 m≠1时， a+b+c＞ am+bm+c，即 a+b＞ am+bm；依照抛物线的对称性获取抛物线与x 轴的另一个交点在〔﹣1，0〕的右侧，那么当 x=﹣1时， y＜0，所以 a﹣ b+c＜0；把 ax122+bx1=ax2 +bx2先移项，再分解因式获取〔x1﹣x2〕 [ a〔x1+x2〕 +b]=0 ，而 x≠ x ，那么 a〔 x +x 〕+b]=0，即x+x =﹣，尔后把b=﹣ 2a代入计算获取x+x =2．12121212解：∵抛物线张口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为性质x=﹣=1，∴b=﹣2a＞0，即2a+b=0，所以②正确；∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c＞0，∴ abc＜0，所以①错误；∵抛物线对称轴为性质x=1，∴函数的最大值为a+b+c，22∴当 m≠1时， a+b+c＞ am+bm+c，即 a+b＞ am+bm，所以③正确；∵抛物线与x 轴的一个交点在〔3， 0〕的左侧，而对称轴为性质x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在〔﹣1， 0〕的右侧∴当 x=﹣1时， y＜0，∴ a﹣b+c＜0，所以④错误；2222﹣ bx2=0，∵ax1+bx1=ax2+bx2，∴ax1+bx1﹣ax2∴a〔 x1+x2〕〔 x1﹣ x2〕+b〔 x1﹣ x2〕=0，优秀文档谈论：此题观察了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕，二次项系数a 决定抛物线的张口方向和大小，当＞ 0 时，抛物线向上张口；当a＜ 0 时，抛物线向下开a口；一次项系数b 和二次项系数a共同决定对称轴的地址，当a与b同号时〔即＞ 0〕，ab对称轴在y 轴左；当a与b异号时〔即＜ 0〕，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与aby 轴交点．抛物线与 y 轴交于〔0， c〕；抛物线与 x 轴交点个数由△决定，△=b2﹣ 4ac＞ 0时，抛物线与 x 轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0 时，抛物线与x 轴没有交点．11．〔 2021?莱芜，第212 题 3 分〕二次函数 y=ax +bx+c 的图象以以下图．以下结论：①a bc ＞ 0；② 2a﹣ b＜ 0；③ 4a﹣2b+c ＜ 0；④〔 a+c〕2＜b2其中正确的个数有〔〕A． 1 B． 2 C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．解析：由抛物线张口方向得 a＜ 0，由抛物线对称轴在y 轴的左侧得 a、 b 同号，即 b＜ 0，由抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方得 c＞ 0，所以 abc＞ 0；依照抛物线对称轴的地址获取﹣1＜﹣＜ 0，那么依照不等式性质即可获取2a﹣ b＜ 0；由于 x=﹣ 2 时，对应的函数值小于0，那么 4a﹣ 2b+c＜ 0；同样当 x=﹣1 时， a﹣b+c＞ 0，x=1 时， a+b+c＜ 0，那么〔 a﹣b+c〕〔 a+b+c〕＜0，利用平方差公式张开获取〔2222．a+c〕﹣ b ＜ 0，即〔 a+c〕＜ b解答：解：∵抛物线张口向下，∴a＜ 0，∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧，∴x= ﹣＜ 0，∴b＜ 0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c＞ 0，∴a bc ＞ 0，所以①正确；∵﹣ 1＜﹣＜0，∴2a﹣b＜0，所以②正确；∵当 x=﹣ 2 时， y＜ 0，∴4a﹣2b+c＜0，所以③正确；∵当 x=﹣ 1 时， y＞ 0，∴a﹣ b+c＞0，∵当 x=1 时， y＜ 0，∴a+b+c＜ 0，∴〔 a﹣ b+c〕〔 a+b+c〕＜ 0，即〔 a+c﹣b〕〔 a+c+b〕＜ 0，22应选 D．谈论：此题观察了二次函数的图象与系数的关系：二次函数 y=ax 2+bx+c〔 a≠ 0〕的图象为抛物线，当 a＞ 0，抛物线张口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与 y 轴的交点坐标为〔 0，c〕；当 b2﹣ 4ac＞ 0，抛物线与 x 轴有两个交点；当b2﹣ 4ac=0，抛物线与 x 轴有一个交点；当 b2﹣4ac＜ 0，抛物线与 x 轴没有交点．3． (2021 年四川资阳，第 10 题 3 分 ) 二次函数=ax 2++ 〔≠ 0〕的图象如图，给出以下y bx c a四个结论：①4ac﹣b2＜ 0；② 4a+c＜ 2b；③ 3b+2c＜ 0；④m〔am+b〕 +b＜a〔m≠﹣ 1〕，其中正确结论的个数是〔〕A．4个B．3个C．2个D．1个考点：二次函数图象与系数的关系．解析：利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要依照图形，逐一判断．解答：解：∵抛物线和x 轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜ 0，∴①正确；∵对称轴是直线x﹣1，和 x 轴的一个交点在点〔0， 0〕和点〔 1，0〕之间，∴抛物线和x 轴的另一个交点在〔﹣3， 0〕和〔﹣ 2， 0〕之间，∴把〔﹣ 2， 0〕代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞ 2b，∴②错误；∵把〔 1， 0〕代入抛物线得：y=a+b+c＜0，∴2a+2b+2c＜ 0，∵b=2a，∴3b， 2c＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线 x=﹣1，∴y=a﹣ b+c 的值最大，2即把〔 m，0〕〔 m≠0〕代入得： y=am+bm+c＜ a﹣ b+c，2∴am+bm+b＜a，即 m〔 am+b〕+b＜ a，∴④正确；即正确的有 3 个，应选 B．谈论：此题主要观察了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特别点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程2的ax +bx+c=0解的方法．同时注意特别点的运用．4． (2021 年天津市，第 12 题 3 分 ) 二次函数y=ax2+bx+c〔a≠ 0〕的图象如图，且关于x 的一元二次方程 ax2+bx+c﹣ m=0没有实数根，有以下结论：①b2﹣4ac＞0；② abc＜0；③ m＞2．其中，正确结论的个数是〔〕A．0B．1C．2D．3考点：二次函数图象与系数的关系．解析：由图象可知二次函数y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个交点，进而判断①；先依照抛物线的张口向下可知a＜0，由抛物线与y 轴的交点判断 c 与0的关系，依照对称轴在 y 轴右侧得出 b 与0的关系，尔后依据有理数乘法法那么判断②；222一元二次方程ax +bx+c﹣m=0没有实数根，那么可转变成ax +bx+c=m，即可以理解为y=ax +bx+c 和 y=m没有交点，即可求出m的取值范围，判断③即可．解答：解：①∵二次函数=2++ 与x 轴有两个交点，y ax bx c ∴b2﹣4ac＞0，故①正确；②∵抛物线的张口向下，∴a＜0，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴 x=﹣＞0，∴a b＜0，∵a＜0，∴b＞0，∴a bc＜0，故②正确；③∵一元二次方程ax2+bx+c﹣ m=0没有实数根，∴y=ax2+bx+c 和y=m没有交点，由图可得， m＞2，故③正确．应选 D．谈论：此题主要观察图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的变换，根的鉴识式的熟练运用．8.〔 2021? 孝感，第 12 题 3 分〕抛物线y=ax2+bx+c的极点为D〔﹣ 1，2〕，与x轴的一个交点 A 在点〔﹣3，0〕和〔﹣2，0〕之间，其局部图象如图，那么以下结论：①b2﹣4ac＜0；② a+b+c＜0；③ c﹣ a=2；④方程 ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x 轴的交点专题：数形结合．