3D基础-求法向量题解
法向量求法及应用方法
法向量求法及应用方法法向量是指与一些曲面上的每一点的切平面垂直的向量。
在三维空间中，法向量可以方便地描述曲面的几何特征和方向。
一、法向量的求法：1.平面的法向量：平面的法向量可以通过两个不平行的向量叉积得到。
设平面上两个向量为a和b，法向量n=a×b。
2.曲面的法向量：曲面的法向量可以通过曲面的方程求得。
常见的曲面方程包括参数方程、隐函数方程和显函数方程。
对于参数方程和隐函数方程，可以通过求偏导数来得到曲面的切向量，然后再将切向量进行标准化得到法向量。
例如，对于参数方程x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，法向量可以通过求∂(x,y,z)/∂(u,v)的叉积来得到。
而对于隐函数方程F(x,y,z)=0，可以通过对F(x,y,z)进行偏导数得到一个方程组，然后解这个方程组来得到法向量。
二、法向量的应用方法：1.曲面法向量的判定：通过计算曲面的法向量可以判断曲面的朝向和几何特征。
例如，在渲染图形时，可以通过曲面的法向量来决定光线对曲面的照射效果，以实现更真实的光影效果。
2.曲面法向量的插值和平滑：在计算机图形学中，通常需要对曲面进行插值和平滑处理。
曲面的法向量可以帮助我们在曲面上进行平滑采样。
例如，在曲面细分中，通过计算曲面的法向量来过滤掉尖锐的细分结果，使得细分结果更加平滑自然。
3.曲面的切平面和法向量的切线：对于空间曲线上的点，可以通过曲线的参数方程求得曲线的切线向量。
而对于空间曲面上的点，可以通过曲面的法向量和曲面上其中一点的切平面求得曲线的切向量。
切平面上的切向量和曲面的法向量垂直，并且与曲线相切。
4.计算曲面的面积和体积：曲面的法向量可以用来计算曲面的面积和体积。
对于平面，面积等于法向量的模长；对于曲面，可以通过对曲面分割成小区域然后计算每个小区域的法向量，并对法向量进行积分得到曲面的面积或体积。
5.平面和曲面的方程：法向量可以帮助我们确定平面和曲面的方程。
对于平面，通过平面上一点和法向量，可以得到平面的方程；对于曲面，通过曲面上一点和法向量，可以得到曲面的方程。
3.2立体几何中的向量方法——法向量
“叉积”,“向量积”.
a
关于外积的说明：
(1) a a 0.
( 0 sin 0)
直角坐标系下外积的坐标表达式
设 a a x i a y j az k , b bx i by j bz k a b (a x i a y j az k ) (bx i by j bz k ) i i j j k k 0, i j k, j k i , k i j, j i k , k j i , i k j . (a y bz a z b y )i (a z bx a x bz ) j (a x b y a y bx )k
向量外积的定义
定义 向量 a 与 b 的外积为 c a b | a b || a || b | sin (其中 为a 与b 的夹角) c 的方向既垂直于 a ，又垂直于 b ，指向
符合右手规则.
向量积也称为
c a b b
向量法求法 问题：如何运用外积法求法向量呢？ 向量
n = (3,1,1) 解：设平面ABC的一个法向量为 n ， 则 n ^ AB, n ^ AC . AB = (2,- 2,- 4), AC = (3, - 6, - 3)
求平面ABC的法向量。
i j k x1 z1 x1 y1 y1 z 1 n a b x1 y1 z1 y z , x z , x y 2 2 2 2 x2 y 2 z 2 2 2
(3)
三维点计算法向量
三维点计算法向量三维点计算法向量是三维几何中一个基本的概念和计算方法。
在三维空间中，每个点都可以用三个坐标值来表示，分别表示点在x、y、z轴上的位置。
根据这些坐标值，我们可以计算出点所在位置的法向量，也就是与该点相关联的一个垂直于该点的向量。
计算三维点的法向量有两种常见的方法：几何法和向量法。
下面将分别介绍这两种方法的原理和计算步骤。
几何法是通过点所在位置的几何特征来计算法向量。
对于一个点而言，其法向量与其周围的点和曲面有关。
常见的计算法向量的方法有三个：点法向量、曲面法向量和平均法向量。
点法向量是通过点周围的其他点来计算的。
对于一个点而言，其周围的点可以构成一个三角形或四面体。
我们可以通过这些构成的图形来计算出点的法向量。
具体的计算方法是使用点周围的点构成的向量，然后通过叉乘运算得到法向量。
曲面法向量是通过点周围的曲面来计算的。
对于一个曲面而言，其法向量垂直于曲面上的点。
我们可以通过计算曲面上的两个向量的叉乘来得到法向量。
平均法向量是通过点周围的多个法向量的平均值来计算的。
对于一个点而言，其周围可能有多个法向量，我们可以将这些法向量的平均值作为点的法向量。
向量法是通过向量的运算来计算法向量。
对于一个点而言，我们可以通过该点与周围的点构成的向量来计算法向量。
