第2章-2.3系统的冲激响应描述

作用及意义：
已知δ(t ) 若x(t )
LTI 零状态
h(t ) y(t )＝？
当x(t )能用δ(t ) 表示 时，y(t )能 用h(t )表示（下 节卷积的概念）
第2章 2.3 冲激响应
二、求解方法
根据定义求h(t)：系统输入是单位冲激函 数δ(t)的零状态响应。 初始条件的确定
起始点的跳变—从0－到0＋ 0－表示激励接入之前的瞬时，为初始状态。 0＋表示激励接入以后的瞬时，为起始状态。
第2章 2.3 冲激响应
2.3 系统的冲激响应描述
系统的微分方程描述既能用于线性系统 也能用于非线性系统，是系统最基本最 常用的描述方法。但也有不足之处。
对LTI系统，除用微分方程描述外，也可 用系统在一些特定输入信号作用下的零 状态响应描述。
第2章 2.3 冲激响应
一、定义
(t)
(1)
(t)
解二 右边电路中，电容在t≤0－时的电压为零。
以vc(t)为变量对回路应用KVL，有
i(t) R
RC
dvC (t) dt
vC
(t)
(t)
t≥0＋时，有
(2.1-1) +
(t)
C
RC
dvC (t) dt
vC
(t)
0
t 0
+
vC(t)
从该式解得 t vC (t) Ae RC
t 0 (2.1-2)
注意：系统微分方程求得之解限于0＋<t <时间范 围。应当利用0＋的初始条件求系统微分方程 解的常系数A。
对于一些存在跳变的复杂情况可借助微分方程两 端各奇异函数系数平衡的方法作出判断。
第2章 2.3 冲激响应
例2-8 串联电路如图所示，求 uC (t和) i(t)的冲激响应。 解一（书上的方法）： 先求出电路的阶跃响应。
f (t) 2 (t) (t)
系统的叠加性和微分性质
则单位冲激响应
y(t)
2 d dt
y1(t)
y1 (t )
对y1(t) 求导，有
(2.1-13)
求解系统的冲激响应。
d dt
y1(t)
(2e2t
3e3t ) (t) (e2t
e3t ) (t)
(2e2t
3e3t ) (t)
(2.1-14)
dt 2
dt
即
2 A1 3A2 A1 A2
0
1
解 系统的特征方程为
求得 A1 1, A2 1。
s 2 5s 6 0
由此求得特征根
因此，系统的冲激响应为
s1 2
s2 3
于是，单位冲激响应的表达式为
y(t) (e 2t e 3t ) (t)
y(t) ( A1e 2t A2e 3t ) (t)
C vC(t)
第2章 2.3 冲激响应
二阶系统的冲激响应求解方法
a0
d 2 y(t) dt 2
a1
dy(t) dt
a2 y(t)
(t)
用经典法求解式(2.1-11)，根据特征 根的具体形式写出合适的表达式。
y(0
)
0
含冲激
dy(t )
0
含跃变
例如，当特征根为不相等的实数
(2.1-8)
huC
(t)
1 RC
t
e RC (t)
uC (0 ) 1 / (RC)
hi (t)
1 R
(t)
1 R2C
t
e RC (t)
+ u(t)
i(t) R + uR(t) C
hi (0 )
1 R
(t)
1 R2C
+ uC(t)
uC (t)
1 RC
( 1 ) i(t) R
O
t
O
t
1
R2C
第2章 2.3 冲激响应
和式（2.1-10）给出的t=0+时刻的
(2.1-10) 值确定。
t ≥0＋时，微分方程的右端为零，即
a0
d 2 y(t) dt 2
a1
dy(t) dt
a2 y(t)
0
(2.1-11)
第2章 2.3 冲激响应
高阶系统的冲激响应求解方法
a0
d N y(t) dt N
a1
d N 1 y(t) dt N 1
aN y(t) (t)
如果系统为零状态，按冲激平衡关系可得
d N 1 y(t)
1
dt N 1 t 0 a0
d N 2 y(t) 0
dt N 2 t0
dy(t) 0
dt t0 y(0 ) 0
第2章 2.3 冲激响应
例（习题2-23）已知系统微分方程，求系统的单位冲激响应。
d 2 y(t) 5 dy(t) 6y(t) x(t)
dx(t)
5 6y(t) 2 x(t)
dt 2
dt
dt
解 设微分方程右端为单位冲激函数时的响应为y1(t ),
由上例有
y1 (t) (e 2t e 3t ) (t)
(2.1-12)
