第四章连续时间傅里叶变换
连续时间傅里叶变换
连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换（Continuous-Time Fourier Transform，CTFT）是傅里叶变换（Fourier Transform，FT）的一种，它适用于连续信号。
它能够将连续时间信号表示为一系列相同时间周期内信号幅度和相位不同的空间频率组份，即信号可以按其频率分解为更加精细的空间组份，这也是傅里叶级数的基础。
CTFT可以将任意连续时间信号表示成一组正弦信号的和，即可以将一种信号表示为正弦信号组成的线性组合，这样就可以将信号的复杂性减简，并用数学方法对它进行分析。
从理论上讲，CTFT可以将任意的空间信号表示为一组正弦信号的和，这也是CTFT的核心特性之一，也是CTFT的优势所在。
CTFT的公式可以用以下方式表示：X(ω)=∫-∞σ(t)e-^{jωt} dt其中ω为频率，s(t)为连续时间信号，X(ω)表示其傅里叶变换。
具体而言，CTFT既能够反映信号的时间变化，也能够反映其频域变化，可以将信号从时域变换到频域，允许我们从不同的角度看待信号，从而更好地理解信号。
如果将CTFT与频域分析进行比较，CTFT能够更精确地捕捉信号特征，可以更精确地确定频率、幅度和相位，因此它在信号处理、声学分析和时域分析等方面具有重要作用。
CTFT能够有效应用于维纳滤波器（Wiener Filters）、短时傅里叶变换（Short Time Fourier Transform，STFT）和抗谐波滤波（Notch Filters）等方面，通过CTFT的应用，可以利用频域的信号表示技术来提高信号分析的精度和效率。
总的来说，CTFT是一种非常实用的时域分析工具，它能够密切捕捉信号的复杂性，在信号处理，时域分析和声学分析等方面都有着广泛的应用，为更好地获取信号中的有价值信息提供了重要的视角。
通信原理第四章word版
第四章.连续时间信号与系统频域分析一.周期信号的频谱分析1. 简谐振荡信号是线性时不变系统的本征信号：()()()()()j tj t j tj y t eh t eh d ee h d ωωτωωτττττ∞∞---∞-∞=*==⋅⎰⎰简谐振荡信号傅里叶变换：()()j H j e h d ωτωττ∞--∞=⎰点 测 法： ()()j t y t e H j ωω=⋅ 2.傅里叶级数和傅里叶变换3.荻里赫勒（Dirichlet ）条件（只要满足这个条件信号就可以用傅里叶级数展开）○1()f t 绝对可积，即00()t T t f t dt +<∞⎰○2()f t 的极大值和极小值的数目应有限 ○3()f t 如有间断点，间断点的数目应有限4.周期信号的傅里叶级数5.波形对称性与谐波特性的关系6.周期矩形脉冲信号7.线性时不变系统对周期信号的响应一般周期信号：()jn tnn F ef t ∞Ω=-∞=∑系统的输出 ：()()jn tnn F H jn t e y t ∞Ω=-∞Ω=∑ 二.非周期信号的傅里叶变换（备注）二.非周期信号的傅里叶变换1.连续傅里叶变换性质2.常用傅里叶变换对四.无失真传输1.输入信号()f t 与输出信号()f y t 的关系 时域： ()()f d y t kf t t =-频域：()()dj t f Y ke F ωωω-=2.无失真传输系统函数()H ω ()()()d f j t Y H ke F ωωωω-==无失真传输满足的两个条件：○1幅频特性：()H k ω= （k 为非零常数） 在整个频率范围内为非零常数 ○2相频特性：ϕ()d t ωω=- （ 0d t > ）在整个频率范围内是过坐标原点的一条斜率为负的直线3. 信号的滤波：通过系统后 ○1产生“预定”失真○2改变一个信号所含频率分量大小 ○3全部滤除某些频率分量 4.理想低通滤波器不存在理由：单位冲击响应信号()t δ是在0t =时刻加入滤波器 的，而输出在0t <时刻就有了，违反了因果律5.连续时间系统实现的准则时 域 特 性 ： ()()()h t h t u t =（因果条件） 频 域 特 性 ： 2()H d ωω∞-∞<∞⎰佩利-维纳准则（必要条件）：22()1H d ωωω∞-∞<∞+⎰五.滤波。
连续时间傅里叶变换
第二章 连续时间傅里叶变换1 周期信号的频谱分析——傅里叶级数FS(1) 狄义赫利条件：在同一个周期1T 内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝对可积∞<⎰dt t f T 1)(。
(2) 傅里叶级数：正交函数线性组合。
正交函数集可以是三角函数集}:sin ,cos ,1{11N n t n t n ∈ωω或复指数函数集}:{1Z n e t jn ∈ω，函数周期为T 1，角频率为11122T f π=π=ω。
(3) 任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。
