等比数列-ppt课件1

合集下载

《等比数列性质》课件

等比数列的性质
等比数列的性质取决于公比的正负情况。
公比为正的情况
1 单调性
2
当公比大于1时，数列呈现递增趋势；当公比小于1但大于0时，数列呈现递减趋势。
公比为负的情况
极限值
当公比大于1时，数列趋于正无穷；当公比小于1但大于0时，数列趋于0。Biblioteka 1 单调性2 极限值
无论公比是多少，等比数列都不会出现单调性。
无论公比是多少，等比数列都不会收敛于一个确定的极限值。
等比数列的无穷级数
等比数列的无穷级数指的是将数列的所有项相加，即求和。如果公比的绝对值小于1，那么等比数列的无穷级数将收敛，其和可以通过以下公式计算： S∞ = a1 / (1 - r)
等比数列在几何意义上的应用
等比数列在图形中的应用
等比数列可以用来生成一些有趣的图形，如分形。分形是一种具有自相似性质的图形，无论放大或缩小，形状都保持一致。
《等比数列性质》PPT课件
什么是等比数列
等比数列是一种数列，其中每一项与前一项的比值保持不变。它可以用以下的通项公式来表示： an = a1 × r(n-1) 其中，a1表示等比数列的首项，r表示公比，而an表示第n项。
等比数列的通项公式与前n项和公式
等比数列的通项公式允许我们计算数列中的任何一项。而前n项和公式则可以帮助我们计算数列前n项的和。通项公式：an = a1 × r(n-1) 前n项和公式：Sn = a1 × (1 - rn) / (1 - r)
黄金分割的生成与应用
黄金分割是一种与等比数列相关的数学概念，在建筑、艺术、自然界等领域中有广泛的应用。它具有特殊的美学意义。
相关练习题目
等比数列的计算填空题选择题解析题

等比数列性质ppt课件(1)

an1 an
qn N , q
0
an a1q n1
例1.在等比数列an中,已知a3 20, a6 160,求an.
解：设等比数列的公比为q,那么
aa11qq52
20 160
① ②
解得
q=2 a1 5
所以an a1qn1 5 2n1.
思考：能否不求出首项a1 , 而将an求出？
证明：设等比数列an的首项为 a1,公比为q，
例1：从种群中随机抽出100个个体，测知基因型为AA、Aa和aa的个体分别是30、60和10个，那么基因A和a的基因频率分别是多少？
A=
30×2 +60 100×2
=60%
， a=40%
例2：某工厂有男女职工各200名，经调查，女性色盲基因的携带者15人，患者5人，男性患者11人，那么这个群体中色盲基因的种群基因频率的平衡和变化
1、种群：生活在一定区域的同种生物的全部个体。
2、一个种群全部等位基因总和称为什么？基因库
3、基因频率：种群中，某一等位基因的数目占这个基因可能出现的所有等位基因总数比例。
基因频率 =
某种基因的数目
×100%
控制同种性状的等位基因的总数
种群中一对等位基因的频率之和等于1。
n,
s,
t
N
，
若m n s t,则aman asat .
若m n 2s,则a a a 2.
mn
s
性质3：在等比数列中，序号成等差数列的项依原序构成的新数列是等比数列。
生物普遍存在变异人们根据自己需要
选择合乎要求的变异个体，淘汰其他数代选择所需变异被保存
微小变异变成显著变异
从而an am

《等比数列的概念》课件

03
等比数列的应用
等比数列在数学中的应用
解题技巧
等比数列是数学中常见的数列类型，它在解决数学问题时具有广泛的应用。例如，在求解一些复杂数学问题时，可以利用等比数列的性质简化计算过程。
公式推导
等比数列的通项公式和求和公式在数学中经常被用来推导其他公式或解决一些复杂的数学问题。这些公式是等比数列应用的基石，能够提供解决问题的有效途径。
等比数列的公比
总结词
表示等比数列中任意两项的比值
详细描述
等比数列的公比是任意两项的比值，通常用字母 q 表示。公比是等比数列中相隔一项的两个数的比值，即 a_n/a_(n-1)。公比反映了等比数列中每一项与前一项的比值。
等比数列的项数与项的关系
总结词
表示等比数列中项数与项的关系
详细描述
在等比数列中，任意一项的值可以用首项、公比和项数来表示。例如，第 n 项的值可以用 a_n=a_1×q^(n-1) 来表示，其中 a_1 是首项，q 是公比，n 是项数。这个公式揭示了等比数列中项数与项的关系。
《等比数列的概念》ppt课件
目录 Contents
• 等比数列的定义 • 等比数列的性质 • 等比数列的应用 • 练习题与答案
01
等比数列的定义
等比数列的文字定义
总结词：简洁明了
详细描述：等比数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项之间的比值都相等。
等比数列的数学符号定义
总结词：专业严谨
详细描述：等比数列通常表示为 a_n，其中 a 是首项，r 是公比，n 是项数。其数学定义是 a_n = a * r^(n-1)，其中 r ≠ 0。
等比数列与等差数列的区别
总结词：对比分析