解析：由抛物线与x 轴有两个交点获取b2﹣4ac＞0；有抛物线极点坐标获取抛物线的对称轴为直线 x=﹣1，那么依照抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点〔0， 0〕和〔 1，0〕之间，所以当x=1时， y＜0，那么 a+b+c＜0；由抛物线的极点为D〔﹣1，2〕得 a﹣b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x =﹣=1得 =2，所以﹣ =2；依照二次函数的最大值问题，b ac a当 x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=1 时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c﹣2=0 有两个相等的实数根．解答：解：∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；∵极点为 D〔﹣1，2〕，∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∵抛物线与x 轴的一个交点 A 在点〔﹣3，0〕和〔﹣2，0〕之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点〔0， 0〕和〔 1， 0〕之间，∴当 x=1时， y＜0，∴a+b+c＜0，所以②正确；∵抛物线的极点为 D〔﹣1，2〕，∴a﹣ b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线 x=﹣=1，∴b=2a，∴a﹣2a+c=2，即 c﹣ a=2，所以③正确；∵当 x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有 x=1时， ax2+bx+c=2，∴方程 ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，所以④正确．应选 C．谈论：此题观察了二次函数的图象与系数的关系：二次函数 y=ax2+bx+c〔 a≠0〕的图象为抛物线，当 a＞0，抛物线张口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与 y 轴的交点坐标为〔0，c〕；当 b2﹣4ac＞0，抛物线与 x 轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与 x 轴有一个交点；当 b2﹣4ac＜0，抛物线与 x 轴没有交点．12.〔 2021? 菏泽第 8 题 3 分〕如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的极点D、F分别在 AC、 BC边上， C、D两点不重合，设 CD的长度为 x，△ ABC与正方形 CDEF重叠局部的面积为 y，那么以以下图象中能表示y 与 x 之间的函数关系的是〔〕优秀文档A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．专题：数形结合．解析：分类谈论：当0＜x≤ 1 时，依照正方形的面积公式获取y=x2；当1＜ x≤2时， ED交 AB于 M， EF交 AB于 N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积获取 y=x2﹣2〔 x﹣1〕2，配方获取 y=﹣〔 x﹣2〕2+2，尔后依照二次函数的性质对各选项进行判断．解答：解：当0＜x≤ 1时， y=x2，当 1＜x ≤2 时，交于，交于，如图，ED AB M EF AB NCD=x，那么 AD=2﹣ x，∵R t △ ABC中， AC=BC=2，∴△ADM为等腰直角三角形，∴DM=2﹣ x，∴EM=x﹣〔2﹣ x〕=2x﹣2，∴S△ ENM=〔2x﹣2〕2=2〔 x﹣1〕2，∴y=x2﹣2〔 x﹣1〕2=﹣ x2+4x﹣2=﹣〔 x﹣2〕2+2，∴y=，应选 A．15. 〔 2021 年山东泰安，第20 题 3 分〕二次函数y=ax2+bx+c〔 a， b，c 为常数，且a≠0〕中的 x 与 y 的局部对应值以下表：X﹣1013y﹣1353以下结论：（1〕ac＜ 0；（2〕当x＞ 1 时，y的值随x值的增大而减小．（3〕 3 是方程ax2+〔b﹣ 1〕x+c=0 的一个根；（4〕当﹣ 1＜x＜ 3 时，ax2+〔b﹣1〕x+c＞ 0．其中正确的个数为〔〕A．4个B．3个C．2个D．1个解析：依照表格数据求出二次函数的对称轴为直线x ，尔后依照二次函数的性质对各小题解析判断即可得解．解：由图表中数据可得出： x=1时，y=5值最大，所以二次函数2y=ax +bx+c 张口向下， a＜0；又 x=0时， y=3，所以 c=3＞0，所以 ac＜0，故〔1〕正确；∵二次函数y=ax2+bx+c 张口向下，且对称轴为x==1.5 ，∴当x＞1.5 时，y的值随x值的增大而减小，故〔2〕错误；2∵x=3时， y=3，∴9a+3b+c=3，∵ c=3，∴9a+3b+3=3，∴9a+3b=0，∴3是方程 ax +〔b﹣1〕x+c=0的一个根，故〔3〕正确；∵x=﹣1时，ax2+bx+c=﹣1，∴x=﹣1时，ax2+〔 b﹣1〕x+c=0，∵x=3时，ax2+〔 b﹣1〕x+c=0，且函数有最大值，∴当﹣ 1＜x＜ 3 时，ax2=〔b﹣ 1〕x+c＞ 0，故〔 4〕正确．应选 B ．谈论： 此题观察了二次函数的性质， 二次函数图象与系数的关系，抛物线与 x 轴的交点，二次函数与不等式，有必然难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的要点．5. 〔 2021? 贵港，第 12 题 3 分〕二次函数 y =ax 2+bx +c 〔 a ≠ 0〕的图象如图，解析以下四个结论：① a bc ＜ 0；② b 2﹣ 4ac ＞0；③ 3a +c ＞ 0；④〔 a +c 〕 2＜ b 2，其中正确的结论有〔〕A ． 1个B ．2个C ．3个D ．4个考点 ： 二次函数图象与系数的关系．解析：①由抛物线的张口方向， 抛物线与 y 轴交点的地址、对称轴即可确定 a 、b 、c 的符号，即得 abc 的符号；②由抛物线与 x 轴有两个交点判断即可；③ 〔﹣ 2〕+2 〔 1〕=6 +3 ＜0，即 2 + ＜ 0；又由于a ＜0，所以 3 + ＜ 0．故错误；ff a ca ca c④将 x =1 代入抛物线解析式获取+ + ＜0，再将x =﹣ 1 代入抛物线解析式获取﹣ +＞0，a b ca b c 两个不等式相乘，依照两数相乘异号得负的取符号法那么及平方差公式变形后，获取〔 a +c 〕2＜b 2，解答：解：①由张口向下，可得 a ＜0，又由抛物线与 y 轴交于正半轴，可得 c ＞ 0，尔后由对称轴在 y 轴左侧，获取 b 与 a 同号，那么可得 b ＜ 0， abc ＞0，故①错误；②由抛物线与 x 轴有两个交点，可得b 2﹣4ac ＞ 0，故②正确；③当 x =﹣ 2 时， y ＜ 0，即 4a ﹣2b +c ＜ 0 〔 1〕当 x =1 时， y ＜ 0，即 a +b +c ＜0 〔 2〕（ 1〕 +〔 2〕× 2 得： 6a +3c ＜0，即 2a +c ＜ 0又∵ a ＜ 0，∴ a +〔 2a +c 〕 =3a +c ＜ 0．故③错误；④∵ x=1时， y=a+b+c＜0， x=﹣1时， y=a﹣ b+c＞0，∴〔 a+b+c〕〔 a﹣ b+c〕＜0，即[ 〔a+c〕+b][ 〔a+c〕﹣b]= 〔a+c〕2﹣b2＜ 0，∴〔 a+c〕2＜b2，故④正确．综上所述，正确的结论有 2 个．应选： B．谈论：此题观察了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c〔 a≠0〕系数符号由抛物线张口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定．11. 〔 2021? 广东深圳，第11 题23 分〕二次函数y=ax +bx+c图象如图，以下正确的个数为〔〕①b c＞0；②2a﹣ 3c＜0；③2a+b＞ 0；④a x2+bx+c=0有两个解 x1， x2， x1＞0， x2＜0；⑤a+b+c＞0；⑥当 x＞1时， y 随 x 增大而减小．A．2B．3C．4D．5考点：二次函数图象与系数的关系．解析：依照抛物线张口向上可得a＞0，结合对称轴在y 轴右侧得出b＜0，依照抛物线与y 轴的交点在负半轴可得c＜0，再依据有理数乘法法那么判断①；再由不等式的性质判断②；依照对称轴为直线x=1判断③；依照图象与x 轴的两个交点分别在原点的左右两侧判断④；解答：解：①∵抛物线张口向上，∴a＞0，∵对称轴在y 轴右侧，∴a， b 异号即 b＜0，∵抛物线与y 轴的交点在负半轴，∴c＜0，∴b c＞0，故①正确；②∵ a＞0，c＜0，∴2a﹣ 3c＞0，故②错误；③∵对称轴 x=﹣＜1，a＞0，∴﹣ b＜2a，∴2a+b＞ 0，故③正确；④由图形可知二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴的两个交点分别在原点的左右两侧，即方程 ax2+bx+c=0有两个解 x1，x2，当 x1＞ x2时， x1＞0， x2＜0，故④正确；⑤由图形可知x=1时， y=a+b+c＜0，故⑤错误；⑥∵ a＞0，对称轴 x=1，∴当 x＞1时， y 随 x 增大而增大，故⑥错误．