三角函数复习课件[免费课件]

求 sin( )
解: sin( ) cos[
) ( )] 4 4 2 [cos( ) cos( ) sin( ) sin( )]

( )] cos[(


3 3 4 sin( ) , 且 ( , ) cos( ) 4 5 4 4 4 5 5 12 cos( ) , 且 (0, ), sin( ) 4 13 4 4 13
y 2 sin( 2 x ) 4

y 2 2 sin( 2 x ) 4

应用：化同一个角同一个函数
专题训练：
专题一、三角函数的概念
例1：如果 是第一象限角，判断 2、 是第 2 几象限角？
注： (1)应用象限角的概念判断 (2)错解: 是第一象限角 0<<90 0 45 2
2 2
2 tan tan 2 1 tan 2
注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幂的过程。特别
1 cos 2 cos 2
2
1 cos 2 sin 2
2
三、三角函数的图象和性质
1、正弦、余弦函数的图象与性质 y=sinx
y
y=cosx
1
y o
2

y sin(x )
y A sin(x )
纵坐标伸长(A>1 )或缩短( 0<A<1 )到原来的A倍
横坐标不变
3、正切函数的图象与性质 y=tanx
y 图 象
3 2

o
2
2

3 2
x
定义域
{x | x k
R

2
, k N}
值域
周期性
奇偶性
倒数关系： 商数关系：
y
P(x,y) 的终边
●
r
o x
r x2 y2
三角函数值的符号：“一全正，二正弦，三两切，四余弦”
平方关系：
tan cot 1 sin csc 1 cos sec 1
sin t an cos cos cot sin
应用：化简求值


例5:已知函数
y sin 2 x 2 sin x cos x 3 cos2 x, x R,
求：⑴函数的最小正周期；⑵函数的单增区间；⑶函数的最大值 及相应的x的 值；⑷函数的图象可以由函数y 2 sin 2x, x R 的图象经过怎样的变换得到。
y sin 2 x 2 sin x cos x 3 cos2 x 1 sin 2x 2 cos2 x 解： 1 sin 2 x cos 2 x 1 2 2 sin( 2 x ) 4 2 ⑴ T 2 3 k x k ,k Z ⑵ 由2k 2 x 2k , 得
x1
x1 ；若x为第三象限角，即得
x1；若x为第四象限角，即得x= 2 x1
④若x R ，则在上面的基础上加上相应函数的周期的整数倍。
四、主要题型
例1：已知 是第三象限角，且cos
为第三象限角 解：
2
1 ，求 tan 。 3
1 2 2 2 sin 1 cos 1 ( ) 3 3
降幂公式
一、任意角的三角函数
1、角的概念的推广 y
的终边
正角 x 零角
o
负角
的终边
与a终边相同的角的集合A={x|x=a+k 3600 Z k} 象限角与非象限角
(,)
2、角度与弧度的互化:半径长的圆弧所对的圆心角为一 弧度角 2 360 180

3 2
2
|a|=l/r （a为弧度，l为弧长，r为半径) 扇形面积公式：S=1/2(a*r*r)
3、任意角的三角函数定义 定义： y x y sin , cos , tan r r x r r x csc , sec , cot y x y 4、同角三角函数的基本关系式
sin 2 cos2 1 1 tan2 sec2 1 cot2 csc2
3).三角函数线:（有向线段）
正弦线: MP
余弦线:OM 正切线: AT
y
T
P
o
余 弦 线
正切线
正弦线 M A
x
5、诱导公式：
k 诱导公式是针对 的各三角函数值的化简 2 口诀为:"奇变偶不变, 符号看象限（即把 " 看作是锐角）
2 sin( ) 4

的值
2 ( , ) ( , ) tan 2 2 4 2 2 2 cos sin 1 cos sin cos sin 2 cos sin 2 sin( ) 2 sin( ) 4 4 1 tan 2 2 3 1 tan
180 , 1弧度 ( ) 57.30 5718 1

