第2章-2.3系统的冲激响应描述
第二章 连续系统的时域分析
du (t ) 整理方程组得：d 2u2 (t ) + 7 2 + 6u2 (t ) = 6e(t ) dt 2 dt 特征方程：a2+7a+6=0 特征根：a=-1, a=-6 齐次解：rh(t) = A1e-t +A2e-6t
5
第二章 连续系统的时域分析
② 选定特解后，将它代入到原微分方程，即得到一个由 yh(t)及其各阶导数以及激励共同组成的一个非齐次微 分方程，依据此方程求出待定系数，然后可确定方程 的特解。
3. 求系统的全响应y(t)
y(t)＝方程的全解y(t)＝齐次解yh(t) + 特解 yP(t)
＝自由响应+强迫响应 将上面方程的全解代入系统的初始条件即可得齐次解中 的待定系数，从而进一步得到系统的全响应。此时， 方程的齐次解yh(t)为系统的自由响应，特解yP(t)为系 统的强迫响应（固有响应）。
解: 由原方程可得
dh 2 (t ) dh(t ) +3 + 2h(t ) = 2δ ′(t ) + 3δ (t ) 2 dt dt
(t ≥ 0)
特征方程: λ2+3λ+2 = 0 特征根: λ1= -1，λ2= -2，且n > m
h (t ) = Ae − t u (t ) + e −2 t (t ) u(t)
20
第二章 连续系统的时域分析
式中A、B为待定系数，将h(t)代入原方程 式，解得A=1，B=1。因此，系统的冲激 响应为 h(t ) = e − t u(t ) + e −2 t (t )
21
第二章 连续系统的时域分析
信号分析与处理答案第二版完整版
信号分析与处理答案第二版HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】第二章习题参考解答求下列系统的阶跃响应和冲激响应。
(1)解当激励为时，响应为，即：由于方程简单，可利用迭代法求解：，，…，由此可归纳出的表达式：利用阶跃响应和冲激响应的关系，可以求得阶跃响应：(2)解 (a)求冲激响应，当时，。
特征方程，解得特征根为。
所以：…(2.1.2.1)通过原方程迭代知，，，代入式(2.1.2.1)中得：解得，代入式(2.1.2.1)：…(2.1.2.2)可验证满足式(2.1.2.2)，所以：(b)求阶跃响应通解为特解形式为，，代入原方程有，即完全解为通过原方程迭代之，，由此可得解得，。
所以阶跃响应为：(3)解(4)解当t>0时，原方程变为：。
…(2.1.3.1)…(2.1.3.2)将(2.1.3.1)、式代入原方程，比较两边的系数得：阶跃响应：求下列离散序列的卷积和。
(1)解用表格法求解(2)解用表格法求解(3)和如题图2.2.3所示解用表格法求解(4)解(5)解(6)解参见右图。
当时：当时：当时：当时：当时：(7) ，解参见右图：当时：当时：当时：当时：当时：(8) ，解参见右图当时：当时：当时：当时：(9) ，解(10)，解或写作：求下列连续信号的卷积。
(1) ，解参见右图：当时：当时：当时：当时：当时：当时：(2) 和如图2.3.2所示解当时：当时：当时：当时：当时：(3) ，解(4) ，解(5) ，解参见右图。
当时：当时：当时：当时：(6) ，解(7) ，解(8) ，解(9) ，解试求题图示系统的总冲激响应表达式。
解已知系统的微分方程及初始状态如下，试求系统的零输入响应。
(1) ；解，，(2) ；，解，，，，可定出(3) ；，解，，，可定出某一阶电路如题图所示，电路达到稳定状态后，开关S 于时闭合，试求输出响应。
解由于电容器二端的电压在ｔ＝０时不会发生突变，所以。
信号与系统课后题解第二章
⑺
对⑺式求一阶导，有：
de(t ) d 2 i 2 (t ) di (t ) du (t ) =2 +2 2 + c 2 dt dt dt dt de(t ) d 2 i2 (t ) di (t ) =2 + 2 2 + 2i1 (t ) + 2i 2 (t ) 2 dt dt dt
⑻
将⑸式代入⑻式中，有：
λ 2 + 2λ + 1 = 0
可解得特征根为 微分方程齐次解为
λ1, 2 = −1
y h (t ) = C1e −t + C2 te− t
由初始状态为 y (0 ) = 1, y ' (0 ) = 0 ，则有：
C1 = 1 − C 1 + C 2 = 0
由联立方程可得 故系统的零输入响应为：
由联立方程可得 故系统的零输入响应为：
A1 = 2, A2 = −1
y zi (t ) = 2e − t − e −2 t
（2）由原微分方程可得其特征方程为
λ 2 + 2λ + 2 = 0
可解得特征根为 微分方程齐次解为
λ1, 2 = −1 ± i
y h (t ) = e −t (C1 cos t + C2 sin t )
