第四章连续时间傅里叶变换
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—连续时间傅立叶变换
本节主要内容
非周期信号傅里叶变换公式推导
傅里叶变换的收敛条件
常见信号的傅里叶变换
3
一.从傅立叶级数到傅立叶变换
1, t T1 x t 周期矩形脉冲: 0, T1 t T0 / 2 2 sin k0T1 2 sin k0T1 T0 ak 频谱系数为： ak k0T0 k0
2 0 对应的时域信号。
18
频移的冲激信号： X j 2 0 傅立叶反变换得：xt 1 2
2 0 e jt d e j0t
表明：周期性复指数信 F 周 j0t 期 e 2 0 号的频谱是一个冲激。 信 F jk0t 号 e 2 k0 的 F 傅 x(t ) ak e jk0t 2 ak ( k0 ) 立 k k 叶 变 即周期信号的傅立叶变换为： X ( j ) 2 ak ( k0 ) 换 k
23
4.3 连续时间傅立叶变换的性质
讨论连续时间傅立叶变换的性质, 揭示信号时域、频域特
2 0
T0 ak
0
非 周 期 信 号 的 表 示
4.1 4
20
a
4 0
T0 ak
0
40
b
(a) T0 4T1
(b) T0 8T1
当T0 T0ak 包络的谱线间隔 ，被采样的间隔越来越小 。
周期趋近于无穷大时，即 T0 时，原来
的周期方波就趋近于一个矩形脉冲，此时傅里
0
xt e
jk0t
dt X ( j )
非周期信号的傅立叶变换
周期延拓后周期 信号的频谱系数
令
即
X j
x t e jt dt
非 周 期 信 号 的 表 示
4.1 7
1 1 ak X j X jk0 T0 T0 k
1
W
x(t )
W
0
W
0
t
W
对偶情况如下图所示:
4.1 非 周 期 信 号 的 表 示
结论：信号在时域和频域之间有相反关系,即信号 在时域脉冲越窄,则其频谱主瓣越宽,反之亦然。
16
可以想象，如果
，
将趋向于一个冲激；反之时
域无限长时，频域可能是个冲激。 例6：求 x t 1 的傅立叶变换 X j 。 分析：1）不满足收敛条件，不能由傅立叶变换公式求； 2）该信号在时域持续无限长，根据上例，在频域 可能无限窄，即傅立叶变换可能是冲激信号； 3）用频域的一个冲激信号 ，求对应时域信号。 1 解：由傅氏反变换公式：x(t ) X ( j )e jt d， 的时域信号为: 2 4.1 非 周 期 信 号 的 表 示 17
非 周 期 信 号 的 表 示 4.1 6
当T0
周期性矩形脉冲信号将演变成为 时， 非周期的单个矩形脉冲信号，即
~ (t ) xt x
考查 T0 ak 的变化: 它在 T0 时可以是有限的。 由 令
T0 ak
T0 2
T0 2
xt e
jk0t
dt
T0
得 Tlim T0 ak
0
表明：1.而非周期信号的频谱是周期信号频谱的包络； 2.周期信号的频谱系数，是与它对应的非周期信号
频谱的等间隔样本，并与之成正比。
物理含义，因而称其为频谱密度函数。
ak X ( j ) lim T0 ak lim 具有频谱随频率分布的 T0 T0 , f0 0 f 0
根据周期信号的傅立叶系数表示：
4.1 非 周 期 信 号 的 表 示 5
叶系数的采样间隔也越来越密集，因此，傅里
叶系数更加趋近于包络函数。 非周期信号傅里叶表示的基本思想： 把非周期信号当作一个周期信号在周期任意 大时的极限来看待，并且研究这个周期信号傅里 叶表示式的极限特性。