综上所述，正确的结论是①③④，共 3 个．应选 B．谈论：主要观察图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的性质，会利用对称轴的范围求 2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的变换．14．〔 2021? 齐齐哈尔， 9 题 3 分〕如图，二次函y=ax2+bx+c〔 a≠0〕图象的一局部，对称轴为直线 x=，且经过点〔2，0〕，以下说法：① abc＜0；② a+b=0；③4a+2b+c＜0；④假设〔﹣2，y1〕，〔，y2〕是抛物线上的两点，那么y1＜ y2，其中说法正确的选项是〔〕A．①②④B．③④C．①③④D．①②考点：二次函数图象与系数的关系．解析：①依照抛物线张口方向、对称轴地址、抛物线与y 轴交点地址求得、、的符号；a b c②依照对称轴求出b=﹣ a；③把 x=2代入函数关系式，结合图象判断符号；④求出点〔﹣ 2，y1〕关于直线x=的对称点的坐标，依照对称轴即可判断y1和 y2的大小．解答：解：①∵二次函数的图象张口向下，∴a＜0，∵二次函数的图象交y 轴的正半轴于一点，∴c＞0，∵对称轴是直线 x=，∴﹣ =，∴b=﹣ a＞0，∴a bc＜0．故①正确；②∵ b=﹣ a∴a+b=0．故②正确；③把 x=2代入 y=ax2+bx+c 得： y=4a+2b+c，∵抛物线经过点〔2， 0〕，∴当 x=2时， y=0，即4a+2b+c=0．故③错误；④∵〔﹣ 2，y1〕关于直线x=的对称点的坐标是〔3，y1〕，又∵当 x＞时， y 随 x 的增大而减小，＜3，∴y1＜ y2．故④错误；综上所述，正确的结论是①②④．应选： A．谈论：此题观察了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当a＞0时，二次函数的图象张口向上，当a＜0时，二次函数的图象张口向下．6.〔 2021? 扬州，第 16 题， 3 分〕如图，抛物线y=ax2+bx+c〔a＞ 0〕的对称轴是过点〔 1，0〕且平行于y 轴的直线，假设点P〔4，0〕在该抛物线上，那么4a﹣ 2b+c的值为0．〔第 3 题图〕考点：抛物线与 x 轴的交点解析：依照抛物线的对称性求得与x 轴的另一个交点，代入解析式即可．解答：解：设抛物线与x 轴的另一个交点是，Q∵抛物线的对称轴是过点〔1， 0〕，与x轴的一个交点是P〔4，0〕，∴与 x 轴的另一个交点Q〔﹣2，0〕，把〔﹣ 2， 0〕代入解析式得：0=4a﹣ 2b+c，∴4a﹣ 2b+c=0，故答案为： 0．谈论：此题观察了抛物线的对称性，知道与x 轴的一个交点和对称轴，可以表示出与x 轴的另一个交点，求得另一个交点坐标是此题的要点．2．〔 2021? 四川省德阳，第24 题 14 分〕如图，抛物线经过点A〔﹣2，0〕、 B〔4，0〕、C〔0，﹣8〕．〔1〕求抛物线的解析式及其极点D的坐标；〔2〕直线CD交x轴于点E，过抛物线上在对称轴的右侧的点P，作 y 轴的平行线交x 轴于点 F，交直线 CD于 M，使 PM=EF，央求出点P 的坐标；（3〕将抛物线沿对称轴平移，要使抛物线与〔 2〕中的线段EM总有交点，那么抛物线向上最多考点：二次函数综合题；解一元二次方程- 因式分解法；根的鉴识式；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式．专题：综合题．解析：〔1〕由于抛物线与x 轴的两个交点，抛物线的解析式可设成交点式：y=a〔 x+2〕（x﹣4〕，尔后将点 C的坐标代入即可求出抛物线的解析式，再将该解析式配成极点式，即可获取极点坐标．（2〕先求出直线CD的解析式，再求出点E的坐标，尔后设点P的坐标为〔m，n〕，进而可以用m的代数式表示出 PM、EF，尔后依照 PM=EF建立方程，即可求出 m，进而求出点 P 的坐标．〔3〕先求出点的坐标，尔后设平移后的抛物线的解析式为=x 2﹣ 2 ﹣8+ ，尔后只要考虑M y xc三个临界地址〔①向上平移到与直线EM相切的地址，②向下平移到经过点M的地址，③向下平移到经过点 E 的地址〕所对应的 c 的值，就可以解决问题．解答：解：〔 1〕依照题意可设抛物线的解析式为y=a〔 x+2〕〔 x﹣4〕．∵点 C〔0，﹣8〕在抛物线y=a〔 x+2〕〔x﹣4〕上，∴﹣ 8a=﹣ 8．∴a=1．∴y=〔 x+2〕〔 x﹣4〕=x2﹣2x﹣ 8=〔x﹣ 1〕2﹣9．∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8，极点 D的坐标为〔1，﹣9〕．〔2〕如图，设直线 CD的解析式为y=kx+B．∴解得：．∴直线 CD的解析式为y=﹣ x﹣8．当 y=0时，﹣ x﹣8=0，那么有 x=﹣8．∴点 E 的坐标为〔﹣8，0〕．设点 P 的坐标为〔 m， n〕，22那么 PM=〔 m﹣2m﹣8〕﹣〔﹣ m﹣8〕=m﹣ m，EF=m﹣〔﹣8〕=m+8．∵PM=EF，2∴m﹣ m=〔 m+8〕．2整理得： 5m﹣6m﹣ 8=0．∴〔 5m+4〕〔m﹣ 2〕 =0解得： m1=﹣， m2=2．∵点 P 在对称轴 x=1的右侧，∴m=2．此时， n=22﹣2×2﹣8=﹣8．∴点 P 的坐标为〔2，﹣8〕．（3〕当m=2 时，y=﹣ 2﹣ 8=﹣10．∴点 M的坐标为〔2，﹣10〕．设平移后的抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8+c，①假设抛物线y=x2﹣2x﹣8+c 与直线 y=﹣ x﹣8相切，那么方程 x2﹣2x﹣8+c=﹣x﹣8即 x2﹣ x+c=0有两个相等的实数根．∴〔﹣ 1〕2﹣4× 1×c=0．∴c=．②假设抛物线y=x2﹣2x﹣8+c 经过点 M，那么有 22﹣ 2× 2﹣ 8+c=﹣10．∴c=﹣2．③假设抛物线y=x2﹣2x﹣8+c 经过点 E，那么有〔﹣ 8〕2﹣ 2×〔﹣ 8〕﹣ 8+c=0．综上所述：要使抛物线与〔 2〕中的线段 EM 总有交点，抛物线向上最多平移个单位长度，向下最多平移 72 个单位长度．谈论： 此题观察了用待定系数法求二次函数的解析式、用待定系数法求一次函数的解析式、解一元二次方程、根的鉴识式、 抛物线与直线的交点问题等知识，而把抛物线与直线相切的问题转变成一元二次方程有两个相等的实数根的问题是解决第三小题的要点，有必然的综合性．8、〔 2021 年内蒙古包头〕 二次函数y ax2bx c的图象与 x 轴交于点 ( 2，0) ( x 1，0)，、且 1x 1 2 ，与 y 轴的正半轴的交点在(0，2) 的下方．以下结论：① 4a 2b c 0 ；②a b 0 ；③ 2a c0 ；④ 2a b 10 ．其中正确结论的个数是个．【答案】 4【解析】 此题观察二次函数图象的画法、鉴识理解， 方程根与系数的关系筀等知识和数形结合能力。
二次函数中的符号问题
y 2
-2
0
1x
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仔细想一想：
（06.浙江省）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上， 图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴． (以下有(1)、(2)两问，每个考生只须选答一问，若两问都答， 则只以第(2)问计分) 第(1)问：给出四个结论：
④ a+b+c＜0；⑤a-b+c＞0；正确的是
③ ④ ⑤。
y
- o 1x 1
12
练一练：
已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象（a<0）过点
（-2，0）,且满足2a+b=0，下列结论：①abc＞0；
②b2- 4ac＞0；③4a+2b+c＞ 0；④（a+c)2- b2
＜ 0，其中正确的是
。
③
13
归纳知识点：
4、若关于x的函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与坐标轴有两个交点，则a的取值范围
为
。
5、(03武汉)已知抛物线y=ax2+bx+c （a＜0)经过点（－1，
0），且满足4a＋2b＋c＞0．以下结论：①a＋b＞0；②a＋c＞
0；③－a＋b＋c＞0；④b2-2ac>5a2．其中正确的是
。
15
试一试：
已知：抛物线y=ax2+bx+c 中，a>0，a+b+c = 0， 9a+3b+c = 0，请你根据条 件画出草图，并写出几个与 二次函数符号问题有关的正 确结论。
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说一说：
解决二次函数符号问题要抓住哪些要点呢？
