2017学年宁波九校联考高二上期末---参考答案

宁波市一7201学年第学期
期末九校联考 高二数学参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

1—10． BDACA CBDDB
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11．2i + 12．)1,1(),41,0( 13．248,38+ 14．0,3
15．35,1 16．①③ 17．)22,26(
三、解答题：本大题共5小题，共74分。

18．解：（Ⅰ）当4>m 时，)1,2
2(4∈-=m m e ，解得8>m ………………3分 当40<<m 时，)1,2
2(44∈-=
m e ，解得20<<m ………………6分 综上可知，20<<m 或8>m ………………7分 （Ⅱ）至少有一个为假，有p 真q 假，p 假q 真，p 、q 均为假三种情形 ………………8分 考虑其反面，即p 、q 均为真；
q 为真时，101)1(22≥+-m ，解得2-≤m 或4≥m ………………10分 当p 、q 均为真时，得8>m ； ……………… 12分
因此，至少有一个为假时，8≤m ………………14分
19. 解：（Ⅰ）取11B D 中点1O ，连接111,CO AO ，
由于1111ABCD A B C D -为四棱柱，所以
1111//,=AO CO AO CO ，因此四边形11AOCO
为平行四边形，所以1
1//AO O C ………………4分 又1O C ⊂平面11B CD ，1AO ⊄平面11B CD ，所以1
//AO 平面11B CD ………………7分 （Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，设a E A =1，易知)0,1,1(),0,0,2(),0,0,0(O B A ,
),1,0(1a A ，从而可得1(1,0,)OA a =-………………9分
设平面11A ABB 的法向量为(,,)n x y z =，
又1(2,0,0),(0,1,)AB AA a ==，
故有1200
AB n x AA n y az ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，
解得⎩
⎨⎧-==az y x 0， 可取(0,,1)n a =- ………………11分 由题意得，01121sin 30|cos ,|1||||
OA n a OA n a OA n ⋅=<>==+⨯ ………………13分 解得1=a ，即线段E A 1的长为1 ………………15分
20. 解：（Ⅰ）由抛物线C ：2
2y px =过点P （1,2），得2p =. 所以抛物线C 的方程为24y x =，准线方程为1x =-………………4分
设切线PQ 的方程为1(2)x m y -=-，
由21(2)4x m y y x ⎧⎪⎨⎪⎩-=-=，得2
4840y my m -+-=，
10)48(41602=⇒=--⇒=∆m m m ，
从而PQ 的方程为1y x =+，得Q （0,1）………………7分
（Ⅱ）设直线l 的方程为(1)x t y =-，l 与抛物线C 的交点
为11(,)A x y ，22(,)B x y .
由2(1)4x t y y x
⎧⎪⎨⎪⎩=-=，得2440y ty t -+=，则124y y t +=，124y y t =………………9分 因为点P 的坐标为（1,2），所以点R 的坐标为（-1,-2），
直线OA 的方程为11y y x x =
，结合2114y x =，从而直线OA ：1
4y x y =， 可得点M 的坐标为)4,1(1
y --，同理点N 的坐标为)4,1(2y --………………12分 因为1212124()44444=2(2)4y y t y y y y t +⨯--=-=-=-⨯-， 故R 为线段MN 的中点………………15分
21．解：（Ⅰ）取AD 中点E ，BC 中点F ，连接,,PE PF EF ，
由于△P AD ，△PBC 均为等边三角形，可得3=PE ，
32=PF ，又四边形ABCD 为等腰梯形，可得15=EF ，
从而222EF PF PE =+，故PF PE ⊥………………3分
又由BC AD AD PE //,⊥，得BC PE ⊥，从而⊥PE 面PBC ………………5分 因此，平面P AD ⊥平面PBC ………………7分
（Ⅱ）延长CD ，BA 交于点G ，连接PG ，易知PG 为
平面PBA 与平面PCD 的交线，在△PBA 中，由正弦定理 可得090=∠BPA ，从而32=PB ， 同理可知，32,900==∠PC CPD ，
又在底面ABCD 中，可计算得8==BG CG ，
结合030=∠=∠PCD PBA ，
可知△PBG 与△PCG 全等，作PG CH ⊥于H ，连接BH ，易知
PG BH ⊥，
从而BHC ∠为二面角C PG B --的平面角………………11分
由余弦定理可得，72=PG ，从而可计算出7
34==CH BH ， 所以6
12cos 222-=⋅-+=∠CH BH BC CH BH BHC ， 因此平面PBA 与平面PCD 所成钝二面角的余弦值为6
1-
………………15分 22. 解：（I ）由已知，可得2
1()22
b c a c +=. 又由222b a c =-，可得2220c ac a +-=，解得c a 2=………………3分
设椭圆C 方程：22
22143+=x y c c
， 当直线l 斜率不存在时，线段MN 长为c 32；
当直线l 斜率存在时，设l 方程：c kx y +=，
由⎪⎩
⎪⎨⎧+==+c kx y c y c x 13422
22，得088)34(222=-++c kcx x k ，从而
3412164|34|1||22222
++⋅+⋅=+∆⋅+=k k k c k k MN c k c k k k c 32)
34(1132)34()24()44(32222222<+-⋅=++⋅+⋅=………………5分 易知当0=k 时，||MN 的最小值为c 3
64，从而1=c ， 因此，椭圆C 的方程为：22
143
+=x y ………………7分 （Ⅱ）由第（Ⅰ）问知，3
412164||222++⋅+⋅=k k k MN ，而⊙D 的半径7||5=r MN ，
又直线OB 的方程为x k y 1-=，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+x k y y x 113422，得4312222+=k k x B ， 因此4
3112||1)1(||222++⋅=⋅+-=k k x k OB B ………………9分 由题意可知r
OB OB r r POQ |
|11||2sin +=+=∠， 要求∠POQ 的最大值，即求r
OB ||的最小值………………10分
而3
41216457431
12||22222++⋅+⋅⋅++⋅=k k k k k r OB )
24()1612()34(751243223475222
2222+⋅++=+⋅+⋅+⋅=k k k k k k 令342+=k u ，则)3
1,0(1,3∈>u u ，因此 125)27(5743175)1()73(75||22≥+--=-+=-⋅+=u
u u u u u r OB …………13分 当且仅当27=u ，即2
7=u 时等号成立，此时42±=k ， 所以2
12sin ≤∠POQ ，因此62π≤∠POQ ，所以∠POQ 的最大值为3π. 综上所述，∠POQ 的最大值为3
π，取得最大值时直线的斜率为42±=k ………15分
命题学校：北仑中学
命题人：王加白 审题学校：余姚中学
审题人：顾丹杰
l。