(− 3C1 + 3C2 )δ (t ) + (C1 + C2 )δ ' (t ) − (− 2C1 + C 2 )δ (t ) = δ (t )
(
(
( + C e )δ (t ) + (C e
2 1
)
−2 t
+ C2 e t δ ' (t )
第2章连续系统的时域分析
信号与线性系统 令 t 0 ，可得
2.2 LTI连续系统的响应
1 uC (0 ) uC (0 ) C
0
0
iC ( )d 0
如果 iC ( t ) 为有限值，则
此时
0 0
iC ( )d 0
uC (0 ) uC (0 )
如果 iC ( t ) ( t ) ，则
y( t ) 2e
2 t
e
3 t
2 cos( t
4
),
t 0
瞬态响应
2-13
稳态响应
信号与线性系统
二、初始条件的确定
(1) t = 0＋与t = 0－的概念
认为换路在 t=0时刻进行
x(0 ) x(0 )
x(t)
0－ 0＋
：换路前一瞬间 ：换路后一瞬间
x(0 ) x(0 )
2-18
信号与线性系统
2.2 LTI连续系统的响应
(3)初始条件的确定
这里我们介绍用冲激函数匹配法来确定 0 状态的
值，它的基本原理根据 t 0 时刻微分方程左右两端
的 ( t ) 及其各阶导数应该平衡相等。
2-19
信号与线性系统
2.2 LTI连续系统的响应
例2-2：如果描述系统的微分方程为 y ( t ) 3 y ( t ) 3 ( t ) ，给 定 0 状态起始值为 y(0 ) ，确定它 0 的状态 y(0 ) 。
2-4
激励及其各 阶导数(最 高阶为m次)
信号与线性系统 (1)齐次解是齐次微分方程
2.2 LTI连续系统的响应 的解。
y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0
信号与线性系统分析第2章
e t
cos t sin t
Pe t (不等于特征根） t （P t P )e (等于特征单根） 1 0
（Pr t r Pr 1t r 1 P0 )e t (等于r重特征根）
例：f1(t), f2(t)如图，求f1(t)* f2(t) 解： f1(t) = 2ε (t) –2ε (t –1) f2(t) = ε (t+1) –ε (t –1) f1(t)* f2(t) = 2 ε (t)* ε (t+1) –2 ε (t)* ε (t –1) –2ε (t –1)* ε (t+1) +2ε (t –1)* ε (t –1) 由于ε (t)* ε (t) = tε (t) 据时移特性，有 f1(t)* f2(t) = 2 (t+1) ε (t+1) - 2 (t –1) ε (t –1) –2 tε (t) +2 (t –2) ε (t –2)
f (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 f(t)= f1(t)*f2(t) 注意：积分是在虚设的变量τ下进行的，τ为积分变量， t为参变量。结果仍为t 的函数。
y zs (t )
f ( )h(t ) d f (t ) * ) d
▲ ■ 第 13 页
2 .任意信号作用下的零状态响应
f ( t) 根据h(t)的定义： δ(t)
LTI系统 零状态
yzs(t) h(t) h(t -τ) f (τ) h(t -τ)
由时不变性：
信号与系统-第2章
f (t)
K
两式相加:
cosωt =
1 2
(e
jωt
+
e
jωt )
(2-4)
0 K
t
两式相减:
sinωt =
1 2j
(e
jωt
－e
jωt )
(2-5)
(3) 复指数信号: f(t) = Ke st = Ke (σ+ jω)t
= Keσt (cosωt + j sinωt)
当 σ > 0 时为增幅振荡 ω = 0 时为实指数信号 σ < 0 时为衰减振荡
2
01
t
f(
1 2
t)
=
1 2
t
0
0＜t ＜4 其它
f(12 t)
2 0
4t
注意: 平移、反折和展缩都是用新的时间变量去代换原来的
时间变量, 而信号幅度不变.
t +2 －2＜t＜0 例2-5：已知 f(t) = －2t + 2 0＜t＜1
f (t)
2
0
其它
－2 0 1
t
求 f(2t－1),
f(
1 2
(1) 相加和相乘
信号相加: f t f1t f2 t fn t 信号相乘: f t f1t f2 t fn t
0 t＜0 例2-1：已知 f1(t) = sint t ≥ 0 , f2(t) =－sint, 求和积.
解: f1(t) + f2(t) =
－sint 0
t＜0 t≥0
0
t＜0
f1(t) f2(t) = －sin2t t ≥ 0 也可通过波形相加和相乘.
∞ t=0 作用: 方便信号运算.