等比数列课件ppt

02
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式推导
01
02
03
定义等比数列
等比数列是一个序列，其中任意两个相邻项的比值都相等。
推导通项公式
假设等比数列的首项为 $a_1$，公比为$r$，则第 $n$项$a_n$的通项公式为$a_n = a_1 times r^{(n-1)}$。
证明通项公式
通过数学归纳法或迭代法证明通项公式的正确性。
等比数列课件
• 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
等比数列的定义与性质
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项之间的比值都相等。
详细描述
等比数列中，任意两个相邻项的商是常数，这个常数被称为公比。在等比数列中，每一项都是前一项与公比的乘积。
举例说明
通过具体的例子来解释等比数列求和公式的推导过程。
等比数列求和公式的应用
解决实际问题
等比数列求和公式在解决实际问题中有着广泛的应用，如金融、工程、物理等领域。
举例说明
通过具体的例子来展示等比数列求和公式的应用。
等比数列求和公式的变体
等差数列与等比数列的关系
01
等差数列和等比数列是两种不同的数列，但它们之间存在一定
01
第三组数列是等比数列，因为相邻两项的比值都是1/2。
02
第四组数列也是等比数列，因为相邻两项的比值都是1/2。
习题二：等比数列的通项公式
01
题目：已知等比数列的首项为 a，公比为q，求第n项的通项
公式。
02
答案与解析

等比数列公开课课件PPT

等比数列的应用
在数学中的应用
数学建模
等比数列是数学建模中常用的数学工具，可以用来描述和解决各种数学问题，如数列求和、数列
极限等。
金融计算
等比数列在金融领域的应用广泛，如复利计算、贷款还款等，通过等比数列的公式可以快速准确地计算出结果。
统计学
在统计学中，等比数列常被用来描述和预测数据分布，如人口增长、股票价格波动等。
使用等比数列求和公式可以大大简化计算过程，提高计算效率。
推广到其他数列
等比数列求和公式的应用不仅限于等比数列，还可以推广到其他类型的数列。
实例解析
实例一
求1,2,4,8,16,...的前n项和。
实例二
求1,3,9,27,81,...的前n项和。
实例三
求2,4,8,16,...的前n项和。
05
通过观察数列1，4，16，64，...可以发现相邻两项的比值分别
为4，4，4，...，所以公比q = 4。
答案2
03
这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
答案与解析
• 解析2：已知等比数列的公比为2，前四项和为1，设第一项为a，则第二项为2a，第三项为4a，第四项为8a。根据等比数列前n 项和公式S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)，代入n=4, q=2, S_4=1，解得a = 1/3。因此这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
等比数列公开课课件
• 引言 • 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
引言
主题简介
定义
等比数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻项之间的比值是常数。

等比数列的概念PPT优秀课件

(3) (4) (5) (6)
公比 q=2 递增数列公比 q=3 递增数列
1 , x , x , x , x , ( x 0 )
234
公比 d= x
1 公比 q= 递减数列 2
1 1 1 1 , , , , 2 4 8 16
5，5，5，5，5，5，… 1，-1，1，-1，1，…
公比 q=1 非零常数列公比q= -1 摆动数列
为0.
等比数列、等差数列定义比较
等比数列：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。等差数列：如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d来表示.
讨论
已知等比数列（1）首项
a n
a1
：能不能是零？
Why? 不能！！！
（2）公比q能不能是零？
Why? 不能！！！
等比中项
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列：（1）1，±3 ， 9 （3）-12， ±6 ，-3 （2）-1， ±2 ，-4 （4）1，±1 ，1
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
G ab G ab
2
等比中项与等差中项比较
G ab G ab
2
ab A 2
现给出等差中项的性质 1、在等差数列中，从第二项起,每一项是相邻两项的等差中项。 2、在等差数列中，数列中的某一项是与它“等距离”的两项的等差中项。你能类比中项的性质吗?可以用数学式子表示吗?