180

特殊角的角度数与弧度数的对应表 度
0 30 45 60 90 120
6 4
3 2
2 3
135 150 180 270 360
3 4
弧度 0
计算公式
5 6
3 函数的单增区间为 [k , k ]( k Z ) 8 8 ⑶ 当2 x 2k ,即x k (k Z )时, y最大值 2 2 4 2 8
2 4 2
8
8
⑷ y 2 sin 2x 图象向左平移 8 个单位
图象向上平移2个单位
sin tan 2 2 cos
应用：三角函数值的符号；同角三角函数的关系；
3 sin cos tan 2 例2：已知 ，计算⑴ 2 sin cos
⑵ sin cos
3 sin cos 3 tan 1 3 2 1 7 解:⑴ 3 sin cos cos 2 sin cos 2 sin cos 2 tan 1 2 2 1 3 cos
三角函数
复 习 课
同角三角函数的基本关系 诱导公式 定义 单位圆与三角函数线
图象性质
形如y=Asin(ωx+φ)+B图象 y=asin+bcosα 的 最 值
红色字体的 公式不要求 记忆！
C(α±β) S(α±β)、T( α±β)
积化和差公式 和差化积公式
S2α= C2α= T2α=
Sα/2= Cα/2= Tα/2=
3 例：sin( ) 2
cos(

2
)
cos sin
sin( ) cos( )
sin cos
二、两角和与差的三角函数
1、预备知识：两点间距离公式
| p1 p2 | ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2
●
y
●
p1 ( x1 , y1 )
2 2
y=tanx, x ( , ) 的反函数y=arctanx, x R
⑵已知角x ( x [0,2 ] )的三角函数值求x的步骤 ①先确定x是第几象限角
2 2

②若x 的三角函数值为正的，求出对应的锐角 x1；若x的三角函数
值为负的，求出与其绝对值对应的锐角 ③根据x是第几象限角，求出x 若x为第二象限角，即得x= x=
T
奇函数
单调性
(k

, k )( k Z ) 2 2
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4、已知三角函数值求角
⑴反三角函数 x [ , ] 的反函数 y=arcsinx , x [1,1] y=sinx ,
y=cosx, x [0, ] 的反函数y=arccosx, x [1,1]
纵坐标伸长(A>1 )或缩短( 0<A<1 )到原来的A倍
第二种变换：
横坐标不变
y A sin(x )
1
倍
y sin x
横坐标伸长(0 1 )或缩短(
图象向左(
向右( 纵坐标不变 0 )或
1 )到原来的
y sin x

0 ) 平移 | | 个单位
B.若、是第二象限角，则 tan tan C.若、是第三象限角，则 cos cos D.若、是第四象限角，则 tan tan
答案：D
专题二：同角三角函数基本关系
例1、已知tan = 3，求式子
2 2
4cos sin cos sin 的值 . 2 2 2sin sin cos 4cos
图 象
定义域 值 域 性 周期性 奇偶性
1


2 -1
o
2

3 2
2 x

2 -1

3 2
2 x
R [-1，1] T=2
R


[-1，1] T=2

奇函数
,2k ]增函数 质 单调性 2 2 3 [2k ,2k ]减函数 2 2
[2k

偶函数
[2k ,2k ]增函数 [2k ,2k ]减函数
公式变形
注：公式的逆用 及变形的应用
tan tan tan( )(1 tan tan )
3、倍角公式 sin 2 2 sin cos
2 2
cos2 cos sin 2 cos2 1 1 2 sin 2
cos sin 1
关键：弦 切
练习：
1、已知tan =2,求值： sin cos 1 2 sin cos sin cos (3) sin 2 cos 1
2 2
注：公式的正用、反用、变形、“1”的变通。

例2、如果 为第二象角， sin cos 试判断 的符号 cos sin
注：突破“单一按角度制思考 三 角 问题”的习惯
1 例3、已知: 1, 则 2 是第几象限角？
sin 2
3.已知
sin sin , 下列命题成立的是 () A.若、是第一象限角，则 cos cos
⑵
tan sin cos sin cos sin cos 2 2 2 tan 1 sin cos 1
2 2 2 2 1 5
应用：关于 sin 与cos 的齐次式
3 5 3 例3：已知 sin( ) , cos( ) , 且 ( , ), (0, ) ， 4 5 4 13 4 4 4
o
x
2、两角和与差的三角函数
p2 ( x2 , y2 )
Q( x1 , y2 )
cos( ) cos cos sin sin
sin( ) sin cos cos sin tan tan tan( ) 1 tan tan
2、函数 y A sin(x ) 的图象（A>0,
第一种变换:
>0
)
y sin x
图象向左( 向右(
0
)或

0 ) 平移| | 个单位
y sin(x )
1
倍
横坐标伸长( 0 1 )或缩短(
纵坐标不变
1 )到原来的
y sin(x )

4
4
4
4
4 5 3 12 56 上式 ( ) 5 13 5 13 65
应用：找出已知角与未知角之间的关系
例4：已知 tan 2 2 2 ,2 ( , ), 求

2 cos
2

2
sin 1
2
解：
2 tan 2 tan2 2 2, 即 2 2 tan 2或 tan 2 1 tan 2