八年级数学勾股定理的逆定理2
人教版八年级下册 17.2 勾股定理的逆定理 课件 (共15张PPT)
知识点一：勾股定理逆定理的实际应用
学以致用
1.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有
这样一道题目:“问有沙田块，有三斜，其中小斜五里，中斜
十二里，大斜十三里，欲知为田几何?”这道题讲的是:有一
块三角形沙田，三条边长分别为5里、12里13里，问这块沙
田面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝
7
• 解:设AD=x,则CD=10-x.
• 在 RtABD 中，
•
DB2 AB2 AD2
在RtCDQ中，
DB2 CQ2 CD2
62 x2 82 (10 x)2
解得: x 3.6
AD长为6.4n mile
8
知识点二：勾股定理逆定理在几何中的应用
3.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，
①若∠C- ∠B= ∠A,则△ABC是直角三角形；
②若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°；
③若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形;
④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三
角形.
以上命题中的假命题个数是（ A ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式 c2 +a2 - b2 + c - a = 0 ，则△ABC的形状是
典例讲评
解:根据题意: PQ=16×1.5=24 PR=12×1.5=18 QR=30
∵242+182=302, 即 PQ2+PR2=QR2 ∴∠QPR=90°
由”远航“号沿东北方向航行可知,∠1=45°.所以∠2=45°,
八下数学17.2(2)勾股定理的逆定理
试一试
[P76:2.]
八年级 数学
说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?
(1) 同旁内角互补，两条直线平行．
逆命题: 两条直线平行，同旁内角互补． 成立
(2)如果两个角是直角，那么它们相等．
逆命题: 如果两个角相等，那么它们是直角． 不成立
(3)全等三角形的对应边相等．
逆命题:对应边相等的两个三角形是全等三角形. 成立
D
12
A
13
4
B 3C
自主评价：
八年级 数学
1、勾股定理的逆定理
2、什么叫做互逆命题、原命题与逆命题 3、什么称为互为逆定理。
作业：38页， 复习题17, 第4、5、6题
(4) 如果两个实数相等，那么它们的平方相等．
逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等. 不成立
八年级 数学
例1 一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺 寸，这个零件符合要求吗？
此时四边形ABCD的面积是多少?
C
答案：符合 S四边形ABCD
C
S2
A
b
ca
S1
B
S3
C
S2 b
S1
a
c
A
B
S3
思维训练
八年级 数学
7、 已知a，b，c为△ABC的三边, 且满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断△ABC的形状.
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8.如图，一块四边形地，测得四边长如图所示，且 ∠ABC＝90°，求这个四边形地的面积。（单位：米）
八年级 数学
初二数学勾股定理的逆定理2[人教版]
![初二数学勾股定理的逆定理2[人教版]](https://img.taocdn.com/s3/m/a5cdc6a96bec0975f465e2c9.png)
F为DC BC.
【证明】设正方形ABCD的边长为4a， A
D
则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.
F
在Rt△ABE中，由勾股定理得
AE 2＝AB 2＋BE 2＝(4a)2＋(3a)2＝25a2. B
EC
在Rt△ADF中，由勾股定理得
AF 2＝AD2＋DF 2＝(4a)2＋(2a)2＝20a2.
在Rt△ECF中，由勾股定理得
练习
1．已知：a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2 (m、n为正整数，m＞n). 试判定由a、b、c组成的三角形是不是直 角三角形．
不是
(二)解答题：
练习
2．五边形ABCDE的各边的长都是12， ∠A＝∠E＝90°，M为五边形内一 点，且MA＝13，MB＝5， 求ME、MC、MD的长．
ME＝ 193
A 4B
AD2＝132＝169，
∴ AC2＋CD2＝AD2.
∴∴∴SS△S△四△A边ACADB形CC＝AD＝B是C21D21直AAC＝角B·C·SB三△DCA＝角B＝C21形＋21×.S×△5A×3C×D1＝24＝＝3636.0，.
四 、新课
例4
求已中证知点：：，∠如E为E图FBA，C＝上正9一0方°点形. ，AB且CDEC中＝，14
例2 已知△ABC中，AC＝2 6 ，BC＝2 2 ， AB＝4 2 ， 求AB上的高CD的长.
【解】由于(2 6)2 (2 2 )2 24 8 32 (4 2 )2 ,
所以△ABC是以∠C为直角的三角形．于是
1 2
AB·CD＝
1 2
BC·AC，
CD 2 6 2 2 6 42
三 、引入
一般地说，在平面几何中，经常是利 用直线间的位置关系，角的数量关系而判 定直角的；而勾股定理的逆定理则是通过 边的计算判定直角的. 三角形的三边长a、 b、c有关系a2＋b2＝c2，则这个三角形是 直角三角形；如果a2＋b2 ≠c2，则这个三 角形不是直角三角形.
初二勾股定理逆定理公式
初二勾股定理逆定理公式1. 勾股定理勾股定理是初中数学中非常重要的定理之一，它是由古希腊数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）提出的。
勾股定理的公式表达如下：a^2 + b^2 = c^2其中 a、b、c 分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，满足该公式的三条边的比例关系。
2. 逆定理逆定理是勾股定理的一个重要推论，它在解决初中数学中一些几何问题时非常有用。
逆定理的公式表达如下：如果 a^2 + b^2 = c^2 成立，那么这三个数构成一个直角三角形。
逆定理的意义在于，当我们已知某个三角形的边长满足勾股定理的公式时，可以根据这个公式判断该三角形是否为直角三角形。
3. 应用示例为了更好地理解逆定理的应用，下面通过一个例子来说明。
例子：已知一个三角形的三边分别为 3、4 和 5，我们要判断这个三角形是否为直角三角形。
根据逆定理，我们可以将已知的三边长度代入勾股定理的公式中，并验证等式是否成立。
3^2 + 4^2 = 5^29 + 16 = 25计算结果符合等式，所以根据逆定理，我们可以得出结论，这个三角形是一个直角三角形。
4. 注意事项在应用逆定理时，需要注意以下几点：•应用逆定理时，必须满足勾股定理的公式，即 a^2 + b^2 = c^2，才能判断三角形是否为直角三角形。
•如果已知三边的长度满足 a^2 + b^2 = c^2，但等式的两边可能相差一个数的误差，这时我们可以使用近似值来验证等式是否成立。
•在进行计算时，应注意数值的精确性，尽量避免精度误差带来的影响。
5. 总结初二勾股定理逆定理公式是初中数学中重要的概念之一，在几何学习中有着广泛的应用。
逆定理可以帮助我们判断已知三边长度的三角形是否为直角三角形，为解决几何问题提供了便利。
在应用逆定理时，我们应注意勾股定理公式的条件和计算的精确性，以得出准确的结论。
希望通过本文的介绍，您对初二勾股定理逆定理公式有了更深入的理解和应用。
人教版八年级数学下册《勾股定理的逆定理(2)》名师教案