九年级数学二次函数中a,b,c符号的确定
九年级数学二次函数中a ，b ，c 符号的确定珠海市第四中学（519015） 邱金龙二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象是抛物线，利用图象来确定a ，b ，c 的符号，是常见的问题，解决的关键是对二次函数的图象和性质的正确理解。
一、a ，b ，c 符号的确定（1）a 符号的确定。
抛物线的开口向上，a ＞0，抛物线的开口向下，a ＜0。
（2）c 符号的确定。
因为x=0时，由c bx ax y ++=2得，y ＝c ，故抛物线与y 轴交点在y 轴的正半轴，c ＞0，抛物线与y 轴交点在y 轴的负半轴，c ＜0，抛物线经过原点，c ＝0。
（3）b 符号的确定。
b 的符号要看对称轴ab x 2-=，再结合a 的符号来确定。
二、应用举例1、二次函数c bx ax y ++=2的图象分别如图所示，试分别判断（A ）（B ）（C ）（D ）图中a ，b ，c 的符号。
分析：（A ）图中，抛物线的开口向上，故a ＞0；抛物线与y 轴的交点P 在y 轴的负半轴，故c ＜0。
对称轴ab x 2-=＞0，而a ＞0，故b ＜0。
（B ）图中，抛物线的开口向下，故a ＜0；抛物线与y 轴的交点P 在y 轴的正半轴，故c ＞0。
对称轴ab x 2-=＜0，而a ＜0，故b ＜0。
（C ）图中（过程略），a ＞0，c ＞0 ，b ＞0。
（D ）图中（过程略），a ＜0， c ＜0 ，b ＞0。
2、（2004重庆中考题）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则点M （b ，ac ）在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限分析：抛物线的开口向下，故a ＜0；抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴，故c ＞0。
对称轴ab x 2-=＞0，而a ＜0，故b ＞0。
因此，点M （b ，ac ）的横坐标为正，纵坐标为负，在第四象限，选（D ）。
3、（2004陕西中考题）二次函数y =ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列关于a 、b 、c 间的关系判断正确的是（ ）A 、ab ＜0B 、bc ＜0C 、.a+b+c ＞0D 、a －b+c ＜0分析：抛物线的开口向下，故a ＜0；抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴，故c ＜0。
二次函数系数a、b、c与图像的关系
二次函数系数a 、b 、c 与图像的关系知识要点二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0． （2）b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式abx 2-=判断符号． （3）c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0． （4）b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b 2-4ac ＜0．（5）当x=1时，可确定a+b+c 的符号，当x=-1时，可确定a-b+c 的符号．一．选择题（共9小题） 1．（2014•威海）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图，则下列说法： ①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a ；④am 2+bm+a ＞0（m ≠﹣1）． 其中正确的个数是（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 2．（2014•仙游县二模）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c ＜0；②a ﹣b+c ＜0；③b+2a ＜0；④abc ＞0．其中所有正确结论的序号是（ ） A ． ③④ B ． ②③ C ． ①④ D ． ①②③ 3．（2014•南阳二模）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①a ＜0；②c ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④＜0中，正确的结论有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个4．（2014•襄城区模拟）函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图，有以下结论：①b 2﹣4c ＜0；②c ﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0． 其中正确结论的个数为（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 5．（2014•宜城市模拟）如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：①abc ＜0；②2a ﹣b=0；③4a+2b+c ＜0；④若（﹣5，y 1），（2，y 2）是抛物线上的两点，则y 1＞y 2． 其中说法正确的是（ ）A．①②B．②③C．②③④D．①②④6．（2014•莆田质检）如图，二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，对称轴在y轴的右侧，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜3 C．m＞3 D．2＜m＜3 7．（2014•玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（2014•乐山市中区模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．其中正确的是（）A．①②B．③④C．①③D．①③④9．（2014•齐齐哈尔二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，下列结论正确的个数为（）①b＜0；②c＜0；③a+c＜0；④4a﹣2b+c＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个10、（2011•雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（）A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤11、（2011•孝感）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（21，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、4答案：CBDCD DCDDD 11、C一．选择题（共9小题）1．（2014•威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a ＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：抛物线与y轴交于原点，c=0，（故①正确）；该抛物线的对称轴是：，直线x=﹣1，（故②正确）；当x=1时，y=a+b+c∵对称轴是直线x=﹣1，∴﹣b/2a=﹣1，b=2a，又∵c=0，∴y=3a，（故③错误）；x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，x=﹣1对应的函数值为y=a﹣b+c，又∵x=﹣1时函数取得最小值，∴a﹣b+c＜am2+bm+c，即a﹣b＜am2+bm，∵b=2a，∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．（故④正确）．故选：C．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．2．（2014•仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（）A．③④B．②③C．①④D．①②③考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①当x=1时，y=a+b+c=0，故①错误；②当x=﹣1时，图象与x轴交点负半轴明显大于﹣1，∴y=a﹣b+c＜0，故②正确；③由抛物线的开口向下知a＜0，∵对称轴为0＜x=﹣＜1，∴2a+b＜0，故③正确；④对称轴为x=﹣＞0，a＜0∴a、b异号，即b＞0，由图知抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0 ∴abc＜0，故④错误；∴正确结论的序号为②③．