(4) 三角形式的FS ：(i) 展开式：∑∞=ω+ω+=1110)sin ()(n n n t n b t con a a t f(ii) 系数计算公式：(a) 直流分量：⎰=1)(110Tdt t f T a (b) n 次谐波余弦分量：N n tdt n t f T a Tn ∈ω=⎰,cos )(2111(c) n 次谐波的正弦分量：N n tdt n t f T b Tn ∈ω=⎰1,sin )(211(iii) 系数n a 和n b 统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。
(iv) 称11/1T f =为信号的基波、基频；1nf 为信号的n 次谐波。
(v) 合并同频率的正余弦项得：n ψ和n θ分别对应合并后n 次谐波的余弦项和正弦项的初相位。
(vi) 傅里叶系数之间的关系： (5) 复指数形式的FS ：(i) 展开式：∑∞-∞=ω=n t jn n e F t f 1)((ii)系数计算：Z n dt e t f T F Tt jn n ∈=⎰ω-,)(1111(iii) 系数之间的关系：(iv) n F 关于n 是共扼对称的，即它们关于原点互为共轭。
(v) 正负n (n 非零)处的n F 的幅度和等于n c 或n d 的幅度。
(6) 奇偶信号的FS ：(i) 偶信号的FS ： ⎰ω=111cos )(2Tn tdt n t f T a ；0sin )(2111=ω=⎰Tn tdt n t f T b ； n n n a d c ==n n n n n F a jb a F -==-=22 (n F 实，偶对称)；0=ψn ；2π=θn (ii) 偶的周期信号的FS 系数只有直流项和余弦项。
第四章-连续时间傅里叶变换
谱线间隔
0
2π T
k
nT 2T1
2,4,6时，ak 0
k
(b) T=8 T1 -4 0
谱线间隔
0
2π T
k
nT 2T1
4,8,12时，ak 0
k 4
T 2T1 T 2T1
T 不变T1 时
1/ 2
20 0 0 40
1/ 4
80 0 0 40
1/8
0 0
80
T
2T1
2T1 1 k0 T0 2
2T1 1 k0 T0 4
2020/8/9
4.0 引言
在工程应用中常见的信号是非周期信号:
➢对非周期信号应该如何进行分解？ ➢非周期信号的频谱如何表示？ 在时域，若一个周期信号的周期趋于无穷大，则周期信号将演 变成一个非周期信号。 考查连续时间傅立叶级数在周期趋于无穷大时的变化，就能得 到对非周期信号的频域表示方法。
2
4.1 非周期信号的表示— 连续时间傅立叶变换
第4章 连续时间傅立叶变换
The Continuous time Fourier Transform
本章的主要内容: 1. 连续时间非周期信号的傅立叶变换 2. 傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系 3. 傅立叶变换的性质 4. 采样定理
说明：内容1-3对应于教材第4章的4.1-4.6节； 内容4对应与教材第7章7.1-7.3节部分内容
T / 2 x(t )e jk0t dt
T / 2
当 T
0
2
T
d,
k0 ,
若令
lim
T
Tak
X(
j)
则有
X ( j) x(t)e jtdt
连续时间系统的频域分析-资料
傅里叶变换形式的系统函数
et ht rt
设
E H R
若e(t) E(), 或E(j)
第
7
页
二维傅里叶变换的模
模相同，相位为零
模为1，相位相同
第
8
页
相位相同，模为（g）图的
（g）图
4.2 LTI系统频率响应的模和相位表示
The Magnitude-Phase Representation of the Frequency Response of LTI Systems
• LTI系统对输入信号所起的作用包括两个方面: 1.
求 稳 v2 (t)态 响 应
解：
V 1 ( j) j π ( 0 ) ( 奇函0 ) 数
V 2 (j) H (j)V 1 (j)
偶函数
H () j e j ( ) j π ( 0 ) ( 0 )
所 V 2 ( j ) H ( j 0 ) 以 j π ( 0 ) e j ( 0 ) ( 0 ) e j ( 0 )
这说明：一个信号所携带的全部信息分别包含在 其频谱的模和相位中。
因此，导致信号失真的原因有两种： 1.幅度失真：由于频谱的模改变而引起的失真。 2.相位失真：由于频谱的相位改变引起的失真。
在工程实际中，不同的应用场合，对幅度失真 和相位失真有不同的敏感程度，也会有不同的 技术指标要求。
原图像 傅里叶变换的相位
第四章 连续时间系统频域分析 齐开悦
《信号与系统》第四章
图 两个矢量正交
矢量的分解
c2V2
V
V2
2
o
1
V1
c1V1
图 平面矢量的分解
c3V3
V3
V
o V1
V2
c2V2
c1V1
V c1V1 c2V2 c3V3
图 三维空间矢量的分解
推广到n维空间
1 正交函数的定义
在区间 (t1,t内2 )，函数集 {0 (t),1(t中),的,各N个(t)函} 数间，若满足下列 正交条件：
➢在波形任一周期内，其第二个半波波形与第一个半波波形相同；
x(t) x(t T0 / 2)
➢这时x(t)是一个周期减半为
的周期非正弦波，其基波频率
为
，即其只含有偶次谐T0波2；
20
4.4波形对称性与傅里叶系数