信号分析与处理答案(苪坤生 潘孟贤 丁志中 第二版)习题答案
第二章习题参考解答2.1 求下列系统的阶跃响应和冲激响应。
(1) )()1(31)(n x n y n y =--解 当激励为)(n δ时，响应为)(n h ，即：)()1(31)(n n h n h δ+-=由于方程简单，可利用迭代法求解：1)0()1(31)0(=+-=δh h ，31)0(31)1()0(31)1(==+=h h h δ，231)1(31)2()1(31)2(⎪⎭⎫ ⎝⎛==+=h h h δ…，由此可归纳出)(n h 的表达式：)()31()(n n h n ε=利用阶跃响应和冲激响应的关系，可以求得阶跃响应：)(])31(2123[311)31(1)31()()(10n k h n s n n k nk nk ε-=--===+=-∞=∑∑(2) )()2(41)(n x n y n y =--解 (a)求冲激响应)()2(41)(n n h n h δ=--，当0>n 时，0)2(41)(=--n h n h 。
特征方程0412=-λ，解得特征根为21,2121-==λλ。
所以： n n C C n h )21()21()(21-+= …(2.1.2.1)通过原方程迭代知，1)0()2(41)0(=+-=δh h ，0)1()1(41)1(=+-=δh h ，代入式(2.1.2.1)中得：121=+C C0212121=-C C 解得2121==C C ， 代入式(2.1.2.1)：0,)21(21)21(21)(>-+=n n h n n …(2.1.2.2)可验证)0(h 满足式(2.1.2.2)，所以：)(])21()21[(21)(n n h n n ε-+=(b)求阶跃响应通解为 n n c C C n s )21()21()(21-+=特解形式为 K n s p =)(，K n s p =-)2(，代入原方程有 141=-K K ， 即34=K完全解为34)21()21()()()(21+-+=+=n n p c C C n s n s n s通过原方程迭代之1)0(=s ，1)1(=s ，由此可得13421=++C C134212121=+-C C 解得211-=C ，612=C 。
第2章2冲激响应和阶跃响应
冲激响应 h(t ) 与阶跃响应 g (t ) 的关系
dε ( t ) δ ( t ) = dt Q ε ( t ) = t δ ( x )dx ∫− ∞
同一系统的阶跃响应和 冲激响应的关系为 : dg ( t ) h( t ) = dt g ( t ) = t h( x )dx ∫− ∞
设其冲激响应为 h1 (t ) 则：
h( t ) = h ( t ) + 2h ( t ) + 3h1 ( t )
'' 1 ' 1
求 h1 (t )
' ' h1' ( t ) + 5h1 ( t ) + 6h1 ( t ) = δ ( t ) Q ' h1 (0 − ) = h1 (0 − ) = 0 由上例得， 由上例得，
' ' g1' ( t ) + 3 g1 ( t ) + 2 g1 ( t ) = ε (t ) Q ' g1 (0 − ) = g1 (0 − ) = 0
∴ g1 (t ) = C1e + C 2 e
−t
' Q g1 (0 + ) = g1 (0 + ) = 0
−2t
C 1 = − 1 ∴ 1 C 2 = 2
（2）设其冲激响应为 h1 (t ) 根据系统零状态响 ） 应的线性性质和微分性质 线性性质和微分性质， 应的线性性质和微分性质，可得冲激响应
h(t ) = b h (t ) + b h
( m) m 1
( m−1) m−1 1
(t ) + L+ b0h1 (t )
第2章-2.3系统的冲激响应描述
aN
y(t)
(t)
如果系统为零状态，按冲激平衡关系可得
d N 1 y(t)
1
dt N 1 t 0 a0
d N 2 y(t) 0
dt N 2 t0
dy(t) 0
dt t0 y(0 ) 0
第2章 2.3 冲激响应
例（习题2-23）已知系统微分方程，求系统的单位冲激响应。
d 2 y(t) 5 dy(t) 6y(t) x(t)
第2章 2.3 冲激响应
一、定义
(t)
(1)
(t)
0
t
冲激响应
h(t) LTI 零状态
(t)
1
0
t
阶跃响应
(t)
LTI
零状态
g (t )
h(t)
0
t
g(t)
0
t
h(t) dg(t) , dt
t
g(t) h( )d
第2章 2.3 冲激响应
意义：系统的冲激响应描述在系统分析中占有极其重要的地
注意：系统微分方程求得之解限于0＋<t <时间范 围。应当利用0＋的初始条件求系统微分方程 解的常系数A。
对于一些存在跳变的复杂情况可借助微分方程两 端各奇异函数系数平衡的方法作出判断。
第2章 2.3 冲激响应
例2-8 串联电路如图所示，求 uC (t和) i(t)的冲激响应。 解一（书上的方法）： 先求出电路的阶跃响应。
根据式（2.1-9）和式（2.1-10），有
dy(t) dt t0
1,
y(0 ) 0 。
dy(t) 1 dt t0 a0
(2.1-9)
y(0 ) y(0 ) 0 (2.1-10)
第2章 2.3 冲激响应
信号与系统第二章
§2.1 经典时域解法
2 连续时间信号与系统的时域分析
2.1.1 微分方程式的建立与求解
1．物理系统的模型
•许多实际系统可以用线性系统来模拟。
•若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用
线性常系数微分方程来描述。
2 连续时间信号与系统的时域分析
•根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 •对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络
2 连续时间信号与系统的时域分析
2 冲激函数匹配法 配平的原理：t =0 时刻微分方程左右两端的δ(t) 及各阶导数应该平衡.
