导数与极值
导数与极值
当a=2,b=9时,f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3).
当x∈(-3,-1)时,f(x)为减函数;当x∈(-1,+∞)时, f(x)为增函数,
所以f(x)在x=-1时取得极小值,因此a=2,b=9.
【规律总结】 1.求参数值:利用函数的极值确定参数的值,常根据极
值点处导数为0和极值两个条件列方程组,利用待定系
(2)函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附 近其他点的函数值都大, 则b叫做极大值点,f(Байду номын сангаас) f′(b)=0 叫做函数y=f(x)的极大值. 其中_________,在点x=b f′(x)>0 附近的左侧 _________,右侧_________, f′(x)<0
【练习】 1.函数y=f(x)的导数y′与函数值和极值之间的关系为
【解析】因为在点x2左侧导数图象在x轴上方,导数为 正,在点x2右侧附近导数图象在x轴下方,导数为负,故
点x2为极大值点,因为在点x4左侧导数图象在x轴下方,
导数为负,在点x4右侧附近导数图象在x轴上方,导数为 正,故点x4为极小值点.
答案:x2 x4
【注意事项】 1.函数的极值可以在区间端点处取得吗? 提示:不可,因为在端点处不能反映两侧的函数值的变 化情况,况且端点处的导数不一定为0.
书本P38
【题型探究】 类型一:求函数的极值
书本P39例题2
【规律总结】求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)定区间求导:确定函数的定义域,求导数f′(x). (2)解方程:求方程f′(x)=0的根. (3)列表:用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若
干个小开区间,并列成表格.
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系_知识点总结
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系_知识点总结高考数学知识点：函数的极值与导数的关系极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）=0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，函数的最大值和最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
导数与函数极值最值
导数与函数的极值与最值1. 函数的极值⑴．判断 f (x 0)是极值的方法一般地，当函数 y ＝f (x )在点 x 0 处连续时，①．如果在 x 0 附近的左侧 f ′(x )＞0，右侧 f ′(x )＜0，那么 f (x 0)是极大值； ②．如果在 x 0 附近的左侧 f ′(x )＜0，右侧 f ′(x )＞0，那么 f (x 0)是极小值． ⑵．求可导函数极值的步骤：①．求 f ′(x )；②．求方程 f ′(x )＝0 的根；③．检查 f ′(x )在方程 f ′(x )＝0 的根左右值的符号．如果左正右负，那么 y ＝f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 y ＝f (x )在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．2. 函数的最值⑴．在闭区间[a ，b ]上连续的函数 y ＝f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．⑵．若函数 f (x )在[a ，b ]上单调递增，则 f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数 f (x )在[a ，b ]上单调递减，则 f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．⑶．设函数 f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求 f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下： ①．求 f (x )在(a ，b )内的极值；②．将 f (x )的各极值与 f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 3. 利用极值求参数1. 极值点使得导函数为0，即极值点为导函数的零点.2. 极值点的个数就是导函数变号零点的个数3. 方法：①直接法：直接求方程，得到方程的根，在通过解不等式确定参数取值范围； ②分离参数法：将参数分离，构造新函数转化成求最值或者值域的问题； ③数形结合：先对解析式变形，在坐标系中画出函数图像，通过找交点求解.题型一 求极值【例1】(1)（2019·湖北高二期末）函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则（ ）A ．12为()f x 的极大值点 B ．2-为()f x 的极大值点 C ．2为()f x 的极大值点D ．45为()f x 的极小值点 (2)（2019·黑龙江铁人中学高二期中（文））函数()()2312f x x =-+的极值点是（ ） A ．0x =B ．1x =C ．1x =-或1D ．1x =或0【解析】(1)对于A 选项，当122x -<<时，()0f x '>，当122x <<时，()0f x '<，12为()f x 的极大值点，A 选项正确；对于B 选项，当2x <-时，()0f x '<，当122x -<<时，()0f x '>，2-为()f x 的极小值点，B 错误； 对于C 选项，当122x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>，2为()f x 的极小值点，C 选项错误； 对于D 选项，由于函数()y f x =为可导函数，且405f ⎛⎫'<⎪⎝⎭，45不是()f x 的极值点，D 选项错误.故：A. (2)函数的导数为2233()2(1)(3)6(1)f x x x x x '=-⨯=-， 当()0f x '=得0x =或1x =，当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<， 所以1x =是极小值点.当0x <时，()0f x '<，当01x <<时，()0f x '<， 所以0x =不是极值点.故选B .【举一反三】1．（2018·安徽高二期末（理））函数()321313f x x x x =+--的极小值点是（ ） A ．1B ．（1，﹣83）C ．3-D ．（﹣3，8）【解析】()223f x x x =+-'，由2230x x +-=得31x =-或 函数()321313f x x x x =+--在(),3-∞-上为增函数，()3,1-上为减函数， ()1+∞，上为增函数，故()f x 在1x =处有极小值，极小值点为1.选A 2．（2019·安徽高二月考（文））已知函数()2ln f x ax b x =+在点M (1,1)处的切线方程为230x y +-=.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）求函数()y f x =的单调区间和极值.【答案】（1）f (x )=x 2-4lnx （2）函数()f x 的单调递增区间是(，单调递减区间是)+∞.极小值为22ln 2-，无极大值 【解析】（1）()2bf x ax x'=+， 因为点M (1,1)处的切线方程为2x +y -3=0，所以()()11122f a f a b ⎧==⎪⎨=+=-'⎪⎩,所以14a b =⎧⎨=-⎩，则f (x )=x 2-4lnx ;（2）定义域为(0,+∞),()24242x f x x x x-'=-=,令()0f x '=，得x =. 列表如下：故函数()f x 的单调递增区间是(，单调递减区间是)+∞.极小值为222ln 2f=-=-，无极大值.题型二 求最值【例2】（2019·黑龙江铁人中学高二期中 ）函数32()32f x x x =-+在区间[－1，1]上的最大值是（ ） A ．4 B ．2 C ．0 D ．－2【答案】B【解析】令()2360f x x x '=-=，解得0x =2x =.