4 奇半波对称
➢在波形任一周期内，其第二个半周波形恰为第一个半周波形的
负值； x(t) x(t T0 / 2)
交函数集 {0 (t),1(t), ,N (t)} 是完备的,即再也找不到一个函数 (t)
能满足
t2
(t)
* m
(t
)dt
0
t1
m 0,1, , N
则在区间 (t1,t2 ) 内，任意函数x(t)可以精确地用N+1个正交函数地加权和
表示：
N
x(t) c00 (t) c11(t) cN N (t) cnn (t)
T0
3 傅里叶级数系数的确定
➢正弦—余弦形式傅里叶级数的系数
2Bk
2 T0
x(t) cos k0tdt
T0
2Dk
2 T0
x(t) sin k0tdt
连续时间系统傅里叶变换的性质
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
FT [ x (t ) cos 0t ]
FT [ x( t )] X ( )
X ( )
1 j 0t j 0 t x (t )[e e ] 2
频 移 特 性
1 2
0
1 2
X ( 0 )
X ( )
X ( 0 )
0
0
1 [ X ( 0 ) X ( 0 )] 2
1
2 X ( w ) F { xe ( )} F { xo ( )} j
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
3、时移特性
若 则
x( t ) X ( )
x(t t0 ) X ( )e
j t 0
例4 11 : 求移位冲激函数的频谱 函数
(t ) 1
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
例4 13 : 已知x(t)为三角形调幅信号，试 求其频谱
T 1 2
x1 ( t )
T1 2
T 1 2
x( t )
T1 2
x(t ) x1 (t ) cos0t
T1 2 T1 X 1 ( ) Sa ( ) 2 4
P147
T1 2 ( 0 )T1 2 ( 0 )T1 X ( ) [ Sa Sa ] 4 4 4
( j )
(t t0 ) e
(t t0 ) e
jt 0
jt 0
t 0
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
思考:下列信号的傅立叶变换
x( t )
1
t
2
X ( w) 2e
jw
sinc( w)
第三、四章连续时间信号与系统的频域分析内容总结
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
8 页
例15、试求信号f(t)=cos(4t+ )的频谱 。 3
解：
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
9 页
例16、一因果LTI系统的输入和输出，由下列微分方程表示：（采用傅里叶变
换计算）。 （1）求系统的单位冲激响应 h( t ) ；
d 2 y( t ) dy( t )
X
第
连续时间信号与系统的频域分析内容总结
2 页
第四章是傅里叶变换在LTI系统分析中的应用。 在第三章信号频域分解、分析基础上，研究不同激励信号 通过系统的响应、信号通过系统无失真条件、理想低通滤波器 模型以及物理可实现条件、希尔伯特变换、抽样定理等主要内 容。
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
3) (j
5)
1ห้องสมุดไป่ตู้
j
3
1
j 5
2
j
4
y z s(t ) e 3t (t ) e 5t (t ) 2e 4t (t )
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
10 页
例17、如图所示系统，其乘法器的两个输入端分别为：f (t) sin(2t) , s(t) cos(6t)
系统的频率响应为
8
15y( t ) 2 f ( t )
dt 2
dt
（2）若 f ( t ) e4t( t ) ，求该系统的零状态响应 yzs (t) 。
解： （1）
H ( j)
2
11
j2 8 j 15 j 3 j 5
h(t) e 3t(t) e 5t(t)
（2）
奥本海姆《信号与系统》配套题库【名校考研真题】(连续时间傅里叶变换)
）。[西安电子科技大学 2010
A． f1 t t0 f2 t t0 f t B． f t t f t
C． f t t f t
D． f1 2t f2 2t f 2t
【答案】D
【解析】根据傅里叶变换性质和卷积定理， f1 2t f2 2t 的傅里叶变换为：
1 2
F1
f
(t)
2t
d dt
cos
2t
π 3
t
的傅里叶变换
F j
等于（
）。[西安电子科
技大学 2008 研]
A．1 j
B．1 j
C．-1
D． ej
【答案】C
【解析】由于
f
(t )
2t
d dt
cos
2t
π 3
t
t t ，根据常用傅里叶变换和时域微分
定理，可知 t j 。再根据频域微分性质，可得 t t 1。
求 cos0t 的傅里叶变换：
cos
0t
cos
0
t
0
FT
j