高中数学必修5《等比数列的性质》PPT (1)

创设情境
等差数列定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
等比数列定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.
探究新知
等差数列
当n 2时，
递推
关系
an an1 d
通项公式
S3n
S2n成等比数列，公比为qn .（Sn，S2n
S
，
n
S3n S2n均不为0）
性质2 若m n r s，则am an ar as. 特别的,m n 2k,则am an ak2.
为什么推论2不能由等差数列的推论2类比得出？
例1（2009.浙江文科16）设等差数列
an的前n项和为Sn，则S4，S8 S4，S12 S8，
课堂小结
内容等比数列的性质. 数学思想转化与化归. 课后作业作业本2.4等比数列（二）.
巩固应用
思考若数列an是等差数列，则
当bn
a1
a2
n
an 时，数列bn也是
等差数列；类比上述性质，若数列cn
是正项等比数列，当dn _________ 时，
数列d n 也是等比数列.
（1）若 a3 4 ， a9 1，则 a6 _____；若 a3 4 ， a11 1，则 a7 _____
（2）若 a2a4 2a3a5 a4a6 36 ，则 a3 a5 _____；（3）若 an 0 ，a1a2a3 5 ，a7a8a9 10 ，则 a4a5a6 _____.
性质 3：设 an ，bn 是两个等比数列，
则
an
bn
，
an bn
是等比数列.

等比数列的性质PPT教学课件_1

【答案】 A
3．等比数列{an}中，a1＝1，a9＝9，则 a5＝________. 【解析】由 a25＝a1·a9，∴a25＝9，∴a5＝±3. 而 a1、a9 均为正值，故 a5 也为正值，∴a5＝3. 【答案】 3
4．三个正数成等差数列，它们的和等于 15，如果它们分别加上 1,3,9 就成为等比数列，求这三个数．
3．情感、态度与价值观在等比数列性质学习过程中，学生通过与教师对话，主动思考，生生交流，体验数学的发现过程，提高创新意识与能力．通过对等比数列规律的探究，进一步树立严谨求实，一丝不苟的科学态度．
●重点难点重点：等比数列的性质．难点：等比数列性质的灵活应用．突出重点的方法：用一题多解法，直观让学生在解题过程中发现公式的不同在应用上的区别，加深了解等比数列性质应用的技巧. 突破难点的方法：假定不同情境，在讲解解题思路及解题手法时，以对比法将之前学习的等差数列与本节难点等比数列加以联系与区别．
三个数成等比数列，其积为 512，如果第一个数与第三个数各减去 2，则这三个数成等差数列，求这三个数．
【解】设三个数依次为aq，a，aq， ∵aq·a·aq＝512，∴a＝8. ∵aq－2＋(aq－2)＝2a， ∴2q2－5q＋2＝0.
∴q＝2 或 q＝12. ∴这三个数为 4、8、16 或 16、8、4.
不同点
(1)强调每一项与前一项的差； (2)a1和d可以为零； (3)等差中项唯一.
(1)强调每一项与前一项的比； (2)a1与q均不为零； (3)等比中项有两个值．
(1)都强调每一项与前一项的关系；相同点 (2)结果都必须是常数；
(3)数列都可以由a1，d或a1，q确定．
联系
(1)若{an}为正项等比数列，则{logaan}为等差数列； (2){an}为等差数列，则{ban}为等比数列.

等比数列PPT精品课件_1

[思路] (1)根据 an＝Sn－Sn－1(n≥2)，把已知式降低一个角标后两式相减即可建立 an，an－1 之间的关系式，然后只要证明 an－1＝q(an－1－1)(n≥2，q 为常数)即可；(2)根据(1) 即可求出数列an－1的通项公式，也就求出了an的通项公式，代入已知式即可求出 Sn，然后解不等式即可．
第26讲 │ 规律总结
规律总结
1．等比数列中的最基本的量是首项 a1 和公比 q，在解题中要根据已知条件建立关于 a1，q 的方程或者方程组，从而建立其 a1，q 的关系式或者是求出 a1，q，方程思想在解决等比数列问题中占有重要位置．
2．等比数列的求和要分公比等于 1 和不等于 1 两种情况，在不能确定公比取值的情况下，要分类求和．
A．5 2 B．7C．6 D．4 2第26讲 │ 要点探究
(1)B (2)A [解析] (1)方法 1：设公比为 q，由已知得
a1q2·a1q8＝2a1q42，即 q2＝2，因为等比数列{an}的公比为正数，
所以 q＝
2，故
a1＝aq2＝
1＝ 2
22，选
B.
方法 2：根据等比数列的性质 a3a9＝a26＝2a25，由于公比是
26 方法 2：根据等比数列性质得 a32＝5，a38＝10，两式相除得aa3832＝ 2，即 q18＝2，由于数列是正项的，故 q9＝ 2，所以 a4a5a6＝5 2.
第26讲 │ 要点探究
► 探究点4 等比数列的前n项和
例 4 (1)已知数列{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则 a1a2 ＋a2a3＋…＋anan＋1＝( ) A．16(1－4－n) B．16(1－2－n) C.332(1－4－n) D.332(1－2－n)