当微分方程的右端包含 高阶冲激函数时，可先按 右端只为冲激函数的方法
当输入x(t )为单位冲激函数时，微分方程右端为 求出其响应，再根据线性
C uC(t)
huC
(t)
guC(t )
d dt
1t
[(1 e RC ) (t)]
1 RC
t
e RC (t)
i(t)
C
duC (t) dt
C
d dt
1 RC
t
e RC (t)
1 (t)
1
t
e RC (t)
R
R2C
第2章
2.3 冲激响应
例2-8 冲激响应初值 uC (0 ) i(0 ) 讨论
vC (0 )
Hale Waihona Puke Baidu1 RC
A
电容电压的完整表达式为
+
C vC(t)
vC
(t)
1 RC
t
e RC (t)
(2.1-3)
可进一步得到电流
i(t)
C
dvC (t) dt
1 R
d dt
t
[e RC (t)]
1 R2C
t
e RC (t)
1 (t)
R
(2.1-4)
第2章 2.3 冲激响应
vC
(t)
1 RC
t
将式（2.1-12）和式（2.1-14）代入式（2.1-13），得系统的单位冲激响应
y(t) 2(2e2t 3e 3t ) (t) (e2t e3t ) (t) (3e2t 5e 3t ) (t)
第2章 2.3 冲激响应
作业P55：习题2 2－21，2－23
s1和s2时，冲激响应表达式为
dt t0
在t=0时刻，y(t )是连续，对上式两边在（0－，0＋）
y(t) ( A1e s1t A2e s2t ) (t)
区间求积分，并注意到初始条件为零，得
dy(t)
1
dt t0 a0
由于y(t)在t=0时刻的值连续，故
y(0 ) y(0 ) 0
(2.1-9) 其中A1，A2为常数，用式（2.1-9）
u(t) (t) V
uC (0 ) uC (0 ) 0
UC uC 1V
RC
+ u(t)
i(t) R + uR(t) C
+ uC(t)
1t
1t
uC (t) UC uC (0 ) UC e RC 1 e RC
t 0
1t
guC (t) (1 e RC ) (t)
h uC
(t)
e RC (t)
(2.1-3)
i(t)
C
dvC (t) dt
1 R
d dt
t
[e RC (t)]
1 R2C
t
e RC (t)
1 R
(t)
(2.1-4)
C(t) vC(t)
1 RC
电容电压
i(t) i(t)
(1 ) (1 )
R
R
OO
tt
电流
i(t) R
O
t
t
1 R2C
1 R2C
+
+
(t)
RC串联电路的电压和电流的波形
0
t
冲激响应
h(t) LTI 零状态
(t)
1
0
t
阶跃响应
(t)
LTI
零状态
g (t )
h(t)
0
t
g(t)
0
t
h(t) dg(t) , dt
t
g(t) h( )d
第2章 2.3 冲激响应
意义：系统的冲激响应描述在系统分析中占有极其重要的地
位。一方面是因为借助冲激响应可以求解系统在任一输入作用 下的响应（见本章后部的卷积内容），另一方面是因为系统的 许多性质可以方便地用其冲激响应做出判断。理论上，一个LTI 系统总可以用冲激响应描述，却不一定能用微分方程描述。
guC
(t)
d dt
1t
[(1 e RC ) (t)]
1 RC
t
e RC (t)
第2章 2.3 冲激响应
例2-8 串联电路如图所示，求uC (t)和 i(t)的冲激响应。
解一： 先求出电路的阶跃响应，再求导。 i(t) R
1t
guC (t) (1 e RC ) (t)
+ u(t)
+ uR(t)
+
在（0－，0＋）时间区间对式（2.1-1）中的各项积分，有
1
RC[vC (0 ) vC (0 )] 1 vc(0－)=0 vC (0 ) RC
第2章 2.3 冲激响应
RC
dvC (t) dt
vC
(t)
(t)
(2.1-1)
i(t) R
t
vC (t) Ae RC
t 0
(2.1-2) +
(t)
根据式（2.1-9）和式（2.1-10），有
dy(t) dt t0
1,
y(0 ) 0 。
dy(t) 1 dt t0 a0
(2.1-9)
y(0 ) y(0 ) 0 (2.1-10)
第2章 2.3 冲激响应
下面用具体例子说明该方法。
例（习题2-23）已知系统微分方程，求单位冲激响应。
d 2 y(t) dy(t)