具体的计算方法是使用点周围的点构成的向量，然后通过向量的加法和标量乘法来得到法向量。
无论是几何法还是向量法，计算三维点的法向量都需要用到向量的运算。
向量的运算包括向量的加法、减法、标量乘法和向量的点乘、叉乘等。
这些运算可以通过向量的坐标值来进行计算。
在计算三维点的法向量时，我们需要注意一些细节。
首先，点周围的点和曲面的选择要合理，以确保计算得到的法向量准确反映点所在位置的几何特征。
其次，计算过程中要注意向量的顺序和方向，以确保计算得到的法向量的方向正确。
最后，计算得到的法向量要进行归一化处理，以确保法向量的长度为1。
三维点的法向量是三维几何中一个重要的概念和计算方法。
两个向量的 平面法向量
两个向量的平面法向量在 3D 空间中，我们经常需要求解两个向量对应向量积的平面法向量。
这个平面法向量有很多应用，比如说图形学中的纹理映射、计算机视觉中的深度测量等。
下面，我们将分步骤阐述求解两个向量的平面法向量的方法。
步骤一：求两个向量的向量积首先，我们需要求解两个向量的向量积。
向量积的结果是一个新的向量，这个向量垂直于这两个向量所在的平面，并且它的大小等于这两个向量所在平行四边形的面积。
向量积可以用下面的公式表示：A ×B = | A | | B | sinΘ n其中，A 和 B 分别表示两个向量，Θ 表示 A 和 B 之间的夹角，| A | 和 | B | 分别表示 A 和 B 的模长，n 表示垂直于 A 和 B 所在平面的单位向量，它的方向由右手定则确定。
步骤二：求向量积的模长求解向量积之后，我们还需要求解它的模长。
向量积的模长等于这两个向量所在平行四边形的面积。
面积可以通过向量的模长和夹角的正弦值计算得到：Area = | A | | B | sinΘ因为向量积等于面积乘以垂直于平面的单位向量，所以向量积的模长等于面积的大小。
因此，我们可以直接用上面的公式求解向量积的模长。
步骤三：求平面法向量有了向量积，我们就可以很容易地求出平面法向量了。
平面法向量是指垂直于这两个向量所在平面的单位向量。
为了求出单位向量，我们需要将向量积除以它的模长。
具体而言，平面法向量可以用如下公式表示：n = (A × B) / | A × B |其中A × B 是求解向量积得到的向量，| A × B | 是向量积的模长。
我们将向量积除以它的模长，就能够得到平面法向量了。
总结通过上面的步骤，我们可以很容易地求解两个向量的平面法向量。
这个方法在很多应用场景都很有用，比如说图形学中的光照计算、机器人控制中的路径规划等。
平面法向量是 3D 空间中的一个重要概念，学习它的求解方法可以帮助我们更好地理解这个概念，并能够更好地应用到实践中。
三维空间平面方程的法向量
三维空间平面方程的法向量嘿，朋友们！今天咱们来聊聊三维空间平面方程的法向量，这就像是在一个超级神秘的三维魔法世界里寻找隐藏的魔法棒一样有趣。
咱先说说平面方程的一般式：Ax + By + Cz + D = 0。
这里面的法向量就像这个平面的超级保镖，向量(A, B, C)就是那个威风凛凛的保镖啦。
你可以把这个平面想象成一个超级大的盾牌，而法向量就是拿着盾牌笔直站立的勇士，不管从哪个方向来的攻击（向量），只要和这个勇士（法向量）垂直的，那就是和这个平面平行的啦。
再看点法式方程：A(x - x₀)+B(y - y₀)+C(z - z₀)=0。
这个时候啊，(x₀, y₀, z₀)是平面上的一个点，就好比是这个盾牌（平面）上的一个标记点。
而(A, B, C)这个法向量呢，就像是从这个标记点伸出来的一根直直的旗杆，周围的向量要是想和这个平面玩得好（平行），那就得乖乖地和这根旗杆（法向量）垂直。
你要是把三维空间想象成一个装满了各种形状气球的大房间，平面就像其中的一块超级大的平板气球。
法向量就像是一根直直的针，这根针要是从这个平板气球中间直直地插过去，那这个针的方向就是法向量的方向。
还有啊，假如把平面看成是一片超级大的薄饼，法向量就是从薄饼中间直直竖起的一根筷子。
这根筷子不管薄饼怎么在三维空间里扭来扭去，它始终都是和薄饼垂直的。
要是把三维空间当成一个巨大的游戏场，平面是游戏场里的一块特殊场地，那法向量就是这块场地的规则守护者。
任何在这个游戏场里的小向量，要是不按照法向量规定的垂直规则来，就会被判定为违规（不平行于平面）。
想象一下，平面是一片宁静的湖面，法向量就是从湖底直直向上的一根魔法水柱。
周围的小水流（向量）要是想在湖面上平静地流淌（平行于平面），就不能和这个魔法水柱（法向量）闹别扭，得乖乖地和它垂直。
把平面当作一个超级大的舞台，法向量就是舞台正中央竖起的一根亮晶晶的魔法棒。
在舞台周围的小光点（向量），只有和魔法棒垂直的，才能在舞台平面上优雅地飞舞（平行于平面）。
顶点法向量求法
顶点法向量（Vertex Normal Vector）通常用于计算机图形学和3D建模中，表示一个多边形顶点处的表面方向。