()()()()02,22,12,10f f f f ==--=-=，故函数的最大值为2，所以本小题选B.【举一反三】1．（2019·湖南高一月考）已知函数2()4,[0,3],f x x x a x =-++∈若()f x 有最小值2-，则()f x 的最大值为____【解析】二次函数()y f x = 在[]0,2x ∈ 单调递增，当(]2,3x ∈ 单调递减故在x=0时取得最小值，即a=2题型三 利用极值最值求参数【例3】(1)（2019·河北唐山一中高三期中（理））若2x =-是函数21()(1)ex f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）．A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．1(2)（2019·贵州省铜仁第一中学高三（文））若函数()333f x x bx b =-+在()0,1内有极小值，则b 的取值范围为（ ） A ．01b <<B ．1b <C ．0b >D ．12b <(3)（2019·安徽高二月考（文））若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是 A ．[－5，0)B ．(－5，0)C ．[－3，0)D ．(－3，0)【答案】(1)A(2)A(3)C 【举一反三】1.已知是函数的极小值点，则的范围是_____2.已知是函数的极小值点，则取值范围________3.已知函数有两个极值点，且，则（ ）4.（2019·新疆高三月考）已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是____．5.若函数在区间内有极值，则取值范围（ C ）0x =()()()22222f x x a x a x a=-++a ()(),02,-∞⋃+∞1x =()()()2202xk f x x e x kx k =--+>k ()0,e ()221ln f x x x a x =-++12,x x 12x x <D ()212ln 2.4A f x +<-()212ln 2.4B f x -<()212ln 2.4C f x +>-()212ln 2.4D f x ->()()()2122ln 02ax f x a x x a =-++>1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭a6. 若函数在上有小于零的极值点，实数的取值范围是（ ）7. 若函数在区间恰有一个极值点，则实数取值范围______.8. 已知函数在区间上至少有一个极值点，实数取值范围______ 课后训练：1．（2019·江西高三期中（文））若函数()32236f x x mx x =-+在区间()1,+∞上存在极值点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞ B ．(),1-∞ C ．(],2-∞ D ．()2,+∞【答案】D 【解析】依题意()'2666f x x mx =-+，由于函数()32236f x x mx x =-+在区间()1,+∞上存在极值点，所以()'2666fx x mx =-+在区间()1,+∞上有正有负，由于二次函数()'2666f x x mx =-+开口向上，对称轴为2m x =，2364660m ∆=-⨯⨯>，解得2m <-或2m >.当2m <-时，对称轴12mx =<-，()'060f =>故此时在区间()1,+∞上()'0f x >，函数()f x 单调递增，没有极值点.当2m >时，由于()'16661260f m m =-+=-<，且二次函数()'2666f x x mx =-+开口向上，故()'2666f x x mx =-+区间()1,+∞上必存在零点，也即()f x 在区间()1,+∞上存在极值点. 故选：D.2．（2019·陕西高三（文））函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是 （ ） A ．0a > B ．0a ≥ C ．0a < D ．0a ≤【答案】C【解析】因为2()31f x ax '=+，所以221()31030f x ax a x =+=⇒=-<'，即0a <，应选答案C 。
导数与函数的极值、最值
知识要点
双基巩固
典型例题
易错辨析
提升训练
【解】 (1)因 f(x)＝x3－6x2＋3x＋1， 所以 f′(x)＝3x2－12x＋3， ∴f′(x)＝3(x－2＋ 3)(x－2－ 3)． 当 f′(x)>0 时，x>2－ 3，或 x<2＋ 3； 当 f′(x)<0 时，2－ 3<x<2＋ 3. ∴f(x)的单调增区间是(－∞，2－ 3)，(2＋ 3，＋∞)，单调减 区间是(2－ 3，2＋ 3)．
解析：f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0得，x1＝－2，x2＝2. 当x＜－2时，f′(x)＞0，－2＜x＜2时，f′(x)＜0，f(x)在x＝－2处取 得极大值．
答案：－2
知识要点
双基巩固
典型例题
易错辨析
提升训练
x2＋a 5．若函数 f(x)＝ 在 x＝1 处取极值，则 a＝________. x＋1 解析：∵f(x)在 x＝1 处取极值，∴f′(1)＝0.
知识要点
双基巩固
典型例题
易错辨析
提升训练
2．函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图 所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：极值点在f′(x)的图象上应是f′(x) 的图象与x轴的交点的横坐标，且极小 值点的左侧图象在x轴下方，右侧图象
知识要点
双基巩固
典型例题
易错辨析
提升训练
∵g(x)在 x＝0 和 x＝2 点处连续， 又∵g(0)＝1，g(1)＝2－ln 4，g(2)＝3－ln 9， 且 2－ln 4<3－ln 9<1， ∴g(x)的最大值是 1， g(x)的最小值是 2－ln 4. 所以在区间[0,2]上原方程恰有两个相异的实根时实数 a 的 取值范围是： 2－ln 4<a≤3－ln 9.
一轮复习--导数与函数的极值、最值
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊 重，相互包容，相互懂得，才能走的更远。 相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！ 择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓 言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。 人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的 开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。 然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。 忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合，月有阴晴圆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪， 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。 人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时， 你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。 岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。 一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
3.3.2函数的极值与导数
1 3 的极值. 例1 求函数 f (x) = x − 4x + 4的极值 3 解: 1 3 ′(x) = x2 − 4. 因为 f (x) = x − 4x + 4, 所以 f 3 令 f ′(x) = 0, 解得 x = 2, 或 x = −2. 当 f ′(x) > 0 , 即 x > 2 , 或 x < −2 ; 当 f ′(x) < 0 , 即 − 2 < x < 2 .