【例】
d y t 3 y t 3 t 已知y0 , 求y0 dt
ut : 表示0 到0 相对单位跳变函数
该过程可借助数学描述
所以系统响应的完全解为
需要注意的: 特解的函数形式由系统所加的激励决定，齐次解 的函数形式完全取决于特征方程的根。 由于构成系统的各元件本身所遵从的规律、系统 的结构与参数决定了微分方程的阶次与系数，因此， 齐次解只与系统本身特性有关。
2 连续时间信号与系统的时域分析
2.1.2 从 到 状态的转换
2 连续时间信号与系统的时域分析
齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式 注意重根情况处理方法。 特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式→代入原方程，比较系数 定出特解。
完全解:齐次解和特解相加, 齐次解中的待定系数可通过初始条件求得.
在系统分析中，响应区间定义为激励信号 加 入后系统的状态变化区间。系统响应的求解区间为
a 3 即 b 9 c 9
即 y0 y0 9
2 连续时间信号与系统的时域分析
冲激函数匹配法实现过程中应注意的问题： (1) 对于冲激函数只匹配 及其各阶导数项， 微分方程两端这些函数项都对应相等。 (2) 匹配从方程左端 的最高阶项开始，首 先使方程右端冲激函数最高阶次项得到匹配,在已 匹配好的高阶次冲激函数项系数的条件下，再匹配 低阶项。 (3) 每次匹配方程低阶冲激函数项时，如果方 程左端所有同阶次冲激函数各项系数之和不能和右 端匹配，则由左端 高阶项中补偿。
信号分析第二章答案
信号分析第二章答案第二章习题参考解答2.1求下列系统的阶跃响应和冲激响应。
(1)y(n)y(n1)某(n)3h(n1)(n)3解当激励为(n)时，响应为h(n)，即：h(n)由于方程简单，可利用迭代法求解：h(0)h(1)(0)13，h(1)111h(0)(1)h(0)333，2111h(2)h(1)(2)h(1)333…，由此可归纳出h(n)的表达式：h(n)()n(n)3利用阶跃响应和冲激响应的关系，可以求得阶跃响应：11()n11311(n)h(k)()k[()n](n)1223kk0313nn(2)y(n)y(n2)某(n)4解(a)求冲激响应11h(n2)(n)，当n0时，h(n)h(n2)0。
44111特征方程20，解得特征根为1,2所以：42211h(n)C1()nC2()n…(2.1.2.1)2211通过原方程迭代知，h(0)h(2)(0)1，h(1)h(1)(1)0，代入式44h(n)(2.1.2.1)中得：C1C2111C1C2022信号分析与处理的课后习题答案是高等教育出版社的教科书解得C11C22，代入式(2.1.2.1)：h(n)12(12)n12(12)n,n0…(2.1.2.2)可验证h(0)满足式(2.1.2.2)，所以：h(n)1[(1)n(1222)n](n)(b)求阶跃响应通解为11c(n)C1(2)nC2(2)n特解形式为1p(n)K，p(n2)K，代入原方程有K4K1，完全解为(n)1 14c(n)p(n)C1(2)nC2(2)n3通过原方程迭代之(0)1，(1)1，由此可得C41C23112C1412C231解得C1112，C26。
所以阶跃响应为：(n)h(k)[41111k032(2)n(6)(2)n](n)(3)y(n)某(n)2某(n1)某(n2)解h(n)(n)2(n1)(n2)n(n)h(k)(n)2(n1)(n2)k0(4)dy(t)dt5y(t)某(t)解dh(t)dt5h(t)(t)当t>0时，原方程变为：dh(t)dt5h(t)0。
冲激响应和信道矩阵的关系__理论说明以及概述
冲激响应和信道矩阵的关系理论说明以及概述1. 引言1.1 概述冲激响应和信道矩阵是无线通信领域中重要的概念，它们在无线通信系统中起到关键的作用。
冲激响应是指在时域中的单位脉冲输入下，系统输出的时域响应。
而信道矩阵则是描述无线信号在传输过程中经历的多径效应和衰落情况的数学表示。
本文将探讨冲激响应与信道矩阵之间的关系，理论上进行说明，并且通过实际应用案例对这一关系进行分析。
1.2 文章结构本文内容共分为五个部分，结构如下：第一部分为引言部分，介绍文章主题、目的以及章节组成；第二部分将对冲激响应和信道矩阵进行概述，包括它们的定义、作用以及对通信系统的重要性；第三部分将详细说明冲激响应和信道矩阵的理论内容，包括计算方法、模型构建以及它们之间数学关系的推导和解释；第四部分将通过实际案例对冲激响应和信道矩阵之间的关系进行分析和验证；第五部分为结论部分，总结整篇文章的观点和重要性，并提出一些未来研究的建议以及展望。
1.3 目的本文的目的是在深入理解冲激响应和信道矩阵的基础上，探讨它们之间的关系。