故选：B．点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=﹣判断符号；（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；（4）当x=1时，可以确定y=a+b+c的值；当x=﹣1时，可以确定y=a﹣b+c的值．3．（2014•南阳二模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解解：①∵图象开口向下，∴a＜0；故本选项正确；答：②∵该二次函数的图象与y轴交于正半轴，∴c＞0；故本选项正确；③∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不相同交点，∴根的判别式△=b2﹣4ac＞0；故本选项正确；④∵对称轴x=﹣＞0，∴＜0；故本选项正确；综上所述，正确的结论有4个．故选D．点评：本题主要考查了二次函数的图象和性质，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定，做题时要注意数形结合思想的运用，同学们加强训练即可掌握，属于基础题．4．（2014•襄城区模拟）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图，有以下结论：①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由函数y=x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x=﹣1时，y=1﹣b+c＞0；当x=3时，y=9+3b+c=3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．解答：解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4ac＜0；故①正确；当x=﹣1时，y=1﹣b+c＞0，故②错误；∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0；③正确；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．故选C．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．5．（2014•宜城市模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．②③④D．①②④考点：二次函数图象与系数的关系．分析：根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b=2a＞0，则2a ﹣b=0，则可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c ＜0，则abc＜0，于是可对①进行判断；由于x=﹣2时，y＜0，则得到4a﹣2b+c＜0，则可对③进行判断；通过点（﹣5，y1）和点（2，y2）离对称轴的远近对④进行判断．解答：解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴为直线x=﹣=﹣1，∴b=2a＞0，则2a﹣b=0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①正确；∵x=2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，所以③错误；∵点（﹣5，y1）离对称轴要比点（2，y2）离对称轴要远，∴y1＞y2，所以④正确．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）．抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．6．（2014•莆田质检）如图，二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，对称轴在y轴的右侧，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜3 C．m＞3 D．2＜m＜3考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由于二次函数的对称轴在y轴右侧，根据对称轴的公式即可得到关于m的不等式，由图象交y轴于负半轴也可得到关于m的不等式，再求两个不等式的公共部分即可得解．解答：解：∵二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，∴m﹣3＜0，解得m＜3，∵对称轴在y轴的右侧，∴x=，解得m＞2，∴2＜m＜3．故选：D．点评：此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是利用对称轴的公式以及图象与y轴的交点解决问题．7．（2014•玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；由图象可知：对称轴x==﹣1，∴2a=b，2a+b=4a，∵a≠0，∴2a+b≠0，②错误；∵图象过点A（﹣3，0），∴9a﹣3b+c=0，2a=b，所以9a﹣6a+c=0，c=﹣3a，③正确；∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0由图象可知：当x=1时y=0，∴a+b+c=0，④正确．故选C．点评：考查了二次函数图象与系数的关系，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．8．（2014•乐山市中区模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．其中正确的是（）A．①②B．③④C．①③D．①③④考点：二次函数图象与系数的关系．分析：①由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（﹣1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断；②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a，将其代入（3a+b），并判定其符号；③根据两根之积=﹣3，得到a=，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围；④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c，利用c的取值范围可以求得n的取值范围．解答：解：①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x=1，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．故①正确；②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．∵对称轴x==1，∴b=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，即3a+b＜0．故②错误；③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），∴﹣1×3=﹣3，=﹣3，则a=．∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3，∴﹣1≤≤，即﹣1≤a ≤．故③正确；④根据题意知，a=，=1，∴b=﹣2a=，∴n=a+b+c=c．∵2≤c≤3，≤≤4，≤n≤4．故④正确．综上所述，正确的说法有①③④．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．9．（2014•齐齐哈尔二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，下列结论正确的个数为（）①b＜0；②c＜0；③a+c＜0；④4a﹣2b+c＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①∵y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，∴对称轴在y轴的右侧，即：﹣＞0，∵a＞0∴b＜0，故①正确；②显然函数图象与y轴交于负半轴，∴c＜0正确；③∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，即a+c=b，∵b＜0，∴a+c＜0正确；④∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），且a＞0，∴当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＞0，故④正确，故选D．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．。