4.3等比数列(一)PPT课件(人教版)

思考3：如何用a1和q表示第n项an 1.叠乘法（累乘法） 2.不完全归纳法
a2/a1=q a3/a2=q a4/a3=q …
an/an-1=q 这n-1个式子相乘得an/a1=qn-1 所以 an=a1qn-1
a2=a1q a3=a2q=a1q2 a4=a3q=a1q3 …
an=a1qn-1
其中，a1与q均不为0。由于当n=1时上面等式两边均为a1，即等式也成立，说明上面公式当n∈N*时都成立，因此它就是等比数列｛an｝的通项公式。
这些你都记得吗？
三、等差中项法
探究一：等比数列的定义
视察下列数列，说出它们的特点.
（1）1，2，22，23，… (2)5, 25,125, 625... (3)1, 1 , 1 , 1 , 24 8 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一
项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，记为q.
例 3 等比数列{an}的前三项的和为 168，a2－a5＝42，求 a5，a7 的等比中项．
变式 1:若 a,2a＋2,3a＋3 成等比数列，求实数 a 的值．
变式2：一等比数列有3项，如果把第2项加上
4，那么所得3项就成等差数列，如果把这个等
差数列的第3项加上32，那么所得的3项又成等比数列，求原等比数列.
例1.在等比数列 an中,
(1)a4 27, q 3,求an; (2)a3 12,a4 18,求a1.
变式：求出下列等比数列中的未知项：
（1）2,a,8； a 4
(2)a5 =4,a7 =6,求a9. a9 9
例2.已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，求n；
变式训练：{an}为等比数列，求下列各值． (1) 已知 a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比 q. (2) a 4 · a 7 = 512，a3 + a 8 = 124,公比 q 为整数求 a 10.

等比数列(1)课件人教新课标

பைடு நூலகம்
例 6．等比数列{an }中，若an an1 an2 (n N * )，则公比 q 的值是________________.
例 7．已知数列{an }满足：a 1 1，an1 2an 1(n N * ) (1)求证：数列{an 1}是等比数列； (2)求an.
2某. 种汽车1998年购买时的价格是36万元，每年的折旧率是10%，求这辆车各年开始时的价格（单位：万元）。
各年汽车的价格组成数列：
36，36×0.9，36×0.92, 36×0.93,…
十年后呢？
等比数列定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项
的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，
(3)q>0数列递增吗？q<0数列递减吗？
说明：
(3)
aq1
0或 1
0a1
q
0
1
{an
}递增；
0a1
q
0
或 1
aq1
0 1
{an
}递减；
q=1，常数列；
例 1．已知下列数列是等比数列，请填空：
(1) 2， 4 ，8； (2) －4， 2 ， 1 ， 1 ；
2
(3) 50， a2 ， 10 ， a4 ，2
例 2．已知等比数列{an }：3，6，12，…
则a10 1536 ，an 2 3n1 .
例 3．等比数列{an }中，已知a7 64, a9 256，求an.
例 4．已知数列：a, a(1 a), a(1 a)2, ...是等比数列，则实数 a 的取值范围是__________
例 5．等比数列{an }中，第七项与第五项的差是 48，第六项与第五项的和是 48，求第十项.

