高考数学第一轮复习：空间向量及其运算

8.6 空间向量及其运算

一、选择题

1．若{a ，b ，c }为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( )．

A ．{a ，a ＋b ，a －b }

B ．{b ，a ＋b ，a －b }

C ．{c ，a ＋b ，a －b }

D ．{a ＋b ，a －b ，a ＋2b }

解析 若c 、a ＋b 、a －b 共面，则c ＝λ(a ＋b )＋m (a －b )＝(λ＋m )a ＋(λ－m )b ，则a 、b 、c 为共面向量，此与{a ，b ，c }为空间向量的一组基底矛盾，故c ，a ＋

b ，a －b 可构成空间向量的一组基底． 答案 C

2．以下四个命题中正确的是( )．

A ．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示

B ．若{a ，b ，c }为空间向量的一组基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间向量的另一组基底

C ．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB →

·AC →

＝0 D ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底

解析 若a ＋b 、b ＋c 、c ＋a 为共面向量，则a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )，(1－μ)a ＝(λ－1)b ＋(λ＋μ)c ，λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a ＝λ－11－μb

＋λ＋μ1－μc ，则a 、b 、c 为共面向量，此与{a ，b ，c }为空间向量基底矛盾． 答案 B 3．有下列命题：

①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面； ②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b .

③若MP →

＝xMA →

＋yMB →

，则P ，M ，A 、B 共面； ④若P ，M ，A ，B 共面，则MP →

＝xMA →

＋yMB →

.

其中真命题的个数是( )．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 解析 其中①③为正确命题． 答案 B

4. 如图，在底面ABCD 为平行四边形的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AC 与BD 的交点，若AB ＝a ，11A D ＝b ，1A A ＝c 则下列向量中与1B M 相等的向量是( )

A ．－12a ＋1

2b ＋c

B.12a ＋1

2b ＋c

C.12a －1

2

b ＋c

D ．－12a －1

2

b ＋c

解析 1B M ＝1B A ＋AM ＝1B B ＋BA ＋AM ＝－12a ＋1

2b ＋c .

答案 A

5．如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π

3，则cos 〈OA →

，

BC →

〉的值为( )．

A ．0 B.12 C.32

D.22

解析 设OA →

＝a ，OB →＝b ，OC →

＝c

由已知条件〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π

3，且|b |＝|c |，

OA →·BC →

＝a ·(c －b )＝a ·c －a·b

＝12|a||c |－1

2

|a||b|＝0，∴cos 〈OA →，BC →

〉＝0.

答案 A

6．如图，在大小为45°的二面角A －EF －D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )

A. 3

B. 2 C ．1

D.3－ 2

解析 ∵BD →＝BF →＋FE →＋ED →，∴|BD →|2＝|BF →|2＋|FE →|2＋|ED →|2＋2BF →·FE →＋2FE →·ED →

＋2BF →·ED →＝1＋1＋1－2＝3－2，故|BD →|＝3－ 2. 答案 D 7．下列命题中

①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；

②不等式|a ＋b |＜|a |＋|b |的充要条件是a 与b 不共线；

③若非零向量c 垂直于不共线的向量a 和b ，d ＝λa ＋μb (λ、μ∈R ，且λμ≠0)，则c ⊥d . 正确命题的个数是( )．

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 解析 只有命题③是正确命题． 答案 B 二、填空题

8．如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →

，则x ，y ，z 的值分别为________________．

解析 ∵OG →

＝OM →

＋MG →

＝12OA →＋2

3

MN →

＝12OA →＋2

3(ON →－OM →) ＝12OA →＋23ON →－23

OM → ＝12OA →＋23×12(OB →＋OC →)－23×12OA → ＝16OA →＋13OB →＋13

OC → ∴x ，y ，z 的值分别为16，13，13.

答案

16，13，13

9. 设,x y ∈R ，向量()()()4,2,,1,1,-===c y b x a ，且c b c a //,⊥，_______

=

解析 2402

,//(3,1)242x x a c b c a b y y -==⎧⎧⊥⇔⇔⇒+=-=⎨⎨=-=-⎩⎩

答案10．在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCD －A′B′C′D′中，AB ＝1，AD ＝2，AA′＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为________．

解析 如图，AC′→＝AB →＋BC →＋CC′→＝AB →＋AD →＋AA′→，

所以|AC′|＝|AC′→|＝|AB →＋AD →＋AA′→| ＝

AB →2＋AD →2＋AA′→2＋

AB →·AD →＋AB →·AA′→＋AD →·AA′→

＝1＋4＋9＋

＋

＝23.

答案 23

11．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，①(11A A ＋11A D ＋11A B )2＝311A B 2；②