能控性和能观性分析PPT课件
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控制系统的能控性和能观性课件
唯一的，因为我们关心的只是它能否将
驱动到
，而不计较
的轨迹如何。
2. 线性连续时变系统的能控性定义
线性连续时变系统:
3. 离散时间系统 这里只考虑单输入的n阶线性定常离散系统:
3
3.2 线性定常系统的能控性判别
线性定常系统能控性判别准则有两种形式，一种是先将系统进行状态变
换，把状态方程化为约旦标准型
3.1 能控性的定义 3.2 线性定常系统的能控性判别 3.3 线性连续定常系统的能观性 3.4 离散时间系统的能控性与能观性 3.5 时变系统的能控性与能观性 3.6 能控性与能观性的对偶关系 3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型 3.8 线性系统的结构分解 3.9 传递函数阵的实现问题 3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观
一地确定任意初始状态矢量
，则系统是完全能观的，现根据此定义推
导能观性条件。从式(1)，有:
(3)
若系统能观，那么在知道
时，应能确定
出
，
，现从式(7)可得：
写成矩阵形式:
16
(4) 有唯一解的充要条件是其系数矩阵的秩等于 。这个系数矩阵称为 能观性矩阵。仿连续时间系统，记为N。即
(5)
17
3.5 时变系统的能控性与能观性
3.5.1 能控性判别 1.有关线性时变系统能控性的几点说明 1)定义中的允许控制 ，在数学上要求其元在 绝对平方可积的，即
区间是
这个限制条件是为了保证系统状态方程的解存在且唯一。 2)定义中的 ，是系统在允许控制作用下，由初始状态 目标状态(原点)的时刻。
转移到
3)根据能控性定义, 可以导出能控状态和控制作用之问的关系式。 4)非奇异变换不改变系统的能控性。
《现代控制理论》第三版课件_第4章
e λ1t z10 λ2t e z 20 z (t ) = λnt e z n0
ˆ C11 ˆ C 21 y (t ) = ˆ C m1 ˆ C12 ˆ C
λt ˆ C1n e 1 z10 ˆ e λ2t z 20 C2n ˆ e λnt z n 0 C mn
J = diag{λ1 , λ2 , , λn }
[ p1
p2
λ1 0 pn ] 0
0 λ2 0
0 0 = A [p 1 λn
p2 pn ]
J1 0 J = P −1 AP = 0
0 J2 0
λ j 0 0 0
零空间（核空间）
n
4-5 状态向量的线性变换
x = Ax + Bu y = Cx + Du
x = Pz
ˆ ˆ = P −1 APz + P −1 Bu = Az + Bu z ˆ y = CPz + Du = Cz + Du
状态向量的线性变换不影响系统的状态能控 性、能观性和传递函数阵，也不影响系统矩 阵的特征值和系统平衡状态的稳定性。
[
p j 2 p jq
]
( λ j I − A) p j1 = 0
Pj = p j1
[
p j2
p jq
]
( λ j I − A) p j 2 = − p j1 ( λ j I − A) p j 3 = − p j 2 ( λ j I − A) p jq = − p j ( q −1)
( λ j I − A) p j1 = 0 ( λ j I − A) p j 2 = − p j1 ( λ j I − A) p j 3 = − p j 2
线性时变系统的能控性及能观性PPT课件
（对偶原理）
系统 状态完全能控的充要条件和系统
பைடு நூலகம்相同； 1
状态完全能观的充要条件 2
系统 状态完全能观的充要条件与系统
同。
1
完全能观的充要条件相
2
对偶原理在现代控制理论的研究中具有重要意义,其使得系统的 状态观测及估计等问题和系统的控制问题互相转化、借鉴,例如,最优 估计问题就可借鉴最优控制问题的结论而获得解决。
4.4 线性时变系统的能控性及能观性
4.4.1 线性时变系统的能控性判据 考虑连续时间线性时变系统
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t) y(t) C(t)x(t) x(t0 ) x0 ; t,t0 T d
其中x为n维状态向量，u为p为输入； Td为时间t的定义区间；t0为初始时刻，t >t0； A(x)、B(x)分别为n×n,n×p时变矩阵.
