3D基础-求法向量题解

D 图 3-1 C
（Ⅲ）求面
AMC
与面
BMC
所成二面角的大小 新疆 王新敞
奎屯
解:以 A 点为原点,以分别以 AD，AB，AP 为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 A-xyz
如图所示.
(I ). AP (0,0,1) ， AD (1,0,0) ，设平面 PAD 的法向量为 m AP AD (0,1,0)
1、 求空间角
Bn
B
(1)、求线面角：如图 2-1，设 n 是平面 的法向
量，
AB 是平面 的一条斜线，A ，则 AB 与平面
α
C
Aα
图 2-1-1
n
C
A
图 2-1-2
所成的角为：
图
2-1-1:
2
n, AB
2
arccos
n AB
| n | | AB
. |
图
2-1-2:
n, AB
2
m n
(图Baidu Nhomakorabea2-3)
|m|| n|
两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图 2-2
中， m 的方向对平面 而言向外， n 的方向对平面 而言向内；在图 2-3 中，m 的方向对
平面 而言向内， n 的方向对平面 而言向内。我们只要用两个向量的向量积（简称“外
积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法
d
|
AB
n
|
,其中
n
a, n
b,
A a,
B
b
|n|
（2）、点到平面的距离:
方法指导：如图 2-5,若点 B 为平面α外一点，点 A
为平面α内任一点，平面的法向量为 n ，则点 P 到
平面α的距离公式为 d
|
AB
n
|
|n|
（3）、直线与平面间的距离:
方法指导：如图 2-6,直线 a 与平面 之间的距离：
量 n ( A, B,C) ;若平面与 3 个坐标轴的交点为 P1 (a,0,0), P2 (0, b,0), P3 (0,0, c) ,如图所示,则 平面方程为: x y z 1,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法
abc
向量。
方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积 a b 为一长
3
3
2、(本题满分 12 分)
如图 3-2，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，
已知 AB＝AA1＝a，BC＝ 2 a，M 是 AD 的中点。
4
图 3-2
(Ⅰ)求证：AD∥平面 A1BC； (Ⅱ)求证：平面 A1MC⊥平面 A1BD1； (Ⅲ)求点 A 到平面 A1MC 的距离。
解:以 D 点为原点,分别以 DA,DC,DD1 为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系 D-xyz 如图所示.
又 DC (0,1,0) ， DP (1,0,1) ，设平面 PCD 的法向量为 n DC DP (1,0,1)
m n 0 ，m n ，即平面 PAD 平面 PCD。
(II ). AC (1,1,0) ， PB (0,2,1) ， AC, PB arccos
AC PB
arccos
arccos
n AB
| n | | AB
|
2
sin | cos n, AB |
(2)、求面面角:设向量 m ， n 分别是平面 、 的法向量，则二面角 l 的平面角为：
β
n
m
β
n
α m
α
图 2-2
图 2-3
m, n arccos
m n
（图 2-2）;
|m|| n|
m, n arccos
三、高考真题新解
1、（本大题满分 12 分）
P
已知如图 3-1,四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形，AB∥DC，
DAB 90 , PA 底面 ABCD，且 PA=AD=DC= 1 AB=1，
M
2
M 是 PB 的中点新疆 王新敞 奎屯
（Ⅰ）证明：面 PAD⊥面 PCD；
A B
（Ⅱ）求 AC 与 PB 所成的角；
算）
（3）、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）
5
向量的夹角即为二面角 l 的平面角。
2
2、 求空间距离 （1）、异面直线之间距离:
方法指导：如图 2-4,①作直线 a、b 的方向向量 a 、 b ，
求 a、b 的法向量 n ，即此异面直线 a、b 的公垂线的方向向量；
②在直线 a、b 上各取一点 A、B，作向量 AB ；
B
b
na
③求向量 AB 在 n 上的射影 d，则异面直线 a、b 间的距离为
,
MA1 (
2 a, a,0) 2
,
设
平面
A1MC
的法向量为:
m MC MA1 (a2 ,
2 a2 , 2
2 a2) , 2
又 BD1 ( 2a,a, a) , BA1 (0,a, a) , 设 平 面 A1BD1 的 法 向 量 为 :
n BD1 BA1 (0, 2a2 , 2a2 ) ,
(x2 ,
y2 ,
z2 ),则 :
a b
y1 y2
z1 , x1 z2 x2
z1 , x1 z2 x2
y1 y2
a （注：1、二阶行列式: M
c
b ad cb ；2、适合右手定则。）D1 z d
A1 E
C1 B1
例1、 已知， a (2,1,0), b (1,2,1) ，
试求（1）： a b; （2）： b a .