πe 0
0
0
所以：
1 2π
F
F
cos 0t
ej 0
0
2
F
0
ej 0
0
2
F
0
则其频带宽度为 0 W ，因为 0 W ，所以 0 W 0 。
6．设 f t f1 t f2 t ，则下列卷积等式丌成立的是（
tf (t) j dF ；再由时秱性质，可知 (1 t) f (1 t) j dF() ej 。
d
பைடு நூலகம்
d
10．已知信号 f (t) 的频带宽度为 ，则信号 y(t) f 2 (t) 的丌失真采样间隔（奈奎斯
信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社 第四章-3
时域展缩特性： f (at )
1 F( j ) a a
f (－t ) F (－j )
时移特性： f (t t 0 ) F ( j ) e j t0
f ( at b ) 1 a
b j F ( j ) e a ，a、b为常数, a
a
0
八 频移特性：
0
f (t )
2
t
2
c
c
F ( j )
t
c 0 c
六 时域展缩特性：
1 f ( t ) F ( j )，则 f (at ) F ( j ) , a 是不为零的实数 a a
|a|>1 |a|<1
时域压缩，频域扩展 时域扩展，频域压缩
门信号的频谱
当a＝－ 1时， f (－t ) F (－j ) 时域翻转对应频域翻转
例：求如图所示信号的频谱。
f (t )
1.5 1
f(t)=f1(t)+f2(t) 那么，利用傅里叶变化的线性性质，
-1.5
-0.5 0 0.5 1.5
t
f1(t) 1 1.5
F[f(t)]＝F[f1(t)]＋F[f2(t)]
-1.5
0
t
f2(t)
0.5 -0.5 0 0.5 t
三 奇偶特性 ——时域波形的对称性与频谱函数的关系 1.偶信号的频谱是偶函数，奇信号的频谱是奇函数。 2. 如果f(t)为实信号， 频谱的实部为偶函数，虚部为奇函数；
能量有限信号的 Passeval等式 1 2 2 绝对可积的非周期信号， E f ( t ) dt | F ( j ) | d 2 |F(jw)|2 ~w 能量谱
第4章傅里叶变换
X ( jω ) → x(t )
F 1
4.1.3 傅里叶变换的收敛问题
傅里叶级数的推导过程源于周期信号的傅里 叶级数。在数学上，傅里叶变换的收敛条 件和傅里叶级数的收敛条件是类似的。与 周期信号的情况一样，我们采用能量的观 点来讨论傅里叶变换的收敛性。
逼近
1 2π
∫
∞
∞
X ( j ω ) e jω t d ω
jω t
∞
W
π
Sa (Wt )
x(t )
w /π
π
w
w
4.2 周期信号的傅里叶变换
本小节主要研究周期信号的傅里叶变换。 上一节的讨论并没有限定信号为非周期信 号，周期信号当然也可以有傅里叶变换 （注意，不是傅里叶级数）。 显然，周期信号是不满足傅里叶变换的收 敛条件的，然而，鉴于周期信号的特殊地 位，我们不得不考虑周期信号的傅里叶变 换。
∫
T /2
T / 2
∞
δ (t )e
jkω 0t
1 dt = T
2π ω0 = T
2π X ( jω ) = ∑ δ (ω kω 0 ) k = ∞ T
X ( jω )
……
2π / T
……
ω
4.3 傅里叶变换的性质
在讨论了傅里叶变换的定义以后，我们来研究一 在讨论了傅里叶变换的定义以后， 下傅里叶变换的性质。 下傅里叶变换的性质。这些性质对于加深对傅里 叶变换的理解有着重要的作用。 叶变换的理解有着重要的作用。
也就是说，两个信号的线性组合的频谱，等于这两个信号的 也就是说，两个信号的线性组合的频谱， 频谱的线性组合。 频谱的线性组合。
4.3.2 时移性质
x (t t0 )
X ( jω ) =
奥本海姆《信号与系统》配套题库【章节题库】(连续时间傅里叶变换)
第 4 章 连续时间傅里叶变换 基本题 4.1 利用傅里叶变换分析式，求下列信号的傅里叶变换： （a） （b） 概略画出每一个傅里叶变换的模特性并给以标注。 解：（a）
（b）
|Xa（jω）|，|Xb（jω）|分别如图 4-1（a）、（b）所示。
来表示。列于表 4.1 中的各傅里叶变换性质对解此题是有用的。
（a）
（b）
（c）
解：（a）设
，则
，
故 （b）
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（c）
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4.7 对于下列各傅里叶变换，根据傅里叶变换性质（见表 4-1）确定对应于时域信号，
是否为（i）实，虚，戒都丌是；（ii）偶、奇，戒都丌是。应该丌通过求出逆变换来解此题。ห้องสมุดไป่ตู้
（a）
（b）
（c）
，其中
且
（d）
解：（a）根据共轭对称性可知，若 x1（t）为实函数，则应有
，由
于 X（jω）丌满足共轭对称性，所以 x1（t）丌是实信号。同样，由于 X（jω）丌是偶函数，
所以 x1（t）也丌是偶信号。
（b）由于实的奇信号的傅里叶变换是一个纯虚的奇函数，由此可断定：一个纯虚的奇
信号的傅里叶变换是一个实的奇函数。由于 X1（jω）是一个实的奇函数，因此，x2（t）是