导数为0的点不一定是极值点 • 2．导数为 的点不一定是极值点 导数为 的点不一定是极值点．
练习1 练习
下图是导函数 y 的图象, y = f ′(x) 的图象 试找出函数 y = f (x) 的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点. 的极值点 并指出哪些是极大值点 哪些是极小值点
y = f ′(x)
+
求导—求极点 列表 求导 求极点—列表 求极值 求极点 列表—求极值
x0
练习2 练习
求下列函数的极值: 求下列函数的极值
(1) f (x) = 6x − x − 2; (2) f (x) = x − 27x; 3 3 (3) f (x) = 6 +12x − x ; (4) f (x) = 3x − x . 解: 1 列表: (1) f ′(x) =12x −1, 令 f ′(x) = 0, 解得 x = . 列表 12
2 3
x
f ′(x)
f (x)
1 (−∞, ) 12
–
1 12 0
1 ( ,+∞) 12 +
单调递减
49 − 24
单调递增
1 49 1 所以, 所以 当 x = 时, f (x)有极小值 f
函数的极值与导数的教案
函数的极值与导数一、教学目标1. 理解导数的定义和几何意义2. 学会求函数的导数3. 理解函数的极值概念4. 学会利用导数研究函数的极值二、教学内容1. 导数的定义和几何意义2. 常见函数的导数3. 函数的极值概念4. 利用导数研究函数的单调性5. 利用导数求函数的极值三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义和几何意义，常见函数的导数，函数的极值概念，利用导数求函数的极值2. 难点：导数的运算法则，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值四、教学方法1. 采用讲授法讲解导数的定义、几何意义、常见函数的导数及函数的极值概念2. 利用例题解析法讲解利用导数研究函数的单调性和求函数的极值3. 组织学生进行小组讨论和互动，巩固所学知识五、教学过程1. 导入：复习导数的定义和几何意义，引导学生思考如何求函数的导数2. 新课：讲解常见函数的导数，引导学生掌握求导数的方法3. 案例分析：利用导数研究函数的单调性，求函数的极值，引导学生理解和应用所学知识4. 练习与讨论：布置练习题，组织学生进行小组讨论，解答练习题5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，布置课后作业，引导学生思考如何利用导数研究更复杂的函数极值问题六、课后作业1. 复习导数的定义和几何意义，常见函数的导数2. 练习求函数的导数3. 利用导数研究函数的单调性，求函数的极值七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习状态2. 练习与讨论：评估学生在练习题和小组讨论中的表现，检验学生对知识的掌握程度3. 课后作业：检查课后作业的完成情况，评估学生对课堂所学知识的巩固程度六、教学策略的调整1. 根据学生的课堂反馈，适时调整教学节奏和难度，确保学生能够跟上教学进度。
2. 对于学生掌握不够扎实的知识点，可以通过举例、讲解、练习等多种方式加强巩固。
3. 鼓励学生提出问题，充分调动学生的主动学习积极性，提高课堂互动性。
七、教学案例分析1. 通过分析具体案例，让学生理解导数在实际问题中的应用，例如在物理学中的速度、加速度的计算。
《函数的极值与导数》教案完美版
《函数的极值与导数》教案完美版第一章：极值的概念与性质1.1 极值的定义引入极值的概念，解释函数在某一点的局部性质。
通过图形和实例直观展示极值的存在。
1.2 极值的判定条件介绍函数的导数与极值的关系，讲解导数为零的必要性和充分性。
分析导数为正和导数为负时函数的单调性，得出极值的判定条件。
1.3 极值的判定定理介绍罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理在极值判定中的应用。
证明极值的判定定理，并通过实例进行验证。
第二章：导数与函数的单调性2.1 导数的定义与计算引入导数的概念，解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
讲解导数的计算规则，包括常数函数、幂函数、指数函数和三角函数的导数。
2.2 导数与函数的单调性分析导数正负与函数单调性的关系，得出单调递增和单调递减的定义。
通过实例和图形展示导数与函数单调性的联系。
2.3 单调性的应用讲解利用单调性解决函数极值问题的方法。
分析函数的单调区间和极值点，得出函数的单调性对极值的影响。
第三章：函数的极值点与导数3.1 极值点的定义与判定引入极值点的概念，解释极值点是函数导数为零或不存在的点。
讲解极值点的判定方法，包括导数为零和导数不存在的条件。
3.2 极值点的求解方法介绍求解极值点的方法，包括解析法和数值法。
讲解如何利用导数和图形求解函数的极值点。
3.3 极值点的应用分析极值点在实际问题中的应用，如最优化问题。
举例说明如何利用极值点解决实际问题。
第四章：函数的拐点与导数4.1 拐点的定义与判定引入拐点的概念，解释拐点是函数导数由正变负或由负变正的点。
讲解拐点的判定方法，包括导数的正负变化和二阶导数的符号。
4.2 拐点的求解方法介绍求解拐点的方法，包括解析法和数值法。
讲解如何利用导数和图形求解函数的拐点。
4.3 拐点的应用分析拐点在实际问题中的应用，如曲线拟合和物体的运动。
举例说明如何利用拐点解决实际问题。
第五章：函数的极值与图像5.1 极值与函数图像的关系分析极值点在函数图像中的位置和特征。
函数的极值与导数(教案
函数的极值与导数第一章：函数极值概念的引入1.1 教学目标让学生了解极值的概念，理解极大值和极小值的区别。
学会通过图像来观察函数的极值。
掌握利用导数求函数极值的方法。
1.2 教学内容函数极值的定义利用图像观察函数极值利用导数求函数极值1.3 教学步骤1. 引入极值的概念，让学生通过具体的例子来理解极大值和极小值。
2. 通过图像来观察函数的极值，引导学生学会从图像中找出极大值和极小值。