（3）、证明面面垂直：在图 2-10 中， m 是平面 的法向量， n 是平
3
m
α
图 2-10
β
n
αm
图 2-11
面 的法向量，证明两平面的法向量垂直（ m n 0 ）
（4）、证明面面平行：在图 2-11 中, m 向是平面 的法向量， n 是平面 的法向量，证明
两平面的法向量共线（ m n ）。
m n 0 ,m n ,即平面 A1MC 平面 A1BD1.
(III ). 设点 A 到平面 A1MC 的距离为 d,
m MC MA1 (a2 ,
2 a2 , 2
2 a 2 ) 是平面 A1MC 的法向量, 2
又 MA (
2 a,0,0) ,A 点到平面 A1MC 的距离为: d 2
平面法向量解法
一、 平面的法向量
1、定义：如果 a ，那么向量 a 叫做平面 的法向量。平面 的法向量共有两大类
（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法
方 法 一 ( 内 积 法 ): 在 给 定 的 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 设 平 面 的 法 向 量 n (x, y,1) [ 或
AB n
d
，其中 A , B a 。 n 是平面 的法向量
|n|
图 2-4
A
n
M
B α
N AO
图 2-5
n
Ba
α
A
图 2-6
n
β
B
（4）、平面与平面间的距离:
方法指导：如图 2-7,两平行平面 , 之间的距离：
α
A
图 2-7
d
|
AB
n
|
，其中 A ,
B
。n
是平面
、
的法向量。
|n|
m
aa
α
3、 证明
| AC | | PB |
10 5
(III ). CM
(1,0,
1)
， CA
(1,1,0)
，设平在
AMC
的法向量为
2
m
CM
CA
(
1
,
1
,1)
.
22
又CB
(1,1,0)
,设平面
PCD
的法向量为
n
CM
CB
(
1
,
1
,1)
.
22
m,
n
arccos
|
m
m|
n
|n
|
arccos(
2 3
)
.
面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小为 arccos( 2) .[或 arccos 2]
n (x,1, z) ，或 n (1, y , z )]，在平面 内任找两个不共线的向量 a, b 。由 n ，得
n a 0 且 n b 0 ，由此得到关于 x, y 的方程组，解此方程组即可得到 n 。 方法二：任何一个 x, y, z 的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是 x, y, z 的一次方程。 Ax By Cz D 0 ( A, B,C不同时为0) ，称为平面的一般方程。其法向
|
m MA
|m|
|
1 2
a
.
四、 用空间向量解决立体几何的“三步曲”
(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运
用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化
为向量问题）
（2）、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运
度等于| a || b | sin ，（θ 为 , 两者交角，且 0 ），而与 , 皆垂直
的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方
向 时 ， 大 拇 指 所 指 的 方 向 规 定 为 a b 的 方 向 , a b b a 。
设a
( x1 ,
y1 ,
z1 ), b
Key: (1) a b (1,2,5) ; (2) b a (1,2,5)
F
y
D
C
A 图 1-1 B x
1
例 2、如图 1-1,在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，
求平面 AEF 的一个法向量 n 。key : 法向量n AF AE (1,2,2)
二、 平面法向量的应用
(I ). BC ( 2a,0,0) , BA1 (0,a, a) , 设 平 面 A1BC 的 法 向 量 为
n BC BA1 (0, 2a2 , 2a2 )
又 AD ( 2a,0,0) , n AD 0 , AD n ,即 AD//平面 A1BC.
(II ).
MC (
2 a,0, a) 2
图 2-8
a
（1）、证明线面垂直：在图 2-8 中, m 向是平面 的法向量， a 是
a
m
α
直线 a 的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（ m a ）。
图 2-9
（2）、证明线面平行：在图 2-9 中, m 向是平面 的法向量， a 是直线 a
β
n
的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（ m a 0 ）。