通过理论说明和实际案例分析，希望能够揭示冲激响应与信道矩阵之间数学关系及其对无线通信系统性能的影响。
同时，本文也将提供一些未来研究方向的建议和展望，为相关领域的进一步发展提供借鉴和思路。
以上就是“1. 引言”部分的内容。
在文章中可以根据需要进一步展开介绍冲激响应和信道矩阵，并明确文章结构和目的。
2. 冲激响应和信道矩阵概述2.1 冲激响应的定义与作用冲激响应是指系统对单位冲激信号的响应，也可以被看作是系统的频率特性。
在通信领域，冲激响应描述了无线信道传输过程中的时变效应。
通过分析冲激响应，我们可以了解信号在传输过程中如何受到各种因素影响而发生变化。
冲激响应包含了信道传输路径上的频率选择和时延扩散等信息，对于无线通信系统的设计和性能评估至关重要。
2.2 信道矩阵的定义与意义信道矩阵是一种表示无线信道影响的数学工具，它将发送端和接收端之间存在的多径衰落、多径干扰、杂波等影响抽象成一个矩阵形式。
管致中信号与线性系统第5版答案
1答案1.1说明波形如图1-4所示的各信号是连续信号还是离散信号。
图1-4答：连续时间信号是指它的自变量（时间变量t）是连续的，若时间变量的取值是离散的，则为离散时间信号。
图1-4中，（a）、（b）、（d）、（e）是连续信号，而（c）、（f）是离散信号。
1.2说明下列信号是周期信号还是非周期信号。
若是周期信号，求其周期T。
（a）（b）（c）（d）（e）（f）（g）提示：如果包含有个不同频率余弦分量的复合信号是一个周期为的周期信号，则其周期必为各分量信号周期（＝1,2,3，……，）的整数倍。
即有＝或。
式中为各余弦分量的角频率，＝为复合信号的基波频率，为正整数。
因此只要找到个不含整数公因子的正整数使成立，就可判定该信号为周期信号，其周期为：如复合信号中某两个分量频率的比值为无理数，则无法找到合适的；，该信号常称为概周期信号。
概周期信号是非周期信号，但如选用某一有理数频率来近似表示无理数频率，则该信号可视为周期信号。
所选的近似值改变，则该信号的周期也随之变化。
例如的信号，如令 1.41，则可求得＝100，＝141，该信号的周期为＝200 。
如令 1.414，则该信号的周期变为2000 。
答：（a）sint、sin3t的角频率之比，因此该信号为周期信号，其周期为（b）sin4t、sin7t的角频率之比，因此该信号为周期信号，周期。
（c）①当时，sin3t、sinπt的角频率之比，因此该信号为周期信号，周期；②当时，由于π是无理数，因此该信号为非周期信号。
（d）cosπt、sin2πt的角频率之比，因此该信号为周期信号，周期。
（e），即所以该信号是周期信号，周期（f），因此该信号为周期信号，周期。
（g）[asin(2t)＋bsin(5t)]2由于，所以该信号为周期信号，周期T＝2π。
1.3说明下列信号中哪些是周期信号，哪些是非周期信号；哪些是能量信号，哪些是功率信号。
计算它们的能量或平均功率。
(1)(2)(3)(4)(5)答：（1）严格地讲，周期信号应该是无始无终的，所以该信号应该算作非周期信号。
信号与系统课后答案2
A1e −2t
+
2 A2e−8t
故有
uc (0+ ) = A1 + A2 = 6
i(0+ )
=
1 2
A1
+
2 A2
=
0
联解得 A1-=8,A2=-2。故得
uc (t) = 8e−2t − 2e−8t V t ≥ 0
又得
i(t) = −C duc = 4e−2t − 4e−8t A t ≥ 0 dt
1 1
+
p u2 (t)
=
0
即
1 3
p
+ 1u1 (t )
− u2 (t)
=
pf
(t)
( ) − u1(t) + p2 + p +1 u2 (t) = 0
联解得
u2 (t) =
p2
3 + 4p + 4
f (t) =
H ( p) f (t)
故得转移算子为
H（p) =
u2 (t) f (t)
=
p2
3 + 4p + 4
f1(t −1) − f1(t − 2) + f1(t − 3)
y2(t)的波形如图题 2.10(d)所示 2-11．
d f (t)
试证明线性时不变系统的微分性质与积分性质，即若激励 f(t)产生的响应为 y(t)，则激励 dt
产生
∫ ∫ d
的响应为 dt
y(t)
（微分性质），激励
t −∞
f (τ )dτ
故得
3 3
进一步又可求得 uc(t)为
uc
(t )
线性连续系统的描述及其响应冲激响应和阶跃响应卷积积分
yh(t)c1co sd tc2 tea tco sd tcm tm 1 ea tco sd t d 1 ea tsinb td2 tea tsinb tdm tm 1 ea tsind t
2.特解
特解的函数形式与激励函数的形式有关。 下表列出了几种类型的激励函数f(t)及其所对应 的特征解yp(t)。选定特解后，将它代入到原微 分方程，求出其待定系数Pi，就可得出特解。
激励函数及所对应的解
3.