17.2 勾股定理的逆定理（第二课时）一、教学目标1．核心素养:通过运用勾股定理的逆定理，提高运算能力、逻辑推理能力和应用意识．2．学习目标（1）理解勾股数的含义.（2）能运用勾股定理的逆定理解决实际问题.3．学习重点勾股定理的逆定理的应用.4．学习难点二、教学设计（一）课前设计1．预习任务请写出几组能作为直角三角形边长的正整数.2．预习自测1.由7、24、25组成的三角形是直角三角形吗？2.我们知道以3、4、5为边长能构成直角三角形，那6、8、10呢？9、12、15呢？你发现了什么？（二）课堂设计1．知识回顾勾股定理的逆定理是什么？2．问题探究问题探究一勾股数●活动一理解定义像3、4、5这样，能够成为直角三角形三边长的三个正整数成为勾股数. 即满足的三个正整数就称为勾股数.再如：…●活动二推理论证我们知道3、4、5是一组勾股数，那么3k 、4k 、5k （k 是正整数）也是一组勾股数吗？ 因为，，所以且3k 、4k 、5k 均为正整数，所以3k 、4k 、5k 也是一组勾股数.●活动三 推广提升一般地，如果a 、b 、c 是一组勾股数，那么ak 、bk 、ck （k 是正整数）也是一组勾股数吗？ 因为，，而，∴∴，则ak 、bk 、ck （k 是正整数）也是一组勾股数.请你再写几组勾股数.问题探究二 利用勾股定理的逆定理解决生活中的问题 重点知识★ ●活动一 初步应用 例1 如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile ，“海天”号每小时航行12nmile, 它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？E NRP Q【知识点：勾股定理的逆定理；】详解：根据题意PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18， QR=30，因为，即，所以QPR=90o .由“远航”号沿东北方向航行可知，“海天”号沿西北方向航行. 点拨：由已知条件易想到求出两轮船航行的路程，即为三角形的边长，从而已知C A 三角形的三边长，再利用勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形而解决问题 .●活动二 拓展提升例2 如图，南北向MN 为我国领域，即MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B.已知A 、艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇B 测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？【知识点：勾股定理的逆定理；】详解：设MN 交AC 于E ，则∠BEC=90°.又AB 2+BC 2=52+122=169=132∴△ABC 是直角三角形，∠ABC=90°.又∵MN ⊥CE ，∴走私艇C 进入我领海的最近距离是CE ，则CE 2+BE 2=144，（13-CE ）2+BE 2=25，得26CE=288，∴CE=13144. 13144÷169144≈0.85（小时），0.85×60＝51（分）.9时50分+51分＝10时41分.答：走私艇最早在10时41分进入我国领海.点拨：由题意可得△ABC 的三边长分别为5、12、13，根据勾股定理的逆定理判断∠ABC=90°，由题可知走私艇C 进入我领海的最近距离是CE ，再利用勾股定理建方程求出CE 的长，从而解决问题.问题探究三 勾股定理及逆定理的综合运用例3. 某中学有一块四边形的空地ABCD ，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m ，BC=12m ，CD=13m ，DA=4m ，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？【知识点：勾股定理，勾股定理的逆定理；】详解：连接BD. 在Rt△ADB中∠BAD=90o，BD==5，在△DBC中，则∴∠DBC=90o，∴S四边ADBC=S△ADB+ S△DBC=5×12=36∴36×200=7200（元）.答：学校需投入7200元买草皮.点拨：根据条件易想到链接BD，将四边形的面积转化为两个三角形的面积之和，由AB=3，AD==4，易求BD=5，而△CBD中已知三边的长，可根据勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，再根据面积计算公式求出答案.3．课堂总结【知识梳理】1. 一般地，如果a、b、c是一组勾股数，那么ak、bk、ck（k是正整数）也是一组勾股数.2.利用勾股定理的逆定理解决生活中的问题.【重难点突破】1.三个数是勾股数，则必须满足两个条件：（1）较小的两个数的平方和等于较大数的平方.（2）三个数必须是正整数.2.已知一个三角形的三边长时，首先应想到利用勾股定理的逆定理来判断这个三角形是否为直角三角形.3.在勾股定理及其逆定理的综合运用时需注意正确区分：勾股定理是在直角三角形中运用，而其逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形.4．随堂检测1. 在△ABC中，三边长a、b、c满足 = 0，则此三角形为（）A . 钝角三角形 B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形【知识点：勾股定理的逆定理】【答案】D2. 将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出两组基本勾股数：， .【知识点：勾股数】【答案】5，12，13；9，40，41.3．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东50°航行，乙船以12海里/时向南偏东方向航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛.若C、B两岛相距60海里，问乙船出发后的航向是南偏东多少度？东【知识点：勾股定理的逆定理；数学思想：模型思想】【答案】∵AC＝16×3＝48，AB＝12×3＝36，∴222222+=-==，BC AC AB604836∴△ABC为直角三角形且∠CAB＝90°，∴乙船出发后的航向是南偏东40o.4. 一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A与∠DBC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3，BD=5，DC=13 ， BC=12，这个零件符合要求吗？【知识点：勾股定理的逆定理；数学思想：模型思想】【答案】这个零件符合要求.在△ADB中，，则，∴∠DAB=90o，同理，在△DBC中，则∴∠DBC=90o，∴这个零件符合要求.。
八年级数学上册 知识点总结
八年级数学上册知识点总结数学》（八年级上册）知识点总结第一章勾股定理1、勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a²+b²=c²。
2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。
第二章实数一、实数的概念及分类1、实数的分类：正有理数、有理数零有限小数和无限循环小数、实数负有理数、正无理数、无理数无限不循环小数、负无理数。
2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一特点，归纳起来有四类：1）开方开不尽的数，如7、32等；2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如222π+8等；3）有特定结构的数，如0.xxxxxxxx01…等；4）某些三角函数值，如sin60等。
二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数：实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=−b，反之亦成立。
2、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值（|a|≥）。
零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥；若|a|=−a，则a≤。
3、倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和−1.零没有倒数。
4、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
5、估算。
三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。
数学：18(PPT)4-3.2《勾股定理的逆定理》课件2(人教新课标八年级下)
边距离相等．（ ） • 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的
平分线上．（ ）
说出下列命题的逆命题，并判断它们是否正确．
• 1．原命题：猫有四只脚．（ ） • 逆命题：有四只脚的是猫．（ ） • 2．原命题：对顶角相等．（ ） • 逆命题：相等的角是对顶角．（ ） • 3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条
线段两端距离相等．（ ） • 逆命题到线段两端距离相等的点，在这条线
硅酸。四氯化锗是一种不稳定的液体，四氟化锗是一种气体，它们很容易在水中水解。氢化锗（锗烷）是一种相对稳定的气体。有机锗化合物，烷基可以替