这个向量垂直于通过该顶点的表面，并且通常用于光照计算、纹理映射等。
顶点法向量通常不是直接计算出来的，而是通过对共享该顶点的面的法向量进行某种平均或插值得到的。
这是因为一个顶点可能属于多个面，而每个面都有自己的法向量。
以下是一个简单的步骤，说明如何计算顶点法向量：1.计算每个面的法向量：对于每个三角形面，可以使用其三个顶点的位置向量来计算法向量。
假设三角形的三个顶点分别是(A, B, C)，则面的法向量(N) 可以通过以下公式计算：[ N = (B - A) \times (C - A) ]其中(\times) 表示向量叉乘。
2.3.平均或插值法向量：对于共享同一个顶点的所有面，计算它们的法向量的平均值或进行某种插值，以得到该顶点的法向量。
这通常涉及到将每个面的法向量加权平均，权重可能基于面的面积或其他因素。
4.5.规范化法向量：最后，将计算得到的顶点法向量规范化（即将其长度变为1），以确保它是一个单位向量。
这可以通过将向量除以其长度来实现：[ N_{\text{normalized}} = \frac{N}{|N|} ]其中(|N|) 是向量(N) 的长度（或模）。
6.请注意，这个过程可能因具体的应用场景和算法而有所不同。
例如，在某些情况下，可能需要对法向量进行平滑处理，以减少由于多边形网格的离散性导致的视觉上的不连续性。
这通常涉及到对相邻面的法向量进行某种形式的平均或混合。
求法向量
z
B1
C1
3）面BDE
（1，-1，0）
A1
4）面ACE （-1，1，-2）
5）面DC1E （1，-2，2） 6）面A1CE （-1，1，2）
x
A
E D B
y
C
作业：1、 右图是AD=1， DC=2，DD1 =3的长方体， E、F分别是B1C、BD1 的中点 分别以DA，DC，DD1所在直 线建立右手直角坐标系， 1）求面AC的一个法向量.
z
D1
C1 B1
A1
F
D A
E
C
） 2）求面ACE的一个法向量 3）求面DD1F的一个法向量 x
y
B
4）求面DEF的一个法向量 5）求面AEF的一个法向量
2、已知A（1，1，2）B（3，3，3），C（5，6，5）， 求平面ABC的单位法向量
1 2 2 （ ， ，） 3 3 3
作业:1、在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E是BB1的中点,求下列平面的一个法向量 1）面AC.
• 第三步(解):把z(或x或y)看作常数,用z(或x或y) 表示另外两个量 • 第四步(取):取z为任意一个数(当然取得越特殊 越好),便得到平面法向量n的坐标.
练：:在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E 是BB1的中点,求下列平面的一个法向量 1）面AC.
2）面A1D与面C1D
D1
取z =1 得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).
求平面法向量的坐标的步骤
• 第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z). • 第二步(列):根据n· a = 0且n· b = 0可列出方程组
x1 x y1 y z1z 0 x2 x y2 y z2 z 0
立体几何中的向量方法综合法向量
问题:已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的
平面的一个法向量?
在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) ,
C(0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. n (4, 3, 6)
PDBC旳 中1 AB
2
1
试建立合理旳坐标系，并求各点旳坐标z 。
P
A(0,0,0), P(0,0,1), B(0,2,0),
C(1,1,0), D(1,0,0), M (0,1, 1) 2
求异面直线AB
A
与CM所成旳角.
M
y
B
x
求BP与AC所成旳角D
C
2.线面角
Bn
A O
令 AB, n 为
P
A(0,0,0), P(0,0,1), B(0,2,0),
C(1,1,0), D(1,0,0), M (0,1, 1 ) 2
A 求二面角P AC M的大小
M
y
B
求二面角D PC M的大小
x
D
C
思考题.如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,
BC= 2 ,求二面角 A-PB-C 的余弦值.
C
D( 2 , 1 , 1), M ( 2 ,1,0),
B
2 22 2
X
B1
C1
MY
211 CD ( 2 , 2 , 2), A1B (
2, 1, 1)，DM (0, 1 , 1), 22
作业：1.