3. 讲解利用导数求函数极值的方法，让学生通过例题来掌握这个方法。
1.4 作业布置f(x) = x^3 3x^2 + 3x 1g(x) = x^2 4x + 4第二章：函数的单调性2.1 教学目标让学生理解函数单调性的概念，学会判断函数的单调性。
掌握利用导数来判断函数的单调性。
2.2 教学内容函数单调性的定义利用导数判断函数单调性2.3 教学步骤1. 引入函数单调性的概念，让学生通过具体的例子来理解函数单调性。
2. 讲解利用导数来判断函数单调性的方法，让学生通过例题来掌握这个方法。
2.4 作业布置h(x) = x^3 3xk(x) = x^2 4x + 3第三章：函数的极值定理3.1 教学目标让学生了解函数的极值定理，学会应用极值定理来解决问题。
3.2 教学内容函数的极值定理3.3 教学步骤1. 讲解函数的极值定理，让学生理解极值定理的意义。
2. 通过例题让学生学会应用极值定理来解决问题。
3.4 作业布置求函数f(x) = x^3 3x^2 + 3x 1 的极大值和极小值。
第四章：函数的拐点4.1 教学目标让学生了解拐点的概念，学会通过导数来找函数的拐点。
4.2 教学内容拐点的定义利用导数找拐点4.3 教学步骤1. 引入拐点的概念，让学生通过具体的例子来理解拐点。
2. 讲解利用导数来找拐点的方法，让学生通过例题来掌握这个方法。
4.4 作业布置m(x) = x^3 3xn(x) = x^2 4x + 4第五章：函数的单调性与极值的应用5.1 教学目标让学生学会运用函数的单调性和极值来解决实际问题。
导数与函数的极值与最值
导数与函数的极值与最值在微积分中，导数是描述函数局部变化率的工具，而函数的极值和最值则是函数在特定区间内取得的最大值和最小值。
导数与函数的极值与最值密切相关，通过导数的计算可以确定函数的极值和最值点的位置。
本文将探讨导数与函数的极值与最值之间的关系。
一、导数与函数的极值在微积分中，导数反映了函数在某一点的变化率。
对于函数f(x)，若存在导数f'(a)，则在点a处函数f(x)在该点的变化速率为f'(a)。
导数的正负决定了函数的增减性，即导数大于0表示函数在该点上升，导数小于0表示函数在该点下降。
函数的极值点即为函数在区间内的最值点，包括极大值和极小值。
在导数的帮助下，我们可以通过求解导数为零的点来确定函数的极值点。
根据费马定理，对于可导的函数f(x)，如果函数在某一点x=a处取得极值，且f'(a)存在，则f'(a)=0或f'(a)不存在。
为了确定函数的极值点，我们需要进行以下步骤：1. 求函数的导数f'(x)；2. 找到导数为零或不存在的点，即f'(x)=0或f'(x)不存在的点；3. 对求得的点进行二阶导数测试，判断其是极大值还是极小值。
二、导数与函数的最值除了极值点外，函数在特定区间内还可能有最大值和最小值。
与极值点不同，最值点可能出现在函数的端点或者函数在区间内的某个点上。
因此，函数的导数对于确定最值点的重要性较小。
对于区间[a, b]上的函数f(x)，要确定函数的最大值和最小值，可以按照以下步骤进行：1. 求函数在区间[a, b]内的导数f'(x)；2. 找到区间内的所有导数为零或不存在的点，即f'(x)=0或f'(x)不存在的点；3. 将导数为零或不存在的点与区间的端点进行比较，确定最大值和最小值。
需要注意的是，求得的极值和最值点可能存在于导数为0或不存在的点上，也可能出现在区间的端点上。
因此，在寻找最值点时，需要综合考虑这些情况。
《函数的极值与导数》教案完美版
《函数的极值与导数》教案完美版第一章：极值的概念与定义1.1 极值的概念引入极值的概念，让学生了解函数在某一点取得局部最值的含义。
通过图像和实际例子来说明极值的存在和重要性。
1.2 极值的定义介绍极值的定义，包括局部极值和全局极值。
解释极值的必要条件和充分条件。
第二章：导数与极值的关系2.1 导数的定义与性质复习导数的定义和基本性质，包括导数的符号变化与函数单调性的关系。
2.2 导数与极值的关系引入导数与极值的关系，讲解导数为零的点可能是极值点的原理。
通过实例来说明导数在判断极值中的作用。
第三章：一元函数的极值判定3.1 判定极值的存在性介绍判定极值存在性的方法，包括罗尔定理和拉格朗日中值定理。
3.2 判定极值的具体方法讲解利用导数符号变化判断极值的方法，包括导数单调性和零点存在性定理。
第四章：多元函数的极值4.1 多元函数极值的概念引入多元函数极值的概念，让学生了解多元函数在不同维度上的极值问题。
4.2 多元函数极值的判定讲解多元函数极值的判定方法，包括拉格朗日乘数法和海森矩阵。
第五章：实际应用中的极值问题5.1 应用背景介绍通过实际例子介绍极值在各个领域中的应用，如优化问题、物理学、经济学等。
5.2 实际应用案例分析分析具体案例，让学生了解如何运用极值理论和方法解决问题。
第六章：利用极值解决实际问题6.1 优化问题概述介绍优化问题的概念，解释最小值和最大值在优化问题中的作用。
举例说明优化问题在工程、经济等领域的应用。
6.2 利用极值解决优化问题讲解如何利用函数的极值解决优化问题，包括确定最优解的方法和步骤。
通过实际案例分析，让学生掌握优化问题的解决技巧。
第七章：函数极值的存在性定理7.1 拉格朗日中值定理复习拉格朗日中值定理的内容，解释其在函数极值存在性判断中的应用。
利用拉格朗日中值定理证明函数极值的存在性。
7.2 罗尔定理与极值存在性讲解罗尔定理的内容及其在函数极值存在性判断中的应用。
结合罗尔定理和拉格朗日中值定理，证明函数极值的存在性。
导数与函数的极值最值
2．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值 与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则___f(_a_)_为函数的最小 值，__f_(b_)__为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减， 则___f(_a_)__为函数的最大值， __f_(b_)__为函数的最小值．
a＝1，
∴f1＝－b＝－12，
解得b＝12.