根据上节所讲，完全解是齐次解与特解之
和，如果微分方程的特征根全为单根，则微分
方程的全解为
如果描述系统的微分方程是式
y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm-1
f (m-1)(t)+… +b1f(1)(t)+b0f(t) ，
将f(t)=u(t)代入，可求得其特解
b0 u (t) a0
上的特征根λi(i=1，2，…，n)均为单根，则系统的阶
(u(t k ) u(t k )) (t )
故式在Δτ→0时，有
f (t) lim
f (k ) (u(t k ) u(t k ))
0 k
lim f (k ) (t k ) 0 k
f (t) (t )d
2.3.2 卷积积分法求解零状态响应
在求解系统的零状态响应yf(t)时，将任意信号f(t)都 分解为冲激信号序列，然后充分利用线性非时变系统的 特性，从而解得系统在任意信号f(t)激励下的零状态响应 yf(t)。
冲激响应和阶跃响应
大于零的实常数。
(2)初始条件增大 1 倍，当激励为0.5e(t) 时的全响应 r4(t) 。
(1) 设零输入响应为 rzi (t) ，零状态响应为 rzs (t ) ，则有
r1(t) rzi (t) rzs (t) 2e3t sin(2t) 2rzs (t) [e3t 2sin(2t)]u(t)
xn nk xn A
yn Aknk Ak1nk1 A1n A0 yn C
xn rn
yn Crn
xn rn （r与特征根重）
yn C1nrn C2rn
X
)
vC
(t
)
0
齐次方程
冲激 t在 t时转0 为系统的储能（由 体vC现(0） )，
t >0时，在非零初始条件下齐次方程的解，即为原系统
的冲激响应。
X
求解
第 5
页
特征方程 RC 1 0
特征根 1
RC
t
vC (t) Ae RC u(t)
t 0时的解
ht
H
2．一阶系统的冲激响应 3．n阶系统的冲激响应
X
例1 一阶系统的冲激响应
第 4
页
求下图RC电路的冲激响应。（条件：vC 0 0）
R
iC (t)
列系统微分方程：
(t)
RC
d
vC (t dt
)
vC
(t
)
(t
)
C
vC (t)
t 0, t 0
RC
d
vC (t dt
X
第
信号与系统第二章(3)卷积积分
y(t) 1 f1(τ ) f2( t - ) τ y(3)
0 (e) t >3
3
t
τ
0 (f )
3
t
例2 求下图所示函数 f1(t )和 f2 (t )的卷积积 分.
2
f1 (t ) f 2 (t )
3 4
2
0 2
2
f1 (τ )
t
0
2
f 2 ( τ )
3 4
t
解(1) )
2
0
2
τ -2
0
τ
(2) )
由前面分析知: 由前面分析知:
y zs (t ) = ∫ f (τ )h(t τ )dτ
0
tHale Waihona Puke = f (t ) h(t )
这是求解零状态响 应的另一种方法. 应的另一种方法
二,卷积的图示法
第一步, 波形,将波形图中的t轴 第一步,画出 f 1 ( t ) 与 f 2 ( t ) 波形,将波形图中的 轴 ) 改换成τ轴 的波形. 改换成 轴,分别得到 f1 ( τ) f 2 ( τ的波形. 和 第二步, 波形以纵轴为中心轴翻转180° 第二步,将 f 2 (τ)波形以纵轴为中心轴翻转180°, 波形. 得到 f 2 ( τ)波形. 第三步,给定一个t值 波形沿τ轴平移 轴平移|t|. 第三步,给定一个 值,将 f 2 ( τ) 波形沿 轴平移 . 在t<0时, 波形往左移;在t>0时,波形 时 波形往左移; 时 往右移. 的波形. 往右移.这样就得到了 f 2 ( t τ) 的波形.