0
1
x2
x3
N0 (t) 1 0 1
N1(t)
N0 (t)
A(t)
d dt
N0 (t)
t
1
t 2
N2 (t)
N1 (t ) A(t )
d dt
N1(t)
t 2
1
2t
t4 2t
N0 (t) 1 0 1
N1
(t
)
Nk
(t ) A(t )
d dt
Nk
(t)
(k 0,1,2, ,n 1)
例4.4.2
x1 t 1 0 x1 0
x2
现代控制理论第四章线性系统的能控性与能观性PPT课件
16
第四章 线性系统的能控性与能观性
4.2.1 线性定常连续系统的能控性定义线性定常 连续系统的状态方程
xAxBu
(4.2.1)
定义4.2.1：
对于系统(4.2.1)，若存在一分段连续控制向
量u(t)，能在有限时间区间[t0,t1]内将系统从初 始状态x(t0)转移到任意终端状态x(t1)，那么就 称此状态是能控的。若系统任意t0时刻的所有状 态x(t0)都是能控的，就称此系统是状态完全能
1 0 31 0 4 2
从而
1 0 1 2 2 4 UC 0 1 0 1 0 1
0 0 1 0 4 2
rankUC3n 所以，系统能控
19.07.2020
现代控制理论
26
第四章 线性系统的能控性与能观性
例4.2.2 判断线性定常系统
x1 1 x20 x3 0
3 2 1
2x1 2 0x21 3x3 1
19.07.2020
现代控制理论
7
第四章 线性系统的能控性与能观性
例4.0.2
uc x1,iLx2 uc
选择电感中的电流以及电容上的电压作为 状态变量。当电桥平衡时，电感中的电流作为 电路的一个状态是不能由输出变量 u 来c 确定的 ，所以该电路是不能观测的。
19.07.2020
现代控制理论
8
第四章 线性系统的能控性与能观性
例4.2.1 考察如下系统的能控性
x1 1 x20 x3 1
2 1 0
1x1 1 0x20 3x3 0
0 10uu12
易知
1 0
B
0
1
0 0
1 2 11 0 1 2 AB0 1 00 1 0 1
现代控制理论线性控制系统的能控性与能观性基础知识资料PPT课件
u(t)
x(t0 )
x2
x0 x(t f ) 0
所有非零状态
x0 在t0 时刻能控 系统在t0 时刻完全能控
所有时刻
系统一致能控
x1
x(t1)
t0
x(t2 )
t1
线性定常 系统的能 控性与 t0 无关
t
t2
第11页/共45页
x(t0 ) 0 x(t1) 0 x(t0 ) 0 x(t1) 0
第1页/共45页
能控性和能观测性的基本概念：
20世纪60年代初，由卡尔曼提出， 与状态空间描述相对应。
卡尔曼
能控性：反映了控制输入对系统状态的制约能力。 输入能否控制状态（控制问题）
能观测性：反映了输出对系统状态的判断能力。 状态能否由输出反映（估计问题）
第2页/共45页
由于系统需用状态方程和输出方程两个方程来描述输入-输出 关系，状态作为被控量，输出量仅是状态的线性组合，于是有 “能否找到使任意初态转移到任意终态的控制量”的问题，即能 控性问题。并非所有状态都受输入量的控制，或只存在使任意初 态转移到确定终态而不是任意终态的控制。还有“能否由测量到 的输出量来确定出各状态分量”的问题，即能观测性问题。
a2
1 a2 a1 a22
rankM 3 n 故系统的状态完全能控！
此形式的状态方程为能控标准型
第35页/共45页
[例] 判别如下系统的能控性
x1 1 2 2 x1 2
x 2
0
1
1
x2
0
u
x3 1 0 1 x3 1
[解]：
2 4 0
M b Ab A2b 0 1
0 0 2
3
4 1 0
第3章_线性控制系统的能控性和能观性ppt课件
1 4 0
0x1 4 0x20 2x3 3
2 0 0u u1 2
1)可控
2)不可控
.
20
3.2 能观性
3.2.1 定义
对任意给定的输入信号u(t)，在有限时间tf >t0内，能够根 据输出量y(t)在[t0，tf]内的测量值，唯一地确定系统在时刻t0 的初始状态x(t0)，则称此系统的状态是完全能观测的，或简 称系统能观测的。
3.1.2 线性定常系统的能控性判别
例3-3: 试确定如下几个系统的可控性。
1)xx 1207
0 5
0x1 2 0x25u
x 3 0 0 1x3 7
x 1 7 0 0x1 0 2) x 20 5 0x25u来自x 3 0 0 1x3 7
1)可控 2)不可控
3) x x 1 207 x 3 0
0 5 0
确定终态。
可观测性:能否由输出量的测量值
各状态。
.