信号。
（b）设
，
，
可见，y（t）是周期的，它的周期是 2π/5。 （c）根据（a）和（b）的结果可知，两个非周期信号的卷积有可能是周期的。
4.14 考虑一个信号 x（t），其傅里叶变换为 X（jω），假设给出下列条件：
第四章-傅里叶变换
X(kΩ0)T 1T~ x(t)ejkΩ0tdt
其中 T 为~x(t) 的周期，<T>表示长度为 T 的任意区间。此即连续 傅里叶级数（Continuous Fourier Series, CFS）。从上述公式可 以看出，连续时间周期信号 ~x(t) 可以表示为与其重复频率 Ω0 成 谐波关系的一系列复正弦信号 ejΩ0t 的线性组合，每个 ejΩ0t 的复 数幅度就是傅里叶级数的系数 X(kΩ0)。
第四章 傅里叶变换
1. 连续和离散傅里叶级数 2. 连续和离散傅里叶变换 3. 傅里叶级数与傅里叶变换的比较 4. 有限长序列的离散傅里叶变换
傅里叶，1768－1830
1. 连续和离散傅里叶级数
任何连续时间周期信号 ~x(t) ，只要它满足狄里赫利（Dirichlet） 条件（后面介绍），都可以展开为复正弦形式的傅里叶级数：
(2N1+1)
…
…
─N
0
N
k
1.连续和离散傅里叶级数
周期信号频谱的特点： 1. 连续时间和离散时间周期信号的频谱都是离散频谱，两条
谱线之间的间隔等于重复频率（ Ω0 =2π/T 或 ω0 =2π/N）。 2. 连续时间周期信号包含无穷多条谱线，即有无穷多个成谐
波关系的复正弦分量组成；离散时间周期信号的谱线具有 周期性，在频域上为 2π，在 k 域上为 N。
连续傅里叶级数的收敛条件：
条件1
~ x(t)X(kΩ 0)ejΩ k0t, Ω 02π/T
k
X(kΩ0)T 1T~ x(t)ejkΩ0tdt
在任何一个周期内必须模可积，即
~x(t)dt T
X (k Ω 0 ) T 1 T ~ x (t)e jΩ k 0 td T t 1 T ~ x (t)d t
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
在实际中，信号是有始(因果)信号，即t<0 时，f(t)=0，因此
F ( s ) f (t )e st dt
0
上式称为f(t)的单边拉氏变换。积分下限 t=0- ，是将起始状态考虑进去，并且用拉氏 变换求解微分方程，无需专门计算0- 到0+ 的 跳变。 而拉氏反变换的积分限并不改变。
信号f(t)可分解为复指数函数est=eσtejωt 的线性组合。在这里由于σ可正、可负， 也可为零，因此这些复指数函数可以是增 幅的、减幅的或等幅的振荡信号，这与傅 里叶分析中作为基本信号的等幅振荡信号 ejωt相比，具有更普遍的意义。 复频率函数F(s)与傅里叶变换F(jω)相似， 是一个频谱密度函数，它反映了信号的基 本特征，因此可以利用拉普拉斯变换在复 频域对信号进行分析。
4.1.3单边拉普拉斯变换的收敛域
若满足
0
| f (t )e t | dt
则f(t)的单边拉普拉斯变换F(s)存在。使F(s)存在 的σ取值范围，称为f(t)的单边拉普拉斯变换F(s) 的收敛域。 单边拉普拉斯变换收敛域与因果信号双边拉普拉斯 变换的收敛域是相同的，即单边拉普拉斯变换的收 敛域为 Re[s]=σ>σ0(σ0为某一确定的实数) 它是以收敛轴Re[s]=σ0为收敛边界的S平面的右边 区域。σ0与信号f(t)在t≥0时的特性有关，信号 一经给定，则σ0就是确定的。
f ( t ) e at ( t ) lim f ( t )e t ] 0 [
t
( a 0)
若f ( t )乘以e t，并满足 a，就可以得到 即信号f ( t )e t 满足绝对可积条件，其傅里叶变换存在。
第四章-傅里叶变换
离散傅里叶级数涉及到的都是有限项求和，因此只要 ~x(n) 是有 界的，即对所有的 n，都有 |~ x(n)|，则 DFS 的收敛不存在任 何问题。或者说，只要在一个周期内 ~x(n) 的能量是有限的，即
则 DFS 一定收敛。
|~x(n)|2
nN
1. 连续和离散傅里叶级数
周期信号用截短了的傅里叶级数近似：
如果把周期信号 ~x(t)和 ~x(n) 分别展成它们的 CFS 和 DFS，并把
无限项的 CFS 和有限项的 DFS 在某一处截断，分别得到：
~xM(t)
M
X(kΩ0)ejkΩ0t
kM
~ x M (n )2 M 1 1 k M M X ~ (k0 )ej k 0 n , (2 M 1 ) N
nN
这两个公式表明，任意周期序列 ~x(n)都可以表示为与其重复频率 ω0 成谐波关系的一系列复正弦序列 ejω0n 的线性组合，每个 ejω0n 的复数幅度就是离散傅里叶级数的系数 X(kω0)。 CFS 与 DFS 的区别： CFS 是一个无穷级数，而周期为 N 的周 期序列的 DFS 却是一个有限级数，它只有 N 项，即：
(2N1+1)
…
…
─N
0
N
k
1.连续和离散傅里叶级数
周期信号频谱的特点： 1. 连续时间和离散时间周期信号的频谱都是离散频谱，两条
谱线之间的间隔等于重复频率（ Ω0 =2π/T 或 ω0 =2π/N）。 2. 连续时间周期信号包含无穷多条谱线，即有无穷多个成谐