换个多个Ge原子，和锡、汞、砷；成交量知识/stock/gupiaoxueyuan/chengjiaoliangzhishi/ ； 等类似，但毒性小的多。锗元素及其二氧化 物毒性不强，四卤化锗是刺激性的，氢化锗毒性最强。锗不溶于稀酸及碱，但溶于浓硫酸。 [7] 锗在室温下是稳定的，但也会生成GeO单层膜，时间长了会 逐渐变成GeO单层膜。而当锗的表面吸附了水蒸气便破坏了氧化膜的钝化性质，而生成厚的氧化物。 锗在较高温度下便氧化，且伴随有失重的现象，原因是 生成了GeO，因其有较强的挥发性。 研究者研究了锗表面氧化的过程，先在℃时用CO还原锗，以排除锗表面的结合氧或吸附氧。再在~4℃，kPa的氧压下氧 化锗，仅min即形成了第一氧化层。当温度超过℃很快形成第二氧化层。再升高温度，氧化速度显著变慢。在4℃氧化h，形成厚度为.7nm的GeO膜。 锗在不 同溶剂中的腐蚀溶解行为不同。n型锗的溶解电位比p型略正，所以在相同溶液中前者的溶解速度较快。锗易溶于加氧化剂的热酸、热碱和HO中。难溶于稀硫 酸、盐酸和冷碱液。锗在℃的水中是不溶的，而在室温下饱和氧的水中，溶解速度接近ug/（cm.h）。 HO对锗的溶解 室温下%的HO能缓慢地溶解块状的锗， 升温到 ~℃时溶解速度加快。 n型锗在℃的HO中的溶解速度受HO浓度的影响 [] 。 （）锗被氧化为GeO，在表面形成单层GeO Ge+HO=GeO （）进一步氧 化为GeO GeO+HO=GeO+HO （）GeO+HO=HGeO 当溶液中有碱存在时，锗酸与碱作用生成锗酸钠，而加速锗的溶解。 HGeO+NaOH=NaGeO+HO 锗在硫 酸中的溶解 ℃时浓硫酸与块状锗有微量反应，历时一周锗的损失量为%。 [ ] 锗在硝酸中的溶解 浓硝酸能腐蚀块状锗的表面。锗在硝酸中的溶解速度受硝酸 的浓度、搅拌速度、温度等因素的影响。 锗与碱液的作用 氢氧化钠和氢氧化钾水溶液与锗的作用很慢 [] ，但是熔融的氢氧化钠、氢氧化钾、NaCO、NaO、 NaB4O7能迅速地溶解各种形态的锗，生成碱金属的锗酸盐。 .锗在某些盐溶液中的溶解 锗可溶于某些电解质溶液，如硫酸钠、钾的氯化物、硝酸盐、氯化铯、 氯化镧等。 与其他物质的作用 加热时粉状的锗在氯和溴中能燃烧，
八年级数学下册《勾股定理》知识点总结
3．S梯形=（a+b）h=Lh（a、b为梯形的底，h为梯形的高,L为梯形的中位线）
四常识：
※1．若n是多边形的边数，则对角线条数公式是：
2．规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”
3．如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系
4．常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形……；仅是中心对称图形的有：平行四边形……；是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆……注意：线段有两条对称轴
∠AB=90°
D⊥AB
6、常用关系式
由三角形面积公式可得：AB D=A B
7、直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，有关系，那么这个三角形是直角三角形。
8、命题、定理、证明
（2）、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30°
可表示如下：B= AB
∠=90°
（3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
∠AB=90°
可表示如下：D= AB=BD=AD
D为AB的中点
、摄影定理
在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项
常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
初二数学勾股定理及其逆定理
勾股定理中考要求例题精讲1．勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么222a b c +=．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
注：勾——最短的边、股——较长的直角边、 弦——斜边。
CAB cba如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
即 222,,ABC AC BC AB ABC ∆+=∆在中如果那么是直角三角形。
4．勾股数：满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。
模块一 勾股定理的逆定理【例1】 如果三角形的三边长a b c 、、满足222a b c +=，那么这个三角形是______三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的______．【答案】直角，逆定理【例2】 分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有____________．(填序号)【答案】(1)(2)(3)【例3】 下列线段不能组成直角三角形的是( )．A ．a ＝6，b ＝8，c ＝10B ．3,2,1===c b aC ．43,1,45===c b a D ．6,3,2===c b a【答案】D【巩固】在△ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，则该三角形为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B ．【巩固】下列由线段a 、b 、c 组成的三角形，不是直角三角形的是（ ）A ．=345a b c ==，，B ．45133a b c ===，， C ．91215a b c ===，，D．2a b c ==，，【答案】D ．【例4】 已知ABC △的三边长分别为5，13，12，则ABC △的面积为（ ）A ．30B ．60C ．78D ．不能确定【解析】∵22251213+=，∴三角形为直角三角形，∵长为5，12的边为直角边，∴三角形的面积= 12×5×12=30．【答案】A ．【巩固】如图，已知正方形ABED 与正方形BCFE ，现从A ，B ，C ，D ，E ，F 六个点中任取三个点，使得这三个点能作为直角三角形的三个顶点，则这样的直角三角形共有（ ）FECBDAA ．10B ．12C ．14D ．16【解析】可得到14个直角三角形，分别为ABE △、ADE △、ABD 、△BED 、△BCE CFE 、、△△BCF BEF 、、△△ACF ADF ACD CDF AEC DBF 、、、、、△△△△△△【答案】C ．FECBDA【例5】 在ABC △中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，①若a 2＋b 2＞c 2，则∠c 为____________； ②若a 2＋b 2＝c 2，则∠c 为____________； ③若a 2＋b 2＜c 2，则∠c 为____________．【答案】①锐角；②直角；③钝角【例6】 若ABC △中，()()2b a b a c -+=，则B ∠=____________； 【答案】90︒【例7】 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的ABC △是______三角形．【答案】直角【例8】 下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )．A ．1∶1∶2B ．1∶3∶4C ．9∶25∶26D ．25∶144∶169【答案】C【例9】 已知三角形的三边长为n 、n ＋1、m (其中m 2＝2n ＋1)，则此三角形( )．A ．一定是等边三角形B ．一定是等腰三角形C ．一定是直角三角形D ．形状无法确定【答案】C【例10】 若一个三角形的三边长分别为1、a 、8(其中a 为正整数)，则以22a a a -+、、为边的三角形的面积为______．【解析】97a >>，∴a ＝8 【答案】24．【例11】 ABC △的两边a b ，分别为512，，另一边c 为奇数，且a b c ++是3的倍数，则c 应为______，此三角形为______．【答案】13，直角三角形【例12】 如图，ABC △中，90C ∠=︒，330AC B =∠=︒，，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是（ ） A ．3.5 B ．4.2 C ．5.8 D ．7P BC A【解析】利用垂线段最短分析AP 最小不能小于3；利用含30︒角的直角三角形的性质得出AB =6，可知AP最大不能大于6．此题可解．【答案】D ．【巩固】在ABC △中，∠A ：∠B ：∠C =l ：2：3，CD ⊥AB 于点D ．若BC =2，则AD 等于A ．1 BC ．3 D．【答案】C【例13】 如图，在△ABC 中，已知AB =AC =2a ，∠ABC =15°，CD 是腰AB 上的高，求CD 的长．DCBA【解析】过点C 作CD ⊥AB 于D ，根据等腰三角形的性质，三角形的内角与外角的关系得到∠DAC =30°．在直角△ACD 中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半解得CD 的长．【答案】a【巩固】如图，在Rt ABC △中，已知，90ACB ∠=︒，15B ∠=︒，AB 边的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于D ，且13BD =，则AC 的长是 ．EDBCA【答案】6.5cm【例14】 如图所示，已知∠1=∠2，AD =BD =4，CE ⊥AD ，2CE =AC ，那么CD 的长是（ ）21EBDCA【解析】在Rt AEC △中，由于2CE =AC ，可以得到∠1=∠2=30°，又4AD BD ==，得到230B ∠=∠=︒，从而求出90ACD ∠=︒，然后由直角三角形的性质求出CD ．