如图, 直三棱柱ABC A1B1C1中, ACB 900 ,
三点求平面法向量
三点求平面法向量在三维空间中，平面是由无数个点组成的。
平面有许多重要的性质，其中之一就是法向量。
法向量是与平面垂直的向量，它是平面的重要特征之一。
本文将从三个不同的角度来讨论如何求平面的法向量。
一、已知三个点求平面法向量如果我们已知平面上的三个不共线的点A、B和C，那么我们可以通过这三个点来求平面的法向量。
我们可以先求出两个向量AB和AC，然后通过向量的叉乘来求得平面的法向量。
具体步骤如下：1. 求向量AB：将点B的坐标减去点A的坐标，得到向量AB。
2. 求向量AC：将点C的坐标减去点A的坐标，得到向量AC。
3. 求法向量：将向量AB和向量AC进行叉乘运算，得到平面的法向量。
二、已知平面上一点和法向量求平面方程如果我们已知平面上的一点P和该平面的法向量n，那么我们可以通过这个点和法向量来求平面的方程。
平面的方程通常使用点法式表示，即`(x-x0)*A + (y-y0)*B + (z-z0)*C = 0`，其中`(x0, y0, z0)`是平面上的一点，`(A, B, C)`是平面的法向量。
具体步骤如下：1. 根据已知的法向量n，得到平面的法向量`(A, B, C)`。
2. 根据已知的点P的坐标`(x0, y0, z0)`，将这些值代入点法式中，得到平面的方程。
三、已知平面上一点和平面的法向量求点到平面的距离如果我们已知平面上的一点P和该平面的法向量n，那么我们可以通过这个点和法向量来求点到平面的距离。
点到平面的距离可以通过将点P到平面上的任意一点Q的向量投影到法向量上来计算。
具体步骤如下：1. 根据已知的法向量n，得到平面的法向量`(A, B, C)`。
2. 根据已知的点P的坐标`(x0, y0, z0)`，将这些值代入平面的方程，得到平面上的一点Q的坐标`(x1, y1, z1)`。
3. 求向量PQ：将点Q的坐标减去点P的坐标，得到向量PQ。
4. 求点P到平面的距离：将向量PQ投影到法向量`(A, B, C)`上，得到向量PQ的法向量分量，即点P到平面的距离。
数学立体几何法向量快速求解
数学立体几何法向量快速求解在立体几何中，法向量是一个非常重要的概念，它通常用于描述一个平面或超平面的方向。
在三维空间中，一个平面的法向量是一个垂直于该平面的向量。
快速求解法向量，通常涉及以下步骤：1.确定两个非共线向量：首先，在平面上选择两个不共线的向量。
这两个向量可以是由平面上的两个点形成的向量，或者是平面上任意两个不共线的向量。
2.计算这两个向量的叉积：叉积（也称为外积）是向量运算的一种，其结果是一个新的向量，这个向量垂直于原来的两个向量。
在三维空间中，叉积的公式为：(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1))其中，(\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)) 和(\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)) 是两个三维向量。
3.规范化叉积结果：叉积的结果可能不是单位向量，如果需要单位法向量，可以对叉积的结果进行规范化（即除以它的模长）：(\mathbf{n} = \frac{\mathbf{a} \times \mathbf{b}}{|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|})其中，(|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|) 是叉积的模长，可以通过计算(\sqrt{(a_2b_3 - a_3b_2)^2 + (a_3b_1 - a_1b_3)^2 + (a_1b_2 - a_2b_1)^2}) 得到。
4.检查方向：确保得到的法向量方向符合题目要求。
有时候，根据问题的上下文，可能需要取叉积结果的相反方向作为法向量。
5.应用法向量：一旦得到法向量，就可以用它来进行各种计算，比如计算点到平面的距离、判断点的位置关系等。
立体几何中平面法向量的求法
立体几何中平面法向量的求法
高考中理科立体几何解答题的方法大多用空间向量法，其中求平面法向量是常见的量，下面是求平面法向量的一种方法。
为了学生，许多老师在求法向量上下了很大的功夫，并用向量外积的方法给出了比较简单的求法向量的方法，公式如下：
设a =(a 1,a 2,a 3)，b =(b 1,b 2,b 3)，且a,b 不平行，a,b 确定平面法向量n ,则
n =233112233112,,a a a a a a b b b b b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭
=（a 2b 3-a 3b 2,a 3b 1-a 1b 3,a 1b 2-a 2b 1）。
此公式计算起来简单有效，但是记忆不是太方便，容易让学生记乱。
通过多次实际应用此公式，我发现其实计算过程就是一个很好的记忆公式，现总结如下：
设a =(a 1,a 2,a 3)，b =(b 1,b 2,b 3)，且a ,b 不平行，a ,b 确定平面法向量n =（x,y,z ）,
列表 如图 1231231a a a a b b b b
利用十字相乘作差得到
233231131221x a b a b y a b a b z a b a b =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩
由此计算出法向量。
例如：
a=(1,2,3)，b=(1,1,4)。
列表1231
1141
X=2⨯4-3⨯1=5，y=3⨯1-1⨯4=-1，z=1⨯1-2⨯1=-1
所以法向量是（5，-1，-1）。
整理：郭新毅
2013-3-25。
模块六立体几何大招16叉乘法快速求法向量
模块六 立体几何 大招16 叉乘法快速求法向量如图，直三棱柱的体积为（1）求A到平面1A BC的距离；AA（2）设D为的中点，1的正弦值．【大招指引】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得平面BC距离为BC距离为所以11111112000020i j k m i ==- 11111110020200i j k n i j ==-+ 则1cos ,m n m n ⋅===(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点ABD 所成的角的正弦值．3．在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥3DP =.(1)证明：BD PA ⊥；(2)求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值.4．如图，PO 是三棱锥-P ABC 的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB 的中点．(1)证明：//OE 平面PAC ；(2)若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．参考答案：3．(1)证明见解析(2)55⊥于E，CF⊥【分析】（1）作DE AB直的性质可得PD BD⊥，从而可得BD（2）如图，以点D 为原点，3BD =，则()(1,0,0,0,A B 则()(1,0,3,0,AP BP =-=-4．(1)证明见解析(2)1113【分析】（1）连接BO 并延长交OA OB =，再根据直角三角形的性质得到（2）解：过点A 作//Az OP ，如图建立空间直角坐标系，因为3PO =，5AP =，所以OA AP =又30OBA OBC ∠=∠=︒，所以BD =所以12AC =，所以()23,2,0O ，B。