波关系的复正弦分量组成；离散时间周期信号的谱线具有 周期性，在频域上为 2π，在 k 域上为 N。
x(t) akejkt
k
x(n) akejkn
通信原理第4章-傅立叶变换
在调制过程中，原始信号的频谱被搬移到载波的频率上，形成调制信号的频谱。 调制方式的不同会导致频谱形状和带宽的变化。
解调过程
在解调过程中，调制信号的频谱被还原为原始信号的频谱。解调方式的不同会 影响还原的准确性和信噪比。
滤波器设计与应用
滤波器类型
滤波器应用
根据滤波器的频率响应特性，可分为 低通、高通、带通和带阻滤波器等类 型。
滤波器在通信系统中具有广泛的应用， 如去除噪声、分离信号、实现特定频 带内的信号传输等。
滤波器设计
滤波器设计需要考虑滤波器的类型、 截止频率、通带波纹、阻带衰减等参 数，可采用窗函数法、频率采样法等 方法进行设计。
PART 03
离散时间信号傅立叶变换
离散时间信号频谱分析
频谱概念
频谱是频率域中对信号进行描述 的一种方式，表示信号在不同频
数字滤波器设计与应用
数字滤波器类型
包括低通、高通、带通和带阻滤波器等，不同类型的滤波器具有不 同的频谱特性。
数字滤波器设计方法
基于窗函数法、频率采样法和优化算法等进行设计，实现所需的滤 波功能。
数字滤波器应用
在通信系统中用于滤除噪声和干扰，提高信号质量；在图像处理中用 于平滑图像和锐化边缘等；在音频处理中用于实现音效和降噪等。
实验目的和要求
01
02
03
04
掌握傅立叶变换的基本原理和 性质；
熟悉傅立叶变换在通信原理中 的应用；
学会使用相关设备和软件进行 傅立叶变换实验；
分析实验结果，加深对傅立叶 变换的理解。
实验环境和设备配置
01
02
03
04
计算机
配置有MATLAB或Python等 数学计算软件；
4.5非周期信号的连续时间傅里叶变换
R( ) R( ) X ( ) X ( )
是ω的偶函数 是ω的奇函数
F ( j) F ( j) e j ( )
| F ( j) |= R2 () + X 2 ()
R( ) = F ( j ) cos ( ) X ( ) = F ( j ) sin ( )
f (t) 为偶函数， 相位频谱为：
F ( j ) 为
且为
的实函数，
( ) 0
的偶函数。
4.4 连续时间信号傅里叶变换 例：利用双边指数信号求直流信号的傅立叶变换
f (t ) e
1 lim e
0
t
(a>0)
t
FT [1] lim F ( j )
0
2 lim 2 0 2
0
0 0
lim
2[
2 ( )
2 d( )
2
2 lim d 0 2 2
0
1 ( )2
( 2 )]
lim 2 arctan( ) 0
dt
e e
t
0
j t
dt e
0
t
e
j t
dt
1 j
1 j
2 2 2
4.4 连续时间信号傅里叶变换 双边指数信号一
f (t ) e
t
(a>0)
2 F ( j ) 2 2
其振幅频谱为：
2 F ( j ) 2 2
t0 t0
t0 t0
f (t ) sgn(t )
连续时间傅里叶变换
连续时间傅⾥叶变换連續時間傅裡葉變換(Continuous Time Fourier Transform)引⾔傅裡葉變換試圖將⾮週期信號也納⼊到傅裡葉的體系中。
對於⾮週期信號，可以看成是週期無限⾧的週期信號。
當週期無限⼤時，傅裡葉級數的頻率分量就變成了⼀個連續域。
⾮週期信號的表⽰：連續時間傅裡葉變換⾸先以週期⽅波為例，即在⼀個週期內x(t)=1,|t|<T10,T1<|t|<T/2若將其表⽰為傅裡葉級數，其傅裡葉級數的係數為a k=2sin(kω0T1)kω0T將其在頻域圖上畫出來，並逐漸增⼤週期T就可以得到下圖可想⽽知，隨著T的增⼤，頻率越來越⼩，包絡線裡⾯的頻率越來越密集，最終形成⼀條連續的曲線。
傅裡葉變換的⼯作就是要求出這條曲線，從⽽完成信號從時域到頻域的轉換。
這就是對⾮週期信號建⽴傅裡葉級數表⽰的基本思想。
將˜x(t)看作是x(t)的⼀個週期，由於傅裡葉的級數表⽰是在⼀個週期內推出來的，所以對於⾮週期信號的⼀個週期，也有˜x(t)=+∞∑k=−∞a k e jkω0t a k=1T∫T2−T2˜x(t)e−jkω0t dt由於⾮週期信號可以看成只有⼀個週期的信號，所以在週期之外，即|t|>T/2時，x(t)=0，⽽在週期之內，˜x(t)=x(t)，則有a k=1T∫+∞k=−∞x(t)e−jkω0t dt則可以得到X(jω)=Ta k=∫+∞−∞x(t)e−jωt dt 稱X(jω)為Ta k的包絡。
再將a k=X(jω)T代⼊式1得˜x(t)=+∞∑k=−∞1T X(jkω0)ejkω0t=12π+∞∑k=−∞X(jkω0)e jkω0tω0當T→∞時，˜x(t)→x(t),ω0→0，因此ω0可以看作⼀個微分，⽽右端式⼦可以看作⼀個積分式。
則有x(t)=12π∫+∞−∞X(jω)e jωt dω{⽽X(jω)=∫+∞−∞x(t)e−jωt dt這兩式即稱為⼀對傅裡葉變換對。
信号与系统(华中科技大学)ch4傅里叶变换lec[41]
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10
1.4 连续时间傅里叶变换 (Fourier Transform)
