能控性和能观性分析PPT课件

存在一个或一些非零状态在时刻t0是不可控的，则称系统在时 刻t0是不完全可控的，也称为系统是不可控的。
x2 p1
pபைடு நூலகம்
2.离散系统的能控性
p2 0
x1 pn
定义 在有限时间区间 t 内0，, nT若存在无约束的阶梯控制序
列
u(0，),能使, u系(n统从1) 任意初态 转移到任意终x(0态) ，则
称该系统是x状(n态) 完全能控的，简称是能控的。
3.1 系统的能控性
3.1 能控性定义
一．能控性与能观测性的物理概念
系统的可控性和可观性，就是指系统内的所有 状态是否可以由输入影响和是否可由输出反映。
如果系统内部的所有状态的运动都可由输入来影响 和控制而由任意的初始状态达到原点，则称系统是能 控的，或者更确切的说是状态能控的，否则就称系统 为不完全能控的，或简称为系统不可控。
考虑n维线性时不变系统的状态方程
x Ax Bu x(0) x0
如果存在一个有限时刻T和时间段 [0上,T控] 制信u(t)，使得在
这样的控制信号作用下，系统状态从t=0时刻的初始状态 x(0)
转移到t=T时刻的零状态，即 x(T ) ，0则称此状态是能控的。如
果系统的所有状态都是能控的，即能控状态充满整个状态空间， 则称系统是状态完全能控的，简称系统能控。如果状态空间中
对系统的任意的初始状态 x(t，0) 如果能找到输入
u(t)，使之在 [t0,的t f ]有限时间内转移到零状 态 x(tf )， 0则系统状态能控。
先假设这样的u存在， 由系统能控性定义：
凯莱—哈密顿定理可知
时间的函数
由此可知，要想系统完全能控，则上述方程组必
须任意的x0对有解，即系统的能控性判别矩阵满秩。
rankc[ A, B]n p rank[B AB
AnpB] n
其中：p rankB，p p
注：该方法是秩判据的改进，特别适用于多输入 系统，可减少不必要的计算。
例1：已知
x
4 0
0
5
x
1 2
u
判断其能控性。
解：系统阶次 ，确定出可控判别阵
S B
AB
1 2
4 10
rankS 2 n ，所以系统为完全可控。
解：n=3, 系统输入向量是2维的列向量，即p = 2。
2 1
p
=
rankB
=
rank
1
1
=
2
=
p
-1 -1
2 1 3 2
Γc
A, B 3-2
=
1
1
2
2
-1 -1 -2 -2
显见矩阵S3-2的第二行与第三行线性相关，
故 rankc[ A, B] n p 2 3 ，系统不可控。
2. 基于标准型判据
1）对角规范型系统(无重特征值)可控性判别（※） 当矩阵A的特征值 1, 2, , n 为两两相异时，
线性定常连续系统
完全可控的充分必要条件是：其对角线规范型
1
x
2
x
Bu
n
中，B 不包含元素全为零的行。
例4：已知线性定常系统的对角线规范型为
x1 8
x2
0
x3 0
0 1 0
0 x1 0
3. 能控性和能达性
为便于数学处理。不失一般性：可以把终端状态规定为状态 空间中的原点 ，若系统在有限时间内从任一初始状态转移至零 状态，则称系统是状态能控的；
反之，也可以把初始状态规定为状态空间中的原点，若系统 从初始零状态在有限时间内转移至任意其他终端状态，则称系 统是状态能达的。
对于线性定常系统，能控性和能达性是等价的。
3.1. 2 能控性判据(※)
1. 秩判据（能控性判别矩阵） ※
定理3.1：对于线性连续定常系统：x Ax 状B态u 完全能控
的充分必要条件是其能控性判别矩阵：
c[ A, B] [B AB A2B An 1B] 满秩
rank c rank[B AB A2B
[证明]：根据能控性的定义可知，
An 1B] n
例2：判断下列系统的可控性
解：
x1 1
x2
0
x3 0
3 2 1
2 x1 2
0
x2
1
3 x3 1
1
1
1
u1 u2
2 1 3 2 5 4
S
1
1
2
2
4
4
1 1 2 2 4 4
矩阵S的第二行与第三行线性相关， 故rankS =2＜3，系统不可控。
例3：用可控性判别矩阵 Sn p判别系统能控性。
如果系统内部所有状态变量的任意形式的运动均可 由输出完全反映，则称系统是状态能观测的，否则就
称系统为不完全可观测的，或简称为系统不可观测。
状态方程：描述了输入引起的状态变化
输入能够控制状态（控制问题）
输出方程：描述了状态变化引起的输出改变
状态能否由输出反映（观测和估计问题）
二． 能控性定义
1．状态能控和系统能控
求满秩的方法：单输入系统： c[A,行B]列式为零
多输入系统：
( c[ A行, B列])(式c为[ A,零B])T
注：秩判据是一种比较方便的判别方法。
补充：可控性判别矩阵 c[ A, B]n p（※）： 线性定常连续系统的状态方程
x(t) Ax(t) Bu(t) x(0) x0 t 0
其中：x为n维状态向量；u为p维输入向量；A 和B分别为(n×n) 和(n×p)常阵。该线性定常连 续系统完全可控的充要条件是：
在线性系统的定性分析中，一个很重要的内容 是关于系统的可控性、可观测性分析。系统的可控、 可观测性是由卡尔曼于60年代首先提出的，事后被 证明这是系统的两个基本结构属性。
本章首先给出可控性、可观测性的严格的数学 定义，然后导出判别线性系统的可控性和可观测性 的各种准则，这些判别准则无论在理论分析中还是 在实际应用中都是很有用的。
第三章 能控性和能观性分析
3.1 系统的能控性（※） 3.2 系统的能观性（※） 3.3 能控能观性的对偶原理 3.4 基于传递函数的能控能观性条件
第三章 能控性和能观性分析
本章主要介绍定性分析方法，即对决定系统运 动行为和综合系统结构有重要意义的关键性质（如 可控性、可观测性、稳定性等）进行定性研究。
0
x2
3
2 x3 0
1
0 2
u1 u2
判断系统的可控性。
解：由于此规范型中 不包含元素全为零的行， 故系统完全可控。
2）约当规范型系统（有重特征值）可控性判别
当系统矩阵A有重特征值时，线性定常连 续系统
完全可控的充分必要条件是：由其导出的约当 规范型 xˆ Aˆ xˆ Bˆu 中，Bˆ 中与同一特征值的各 约当块对应的各子块的最后一行组成的矩阵是 行线性无关的。