北京大学线性代数期末考试
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组基，其中 α1 {1,1, 3, 0},α2 {1, 2, 0,1}, α3 {1,1,1,1}, α4 {2,1,3,1} 。
三． (20 分) 证明：秩为 r 的矩阵可以表示成 r 个秩为 1 的矩阵之和。 四． (10 分) 设 A Rmn 是实数域上的矩阵，证明： r( AT A) r( A) ，举例说明：如果将数
域扩大为复数域，即 ACmn ，则结论不成立。又对任意的 B Rms ，存在 C Rns 上的
使 AT AC AT B 。
铺
五． (10 分) 设 A Pnn , B Pns (s 0) ， r(A) n s, r(B) s ，那么 AB 0 的充分必要条
货 件是对于齐次线性方程组 Ax 0 的任意解 x0 Pn ，存在惟一的 y0 Ps ，使得 x0 By0 。
料杂 六．
(10 分)
假设在平面中给定了三条直线
i
:
ui
x
vi
y
wi
(i 1, 2,3) ,
围成一个有限面
积的三角形，试求：a) 三条直线满足的条件；b) 三角形的面积。如有可能，在空间中给
资 定了四个平面 i : ai x bi y ci z di (i 1, 2,3, 4) ，作相应的讨论。
学习 七．
(10 分)
微商
d dx
是线性空间
Pn [
x]（全体次数小于
n
的多项式以及零多项式）上的
线性变换。现设 n>1，
：
号 a) 对于任意的 α Pn[x] ，nα 0 ，但存在 β Pn[x]，使n1β 0 。
0
众
1
公 b)
找出
Pn [
x]
的一组基 {α i }n
，使得在这组基下的矩阵为
存在一组基，使得在这组基下的矩阵是 a) 中的 D。
ห้องสมุดไป่ตู้
八． (10 分) 以下各命题中考虑的 n 维 Euclid 空间 V/R 中的向量都不为零， a) 证明：不存向量组 {αi}n1 ，使得 (αi ,α j ) 0 对任意的1 i j n 1成立； b) 举例说明：存在向量组 {βi}n1 ，使得 (βi ,β j ) 0 对任意的1 i j n 1成立； c) 证明：在向量组{γi}n2 中至少存在一对下标 1 s t n 2 ，使得 (γs , γt ) 0 。
第1页 共1页
北京大学工学院课程试卷
课程名称： 线性代数与解析几何
2007-2008 学年第（1）学期期末
姓名：
学号：
本试卷共 8 道大题，满分 100 分
一． (15 分) 给定点 P (1,3, 4) 和平面 π: x 2y 3z 5 0 ，写出平面的法线，并求 P 到 π
的距离；在平面上找一点 Q，使 Q 到点 P 的距离就是 P 到 π 的距离。 二． (15 分) 在 R4 中求由向量{αi}4 生成的子空间的维数与一组基，并将它扩充为 R4 的一
D
信 微
0
1
0 1
；
0
c) {αi}n 的 选 择 不 是 惟 一 的 ， 即 可 选 另 一 组 基 {βi}n ， 它 对 应 的 矩 阵 也 是 D ， 但 是
L( {βi }s ) L (α{ i }s 至) 少对某个 1 s n 不成立；
d) 推广 b)与 c)。如果 是 n 维线性空间 V/P 上的线性变换，且 n 0, n1 0 ，证明
三． (20 分) 证明：秩为 r 的矩阵可以表示成 r 个秩为 1 的矩阵之和。 四． (10 分) 设 A Rmn 是实数域上的矩阵，证明： r( AT A) r( A) ，举例说明：如果将数
域扩大为复数域，即 ACmn ，则结论不成立。又对任意的 B Rms ，存在 C Rns 上的
使 AT AC AT B 。
铺
五． (10 分) 设 A Pnn , B Pns (s 0) ， r(A) n s, r(B) s ，那么 AB 0 的充分必要条
货 件是对于齐次线性方程组 Ax 0 的任意解 x0 Pn ，存在惟一的 y0 Ps ，使得 x0 By0 。
料杂 六．
(10 分)
假设在平面中给定了三条直线
i
:
ui
x
vi
y
wi
(i 1, 2,3) ,
围成一个有限面
积的三角形，试求：a) 三条直线满足的条件；b) 三角形的面积。如有可能，在空间中给
资 定了四个平面 i : ai x bi y ci z di (i 1, 2,3, 4) ，作相应的讨论。
学习 七．
(10 分)
微商
d dx
是线性空间
Pn [
x]（全体次数小于
n
的多项式以及零多项式）上的
线性变换。现设 n>1，
：
号 a) 对于任意的 α Pn[x] ，nα 0 ，但存在 β Pn[x]，使n1β 0 。
0
众
1
公 b)
找出
Pn [
x]
的一组基 {α i }n
，使得在这组基下的矩阵为
存在一组基，使得在这组基下的矩阵是 a) 中的 D。
ห้องสมุดไป่ตู้
八． (10 分) 以下各命题中考虑的 n 维 Euclid 空间 V/R 中的向量都不为零， a) 证明：不存向量组 {αi}n1 ，使得 (αi ,α j ) 0 对任意的1 i j n 1成立； b) 举例说明：存在向量组 {βi}n1 ，使得 (βi ,β j ) 0 对任意的1 i j n 1成立； c) 证明：在向量组{γi}n2 中至少存在一对下标 1 s t n 2 ，使得 (γs , γt ) 0 。
第1页 共1页
北京大学工学院课程试卷
课程名称： 线性代数与解析几何
2007-2008 学年第（1）学期期末
姓名：
学号：
本试卷共 8 道大题，满分 100 分
一． (15 分) 给定点 P (1,3, 4) 和平面 π: x 2y 3z 5 0 ，写出平面的法线，并求 P 到 π
的距离；在平面上找一点 Q，使 Q 到点 P 的距离就是 P 到 π 的距离。 二． (15 分) 在 R4 中求由向量{αi}4 生成的子空间的维数与一组基，并将它扩充为 R4 的一
D
信 微
0
1
0 1
；
0
c) {αi}n 的 选 择 不 是 惟 一 的 ， 即 可 选 另 一 组 基 {βi}n ， 它 对 应 的 矩 阵 也 是 D ， 但 是
L( {βi }s ) L (α{ i }s 至) 少对某个 1 s n 不成立；
d) 推广 b)与 c)。如果 是 n 维线性空间 V/P 上的线性变换，且 n 0, n1 0 ，证明