3
引言
如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入 来影响和控制,而由任意的始点达到终点,则系统可 控(状态可控) 。
如果系统的所有状态变量的任意形式的运动均 可由输出完全反映,则称系统是状态可观测的。
.
4
引言
引例: 给定系统的状态空间描述:
x1 x2
.
3.2.2 线性定常系统的能观性判别
例3.2-4: 试判别下列系统的状态可观测性。
x1 2 1 0x1
1)x2 0 2
x2
xx43
0
3 0
13xx43
x1
y1 y2
0 0
1 1
1 1
0 1
x2 x3 x4
x1 1 0 0x1 1 2)x20 2 1x20u
第3章 能控性与能观性分析.ppt
x 1 x 2
3 x1 2 x 2
u
u
x2
x2
-2
x1
x1
-3
从模拟结构图上可以很清楚的看出u对x的控制关系
状态变量x2可以用u去控制；
状态变量x1与控制量u既没有直接连系又没有间接连系，
故不可能用u去控制x1。因此，状态变量x1是不可控的。
一、能控性的定义（线性定常系统）
线性系统的状态方程如下： x Ax Bu
❖如上题可以这样计算：
26 6 17
MM T
6
3
2
17 2 21
易知MMT非奇异，故M满秩，系统是完全能控的
【例】 试判断如下系统的能控性：
1 2 3 1 9
x 1 2
4 1
6 x 0 7 2
0 0
u1
u2
解：
1 9 7
M B AB A2B 0 0 13
2 0 16
能控系统 (b2 0, b3 0)
0
0
3
b
3
3 1 0 0 0
（2）x
0
0
3
4 0
x
3
0 0
5 1
? 0
1 0
u1 u2
能控系统
3 1 0 1 1
（3）x
0
0
3
4 0
x
0
0 4
5
0
? 0
0
5
u1 u2
不能控系统
注意：当系统的Jordan标准型存在多个约旦块对应同一
例 已知系统如下，判断其能观性
2 1 0
0 2 1
x 0 0 2
0
x
2
现代控制理论第3章能控性和能观测性ppt课件
1 2
解:计算
G1
0
2
0 4
2 4
2G1
0
4
1 10
故 S2 G1 G1
0 0 2G1 0 1
1 0
1 2 0 2 0 4
2 4 0 4 1 10
显见由前三列组成的矩阵的行列式
0 0 1 det 0 1 0 0
1 0 0
故rank S2 3，系统可控。
S2 G2 G2
0 1 2G2 0 0
任意初态x0转移到xn 0 。
方程(3-11)的解为： k 1
x k kx 0 k1iGu i
i0
(3-12)
令 k n，，且两端左乘 n得：
n1
x 0 1iGu i
i0
1Gu 0＋2Gu 1 nGu n 1
1G 2G
u0
nG
பைடு நூலகம்
u 1
u n 1
令
S1 1G 2G nG
1 0
1 －2 00 01
显见出现全零行，rankS2 2 3 ，故不能控。
2 3 0 0 1 －2
多输入系统能控阵 S2，其行数小于列数，在计算列写能控阵时， 若有显时见可通过矩计S阵2算的秩为Sn的2，秩S便T2 是不否必为把n来判矩断S阵2多的输所入有系列统都的写能出控。性。 这只是需因计为算，一当次n阶非行奇列S异式2 时即，可确定能必S控非2 性奇ST2，异但，在而计算 为S方2 S阵T2 ，
解 rank S1 rank g g 2g rank 2 2 2 1 3
故不能控。
1 1 1
关于研究单输入离散系统状态可控性的方法可推广到多输入系 统。设系统状态方程为：
xk 1 xk Guk
第五章 经济系统的能控性与能观测性PPT课件
行平衡方程：X(k)=Ax(k)+I(k)+C(k)
资产投资使固定资产增加
在第k年 固定资产 Bx(k) 在第k＋1年 固定资产 Bx(k+1) 假设不考虑固定资产折旧，则有，
Bx(k+1)=Bx(k)+I(k)
资本存量
资本增量
x(k)=Ax(k)+I(k)+C(k) (1)
Bx(k+1)=Bx(k)+I(k)
约翰.梅纳德.凯恩斯
凯恩斯 对国家干 预政策的 理论和实 践做出了 杰出贡献。