(2)由(1)得 f(x)＝ln x－12x2， 则 f′(x)＝1x－x＝1－x x2， ∵当1e≤x≤e 时，令 f′(x)＞0 得1e≤x＜1； 令 f′(x)＜0，得 1＜x≤e，∴f(x)在1e，1上单调递增，在[1， e]上单调递减，∴f(x)max＝f(1)＝－12.
)
A.137
B．－137
4
2
C.e4
D.e2
[解析] f′(x)＝x2＋2x－3，f′(x)＝0，x∈[0,2]， 得 x＝1.比较 f(0)＝－4，f(1)＝－137，f(2)＝－130.可知最小 值为－137. [答＞0 是 f(x)为增函数的充要条件． ②函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的． ③函数的极大值不一定比极小值大． ④对可导函数 f(x)，f′(x0)＝0 是 x0 点为极值点的充要条件． ⑤函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定 是极小值． 其中真命题的是________．(写出所有真命题的序号)
[解析] 由题图可知，当 x＜－2 时，f′(x)＞0；当－2＜x ＜1 时，f′(x)＜0；当 1＜x＜2 时，f′(x)＜0；当 x＞2 时，f′(x) ＞0.由此可以得到函数 f(x)在 x＝－2 处取得极大值，在 x＝2 处 取得极小值．
[答案] D
函数的极值与导数
极大值 和_______ 极小值 统称为极值． 极值点，_______
练习1：指出下图中的极大值、极小值、极 值点、极值
y y=f(x) P(x1,f(x1)) Q(x2,f(x2)) o a x1 x2 x3 b x
4
2、上图的左右端点是极值点吗？极值点 在图像的什么地方出现？ 3、一个函数只有一个极大值和一个极小 值吗？它的极大值一定大于它的极小值吗？
• 1.理解极大值、极小值的概念． • 2.会用导数求最高次幂不超过三次的 多项式函数的极大值、极小值． 重点： 利用导数求函数的极大值、极小值．
（一）导学案自主探究（一） 在点t=a附近的图像有什么特点（自左向右上 升还是下降）？此点附近的导数符号有什么 变化？在t=a时，函数h(t)在此点的导数是多少？
∴a＝－6，b＝9. ………………………6 分
• (2)f′(x)＝－18x2＋18x＝－18x(x－1) ……… ……… 8分 • 当f′(x)＝0时，x＝0或x＝1. • 当f′(x)>0时，0<x<1； • 当f′(x)<0时，x<0或x>1. ……… ……… ……… ……… 10分 • ∴函数f(x)＝－6x3＋9x2的极小值为 f(0)＝0. ……… 12分
3
当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
－
1
(1，＋
∞)
f ′ (x )
＋
0
－
0
＋
f(
x)
极
大值
极
小值
2 ∴f(x)的递增区间为－∞，－3和(1，＋∞)，递减区间 2 为－3，1. 2 49 2 当 x＝－3时，f(x)有极大值，f－3＝27；
导数求极值公式
您好！
1、求极大极小值步骤：
求导数f'(x)；
求方程f'(x)=0的根；
检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。
f'(x)无意义的点也要讨论。
即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)无意义的点，再按定义去判别。
2、求极值点步骤：
求出f'(x)=0,f"(x)≠0的x值；
用极值的定义（半径无限小的邻域f(x)值比该点都小或都大的点为极值点），讨论f(x)的间断点。
上述所有点的集合即为极值点集合。
扩展资料：
定义：
若函数f(x)在x₀的一个邻域D有定义，且对D中除x₀的所有点，都有f(x)<f(x₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极大值。
同理，若对D的所有点，都有f(x)>f(x₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极小值。
极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题。
根据极值定律，定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。
如果极值点不是边界点，就一定是内点。
因此，这里的首要任务是求得一个内点成为一个极值点的必要条件。
——容选自网络，仅供参考。
导数与极值
为了师生的和谐发展
学生活动
（1）极值是函某数一的点最附值近吗的？小区间而言 的,是函数的局部性质,不是整体的最值;
（2）函数的极值只不有一一定个惟吗一？,在整个定 义区间内可能有多个极大值和极小值；
（3）极大值一与定极比小极值小没值有还必大然吗关？系，
M
极大值可能比极小值还小.
函数的极值与导数
高二数学备课组 刘晓玉
为了师生的和谐发展
1.3.2 函数的极值与导数
【学习要求】 1．了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关
系，并会灵活应用. 2．掌握函数极值的判定及求法. 3．掌握函数在某一点取得极值的条件． 【学法指导】
函数的极值反映的是函数在某点附近的性质，是局部性质．通过研究 极值初步体会函数的导数作用.
当x＝3时，f(x)有极小值f(3)＝－22.