2
2
-1
0
t
f2 (t )
1
-1
0
1
信号与系统 冲激响应和阶跃响应
信号与系统
t t t t g ( t ) Ae u ( t ) e u ( t ) Ae e u(t ) 将
代入
d g (t ) g (t ) (t ) 2e t u (t ) dt
得
( A 1) (t ) ( Aet et )u(t ) ( Aet et )u(t ) (t ) 2et u(t )
A1 2, A2
1 3 , A3 2 2
故：
1 3 g(t ) (2e t e 2t )u(t ) u(t ) 2 2
信号与系统
二．阶跃响应
h(t ) (2e t e 2t )u(t )
ii)先求h(t)再积分法
g (t ) h( )d (2e e2 )d
信号与系统
小
冲激响应的定义 •零状态；
结
•单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应
冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励 ( t )，看 响应 h( t )，h( t )不同，说明其系统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特性。 （1）系统的在 x(t ) 激励下的零状态响应为 yzs (t ) x(t )* h(t ) （2）LTI系统因果性的充要条件可表示为 当
信号与系统
二．阶跃响应
2．阶跃响应与冲激响应的关系 线性时不变系统满足微、积分特性
u (t ) ( ) d
t
t
d (t ) u (t ) dt
dg (t ) h(t ) = dt
g (t ) h( ) d
阶跃响应是冲激响应的积分，注意积分限
t
冲激响应和阶跃响应
dn ry((tt))
dn1 ry(t )
d ry(t)
d t n an1 d t n1 a1 d t a0ry((tt))
d mef((tt))
d m1ef(t(t))
def((tt))
bm dt m bm1 dt m1 b1 dt b0ef((tt))
看成f(t)
当f (t) (t)时，冲激响应设为h0(t)
)
bm
h( m
1 0
1)
(t
)
b1h0(t ) b0h0 (t )
X
第
总结
12 页
冲激响应的定义
•零状态；
•单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应。
冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况
下加同样的激励 t，看响应 h(t)，h(t)不同，说明其
系统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特性。
第 3 页
2.两者关系
由线性时不变系统的微积分性质知：
(t) h(t)
t
t
(t) ( )d g(t) h( )d
h(t) g(t)
X
第
二、冲激响应
4
页
对于线性时不变系统,可用转移算子表示为
ry((tt) H( p)ef(t(t))
当ef((tt)) (t)时，
h(t) H( p) (t)
p 1 p 2
p n
h(t ) k1 (t) p 1
两边同乘以e 1t，得
h(t) 1h(t ) k1 (t )
e1t h(t ) 1e1t h(t ) k1e1t (t )
e1t h(t ) k1e 1t (t )
e1t h(t )
t 0
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dx(t)
5 6y(t) 2 x(t)
dt 2
dt
dt
解 设微分方程右端为单位冲激函数时的响应为y1(t ),
由上例有
y1 (t) (e 2t e 3t ) (t)
(2.1-12)
当微分方程的右端包含 高阶冲激函数时，可先按 右端只为冲激函数的方法
当输入x(t )为单位冲激函数时，微分方程右端为 求出其响应，再根据线性
注意：系统微分方程求得之解限于0＋<t <时间范 围。应当利用0＋的初始条件求系统微分方程 解的常系数A。
对于一些存在跳变的复杂情况可借助微分方程两 端各奇异函数系数平衡的方法作出判断。
第2章 2.3 冲激响应
例2-8 串联电路如图所示，求 uC (t和) i(t)的冲激响应。 解一（书上的方法）： 先求出电路的阶跃响应。
第2章 2.3 冲激响应
2.3 系统的冲激响应描述
系统的微分方程描述既能用于线性系统 也能用于非线性系统，是系统最基本最 常用的描述方法。但也有不足之处。
对LTI系统，除用微分方程描述外，也可 用系统在一些特定输入信号作用下的零 状态响应描述。
第2章 2.3 冲激响应
一、定义
(t)
(1)
(t)
huC
(t)
1 RC
t
e RC (t)
uC (0 ) 1 / (RC)
hi (t)
1 R
(t)
1 R2C
t
e RC (t)
+ u(t)
i(t) R + uR(t) C
hi (0 )
1 R
(t)
1 R2C
+ uC(t)
uC (t)
1 RC
( 1 ) i(t) R
O
t
O
t
1
R2C
第2章 2.3 冲激响应
根据式（2.1-9）和式（2.1-10），有
dy(t) dt t0
1,
y(0 ) 0 。
dy(t) 1 dt t0 a0
(2.1-9)
y(0 ) y(0 ) 0 (2.1-10)
第2章 2.3 冲激响应
下面用具体例子说明该方法。
例（习题2-23）已知系统微分方程，求单位冲激响应。
d 2 y(t) dy(t)
将式（2.1-12）和式（2.1-14）代入式（2.1-13），得系统的单位冲激响应