讨论:
重建经济系统 改造经济系统
第四节
投入产出系统的 能控性与能观性
科学家背景介绍
➢列昂节夫，美国经 济 学 家 ， 1936 年 《美国经济系统中 的投入与产出的数 量关系》。在西方 国家得到了广泛应 用。 ➢1973年，诺贝尔奖 ➢中国1976年开始编 制 我 国 61 类 产 品 的 投入产出表。
x(k1)Ax(k)Bu(k) y(k)C(xk)
讨论：
通过对经济系统 的分解，理解了 子系统的可控性 与可观性。
系统可控，每个子系统可控。 系统可观，每个子系统可观。
注意：对于一个系统而言，由于分解 方法的不同，其结果也可能不同。
改革是多方法、多途径的。
二、能控性问题
研究能否用调整政策的方法使经 济系统达到预先设定的目标。系统 的控制输入对系统的状态能产生多 大影响。
1、状态能控的判定（定理5.1.1）
x(k1)A(xk)B(uk) y( kC ) (xk), x(0)x0 状态能控的充分必要条件：
ran(PkN)n
P N[BA BA n 1B ]
PN 称能控性矩阵。
资产投资使固定资产增加
在第k年 固定资产 Bx(k) 在第k＋1年 固定资产 Bx(k+1) 假设不考虑固定资产折旧，则有，
Bx(k+1)=Bx(k)+I(k)
资本存量
资本增量
x(k)=Ax(k)+I(k)+C(k) (1)
Bx(k+1)=Bx(k)+I(k)
约翰.梅纳德.凯恩斯
凯恩斯 对国家干 预政策的 理论和实 践做出了 杰出贡献。
讨论:
重建经济系统 改造经济系统
第四节
投入产出系统的 能控性与能观性
科学家背景介绍
➢列昂节夫，美国经 济 学 家 ， 1936 年 《美国经济系统中 的投入与产出的数 量关系》。在西方 国家得到了广泛应 用。 ➢1973年，诺贝尔奖 ➢中国1976年开始编 制 我 国 61 类 产 品 的 投入产出表。
x(k1)Ax(k)Bu(k) y(k)C(xk)
讨论：
通过对经济系统 的分解，理解了 子系统的可控性 与可观性。
系统可控，每个子系统可控。 系统可观，每个子系统可观。
注意：对于一个系统而言，由于分解 方法的不同，其结果也可能不同。
改革是多方法、多途径的。
二、能控性问题
研究能否用调整政策的方法使经 济系统达到预先设定的目标。系统 的控制输入对系统的状态能产生多 大影响。
1、状态能控的判定（定理5.1.1）
x(k1)A(xk)B(uk) y( kC ) (xk), x(0)x0 状态能控的充分必要条件：
ran(PkN)n
P N[BA BA n 1B ]
PN 称能控性矩阵。
控制系统的能控性与能观性PPT课件
• 满秩，即rankM=n，否则系统为不能控的。
M B AB A2B
An1B
第11页/共38页
• 例：已知系统的状态方程如下，判别其能控性
0 1 0 0
x
0
0
1
x
0
u
a0 a1 a2 1
0
0
B 0
AB
1
1
a2
1
A2
B
a2
a1 a22
0 0 M 0 1
1 a2
▪ 系统的能控矩阵M的秩等 于3，即rankM=3，所以
期间的输 是能观测的。
t t [t , t ] y(t) 若系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是状态完全能观测的，简称系统能观。
f
0
0f
x(t0 )
x(t0 )
第16页/共38页
• 二、定常系统的能观性判别
• 1. 图形判别法
•
例：
x
2
0
0 3
x
1 1
u
y 1 1 x
x
2
0
0 3
x
1 1
x2
，也就是说改变
即可改变系统的状态。因此，
u(t)
x1
u(t)
u(t)
第6页/共38页
• 注意到（3-1）中的A是对角线型，（3-2）中的 A是约当标准型，因此，可总结出系统能控性的 判别准则如下：
• （1）图形判别法：系统模拟结构图中如果没有孤 立部分，系统是能控的，否则是不能控的。
• （2）约当标准型系统能控性判据：若系统矩阵A 的 特征值互异，则系统能控性的充要条件为变换 为约当标准型之后的控制矩阵的各行元素没有全 为0的；若系统的特征值为重根，则系统完全能控 的充要条件是变换为约当标准型后的控制矩阵的 最后一行元素不全为第07。页/共38页