珠海市斗门区第一中学
为了师生的和谐发展
跟踪训练 1 求函数 f(x)＝3x＋3ln x 的极值．
解 函数f(x)＝3x＋3ln x的定义域为(0，＋∞)， 1、求定义域
f′(x)＝－x32＋3x＝3xx－2 1.
2、求导函数f′(x)
令f′(x)＝0，得x＝1.
由极值点的必要条件可知：f′(1)＝f′(2)＝0，
∴a＋2b＋1＝0且a2＋4b＋1＝0， 解方程组得，a＝－23，b＝－16.
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跟踪训练 2 设 x＝1 与 x＝2 是函数 f(x)＝aln x＋bx2＋x 的两个极值点． (1)试确定常数 a 和 b 的值； (2)判断 x＝1，x＝2 是函数 f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
例 2 已知 f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2 在 x＝－1 时有极值 0，求常数 a，b 的值．
导数与极值
函数的极值与导数是什么？
分两种情况：
1、可导函数的极值点导数一定等于0，但是如果没有前面的“可导”两个字就错了，如函数f(x)=｜x｜，在x=0 时是极值点，但是x=0这点导数不存在。
2、导数等于0的点也不一定是极值点，如函数f(x)=sinx，在x=0处导数等于0 但是x=0时不是极值点。
要判断是否是极值点，除了导数等于0，还要判断这个点左右导数值是否相反。
函数可导的条件：
如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义。
函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在，只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。
可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。
函数的极值与导数函数的最大(小)值与导数
1.3.2 函数的极值与导数 1.3.3 函数的最大（小）值与导数一、知识点阅读1. 函数的极值与极值点设函数)(x f 在点0x 及其附近有定义，且对0x 附近的所有点x 都有)()(0x f x f <，则称)(0x f 为函数的一个极大值，称0x 为极大值点.设函数)(x f 在点0x 及其附近有定义，且对0x 附近的所有点x 都有)()(0x f x f >，则称)(0x f 为函数的一个极小值，称0x 为极小值点.注意：①极值分为极大值和极小值，二者都是函数值，是y 的取值；②极值点分为极大值点和极小值点，二者都是自变量值，是x 的取值； ③极值点总是定义域内部的点，区间端点值不可能为函数的极值点，极值点可能不止一个，可能也没有，且函数的极小值不一定比极大值小. 2. 求函数)(x f 的极值的步骤（1）确定函数)(x f 的定义域，求导数)('x f ； （2）求方程0)('=x f 的根；（3）用方程的根顺次将定义域分成若干个小区间，并列表判断)('x f 在各个根左右的正负：如果左正右负，那么)(x f 在这个根处取极大值；如果左负右正，那么)(x f 在这个根处取极小值；如果左右同号，那么)(x f 在这个根处不存在极值.例如：（1）若函数)(x f 的定义域为],[b a ，求导数)('x f ；（2）若解得方程0)('=x f 的根分别为21,x x ，且),(,21b a x x ∈；3. 函数)(x f 的最大值和最小值如果在区间],[b a 上可导函数)(x f y =的图象是一条连续不断的曲线，那么该函数在],[b a 上一定有最大值和最小值，且函数的最值必定在极值点或区间端点处取得.4. 函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值和最小值的求法 （1）当函数)(x f 在区间],[b a 上单调若)(x f 在],[b a 上单调递增，则最大值为)()(max b f x f =，最小值)()(min a f x f =； 若)(x f 在],[b a 上单调递减，则最大值为)()(max a f x f =，最小值)()(min b f x f =. （2）当)(x f 在],[b a 上不单调（即在],[b a 上既有递增的部分也有递减的部分） 第一步：先求出在),(b a 内的极值；第二步：比较各极值与端点函数值)(),(b f a f 的大小，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.注意：极值未必是最值，最值也未必是极值（理解）. 二、题型阅读例1 函数)(x f 的定义域为],[b a ，其导函数)('x f 在],[b a 上的图象如图所示，则函数在],[b a 上的极小值点为 ；极大值点为 .解：如图∵1x 左边0)('>x f ，右边0)('<x f ， ∴1x 为函数的极大值点；∵2x 左边0)('<x f ，右边0)('>x f ，同理判断4x 是极大值点，5x 是极小值点. ∵3x 左右两边导函数符号同号， ∴3x 不是极值点.综上，极小值点为2x ，5x ；极大值点为1x ，4x . 例2 求函数193)(23+--=x x x x f 的极值. 解：依题意963)('2--=x x x f .解方程09632=--x x ，得11-=x ，32=x .由上表知，)(x f 的极大值为6；极小值为-26. 例3 求函数1)(23+-+=x x x x f 在]1,2[-的最大值和最小值.解：依题意求导123)('2-+=x x x f .解方程01232=-+x x ，得11-=x ，312=x . ∵端点函数值11)2()2()2()2(23-=+---+-=-f ，21111)1(23=+-+=f ，极值为21)1()1()1()1(23=+---+-=-f ，2722131)31()31()31(23=+-+=f . ∴函数)(x f 在]1,2[-上的最大值为2，和最小值－1.【模仿2】求函数3)(x x x f -=的极值.【模仿3】已知函数193)(23+--=x x x x f ，则)(x f 在区间]4,2[-的的最大值为 ，最小值为 .例4 已知函数23)(bx ax x f -=在点2=x 有极小值4-，试确定b a ,的值并判断)(x f 的单调性.解：依题意bx ax x f 23)('2-=，∵)(x f 在点2=x 有极小值4-， ∴04122223)2('2=-=⋅-⋅=b a b a f ① 44822)2(23-=-=⋅-⋅=b a b a f ②联立①②，得3,1==b a . ∴233)(x x x f -=，符合题意.由063)('2>-=x x x f ，得2,0><x x 或.