~ (t ) x :周期性矩形脉冲信号； xt :等于一个周期内的~ (t ) ，具有有限持续期。 x
~t x
k
ak e jk0t
1 T0
源自文库
k
X jk0 e jk0t
1 2
k
X jk0 e jk0t 0
非 周 期 信 号 的 表 示
4.1 8
当 T0
~(t ) xt 此时 x 1 x(t ) X ( j )e jt d 于是 2
, a 0，求其傅里叶变换。
at jt
解：X ( j) e e
dt eat e jt dt
0
1 1 2a 非 at jt 周e e dt a j a j a 2 2 0 期
信 号 的 表 示
结论:实偶信号 的傅立叶变换是
20
4.2
2
X ( j ) [ ( 0 ) ( 0 )]
0
0
0
X ( j ) 2
例3. 求x(t )
周 期 信 号 的 傅 立 叶 变 换
n
(t nT )的傅立叶变换。
2 2
k
a ( k )
k 0
1 解：ak T
T
T
(t )e
j
2 kt T
1 dt T
1 T 2 (t )dt T
T 2
21
4.2
2 X ( j ) T
2 ( T k ) k
例4.周期性矩形脉冲的傅里叶变换。
周 期 信 号 的 傅 立 叶 变 换 4.2
解：由X ( j ) 2
T1 0 T1
1
脉宽变宽时
t
0
T1
x(t )
0
X ( j )
4T1
2T11 2T
2T1
2T1
t
1 T0
将 X ( j ) 中的 代之以 k0 再乘以
ak
,即是相应周期信号的频谱。
2T1 2T Sink0T1 Sa(k0T1 ) 1 T0 T0 k0T1
1, 例5.理想低通滤波器 X ( j ) 0,
实偶函数,如图
示信号的频谱。
则模：X ( j ) X ( j )
x(t )
1
X ( j ) 0
1 a
2 a
a
X ( j )
t
12
0
a
例3. x(t ) (t )，求其傅里叶变换。
解： ( j) (t )e jt dt 1 X
非 周 期 信 号 的 表 示
13
0
4.1
这表明 (t ) 中包括了所有的频率成分,所有 频率分量的幅度、相位都相同。因此单位冲激响 应
h(t )才能完全描述一个LTI系统特性， (t ) 才在
(t )
1
信号与系统分析中具有如此重要的意义。
X ( j )
t
0
例4.求矩形脉冲的傅里叶变换:
解：X ( j ) e
X j
三、 常用信号的傅立叶变换：
xt e jt dt
实信号x(t ) e at u(t ), a 0，求傅立叶变换，画出其模、相位特性图。 例1.
非 周 期 信 号 的 表 示
解: X ( j)
0
e at e jt eat e jt dt a j
c. 在任何有限区间内， x(t ) 只有有限个第一类间断点。
注意：这些条件只是傅立叶变换存在的充分条件，这两 组条件并不等价。
和周期信号的情况一样，当
x(t ) 的傅立叶变换存在，其傅
立叶变换在 x(t )的连续处收敛于信号本身,在间断点处收敛于左 右极限的平均值，在间断点附近会产生Gibbs现像。
k
a ( k )，先求a
k 0
k
22
周期信号的傅立叶变换存在条件：
周 期 信 号 的 傅 立 叶 变 换 4.2 周期信号不满足无穷时间内的绝对可积条件； 引入冲激信号后，周期信号的傅立叶变换是存在的； 周期信号的频谱是离散的，其频谱密度，即傅立叶变 换是一系列冲激。
x(t ) dt ，则 X ( j )
存在
表明:能量有限的信号其傅立叶变换一定存在。
2.