∆
时：频率分量的频率由离散
变成连续
令:
→
∆→
表示 分量的 幅度密度 & 相位
→
华中科技大学光学与电子信息学院
傅里叶(正)变换
11
1.5 傅里叶逆变换 (Inverse Fourier Transform)
Parseval’s Relation (帕斯瓦尔定理)
能量有限的非周期信号，其能量等于 所有频率分量处的能量密度之积分
华中科技大学光傅里叶变换
周期信号:
非周期信号:
基本 信号
, ∈ (整数) 频率离散, 谐波关系
, ∈ (实数)
频率连续, 无谐波关系
信号 分解
华中科技大学光学与电子信息学院
4
目录
1. 连续时间非周期信号的傅里叶变换 2. 典型非周期信号的傅里叶变换 3. 连续时间周期信号的傅里叶变换 4. 连续时间傅里叶变换的性质 5. 傅里叶变换的卷积和相乘性质 6. 线性常系数微分方程描述系统 7. 傅里叶变换的应用
华中科技大学光学与电子信息学院
5
无穷离散谐波分量加权和 无穷连续频率分量加权积分
信号 频谱
∡
华中科技大学光学与电子信息学院
: 幅度谱 : 相位谱
Phase Spectrum 相位频谱
华中科技大学光学与电子信息学院
14
非周期实信号频谱的对称性
If is real,
华中科技大学光学与电子信息学院
Even function of
(关于 的偶函数)
Odd function of
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1 解：ak T
T
T
(t )e
j
2 kt T
1 dt T
1 T 2 (t )dt T
T 2
21
4.2
2 X ( j ) T
2 ( T k ) k
例4.周期性矩形脉冲的傅里叶变换。
周 期 信 号 的 傅 立 叶 变 换 4.2
解：由X ( j ) 2
~t x
k
ak e jk0t
1 T0
k
X jk0 e jk0t
1 2
k
X jk0 e jk0t 0
非 周 期 信 号 的 表 示
4.1 8
当 T0
~(t ) xt 此时 x 1 x(t ) X ( j )e jt d 于是 2
23
4.3 连续时间傅立叶变换的性质
讨论连续时间傅立叶变换的性质, 揭示信号时域、频域特
非 周 期 信 号 的 表 示 4.1 6
当T0
周期性矩形脉冲信号将演变成为 时， 非周期的单个矩形脉冲信号，即
~ (t ) xt x
考查 T0 ak 的变化: 它在 T0 时可以是有限的。 由 令
T0 ak
T0 2
T0 2
xt e
jk0t
dt
T0
得 Tlim T0 ak
—连续时间傅立叶变换
本节主要内容
非周期信号傅里叶变换公式推导
傅里叶变换的收敛条件
常见信号的傅里叶变换
3
一.从傅立叶级数到傅立叶变换
1, t T1 x t 周期矩形脉冲: 0, T1 t T0 / 2 2 sin k0T1 2 sin k0T1 T0 ak 频谱系数为： ak k0T0 k0
1 a j t 0~
1
11
4.1
则模： ( j ) X , 相位： X ( j ) tg a a2 2
1
X ( j )
X ( j )
x(t )
1
1/ a
2 2a
2
t
0
a
0
a
a
2
a
例2. x(t ) e
4.1
a t
0
实偶函数,如图
示信号的频谱。
则模：X ( j ) X ( j )
x(t )
1
X ( j ) 0
1 a
2 a
a
X ( j )
t
12
0
a
例3. x(t ) (t )，求其傅里叶变换。
解： ( j) (t )e jt dt 1 X
非 周 期 信 号 的 表 示
13
0
4.1
这表明 (t ) 中包括了所有的频率成分,所有 频率分量的幅度、相位都相同。因此单位冲激响 应
h(t )才能完全描述一个LTI系统特性， (t ) 才在
(t )
1
信号与系统分析中具有如此重要的意义。
X ( j )
t
0
例4.求矩形脉冲的傅里叶变换:
解：X ( j ) e
0
表明：1.而非周期信号的频谱是周期信号频谱的包络； 2.周期信号的频谱系数，是与它对应的非周期信号
频谱的等间隔样本，并与之成正比。
物理含义，因而称其为频谱密度函数。
ak X ( j ) lim T0 ak lim 具有频谱随频率分布的 T0 T0 , f0 0 f 0
根据周期信号的傅立叶系数表示：
1
W
x(t )
W
0
W
0
t
W
对偶情况如下图所示:
4.1 非 周 期 信 号 的 表 示
结论：信号在时域和频域之间有相反关系,即信号 在时域脉冲越窄,则其频谱主瓣越宽,反之亦然。
16
可以想象，如果
，
将趋向于一个冲激；反之时
域无限长时，频域可能是个冲激。 例6：求 x t 1 的傅立叶变换 X j 。 分析：1）不满足收敛条件，不能由傅立叶变换公式求； 2）该信号在时域持续无限长，根据上例，在频域 可能无限窄，即傅立叶变换可能是冲激信号； 3）用频域的一个冲激信号 ，求对应时域信号。 1 解：由傅氏反变换公式：x(t ) X ( j )e jt d， 的时域信号为: 2 4.1 非 周 期 信 号 的 表 示 17
x(t ) dt ，则 X ( j )
存在
表明:能量有限的信号其傅立叶变换一定存在。
2.