y(t) 2(2e2t 3e 3t ) (t) (e2t e3t ) (t) (3e2t 5e 3t ) (t)
第2章 2.3 冲激响应
作业P55：习题2 2－21，2－23
0
t
冲激响应
h(t) LTI 零状态
(t)
1
0
t
阶跃响应
(t)
LTI
零状态
g (t )
h(t)
0
t
g(t)
0
t
h(t) dg(t) , dt
t
g(t) h( )d
第2章 2.3 冲激响应
意义：系统的冲激响应描述在系统分析中占有极其重要的地
位。一方面是因为借助冲激响应可以求解系统在任一输入作用 下的响应（见本章后部的卷积内容），另一方面是因为系统的 许多性质可以方便地用其冲激响应做出判断。理论上，一个LTI 系统总可以用冲激响应描述，却不一定能用微分方程描述。
dt 2
dt
即
2 A1 3A2 A1 A2
0
1
解 系统的特征方程为
求得 A1 1, A2 1。
s 2 5s 6 0
由此求得特征根
因此，系统的冲激响应为
s1 2
s2 3
于是，单位冲激响应的表达式为
y(t) (e 2t e 3t ) (t)
y(t) ( A1e 2t A2e 3t ) (t)
f (t) 2 (t) (t)
系统的叠加性和微分性质
则单位冲激响应
y(t)
2 d dt
y1(t)
y1 (t )
对y1(t) 求导，有
(2.1-13)
求解系统的冲激响应。
d dt
y1(t)
(2e2t
3e3t ) (t) (e2t
e3t ) (t)
(2e2t
3e3t ) (t)
(2.1-14)
aN y(t) (t)
如果系统为零状态，按冲激平衡关系可得
d N 1 y(t)
1
dt N 1 t 0 a0
d N 2 y(t) 0
dt N 2 t0
dy(t) 0
dt t0 y(0 ) 0
第2章 2.3 冲激响应
例（习题2-23）已知系统微分方程，求系统的单位冲激响应。
d 2 y(t) 5 dy(t) 6y(t) x(t)
e RC (t)
(2.1-3)
i(t)
C
dvC (t) dt
1 R
d dt
t
[e RC (t)]
1 R2C
t
e RC (t)
1 R
(t)
(2.1-4)
C(t) vC(t)
1 RC
电容电压
i(t) i(t)
(1 ) (1 )
R
R
OO
tt
电流
i(t) R
O
t
t
1 R2C
1 R2C
+
+
(t)
RC串联电路的电压和电流的波形
和式（2.1-10）给出的t=0+时刻的
(2.1-10) 值确定。
t ≥0＋时，微分方程的右端为零，即
a0
d 2 y(t) dt 2
a1
dy(t) dt
a2 y(t)
0
(2.1-11)
第2章 2.3 冲激响应
高阶系统的冲激响应求解方法
a0
d N y(t) dt N
a1
d N 1 y(t) dt N 1
C vC(t)
第2章 2.3 冲激响应
二阶系统的冲激响应求解方法
a0
d 2 y(t) dt 2
a1
dy(t) dt
a2 y(t)
(t)
用经典法求解式(2.1-11)，根据特征 根的具体形式写出合适的表达式。
y(0
)
0
含冲激
dy(t )
0
含跃变
例如，当特征根为不相等的实数
(2.1-8)
u(t) (t) V
uC (0 ) uC (0 ) 0
UC uC 1V
RC
+ u(t)
i(t) R + uR(t) C
+ uC(t)
1t
1t
uC (t) UC uC (0 ) UC e RC 1 e RC
t 0
1t
guC (t) (1 e RC ) (t)
h uC
(t)
C uC(t)
huC
(t)
guC(t )
d dt
1t
[(1 e RC ) (t)]
1 RC
t
e RC (t)
i(t)
C
duC (t) dt
C
d dt
1 RC
t
e RC (t)
1 (t)
1
t
e RC (t)
R
R2C
第2章
2.3 冲激响应
例2-8 冲激响应初值 uC (0 ) i(0 ) 讨论
vC (0 )
1 RC
A
电容电压的完整表达式为
+
C vC(t)
vC
(t)
1 RC
t
e RC (t)
(2.1-3)
可进一步得到电流
i(t)
C
dvC (t) dt
1 R
d dt
t
[e RC (t)]
1 R2C
t
e RC (t)
1 (t)
R
(2.1-4)
第2章 2.3 冲激响应
vC
(t)
1 RC
t
在（0－，0＋）时间区间对式（2.1-1）中的各项积分，有
1
RC[vC (0 ) vC (0 )] 1 vc(0－)=0 vC (0 ) RC
第2章 2.3 冲激响应
RC
dvC (t) dt
vC
(t)
(t)
(2.1-1)
i(t) R
t
vC (t) Ae RC
t 0
(2.1-2) +
(t)
解二 右边电路中，电容在t≤0－时的电压为零。
以vc(t)为变量对回路应用KVL，有
i(t) R
RC
dvC (t) dt
vC
(t)
(t)
t≥0＋时，有
(2.1-1) +
(t)
C
RC
dvC (t) dt
vC
(t)
0
t 0
+
vC(t)
ห้องสมุดไป่ตู้
从该式解得 t vC (t) Ae RC
t 0 (2.1-2)
guC
(t)
d dt
1t
[(1 e RC ) (t)]
1 RC
t
e RC (t)
第2章 2.3 冲激响应
例2-8 串联电路如图所示，求uC (t)和 i(t)的冲激响应。
解一： 先求出电路的阶跃响应，再求导。 i(t) R
1t
guC (t) (1 e RC ) (t)
+ u(t)
+ uR(t)
+
s1和s2时，冲激响应表达式为
dt t0
在t=0时刻，y(t )是连续，对上式两边在（0－，0＋）