三维平面的法向量
三维平面的法向量对于一个三维平面，法向量是垂直于该平面的向量。
法向量可以用来描述平面的方向和倾斜程度。
为了计算一个平面的法向量，可以使用平面上的三个非共线点或者使用平面的法向量方程。
方法一：使用平面上的三个非共线点假设平面上有三个非共线点A(x₁, y₁, z₁)，B(x₂, y₂, z₂)，C(x₃, y₃, z₃)。
可以使用向量叉乘来计算法向量。
首先，计算向量AB和向量AC：向量AB = B - A = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁)向量AC = C - A = (x₃ - x₁, y₃ - y₁, z₃ - z₁)然后，求出向量AB和向量AC的叉乘，得到法向量N：法向量 N = AB × AC = (y₂ - y₁)(z₃ - z₁) - (z₂ - z₁)(y ₃ - y₁), (z₂ - z₁)(x₃ - x₁) - (x₂ - x₁)(z₃ - z₁), (x₂ - x₁)(y ₃ - y₁) - (y₂ - y₁)(x₃ - x₁)方法二：使用法向量方程假设平面的法向量为N = (a, b, c)。
若平面上有一点P(x, y, z)，则平面上的所有点满足以下方程：ax + by + cz + d = 0其中d是平面的常数项。
可以根据平面上的三个点的坐标，构成一个线性方程组来解法向量N的分量a、b、c。
具体而言，将平面上的三个点的坐标代入方程，得到三个方程：a×x₁ + b×y₁ + c×z₁ + d = 0a×x₂ + b×y₂ + c×z₂ + d = 0a×x₃ + b×y₃ + c×z₃ + d = 0然后，解这个线性方程组，得到法向量的分量a、b、c。
无论使用哪种方法，最终得到的法向量N都是垂直于平面的向量，并且其大小并不重要，因为可以将其标准化（即将其长度归一化为1）以获得单位法向量。
法向量简单求法
法向量简单求法什么是法向量？法向量，又称法线向量，是一种用于表示平面或曲面法线的特殊类型的矢量。
它与给定平面或曲面的点有关。
由于法线矢量反映了空间上特定点的场向量，因此可以用它来指定曲面的方向、法方程、法线等。
在几何上，法向量是定义一个点P0或几何面上所有截面法线的矢量求解算法。
由于这是非常重要的，因此总结出了它的一些简单方法来求法向量。
一、在三维空间中，两个不平行的平面的交线的法向量就是法向量的简单求法，其中A，B，C，D分别表示三维空间中的一堆点，他们构成了两个不平行的平面：A(a1,a2,a3) B(b1,b2,b3)C(c1,c2,c3) D(d1,d2,d3)法向量N = ( (b1 - a1)*(c2 - a2) - (b2 - a2)*(c1 - a1) , (b2 - a2)*(c3 - a3) - (b3 - a3)*(c2 - a2) , (b3 -a3)*(c1 - a1) - (b1 - a1)*(c3 - a3) )二、给定点及它的法向量的求法，固定一点P(x0,y0,z0)，此点在平面上，此时法向量就是法向量的求法：N = ( a1 * (x0 - x1) + a2 * (y0 - y1) + a3 * (z0 - z1) , b1 * (x0 - x1) + b2 * (y0 - y1) + b3 * (z0 - z1) ,c1 * (x0 - x1) + c2 * (y0 - y1) + c3 * (z0 - z1) )其中a1、a2、a3、b1、b2、b3、c1、c2、c3分别表示平面上三个不同点的坐标，x1、y1、z1表示点P的坐标三、另一种求法向量的方法是求变换矩阵中的旋转角，即在求解法向量时使用旋转矩阵的元素，旋转矩阵的元素构成的是一个三行三列的矩阵 M，它的第一行分别表示x、y和z轴的旋转角，即法向量的求法：N = ( M(1,1), M(1,2), M(1,3) )四、最后，还有一种可以求法向量的方法就是利用特征值分解方程，即特征值分解方程Mx = λx 。
立体几何法向量的求法
立体几何法向量的求法“嘿，同学们，今天咱们来好好讲讲立体几何法向量的求法。
”那什么是法向量呢？简单来说，法向量就是垂直于一个平面的向量。
它在解决很多立体几何问题中都有着非常重要的作用。
那怎么求法向量呢？给大家举个例子啊，比如说有一个平面，已知这个平面上有两个不共线的向量 AB 和 AC。
那我们就可以设这个平面的法向量为 n=(x,y,z)。
然后根据法向量的定义，法向量和平面上的向量都是垂直的，那就有n·AB=0，n·AC=0。
这样就得到了两个方程，然后通过解方程组就可以求出法向量 n 了。
比如说有个三棱锥，底面是个三角形，三个顶点坐标分别是 A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)。
那向量 AB=(-1,2,0)，向量 AC=(-1,0,3)。
设法向量n=(x,y,z)，那根据n·AB=0，就有-x+2y=0；根据n·AC=0，就有-x+3z=0。
通过解这个方程组，就可以求出法向量 n 了。
在实际应用中，法向量可以帮助我们解决很多问题。
比如求二面角，我们可以分别求出两个平面的法向量，然后通过法向量的夹角来求二面角。
再比如求直线和平面的夹角，也可以通过直线的方向向量和平面的法向量来计算。
就拿求二面角来说吧，有个正方体，其中两个面的法向量分别是 n1 和n2，那这两个法向量的夹角就和二面角有关系。
如果二面角是锐角，那二面角就等于法向量夹角；如果二面角是钝角，那二面角就等于 180 度减去法向量夹角。
同学们，法向量的求法是立体几何中很重要的一个知识点，一定要好好掌握。
在解题的时候，要灵活运用法向量，它能让很多复杂的问题变得简单。
多做一些练习题，熟练掌握这种方法，相信你们在解决立体几何问题的时候会更加得心应手的。
加油哦，同学们！。
立体几何中向量方法——方向向量与法向量与例题讲解
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
(3, (3,
4, 0,
0) 2)
0 0
即
3 x 3 x
4y 2z
0 0
取 x 4,则 n (4, 3, 6)
∴
y z
3 4 3 2
x x
∴ n (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.