【答案】2【例15】 如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求CD 的长．D CBA【答案】CD ＝9【巩固】如图所示，在ABC △中，::3:4:5AB BC CA =，且周长为36，点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以每秒1cm 的速度移动；点Q从点B 沿BC 边向点C 以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，BPQ △的面积为（ ）2cm ．Q【解析】设AB 为3x ，BC 为4x ，AC 为5x ，∵周长为36，AB +BC +AC =36，∴3x +4x +5x =36得x =3∴AB =9，BC =12，AC =15 ∵222AB BC AC +=，∴ABC △是直角三角形过3秒时，936236BP BQ =-==⨯=，∴()2119361822PBQ S BP BQ cm =⨯=⨯-⨯=△．【答案】182cm【例16】 如图，在ABC △中，CD AB ⊥于D ，9435AC BC DB ===，，． （1）求CD AD ，的值；（2）判断ABC △的形状，并说明理由．ABDC【答案】（1）∵CD ⊥AB 且CB =3，BD =95，故△CDB 为直角三角形，∴在Rt CDB △中，22229123()55CD CB BD =-=-=，在Rt CAD △中，222212164()55AD AC CD =-=-=．（2）ABC △直角三角形．∵AD =165，BD =95，∴AB =AD +BD =165+95=5， ∴222222435AC BC AB +=+==，∴根据勾股定理的逆定理，ABC △为直角三角形．【例17】 已知：如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝2，AD ＝3，求四边形ABCD 的面积．【解析】连接AC ，∴5AC ，又∵222AC CD AD +=，∴90ACD ∠=︒ 【答案】.51+【例18】 如图所示，在四边形ABCD 中，已知：AB ：BC ：CD ：DA =2：2：3：1，且∠B =90°，求∠DAB的度数．D BA【解析】连接AC ．D CBA设DA =k ，则AB =2k ，BC =2k ，CD =3k ．∵∠B =90°，AB ：BC =2：2，∴∠BAC =45°，222222448AC AB BC k k k =+=+=， ∵()22238k k k -=，∴∠DAC =90°， ∴∠DAB =∠BAC +∠DAC =135°．【答案】135【例19】 如图，已知CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC =BE ，AE =BD ．（1）试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系，并说明你的结论； （2）若AC =5，BD =12，求CE 的长．CDBE A【答案】（2）由（1）可知AC =5，AE =BD =12，∴CE =13【巩固】如图所示的一块地，已知AD =4m ，CD =3m ，AD ⊥DC ，AB =13m ，BC =12m ，求这块地的面积．DCBA【解析】连接AC ．∵AD =4m ，CD =3m ，AD ⊥DC∴AC =5m ∴△ACB 为直角三角形 ∴S △ACB = 12×AC ×BC = 12×5×12=30m 2， ∴这块地的面积=S △ACB -S △ACD =30-6=24m 2．【答案】24【例20】 阅读理解题：（1）如图所示，在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，且12AD BC =．求证：90BAC ∠=︒（2）此题实际上是直角三角形的另一个判定定理，请你用文字语言叙述出来．（3）直接运用这个结论解答下列题目：一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，另两边之 和为1DCBADCBA【答案】（1）∵BD=CD，AD=12BC，∴AD=BD=DC，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∵∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°，∴∠BAD+∠CAD=90°，即∠BAC=90°．为题目信息，不用解答．（2）根据题意用语言表述为：如果三角形斜边上的中线等于斜边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（3）因为一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，所以这个三角形为直角三角形，又∵13AB AC+=+∴()2423AB AC+=+,222423AB AB AC AC+⨯+=+, 即22423AB AC BC⨯+=+，3AB AC⨯=∴直角三角形的面积可得3．【例21】已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE＝CB41，求证：AF⊥FE．【答案】连结AE，设正方形的边长为4a，计算得出AF，EF AE，的长，由222AF EF AE+=得结论【例22】已知∠MAN，AC平分∠MAN．（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC；（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；BCDNAM MA NDCB【解析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质进行证明；（2）作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F．根据角平分线的性质，得CE=CF，根据等角的补角相等，得∠CDE=∠ABC，再根据AAS得到△CDE≌△CBF，则DE=BF．在（1）的基础上，知AE+AF=AC，进而证明AD+AB=AC仍成立．BCD NAM F E M ANDCB【答案】（1）∵AC 平分∠MAN ，∴∠CAD =∠CAB =60°．又∠ABC =∠ADC =90°，∴11,22AD AC AB AC ==，∴AB +AD =AC ．（2）结论仍成立．理由如下：作CE ⊥AM 、CF ⊥AN 于E 、F ．∵AC 平分∠MAN ，∴CE =CF ．∵∠ABC +∠ADC =180°，∴∠CDE =∠ABC ，∴△CDE ≌△CBF ，∴DE =BF ．∵∠MAN =120°，由（1），知AE +AF =AC ．∴AD +AB =AC ．【例23】 在B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M 岛，乙船到P 岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?【答案】南偏东30︒。
八年级数学下册教学课件《勾股定理的逆定理》(第2课时)
3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，
同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，
2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．此时，A，B两组
行进的方向成直角吗？请说明理由.
解：∵出发2小时，A组行了12×2=24(km)，
A
B组行了9×2=18(km)，
2.如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东 25°的方向，且到医院的距离为300 m，公园到医院的距离为 400 m，若公园到超市的距离为500 m，则公园在医院的 ( B ) A.北偏东75°的方向上 B.北偏东65°的方向上 C.北偏东55°的方向上 D.无法确定
课堂检测
17.2 勾股定理的逆定理
17.2 勾股定理的逆定理
利用勾股定理的逆定理解答面积问题
如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，
AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积.
D
解：连接BD.
在Rt△ABD中,由勾股定理得 BD2=AB2+AD2，
∴BD=5cm.又∵ CD=12cm，BC=13cm, B
学习目标
17.2 勾股定理的逆定理
3. 将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数 学问题.
2. 进一步加深对勾股定理与其逆定理之间关系的 认识.
1. 应用勾股定理的逆定理解决实际问题.
探究新知
17.2 勾股定理的逆定理
知识点 1 利用勾股定理的逆定理解答角度问题 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海
2秒后小汽车在车速检测仪的哪个方向?这辆小汽小车汽车超速了吗?
