组合数学 试题及答案09

组合数学试题 共 5 页 ，第 1 页电子科技大学研究生试卷 （考试时间： 至 ，共 2 小时）课程名称 组合数学 教师 学时 40 学分 2 教学方式 讲授 考核日期 2009 年 12 月 日 成绩 考核方式： （学生填写）一、(14分) 现安排从星期一至星期五对5个项目A, B, C, D, E 进行评审，每个项目安排一天，每天安排一个项目。

但要求项目A 不安排在星期二评审，项目B 不安排在星期三和星期五评审，项目C 不安排在星期四评审，项目D 不安排在星期一评审，项目E 不安排在星期三和星期四评审。

问有多少种不同的评审安排方案？ 解 原问题可模型化为一个5元有禁位的排列. 其禁区棋盘C 如下图的阴影部分。

-----------------4分 由图,可得C 的棋盘多项式为 R(C)= = 1+7x+17x 2+18x 3+8x 4+x 5 -----------------5分 所以安排方案数为 5! - 7·4! + 17·3! - 18·2! + 8-1 -----------------4分 = 25 即共有25种。

-----------------1分 二、（10分）用2种颜色对下图的小圆点着色，证明必存在两列，其着色完全相同。

证明：因每个小圆点有2种颜色可选,故每列恰有8 种着色方案, -------------5分 学号姓名学院……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………A B C D E 1 2 3 4 5组合数学试题 共 5 页 ，第 2 页现有9列,由鸽笼原理,知必有两列着色相同. -------------5分 三、（16 分）求方程⎩⎨⎧≤≤≤≤≤=+++2,62,63133214321x x x x x x x 的正整数解的个数。

解 等价于求集合S 0＝{3.A,4.B,1.C,∞.D}的所有6-组合构成的集合。

-----------------4分 令集合S 为{,,,}A B C D ∞⋅∞⋅∞⋅∞⋅的所有6-组合构成的集合。

-----------------2分 则有 |S|=F(4,6) = 84。

令 A 1表示S 中至少含有4个A 的元素构成的集合, A 2表示S 中至少含有5个B 的元素构成的集合, A 3表示S 中至少含有2个C 的元素构成的集合, -----------------4分 于是 10)2,4(||1==F A ,4)1,4(||2==F A ,35)4,4(||3==F A =⋂||31A A 1 0||||||3213221=⋂⋂=⋂=⋂A A A A A A A -----------------2分 由容斥原理，所求的5-组合数为 31231231i i j i i j A A A S A A A A A A =≠=-+-∑∑ -----------------3分 =84– (10＋4+35)＋1 = 36 -----------------1分 四、（14分）解下列递归关系 ⎩⎨⎧==-=----5,2)2(1451021a a a a a n n n n 解 对应的齐关系的特征方程 x 2-5x -14=0 -----------------3分 有根 x 1 = 7，x 2 = -2。

-----------------1分 故齐关系的通解为*n a =c 17n +c 2(-2)n -----------------1分 设特解 n a = An (-2)n ，代入原关系：An (-2)n -5A (n -1) (-2)n -1-14A (n -2) (-2)n -2 = (-2)n -----------------3分 ⇒ A = 92 ⇒ n a = 922n n ）（－ -----------------2分 ∴ a n = *n a + n a = c 17n +c 2(-2)n + 922n n ）（－ -----------------1分……………无……………效……………………学 号姓名学院…………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………组合数学试题 共 5 页 ，第 3 页由初值得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+5942722121－c c c c ⇒ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==8177818521c c -----------------2分 ∴ a n = 81857n +8177 (-2)n + 922n n ）（－ -----------------1分五、（12分）求1出现奇数次且2出现偶数次的n 位十进制数的个数。

解：设a n 是由0,1,……,9组成的满足“1出现奇数次”且“2出现偶数次”的长为n 的序列的个数， -----------------2分 则a n 的指数母函数为：f e (x ) = 422)!22!11)(!4!21)(!3!1(61088423xx x xx x x e e e e e e e x x x x x x －＋－＋－－=⋅=+++++++ =!)610(410n x n n n n ∑-∞= -----------------4分所以 a n =）n n 610(41- ，n ≥1 -----------------3分 以0为首项的长为n 的序列有a n －1个，在上述序列中去掉以0为首项的长为n 的序列便可得到1出现奇数次且2出现偶数次的n 位十进制数的个数： -----------------2分 a n －a n －1＝）－－1165109(41n n ⨯-⨯ -----------------1分六、（14分）求由数字0，1，2，3，4，5，6，7组成的r 位数中，1和5都出现偶数次，2和6至少出现一次的r 位数的个数。

解：这是一个排列问题。

设满足条件的r 位数字串的个数为r a ，则序列12(,,,,)r a a a 对应的指数母函数为： -----------------3分f e (x ) = 42242)!22!11()!22!1()!4!21( +++++++x x x x x x ＋ -----------------4分 423432)1()2(2345678422x x x x x x x x x x x e e e e e e e e e e e +-+-+-=-+=－ !)232435463728(410n x n r r r r r r n r +⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-=∑∞=组合数学试题 共 5 页 ，第 4 页所以r a ＝)232435463728(41r r r r r r r +⨯-⨯+⨯-⨯+⨯- -----------------3分 首位取0的r 位数字串的个数为1-r a ，故所求的r 位数的个数为r a －1-r a ＝-----------------2分 ⎪⎩⎪⎨⎧=>+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯-------0r 00r )2344951661571287(411111111r r r r r r r -----------------2分；如果没有针对r=0单独结果的，只得1分七、（6分）设n a 表示一个凸n 边形被它的对角线划分成互不重叠的区域个数(没有三条对角线在该n 边形内交于一点)。

试建立n a 的递规关系（不需要求解）。

解：23 11-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-n n a a n n ,n>3. 其中：13=a―――――――――――――――――过程4分，结果2分。

八、（14分）若7个人中有3对夫妇，试问从中取出6个人的夫妇均不相邻的圆排列有多少种？解：分两种情况。

情况1. 取出的6个人中恰含3对夫妇。

-----------------1分 计算如下:取全集S 为6个人的圆排列的集合。

令A i 为S 中第i 对夫妇相邻的圆排列的集合，i = 1,2,3。

有 -----------------1分 | S | = 5！＝120, | A i | = 2•4！＝48， i = 1,2,3；| A i ∩A j | = 4•3！＝24（i j = 1,2,3；i ≠ j ）；| A 1∩A 2∩A 3 | ＝ 16。

-----------------2分 由容斥原理 -----------------1分 321A A A ⋂⋂ = 120－3•48＋3•24－16 ＝32 -----------------1分情况2. 取出的6个人中恰含2对夫妇。

-----------------1分 此时取6人的方式有6种，对取定的每一种取全集S 为6个人的圆排列的集合。

令组合数学试题 共 5 页 ，第 5 页 A i 为S 中第i 对夫妇相邻的圆排列的集合，i = 1,2。

-----------------2分有| S | = 5！＝120, | A i | = 2•4！＝48， i = 1,2；| A 1∩A 2 | ＝4•3！＝24。

---------------1分 由容斥原理 -----------------1分 21A A ⋂ = 120－2•48＋24 ＝48 -----------------1分 所以此类总数为 6•48＝288 -----------------1分 最终结果为: 32 ＋ 288＝320 -----------------1分。