换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量. l
平面 α的向量式方程
a
aAP0
A
P
例1. 如图所示, 正方体的棱长为1
(1)直线OA的一个方向向量坐标为___(_1_,0__,0_)___
(2)平面OABC 的一个法向量坐标为__(_0_,0__,1_)____
(3)平面AB1C 的一个法向量坐标为__(_-_1_,-_1_,_1_)__
z
O1
C1
A1
B1
o
C
y
A
B
x
立体几何中的向量方法——方向向
量与法向量和例题讲解
例 2.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) ,
C(0,0, 2)
,试求平面
ABC习 的惯 一上 个取 法n 向(量x,.ny,1 )
2 3
,
1 2
,1
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z)
a
l
b
m
立体几何中的向量方法——方向向 量与法向量和例题讲解
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
三维向量计算练习题求向量的模点积叉积
三维向量计算练习题求向量的模点积叉积三维向量计算练习题——求向量的模、点积、叉积在三维向量的计算中，我们常常需要求得向量的模、点积和叉积。
本文将为大家提供一些练习题，帮助大家熟悉和掌握三维向量的计算方法。
1. 练习题一：求向量的模给定向量A(A₁, A₂, A₃)，其模表示为│A│。
求向量A(3, -4, 5)的模。
解答：根据三维向量的模的定义，可以得出向量A(3, -4, 5)的模为：│A│=√(A₁²+A₂²+A₃²)=√(3² + (-4)² + 5²)=√(9 + 16 + 25)=√50=5√2答：向量A(3, -4, 5)的模为5√2。
2. 练习题二：求向量的点积给定向量A(A₁, A₂, A₃)和向量A(A₁, A₂, A₃)，其点积表示为A·A。
求向量A(2, 3, -1)和向量A(4, -2, 5)的点积。
解答：根据向量的点积的定义，可以得出向量A(2, 3, -1)和向量A(4, -2, 5)的点积为：A·A=A₁A₁ + A₂A₂ + A₃A₃=2×4 + 3×(-2) + (-1)×5=8 - 6 - 5=-3答：向量A(2, 3, -1)和向量A(4, -2, 5)的点积为-3。
3. 练习题三：求向量的叉积给定向量A(A₁, A₂, A₃)和向量A(A₁, A₂, A₃)，其叉积表示为A×A。
求向量A(1, 2, 3)和向量A(-2, 4, -1)的叉积。
解答：根据向量的叉积的定义，可以得出向量A(1, 2, 3)和向量A(-2, 4, -1)的叉积为：A×A= (A₂A₃ - A₃A₂, A₃A₁ - A₁A₃, A₁A₂ - A₂A₁)= (2×(-1) - 3×4, 3×(-2) - 1×(-1), 1×4 - 2×(-2))= (-2 - 12, -6 + 1, 4 + 4)= (-14, -5, 8)答：向量A(1, 2, 3)和向量A(-2, 4, -1)的叉积为(-14, -5, 8)。
三维点计算法向量
三维点计算法向量三维点计算法向量是一种用于确定三维空间中点的法向量的方法。
在计算机图形学和计算机视觉领域，法向量是非常重要的概念，它可以用于表达物体表面的方向和形状信息，对于渲染和识别物体非常有用。
在三维空间中，一个点的位置可以由其坐标表示。
假设给定三维空间中的一个点P(x, y, z)，我们可以使用该点和其周围的其他点来计算其法向量。
法向量是垂直于给定点所在曲面的矢量，它的方向和大小与曲面的形状相关。
计算一个点的法向量的方法有多种，其中一种常用的方法是使用该点周围的其他点进行近似计算。
假设我们有一个由N个点组成的点云数据集，我们想要计算其中一个点P的法向量。
首先，我们可以选择P周围的K个最近邻点作为参考点，这些点可以通过计算欧氏距离来确定。
在确定了参考点后，我们可以使用这些点来估计点P的法向量。
一种常用的方法是使用最小二乘法来拟合一个平面，该平面可以最好地逼近参考点的分布。
通过计算平面的法向量，我们可以得到点P 的法向量。
具体的计算步骤如下：1. 选择一个适当的K值，确定点P周围的K个最近邻点。
2. 根据选定的最近邻点，建立一个由这些点构成的局部坐标系。
3. 使用最小二乘法拟合一个平面，该平面可以最好地逼近参考点的分布。
4. 计算平面的法向量，该法向量即为点P的法向量。
需要注意的是，选择合适的K值对于计算准确的法向量非常重要。
如果K值选择得过小，可能会导致法向量计算不准确；如果K值选择得过大，可能会导致法向量的平滑性较差。
另一种计算三维点法向量的方法是使用曲面拟合算法。
曲面拟合算法可以通过拟合曲面来估计点的法向量。
这种方法通常使用多项式或样条函数来拟合曲面，然后通过计算曲面的法向量来得到点的法向量。
总结起来，计算三维点的法向量是一个重要的问题，它在计算机图形学和计算机视觉等领域有广泛应用。
通过选择合适的计算方法和参数，我们可以准确地计算出点的法向量，从而获取物体表面的方向和形状信息。
这对于渲染、识别和分析物体都具有重要意义。
sandian计算法向量