判定二次函数中的a,b,c的符号
10A B C D二次函数：图象位置与a，b，c，（1）a决定抛物线的开口方向：a>0⇔；a<0⇔．（2）C决定抛物线与y轴交点的位置，c>0⇔抛物线交y轴于；c<0⇔抛物线交y轴于；c=0⇔．（3）ab决定抛物线对称轴的位置，当a,b同号时⇔对称轴在y轴；b=0⇔对称轴为；a,b异号⇔对称轴在y轴，简称为．一、通过抛物线的位置判断a，b，△c，的符号．例1．根据二次函数y=ax2+bx+c的图象，判断a、b、c、b2-4ac的符号yx2.看图填空（1）a＋b＋c_______0（2）a－b＋c_______0（3）2a－b_______0（4）4a＋2b＋c_______0二、通过a，b，△c，的符号判断抛物线的位置：例1．若a<0,b>0,c<0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（）y y y yOx O x O x O xA B C D例2．若a＞0，b＞0，c＞△0，＞0，那么抛物线y=ax2+bx+c经过象限．例3.已知二次函数y=ax2+bx+c且a＜0，a-b+c＞0；则一定有b2-4ac0例4．如果函数y=kx+b的图象在第一、二、三象限内，那么函数y=kx2+bx-1的大致图象是（）y yy 1x0x-1x 0-101．若抛物线y=ax2+bx+c开口向上，则直线y=ax+3经过象限．2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列条件不正确的是()yO x3．二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象如图，则点, ⎪ 在．（ ）⎝ b 2 - 4ac b ⎭y yA 、 a < 0, b > 0, c < 0B 、 b 2 - 4ac < 0C 、 a + b + c < 0D 、 a - b + c > 0⎛ a + b ac ⎫yA 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限O4．二次函数 y=ax 2+bx+c 与一次函数 y = ax + c 在同一坐标系中的图象大致是() yyO xO xO x OxABCD5．二次函数 y=ax 2+bx+c (a ≠ 0)的图象，如图，下列结论①c < 0 ② b > 0 ③ 4a + 2b + c > 0 ④ (a + c )2 < b 2 其中正确的有（）A 、1 个B 、2 个C 、3 个D 、4 个6．已知函数 y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，关于系数 a, b , cyOxx = 1y有下列不等式① a < 0 ② b < 0 ③ c > 0 ④ 2a + b < 0 ⑤ a + b + c > 0 其中正确个数为 ．7．已知直线 y=ax 2+bx+c 不经过第一象限，则抛物线y = ax 2 + bx 一定经过（）A ．第一、二、四象限B ．第一、二、三象限C ．第一、二象限D ．第三、四象限8. 如图所示的抛物线是二次函数 y ＝ax 2-3x ＋a 2-1 的图象，那么 a 的值是__．- O 1x．． 轴正半轴相交，其顶点坐标为,1⎪ ，下列结论：①ac＜0；② 精品资料 欢迎下载9. 若抛物线 y ＝x 2－bx ＋9 的顶点在 x 轴上，则 b 的值为______若抛物线 y ＝x 2－bx ＋9 的顶点在 y 轴上，则 b 的值为______10．已知二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a＋b ＋c=2； ③a >结论是( )1 2；④b＜1．其中正确的A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④11.二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象开口向上，图象经过点（-1,2）和（1,0），且与 y 轴负半轴交于一点，给出以下结论①abc＜0；②2a＋b ＞0；③a＋c ＝1；④a＞1．其中正确的结论是()A 、1 个B 、2 个C 、3 个D 、4 个12. 二次函数 y ＝ax 2 －2x －1 与 x 轴有交点，则 k 的取值范围________。
二次函数中a,b,c符号确定
对称轴是x=1，下列结论
①abc﹥0
y
②2a+b=0
③b2-4ac﹤0
④4a+2b+c﹥0
⑤ 若 2, y1 ,5, y2
x
是抛物线上两点，
0
则y1﹥y2
正确的有——————（填序号） X=1
• 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分， 图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1．给出 四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b=0；
5个结论
①4ac-b2≥0， ②-3a+c﹤0
X=2
③abc﹤0
④将该函数图像向左平移2个单位后，
所得抛物线解析式是 y ax2 c
⑤m﹤2
正确的有——————（填序号）
象如图所示，有下列5个结论：① abc﹤o
② b ﹤ a+c；③ 4a+2b+c﹥0；④ 2c ﹤ 3b；⑤ a+b ﹤ m(am+b)，（m≠1的实数）其中正确的 结论有（ ）
（m﹥2）无实数根
正确的有——————（填序号）
抛物线 y x 2 ax a 1
（1）无论a取何值，抛物线与x轴有交点
（2）无论a取何值，抛物线过一个定点
如图，在平面直角坐标系中，抛物线
y 1 x2
2
y 1 x2
y
2
y 3x
O
x
⊙O半径为2
阴影部分的面积=
一次函数 y1 x y
• ③a－b＋c=0；④3a﹥b．
⑤其图像与x轴另一个交点坐标是（1,0）
⑥若点（-4，y1）点（3，y2） 在该函数图像上，则y1 ﹤ y2
二次函数abc符号确定
资料二次函数a 、b 、c 符号的确定一．选择题（共13小题）1．（2013•黔东南州）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）2．（2013•崇明县一模）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么a ，b ，c 的符号为（ ）3．（2014•兰州）二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（ ）D5．（2014•沙湾区模拟）函数y=ax +bx+c （a ≠0）的图象如图，则下列说法错误的是（ ） ＞0 6．（2014•邢台一模）抛物线y=ax +bx+c 如图，考查下述结论：①b ＜0；②a ﹣b+c ＞0；③b 2＞4ac ；④2a+b ＜0．正确的有（ ）7．（2014•兴化市一模）如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过（﹣1，0）、（0，3）， 下列结论中错误的是（ ）8．（2013•定西）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中：①2a ﹣b ＜0；②abc ＜0；③a+b+c ＜0；④a ﹣b+c ＞0； ⑤4a+2b+c ＞0，错误的个数有（ ）9．（2013•滨州）如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为x=1，点B 坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论： ①2a+b=0；②4a ﹣2b+c ＜0；③ac ＞0；④当y ＜0时，x ＜﹣1或x ＞2． 其中正确的个数是（ ）10．（2013•邢台一模）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列条件正确的是（ ）11．（2013•红桥区一模）如图所示，二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，其中﹣2＜x 1＜﹣1，0＜x 2＜1，下列结论： ①abc ＞0；②4a ﹣2b+c ＜0；③2a ﹣b ＜0；④b 2+8a ＞4ac ． 