解：小汽车在车速检测仪
《勾股定理的逆定理》勾股定理PPT课件(第2课时)
13
4
12
┐
3
探究新知
解：连接BD 在Rt△ABD中
∵AB=3，AD=4 ∴BD= AB 2 AD 2 =5
在△BCD中 ∵CD=13 , BC=12
∴CD2=BC2+BD2
13
45
12
┐
3
∴△BCD是直角三角形 ∴∠DBC=90°
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD = 1×3×4+ 1×5×12=36
此时四边形ABCD 的面积是多少?
5、 已知a、b、c为△ABC的三边,且 满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断△ABC的形状.
思维训练
6、△ABC三边a,b,c为边向外作 正方形，正三角形，以三边为 直则径作是半直圆角，三若角S形1+吗S2=？S3成立，
C
S2
A
b
ca
能替工人师傅想办法完成任务吗?
9.三个半圆的面积分别为S1=3π， S2=4π，S3=7π，把三个半圆拼成如 右图所示的图形，则△ABC一定是
直角三角形吗？
B
C
D
B'
A'
A
B
勾股定理：
如果直角三角形的两直角边为a，b， 斜边长为c ，那么a2+b2=c2.
B
反过来，如果一个 a
c
三角形的三边长a、b、
（C）1:2:4; （D）1:3:5.
3. 三角形的三边分别是a、b、c, 且满足
(a+b)2-c2=2ab, 则此三角形是:( )
A. 直角三角形;
B. 是锐角三角形;
专题02 勾股定理的逆定理(提高-2020-2021学年八年级数学下册学霸全能突破同步讲练(解析版
专题02勾股定理的逆定理要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如c ）.（2）验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.要点三、勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）2222,21,221n n n n n ++++（n≥1，n 是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）2222,,2m n m n mn -+（,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长；一、单选题1．（2020ꞏ兴化市乐吾实验学校八年级月考）下列命题中，是假命题的是()A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形B．在△ABC中，若a2＝(b＋c)(b－c)，则△ABC是直角三角形C．在△ABC中，若∠B＝∠C＝∠A，则△ABC是直角三角形D．在△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形【答案】C【分析】一个三角形中有一个直角，或三边满足勾股定理的逆定理则为直角三角形，否则则不是，据此依次分析各项即可.【详解】A.△ABC中，若∠B=∠C－∠A，则∠C=∠A+∠B，则△ABC是直角三角形，本选项正确；B.△ABC中，若a2=(b+c)(b－c)，则a2=b2－c2，b2=a2+c2，则△ABC是直角三角形，本选项正确；C.△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则∠，故本选项错误；D.△ABC中，若a∶b∶c=5∶4∶3，则△ABC是直角三角形，本选项正确；故选C.【点睛】本题考查的是直角三角形的判定，利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①确定三角形的最长边；②分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等．若相等，则此三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形．2．（2020ꞏ山西九年级专题练习）已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【答案】B【分析】依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形．【详解】如图所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，故选B．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．3．（2020ꞏ广西防城港市ꞏ八年级期中）在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，BC 形为()A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B【解析】解：在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，BC ∵22212+=，∴△ABC 是直角三角形．故选B ．点睛：本题考查了勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．4．（2020ꞏ陕西九年级专题练习）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（）A ．7.5平方千米B ．15平方千米C ．75平方千米D ．750平方千米【答案】A【解析】分析：直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．详解：∵52+122=132，∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，∴这块沙田面积为：12×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．故选A ．点睛：此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．5．（2019ꞏ全国八年级单元测试）如图，以三角形的三边长为直径向外作三个半圆，若较小的两个半圆的面积之和等于较大的半圆的面积，则这个三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形或钝角三角形【答案】B【解析】设最大半圆半径为c，最小半圆半径为a，第三个半圆半径为b，则三角形中最长边为2c，最短边长为2a，第三边为2b；∵较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，∴πa 22 πb22πc22，化简得，a2+b2=c2，∴（2a）2+（2b）2=（2c）2，符合勾股定理的逆定理，即三角形为直角三角形．二、填空题6．（2020ꞏ江阴市敔山湾实验学校八年级月考）在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是________分米．【答案】；13或【解析】试题分析：把立体图展开可得①根据侧面展开图可由两点之间，线段最短，知AB最短，故根据勾股定理可求得AB=13分米；②根据立体图形可知把AC，BE向外展开，得到直角边长为5+1+=7，把中间凹面展开可得到直角边为6+2+2=10，=③同②的方式，得到两直角边分别为11和6，然后根据勾股定理求得最短距离为．考点：立体图形的侧面展开图，两点之间，线段最短，勾股定理7．（2019ꞏ，三角形的最大边上的高等于_____________.【解析】分析：根据勾股定理的逆定理可判断三角形为直角三角形，然后根据直角三角形的面积求解即可.，∴22212+==∴三角形是直角三角形∴1122高⨯点睛：此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，利用勾股定理的逆定理判断此三角形是直角三角形是解题关键.8．（2020ꞏ河北九年级其他模拟）如图，在四边形ABCD 中，3AB =，4BC =，12CD =，13AD =，90B ∠=︒，则四边形ABCD 的面积等于______，【答案】36【分析】先根据勾股定理求出AC ，再根据勾股定理的逆定理判断出ACD △的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可．【详解】解：∵在ABC 中，3AB =，4BC =，90B ∠=︒∴5AC ===∵12CD =，13AD =∴在ACD △中，有2225+12=13即222AC CD AD +=∴ACD △是以AC 、CD 为直角边的直角三角形∴Rt ABC Rt ACDABCD S S S =+ 四边形1122AB BC AC CD =⋅+⋅113451222=⨯⨯+⨯⨯36=故答案是：36【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，能够将求不规则四边形的面积转化为求两个直角三角形的面积和是解题的关键．9．（2019ꞏ全国）如图，点P 在第一象限，△ABP 是边长为2的等边三角形，当点A 在x 轴的正半轴上运动时，点B 随之在y 轴的正半轴上运动，运动过程中，点P 到原点的最大距离是______；若将△ABP 的PA 边长改为，另两边长度不变，则点P 到原点的最大距离变为______．【解析】分析：根据当O 到AB 的距离最大时，OP 的值最大，得到O 到AB 的最大值是12AB=1，此时在斜边的中点M 上，由勾股定理求出PM ，即可求出答案；将△ABP 的PA 边长改为另两边长度不变，根据(22222+=，得到∠PBA=90°，由勾股定理求出PM 即可．