Dirichlet 条件
a. 绝对可积条件： 非 周 期 信 号 的 表 示 4.1 10
x(t ) dt
x(t )
b. 在任何有限区间内， x(t )只有有限个极值点，且 极值有限。
2 时， 0 d , k0 , T0 ~(t ) 1 X j e jt d x 2
傅里叶逆变换
上式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率连续 1 分布的、振幅为 X j d 的复指数信号之和。 2
非 周 期 信 号 的 表 示
0
xt e
jk0t
dt X ( j )
非周期信号的傅立叶变换
周期延拓后周期 信号的频谱系数
令
即
X j
x t e jt dt
非 周 期 信 号 的 表 示
4.1 7
1 1 ak X j X jk0 T0 T0 k
第四章
连续时间傅立叶变换
主要内容
傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系 连续时间傅立叶变换 傅立叶变换的性质
系统的频率响应
1
§4.0
引 言
在工程应用中有相当广泛的信号是非周期
信号，本章要解决的问题有两个：
1. 对非周期信号应该如何进行分解？
2. 什么是非周期信号的频谱表示？
2
§ 4.1 非周期信号的表示
, a 0，求其傅里叶变换。
at jt
解：X ( j) e e
dt eat e jt dt
0
1 1 2a 非 at jt 周e e dt a j a j a 2 2 0 期
信 号 的 表 示
结论:实偶信号 的傅立叶变换是
W ，求其时域表达式。 W
jt
1 解：由x(t ) 2
X ( j )e d
非 周 期 信 号 的 表 示
15
4.1
1 W jt SinWt W W Wt x(t ) e d Sa(Wt ) Sinc( ) 2 W t
X ( j )
4.1 非 周 期 信 号 的 表 示 5
叶系数的采样间隔也越来越密集，因此，傅里
叶系数更加趋近于包络函数。 非周期信号傅里叶表示的基本思想： 把非周期信号当作一个周期信号在周期任意 大时的极限来看待，并且研究这个周期信号傅里 叶表示式的极限特性。
~ (t ) x :周期性矩形脉冲信号； xt :等于一个周期内的~ (t ) ，具有有限持续期。 x
2 0 对应的时域信号。
18
频移的冲激信号： X j 2 0 傅立叶反变换得：xt 1 2
2 0 e jt d e j0t
表明：周期性复指数信 F 周 j0t 期 e 2 0 号的频谱是一个冲激。 信 F jk0t 号 e 2 k0 的 F 傅 x(t ) ak e jk0t 2 ak ( k0 ) 立 k k 叶 变 即周期信号的傅立叶变换为： X ( j ) 2 ak ( k0 ) 换 k
20
4.2
2
X ( j ) [ ( 0 ) ( 0 )]
0
0
0
X ( j ) 2
例3. 求x(t )
周 期 信 号 的 傅 立 叶 变 换
n
(t nT )的傅立叶变换。
2 2
k
a ( k )
k 0
T1 0 T1
1
脉宽变宽时
t
0
T1
x(t )
0
X ( j )
4T1
2T11 2T
2T1
2T1
t
1 T0
将 X ( j ) 中的 代之以 k0 再乘以
ak
,即是相应周期信号的频谱。
2T1 2T Sink0T1 Sa(k0T1 ) 1 T0 T0 k0T1
1, 例5.理想低通滤波器 X ( j ) 0,
X j x t e jt dt 傅立叶变换对公式： 1 x(t ) X ( j )e jt d 2
4.1 9
二.傅立叶变换的收敛
和傅立叶级数的收敛条件一致，也有相应 的两组条件： 1.平方可积条件
2
若
T1 T1 jt
1, x (t ) 0,
t T1 t T1
。
2SinT1 2T1SinT1 T1 dt 2T1Sa(T1 ) 2T1Sinc( ) T1
X ( j )
非 周 期 信 号 的 表 示
14