其中正确的有（ ） 12．（2013•百色）在反比例函数y=中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则二次函数y=mx 2+mxB13．（2013•长安区模拟）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论： ①a+b+c ＞0；②a ﹣b+c ＞0；③abc=0；④2a ﹣b=0， 其中正确的有（ ）二．解答题（共2小题）14．（2008•密云县一模）已知抛物线y=ax 2+bx+c 的一段图象如图所示． （1）确定a、b 、c 的符号； （2）求a+b+c 的取值范围．15．已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，（1）判断a ，b ，c 及b 2﹣4ac ，a ﹣b+c 的符号； （2）求a+b+c 的值；（3）下列结论：①b ＜1，②b ＜2a ，③a ＞，④a+c ＜1， ⑤﹣a ﹣b+c ＜0．其中正确的有 _________ ，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．（2013•黔东南州）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）判断符号．2．（2013•崇明县一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么a，b，c的符号为（）＜3．（2014•兰州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（）﹣2B5．（2014•沙湾区模拟）函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法错误的是（）＞0轴右侧得，据此逐一判断即可．轴右侧得，所以；抛物线与6．（2014•邢台一模）抛物线y=ax2+bx+c如图，考查下述结论：①b＜0；②a﹣b+c＞0；③b2＞4ac；④2a+b＜0．正确的有（），﹣＞由图象知判断符号；7．（2014•兴化市一模）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）、（0，3），下列结论中错误的是（）﹣；抛物线与8．（2013•定西）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中：①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0；⑤4a+2b+c＞0，错误的个数有（）＞﹣＜9．（2013•滨州）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x=1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b=0；②4a﹣2b+c＜0；③ac＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞2．其中正确的个数是（）=110．（2013•邢台一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列条件正确的是（）11．（2013•红桥区一模）如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；③2a﹣b＜0；④b2+8a＞4ac．其中正确的有（）＜＜12．（2013•百色）在反比例函数y=中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=mx2+mx的图象大致是图By=，中，当13．（2013•长安区模拟）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①a+b+c＞0；②a﹣b+c＞0；③abc=0；④2a﹣b=0，其中正确的有（）﹣=；抛物线与二．解答题（共2小题）14．（2008•密云县一模）已知抛物线y=ax2+bx+c的一段图象如图所示．（1）确定a、b、c的符号；（2）求a+b+c的取值范围．轴正半轴可知﹣轴正半轴可知﹣15．已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，（1）判断a，b，c及b2﹣4ac，a﹣b+c的符号；（2）求a+b+c的值；（3）下列结论：①b＜1，②b＜2a，③a＞，④a+c＜1，⑤﹣a﹣b+c＜0．其中正确的有①③④⑤，请说明理由．﹣得出的结论；由﹣=，，所以﹣＞，即可判定a=﹣﹣==﹣＞，故，﹣；抛物线与。
确定abc的符号
2、自主学习
1、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向与什么有关？
2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点是什么？
3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是什么？.
3、合作交流
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定
开口向上：a>0；开口向下：a<0
（2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定:
交点在x轴上方：c>0
交点在x轴下方：c<0
经过坐标原点：c=0
4、展示评价
（3）b的符号：由对称轴的位置确定：
对称轴在y轴左侧：a、b同号
对称轴在y轴右侧：பைடு நூலகம்、b异号
对称轴是y轴：b=0
简记为：左同右异
（4）b -4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定:
与x轴有两个交点：b -4ac>0
与x轴有一个交点：b -4ac=0
与x轴无交点：b -4ac<0
5、质疑解难
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
（5）a+b+c的符号：由x=1时抛物线上的点的位置确定
（6）a-b+c的符号：由x=-1时抛物线上的点的位置确定
6、巩固延伸
已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0；④a+b-c＞0;⑤a-b+c＞0正确的个数是（）
A、2个B、3个
C、4个D、5个
板书设计：
课后反思：
正定八中教学案
二次函数的性质a,b,c符号问题
二次函数的图像与性质知识点：二次函数抛物线，图像对称是关键，开口、顶点和交点，它们确定图像现。
a 的正负开口判（开口大小由a 断），c 与y 轴来相见，b 的符号较特别，符号与a 相关联，顶点位置先找见，y 轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱。
△的符号最简便，x 轴上数交点，顶点坐标最重要，一般配方它就现，横标即为对称轴，纵标函数最值现，若求对称轴位置，括中符号正相反，一般、顶点、交点式，不同表达能互换。
二次函数a ，b ，c 及相关问题的解决：1、 a 正负性：由开口方向决定，开口向上，a ＞0；开口向下，a ＜02、 b 的正负性：由于抛物线对称轴为ab x 2-=，所以b 的正负性与对称轴的位置和a 的正负性相关联。
对称轴在y 轴的左边时，a 、b 符号相同，对称轴在y 轴的右边时，a 、b 符号相反，对称轴为y 轴时，b=0（左同右异中为0）3、 c 的正负性：c 表示抛物线与y 轴交点的纵坐标，即当x=0时，y=c ，所以当抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方时，c ＞0，当抛物线与y 轴的交点在x 轴的下方时，c ＜0。
（c 与y 轴来相见）4、 abc 的正负性：a ，b ，c 确定，则随之确定5、 ac b 42-=∆的正负性：△是根的判别式，由于一元二次方程是二次函数y=0的特殊情况，所以可以从抛物线与x 轴的交点个数来判断△的正负性，与x 轴有两个交点时，042>-ac b ，与x 轴的交点有一个时，042=-ac b ，与x 轴没有交点时，042<-ac b6、 利用x 的特殊值判断一些代数式的正负性：当x=1时，y=a+b+c ，当x=-1时，y=a-b+c ，当x=2时，y=4a+2b+c ，当x=-2时，y=4a-2b+c ，当x=3时，y=9a+3b+c ，当x=-3时，y=9a-3b+c ，对于取x 的特殊值得到代数式的正负性，重点看此时图像在x 轴的上方还是下方。
讲义二次函数的解析式求法及a,b,c符号判断方法
例3已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式.