详解：取AB 的中点M ，连OM ，PM ，在Rt △ABO 中，OM=12AB =1，在等边三角形ABP 中，无论△ABP 如何运动，OM 和PM 的大小不变，当OM ，PM 在一直线上时，P 距O 最远，∵O 到AB 的最大值是12AB=1，此时在斜边的中点M 上，由勾股定理得：∴，将△AOP 的PA 边长改为，另两边长度不变，∵(22222+=，∴∠PBA=90°，由勾股定理得：，∴此时点睛：本题主要考查对直角三角形斜边上的中线性质，坐标与图形性质，三角形的三边关系，勾股定理的逆定理等边三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据理解题意求出PD的值是解此题的关键．三、解答题10．（2019ꞏ广东云浮市ꞏ八年级期末）学校要对如图所示的一块地ABCD进行绿化，已知AD=4米，CD=3米，AD⊥DC，AB=13米，BC=12米.(1)若连接AC，试证明:OABC是直角三角形；(2)求这块地的面积.【答案】（1）见解析；（2）这块地的面积是24平方米.【分析】（1）先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理解答即可；（2）根据三角形的面积公式求解即可.【详解】（1）∵AD=4，CD=3，AD⊥DC，由勾股定理可得：5==，又∵AC 2+BC 2=52+122=132=AB 2，∴△ABC 是直角三角形；（2）△ABC 的面积-△ACD 的面积=115123422⨯⨯-⨯⨯=24（m 2），所以这块地的面积是24平方米.【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理的应用，在直角三角形中，如果两条直角边分别为a 和b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2.反之也成立.11．（2020ꞏ全国）ABC ∆三顶点坐标()4,5A ，()1,3B -()1,2C -，通过运算，判断ABC ∆形状．【答案】ABC ∆是等腰直角三角形【分析】利用两点间的距离公式分别求出AB 、AC 、BC 的长度，然后进行判断.【详解】AB ==AC ==BC ==AB BC ∴=且222AB BC AC +=ABC ∆∴是等腰直角三角形【点睛】本题考查了平面直角坐标系内两点间的距离公式及勾股定理逆定理，能利用两点间的距离公式分别求出AB 、AC 、BC 的长度是解题关键.12．（2019ꞏ全国八年级课时练习）欲将一根长129cm 的木棒放在长、高、宽分别是40cm ，30cm ，120cm 的木箱中，能放得进去吗？请说明理由．【答案】能【分析】先由勾股定理求得可以放最长的长度，再进行比较，即可得出结果．【详解】由22221203040130++=，得木箱的体对角线长为130cm ．∵130cm 129cm >，∴能放得进去．【点睛】考查了勾股定理的应用；解题关键是利用勾股定理计算出可以放最长的长度.13．（2020ꞏ全国八年级单元测试）在平面直角坐标系中，点A 在x 轴上，已知点C 的横坐标为3，AC 长为2，OC ，CB OA ⊥，垂足为B .请你判断AOC ∆的形状，并说明理由.【答案】直角三角形，理由见详解.【分析】根据勾股定理，先在Rt OBC 中算出BC 的长度，然后在Rt ABC 中算出AB 的长度，最后得出222AC OC AO +=，然后就可以确定这是直角三角形.【详解】∵点C 的横坐标为3，∴OB=3在Rt OBC 中：OB ⊥OA,OB=3,OC=,由勾股定理得：222BC OC OB =-=12-9=3,在Rt ABC 中：CB ⊥BA,23BC =,AC=2,由勾股定理得：222AB AC BC =-=4-3=1,∴AO=OB+AB=4,在AOC △中，,AC=2,AO=4,∴22AC OC +=4+12=16=2AO ,∴AOC △为直角三角形.【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，根据题目条件逐一求出边长是解题的关键. 14．（2018ꞏ江苏省锡山高级中学实验学校八年级期中）在图1、图2的网格中，每个小四边形均为正方形，且边长是1．如果三角形的顶点均在网格交点处，我们称这样的三角形为格点三角形．下面的三角形均为格点三角形．（1）如图1，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）在图2的网格中，请你以DE为底边，画一个面积为7.5的等腰三角形．【答案】(1)△ABC是等腰直角三角形，理由见解析;(2)见解析.【分析】（1）根据勾股定理逆定理求解可得；（2）先作出线段DE的中垂线，再在此直线上找到满足条件的格点，从而得出答案．【详解】解：（1）△ABC是等腰直角三角形.∵AC2＝BC2＝12+32＝10，AB2＝22+42＝20，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是等腰直角三角形；（2）如图所示，△DEF即为所求．设所求三角形的高为h，∵∴17.52⨯=，∴h=2,∴腰长为，【点睛】本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理和等腰三角形的性质、三角形的面积等知识点．15．（2019ꞏ全国）已知a ，b ，c 为正数，满足如下两个条件：a+b+c=32①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=②，【答案】以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°【解析】试题分析：两个方程，有三个未知量，不能解出具体数值，但是能求出a,b,c 关系，本题利用代入，因式分解，求出a,b,c 关系.试题解析：解法1：将①②两式相乘，得8b c a c a b a b c a b c bc ca ab+-+-+-++++=（）（）.即：()()()22222244b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+--+-+=0,即()()()222222b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=0,()()()222222b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=0,即())22220b c a ab a b c abc ⎡-+--+⎣=,即()())220b c a c a b abc ⎡-+--⎣=,即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=,所以b ﹣c+a =0或c+a ﹣b =0或c ﹣a+b =0，即b+a=c 或c+a=b 或c+b=a ．90°．解法2：结合①式，由②式可得得1024-2(a 2+b 2+c 2)=14abc ,又由①式得（a+b+c ）2=1024，即a 2+b 2+c 2=1024﹣2（ab+bc+ca ），代入③式，得1024-2[1024-2(ab+bc+ca )]=14abc ，即abc=16（ab+bc+ca ）﹣4096．（a ﹣16）（b ﹣16）（c ﹣16）=abc ﹣16（ab+bc+ca ）+256（a+b+c ）﹣163=﹣4096+256×32﹣163=0，所以a=16或b=16或c=16．结合①式可得b+a=c或c+a=b或c+b=a．因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°．。
勾股定理的逆定理 课件 2022—2023学年人教版数学八年级下册 (2)
1.两军舰同时从港口O出发执行任务，甲舰以30海里/小时的
速度向西北方向航行，乙舰以一定的速度向西南方向航行，
它们离开港口2小时后测得两船的距离为100海里，求轮船B的
速度是多少？
甲(A) 北
西
O
东
乙(B) 南
知识&回顾☞ 实际应用
2.小明向东走80m后，又向某一方向走60m后，再沿另 一方向又走100m回到原地．小明向东走80m后又向哪个方 向走的？
“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街 路上行驶的速度不得超过70千米/时，一辆小汽车在一条城市街 路的直道上行驶，某一时刻刚好行驶在路边车速检测仪的北偏 东30°距离30米处，过了2秒后行驶了50米，此时测得小汽车与 车速检测仪间的距离为40米. 问：2秒后小汽车在车速检测仪的 哪个方向?这辆小汽车超速了吗?
（1）城市A是否受到台风影响？ 请说明理由。
（2）若城市A受到台风影响， 则持续时间有多长？
（3）城市A受到台风影响的最 大风力为几级？
C A
240 30°
B
（1）城市A是否受到台风影响？ 请说明理由。
解：（1）根据题意可知 作 AD⊥BC 于 D 点． 在 Rt△ABD 中，∠B=30°， AB=240 千米， ∴AD=120 千米， ∵25×（12-4）=200>120 ∴城市 A 是受到台风影响。
15km/h的速度沿东北方向前进．甲船航行2小时到达C
处时发现渔具丢在乙船上，于是快速（匀速）沿北偏
东75°方向追赶，结果两船在B处相遇．
（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？
（2）甲船追赶乙船的速度是多少千米/时？
北 速度 (30 30 B3) 2 15 15 3
八年级数学勾股定理的逆定理课件-应用
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
(2)在图2中，画一个三边长分别为3，2， 13的三角形，一共可以画 16 个这样的三角形. 解析:如图2,一共可以画16个这样的三角形.