sandian计算法向量计算法向量是计算机图形学中的一项重要技术，用于确定给定曲面或多边形的表面法线方向。
法向量是与曲面垂直且指向外部的向量，它在渲染和光照计算中起到关键作用。
法向量的计算通常基于曲面的几何特征。
下面介绍几种常见的方法：1. 多边形法向量计算：对于平面多边形，可以通过使用多边形的两条边来计算其法向量。
假设多边形的三个顶点为P、Q和R，则可以通过计算向量PQ和PR的叉积来获得法向量。
具体计算方法为：n = (PQ × PR) / |PQ × PR|其中，×表示向量的叉积运算，|PQ × PR| 表示向量 PQ × PR的长度。
计算得到的法向量 n 可以通过归一化（即除以其长度）来保证其长度为1。
2. 曲面法向量计算：对于曲面，可以采用微分几何的方法计算其法向量。
假设曲面上某一点的坐标为 (x, y, z)，可以通过计算曲面在该点处的两个切向量的叉积来得到法向量。
具体计算方法为：N = (dF/du) × (dF/dv)其中，dF/du 和 dF/dv 分别表示曲面在参数域 u 和 v 方向上的偏导数。
计算得到的法向量 N 同样需要进行归一化处理。
3. 顶点法向量计算：顶点法向量是指在顶点处定义的法向量，它通常用于光照计算。
顶点法向量的计算可以通过平均相邻面的法向量得到。
假设顶点 v 相邻的面的法向量分别为 n1、n2、...、nm，则顶点法向量可以通过计算这些法向量的平均值得到：N = (n1 + n2 + ... + nm) / m其中，m 表示相邻的面的个数。
除上述方法外，还有一些基于曲面重建、深度信息等的计算法向量的方法，但其原理较为复杂，不再详述。
需要注意的是，在计算法向量时需要考虑曲面的三角化或网格化，即将曲面划分为许多小的三角形或多边形。
这样可以使得法向量在曲面上的值更加平滑和连续，提高渲染效果。
总结起来，计算法向量是计算机图形学中的重要技术之一，可以通过多边形的边、曲面的切向量以及顶点附近的面法向量等方式计算得到。
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又 DC (0,1,0) ， DP (1,0,1) ，设平面 PCD 的法向量为 n DC DP (1,0,1)
m n 0 ，m n ，即平面 PAD 平面 PCD。
(II ). AC (1,1,0) ， PB (0,2,1) ， AC, PB arccos
AC PB
arccos
(x2 ,
y2 ,
z2 ),则 :
a b
y1 y2
z1 , x1 z2 x2
z1 , x1 z2 x2
y1 y2
a （注：1、二阶行列式: M
c
b ad cb ；2、适合右手定则。）D1 z d
A1 E
C1 B1
例1、 已知， a (2,1,0), b (1,2,1) ，
试求（1）： a b; （2）： b a .
量 n ( A, B,C) ;若平面与 3 个坐标轴的交点为 P1 (a,0,0), P2 (0, b,0), P3 (0,0, c) ,如图所示,则 平面方程为: x y z 1,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法
abc
向量。
方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积 a b 为一长
| AC | | PB |
10 5
(III ). CM
(1,0,
1)
， CA
(1,1,0)
，设平在
AMC
的法向量为
2
m
CM
CA
(
1
,
1
,1)
.
22
又CB
(1,1,0)
,设平面
PCD
的法向量为
n
CM
CB
(
1
,
1
,1)
.
22
m,
n
arccos
|
m
m|
n
|n
|
arccos(
2 3
)
.
面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小为 arccos( 2) .[或 arccos 2]
图 2-8
a
（1）、证明线面垂直：在图 2-8 中, m 向是平面 的法向量， a 是
a
m
α
直线 a 的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（ m a ）。
图 2-9
（2）、证明线面平行：在图 2-9 中, m 向是平面 的法向量， a 是直线 a
β
n
的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（ m a 0 ）。
m n
(图 2-3)
|m|| n|
两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图 2-2
中， m 的方向对平面 而言向外， n 的方向对平面 而言向内；在图 2-3 中，m 的方向对
平面 而言向内， n 的方向对平面 而言向内。我们只要用两个向量的向量积（简称“外
积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法
D 图 3-1 C
（Ⅲ）求面
AMC
与面
BMC
所成二面角的大小 新疆 王新敞
奎屯
解:以 A 点为原点,以分别以 AD，AB，AP 为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 A-xyz
如图所示.
