组合数学 试题及答案09
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组合数学试题 共 5 页 ，第 1 页
电子科技大学研究生试卷 （考试时间： 至 ，共 2 小时）
课程名称 组合数学 教师 学时 40 学分 2 教学方式 讲授 考核日期 2009 年 12 月 日 成绩 考核方式： （学生填写）
一、(14分) 现安排从星期一至星期五对5个项目A, B, C, D, E 进行评审，每个项目安排一天，每天安排一个项目。但要求项目A 不安排在星期二评审，项目B 不安排在星期三和星期五评审，项目C 不安排在星期四评审，项目D 不安排在星期一评审，项目E 不安排在星期三和星期四评审。问有多少种不同的评审安排方案？ 解 原问题可模型化为一个5元有禁位的排列. 其禁区棋盘C 如下图的阴影部分。 -----------------4分 由图,可得C 的棋盘多项式为 R(C)= = 1+7x+17x 2+18x 3+8x 4+x 5 -----------------5分 所以安排方案数为 5! - 7·4! + 17·3! - 18·2! + 8-1 -----------------4分 = 25 即共有25种。 -----------------1分 二、（10分）用2种颜色对下图的小圆点着色，证明必存在两列，其着色完全相同。 证明：因每个小圆点有2种颜色可选,故每列恰有8 种着色方案, -------------5分 学
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A B C D E 1 2 3 4 5
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现有9列,由鸽笼原理,知必有两列着色相同. -------------5分 三、（16 分）求方程⎩⎨⎧≤≤≤≤≤=+++2,62,63133214321x x x x x x x 的正整数解的个数。 解 等价于求集合S 0＝{3.A,4.B,1.C,∞.D}的所有6-组合构成的集合。-----------------4分 令集合S 为{,,,}A B C D ∞⋅∞⋅∞⋅∞⋅的所有6-组合构成的集合。 -----------------2分 则有 |S|=F(4,6) = 84。 令 A 1表示S 中至少含有4个A 的元素构成的集合, A 2表示S 中至少含有5个B 的元素构成的集合, A 3表示S 中至少含有2个C 的元素构成的集合, -----------------4分 于是 10)2,4(||1==F A ,4)1,4(||2==F A ,35)4,4(||3==F A =⋂||31A A 1 0||||||3213221=⋂⋂=⋂=⋂A A A A A A A -----------------2分 由容斥原理，所求的5-组合数为 31231231i i j i i j A A A S A A A A A A =≠=-+-∑∑ -----------------3分 =84– (10＋4+35)＋1 = 36 -----------------1分 四、（14分）解下列递归关系 ⎩⎨⎧==-=----5,2)2(1451021a a a a a n n n n 解 对应的齐关系的特征方程 x 2-5x -14=0 -----------------3分 有根 x 1 = 7，x 2 = -2。 -----------------1分 故齐关系的通解为*n a =c 17n +c 2(-2)n -----------------1分 设特解 n a = An (-2)n ，代入原关系：An (-2)n -5A (n -1) (-2)n -1-14A (n -2) (-2)n -2 = (-2)n -----------------3分 ⇒ A = 92 ⇒ n a = 922n n ）（－ -----------------2分 ∴ a n = *n a + n a = c 17n +c 2(-2)n + 922n n ）（－ -----------------1分
……………无……………效……………………
学 号
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