图2
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
10.在某小区在社区工作人员及社区居民的共同努力之下，
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
8.如图，明明在距离水面高度为5 m的岸边C处，用绳子拉船 靠岸，开始时绳子BC的长为13 m.若明明收绳6 m后，船到 达D处，则船向岸边A处移动了多少米?
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
解:∵开始时绳子BC的长为13 m,明明收绳6 m后,船到达D处,
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
知识点 勾股定理逆定理的应用 【例题】如图，甲船以5海里/时的速度离开港口O沿南偏东 30°方向航行，乙船同时同地沿某方向以12海里/时的速度 航行.已知它们离开港口2小时后分别到达B，A两点，且AB ＝26海里.你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?
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目 录
CONTENTS
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理 第2课时勾股定理的逆定理(二) —— 应用
01 课标要求
02 基础梳理
03 典例探究
04 课时训练
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陕西省安康市紫阳县紫阳中学八年级数学下册 17.2 勾股定理逆定理(第2课时)教案(新人教版)
17.2 勾股定理逆定理（第2课时）课题: 17.2 勾股定理逆定理（第2课时）教学目标知识与能力：1．说出证明勾股定理逆定理的方法。
2．叙述逆定理，互逆定理的概念。
过程与方法：1．经历证明勾股定理逆定理的过程，发展逻辑思维能力和空间想象能力。
2．经历互为逆定理的讨论，树立严谨的治学态度和实事求是求学精神。
情感态度价值观：1．经历探索勾股定理逆定理证明的过程，树立克服困难的勇气和坚强的意志。
2．树立与人合作、交流的团队意识。
教学重、难点重点：勾股定理逆定理的证明，及互逆定理的概念。
难点：互逆定理的概念学情分析本节主要学习勾股定理逆定理的证明，经历证明勾股定理逆定理的过程，得出命题2是正确的，引出勾股定理的逆定理的概念，最后是利用勾股定理的逆定理解决实际问题的例子，可以进一步理解勾股定理的逆定理，体会数学与现实世界的联系。
课前准备多媒体教学过程教师活动学生活动设计意图创设问题情境，引入新课二、讲授新课活动 1 以下列各组线段为边长，能构成三角形的是____________(填序号)，能构成直角三角形的是____________．①3，4，5 ②1，3，4 ③4，4，6 ④6，8，10 ⑤5，7，2 ⑥13，5，12 ⑦7，25，24活动2 问题：命题2是命题1的逆命题，命题1我们已证明过它的正确性，命题2正确吗?如何证明呢?△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2．如果△ABC是直角三角形，它应与直角边是a，b的直角三角形全等，实际情况是这样吗?我们画一个直角三角形A'B'C'，使B'C'＝a，A'C'＝b，∠C'＝90°(如下图)由学生自己独立完成，教师巡视学生填的结果．在此活动中，教师应重点关注：①学生是否熟练地完成填空；②学生是否积极主动地完成任务．生：能构成三角形的是：①③④⑥⑦，能构成直角三角形的是；①④⑥⑦让学生试着寻找解题思路；教师可引导学生发现证明的思路．本活动中，教师应重点关注学生：①能否在教师的引导下，理清思路．②能否积极主动地思考问题，参与交流、讨论．我们所画的Rt△A'B'C'，A'B'＝a2＋b2，又因为c2＝a2＋b2，所以A'B'2＝c2，即帮助学生回忆构成三角形的条件和判定一个三角形为直角三角形的条件．由特例猜想得到的结论，会让一些同学产生疑虑，我们的猜想是否正确，必须有严密的推理证明过程，才能让大家用的放心．通过对命题2的证明，还可以提高学生的逻辑推理能力把画好的△A'B'C'剪下，放在△ABC上，它们重合吗?1．如果三条线段长a，b，c 满足a2＝c2－b2．这三条线段组成的三角形是不是直角三角形?为什么?2．说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?(1)两条直线平行，内错角相等．(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．(3)全等三角形的对应角相等．(4)在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．[例1]一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件中∠A和∠D BC都应为直角．工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗?[例2](1)判断以a＝A'B'＝c △ABC和△A'B'C'三边对应相等，所以两个三角形全等，∠C＝∠C'＝90°．△ABC为直角三角形．即命题2是正确的．学生独立思考，自主完成；教师巡视完成练习的情况，以不同层次的学生给予辅导．在此活动中，教师应重点关注学生．①学生对勾股定理的逆定理的理解．②学生对互为逆命题的掌握情况．③学生面对困难，是否有克服困难的勇气．学生只要能用自己的语言表达清楚解决问题的过程即可．先由学生独立完成，然后小组交流，讨论；教师巡视学生完成问题的情况，及时给予指导．在此活动中，教师应重点关注学生：①能否进一步理解勾股定理的逆定进一步理解和掌握勾股定理的逆定理的本质特征，以及互为逆命题的关系及正确性；提高学生的数学应用意识和逻辑推理能力．这是利用勾股定理的逆定理解决实际问题的例子，可以使学生进一步理解勾股定理的逆定理，体会数学与现实世界的联系．10，b＝8，c＝6为边组成的三角形是不是直角三角形．解：因为a2＋b2＝100＋64＝164≠c2，即a2＋b2≠c2，所以由a，b，c不能组成直角三角形．请问：上述解法对吗?为什么?(2)已知：在△ABC中，AB＝13cm，BC＝10cm，BC 边上的中线AD＝12cm．求证：AB＝AC．你对本节的内容有哪些认识，掌握勾股定理的逆定理及其应用，熟记几组勾股数．理，②能否用语言比较规范地书写过程，说明理由．③能否从中体验到学习的乐趣。
八年级数学下册【勾股定理】基础知识+规律方法指导+重要题型!