Dirichlet 条件
a. 绝对可积条件： 非 周 期 信 号 的 表 示 4.1 10
x(t ) dt
x(t )
b. 在任何有限区间内， x(t )只有有限个极值点，且 极值有限。
T1 T1 jt
1, x (t ) 0,
t T1 t T1
。
2SinT1 2T1SinT1 T1 dt 2T1Sa(T1 ) 2T1Sinc( ) T1
X ( j )
非 周 期 信 号 的 表 示
14
4.1
1 x(t )
2T1
X j x t e jt dt 傅立叶变换对公式： 1 x(t ) X ( j )e jt d 2
4.1 9
二.傅立叶变换的收敛
和傅立叶级数的收敛条件一致，也有相应 的两组条件： 1.平方可积条件
2
若
1 x t 2
1 e d 2
jt
1 FT 2
x t 1 2
FT
§4.2周期信号的傅立叶变换
周期信号不满足收敛条件, 不能用4.1节非周期信
号的傅立叶变换公式求其傅里叶变换。
但是周期信号在时域的持续时间是无限长的，那么 其频域可能是一系列的冲激，而原点处的冲激对应的是 常数（课件4.1节例6所示），所以这里观察频移的冲激
第四章
连续时间傅立叶变换
主要内容
傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系 连续时间傅立叶变换 傅立叶变换的性质
系统的频率响应
1
§4.0
引 言
在工程应用中有相当广泛的信号是非周期
信号，本章要解决的问题有两个：
1. 对非周期信号应该如何进行分解？
2. 什么是非周期信号的频谱表示？
2
§ 4.1 非周期信号的表示
2 时， 0 d , k0 , T0 ~(t ) 1 X j e jt d x 2
傅里叶逆变换
上式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率连续 1 分布的、振幅为 X j d 的复指数信号之和。 2
非 周 期 信 号 的 表 示
1 a j t 0~
1
11
4.1
则模： ( j ) X , 相位： X ( j ) tg a a2 2
1
X ( j )
X ( j )
x(t )
1
1/ a
2 2a
2
t
0
a
0
a
a
2
a
例2. x(t ) e
4.1
a t
0
19
4.2
这表明,周期信号的傅立叶变换由一系列冲激组成,每一个冲激分别 位于信号各次谐波的频率处,其强度正比于傅立叶级数系数
ak
。
1 j0t j0t [e e ] 的傅里叶变换。 2j 解： x(t )的频谱系数ak 为：a1 = 1 ，a-1 = -1 ，其他ak =0 2j 2j
例1：求周期信号 x(t ) Sin0t
周 代入周期信号的傅立叶变换公式：X ( j ) 2 ak ( k0 ) 期 k 信 号 X ( j ) X ( j ) [ ( 0 ) ( 0 )] j 的 j 0 傅 0 0 1 j0t j0t 立 例2.求x(t ) cos 0t [e e ] j 2 叶 的傅立叶变换。 变 换 1 X ( j ) 解：a1 =a-1 = ，其他ak =0，则
W ，求其时域表达式。 W
jt
1 解：由x(t ) 2
X ( j )e d
非 周 期 信 号 的 表 示
15
4.1
1 W jt SinWt W W Wt x(t ) e d Sa(Wt ) Sinc( ) 2 W t
X ( j )
本节主要内容
非周期信号傅里叶变换公式推导
傅里叶变换的收敛条件
常见信号的傅里叶变换
3
一.从傅立叶级数到傅立叶变换
1, t T1 x t 周期矩形脉冲: 0, T1 t T0 / 2 2 sin k0T1 2 sin k0T1 T0 ak 频谱系数为： ak k0T0 k0
2 0 对应的时域信号。
18
频移的冲激信号： X j 2 0 傅立叶反变换得：xt 1 2
2 0 e jt d e j0t
表明：周期性复指数信 F 周 j0t 期 e 2 0 号的频谱是一个冲激。 信 F jk0t 号 e 2 k0 的 F 傅 x(t ) ak e jk0t 2 ak ( k0 ) 立 k k 叶 变 即周期信号的傅立叶变换为： X ( j ) 2 ak ( k0 ) 换 k
23
4.3 连续时间傅立叶变换的性质
讨论连续时间傅立叶变换的性质, 揭示信号时域、频域特
2 0
T0 ak
0
非 周 期 信 号 的 表 示
4.1 4
20
a
4 0
T0 ak
0
40
b
(a) T0 4T1
(b) T0 8T1
当T0 T0ak 包络的谱线间隔 ，被采样的间隔越来越小 。
周期趋近于无穷大时，即 T0 时，原来
的周期方波就趋近于一个矩形脉冲，此时傅里