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在线性系统的定性分析中，一个很重要的内容 是关于系统的可控性、可观测性分析。系统的可控、 可观测性是由卡尔曼于60年代首先提出的，事后被 证明这是系统的两个基本结构属性。
本章首先给出可控性、可观测性的严格的数学 定义，然后导出判别线性系统的可控性和可观测性 的各种准则，这些判别准则无论在理论分析中还是 在实际应用中都是很有用的。
rankc[ A, B]n p rank[B AB
AnpB] n
其中：p rankB，p p
注：该方法是秩判据的改进，特别适用于多输入 系统，可减少不必要的计算。
例1：已知
x
4 0
0
5
x
1 2
u
判断其能控性。
解：系统阶次 ，确定出可控判别阵
S B
AB
1 2
4 10
rankS 2 n ，所以系统为完全可控。
3.1 系统的能控性
3.1 能控性定义
一．能控性与能观测性的物理概念
系统的可控性和可观性，就是指系统内的所有 状态是否可以由输入影响和是否可由输出反映。
如果系统内部的所有状态的运动都可由输入来影响 和控制而由任意的初始状态达到原点，则称系统是能 控的，或者更确切的说是状态能控的，否则就称系统 为不完全能控的，或简称为系统不可控。
1）对角规范型系统(无重特征值)可控性判别（※） 当矩阵A的特征值 1, 2, , n 为两两相异时，
线性定常连续系统
完全可控的充分必要条件是：其对角线规范型
1
x
2
x
Bu
n
中，B 不包含元素全为零的行。
例4：已知线性定常系统的对角线规范型为
x1 8
x2
0
x3 0
0 1 0
0 x1 0
解：n=3, 系统输入向量是2维的列向量，即p = 2。
2 1
p
=
rankB
=
rank
1
1
=
2
=
p
-1 -1
2 1 3 2
Γc
A, B 3-2
=
1
1
2
2
-1 -1 -2 -2
显见矩阵S3-2的第二行与第三行线性相关，
故 rankc[ A, B] n p 2 3 ，系统不可控。
2. 基于标准型判据
例2：判断下列系统的可控性
解：
x1 1
x2
0
x3 0
3 2 1
2 x1 2
0
x2
1
3 x3 1
1
1
1
u1 u2
2 1 3 2 5 4
S
1
1
2
2
4
4
1 1 2 2 4 4
矩阵S的第二行与第三行线性相关， 故rankS =2＜3，系统不可控。
例3：用可控性判别矩阵 Sn p判别系统能控性。
如果系统内部所有状态变量的任意形式的运动均可 由输出完全反映，则称系统是状态能观测的，否则就
称系统为不完全可观测的，或简称为系统不可观测。
状态方程：描述了输入引起的状态变化
输入能够控制状态（控制问题）
输出方程：描述了状态变化引起的输出改变
状态能否由输出反映（观测和估计问题）
二． 能控性定义
1．状态能控和系统能控
第三章 能控性和能观性分析
3.1 系统的能控性（※） 3.2 系统的能观性（※） 3.3 能控能观性的对偶原理 3.4 基于传递函数的能控能观性条件
第三章 能控性和能观性分析
本章主要介绍定性分析方法，即对决定系统运 动行为和综合系统结构有重要意义的关键性质（如 可控性、可观测性、稳定性等）进行定性研究。
求满秩的方法：单输入系统： c[A,行B]列式为零
多输入系统：
( c[ A行, B列])(式c为[ A,零B])T
注：秩判据是一种比较方便的判别方法。
补充：可控性判别矩阵 c[ A, B]n p（※）： 线性定常连续系统的状态方程
x(t) Ax(t) Bu(t) x(0) x0 t 0
其中：x为n维状态向量；u为p维输入向量；A 和B分别为(n×n) 和(n×p)常阵。该线性定常连 续系统完全可控的充要条件是：
考虑n维线性时不变系统的状态方程
x Ax Bu x(0) x0
如果存在一个有限时刻T和时间段 [0上,T控] 制信u(t)，使得在