因此，在区间)0,(-∞，),2(∞+上)(x f 为增函数， 在区间)2,0(上)(x f 为减函数.注意：0)('0=x f /⇒⇐)(x f 在0x x =处取极值；因为0x 有可能不在给定的区间内，所以左边不能推出右边.例5 已知函数c bx ax x x f +++=23)(在32-=x 与1=x 处都取极值.（1）试求b a ,的值；（2）若对]2,1[-∈x ，不等式2)(c x f <恒成立，求c的取值范围.解：（1）依题意b ax x x f ++=23)('2，由已知得⎪⎩⎪⎨⎧=++==+-⋅+-⨯=-，，023)1('0)32(2)32(3)32('2b a f b a f 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.2,21b a若对]2,1[-∈x ，不等式2)(c x f <恒成立，只需)(x f 在]2,1[-上的最大值2max )(c x f <即可.【模仿4】已知函数bx ax x x f --=23)(在点1-=x 有极大值5，试确定b a ,的值并判断)(x f 的单调性.比较]2,1[-上极值和端点函数值：2722)32(+=-c f ， 23)1(-=c f ，21)1(+=-c f ，2)2(+=c f .∴2)2()(max +==c f x f .∴22c c <+，解得2,1>-<c c 或. ∴c 的取值范围为),2()1,(∞+--∞ .小结：解答恒成立问题的一般思路是“分离参数，然后转化为最值问题”，例如a x f >)(恒成立⇔a x f >min )(；a x f <)(恒成立⇔a x f <max )(.三、综合训练1. 已知函数x x x f 3)(3+=，则)(x f 有（ ）A. 极大值4B. 极小值－4C. 不存在极值D. 极值点为±1 2. 已知函数93)(23-++=x ax x x f 在3-=x 处取得极值，则=a （ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3. 已知函数x x x f -=3)(，则)(x f 有（ ）A. 极大值点为﹣2B. 极小值点－1C. 极大值为﹣2D. 极小值为0 4. 如图函数)(x f 的导函数)('x f 的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）A. 1是极小值点B. 2是极大值点C.23是极小值点 D. 2是极小值点5. 函数)(x f 在其定义域内可导，)(x f y =的大致图象如下图左所示，则导函数)('x f y =的大致图象为（ ）6. 函数13)(23+-=x x x f 的极小值点为 . 7. 函数x x x f ln )(-=在区间]2,0[上的最小值为 .8. 函数x x ax x f 2)(23++=在R 上有一个极值，则a 的取值为 ，若在R 上有两个极值，则a 的取值范围是.)x )))x A9. 当]2,1[∈x 时，不等式03423≥++-x x ax 恒成立，则a 的取值范围是 .10. 设函数x x x f ln 2)(2-=. （1）求函数)(x f 的极值；（2）若2)(a a x f ≥+恒成立，试求a 的取值范围.。
极值点和导数为零的关系
极值点和导数为零的关系
极值点是函数图像上的局部最大值或最小值，其中最大值称为极大值点，最小值称为极小值点。
同时，导数为零的点也被称为驻点。
极值点和
导数为零的点之间有如下关系：
1.极值点处的导数为零，但是导数为零的点不一定是极值点。
2.若函数在某个点的左侧导数为正，右侧导数为负，则该点是极大值点；若函数在某个点的左侧导数为负，右侧导数为正，则该点是极小值点。
3.若函数在某个点的左侧和右侧导数符号相同，则该点不是极值点。
综上所述，极值点和导数为零的点并不完全等价，但它们之间有密切
的联系。
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2.三次函数单调性与极值(设x1<x2) (1)当Δ≤0时,①若a>0,则f(x)在R上是增函数;
②若a<0,则f(x)在R上是减函数.
(2)当Δ>0时,①若a>0,则f(x)的增区间为(-∞,x1)和 (x2,+∞),减区间为(x1,x2),f(x1)为极大值,f(x2)为极
小值;②若a<0,则f(x)的减区间为(-∞,x1)和(x2,+∞),
【解析】函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有 三个不同的交点,即函数φ(x)=g(x)-f(x)的图象与x轴
的正半轴有且只有三个不同的交点.
因为φ(x)=x2-8x+6ln x+m,
6 2x 2 8x 6 2 x 1 x 3 (x＞0)， 所以φ′(x)= 2x 8 x x x
呢?
【解析】由例(2)解析可知:当m=-3或m=1时,直线y=m与 y=f(x)的图象有两个不同的交点;
当m<-3或m>1时,直线y=m与y=f(x)的图象只有一个交点.
2.(变换条件)若本例(2)中条件改为“已知函数f(x)= -x3+ax2-4在x= 4 处取得极值”,其他条件不变,小值f(1)=-3.
作出f(x)的大致图象如图所示:
因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点, 结合f(x)的图象可知,m的取值范围是(-3,1).
【延伸探究】 1.(变换条件,改变问法)若本例(2)“三个不同的交点”
改为“两个不同的交点”结果如何?改为“一个交点”
x x
x 3 x 1
x2
. 令f′(x)=0,得x=1.
当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (0,1) ↘ 1 0 3 (1,+∞) + ↗
因此当x=1时,f(x)有极小值f(1)=3.
类型二:利用函数极值求参数的值 同p21例题4
类型二:利用函数极值求参数的值 【典例2】(1)(2016·四川高考)已知a为函数f(x)=x3-
书本P38
【题型探究】 类型一:求函数的极值
书本P39例题2
【规律总结】求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)定区间求导:确定函数的定义域,求导数f′(x). (2)解方程:求方程f′(x)=0的根. (3)列表:用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若
干个小开区间,并列成表格.
(4) 判断:检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号, 如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果
当a=2,b=9时,f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3).