(I ). AP (0,0,1) ， AD (1,0,0) ，设平面 PAD 的法向量为 m AP AD (0,1,0)
m n 0 ,m n ,即平面 A1MC 平面 A1BD1.
(III ). 设点 A 到平面 A1MC 的距离为 d,
m MC MA1 (a2 ,
2 a2 , 2
2 a 2 ) 是平面 A1MC 的法向量, 2
又 MA (
2 a,0,0) ,A 点到平面 A1MC 的距离为: d 2
|
m MA
|m|
|
1 2
a
.
四、 用空间向量解决立体几何的“三步曲”
(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运
用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化
为向量问题）
（2）、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运
1、 求空间角
Bn
B
(1)、求线面角：如图 2-1，设 n 是平面 的法向
量，
AB 是平面 的一条斜线，A ，则 AB 与平面
α
C
Aα
图 2-1-1
n
C
A
图 2-1-2
所成的角为：
图
2-1-1:
2
n, AB
2
arccos
n AB
| n | | AB
. |
图
2-1-2:
n, AB
2
3
3
2、(本题满分 12 分)
如图 3-2，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，
已知 AB＝AA1＝a，BC＝ 2 a，M 是 AD 的中点。
4
图 3-2
(Ⅰ)求证：AD∥平面 A1BC； (Ⅱ)求证：平面 A1MC⊥平面 A1BD1； (Ⅲ)求点 A 到平面 A1MC 的距离。
解:以 D 点为原点,分别以 DA,DC,DD1 为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系 D-xyz 如图所示.
算）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（3）、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）
5
度等于| a || b | sin ，（θ 为 , 两者交角，且 0 ），而与 , 皆垂直
的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方
向 时 ， 大 拇 指 所 指 的 方 向 规 定 为 a b 的 方 向 , a b b a 。
设a
( x1 ,
y1 ,
z1 ), b
arccos
n AB
| n | | AB
|
2
sin | cos n, AB |
(2)、求面面角:设向量 m ， n 分别是平面 、 的法向量，则二面角 l 的平面角为：
β
n
m
β
n
α m
α
图 2-2
图 2-3
m, n arccos
m n
（图 2-2）;
|m|| n|
m, n arccos
向量的夹角即为二面角 l 的平面角。
2
2、 求空间距离 （1）、异面直线之间距离:
方法指导：如图 2-4,①作直线 a、b 的方向向量 a 、 b ，
求 a、b 的法向量 n ，即此异面直线 a、b 的公垂线的方向向量；
②在直线 a、b 上各取一点 A、B，作向量 AB ；
B
b
na
③求向量 AB 在 n 上的射影 d，则异面直线 a、b 间的距离为
d
|
AB
n
|
,其中
n
a, n
b,
A a,
B
b
|n|
（2）、点到平面的距离:
方法指导：如图 2-5,若点 B 为平面α外一点，点 A
为平面α内任一点，平面的法向量为 n ，则点 P 到
平面α的距离公式为 d
|
AB
n
|
|n|
（3）、直线与平面间的距离:
方法指导：如图 2-6,直线 a 与平面 之间的距离：
,
MA1 (
2 a, a,0) 2
,
设
平面
A1MC
的法向量为:
m MC MA1 (a2 ,
2 a2 , 2
2 a2) , 2
又 BD1 ( 2a,a, a) , BA1 (0,a, a) , 设 平 面 A1BD1 的 法 向 量 为 :
n BD1 BA1 (0, 2a2 , 2a2 ) ,
n (x,1, z) ，或 n (1, y , z )]，在平面 内任找两个不共线的向量 a, b 。由 n ，得
n a 0 且 n b 0 ，由此得到关于 x, y 的方程组，解此方程组即可得到 n 。 方法二：任何一个 x, y, z 的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是 x, y, z 的一次方程。 Ax By Cz D 0 ( A, B,C不同时为0) ，称为平面的一般方程。其法向
平面法向量解法
一、 平面的法向量
1、定义：如果 a ，那么向量 a 叫做平面 的法向量。平面 的法向量共有两大类
（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法
方 法 一 ( 内 积 法 ): 在 给 定 的 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 设 平 面 的 法 向 量 n (x, y,1) [ 或
(I ). BC ( 2a,0,0) , BA1 (0,a, a) , 设 平 面 A1BC 的 法 向 量 为
n BC BA1 (0, 2a2 , 2a2 )
又 AD ( 2a,0,0) , n AD 0 , AD n ,即 AD//平面 A1BC.
(II ).
MC (
2 a,0, a) 2
AB n
d
，其中 A , B a 。 n 是平面 的法向量
|n|
图 2-4
A
n
M
B α
N AO
图 2-5
n
Ba
α
A
图 2-6
n
β
B
（4）、平面与平面间的距离:
方法指导：如图 2-7,两平行平面 , 之间的距离：
α
A
图 2-7
d
|
AB