这样的控制信号作用下，系统状态从t=0时刻的初始状态 x(0)
转移到t=T时刻的零状态，即 x(T ) ，0则称此状态是能控的。如
果系统的所有状态都是能控的，即能控状态充满整个状态空间， 则称系统是状态完全能控的，简称系统能控。如果状态空间中
存在一个或一些非零状态在时刻t0是不可控的，则称系统在时 刻t0是不完全可控的，也称为系统是不可控的。
x2 p1
p
2.离散系统的能控性
p2 0
x1 pn
定义 在有限时间区间 t 内0，, nT若存在无约束的阶梯控制序
列
u(0，),能使, u系(n统从1) 任意初态 转移到任意终x(0态) ，则
称该系统是x状(n态) 完全能控的，简称是能控的。
3.1. 2 能控性判据(※)
1. 秩判据（能控性判别矩阵） ※
定理3.1：对于线性连续定常系统：x Ax 状B态u 完全能控
的充分必要条件是其能控性判别矩阵：
c[ A, B] [B AB A2B An 1B] 满秩
rank c rank[B AB A2B
[证明]：根据能控性的定义可知，
An 1B] n
3. 能控性和能达性
为便于数学处理。不失一般性：可以把终端状态规定为状态 空间中的原点 ，若系统在有限时间内从任一初始状态转移至零 状态，则称系统是状态能控的；
反之，也可以把初始状态规定为状态空间中的原点，若系统 从初始零状态在有限时间内转移至任意其他终端状态，则称系 统是状态能达的。
对于线性定常系统，能控性和能达性是等价的。
对系统的任意的初始状态 x(t，0) 如果能找到输入
u(t)，使之在 [t0,的t f ]有限时间内转移到零状 态 x(tf )， 0则系统状态能控。
先假设这样的u存在， 由系统能控性定义：
凯莱—哈密顿定理可知
时间的函数
由此可知，要想系统完全能控，则上述方程组必
须任意的x0对有解，即系统的能控性判别矩阵满秩。
0
x2
3
2 x3 0
1
0 2
u1 u2
判断系统的可控性。
解：由于此规范型中 不包含元素全为零的行， 故系统完全可控。
2）约当规范型系统（有重特征值）可控性判别
当系统矩阵A有重特征值时，线性定常连 续系统
完全可控的充分必要条件是：由其导出的约当 规范型 xˆ Aˆ xˆ Bˆu 中，Bˆ 中与同一特征值的各 约当块对应的各子块的最后一行组成的矩阵是 行线性无关的。
本章首先给出可控性、可观测性的严格的数学 定义，然后导出判别线性系统的可控性和可观测性 的各种准则，这些判别准则无论在理论分析中还是 在实际应用中都是很有用的。
rankc[ A, B]n p rank[B AB
AnpB] n
其中：p rankB，p p
注：该方法是秩判据的改进，特别适用于多输入 系统，可减少不必要的计算。
例1：已知
x
4 0
0
5
x
1 2
u
判断其能控性。
解：系统阶次 ，确定出可控判别阵
S B
AB
1 2
4 10
rankS 2 n ，所以系统为完全可控。
3.1 系统的能控性
3.1 能控性定义
一．能控性与能观测性的物理概念
系统的可控性和可观性，就是指系统内的所有 状态是否可以由输入影响和是否可由输出反映。
如果系统内部的所有状态的运动都可由输入来影响 和控制而由任意的初始状态达到原点，则称系统是能 控的，或者更确切的说是状态能控的，否则就称系统 为不完全能控的，或简称为系统不可控。
1）对角规范型系统(无重特征值)可控性判别（※） 当矩阵A的特征值 1, 2, , n 为两两相异时，
线性定常连续系统
完全可控的充分必要条件是：其对角线规范型
1
x
2
x
Bu
n
中，B 不包含元素全为零的行。
例4：已知线性定常系统的对角线规范型为
x1 8
x2
0
x3 0
0 1 0
0 x1 0
解：n=3, 系统输入向量是2维的列向量，即p = 2。
2 1
p
=
rankB
=
rank
1
1
=
2
=
p
-1 -1
2 1 3 2
Γc
A, B 3-2
=
1
1
2
2
-1 -1 -2 -2
显见矩阵S3-2的第二行与第三行线性相关，
故 rankc[ A, B] n p 2 3 ，系统不可控。
2. 基于标准型判据
例2：判断下列系统的可控性