当x∈(-3,-1)时,f(x)为减函数;当x∈(-1,+∞)时, f(x)为增函数,
所以f(x)在x=-1时取得极小值,因此a=2,b=9.
【规律总结】 1.求参数值:利用函数的极值确定参数的值,常根据极
值点处导数为0和极值两个条件列方程组,利用待定系
f′(x)>0.
3.函数在点x=b处的情况呢? 提示:函数在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其
他点的函数值都大,f′(b)=0,且在点x=b附近的左侧
f′(x)>0,右侧f′(x)<0.
通过以上问题的探究,你能得到什么结论? 用文字语言描述:函数在图象拐弯处的导数值等于0,且
在该处左右两侧的导数值异号时取得极值.
1.3.2
函数的极值与导数
一、函数极值的概念及求法 观察图象回答下面问题
1.函数在点x=a的函数值与这点附近的函数值有什么大 小关系?
提示:函数在点x=a的函数值比它在点x=a附近的其他点
的函数值都小.
2.f′(a)等于多少?在点x=a附近,函数的导数的符号有 什么规律?
提示:f′(a)=0,在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧
y=f(x)的图象有三个不同交点,利用数形结合求出m的 范围.
【解析】(1)f′(x)=ex+xex=ex(1+x), 令f′(x)=0得x=-1.易判断x=-1为极值点,
因为f(-1)=-e-1= 1 ,
e 1 .因为切线斜率为0, 所以切点为 (1， ) e
所以所求得切线方程为y= 1 .
【解析】因为在点x2左侧导数图象在x轴上方,导数为 正,在点x2右侧附近导数图象在x轴下方,导数为负,故
点x2为极大值点,因为在点x4左侧导数图象在x轴下方,
导数为负,在点x4右侧附近导数图象在x轴上方,导数为 正,故点x4为极小值点.
答案:x2 x4
【注意事项】 1.函数的极值可以在区间端点处取得吗? 提示:不可,因为在端点处不能反映两侧的函数值的变 化情况,况且端点处的导数不一定为0.
取值范围.
4 【解析】由题意可得f′(x)=-3x2+2ax,由f′ ( ) =0, 3
可得a=2,所以f(x)=-x3+2x2-4,
则f′(x)=-3x2+4x.
令f′(x)=0,得x=0或x= 4 ,
3
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表
x
(-∞,0)
0
4 (0， ) 3
4 3
4 ( ， ) 3
【解析】(1)选D. f′(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2) ,令 f′(x)=0,得x=-2或x=2,易知f(x)在(-2,2)上单调递减,
在 (2, ) 上单调递增,故f(x)的极小值为f(2),所以a=2.
(2)因为f(x)在x=-1时有极值0, 且f′(x)=3x2+6ax+b,
为__________.
(2)已知函数f(x)=x3-3ax-1(a≠0).若函数f(x)在x=-1 处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交
点,求m的取值范围.
【解题指南】(1)先求出极值,再求出切点坐标,然后利 用导数求出切线斜率,最后得切线方程.
(2)先由已知条件求出a值,确定f(x),再由直线y=m与
答案:y= 1
e
e
(2)因为f(x)在x=-1处取得极值, 所以f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,所以a=1.
所以f(x)=x3-3x-1,f′(x)=3x2-3,
由f′(x)=0解得x1=-1,x2=1. 当x<-1时,f′(x)>0;
当-1<x<1时,f′(x)<0;
当x>1时,f′(x)>0. 所以由f(x)的单调性可知,f(x)在x=-1处取得极大值
f 1 0, 3 6a b 0, 所以 即 2 1 3a b a 0. f 1 0
a 1, a 2， 解之得 或 b 3 b 9.
当a=1,b=3时,f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0, 所以f(x)在R上为增函数,无极值,故舍去.
值27,当x=1时,f(x)有极小值-5.
【巩固训练】函数f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3 时取得极值,则a=________.
【解析】因为f′(x)=3x2+2ax+3,又f(x)在x=-3时取得
极值, 所以f′(-3)=30-6a=0,则a=5.
答案:5
类型三:函数极值的综合应用 【典例3】(1)函数f(x)=xex在其极值点处的切线方程
数法求解.
2.检验:因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”
的充要条件,所以利用待定系数法求解后,必须验证根 的合理性.
【巩固训练】1.求函数y=2x+ 8 的极值.
x
【解析】函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
y′=2- 82 ,令y′=0,得x=±2.
x
当x变化时,y′,y的变化情况如下表: x (-∞,-2) -2 (-2,0) (0,2) 2 (2,+∞) y′ + 0 0 + y 单调递增 -8 单调递减 单调递减 8 单调递增
左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右
不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值.
3 练习：求函数f(x)= +3ln x的极值. x
【解题指南】首先确定函数的定义域,再对函数求导,
解导数方程,判断方程根左右两侧的符号,求极值.
【解析】函数f(x)= 3 +3ln x的定义域为(0,+∞), f′(x)= 3 3 2
增区间为(x1,x2),f(x1)为极小值,f(x2)为极大值.(如 图所示) Δ>0 a>0 Δ≤0
a<0
【补偿训练】已知函数f(x)=-x2+8x,g(x)=6ln x+m.是 否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且
只有三个不同的交点?若存在,求出m的取值范围;若不
存在,说明理由.
(2)函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附 近其他点的函数值都大, 则b叫做极大值点,f(b) f′(b)=0 叫做函数y=f(x)的极大值. 其中_________,在点x=b f′(x)>0 附近的左侧 _________,右侧_________, f′(x)<0
【练习】 1.函数y=f(x)的导数y′与函数值和极值之间的关系为
(
)
A.导数y′由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值
B.导数y′由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值
C.导数y′由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值 D.导数y′由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值