等比数列第一课时.ppt1

（4）当q=1时，数列是常数列
等比数列中任意两项之间的关系：
由于
an a1 q
n1
am a1 q
m1
an a1 q nm q m 1 am a1 q
n 1
an am q
n m
例题讲解
1.在等比数列 a 中, (1)a3 12, a4 18, 求a1和q;
思考:
(1) 等比数列中有为0的项吗？ (2) 公比为1的数列是什么数列？ (3) 既是等差数列又是等比数列的数列
存在吗？
(4) 常数列都是等比数列吗？
q0 能否改写为an 是等比数列 an1 an• 判断下列数列是否是等比数列，是的话写出公比： • （1）5 ，5 ，5，5…… • （2）1 ，4，16，48 …… • （3）1，-1 ，1 ，-1 …… • （4） 1/2 ，-1/6，1/18，-1/54 … • （5）x ，x，x，x ……
实例1、观察细胞分裂的过程：
构成数列：1，2，4，8，…
实例2：
木棒每天的长度构成一个数列：
1 1 1 1, , , , 2 4 8
古语：一尺之棰，日取其半，万世不竭。
实例：
• ③一种计算机病毒可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播。如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推。假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是：
三.由定义归纳通项公式
叠加法累乘法
等 a2 a1 d 差 a3 a2 d 数列 a4 a3 d …… +）an an1 d
an a1 (n 1)d

等比数列及其性质PPT教学课件(1)

期末复习
等比数列及其性质
一、知识要点：
1、定义：{an}为等比数列
_a_ann_1__常__数_
2.通项公式：an _______
推广：an _________
3.前n项和公式: Sn
4.重要结论：若{an}是等比数列
5.等比数列的性质
（1） an am gqnm
qnm an
求q
am
正确认识自尊自信，掌握正确的尺度
1、要自尊自信，不要虚荣忌妒。 2、要自尊自信，不要自卑。
请看图片并分析自卑的危害：
轮椅上的科学巨匠
正确认识自尊自信，掌握正确的尺度
1、要自尊自信，不要虚荣忌妒。 2、要自尊自信，不要自卑。 3、要自尊自信，不要自傲自负。
“虚心使人进步，骄傲使人落后”。虚心是自尊自信的表现。
因为上述因素的影响，常常使青少年不能正确对待自尊自信。所以，正确认识自尊自信，掌握正确的尺度，对青少年树立自尊自信是十分重要的。
正确认识自尊自信，掌握正确的尺度
1、要自尊自信，不要虚荣忌妒。
看图片并讨论：问：图片中的女孩只因别人的一句话而盲目减
肥，摧残自己的身体，最终住进了医院。她的这种做法是自尊自信的表现吗？你在生活中有没有类似的行为呢？
）；
反之（
）。
你是班干部，威信很高，你的感受是（
）；
反之（
）。
你的学习成绩很优秀，你的感受是（
）；
反之（
）。
你自认为长得不好看，同学也因为你的丑嘲笑你，你的
感受是（
）；同学鼓励你，你的感受是（）。
结论
青少年是否具有自尊自信，能否正确对待自尊自信，要受到多种因素的影响。这些因素包括：父母、老师对自己的态度和评语；在学校集体中的位置；学习成绩的优劣；个人对自己的认识和评价能力等等。

等比数列课件-1

共同特点：从第2项起，每一项与其前一项的比都等于同一个常数.
6
定义：如果一个数列从第二起，每一项与它的前一项的
比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做公比，记为q(q≠0)
数学语言： a n 1 q an
特征：（1）每项均不为0，且q≠0 （2）各项均为负数，或，均为正数，或，正负相间
D.20
小结
课后作业
思考题：已知四个数，前三个数成等比数列，它们的和19，后三个数成等差数列，它们的和12，求这四个数
谢谢
20
an 2 2n1 2n
an
1 2
( 1 )n1 2
(1 2
)n
(5) 5，5，5，5，5，5，… (6) 1，-1，1，-1，1，…
an 51n1 5
an (1)n1
12
思考：你能通过对公比 q 的不同取值的讨论，对等比数列进行分类吗？
当 a10,q1 时，该数列为递增数列
当 a10,0q1 时，该数列为递减数列
当 a10,q1 时，该数列为递减数列
当 a0,0q1时，该数列为递增数列
当 a10,q1 时，该数列为非零常数列
当 q0 时，该数列为摆动数列
13
三.等比中项
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后组成的新的三个数就会成为一个等比数列：
（1）1，±3， 9
（2）-1， ±2 ，-4
（3）-12，±6 ，-3
1， 1， 1， 1，1 ， … 2 4 8 16
某种汽车购买时的价格是36万元，每年的折旧率是10%，求这辆车各年开始时的价格（单位：万元）。
各年汽车的价格组成数列：
36，36×0.9，36×0.92, 36×0.93,…