典型例题二：如果a>0，那么当x= - 时，y有最小值且y最小= ；如果a<0，那么，当x=- 时，y有最大值，且y最大= ．告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式.
典型例题：已知二次函数的图像过点（0,2）（1，1）（3，5)，求此二次函数解析式。
二.交点式
知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x- )(x- )（a≠0）， ， 分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标．已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便．
典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式．
利用翻折型（对称性）来求函数解析式
已知一个二次函数 ，要求其图象关于 轴对称（也可以说沿 轴翻折）； 轴对称及经过其顶点且平行于 轴的直线对称，（也可以说抛物线图象绕顶点旋转180°）的图象的函数解析式，先把原函数的解析式化成y=a(x–h)2+k的形式．
（1）关于 轴对称的两个图象的顶点关于 轴对称，两个图象的开口方向相反，即 互为相反数．
二次函数y=a +bx+c中a,b,c的符号判断方法
例1已知抛物线 的图象如图所示，则a、b、c的符号为（ ）
Ａ. B.
C. D.
例2抛物线 中，b＝4a，它的图象如图，有以下结论：① ；② ③ ④ ⑤ ；⑥ ；其中正确的为（）
A．①②B．①④C．①②⑥D．①③⑤
例3下列图象中，当 时，函数 与 的图象是（）
例3.（江西省）一条抛物线 经过点 与 。求这条抛物线的解析式。
二次函数的图像与字母abc的关系
课次教学计划一、知识要点二次函数y=ａx２+bx+c系数符号得确定:ﻫ(１)ａ由抛物线开口方向确定:开口方向向上,则a>０;否则ａ<0。
ﻫ(２)ｂ由对称轴与a得符号确定:由对称轴公式x＝判断符号、ﻫ(３)c由抛物线与y轴得交点确定:交点在y轴正半轴,则c〉0;否则ｃ＜０、ﻫ(4)b2－４ac得符号由抛物线与ｘ轴交点得个数确定:2个交点,b2—４ac>0;1个交点,b ２—4ａｃ=0;没有交点,b２—4ac<0。
ﻫ(5)当ｘ＝1时,可确定a+b+c得符号,当x=-1时,可确定ａ-ｂ+c得符号。
ﻫ(6)由对称轴公式x=,可确定2a+b得符号.二、基础练习１、已知抛物线y＝ax２+bｘ+c(a≠0)在平面直角坐标系中得位置如图所示,则下列结论中,正确得就是( D )A、ａ>0B、b〈0Ｃ、c〈0 Ｄ、ａ+ｂ+ｃ〉02、已知二次函数ｙ=ax2+bｘ+ｃ得图象如图,其对称轴ｘ=-1,给出下列结果①b2>4ac;②ａｂc〉0;③2a+b=0; ④a+b+c〉0;⑤a—b+c＜０,则正确得结论就是( D)A、①②③④Ｂ、②④⑤Ｃ、②③④D、①④⑤３、如图,二次函数ｙ＝ax2+bx+c得图象与y轴正半轴相交,其顶点坐标为( ,1),下列结论:①ac〈０;②a＋b=0;③4ａc—b2=４a;④a+b+ｃ<0。
其中正确结论得个数就是( C )1\2\3A、1B、2Ｃ、3Ｄ、4４、已知二次函数ｙ=ax2＋bｘ+c得图象如图所示,对称轴为直线x=1,则下列结论正确得就是(B)Ａ、ac＞0 B、方程ａｘ２+ｂx＋ｃ=0得两根就是x1＝-1,x2=3C、２ａ-ｂ=0D、当ｘ＞0时,y随ｘ得增大而减小5、已知二次函数y=ax２+bx+c(a,b,c为常数,ａ≠0)得图象如图所示,有下列结论:①abc>0,②-4ac＜0,③a—b+c〉0,④4ａ－2b+c〈０,其中正确结论得个数就是(Ａ4)A、1B、2C、3 Ｄ、４6、(如图所示得二次函数y=ax2+bx+c得图象中,刘星同学观察得出了下面四条信息:(1)b2—4ａc>0;(2)c＞１;(3)2a—b<0;(4)a+b＋c＜０。
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二次函数abc组合的符号判断（一）（通用版）
单选题(本大题共7小题，共100分)
1.(本小题12分)如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1，且图象经过点（3，0），则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
2.(本小题12分)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；
③；④b+2a=0；⑤．其中正确的有( )
A. 1个
B. 2个
D. 4个
3.(本小题12分)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；
②；③；④．其中正确的是( )
A. ②③
B. ③④
C. ②④
D. ①④
4.(本小题16分)如图所示，二次函数的图象中，王刚同学观察得出了下面四条结论：①；②；③；④．其中错误的有( )
A. 1个
B. 2个
D. 4个
5.(本小题16分)已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线
，则下列结论正确的是( )
A.
B. a+b=0
C.
D.
6.(本小题16分)如图，二次函数图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（-1，0）．下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确的有( )
A. 1个
B. 4个
D. 2个
7.(本小题16分)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；
②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④；⑤．其中正确的是( )
A. ②③⑤
B. ①②③⑤
C. ①②④⑤
D. ①③④⑤
二次函数abc组合的符号判断（二）（通用版）
单选题(本大题共6小题，共100分)
1.(本小题15分)二次函数图象的一部分如图所示，其对称轴为直线x=-1，且过点
（-3，0）．下列说法：①；②2a-b=0；③；④若，
是抛物线上的两点，则．其中正确的是( )
A. ①②
B. ②③
C. ①②④
D. ②③④
2.(本小题15分)二次函数的图象如图所示，下列结论：①；
②；③；④．其中正确的是( )
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ①④
3.(本小题15分)如图所示，二次函数的图象中，小轩同学观察得出了如下四条结论：①；②；③；④．其中正确的是( )
A. ①②
B. ②③
C. ①②③
D. ①②③④
4.(本小题15分)已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；
②2a+b=0；③；④．其中正确的有( )个．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5.(本小题20分)已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为
（-1，0），（3，0）．下列结论：①；②b-2a=0；③；④．其
中正确的是( )
A. ③
B. ②③
C. ③④
D. ①②
6.(本小题20分)已知二次函数的图象经过，（2，0）两点，且，图象与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方，则下列结论：①；②；
③；④．其中正确的是( )
A. ①②
B. ②③
C. ①②④
D. ①②③④。