0
xt e
jk0t
dt X ( j )
非周期信号的傅立叶变换
周期延拓后周期 信号的频谱系数
令
即
X j
x t e jt dt
非 周 期 信 号 的 表 示
4.1 7
1 1 ak X j X jk0 T0 T0 k
1
W
x(t )
W
0
W
0
t
W
对偶情况如下图所示:
4.1 非 周 期 信 号 的 表 示
结论：信号在时域和频域之间有相反关系,即信号 在时域脉冲越窄,则其频谱主瓣越宽,反之亦然。
16
可以想象，如果
，
将趋向于一个冲激；反之时
域无限长时，频域可能是个冲激。 例6：求 x t 1 的傅立叶变换 X j 。 分析：1）不满足收敛条件，不能由傅立叶变换公式求； 2）该信号在时域持续无限长，根据上例，在频域 可能无限窄，即傅立叶变换可能是冲激信号； 3）用频域的一个冲激信号 ，求对应时域信号。 1 解：由傅氏反变换公式：x(t ) X ( j )e jt d， 的时域信号为: 2 4.1 非 周 期 信 号 的 表 示 17
非 周 期 信 号 的 表 示 4.1 6
当T0
周期性矩形脉冲信号将演变成为 时， 非周期的单个矩形脉冲信号，即
~ (t ) xt x
考查 T0 ak 的变化: 它在 T0 时可以是有限的。 由 令
T0 ak
T0 2
T0 2
xt e
jk0t
dt
T0
得 Tlim T0 ak
0
表明：1.而非周期信号的频谱是周期信号频谱的包络； 2.周期信号的频谱系数，是与它对应的非周期信号
频谱的等间隔样本，并与之成正比。
物理含义，因而称其为频谱密度函数。
ak X ( j ) lim T0 ak lim 具有频谱随频率分布的 T0 T0 , f0 0 f 0
根据周期信号的傅立叶系数表示：
4.1 非 周 期 信 号 的 表 示 5
叶系数的采样间隔也越来越密集，因此，傅里
叶系数更加趋近于包络函数。 非周期信号傅里叶表示的基本思想： 把非周期信号当作一个周期信号在周期任意 大时的极限来看待，并且研究这个周期信号傅里 叶表示式的极限特性。
~ (t ) x :周期性矩形脉冲信号； xt :等于一个周期内的~ (t ) ，具有有限持续期。 x
~t x
k
ak e jk0t
1 T0
源自文库
k
X jk0 e jk0t
1 2
k
X jk0 e jk0t 0
非 周 期 信 号 的 表 示
4.1 8
当 T0
~(t ) xt 此时 x 1 x(t ) X ( j )e jt d 于是 2
, a 0，求其傅里叶变换。
at jt
解：X ( j) e e
dt eat e jt dt
0
1 1 2a 非 at jt 周e e dt a j a j a 2 2 0 期
信 号 的 表 示
结论:实偶信号 的傅立叶变换是
20
4.2
2
X ( j ) [ ( 0 ) ( 0 )]
0
0
0
X ( j ) 2
例3. 求x(t )
周 期 信 号 的 傅 立 叶 变 换
n
(t nT )的傅立叶变换。
2 2
k
a ( k )
k 0
1 解：ak T
T
T
(t )e
j
2 kt T
1 dt T
1 T 2 (t )dt T
T 2
21
4.2
2 X ( j ) T
2 ( T k ) k
例4.周期性矩形脉冲的傅里叶变换。
周 期 信 号 的 傅 立 叶 变 换 4.2
解：由X ( j ) 2
T1 0 T1
1
脉宽变宽时
t
0
T1
x(t )
0
X ( j )
4T1
2T11 2T
2T1
2T1
t
1 T0
将 X ( j ) 中的 代之以 k0 再乘以
ak
,即是相应周期信号的频谱。
2T1 2T Sink0T1 Sa(k0T1 ) 1 T0 T0 k0T1
1, 例5.理想低通滤波器 X ( j ) 0,
实偶函数,如图
示信号的频谱。
则模：X ( j ) X ( j )
x(t )
1
X ( j ) 0
1 a
2 a
a
X ( j )
t
12
0
a
例3. x(t ) (t )，求其傅里叶变换。
解： ( j) (t )e jt dt 1 X
非 周 期 信 号 的 表 示
13
0
4.1
这表明 (t ) 中包括了所有的频率成分,所有 频率分量的幅度、相位都相同。因此单位冲激响 应
h(t )才能完全描述一个LTI系统特性， (t ) 才在
(t )
1
信号与系统分析中具有如此重要的意义。
X ( j )
t
0
例4.求矩形脉冲的傅里叶变换:
解：X ( j ) e
X j
三、 常用信号的傅立叶变换：
xt e jt dt
实信号x(t ) e at u(t ), a 0，求傅立叶变换，画出其模、相位特性图。 例1.