八年级数学下册【勾股定理】基础知识+规律方法指导+重要题型！基础知识点1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形）。
3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。
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w88优德app [填空题]分馏塔气液负荷大是指通过塔的单径截面上气体和液体的流量（）。 [单选]下列不属于原发性脑损伤者为（）A.脑震荡B.脑挫伤C.原发性脑干损伤D.脑裂伤E.脑内血肿 [填空题]高等级公路导线测量必须与（）进行连接测量。 [单选,A3型题]婴儿胎龄40周，生后5小时，择期剖宫产娩出，生后不久出现呻吟，呼吸急促，口中少许泡沫伴口周发绀。查体：呼吸70次/分，双肺呼吸音粗，可闻及粗湿啰音，心率140次/分，胸骨左缘2.3肋间闻及Ⅰ～Ⅱ级收缩期杂音。血气分析结果：pH7.32，PaO26.4kPa，PaCO26.7kPa，BE-6m SaO280%。该婴儿最可能的诊断是（）A.新生儿肺透明膜病B.新生儿湿肺C.新生儿肺出血D.新生儿感染性肺炎E.先天性心脏病 [单选]关于何为"正当补偿"的问题，一直是人们争论的焦点，救济法学上总体上可以概括为两种，即完全补偿说和（）。A.适当补偿说B.相应补偿说C.合理补偿说D.部分补偿说 [问答题,案例分析题]男性，35岁。主诉：间断咳嗽、咳大量脓痰10年，加重2天入院。请针对该案例，说明问诊内容与技巧。 [单选]工程咨询作为一个独立的行业，最先出现于欧洲()中。A.建筑业B.制造业C.服务业D.采矿业 [填空题]医疗保险方对医疗服务提供方和参保人的监督形式主要有（）、（）和（）3种。 [单选]对山西省某行政公署的具体行政行为不服申请的复议，由下列（）机关管辖。A.该行政公署B.该行政公署法制部门C.山西省人民政府D.山西省人民政府法制局 [单选]鄱阳湖生态经济区建设分为几个阶段？（）A、两个阶段B、三个阶段C、四个阶段 [单选]在下列骨折中，属于运动系统慢性损伤的是（）A.颈椎爆裂骨折B.第二跖骨干疲劳骨折C.儿童胫骨髁上伸直型骨折D.掌骨骨折E.骨盆骨折 [单选,A1型题]下列关于具有抗心律失常作用的药物，错误的是（）A.黄连B.酸枣仁C.苦参D.附子E.大青叶 [单选]上消化道大出血最常见的病因是（）A.胃十二指肠溃疡B.门静脉高压症C.应激性溃疡D.胆道出血E.胃癌 [单选]保险的数理基础是（）。A.中心极限定理B.均匀法则C.正态法则D.大数法则 [单选]操作员判定为无正当理由的超时车，系统默认为（），操作员可根据实际情况输入入口收费站的代码，确认后收取相应通行费。A.最近入口的收费站B.随机选择收费站C.相应路程入口的收费站D.最远入口收费站 [单选]修船质量的好坏，关系着船舶的使用寿命和经济性，因此，必须抓好修理前的()、修理时的监修和修理后的验收三个主要工作环节，以确保短修期、低修费、高质量的船舶修理。A.安排B.人员分工C.计划D.准备 [单选]接入网中SNI指的是（）.A.业务节点接口B.用户一网络接口C.数据接口 [填空题]首届橄榄球世界杯于（）年由澳大利亚和新西兰举办。2011年得世界杯赛于（）举行。 [单选]通过一定的法律行为或基于法定的事实从原所有人处取得所有权的方式称为()。A.善意取得B.继受取得C.原始取得D.非法取得 [单选]有关对编制工程量清单的步骤叙述中，说法不正确的是（）。A.检阅设计文件，分析拟建安装工程构成B.分解出专业工程、分项工程、分部工程C.根据不同的计量单位和计算规则，计算清单项目工程量D.填制表格 [单选]性格在一定程度上会掩盖或改造人的（）特征A．情绪B．意志C．气质D．理智 [单选]仪表专业中，以下字母表示流量的是（）。A、FB、EC、PD、S [问答题,案例分析题]【病例摘要】张某，男，20岁，学生。于2013年10月15日就诊。患者于7天前因外出受凉感冒后，周身不适，发热恶寒，咽喉疼痛。晨起颜面水肿，自服感冒药（具体用药不详），未系统检查及治疗。近2日加重并出现颜面四肢水肿，小便不利而来诊。现症见：颜面及双下肢水 力，纳差，微恶风寒，咽喉疼痛，偶有咳嗽，尿少色黄。查体：T38.4℃，P94/min，R20/min，BP125/80mmHg。神志清，精神不振，面色略红，咽部充血，双侧扁桃体中度增大，无黄疸及皮疹。既往体健。尿常规示：红细胞（++），尿蛋白（++），颗粒管型（+），血常规无异常发现。尿红细胞位 检查：多形型占80%，均一型占20%。BUN6.0mmol/L，Scr130mmol/L。舌质红，苔薄黄，脉浮数。【答题要求】 [单选]主柴油机气缸套备件应涂抹黄油后()。A.平放B.竖放C.悬挂D.固定在专门的托架上 [单选]下列与SLE病情活动性无关的实验室检查是（）。A.血清C3、C4下降B.细胞数正常C.抗dsDNA抗体升高D.蛋白尿增多E.红细胞沉降率加快 [问答题,简答题]机动战士高达的作者是谁？ [单选]狭义理解心理发展是指（）。A.心理的种系发展B.心理的种族发展C.群体的心理发展D.个体的心理发展 [单选]通信记录装置功能失效或者时钟误差（）分钟，为通信一类障碍。A.1分钟B.2分钟C.3分钟D.5分钟 [单选,A2型题,A1/A2型题]急性粒细胞白血病的骨髓象不具有下列哪些改变（）.A.常有Ph染色体B.有白血病裂孔现象C.过氧化酶染色呈阳性反应D.原始粒细胞胞浆中有Auer小体E.非特异性酯酶染色阳性不可被氟化钠所抑制 [单选]修船质量的好坏，关系着船舶的使用寿命和经济性，因此必须抓好修理前的准备、修理时的监修和修理后的()三个主要工作环节，以确保短修期、低修费、高质量的船舶修理。A.试验B.调校C.检查D.验收 [单选,A1型题]下列需要急则治其标的病证是（）A.突然神昏脉微B.大便干燥C.气虚乏力D.阴虚内热E.久咳虚喘 [单选]不同所有人的物因一定的行为而结合在一起形成不可分割的物或具有新质的物，这在民法理论上称为（）。A.先占B.继受所得C.添附D.提存 [单选]医疗单位使用毒性药品，每张处方不得超过（）A.单选]营业场外或周边发生异常情况，一般不应采取何种措施（）。A.向保卫部门或单位领导求助B.向公安报警中心报警C.向联防单位求助D.营业人员主动快速出去处理 [单选]空气中水分含量约为（）空气A.3－30g/m3空气B.２－20g/m3空气C.4－40g/m3空气 [单选]不属于容器连接件的是（）。A、螺栓B、管法兰C、容器筒体端部D、封头 [单选,A1型题]与矿物、金石类药物同用，赋形并助消化的药物是（）A.麦芽B.山楂C.神曲D.莱菔子E.鸡内金 [单选]企业提供的会计信息应有助于财务会计报告使用者对企业过去、现在或者未来的情况作出评价或者预测，这体现了会计信息质量要求的（）。A．可靠性B．相关性C．可理解性D．可比性 [单选]脑震荡的临床表现中，下列说法错误的是（）A.意识障碍一般不超过半小时B.伤后可有头痛、头晕、恶心、呕吐等症状C.神经系统查体无阳性体征D.脑脊液检查常可见少量红细胞E.CT检查颅内无异常发现 [配伍题,B1型题]治疗月经先期肝郁血热证，应首选的方剂是（）。</br>治疗月经先期阴虚血热证，应首选的方剂是（）。A.清经散B.丹栀逍遥散C.固阴煎D.两地汤E.固经汤