解：
x1 1
x2
0
x3 0
3 2 1
2 x1 2
0
x2
1
3 x3 1
1
1
1
u1 u2
2 1 3 2 5 4
S
1
1
2
2
4
4
1 1 2 2 4 4
矩阵S的第二行与第三行线性相关， 故rankS =2＜3，系统不可控。
例3：用可控性判别矩阵 Sn p判别系统能控性。
如果系统内部所有状态变量的任意形式的运动均可 由输出完全反映，则称系统是状态能观测的，否则就
称系统为不完全可观测的，或简称为系统不可观测。
状态方程：描述了输入引起的状态变化
输入能够控制状态（控制问题）
输出方程：描述了状态变化引起的输出改变
状态能否由输出反映（观测和估计问题）
二． 能控性定义
1．状态能控和系统能控
第三章 能控性和能观性分析
3.1 系统的能控性（※） 3.2 系统的能观性（※） 3.3 能控能观性的对偶原理 3.4 基于传递函数的能控能观性条件
第三章 能控性和能观性分析
本章主要介绍定性分析方法，即对决定系统运 动行为和综合系统结构有重要意义的关键性质（如 可控性、可观测性、稳定性等）进行定性研究。
求满秩的方法：单输入系统： c[A,行B]列式为零
多输入系统：
( c[ A行, B列])(式c为[ A,零B])T
注：秩判据是一种比较方便的判别方法。
补充：可控性判别矩阵 c[ A, B]n p（※）： 线性定常连续系统的状态方程
x(t) Ax(t) Bu(t) x(0) x0 t 0
其中：x为n维状态向量；u为p维输入向量；A 和B分别为(n×n) 和(n×p)常阵。该线性定常连 续系统完全可控的充要条件是：
考虑n维线性时不变系统的状态方程
x Ax Bu x(0) x0
如果存在一个有限时刻T和时间段 [0上,T控] 制信u(t)，使得在
这样的控制信号作用下，系统状态从t=0时刻的初始状态 x(0)
转移到t=T时刻的零状态，即 x(T ) ，0则称此状态是能控的。如
果系统的所有状态都是能控的，即能控状态充满整个状态空间， 则称系统是状态完全能控的，简称系统能控。如果状态空间中
存在一个或一些非零状态在时刻t0是不可控的，则称系统在时 刻t0是不完全可控的，也称为系统是不可控的。
x2 p1
p
2.离散系统的能控性
p2 0
x1 pn
定义 在有限时间区间 t 内0，, nT若存在无约束的阶梯控制序
列
u(0，),能使, u系(n统从1) 任意初态 转移到任意终x(0态) ，则
称该系统是x状(n态) 完全能控的，简称是能控的。
3.1. 2 能控性判据(※)
1. 秩判据（能控性判别矩阵） ※
定理3.1：对于线性连续定常系统：x Ax 状B态u 完全能控
的充分必要条件是其能控性判别矩阵：
c[ A, B] [B AB A2B An 1B] 满秩
rank c rank[B AB A2B
[证明]：根据能控性的定义可知，
An 1B] n
3. 能控性和能达性
为便于数学处理。不失一般性：可以把终端状态规定为状态 空间中的原点 ，若系统在有限时间内从任一初始状态转移至零 状态，则称系统是状态能控的；
反之，也可以把初始状态规定为状态空间中的原点，若系统 从初始零状态在有限时间内转移至任意其他终端状态，则称系 统是状态能达的。
对于线性定常系统，能控性和能达性是等价的。
对系统的任意的初始状态 x(t，0) 如果能找到输入
u(t)，使之在 [t0,的t f ]有限时间内转移到零状 态 x(tf )， 0则系统状态能控。
先假设这样的u存在， 由系统能控性定义：
凯莱—哈密顿定理可知
时间的函数
由此可知，要想系统完全能控，则上述方程组必
须任意的x0对有解，即系统的能控性判别矩阵满秩。
0
x2
3
2 x3 0
1
0 2
u1 u2
判断系统的可控性。
解：由于此规范型中 不包含元素全为零的行， 故系统完全可控。
2）约当规范型系统（有重特征值）可控性判别
当系统矩阵A有重特征值时，线性定常连 续系统
完全可控的充分必要条件是：由其导出的约当 规范型 xˆ Aˆ xˆ Bˆu 中，Bˆ 中与同一特征值的各 约当块对应的各子块的最后一行组成的矩阵是 行线性无关的。