非 周 期 信 号 的 表 示
解: X ( j)
0
e at e jt eat e jt dt a j
c. 在任何有限区间内， x(t ) 只有有限个第一类间断点。
注意：这些条件只是傅立叶变换存在的充分条件，这两 组条件并不等价。
和周期信号的情况一样，当
x(t ) 的傅立叶变换存在，其傅
立叶变换在 x(t )的连续处收敛于信号本身,在间断点处收敛于左 右极限的平均值，在间断点附近会产生Gibbs现像。
k
a ( k )，先求a
k 0
k
22
周期信号的傅立叶变换存在条件：
周 期 信 号 的 傅 立 叶 变 换 4.2 周期信号不满足无穷时间内的绝对可积条件； 引入冲激信号后，周期信号的傅立叶变换是存在的； 周期信号的频谱是离散的，其频谱密度，即傅立叶变 换是一系列冲激。
x(t ) dt ，则 X ( j )
存在
表明:能量有限的信号其傅立叶变换一定存在。
2.
Dirichlet 条件
a. 绝对可积条件： 非 周 期 信 号 的 表 示 4.1 10
x(t ) dt
x(t )
b. 在任何有限区间内， x(t )只有有限个极值点，且 极值有限。
T1 T1 jt
1, x (t ) 0,
t T1 t T1
。
2SinT1 2T1SinT1 T1 dt 2T1Sa(T1 ) 2T1Sinc( ) T1
X ( j )
非 周 期 信 号 的 表 示
14
4.1
1 x(t )
2T1
X j x t e jt dt 傅立叶变换对公式： 1 x(t ) X ( j )e jt d 2
4.1 9
二.傅立叶变换的收敛
和傅立叶级数的收敛条件一致，也有相应 的两组条件： 1.平方可积条件
2
若
1 x t 2
1 e d 2
jt
1 FT 2
x t 1 2
FT
§4.2周期信号的傅立叶变换
周期信号不满足收敛条件, 不能用4.1节非周期信
号的傅立叶变换公式求其傅里叶变换。
但是周期信号在时域的持续时间是无限长的，那么 其频域可能是一系列的冲激，而原点处的冲激对应的是 常数（课件4.1节例6所示），所以这里观察频移的冲激
第四章
连续时间傅立叶变换
主要内容
傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系 连续时间傅立叶变换 傅立叶变换的性质
系统的频率响应
1
§4.0
引 言
在工程应用中有相当广泛的信号是非周期
信号，本章要解决的问题有两个：
1. 对非周期信号应该如何进行分解？
2. 什么是非周期信号的频谱表示？
2
§ 4.1 非周期信号的表示
2 时， 0 d , k0 , T0 ~(t ) 1 X j e jt d x 2
傅里叶逆变换
上式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率连续 1 分布的、振幅为 X j d 的复指数信号之和。 2
非 周 期 信 号 的 表 示
1 a j t 0~
1
11
4.1
则模： ( j ) X , 相位： X ( j ) tg a a2 2
1
X ( j )
X ( j )
x(t )
1
1/ a
2 2a
2
t
0
a
0
a
a
2
a
例2. x(t ) e
4.1
a t
0
19
4.2
这表明,周期信号的傅立叶变换由一系列冲激组成,每一个冲激分别 位于信号各次谐波的频率处,其强度正比于傅立叶级数系数
ak
。
1 j0t j0t [e e ] 的傅里叶变换。 2j 解： x(t )的频谱系数ak 为：a1 = 1 ，a-1 = -1 ，其他ak =0 2j 2j
例1：求周期信号 x(t ) Sin0t
周 代入周期信号的傅立叶变换公式：X ( j ) 2 ak ( k0 ) 期 k 信 号 X ( j ) X ( j ) [ ( 0 ) ( 0 )] j 的 j 0 傅 0 0 1 j0t j0t 立 例2.求x(t ) cos 0t [e e ] j 2 叶 的傅立叶变换。 变 换 1 X ( j ) 解：a1 =a-1 = ，其他ak =0，则
W ，求其时域表达式。 W
jt
1 解：由x(t ) 2
X ( j )e d
非 周 期 信 号 的 表 示
15
4.1
1 W jt SinWt W W Wt x(t ) e d Sa(Wt ) Sinc( ) 2 W t
X ( j )